简单线性规划问题教案

332简单线性规划问题

“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简

单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视•线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益•它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题•中学

所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法一一数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力

依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等

价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知

识内容定为了解层次

本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材

本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力

教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答•解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解•为突

出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化课时安排2课时

三维目标

一、知识与技能

1. 掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；

2. 运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题I

二、过程与方法

1. 培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；

2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.

三、情感态度与价值观

1. 通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、

归纳等数学能力；

2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于

创新.

第1课时

复习

1 •师：请大家找出不等式1 >0表示的平面区域

（生回答）

2.判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法（选点法）

导入新课| x亠y -1 >0

画出二兀一次不等式组x - y -1 <0

x-3y 3 >0

师如何将上述不等式组表示成平面上的区域?

教师画出直线，学生找到平面区域

教师提出三个问题

冋题1:在上述平面区域内x有无最大（小）值？（生回答）

冋题2：在上述平面区域内y有无最大（小）值？（生回答）冋题3:在上述平面区域内2y有无最大（小）值？根据问题3引入基本概念

线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性

规划问题.

可行解：满足线性约束条件的解（x, y）叫可行解；可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。

教师精讲

1 1 1 1

师把2y变形为y - - - x •- z,这是斜率为--，在y轴上的截距为- z的直线.当z

2 2 2 2

变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来

生当z变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）

师由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1, 2）〕，就能确定

1 1

一条直线y x •-z，这说明，截距z可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可

2 2

1 1

教学过程

表示平面区域。

以看到直线y = — - x • — z与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截

2 2

距？最大时，z取最大值，当截距-最小时，z取最小值，因此，问题转化为当直线

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1 1

y=「—x，— z与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P,使直线

2 2

经过P时截距-最大或最小I

2

1 1

由图可以看出，当直线y =—x -z经过直线x-y-1=0与直线x-3y・3 = 0的交点

2 2

z 1 1

A(3, 2)时，截距—最大，最大值为7；当直线y = 一-x • —z经过直线x • y-1 = 0与

2 2 2

直线x — y — 1 =0的交点B( 1，0)时，截距-最小，最小值为1.

2

总结解线性规划问题的步骤：

(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域；

(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共

点且纵截距最大或最小的直线；

(3)求：通过解方程组求出最优解；

(4)答：作出答案。

练习

1解下列线性规划问题：

求2的最大和最小值，使x、y满足约束条件：

「y w x

x y W1

y > 1

教师引导学生找出平面区域，并引导学生利用平移思想找到取得最大和最小值的点，学生计算出点的坐标，代入求出最值。

课堂小结

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域；

(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共

点且纵截距最大或最小的直线；

(3)求：通过解方程组求出最优解；

(4)答：作出答案。

布置作业

3.课本91页练习1 ( 2)

板书设计教学反思