正态分布的数学期望与方差
人教版高中数学选修2-3第6讲：数学期望与方差及正态分布(教师版)
1
( x )2
e 2 2 ,x R,
0,
R
2
7.正态分布 (1)若 X 是一个随机变量，对任给区间
(a， b]，P(a<X≤ b)恰好是正态密度曲线下方和
X 轴上 (a，
b]上方所围成的图形的面积；我们就称随机变量
X 服从参数为 和 2 的正态分布，简记为 X～
N( , 2 ).
(2)我们将正态分布 N(0，1)称为标准正态分布， 通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分 布的随机变量的有关概率 .
3
33
(3) 由 (1)知 P(
4 2) .
27
练习 5： 有一名运动员投篮的命中率为 0.6，现在他进行投篮训练，若没有投进则继续投篮，若
投进则停止，但最多投篮 5 次，求他投篮次数的数学期望 .
[解析 ] 若该运动员投篮 1 次，则 P( =1)=0.6；若投篮 2 次，则说明他第 1 次没有投进，而第 2
类型二 .离散型随机变量的方差、标准差
例 2： 已知随机变量 X 的分布表为：
X
0
1
2
3
P
0.1
0.15
0.25
0.25
求 V(X).
4
5
0.15
0.1
[解析 ] 因为 E(X)=0.1 × 0+0.15 × 1+0.25 × 2+0.25 × 3+0.15 × ，4+0.1 × 5=2.5
所以 V (X ) (0 2.5) 2 0.1 (1 2.5) 2 0.15 (2 2.5) 2 0.25 (3 2.5)2 0.25
态总体的数学期望为 ________.
[答案 ] 1
正态分布数学公式
正态分布数学公式
正态分布的公式：Y＝（X-μ）/σ～N（0，1）。
正态分布符号定义：
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为的高斯分布，记为N（μ，）。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
正态分布有两个参数，即均数（μ）和标准差（σ）。
μ是位置参数，当σ固定不变时，μ越大，曲线沿横轴，越向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴，越向左移动。
是形状参数，当μ固定不变时，σ越大，曲线越平阔；σ越小，曲线越尖峭。
通常用表示标准正态分布。
主要特点：
1、估计频数分布一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。
2、制定参考值范围。
1）正态分布法适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
2）百分位数法常用于偏态分布的指标。
表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
3、质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以作为上、下警戒值，以作为上、下控制值。
这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。
4、正态分布是许多统计方法的理论基础。
检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。
许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。
六个常用分布的数学期望和方差
即
12
若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为：
f
(
x)
1
θ
e
x θ
0
x0 x0
E(X )
xf ( x)dx
x
1
e
x θ
dx
x
（ x）de θ
0
θ
0
（
x）e
x
x
e dx
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np，D( X ) np(1 p)
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从
均匀分布， Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
E( X ) xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
标准正态分布的方差
标准正态分布的方差标准正态分布是统计学中非常重要的一种概率分布，它具有许多重要的性质和特点。
在实际应用中，我们经常需要对标准正态分布的方差进行分析和计算。
本文将对标准正态分布的方差进行深入的探讨，希望能够为读者提供一些帮助。
首先，我们来回顾一下标准正态分布的定义。
标准正态分布又称为Z分布，它的概率密度函数是一个关于均值为0，标准差为1的正态分布。
其概率密度函数的表达式为：f(x) = (1/√(2π)) e^(-x^2/2)。
其中，e是自然对数的底，π是圆周率。
标准正态分布的概率密度函数是一个关于x的偶函数，其图像关于y轴对称。
标准正态分布的均值为0，标准差为1，其分布曲线呈钟型，且在均值处达到最大值。
接下来，我们来探讨标准正态分布的方差。
方差是衡量随机变量离散程度的一个重要指标，它描述了随机变量与其均值之间的离散程度。
对于标准正态分布来说，其方差为1。
这意味着标准正态分布的数据点相对于其均值的离散程度是已知的，这为我们在实际应用中的数据分析提供了便利。
在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布的方差。
为了计算标准正态分布的方差，我们可以利用方差的定义公式：Var(X) = E((X-μ)^2)。
其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E表示数学期望，μ表示随机变量X的均值。
对于标准正态分布来说，其均值为0，因此方差的计算可以简化为：Var(X) = E(X^2)。
接下来，我们来计算标准正态分布的方差。
由于标准正态分布的概率密度函数是一个偶函数，因此其在整个实数轴上的积分值是1。
我们可以利用这一性质来计算标准正态分布的方差。
利用方差的定义公式，我们可以得到：Var(X) = ∫(x^2 f(x))dx。
其中，f(x)是标准正态分布的概率密度函数。
将标准正态分布的概率密度函数代入上式，进行积分计算，即可得到标准正态分布的方差。
通过计算，我们可以得到标准正态分布的方差为1。
这一结果与我们之前的预期是一致的。
常见分布的期望和方差
常见分布的期望和方差6、随机变量的独立性：若F(x,y) F X (x)F Y (y)则称随机变量 X , Y 相互独立。
简称 X 与Y 独立。
概率与数理统计重点摘要X1正态分布的计算：F(x) P(X x) ( )。
X 是服从某种分布的随机变量，求 Y f(X)的概率密度：f Y (y) f X (x)[h(y)] h'(y)。
(参见P66〜72)x y ..f (u, v)dudv 具有以下基本性质:⑴、是变量x , y 的非降函数;⑵、0 F(x, y) 1，对于任意固定的 x , y 有：F( , y) F(x, ) 0;⑶、F(x, y)关于x 右连续，关于y 右连续；⑷、对于任意的(为，yd (X 2, y 2),捲 X 2,y 1 y ，有下述不等式成立：Fgy) F(X 1,y 2)F(X 2,yJ5、二维随机变量的边缘分布:f x (X ) f (x,y)dy 边缘概率密度：f Y (y)f (x, y)dxF X (X )XF(x,) [ f (u, y)dy]du边缘分布函数：y二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
F Y (¥)yF( ,y)[f (x, v)dx]dv2、随机变量函数的概率密度:3、分布函数F(x, y)4、一个重要的分布函数:arcta n -)(— 2arCtany)的概率密度为: 2f(x,y)F(x,y)x y62 2 2 (x 4)( y 9)F(x, y)7、两个独立随机变量之和的概率密度:f z (Z ) f x (x)f Y (z x)dx f Y (y)f x (z y)dy 其中 Z = x + Y8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即 Z aX bY : N (a 1 b 2,a 2 12 b 2 2。
9、期望的性质: (3)、E(X Y) E(X) E(Y) ;(4)、若 X ，Y 相互独立，则 E(XY) E(X)E(Y)。
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。
（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。
常见分布的期望与方差的计算
σ2
+ ∫ e− x θ d x
0
+∞ 2
+∞
=θ
D( X ) = E ( X ) − [ E ( X )] = ∫0
= 2θ 2 − θ 2
1 −x θ x ⋅ e d x − θ2 θ
= θ2
6. 正态分布
设 X ~ N ( μ, σ 2 ), 其概率密度为
1 f ( x) = e 2 πσ
( x − μ )2 − 2σ 2
i =1
n
(法二) X 的分布律为 ⎛ n⎞ k P { X = k } = ⎜ ⎟ p (1 − p )n− k , ( k = 0,1,2,", n), ⎝k⎠ n n ⎛ n⎞ k 则有 E ( X ) = ∑ k ⋅ P{ X = k } = ∑ k ⎜ ⎟ p (1 − p )n− k k =0 ⎝ k ⎠ k =0
∞
a < x < b,
其他 .
b
1 1 E ( X ) = xf ( x ) d x = x d x 则有 = (a + b). ∫−∞ ∫a b − a 2 D( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 1 ⎛ a + b ⎞ (b − a ) 2 =∫ x dx−⎜ ⎟ = a b−a ⎝ 2 ⎠ 12
+∞ 2
( x − μ )2 − 2σ 2
分
布
参数
0< p<1 n ≥ 1, 0< p<1 λ>0
a<b
数学期望
p np
方差
p(1 − p )
np(1 − p )
两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布
常见分布的数学期望和方差
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
，D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ， ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
，Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
与 2X 的关系是则( ).
常见分布的期望和方差
常见分布的期望和方差概率与数理统计重点摘要不X —41、正态分布的计算：F(x) =P(X mx) =G( )。
72) 2、随机变量函数的概率密度：X是服从某种分布的随机变量，求Y = f (X)的概率密度：f Y(y) = f X (x)[h(y)] h'(y)。
(参见P66x y3、分布函数F(x, y) f(u,v)dudv具有以下基本性质：⑴、是变量x，y的非降函数；⑵、0_F(x,y)_1，对于任意固定的x，y 有：F (-二，y) = F (x,= 0 ；⑶、F(x, y)关于x右连续，关于y右连续；⑷、对于任意的(X i,yj,(X2, y2), X i vdM <y2，有下述不等式成立：F(X2,y2)十(为必)-F(X2,yJ F(X i,yJ 一021 兀X 兀v d4、一个重要的分布函数： F (x, y) (一•arctan — )(—• arctan’)的概率密度为：f(x, y)二 --------------------F (x, y) 2 2 2_ - 2 2 1 3 :xy 二(x 4)(y 9)5、二维随机变量的边缘分布:72)边缘概率密度: f x (x)工曰(x, y)dy边缘分布函数:f Y (y)二：:f(x,y)dxXF X (X ) =F(x,F Y (y) = F(rJ ■bo..f (u,y)dy]du鳥二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
_'f(x,v)dx]dv7、两个独立随机变量之和的概率密度：f Z(z)二f X(x)f Y(z-x)dx二f Y(y) f X(z- y)dy其中Z = X + Y8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即Z二aX • bY ： N(a^ b l2,a^f - 。
9、期望的性质：……(3)、EX Y ) EX( )EY() ; (4)、若X , Y 相互独立，则E(XY) = E(X )E(Y)。
专题26 期望、方差及正态分布的实际应用(学生版)
(参考数据：若 X ～N (, 2 ) ，则 P( X ) 0.6826 ； P( 2 X 2 ) 0.9544 ； P( 3 X 3 ) 0.9974 .)
A．0.9544
B．0.6826
（i）请用统计学的知识分析该市 18 岁男大学生身高的情况；
（ii）下面是抽取的 100 名 18 岁男大学生中 20 名大学生身高（ cm ）的数据：
1.65
1.62
1.74
1.82
1.68
1.72
1.75
1.66
1.73
1.67
1.86
1.81
1.74
1.69
1.76
1.77
1.69
1.78[来源:学科网]
2.巩固提升综合练习
【练习 1】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N 0, 32 ，从中随机取一件，其长度误
差落在区间（3，6）内的概率为（ ）
（附：若随 机变量ξ服从正态分布 N , 2 ，则 P 68.26% ，
P 2 2 95.44% .）
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
【练习 2】在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N (0,1) 的密
度曲线)的点的个数的估计值为
A．2 386
B．2 718
Hale Waihona Puke C．3 413D．4 772
附：若 X~N(μ，σ2)，则 P X 0.682 6,P 2 X 2 0.954 4 .
【练习 4】（入座问题）编号 1，2，3 的三位学生随意入坐编号为 1，2，3 的三个座位，每位学生坐一
数理统计2：为什么是正态分布，正态分布均值与方差的估计，卡方分布
数理统计2：为什么是正态分布，正态分布均值与⽅差的估计，卡⽅分布上⼀篇⽂章提到了⼀⼤堆的统计量，但是没有说到它们的⽤处。
今天，我们就会接触到部分估计量，进⼊到数理统计的第⼀⼤范畴——参数估计，同时也会开始使⽤R 语⾔进⾏模拟。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：为什么是正态分布为什么要突然提到正态分布的参数估计？原因有以下⼏个。
⾸先，正态分布是⽣活中最常见的分布，许多随机事件的分布可以⽤正态分布来概括。
林德贝格勒维中⼼极限定理告诉我们，⼆阶矩存在的独⽴同分布随机变量列{ξn }，记它们的和为S n ，E(ξ1)=µ，D(ξn )=σ2，则S n −nµ√n σd→N (0,1).刚刚学完概率论的同学应该对这个结论不陌⽣。
⽽中⼼极限定理的条件实际上并不需要这么强，林德贝格费勒定理去除了同分布的约束，只要{ξn }满⾜∀τ>0，1∑nk =1D(ξk )n∑k =1∫|x +E(ξk )|≥τ∑n k =1D(ξk )(x −E(ξk ))2d F k (x )→0,就有∑nk =1(ξk −E(ξk ))∑nk =1D(ξk )d→N (0,1).这说明⾃然界中微⼩随机项的累积效应普遍服从中⼼极限定理。
另外，正态分布的信息完全由两个参数所决定：期望和⽅差，即前两阶矩。
因此，如果我们假定总体是服从正态分布的，就只需要对其两个参数作估计，这给问题的讨论带来⽅便。
最后就是正态分布在实⽤上的意义了，两个独⽴正态分布的和、差甚⾄乘积都是正态分布，这在实⽤上也很⽅便，所以许多时候即使总体不服从正态分布，也近似认为服从正态分布。
Part 2：正态分布均值估计既然正态分布完全由两个参数所决定，那么只要知道出这两个参数的值（或者范围），就能确定总体的全部信息。
然⽽，在实际⽣活中要获得绝对正确的正态分布参数是不可能的，因为⽣活中的总体情况总是未知，要认识总体，我们只能从总体中抽取⼀系列样本，再通过样本性质来估计总体。
正态分布数学期望和方差
正态分布数学期望和方差
正态分布的期望和方差：求期望：ξ，期望：Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn。
方差；s²，方差公式：s²=1/n[（x1-x）²+（x2-x）²+……+（xn-x）²]（x上有“-”）。
正态分布，也称“常态分布”，又名高斯分布，最早由A。
棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C。
F。
高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P。
S。
拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
方差
方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程
度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。
人教版高中数学选修2-3第6讲：数学期望与方差及正态分布(教师版)
人教版高中数学 数学期望与方差及正态分布__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解离散型变量的数学期望与方差的概念.2.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的公式.3.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的性质.4.能利用数学期望与方差解决简单的实际问题.5.理解概率密度曲线和正态分布的概念.1.离散型随机变量X 的数学期望一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则称1122n n x p x p x p +++为离散型随机变量X 的数学期望，记为()E X ，其中0i p ≥，i =1，2，…，n ，12p p + 1.n p ++=一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则称2221122()()()n n x p x p x p μμμ-+-++-为离散型随机变量X 的方差，记为()V X ，即2;σi p ≥0，i =1，2，…，n ，121,n p p p +++=()E X μ=3.离散型随机变量X 的标准差随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差V (X )的算术平方根称为X 的标准差，即σ=4.必备公式(1)离散型随机变量：X 的数学期望（均值）公式、方差公式、标准差公式 E(X)=1122n n x p x p x p +++；V (X )=221122()()x p x p μμ-+-+2()n n x p μ+-；σ=.(2)二项分布的数学期望、方差的计算公式 当X ～B (n ，p )时，E (X )=np ；V (X )=np(1-p). 5.离散型随机变量方差的性质设ξ是离散型随机变量，则其方差具有如下性质： (1)V (k )=0(k 为常数)； (2)2();V k k V ξξ= (3)();V k V ξξ+=(4)2()(,).V a b a V a b ξξ+=∈R6.概率密度曲线(1)若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线.(2)正态密度曲线的函数表达式为22()2()e,,0,x P x x μσσμ--=∈>∈R R7.正态分布(1)若X 是一个随机变量，对任给区间(a ，b ]，P (a <X ≤b )恰好是正态密度曲线下方和X 轴上(a ，b ]上方所围成的图形的面积；我们就称随机变量X 服从参数为μ和2σ的正态分布，简记为X ～N (2,μσ).(2)我们将正态分布N (0，1)称为标准正态分布，通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率.8.正态密度曲线图象的特征(1)当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸以x 轴为渐近线. (2)正态曲线关于直线x =μ对称；(3)σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡. (4)在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1.类型一.离散型随机变量X 的数学期望则E (X )等于( ) A.0 B.-1C.13-D.12-[答案] C[解析] 由111()(1)01236E X =-⨯+⨯+⨯=1.3-练习1：某学校要从5名男生和2名女生中选出2人做上海世博会志愿者,若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望E ξ______.(结果用最简分数表示)[答案]47[解析] ξ可取0,1,2,因此252710(0),(1)21C P P C ξξ=====11522710,21C C C = 22271101014(2),012.212121217C P E C ξξ====⨯+⨯+⨯=类型二.离散型随机变量的方差、标准差例2：已知随机变量X 的分布表为：[解析] 因为E (X )=0.1×0+0.15×1+0.25×2+0.25×3+0.15×4+0.1×5=2.5，所以22()(0 2.5)0.1(1 2.5)0.15(2V X =-⨯+-⨯+-222.5)0.25(3 2.5)0.25⨯+-⨯+2(4 2.5)0.15(5-⨯+-22.5)0.1 2.05.⨯=练习1：甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布表如下：射手乙：谁的射击水平比较稳定.[解析] 1()100.290.680.29,E X =⨯+⨯+⨯=2221()(109)0.2(99)0.6(89)0.2V X =-⨯+-⨯+-⨯0.20.20.4,=+= 2()100.490.280.49,E X =⨯+⨯+⨯=2222()(109)0.4(99)0.2(89)0.40.8V X =-⨯+-⨯+-⨯=，因为12()(),V X V X <所以射手甲的射击水平比较稳定.类型三.二项分布的数学期望与方差例3：已知随机变量ξ～B (n ，p )，且 2.4, 1.44,E V ξξ==则n ，p 的值为( ) A.8，0.3 B.6，0.4 C.2，0.2 D.5，0.6[答案] B[解析] 由np =2.4，np (1-p )=1.44，解得n =6，p =0.4.练习3：设随机变量ξ服从二项分布,即ξ~(,)B n P ,且13,,7E P ξ==则n =______,D ξ=______. [解析]13,,7E nP P ξ===13721,(1)217n D nP P ξ∴=⨯==-=⨯118(1).77-=类型四.离散型随机变量方差的性质例4：一次测试有25道选择题，每题选对得4分，选错或不选得0分，满分为100分，某生选对每道题的概率为0.8，则这名考生在这次考试中成绩的数学期望与标准差为( )A.80，8B.80，64C.70，4D.70，3 [答案] A[解析] 答对题数为,ξ成绩为4.ξ先分析ξξ⋅~B (25，0.8)，所以E ξ=25×0.8=20，所以(4)480,E E V ξξξ===25×0.8×0.2=4，所以(4)V ξ=2464,V ξ=8.=练习4：已知ξ的分布列如下表,设23,ηξ=+则E η=()A .3B .4C .-1D .1[答案] A [解析] 11111012363E ξ=-⨯+⨯+⨯=-,17(23)232333E E E ηξξ=+=+=-⨯+= 类型五.数学期望与方差的计算与应用例5：一个人每天开车上班，从他家到上班的地方有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件互相独立，并且概率都是1.3假定他只在遇到红灯或到达上班地点时才停止前进.(1)设ξ为这个人的首次停止前经过的路口数.求ξ的分布表； (2)设η为这个人的途中遇到红灯的次数，求η的期望和方差； (3)求这个人首次停止前已经过两个交通岗的概率. [解析] (1)ξ的取值为0，1，2，3，4，5，6，212121(0),(1),(2)(),33333P P P ξξξ====⨯==⨯342121(3)(),(4)(),(5)3333P P P ξξξ==⨯==⨯==56212(),(6)().333P ξ⨯==所以ξ的分布表如下：(2)由题意知：1~(6,),3Bη则162,(13E V npηη=⨯==114)6(1).333p-=⨯⨯-=(3)由(1)知4 (2).27 Pξ==练习5：有一名运动员投篮的命中率为0.6，现在他进行投篮训练，若没有投进则继续投篮，若投进则停止，但最多投篮5次，求他投篮次数的数学期望.[解析]若该运动员投篮1次，则P(ξ=1)=0.6；若投篮2次，则说明他第1次没有投进，而第2次投进，P(ξ=2)=0.4×0.6=0.24；若投篮3次，则说明他前2次没有投进，而第3次投进，P(ξ=3)=0.42×0.6；若投篮4次，则说明他前3次没有投进，而第4次投进，P(ξ=4)=0.43×0.6；若投篮5次，则说明他前4次没有投进，而第5次投进与否均可，所以概率为P(ξ=5)=0.44×1.所以ξ的概率分布为：所以，投篮次数的数学期望为Eξ=1×0.6+2×0.24+3×0.096+4×0.0384+5×0.0256=1.6496.类型六.正态密度曲线的特征例6：下面给出了关于正态曲线的四个叙述：①曲线在x轴上方且与x轴不相交；②当x>μ时，曲线下降；当x<μ时，曲线上升；③当μ一定时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中；④曲线关于直线x=μ对称，且当x=μ时，位于最高点.其中正确的是（）A.1个B.2个C.3个D.4个[答案] C[解析]①、②、④都正确，③不正确，应该是当μ一定时，σ越小，总体分布越集中，σ越大，总体分布越分散.练习6：若2(1)2(),xf x x R--=∈,则下列判断正确的是()A.f(x)有最大值,也有最小值B.f(x)有最大值,无最小值C.f(x)无最大值,有最小值D.f(x)无最大值,也无最小值[答案]B[解析]这个函数就是正态分布N(1,1)的概率密度函数.类型七.正态分布例7：已知正态总体的数据落在区间(-3，-1)内的概率和落在(3，5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________.[答案]1[解析]区间(-3，-1)与(3，5)的长度相等，这说明正态曲线在两个区间上对称，易知两区间关于x=1对称，所以正态分布的数学期望是1.练习7：设随机变量ξ服从标准正态分布N (0,1),已知( 1.96)0.025Φ-=,那么(|| 1.96)P ξ<=( )A .0.025B .0.050C .0.950D .0.975[答案] C[解析] 由( 1.96)1(1.96)0.025Φ-=-Φ=,得(1.96)0.975Φ=,(|| 1.96)(1.96)( 1.96)0.9750.025P ξ<=Φ-Φ-=-=0.951.若某篮球运动员投篮命中率P =0.6,则其两次投篮命中次数η的数学期望为( ) A .0.6 B .1.2C .1.3D .0.8[答案] B2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ描述1次试验的成功次数,则(0)P ξ==( )A .0 B.12C.13D.23[答案] C3.已知连续型随机变量ξ的概率密度函数f (x )=()()01,1(14),504,x x x <-⎧⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪>⎩则P (ξ=3)的值为( )A.15B .0C .3D .不确定[答案] B4.如果随机变量ξ服从(,0)N μ,而且()P C ξ≤=()P C ξ>=P ,那么P 等于( ) A .0 B .0.5C .1D .不确定[答案] B5.若从1,2,4,6,9这5个数字之中任取2个,则这2个数之积的数学期望是( ) A .8 B .17.3 C .9 D .9.5 [答案] B6.两封信随机投入A ,B ,C 三个空邮箱,则A 邮箱的信件数ξ的教学期望E ξ=______. [答案]237.某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望. [答案] (1)因为抽取比例为311,102,510555=⨯=⨯+由115=得,应在甲组抽取2人,在乙组抽取1人.(2)从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率11462108.15C C P C ⋅== (3)ξ的可能取值为0,1,2,31234211056(0),75C C P C C ξ==⋅=1112146342212110510528(1),75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=21622110510(3),75C C P C C ξ==⋅=31(2)1(0)(1)(3).75P P P P ξξξξ==-=-=-==分布列如下表:数学期望282810123 1.6.757575E ξ=⨯+⨯+⨯= 8.设篮球队A 与B 进行比赛,每场比赛均有一球队获胜,若一球队胜4场,则比赛结束,假定A ,B 两队在每场比赛中获胜的概率都是12,试求需要比赛场数ξ的分布列及数学期望. [答案] 依题意知,比赛场数ξ的取值为4,5,6,7.411(4)2,28P ξ∴==⨯=3341112(5)()2,2228P C ξ==⋅⨯⨯⨯= 33251115(6)()()2,22216P C ξ==⋅⋅⨯⨯=33361115(7)()()2.23216P C ξ==⋅⋅⨯⨯=从而随机变量ξ的分布列为:∴随机变量专的数学期望为1255934567.88161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.如果两名士兵在一次射击比赛中,士兵甲得1分,2分,3分的概率分别为0.4,0.1,0.5;士兵乙得1分,2分,3分的概率分别为0.1,0.6,0.3,那么两名士兵得胜希望较大的是( )A .甲B .乙C .甲与乙相同D .无法确定[答案] B2.同时抛掷2枚相同的均匀硬币,随机变量ξ=1表示结果中有正面向上的,ξ=0表示结果中没有正面向上的,则E ξ=( )A .0.6B .0.75C .0.85D .0.95[答案] B3.如果ξ是离散型随机变量,32,ηξ=+那么( ) A.32,9E E D D ηξηξ=+= B.3,32E E D D ηξηξ==+ C.32,94E E D E ηξηξ=+=+ D.34,32E E D D ηξηξ=+=+[答案] A4.某地有A ,B ,C ,D 四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A 到过疫区,B 肯定是受A 感染的,对于C ,因为难以断定他是受A 还是受B 感染,于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12,同样也假定D 受A ,B 和C 感染的概率都是13,在这种假定之下,B ,C ,D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量,X 的均值(即数学期望)=( )A.125B.116 C.87D.23[答案] B5.设随机变量ξ服从二项分布,即ξ~(,)B n P ,且13,,7E P ξ==则n =______,D ξ=______. [答案] 1821;76.在某次测量中,测量结果ξ服从正态分布N (1,2σ)(σ>0),若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为______.[答案] 0.87.(2014浙江卷)随机变量X 的取值为0，1，2.若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则D (X )＝________．[答案] 258.(2015东城二模)某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．(1)求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；(2)用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望． [答案] (1)设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”．则1223C 2()C 3P A ==，2435C 3()C 5P B ==．因为事件A 与B 相互独立，所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为224()()()()[1()]3515P AB P A P B P A P B ==-=⨯=．(2)设事件C 为“丙同学选中C 课程”．则2435C 3()C 5P C ==．X 的可能取值为：0,1,2,3．1224(0)()35575P X P ABC ===⨯⨯=(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2221321232035535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．(2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2322231333335535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．23318(3)()35575P X P ABC ===⨯⨯=．X 为分布列为：4()0123757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．能力提升1.如果~(5,0.1)B ξ,那么P (ξ≤2)=( ) A .0.0729 B .0.00856 C .0.91854 D .0.99144[答案] D2.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B3.1盒产品中有9件正品和3件废品,若每次取1件产品,取出后不再放回,则在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望E ξ=______.[答案] 0.34.某射击选手每次射击击中目标的概率为0.8,现在他连续向一个目标射击,直到第一次击中目标为止,则射击次数ξ这一随机变量的数学期望为______.[答案]545.从分别标有数字1,2,3,…,n 的n 张卡片中任取一张,若卡片上数字ξ是随机变量,则ξ的数学期望为______.[答案]12n + 6.(2014湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．[答案] （1）1315(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝13×25＝215，P (X ＝100)＝13×35＝315，P (X ＝120)＝23×25＝415，P (X ＝220)＝23×35＝615.故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615300480132021001401515++===. 7.(2015湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.11[答案] （1）107； （2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，∴1(3,)5X B ， 于是00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()P X C ===，3303141(3)()()125P X C ===，故X 的分布列为 X 的数学期望为()355E X =⨯=. 8.(2014天津)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.[答案] (1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则()120337373104960C C C C P A C ??==.所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.()346310k k C C P x k C -×==()0,1,2,3k =. 所以，随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望()12362103050E X ??=+??.。
标准正态分布的期望
标准正态分布的期望标准正态分布是统计学中非常重要的一种分布形式，它具有许多独特的特性和应用。
在了解标准正态分布的期望之前，我们首先需要了解什么是标准正态分布。
标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，且最高点位于均值处。
标准正态分布在自然科学、社会科学和工程技术等领域都有广泛的应用，因此对于其期望的理解和计算具有重要意义。
标准正态分布的期望，简单地说，就是随机变量在标准正态分布下的平均值。
在数学上，标准正态分布的期望记为E(X)，其中X 表示随机变量。
对于标准正态分布而言，其期望值为0。
这意味着在标准正态分布下，随机变量的平均值为0。
期望是描述随机变量平均取值的一个重要指标，它可以帮助我们理解随机变量的集中趋势。
在标准正态分布中，由于其对称性，期望值处于分布的中心位置，这也符合我们对平均值的直观理解。
标准正态分布的期望还具有许多重要的性质。
首先，期望具有线性性质，即对于任意常数a和b，E(aX + b) = aE(X) + b。
这意味着在计算标准正态分布的期望时，我们可以利用这一性质简化计算过程。
其次，期望也是方差的重要组成部分。
对于标准正态分布而言，方差为1，这与期望为0形成了对应关系。
期望和方差是统计学中两个重要的概念，它们可以帮助我们全面地描述随机变量的分布特征。
在实际应用中，标准正态分布的期望可以帮助我们进行各种统计分析和推断。
例如，在质量控制领域，我们可以利用标准正态分布的期望来评估产品质量的稳定性；在金融领域，我们可以利用标准正态分布的期望来进行风险管理和投资决策。
总之，标准正态分布的期望是统计学中的重要概念，它具有丰富的数学性质和广泛的应用价值。
通过对期望的理解和计算，我们可以更好地理解和分析随机变量的分布特征，为实际问题的解决提供有力的支持。
希望本文对读者对标准正态分布的期望有所帮助，也希望读者能在实际问题中灵活运用这一概念，取得更好的分析和预测效果。
标准正态分布期望
标准正态分布期望标准正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在正态分布中，期望是一个重要的参数，它描述了数据的集中趋势和平均值。
本文将介绍标准正态分布期望的概念、计算方法和实际意义。
首先，我们来了解一下标准正态分布。
标准正态分布又称为Z分布，它是均值为0，标准差为1的正态分布。
其概率密度函数为：f(x) = (1 / √(2π)) e^(-x^2/2)。
其中，e是自然对数的底，π是圆周率。
在标准正态分布中，期望μ=0，标准差σ=1。
这意味着大部分的数据集中在均值附近，并且数据的分布是对称的。
接下来，我们来看一下标准正态分布期望的计算方法。
在标准正态分布中，期望μ=0，这意味着数据的平均值为0。
这并不意味着所有的数据都等于0，而是指数据集中在0附近。
我们可以使用积分的方法来计算标准正态分布的期望。
标准正态分布的期望可以表示为：E(X) = ∫x f(x) dx。
其中，E(X)表示随机变量X的期望，f(x)是概率密度函数。
通过对概率密度函数进行积分，我们可以得到标准正态分布的期望。
标准正态分布期望的实际意义在于描述数据的集中趋势和平均值。
在实际应用中，我们可以使用标准正态分布期望来进行数据分析和推断。
例如，在质量控制中，我们可以使用标准正态分布期望来评估产品的质量是否符合标准要求；在市场营销中，我们可以使用标准正态分布期望来分析消费者的购买行为和偏好。
总之，标准正态分布期望是统计学中一个重要的概念，它描述了数据的集中趋势和平均值。
通过对标准正态分布期望的理解和计算，我们可以更好地进行数据分析和推断，为实际问题的解决提供有力的支持。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
正态分布的方差公式推导
正态分布的方差公式推导正态分布的方差公式推导过程如下：1、设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]其实就是均值是u，方差是t^2。
2、于是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t（*）积分区域是从负无穷到正无穷，下面出现的积分也都是这个区域。
3、（1）求均值对（*）式两边对u求导：∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0把(u-x)拆开，再移项：∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx也就是∫x*f(x)dx=u*1=u这样就正好凑出了均值的定义式，证明了均值就是u。
4、(2)方差过程和求均值是差不多的，我就稍微略写一点了。
5、对(*)式两边对t求导：∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π移项：∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2也就是∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。
6、扩展资料：若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
7、其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
8、当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
9、在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。
10、为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。
11、由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。
正态分布特征函数
正态分布特征函数
正态分布的分布函数：若随机变量X服从一个位置参数为μ、尺度参数为σσ的概率分布，且其概率密度函数为f(x)=12π√σe(xμ)22σ2。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
正态分布特征函数特性：
1）集中性：曲线的最高峰位于正中央，且位置为均数所在的位置。
2）对称性：正态分布曲线以均数所在的位置为中心左右对称且曲线两段无线趋近于横轴。
3）均匀变动性：正态分布曲线以均数所在的位置为中心均匀向左右两侧下降。
4）曲线与横轴间的面积总等于1。
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正态分布的数学期望与方差
正态分布：
密度函数为：分布函数为
的分布称为正态分布，记为N(a, σ2).
密度函数为：
或者
称为n元正态分布。
其中B是n阶正定对称矩阵，a是任意实值行向量。
称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。
（1）验证是概率函数（正值且积分为1）
（2）基本性质：
（3）二元正态分布：
其中，
二元正态分布的边际分布仍是正态分布：
二元正态分布的条件分布仍是正态分布：
即（其均值是x的线性函数）
其中r可证明是二元正态分布的相关系数。
（4）矩，对标准正态随机变量，有
（5）正态分布的特征函数
多元正态分布
（1）验证其符合概率函数要求（应用B为正定矩阵，L为非奇异阵，然后进行向量线性变换）
（2）n元正态分布结论
a) 其特征函数为：
b) 的任一子向量,m≤n 也服从正态分布，分布为其中，为保留B 的第，…行及列所得的m阶矩阵。
表明：多元正态分布的边际分布还是正态分布
c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵，即
表明：n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定
d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关
e) 若，为的子向量，其中是，的协方差矩阵，则是，相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。
则相互独立的充要条件为＝0
f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服
从一元正态分布
表明：可以通过一元分布来研究多元正态分布
g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵，则服从m元正态分布
表明：正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称正态变量的线性变换不变性
推论：服从n元正态分布N(a,b)，则存在一个正交变化U，使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量，他的数学期望为Ua，而他的方差分量是B的特征值。
条件分布
若服从n元正态分布N(a,b)，，则在给定下，的分布还是正态分布，其条件数学期望：
(称为关于的回归)
其条件方差为：
（与无关）。