电磁场论矢量习题课

= z
= ϕ
z
= rcosθ
球坐标系与直角坐标系和柱坐标系的坐标变量之间的关系
球坐标系
直角坐标系
圆柱坐标系
2
r
θ
x + y00000 +z z −1 = cos 0 2 2 x +y
=
2 2
= = cos
−1
ρ + z0
2 2
z
ϕ
x2 + y2 + z2 x −1 −1 y = tan = cos z x x2 + y2 y −1 = sin x2 + y2
矢 性 函 数 的 导 数 公 式
r d r (1 ) C = 0 C 为 常 矢 dt r r r r d dA dB A ± B = 2) + ( dt dt dt r r d dA kA = k (3 ) (k 为 常 数 ) dt dt r r r d du dA uA = A + u (4 ) dt dt dt r r r r r dB r d dA A ⋅B = A ⋅ + ⋅B (5 ) dt dt dt r r r r r r d dB dA A × B = A × + × B (6 ) dt dt dt r r A = A (u ) u = u 数 (7 ) r r dA dA du = dt du dt
r r r r A ( t + ∆t ) − A ( t ) dA ∆A = lim = lim dt ∆t → 0 ∆ t ∆t → 0 ∆t r r r r A ' = Ax ' ( t ) i + Ay ' ( t ) j + Az ' ( t ) k r r dr dr 切向单位矢量： = ds dt r ds dr = dt dt r dr dt
ρ eϕ
∂ ∂ϕ ρ aϕ
ez ∂ ∂z az
球坐标系的旋度公式
er r ∇×a = 1 ∂ r 2 sin θ ∂ r ar
r eθ ∂ ∂θ raθ
r sin θ e ϕ ∂ ∂ϕ r sin θ aϕ
旋度运算公式
r ∇ × C = 0 (C 为 常 矢 量
)
)
r r ∇ × (C a ) = C ∇ × a (C 为 常 量 r r r r ∇ × ( a1 ± a 2 ) = ∇ × a1 ± ∇ × a 2 r r r ∇ × (Sa ) = S ∇ × a + ∇ S × a
矢量分析与场论 小结
2008.10.9
矢性函数的矢量方程
r r r r A = Ax ( t ) i + Ay ( t ) j + Az ( t ) k
矢性函数的参数方程
x = Ax ( t ) , y = Ay ( t ) , z = Az ( t )
矢性函数的导数 （导矢 /切向矢量 /速度矢量）
d n P
θ
S 1 +dS dl S
方向导数和梯度
直角坐标系的梯度公式
∂S ∂S ∂S ∇ S = grad S = e x + ey + ez ∂x ∂y ∂z
柱坐标系的梯度公式
∂S 1 ∂S ∂S ∇ S = grad S = e ρ + eϕ + ez ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z
球坐标系的梯度公式
z ni A B
D nj C S V
O x
y
n dS
高斯散度定理：
斯托克斯定理：
∫
S
r r a ⋅ ndS =
∫
V
r ( ∇ ⋅ a )d V
r r r r l a ⋅ dl = ∫S ( ∇× a ) ⋅ ndS ∫ r = ∫ ( ∇× a ) dS
S n
∂S 1 ∂S 1 ∂S ∇ S = grad S = e r + eθ + eϕ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ ϕ
梯度运算公式
∇ C = 0 (C 为 常 数 ∇ ∇ ∇
(C S ) = C ∇ S (C 为 常 数 ) (S1 ± S 2 ) = ∇ S1 ± ∇ S 2 ( S 1 S 2 ) = S 2 ∇ S 1 + S 1∇ S 2 )
r r r ∇ ⋅ ( Sa ) = S ∇ ⋅ a + a∇S
矢量场的环量
旋度的分量的定义
z l P θ dl
a(P)
n a线 P y S l
∆S
O x
矢量场的旋度（环量面密度）：
r ( cu rl a )n = ∆lim0 S→ l→ 0
r r r l a ⋅ d l = ∇ × a ∫ ∆S
r = ∇ ⋅a
直角坐标系的散度公式
r r r r r ∂a x ∂a y ∂a z ∇ ⋅ a = diva = + +r r 1 ∂ ∇ ⋅ a = diva = ( ρ a ρ ) + ρ ∂ϕ + ∂z ρ ∂ρ
球坐标系的散度公式
直角坐标系的旋度公式
r r curla = ∇ × a ∂ ∂ ∂ = ex + ey + e z × ( e x ax + e y a y + ez az ) ∂y ∂z ∂x ex ∂ = ∂x ax ey ∂ ∂y ay ez ∂ ∂z az
柱坐标系的旋度公式
eρ 1 ∂ r ∇×a = ρ ∂ρ aρ
1 ∂ 1 ∂aϕ r 1 ∂ 2 ∇⋅ a = 2 ( r ar ) + ( sin θ aθ ) + r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ
散度运算公式
r ∇ ⋅ C = 0 (C 为 常 矢
)
r r ∇ ⋅ ( Ca ) = C∇ ⋅ a ( C为常数 ) r r r r ∇ ⋅ ( a1 ± a2 ) = ∇ ⋅ a1 ± ∇ ⋅ a2
(
)
( (
)
(
)
)
(
)
(
)
(t )
矢性函数的不定积分
r r r r r 若已知B ' ( t ) = A ( t ) , 则有∫ A ( t ) dt =B ( t ) + C
矢性函数的分部积分
r r r r r r ∫ A × B ' dt = A × B + ∫ B × A ' dt
z
ez
dz dy dx P ( x, y, z ) ex O y ey
1 ∂ 2 柱坐标系： ∇ S = ρ ∂ρ
球坐标系：
∂S 1 ∂ 2 S ∂ 2 S + 2 ρ + 2 2 ∂z ∂ρ ρ ∂ϕ
1 ∂ 2 ∂S 1 ∂ ∂S 1 ∂2 S ∇2 S = 2 r + 2 sin θ + 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 2
= sin
−1
x +y
2
2
= sin
−1
ρ2 + y2 ρ ϕ 2 ρ + y2
= ϕ
∂S 方向导数： ∂l
标量场的梯度：
P0
S ( P ) − S ( P0 ) ∆S = lim = lim ∆l → 0 ∆l → 0 ∆ l ∆l
n Q Q l
∂S grad S = n ∂l
∂S ∂S co s θ = ∂l ∂n ∂S = n ⋅l0 ∂n = l 0 ⋅ g ra d S
)
S1 1 ∇ S 2 ∇ S 1 − S 1∇ S 2 = 2 ( S2 S2 ∇ f (S ) = f '(S )∇ S
面积元 dS 上的通量
n a
dS dS0 dl = u 矢量场的散度（通量源密度）：
r d iva = lim
∫
S
r r a ⋅ ndS ∆V
∆V → 0 S→0
x
直角坐标系的单位矢量、长度元、面积元、体积元
z
ez
ρdϕ
dρ eϕ
ρ
dz P O z eρ
ϕ
dϕ
y
x
柱坐标系的单位矢量、长度元、面积元、体积元
z
rsinθdϕ rsinθ rdθ P r
er dr eϕ
θ
dθ
eθ
O
ϕ1
dϕ
y
x
球坐标系的单位矢量、长度元、面积元、体积元
直角坐标系与柱坐标系和球坐标系的坐标变量之间的关系
直角坐标系
圆柱坐标系
球坐标系
x
= ρcosϕ = ρsinϕ
= rsinθcosϕ = rsinθsinϕ = rcosθ
y
z
= z000
柱坐标系与直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的关系
圆柱坐标系
直角坐标系
球坐标系
ρ
=
−1
000002 x2 + y
= rsinθ
ϕ
y y −1 = tan = sin 02 2 x x +y x −1 = cos x2 + y2
(S为 标 量 函 数 )
r r r r r r ∇ ⋅ ( a1 × a 2 ) = a 2 ⋅ ( ∇ × a1 ) − a1 ⋅ ( ∇ × a 2 )
二阶微分算符及恒等式
∇ × ∇ S = 0,
2
r ∇ ⋅ (∇ × a ) = 0
∇ ⋅∇S = ∇ S ∂2 ∂2 ∂2 直角坐标系： ∇ 2 S = + + 2 2 2 ∂x ∂y ∂z