偏微分方程第一章答案(Harold著葛显良译)
(整理)偏微分方程word电子讲义.
偏微分方程偏微分方程是一个非常广泛的课题，它包含分析的许多方面内容。
就我们现在的知识水平来说，我们只了解很少一点东西。
从十八世纪初开始，人们就开始结合物理、力学问题来研究偏微分方程，最早研究的几个方程是弦振动方程、热传导方程及调和方程，这部分理论已经被彻底地研究了，而且近乎完备，把它们称为偏微分方程的古典理论。
十八世纪后期在连续介质力学中研究流体的运动规律，在考虑流体的粘性时，描述运动规律的方程称为Navier-Stokes方程组，而在不计流体的粘性时，称为Euler方程组。
在此时期，描述弹性体运动规律的方程称为Saint Venant方程组。
到了十九、二十世纪，人们发现了描述电磁场运动规律的Maxwell方程组，描述微观粒子运动规律的Schrodinger方程及Dirac方程组，广义相对论中确定引力场的基本方程Einstein方程以及基本粒子规范场理论的基本方程Yang-Mills方程，在微分几何中研究极小曲面的极小曲面方程等等。
随着科学理论变得复杂，所提出的偏微分方程就愈多而且更加变化多端，可能出现的偏微分方程和方程组类型之多是出于想象的。
我们的目的是介绍现代偏微分方程理论中用到的一些技巧和方法。
众所周知，一本偏微分方程的书只能包括已有的基本材料的一小部分，因此我们必须作出选择，如何选择不是立足于逻辑基础上的，这种选择的主观性是相当明显的。
偏微分方程的内容是研究偏微分方程解的各种性质。
通常考虑以下问题1．对单个方程或方程组，应配以怎样的初值条件与边值条件使之具有解，这是解的存在性问题。
在研究解的存在性时，要明确解赖以存在的函数类。
2．解的唯一性或究竟有几个解，要明确使解为唯一的函数类。
3．解的正则性或光滑性。
是否为古典解、强解还是弱解？解具有几阶可微性？4．解的连续依赖性，必须明确是什么空间、什么范数实现的。
通常考虑的是解关于初、边值或关于方程系数，或在方程为线性时关于自由项的连续依赖性。
5．定解区域与影响区域。
第一章偏微分方程概论
1.1.2 一些典型的常微分方程
一、可分离变量的方程
具有如下形式：
dy f ( x) g ( y )可转化为 dx
1 dy f ( x) g ( y ) dx
两边对x积分（如果可能的话）
得 即
1 dy dx g ( y ) dx
高维情形，把(x，y，z)记
x = (x1, x2, x3), x= (x1, x2, x3 ) 利用傅立叶变换（Fourier）
ˆ (x ) f
其中
f ( x1 , x2 , x3 )eix x dx1dx2dx3
x x = x 1 x1 + x 2 x2 + x 3 x3
2 2 2 u u u 2 u a 2 2 2 2 t y z x 2
1.2.3 初边值问题
对于最典型的求解问题是初始值问题——柯西问题 即：求波动方程的解 u ，使其满足初始条件
u (0, x, y , z ) u0 ( x, y , z ) u (0, x, y , z ) u1 ( x, y , z ) t
三、线性变系数方程
具有如下形式（一阶）
dy p( x) y q( x) dx
相应的齐次方程
dy p( x) y 0 dx
显然是个可分离的方程
dy p( x)dx y
(y 0)
积分得通解
yh(x) = C· exp[-P(x)]
其中：
P ( x ) p ( x ) dx
2 2 2
其中 a>0，a2 = k∕Q ，k是传热系数，Q是热容量。
(完整word版)偏微分方程数值解习题解答案
L试讨论逼近对蘇程詈+若。
的差分沁1)2)q1 二：行口匚1）解：设点为（X ? ，/曲）屮则町=讥心厶）=班勺厶+J + °（工心）（Y ）+0（F ）.ot所以截断误差为：3E=丄 ------ + ---- 「 T h 啰_喟+竺护一 o （F ）T= 0（T + 力”2）解：设点为：（X y ，/林1 ） 3则町=讥勺,_）=以E ，_+1）+ （Y ） +o （巧卩 ot “；：；=班心+1 厶+i ）=叽厶+i ）+滋（ h ）+ * 臥工心）（为 2）+o ox (X)d心;=班心亠心）=班心，/+1）+敕:;D （一力）+ 3 役;D（血 2）+0（亥2）«截断误差为：2舟A 1 ” E= ------------ + ------------ — （―+ _） T h dt dx叭：=班％厶+i ）+敗？心）（_勿+0 @2）〜dx-(史+空八dt dx 呼1_吋】+竺丛Q —O （X ）-(叱 3 +dtdx 22・试用积分插值法推导知铁。
逼近的差分裕式班勺厶叙）一班勺，乩i）+ ——-——£）dtTq2 “-” *\ | (— 4- —)dxdt = | (un t 4- un x)ds = 0* dt & \得-U] /J+U2 r+x^ A-u4 r = 0+JE (j-l? n)F (j,n)G (j^n+l)H (j-l,n+l)^% ~ 的=旳=竹“4 = W/-lMf MTh=h T-T-ll"h + LL r H + ll：4h —LL：N =Op第二章第三章第四章第五章第六章P781.如果①'（0）二0,则称工。
是』（0）的驻点（或稳定:点）-设矩阵A对称（不必正定），求证忑是』（工）的驻点.的充要条件是1心是方程加二&的解B 42・ 试用积分插值法推导知铁。
逼近的差分裕式证： 充分性：①⑻二J 缶)+ 乂(加° -b t ^+—(Ax r x)①'(Ji) = (Ax c - A, x) + A{Ax r x) aEff))S 宀沪若①0)二Q,即(山° 一氛对=0 心怎宀A X Q -h = ()目卩 Ax-b^则帀是方程Ax^b 的解卩 必要性*若心是芳程A^ = b^\解则 Ax a —h - 0 (J 4X 0 — Z?,x) = 0+^◎ (0)=(吐命-b t x) - 0+J所以町是』0)的驻点dpg%3：证明非齐次两点边值间题心現(&)二 e it (E)二 Qu与T 7面的变分间题等价：求血EH 】，认@) = G 使 J(w t ) = min J(y)其中心SiuHU (2)-d』(#) =壬仗站)-(7» —芒⑹戲(D) +而久込叭如(2.13)(提示；先把边值条件齐衩化)+d dxO 字)+梓二/ ax13页证明：令 = w(x) + v(x)其中 w(x) = Q + (x-a)0 w(a) = a yv @) = “v(a) = 0 v(^>) = 0®所以2S = 瞥+qu = j DX DX Pd r /w 血、《, 乂 、 f"丁〔P(T + ：F)]+Q(W + V )" ax dx ax* 丫 d z dv. 产 / d dw 、 豪 令 = - — O —) +(?v = /-(- —^> — +^w) = y;^ ax ax dx ax 所以(1)的等价的形式2厶” =一?0 字)= 卩ax axu(a) = a u\b) = 0a其中久=/-(-£■去字+0W )"ax ax 则由定理22知，讥是辺值间题（2）的解的充要条件是 且满定变分方程"ogf)-C/i 小 0 Vve^Pr (Zv> 一 /j )tdx + p @»： (b)f @) ① W = J(u) = J(u.+^)^— a （u^ + 兔，以.+ 无）一（/,功・ +加）［以・（E ）+加@）］ 2 □2=J(认)+ N[a@・,f)-(/,£)-+乙agd-Qfm 沁卜• Q dx dx 「（加•一/）加x +卩@加：（砂@）-卩@）戊@） Ja（3） => （4）所以可证得• 3必要性：若如 是边值间题（1）的解。
第一章--偏微分方程定解问题
第一章 偏微分方程定解问题引言：在研究、探索自然科学和工程技术中，经常遇到各种微分方程。
如牛顿定律22d x dtm g = ------(1) 波动方程 222222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+∂∂∂∂=++∂∂∂∂------(2)热传导方程 2222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+∂∂∂∂=++∂∂∂∂ ------(3) 静电场位方程 2222222(,,)f x y z u u u a x y z ⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭∂∂∂++∂∂∂ ------(4) 激波方程 0u uu t x∂∂+=∂∂ ------(5) 等等。
其中(1)为一维常微分方程；(2)----(4)为三维偏微分方程；(5)为一维偏微分方程。
这些数学中的微分方程均来自物理问题，有着各自的物理背景，从数量关系上反映着相应的物理规律，称为数学物理方程，简称数理方程。
数学物理方程是数学与物理学的交叉分支学科。
从物理上讲它是理论物理的基本工具；在数学上属于应用数学的(偏)微分方程分支。
本课程主要研究和讨论三类数理方程(2)，(3)，(4)的建立(导出)以及几种常用的典型的求解方法。
为了下面研究和讨论的方便，先引入有关微分方程的几个基本概念(术语)。
1. 常，偏微分方程只含一个自变量，关于该变量的未知函数，以及未知函数对该变量的导数的微分方程为常微分方程，如(1)。
含有多个自变量，关于这些变量的未知函数，以及未知函数对这些变量的偏导数的微分方程为偏微分方程，如(2)----(5)。
2. 阶上述(1)----(5)均可改写成如下形式220d x m g dt-= ------(1’) 22230u t a u f -∂∂∆-= -------(2’) 230u ta u f -∂∂∆-= ------(3’)230a u f ∆+= ------(4’)0u u t xu +∂∂∂∂= ------(5’)其中 2223222x y z∂∂∂∆=++∂∂∂，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或u(x,y,z)，f=f(t,x,y,z)或f(x,y,z)。
数学物理方程第一章部分答案
令 ，取极限得在点 的相对伸长为 。由虎克定律，张力 等于
其中 是在点 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为 则作用在杆段 两端的力分别为
于是得运动方程
利用微分中值定理，消去 ，再令 得
若 常量，则得
=
即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：边界条件是齐次ຫໍສະໝຸດ ，相应的固有函数为设将非次项 按 展开级数，得
其中
将 代入原定解问题，得 满足
方程的通解为
由 ，得：
由 ，得
所以
所求解为
6．用分离变量法求下面问题的解：
解：方程和边界条件都是齐次的。令
代入方程及边界条件，得
由此得边值问题
因此得固有值 ，相应的固有函数为
又 满足方程
将 代入，相应的 记作 ，得 满足
解：如图2，设弦长为 ，弦的线密度为 ，则 点处的张力 为
且 的方向总是沿着弦在 点处的切线方向。仍以 表示弦上各点在时刻 沿垂直于 轴方向的位移，取弦段 则弦段两端张力在 轴方向的投影分别为
其中 表示 方向与 轴的夹角
又
于是得运动方程
∣ ∣
利用微分中值定理，消去 ，再令 得
。
7. 验证 在锥 >0中都满足波动方程
=
=
+
=
+
所以
§3混合问题的分离变量法
1.用分离变量法求下列问题的解：
(1)
解：边界条件齐次的且是第一类的，令
得固有函数 ，且
，
于是
今由始值确定常数 及 ，由始值得
所以 当
经典偏微分方程课后习题答案
第四章 抛物型微分方程有限差分法1设已知初边值问题22, 01, 0<(,0)sin , 01(0,)(1,)0, 0 u ux t t x u x x x u t u t t T π⎧∂∂=<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩T ≤, 试用最简显格式求上述问题的数值解。
取h=0.1,r=0.1.0 1/10 2/10 … 1 T 2τ τt解: 1.矩形网格剖分区域. 取空间步长1, 时间2510h =0.00τ=以及0.01τ=的矩形网格剖分区域, 用节点)表示坐标点(,j k (,)(,)j k x t jh k τ=, 0,1,...1/; 0,1,...,/j h k T τ==, 如图所示.显然, 我们需要求解这(1/1)(/1)h T τ+×+个点对应的函数值. 事实上由已知初边界条件蓝标附近的点可直接得到, 所以只要确定微分方程的解在其它点上的取值即可. 沿用记号[]k(,)j j k u x t =。
u 2. 建立差分格式, 对于11,...1; 0,1,...,1Tj k hτ=−=−, 用向前差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式:1122k k k k k1jj j j u u u u u h ++−+=. 变形j τ−−有:1112(12) (k k k kj j j j u ru r u ru r h τ+−+=+−+=(4.1)用向后差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式最简隐格式:111122k k k k k j jj j j u u u u u h τ++++−−+=11+−1kj +,变形有:1111(12) k k k j j j ru r u ru u ++−−−++−= (4.2)(4.1)*0.5+(4.2)*0.5得CN 格式为:111112222k k k k k k k k j jj j j j j j u u u u u u u u h τ+++−+−−++−+=111++−1kj +x x变形有:111111(22)(22) k k k k k j j j j j ru r u ru ru r u ru ++−−+−−++−=+−+ (4.3)3 初边界点差分格式处理.对于初始条件u x (,0)sin , 01=π≤≤h 离散为(4.4)0sin 0,1,...1/j u jh j π==对于边界条件离散为(0,)(1,)0, 0 u t u t t T ==≤≤00 0,1,.../k k N u u k T τ===(4.5)总结: 联立方程(4.1)(4.4)(4.5)得到已知问题的最简显格式差分方程组:11100(12)1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N u ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ+−+⎧=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.2)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的最简隐格式差分方程组:1111100(12) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N ru r u ru u T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+⎧−++−=⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.3)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的CN 格式差分方程组:11111100(22)(22) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k k j j j j j jk k N ru r u ru ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+−⎧−++−=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩1k j + 4 求解并显示结果利用软件计算(Matlab)如上最简显格式差分方程组.h=1/10;tau=0.0025;T=0.5; r=tau/h^2;M=1/h+1;N=T/tau+1; u=zeros(M,N);for m=1:Mu(m,1)=sin((m-1)*h*pi); endu(1,1:N)=0;u(M,1:N)=0;for n=1:N-1for m=2:M-1u(m,n+1)=r*(u(m+1,n)+u(m-1,n))+(1-2*r)*u(m,n); end end u=u’ 这样我们就计算出不同时刻不同位置k t j x 对应的函数值(,)j k u x t 取tau=0.0025, 即r=0.25绘图, 取tau=0.01, r=1再绘图,如图()图4.2 习题1数值解图示(左r=0.25, 右r=1)2.试构造初边值问题 ()()()()(), 0.51, 0,,0, 0.51,0.5,0, 1,0.51,, 0u u x x x T t x x u x x x u ⎪∂u t t u t t T x ϕ⎧∂∂∂⎛⎞=<<<≤⎜⎟⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪=≤≤⎨⎪==−≤≤⎪∂⎩的显格式，并给出其按最大范数稳定的充分条件。
精编微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)资料
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e=0，而（e ×'e 2)=22'e e -(e·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
偏微分方程课件 云南财经大学
二阶拟线性偏微分方程 二阶拟线性偏微分方程 三阶拟线性偏微分方程
在拟线性偏微分方程中, 由最高阶偏导数所组成的那一部 分, 称为方程的主部; 若主部内的系数都是常数或是自变量的 已知函数, 这时方程被称为是半线性的。
如果给定一个函数 u (x) , 将它及它对自变量的各阶偏导
数代入方程(1.1.1), 能使(1.1.1)成为恒等式, 则称函数是偏微分方 程(1.1.1)的解。
我们知道, 一个常微分方程如果有解, 就必有无穷多个解, 其表现形式是依赖于一个或几个任意常数的通解. 于是自然会 想到偏微分方程的通解也会含有任意元素.
它被称为三维Laplace方程。
利用Laplace算子
2 x2
2 y2
2 z2
，三维Laplace方程写成
u 0
对于函数 u u(x1, x2, , xn ,t) 的n维Laplace方程，利用
Laplace算子
2 x12
2 x22
2 xn2
则偏微分方程的一般形式为
实自变量 未知函数
5
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《偏微分方程》第一章 绪论 第6页
其中是F自变量x，未知函数u及u的有限多个偏导数的已知函数. 例如关系式
等都是偏微分方程.
6
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《偏微分方程》第一章 绪论 第7页
1.1.2. 偏微分方程的解
m
北航偏微分第一章习题解答
一、偏微分方程建立1：在弦横振动的问题中，若弦受到一与速度成正比的阻力，试导出弦的阻尼振动方程。
解：（1）如图1.1所示，Δ考虑弦中任意小段x的受力情况。
x1.1图依题意，设单位长弦线所受的阻力为t（表示的是阻力常数），则在振动过程中，bu b x Δ221cos cos T T 段所受到的纵向的力为1αα−1()t bu x x ，所受到的横向的力为x 221sin sin T T α−αη−+ΔΔ其中10η<2T ≤，和分别表示的是1T x Δ段两端受到的拉力。
（2）由题意，弦仅做横向运动，而无纵向振动，于是由Newton 运动定律得到：2212211cos cos sin sin ()t t T T T T bu x x ααααη−=⎧⎨10()t x u x x x ρη−−+ΔΔ⎩=+ΔΔ ρ表示的弦线的密度，表示的弦线的加速度。
tt u 其中（3）在小振动的情况下，有：1122n (u x sin tan (,),sin ta ,)x x u x t x t αα≈=≈21cos cos 1α=+Δ，ααα≈=()tt x x u x x xη于是，方程就化为：1221(,)(,)()x x t T T T T u x x t T u x t bu x ηρ⎧⎪==⎨+Δ−−+ΔΔ⎪⎩令=+ΔΔ 即可以化成：(,)(,)x x t t u x x t u x t T bu x x ρρ()()t x u x x ηη+Δ−−+Δ=+Δ0x Δ→Δ最后令：，得到：2tt t xx u cu a u +=其中2a ,T bc ρρ==。
2．细杆或弹簧受到某种外界原因而产生纵向振动，以)表示静止时在(,u x t x 点处在时刻 离开原位置的偏移，假设振动过程中所发生的张力服从虎克定律，试证明)满足方程t (,u x t 2222()u u x E t xρ∂∂=∂∂(其中)x ρ为杆的密度，为杆的杨氏模量。
数学物理方程课后参考答案第一章
第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。
现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。
在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ令0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。
由虎克定律，张力),(t x T 等于),()(),(t x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu () 若=)(x s 常量，则得22)(tu x ∂∂ρ=))((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
1 偏微分方程定解问题
4
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
如何导出？
导出－ “翻译”
导出步骤: i)确定物理量u； ii)从所研究的系统中划出一个小部分，根据物理规律分 析邻近部分和这个小部分的相互作用； iii)这种相互作用在一个短时间段如何影响物理量u，把 这种影响用算式表达出来。
5
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
常数
z
(x+dx, x+dy, z+dz)
各向同性 取定坐标系
c,k均为常数
y
未知函数： 温度 u(t, x, y, z)
dz dy
(x,y,z) dx
微元分析法 微元 dv=dxdydz
o
x
[t,t+dt]时间段
n
物理定律： 1、能量守恒 Q Q流入 Q放出
2、傅里叶热传导定律
Qn
k
u n
热传导系数
utt a 2uxx 0 其中：a
E
14
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
二、热传导方程的推导
起源：19世纪，傅里叶研究工业中金属加热问题
时提出。
物理模型：空间某个介质或静止流体内温度分布不均
匀，引起热量流动，考虑热运动如何进行。
15
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
理想化假设： 介质均匀
7
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
微元分析法：取微元[x,x+dx]， t时刻
牛顿运动定律： F=ma
dx
2u( x, t ) t 2
u0
T
t,
x
dx
T
t,
x
ch1偏微分方程第一章
在从事热流动的研究中，1822年发表了《热的解析 理论》，在文章中他提出了三维空间的热传导方程，也 就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展 的影响是很大的。
1.4 偏微分方程的发展
现在偏微分方程相关理论及其方法已经应用到各个 自然科学，工程技术领域和社会科学领域中。
由于其特殊的地位，偏微分方程现在是数学领域中 最活跃，最核心的领域之一。在菲尔兹奖获得者中与 偏微分方程研究相关的，就有十位左右的数学家。
y T 在[ t1, t2 ]内产生的冲量：
∫ ( ) T t2 t1
ux (b,t) − ux (a,t)
dt
y [ a, b ]的动量变化为：
∫b a
ρ
(
ut
(
x
,
t2
)
−
ut
(
x,
t1
))
dx
y 在点 x 处 t 时刻外力密度为F(x, t), 则F(x, t)在微弦段
[ a, b ]上[ t1, t2 ]内产生的冲量
PDE的解
区域内有m阶连续偏导数的函数.
广义解 (弱解)
PDE的分类 线性PDE 非线性PDE
半线性PDE 拟线性PDE 完全非线性PDE
线性PDE： PDE中关于未知函数及其各阶偏导数都 是线性的。例如：
∑ ∑ n aij ( x1 ,
i , j=1
∂2u , xn ) ∂xi∂x j
+
n
bj ( x1,
AB
x1 x2
下面利用 Fourier 热力学定律和能量守恒定律来建 立热传导方程。
由Fourier 热力学定律，单位时间单位面积内通过A 端的热量为
Qx1
偏微分方程总复习和课后习题答案
由牛顿第二定律，得
Tu x (b, t ) Tu x (a, t )
b b a b u 2u R dx ( x) 2 dx a t t
b b 2u u 2u a T x2 dx a R t dx a ( x) t 2 dx
T 2 弦是均匀的，故 为常数，记 a ,
四、其他混合问题
五、分离变量方法
第一章、第二章习题答案
习题1 P14
1 (2)，(3)，(5)，(7)； 2； 3 习题1 P14
1 (2) 二阶线性非齐次方程 (3) 一阶拟线性齐次方程 (5) 二阶线性非齐次方程
(7) 四阶拟线性非齐次方程
习题2 P33
1
1.解：取弦的平衡位置为OX轴，运动平面为XOU
度升高所需热量 为
u(x,t) 为 x 处 t 时刻温度， 为杆密度
x
x+x
Q c( Ax)[u ( x, t t ) u ( x, t )]
t 0
Q cAut xt
n
x
n
x+x
大小
x
q ku
u q k n
（2）、Furier s 实验定理：单位 时间内流过单位 面积的热量 q (热 流强度量）与温 度的下降成正比
复习课
一、基本概念
1. 偏微分方程的定义P1 2. 偏微分方程的阶数，线性、拟线性、完全非线性 偏微分方程的定义P10 3. 偏微分方程的适定性P23
二、方程的导出，分类与化简
三、公式的直接应用题
1. 2. 3. 4. 5. 达朗贝尔公式P36 公式P42 傅里叶（逆）变换P106 P110例 4.1.7结论 泊松公式P112
数学物理方程_谷超豪_第一章答案
( x)s( x) x utt ( x, t ) ESu x ( x x) | x x ESu x ( x) | x
( x)s( x)utt ( ESu x ) x
即
利用微分中值定理，消去 x ，再令 x 0 得
u ∣ x 0 k[u(0, t ) v(t )] x u ( u ) ∣ x 0 f (t ). x E
即对任何 x, G(x) C 0 又
1 1 x C G（x）= ( x) ( )d x 2 2a 0 2a
x 2 ]的影响区域以外不发生变化；
（2） 在 x 轴区间[ x1 , x 2 ]上所给的初始条件唯一地确定区间[ x1 , x2 ]的决定区 域中解的数值。 证： （1） 非齐次方程初值问题的解为 u(x,t)= [ ( x at ) ( x at )]
Gx
1 h x x 1 h d c 2 2a x 2
o
x
v h x u u v , h x 2 u h x u x x x x
u v u u 2v [(h x) 2 (u ) (h x) (h x) 2 (h x)(u 2 ) x x x x x x
其中
x 0 ，取极限得在点 x 的相对伸长为 u x ( x, t ) 。由虎克定律，张力 T ( x, t ) 等于
T ( x, t ) E ( x)u x ( x, t )
其中 k 为支承的刚度系数。由此得边界条件
(
k E
特别地，若支承固定于一定点上，则 v(t ) 0, 得边界条件
x a ( t ) 1 + xa(t ) f ( , )dd . 2a 0 t
微分方程数值解第一章答案
31
总结：基本步骤
① 对区间作分割： I : t0 t1
tn T
求 y(x) 在xi 上的近似值yi。 目的 ② 由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。 这个方程应该满足： A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容
关键 ③ 解差分方程，求出格点函数
32
为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值， 需要知道如下几个结论： ① 步长充分小时，所得到的数值解能否逼近 问题得真解；即收敛性问题 ② 误差估计 ③ 产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会 无限制扩大；稳定性问题
23
数值方法的基本问题
• • • • 截断误差(局部、整体) 相容性 收敛性 稳定性
24
局部截断误差
设u(t)是初值问题(1)的解, 在[t,t+h]上定义算子
R(t , u; h) u(t h) u(t ) hf (t , u(t ))
那么, R(t, u;h)称为局部截断误差 如果t=tn,局部截断误差也记为
33
数值求解微分方程过程示意
区域剖分
微分方程离散
微 分 方 程
初始和边界条件处理
离散系统的 性态研究
解的存在性、唯一性
解的收敛性和收敛速度
解的稳定性
递推计算或解线 性代数方程组
得到数值解
34
作业
1 利用Euler方法求数值解
初值问题u ' 30u, u(0) 1
步长h=0.1, 解区间[0,0.5]
u(tk ) uk , k 0,1, n 未必成立, 且一般 u(tk ) uk , k 0,1, n
26
截断误差
• 局部截断误差Rn：假设第n步精确计算的前 提下，计算解un+1和精确解u(tn+1)的误差 • 整体截断误差n：在考虑误差累积的效应 下，计算解un和精确解u(tn)的误差
偏微分方程
3
(3)式的一对实解(u, v )组成复变元z = x + iy 的解析函数 f (z ) = f (x + iy ) = u(x, y ) + iv (x, y ). ♣ 也可以把(u(x, y ), −v (x, y ))看成无旋不可压缩流体的速度场。 ♣ 不可压缩无旋流的速度势、重力场、电场以及处于热平衡状态的温度分布场均满 足n = 3时的方程(2)。 例2. 波动方程（wave equation） utt = c2 ∆u (c > 0常数), 其中u = u(t, x1 , · · · , xn )。 ♣ n = 1 : 弦的振动，波在管中的传播波，c表示传播速度。 n = 2 : 浅水面上的水波。 n = 3 : 声波或光波。 (5) (4)
|xθ |2 xtt − 2 xt , xθ xtθ + (|xt |2 − 1)xθθ = 0.
(14)
例10. 密度为ρ的二维定态绝热无旋等熵流的速 .度 . φ(x, y ) (其速度分量为φx , φy )满 .势 足下述二阶拟线性方程
−2 −2 2 (1 − c−2 φ2 x )φxx − 2c φx φy φxy + (1 − c φy )φyy = 0,
1
绪 言
§ 1.
•
基本概念
偏微分方程（PDE）
关于函数u(x, y, · · · )的PDE是形如 F (x, y, · · · , u, ux , uy , · · · , uxx , uxy , · · · ) = 0 的关系式，其中F 是自变量x, y, · · · ,未知函数u以及u的有 限多个偏导数的已知函数。 ::::: • 解(solution)： 称u是(1)的::: 解，如果把u(x, y, · · · )及其相应的偏导数代入(1)式后，在x, y, · · · 空间的 某个区域Ω中(1)式关于这些变量恒等地成立。 ♣ 除非有相反的说明，在本课程中我们总是要求x, y, · · · 是实的，u以及在方程(1)中 (1)
第一章 作业解答
解方程得
u F
其中F(ξ)为ξ的任意函数。
两边同时对 ξ 积分得
u
代回原变量得
y u x, y xy xy x
其中φ,ψ 为两个任意二次可微函数。至此求得方程的通 解。
1-5
求方程
y u xx - x u yy 0, xy 0
c v x vt x vt 2 y 2 z 2 3 c 2 4 Dt 2t t 2 Dt c c x vt 2 Dt x 2 x vt 2 1 c 2 c x 4 D 2t 2 2t 2 2 c c y 1 2 2 y 2 4D t 2t 2 z2 1 c c 2 2 z 2 2t 4D t
2 2
a11 2a12 a22 y x y x
2
0
2
原方程
2u 2u 2u u u a11 2 2a12 a22 2 b1 b2 cu f x xy y x y
u u f3 n S
其中σ是常数，f3为已知函数。
（2） 判断一个定解问题是否合理，是否能够描述一个给定 的物理状态，一般有三个标准： •解的存在性 所给的定解问题有解； •解的唯一性 所给的定解问题只有一个解； •解的稳定性 当定解条件以及方程中的系数有微小变动时， 相应的解也只有微小变动。解的稳定性也称为解关于参数的 连续依赖性。 如果定解问题的解存在、唯一且稳定，就称这个定解 问题是适定的。
u S f1
其中f1为已知函数。
•第二类边界条件(Neumenn条件) 第二类边界条件是给出未知函数u沿边界S的单位法线 方向n的方向导数值，其一般形式为