2019-2020学年辽宁省锦州市黑山县黑山中学高一下学期线上教学检测数学试题(解析版)

2019-2020学年辽宁省锦州市黑山县黑山中学高一下学期线上教学检测数学试题一、单选题 1．179︒是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【解析】利用象限角的定义直接求解，即可得到答案． 【详解】由题意，1791801︒︒︒=-，所以179︒表示第二象限角，故选B ． 【点睛】本题主要考查了角所在象限的判断，考查象限角的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．2．已知 sin 0θ>且cos 0θ<，则角的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】利用三角函数的定义，可确定0y >且0x <，进而可知θ所在的象限，得到结果. 【详解】依据题设及三角函数的定义可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零， 所以终边在第二象限， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关根据三角函数值的符号断定角所属的象限，涉及到的知识点有三角函数的定义，三角函数值在各个象限内的符号，属于简单题目.3．已知向量()5,a m =v，()2,2b =-v ，若()a b b -⊥v v v ，则实数m = ( )A ．-1B ．1C ．2D ．-2【答案】B【解析】根据向量坐标的线性运算得到a b -r r，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于m的方程，解出m 的值，得到答案. 【详解】因为向量()5,a m =r，()2,2b =-r 所以()3,2a b m +=+r r，因为()a b b -⊥r r r ，所以()0a b b -⋅=r r r所以()6220m -+= 解得1m =. 故选：B. 【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题.4．若角α的终边与单位圆交于点12P ⎛⎝⎭，则sin α=（ ）A ．12B ．2C D ．不存在【答案】B【解析】由三角函数的定义可得：sin y α=，得解. 【详解】解：在单位圆中，sin 2y α==， 故选B. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，属基础题. 5．下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A ．sin y x = B ．cos y x =C ．1sin2y x = D ．cos 2y x =【答案】D【解析】由函数的最小正周期为2T ωπ=，逐个选项运算即可得解.解:对于选项A, sin y x =的最小正周期为2π, 对于选项B, cos y x =的最小正周期为2π, 对于选项C, 1sin2y x =的最小正周期为4π, 对于选项D, cos 2y x =的最小正周期为π, 故选D. 【点睛】本题考查了三角函数的最小正周期，属基础题.6．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2 B ．2sin1C ．2sin1D ．sin 2【答案】B【解析】先由已知条件求出扇形的半径为1sin1，再结合弧长公式求解即可. 【详解】解：设扇形的半径为R ，由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得1sin1R =， 由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是22sin1R =，故选：B. 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题. 7．已知1sin cos 3αα+=，则sin2α=（ ） A ．89-B ．C ．D ．89【答案】A【解析】试题分析：1sin cos 3αα+=的两边分别平分得1812sin cos sin 299ααα+=∴=-【考点】同角间三角函数关系 8．1tan 751tan 75-︒=+︒（ ）A ．3B 3C 3D ．3【解析】先用“1”的代换转化1tan 75tan 45tan 751tan 751tan 45tan 75-︒-︒=+︒+⋅︒o o，再利用两角差的正切公式的逆用求解. 【详解】()1tan 75tan 45tan 753tan 301tan 751tan 45tan 75-︒-︒==-=-+︒+⋅︒o oo故选：D 【点睛】本题主要考查了两角差的正切公式的逆用及“1”的代换，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9．函数2cos 21y x =+ 的定义域是（ ）A ．{|22,}2x k x k k Z πππ≤≤+∈ B ．{|,}2x k x k k Z πππ≤≤+∈C ．{|,}3x k x k k Z πππ≤≤+∈D ．{|,}33x k x k k Z ππππ-≤≤+∈【答案】D【解析】要使原函数有意义，则2210cos x +≥ ，即122cos x ≥-， 所以2222233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，． 解得：33k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．所以，原函数的定义域为{|}33x k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．故选D ．【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了三角不等式的解法，解答此题的关键是掌握余弦函数线，在单位园中利用三角函数线分析该题会更加直观 10．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【详解】 由题知，．若，，选项C 满足；若，，，其中，，函数周期，选项A 满足；若，，，其中，，函数周期，选项B 满足；若,则，且周期为．而选项D 不满足以上四种情况，故图象不可能是D ．故本题正确答案为D ．11．已知tan α、tan β是方程23340x x ++=的两根，且22ππα-<<，22ππβ-<<，则αβ+的值为（ ） A ．3πB ．23π-C ．3π或23π-D ．3π-或23π【答案】B【解析】由根与系数的关系得tan tan 33αβ+=-tan tan 4αβ⋅=，再求出tan()αβ+的值即得解.【详解】由根与系数的关系得tan tan 33αβ+=-tan tan 4αβ⋅=， ∴tan 0,tan 0αβ<<，∴tan tan 33tan()31tan tan αβαβαβ+-+===-,2222ππππαβ-<<-<<，且tan 0α<，tan 0β<，∴0παβ-<+<，∴23αβπ+=-． 故选：B 【点睛】本题主要考查和角的正切公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 12．若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】函数tan()(0)4y x πωω=+>的图像向右平移6π个单位得tan[()]tan()6464y x x ππωππωω=-+=-+，所以,646k k Z ωππππ-+=+∈16,2k k Z ω=-+∈，所以ω得最小值为12．二、填空题13．已知5,3a b ==r r ，且12a b ⋅=-r r ，则向量a r 在向量b r 上的投影等于______【答案】-4【解析】利用向量a r在向量b r上的投影公式即可得到答案． 【详解】由于5,3a b ==r r ，且12a b ⋅=-rr ，∴ 利用向量a r 在向量b r 上的投影12cos ,43a b a b a a b a a b b⋅⋅-==⋅===-⋅r r r r r r r r r r r， 故向量a r在向量b r 上的投影等于-4【点睛】本题考查向量投影的计算，熟练掌握投影公式是关键，属于基础题． 14．1cos 123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则5sin 12πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ________【答案】13【解析】因为51212ππθθ-++=2π ，所以结合三角函数的诱导公式求值； 【详解】 因为51212ππθθ-++=2π，由诱导公式得： 5sin 12πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin --212ππθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（） =1cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故答案为13【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数中的恒等变换应用，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．15．()sin10170+=oo_____【答案】1【解析】tan 60o ，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为sin10cos10cos 60cos 70o o o o ，利用二倍角公式可变为1sin 202cos 60cos 70⋅oo o，由sin 20cos70=o o 可化简求得结果. 【详解】()()cos 60cos 7060sin 70sin101sin101tan 60tan70sin1s 0co i s 60o 7n c s 0+=++⋅=o o o o oooo ooo o()cos 7060sin10cos101sin 201sin101cos60cos70cos60cos702cos60cos702cos60-=⋅==⋅==o oooo oo oo o o o o本题正确结果：1 【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.16．已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________. 【答案】3π【解析】先利用周期公式求出ω，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出m 的表达式，即可求出m 的最小值． 【详解】 由2T ππω==得2ω=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位后，得到sin[2()]sin(22)33y x m x m ππ=++=++，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有2,3m k k Z ππ+=∈，则62k m ππ=-+，故m 的最小值为3π．【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()y A x ωϕ=+ 型的函数奇偶性判断条件．一般地sin()y A x ωϕ=+为奇函数，则k ϕπ=；为偶函数，则2k πϕπ=+；cos()y A x ωϕ=+为奇函数，则2k πϕπ=+；为偶函数，则k ϕπ=．三、解答题17．（1）已知4cos 5α=-，且α为第三象限角，求sin α，tan α的值 （2）已知tan 3α=，求4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+ 的值.【答案】（1）35-，34；（2）57【解析】（1）根据题意，利用同角三角函数的平方关系和商的关系，即可求出结果； （2）已知tan 3α=，利用齐次式化简得出4sin 2cos 4tan 25cos 3sin 53tan αααααα--=++，即可求出结果. 【详解】解：（1）4cos 5α=-Q 且α 为第三象限3sin 3sin ,tan 5cos 4αααα∴==-==，（2）由于tan 3α=， 而4sin 2cos 4tan 255cos 3sin 53tan 7αααααα--==++.【点睛】本题考查三角函数化简求值，运用了同角三角函数的平方关系和商的关系，以及利用齐次式进行化简，属于基础题.18．设向量a r ，b r满足1==a b r r ，且32a b r r -=（1）求a r 与b r的夹角；（2）求23a b +r r的大小.【答案】（1）3π（2【解析】（1）根据向量数量积的运算和向量模的公式，即可计算出1cos 2θ=，得到a r与b r的夹角；（2）根据向量的模的平方等于向量的平方，可得23a b +=rr到答案 【详解】解：（1）设a r 与b r的夹角为θ.由已知得()22327a b-==r r ，即2291247a a b b -⋅+=rr r r ，因此9412cos 7θ+-=，于是1cos 2θ=，故3πθ=，即ar 与b r 的夹角为3π.（2）23a b +=rr===.【点睛】本题考查向量数量积的运算性质、向量模的公式和向量的夹角公式，考查学生的运算能力，属于中档题． 19．已知02πβα<<<，3cos 5α=，4cos()5αβ-=. （1）求tan2α； （2）求cos β.【答案】（1）24tan 27α=-；（2）24cos 25β=.【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出tan α的值，然后利用二倍角的正切公式可求出tan2α的值；（2）先利用同角三角函数的平方关系求出()sin αβ-的值，然后利用两角差的余弦公式可计算出cos β的值. 【详解】 （1）02πα<<Q ，24sin 1cos 5αα∴=-=，sin 4tan cos 3ααα∴==， 因此，22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）02βαπ<<<Q ，则02πβ<<，02πα<<且αβ>，02αβπ∴<-<， ()()23sin 1cos 5αβαβ∴-=--=，因此，()()()3443cos cos cos cos sin sin 5555βααβααβααβ=--=-+-=⋅+⋅⎡⎤⎣⎦2425=. 【点睛】本题考查利用二倍角的正切公式和两角差的余弦公式求值，同时也涉及了同角三角函数基本关系的应用，解题时要确定角的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 20．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式.（2）若不等式()3f x m -<，对任意[,]123x ππ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）f (x)＝2sin(2x －3π)．（2）－3，2）．【解析】（1）利用531234T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，再用522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈（），求出ϕ即可；（2）,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得1sin 232x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，转化成()3()3()3m f x f x m m f x <+⎧-<⇔⎨>-⎩，最后求出m 的取值范围.【详解】 （1）因为5231234πππω⎛⎫--=⋅ ⎪⎝⎭，所以2ω=， 又因为522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈（），且22ππϕ-<<，所以3πϕ=-，故()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． （2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,322x π⎡⎛⎫∴-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，即1()f x -剟，又对任意,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()3()3()3m f x f x m m f x <+⎧-<⇔⎨>-⎩恒成立， ()()min max 33m f x m f x ⎧⎪∴⎨⎪⎩＜＋＞－32m <<，故m的取值范围是3,2)． 【点睛】本题属于三角函数的综合题，考查了三角函数的周期性和已知定义域，求三角函数的值域等问题，难点在于对绝对值要进行分段处理和化简. 21．已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的最大值和最小值； （2）若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）最大值为3，最小值为2；（2）)1,1.【解析】（1）利用二倍角的余弦公式、诱导公式以及辅助角公式化简函数()y f x =的解析式为()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出23x π-的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求出函数()y f x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）由()2f x m -=，可得出12sin 23m x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭，令22,363t x πππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，将问题转化为直线1y m =+与函数2sin y t =在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点，利用数形结合思想能求出实数m 的取值范围. 【详解】 （1）()22sin 21cos 2244f x x x x xππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos 22sin 2212sin 2123x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，22,363x πππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2123x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭， 因此，函数()y f x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()max 2113f x =⨯+=，最小值为()min 12122f x =⨯+=；（2）由()2f x m -=，即2sin 2123x m π⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，得12sin 23m x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 令22,363t x πππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则直线1y m =+与函数2sin y t =在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点，如下图所示：312m ≤+<311m ≤<时，直线1y m =+与函数2sin y t =在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点.因此，实数m 的取值范围是)31,1⎡⎣. 【点睛】本题考查正弦型三角函数在区间上最值的计算，同时也考查了利用正弦型函数的零点个数求参数，一般利用参变量分离法转化为参数直线与函数图象的交点个数，考查运算求解能力与数形结合思想的应用，属于中等题.22．已知O 为坐标原点，()cos ,1OA x =u u u v，()2cos 3sin2OB x x =u u u v ，R x ∈，若()f x OA OB =⋅u u u v u u u v .⑴ 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；⑵ 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值． 【答案】（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）2【解析】（1）由题意得到()2216f x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可得函数的周期和单调增区间；（2）根据图象变换得到()52112g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据x 的范围得到512x π+的取值范围，然后可得()g x 的最小值．【详解】(1)由题意()cos ,1OA x =u u u v，()2cos OB x x =u u u v ，所以()22cos cos212sin 216f x x x x x x π⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==， 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. (2)由(1)得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数为2sin 16y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到的图象对应的函数为52sin 12sin 14612y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()52sin 112g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∵5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴55,1236x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴当55126x ππ+=，即512x π=时，()g x 有最小值，且()min 552sin 12126g x g ππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭， ∴函数()y g x =在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2． 【点睛】（1）解决三角函数的有关问题时，一般将所给的函数化为()φy Asin x ω=+的形式，然后将φx ω+作为一个整体，并结合正弦函数的相关性质进行求解．（2）求函数()φy Asin x ω=+在给定区间上的最值或范围时，先由所给的范围得到φx ω+的范围，然后结合函数的图象求解．。