斯托克斯公式环

求向量场
沿曲线
（从z轴的正方向看去，L为逆时针方向）的
环流量.
解 L的参数方程为
二、向量场的环流量与旋度
于是
在π上令Γ收缩到点M,若 存在，则称此极限值为向量场A在点M处沿n方向的方向旋量.
由斯托克斯公式及积分中值定理可知
二、向量场的环流量与旋度
其中
因此,如果记向量
则
这个式子表明，左端的极限值等于向量T在
二、向量场的环流量与旋度
斯托克斯公式可写为
斯托克斯公式表明,向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量等于向 量场A的旋度场通过Γ所张的曲面Σ的流量，这里Γ和Σ的正向符合 右手规则.
二、向量场的环流量与旋度
【例4】
求向量场 解
的旋度.
谢谢聆听
一、斯托克斯公式
【例2】
求
其中Γ是曲线 从z轴正向看去Γ的方向是逆时针方向.
解 设Σ是曲面x2+y2=2z上以Γ为边界的有限部分，Σ的 单位法向量为 其法向量与z轴正向的夹角为锐角，由斯托克斯公式得
一、斯托克斯公式
二、向量场的环流量与旋度
设有向量场
其中函数P,Q,R均连续，Γ是A的定义域内的一条分段光滑的 有向闭曲线，τ是Γ在点x,y,z处的单位切向量，则积分 称为向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量.
斯托克斯公 式环
流量与旋度
一、斯托克斯公式
平面上封闭曲线的曲线积分与其围成的平面区域 上的二重积分之间的关系可用格林公示来表示，沿空 间封闭曲面的曲面积分与其所围成的空间闭区域上的 三重积分之间的关系可用高斯公式来表示，而斯托克 斯公式则建立了沿空间曲面Σ的曲面积分与沿Σ的边界 曲线Γ的曲线积分之间的联系.
由两类曲线积分的联系，环流量又可表达为
二、向量场的环流量与旋度
在向量场A中任取一点M，过点M作一平面π，在平面π 上任取一包围点M的光滑闭曲线Γ，取Γ的方向与平面π的法向 量n符合右手规则，Γ所围区域D的面积记为S(D),则 表示向量场A沿平面曲线Γ绕n旋转的平均环量.
二、向量场的环流量与旋度
【例3】
该向量n上的投影，而向量T只与向量场A有关，为此称向量T是向量 场A在点M的旋度，记为rot A(M),则
二、向量场的环流量与旋度
利用向量微分算子Δ，向量场A的旋度rot A可表示为Δ×A，即
二、向量场的环流量与旋度
旋度具有下列性质： (1)Δ×CA=CΔ×A(C为常数). (2)Δ×(A+B)=Δ×A+Δ×B. (3)Δ×uA=uΔ×A+Δu×A(u为数量函数). (4)Δ·(Δ×A)=0. (5)Δ×Δu=0(u为数量函数).
其中Γ是曲 从z轴正向看去Γ的方向是顺时针方向.
一、斯托克斯公式
解法1
令x=cos θ,y=sin θ，则 z=2－x+y=2－cos θ+sin θ，
所以
一、斯托克斯公式
解法2
设Σ是平面x－y+z=2上以Γ为边界的有限部分，其法向量与z轴 正向的夹角为钝角，Dxy为Σ在xOy面上的投影域.由斯托克斯公式得
（10-16）
Baidu Nhomakorabea、斯托克斯公式
公式(10-16)称为斯托克斯公式. 斯托克斯公式还可写为
其中n=cos αi+cos βj+cos γk为有向曲面Σ在点(x,y,z)处的单位 法向量.
一、斯托克斯公式
根据两类曲面积分间的关系，有
（10-18）
一、斯托克斯公式
证明
先证明 （10-17）
假定Σ与平行于z轴的直线相交不多于一点，并设Σ为 曲面z=f（ x,y ）的上侧，Σ的正向边界曲线Γ在xOy面上的 投影为平面有向曲线C，C所围成的闭区域为Dxy.
由第二类曲线积分的定义及格林公式,有
一、斯托克斯公式
又有向曲面Σ的法向量的方向余弦为
因此
故
即 （10-19）
一、斯托克斯公式
比较式(10-18)和式(10-19)，可知式(10-17)成立. 如果Σ取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那么式(10-17) 两端同时改变符号，因此式(10-17)仍成立. 同样可证
一、斯托克斯公式
在给出斯托克斯公式之前，先对有向曲面Σ的侧与 其边界曲线Γ满足右手法则规定如下：当右手除拇指外 的四指依Γ的绕行方向时，拇指所指的方向与Σ上法向 量的指向相同，这时称Γ是有向曲面Σ的正向边界曲线.
一、斯托克斯公式
定理
设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光 滑的有向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手规则，函数P （x,y,z）,Q （x,y,z）,R （x,y,z）在曲面Σ（连同边界Γ）上具有 一阶连续偏导数，则有
（10-20） （10-21）
一、斯托克斯公式
将式(10-17)、式(10-20)和式(10-21)相加即得公式 (10-16).
若曲面与平行于z轴的直线交点多于一个，则可用一些 光滑曲线把Σ分成若干小块，使每小块能用这种形式来表示， 因而这时式(10-16)也成立.
一、斯托克斯公式
【例1】
求 线