高等数学上模拟试卷和答案
完整)高等数学考试题库(附答案)
完整)高等数学考试题库(附答案)高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）。
1.下列各组函数中，是相同的函数的是（）。
A）f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnxB）f(x)=|x|和g(x)=x^2C）f(x)=x和g(x)=x^2/xD）f(x)=2|x|和g(x)=1/x答案：A2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续，则a=（）。
A）1B）0C）-1D）2答案：A3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为（）。
A）y=x-1B）y=-(x+1)C）y=(lnx-1)(x-1)D）y=x答案：C4.设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处（）。
A）连续且可导B）连续且可微C）连续不可导D）不连续不可微答案：A5.点x=0是函数y=x的（）。
A）驻点但非极值点B）拐点C）驻点且是拐点D）驻点且是极值点答案：A6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是（）。
A）只有水平渐近线B）只有垂直渐近线C）既有水平渐近线又有垂直渐近线D）既无水平渐近线又无垂直渐近线答案：B7.∫f'(1/x^2)dx的结果是（）。
A）f(1/x)+CB）-f(x)+CC）f(-1/x)+CD）-f(-x)+C答案：C8.∫ex+e^(-x)dx的结果是（）。
A）arctan(e^x)+CB）arctan(e^(-x))+CC）ex-e^(-x)+CD）ln(ex+e^(-x))+C答案：D9.下列定积分为零的是（）。
A）∫π/4^π/2 sinxdxB）∫0^π/2 xarcsinxdxC）∫-2^1 (4x+1)/(x^2+x+1)dxD）∫0^π (x^2+x)/(e^x+e^(-x))dx答案：A10.设f(x)为连续函数，则∫f'(2x)dx等于（）。
A）f(1)-f(0)B）f(2)-f(0)C）f(1)-f(2)D）f(2)-f(1)答案：B二．填空题（每题4分，共20分）。
高数练习题及答案解析
高数练习题及答案解析一、填空题1．设f?ax?by,其中a,b为常数，则f)?.axy?abx?b2y 2．函数z?x2?y2在点处，沿从点到点的方向的方向导数是.1?223．设有向量场A?yi?xyj?xzk，则divA? x1x2114．二重积分dxfdy交换积分次序后为?dyfdx0n5．幂级数?的收敛域为 . [0,6) nn3n?16．已知z?e7．三重积分x?2y，而x?sint,y?t，则33dzesint2t dt其中?是由x?0,x?1,y?0,y?1,z?0,z?3dv? ，所围成的立体.二、计算题21．设a?2,b?5,a与b的夹角为?，向量m??a?17b与n?3a?b相互垂直，求?.3222解：由0?m?n?3?a?a?b?17b?122?5?cos??17?253得??40.2x3yz50垂直的平面方程.3x?y?2z?4?0?ijk?解：直线的方向向量为s?2?31??5,7,1131?22．求过点且与直线?取平面的法向量为n?s，则平面方程为5?7?11?0 即5x?7y?11z?8?0.3．曲面xyz?32上哪一点处的法线平行于向量S?{2,8,1}？并求出此法线方程.解：设曲面在点M处的法线平行于s，令F?xyz?32则在点M处曲面的法向量为n?{Fx,Fy,Fz}?{yz,xz,xy}.由于ns,故有yzxzxy.由此解得81x?4y,z?8y，代入曲面方程，解得M的坐标为，用点向式即得所求法线方程为x?4y?1z?881三、计算题1．设z?xy?xF，其中F为可导函数，求xyx?z?z?y. ?x?y解：zyzyFF, xF xxyzzy2xyxFzxy xynd?ex?1?2．将函数f?展成的幂级数，并求的和. xdx?x?n?1!ex?1111xxn1 解：x2!n!并在内收敛。
12n1n2nfxxxn1,x2!3!n!n?1!ex1nfx!n1x?113．求微分方程y1?,y??2dy的通解. dx解：令y??p,则yp?，原方程化为p??1?p2?dpdxptan1p2y??tandx??lncos?c2四、计算题1．求曲线积分I?22233的值，其中L为x?y?R的正向. ydx?dyL解：记L所围成的区域为D，利用格林公式得2?RI?y3dx?dydxdy?3?dd?LD3R22．求微分方程yy?4xex的通解.解：对应的齐次方程为yy?0，它的特征方程为r?1?0，其根为r1?1,r2??1，该齐次方程的通为Y?C1ex?C2e?x。
专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设f(x)在x0处不连续，则( )A．f’(x0)必存在B．f’(x0)必不存在C．f(x)必存在D．f(x)必不存在正确答案：B解析：f(x)在x0处不连续，是指连续性的三要素之一不满足，因此C、D都不对，由于可导必连续，则不连续必不可导，所以A不对，故选B．知识模块：一元函数微分学2．设函数f(x)=｜x3一1｜φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的( )。
A．充分必要条件B．充分但非必要条件C．必要但非充分条件D．既非充分又非必要条件正确答案：A解析：由φ(1)=0可知即f＋’(1)=f －’(1)=0，所以，f’(1)=0．设f(x)在x=1处可导，因为f(1)=0，所以(x2+x+1)φ(x)=3φ(1)，知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=( ) A．一2f’(0)B．一f’(0)C．f’(0)D．0正确答案：B解析：由于f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=f’(0)一2f’(0)=一f’(0)．知识模块：一元函数微分学4．若f(x一1)=x2一1，则f’(x)等于( )A．2x+2B．x(x+1)C．x(x一1)D．2x一1正确答案：A解析：因f(x一1)=x2一1=(x—1)(x一1+2)，故f(x)=x2+2x，则f’(x)=2x＋2．知识模块：一元函数微分学5．函数y=f(x)可导，则y=f｛f[f(x)]｝的导数为( )A．f’｛[f(x)]｝B．f’｛f’[f’(x)]｝C．f’｛f[f(x)]｝f’(x)D．f’｛f[f(x)]｝f’[f(x)]f’(x)正确答案：D解析：y’(x)=(f{f[f(x)]})’=f’{f[f(x)]}f’[f(x)]f’(x)，故选D．知识模块：一元函数微分学6．设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f’(x)＜0，则下列结论成立的是( )A．f(0)＜0B．f(1)＞0C．f(1)＞f(0)D．f(1)＜f(0)正确答案：D解析：因f’(x)＜0，x∈(0，1)，可知f(x)在[0，1]上是单调递减的，故f(1)＜f(0)．知识模块：一元函数微分学7．设函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f’(x)＞0，若f(a)．f(b)＜0，则y=f(x)在(a，b) ( )A．不存在零点B．存在唯一零点C．存在极大值点D．存在极小值点正确答案：B解析：由题意知，f(x)在(a，b)上单调递增，且f(a)．f(b)＜0，则由零点定理以及单调性可得y=f(x)在(a，b)内存在唯一零点．知识模块：一元函数微分学8．曲线y=( )A．没有渐近线B．仅有水平渐近线C．仅有铅直渐近线D．既有水平渐近线，又有铅直渐近线正确答案：D解析：因=1，所以y=1为水平渐近线，又因=∞，所以x=0为铅直渐近线．知识模块：一元函数微分学9．下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有( )A．f(x)=B．y=C．y=xex，[0，1]D．y=x2一1，[一1，1]正确答案：D解析：A选项中，函数在x=5处不连续；B选项中，函数在x=1处不连续；C选项中，y(0)≠y(1)；D选项中，函数在[一1，1]连续，在(一1，1)可导，y(－1)=y(1)，符合罗尔定理条件，故选D．知识模块：一元函数微分学10．要制作一个有盖铁桶，其容积为V，要想所用铁皮最省，则底面半径和高的比例为( )A．1：2B．1：1C．2：1D．正确答案：A解析：设底面半径为r，高为h，则有V=πr2h，S=2πrh＋2πr2=+2πr2，S’(r)=一＋4πr=，由于驻点唯一，必是最值点，此时h=，则r：h=1：2．知识模块：一元函数微分学填空题11．设函数y=sin(x一2)，则y’’=________．正确答案：一sin(x一2)解析：因为y=sin(x一2)，y’=cos(x一2)，y’’=一sin(x一2)．知识模块：一元函数微分学12．设函数f(x)有连续的二阶导数且f(0)=0，f’(0)=1，f’’(0)=一2，则=_______．正确答案：一1解析：=一1．知识模块：一元函数微分学13．y=y(x)是由方程xy=ey－x确定的函数，则dy=_______．正确答案：解析：方程两边对x求导，注意y是x的函数，有y+xy’=ey－x(y’一1)，所以y’=．知识模块：一元函数微分学14．函数y=cosx在[0，2π]上满足罗尔定理，则ξ=_________．正确答案：π解析：y’=一sinx，因函数在[0，2π]上满足罗尔定理，故存在ξ∈(0，2π)，使一sinξ=0，故ξ=π．知识模块：一元函数微分学15．若函数f(x)在[0，1]上满足f’’(x)＞0，则f’(0)，f’(1)，f(1)一f(0)的大小顺序为_________．正确答案：f’(1)＞f(1)一f(0)＞f’(0)解析：f’’(x)＞0，则f’(x)单调递增，又有拉格朗日中值定理得f(1)一f(0)=f’(ξ)(1一0)=f’(ξ)，ξ∈(0，1)．故有f’(1)＞f’(ξ)＞f’(0)，即f’(1)＞f(1)一f(0)＞f’(0)．知识模块：一元函数微分学解答题16．设f(x)=其中a、b、A为常数，试讨论a、b、A为何值时，f(x)在x=0处可导?正确答案：若函数f(x)在x=0可导，则函数f(x)也连续，故有=f(0)，f＋’(0)=f－’(0)，涉及知识点：一元函数微分学17．设y=，求y’．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学18．设=a，且f’(0)存在，求f’(0)．正确答案：∴f’(0)=a．涉及知识点：一元函数微分学19．求函数x=cosxy的导数．正确答案：等式两边关于x求导，可得1=一(sinxy)(xy)’=一(sinxy)(y+xy’)，整理后得(xsinxy)y’=一1一ysinxy，从而y’=．涉及知识点：一元函数微分学20．已知y=，f’(x)=arctanx2，计算．正确答案：令y=f(μ)，μ=，则涉及知识点：一元函数微分学21．讨论曲线y=的单调性、极值、凸凹性、拐点．正确答案：y=，令y’=0得x=e．而y’’=，令y’’=0，得x=e2．当x→1时，y→∞，则x=1为垂直渐近线．当0＜x＜1时，y’＜0，y’’＜0，故y单调下降，且是凸的．当1＜x＜e时，y’＜0，y’’＞0，故y单调下降，且是凹的．当e＜x＜e2时，y’＞0，y’’＞0，故y单调上升，且是凹的．当e2＜x＜+∞时，y’＞0，y’’＜0，故y单调上升，且是凸的．当x=e时，y有极小值2e，且(e2，e2)是拐点．涉及知识点：一元函数微分学22．设f(x)在[1，e]可导，且f(1)=0，f(e)=1，试证f’(x)=在(1，e)至少有一个实根．正确答案：设F(x)=f(x)一lnx，F(1)=0，F(e)=0，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(1，e)使F’(ξ)=0，即f’(ξ)一=0，所以f’(x)=在(1，e)至少有一个实根．涉及知识点：一元函数微分学23．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证明对任意给定的正数a及b，在(0，1)内必存在不相等的x1，x2，使=a+b．正确答案：因a，b＞0，故0＜＜1，又因f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，由介值定理，必存在ζ∈(0，1)，使f(ζ)=．又分别在[0，ζ]，[ζ，1]上用拉格朗日中值定理，得f(ζ)一f(0)=(ζ一0)f’(x1)，f(1)一f(ζ)=(1一ζ)f’(x2)(其中0＜x1＜ζ＜x2＜1)即有=1－ζ．考虑到1－，并将上两式相加，得=1，即存在不相等的x1，x2使=a+b．涉及知识点：一元函数微分学24．利用拉格朗日中值定理证明：当x＞1时，ex＞ex．正确答案：令f(μ)=eμ，μ∈[1，x]．容易验证f(μ)在[1，x]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在ξ∈(1，x)，使=f’(ξ)，即=eξ，因为ξ∈(1，x)，所以eξ＞e．即＞e，整理得，当x＞1时，ex＞ex．涉及知识点：一元函数微分学25．设a＞b＞0，n＞1，证明：nbn－1(a一b)＜an一bn＜nan－1(a一b)．正确答案：构造函数f(x)=xn(n＞1)，因为f(x)=xn在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，所以，存在一点ξ∈(a，b)使得f’(ξ)==nξn－1，又0＜a＜ξ＜b，故an－1＜ξn－1＜bn－1，所以nan－1＜nξn－1＜nbn－1，即nan－1＜＜nbn－1，整理得nan－1(b一a)＜bn一an＜nbn－1(b一a)．两边取负号得nbn－1(a一b)＜an一bn＜nan－1(a一b)．涉及知识点：一元函数微分学已知函数f(x)=．26．证明：当x＞0时，恒有f(x)+；正确答案：则可知F(x)=C，C为常数．当x=1时，F(1)=C=f(1)+f(1)=，故当x＞0时，F(x)=f(x)+恒成立；涉及知识点：一元函数微分学27．试问方程f(x)=x在区间(0，+∞)内有几个实根?正确答案：令g(x)=f(x)一x，则g‘(x)=一1＜0，故g(x)在(0，+∞)上单调递减，又则g(x)=0在(0，+∞)上有且仅有一个实根，即f(x)=x在(0，+∞)上只有一个实根．涉及知识点：一元函数微分学28．假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的销售量分别是Q1=，Q2=12一x，其中x为该产品在两个市场的价格(万元／吨)，该企业生产这种产品的总成本函数是C=2(Q1+Q2)+5，试确定x的值，使企业获得最大利润，并求出最大利润．正确答案：由已知条件得利润函数为L=(Q1+Q2)x—C=(Q1+Q2)x一2(Q1+Q2)一5=[＋(12－x)](x－2)一5=x2+24x一47，求导得L’=一3x+24，令L’=0，得驻点x=8．根据实际情况，L存在最大值，且驻点唯一，则驻点即为最大值点．Lmax=．82+24．8—47=49．故当两个市场价格为8万元／吨时，企业获得最大利润，此时最大利润为49万元．涉及知识点：一元函数微分学。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷7(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷7(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．在空间直角坐标系中，点P(－1，2，－3)关于Oyz坐标面的对称点是( )A．(1，－2，3)B．(1，2，－3)C．(－1，2，3)D．(－1，－2，－3)正确答案：B解析：关于Oyz坐标面对称即沿x轴移动，因此只有x坐标改变符号，其余不变．答案为B．2．设函数f(x，y)＝y2－x2＋5，则点(0，0) ( )A．是f(x，y)的极小值点B．是f(x，y)的极大值点C．不是f(x，y)的驻点D．是f(x，y)的驻点但不是极值点正确答案：D解析：本题考查函数在某点是否取极值．所以△＝0－(－2×2)＝4≥0，所以(0，0)点不是f(x，y)的极值点，是f(x，y)的驻点．答案为D．3．设区域D是由直线y＝2x，y－3x及x＝1所围成，则二重积分＝( )A．B．C．1D．正确答案：B解析：先画出区域D，如右图阴影部分，则．答案为B．4．方程2y”＋y’－y＝2ex的特解具有形式( )A．dex＋6B．aexC．ax2exD．axex＋bx正确答案：B解析：本题考查微分方程的特解形式．由方程2y”＋y’－y＝2ex知，其特征方程为2λ2＋A—1＝0，所以或－1，所以λ＝1不是特征方程的根，所以特解形式应为aex．答案为B．5．若无穷级数收敛于S．则无穷级数(un＋1＋un)收敛于( )A．SB．2SC．2S一u1D．2S＋u1正确答案：C解析：答案为C．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．过点(0，－4，6)且垂直于平面7x－4y＋3z＋5＝0的直线方程是________．正确答案：解析：由于所求直线垂直于平面7x－4y＋3z＋5＝0故其方向向量可取为v＝{7，－4，3) 又直线过点(0，－4，6)，从而其对称式方程为．7．设二元函数z＝x2－xy＋y2－2x＋y，则z的极小值为________．正确答案：-1解析：z的定义域为xOy平面．它的可能极值点为方程组的解(x，y)＝(1，0)．此时，则A＞0，AC－B2＞0，所以z(1，0)＝－1是极小值，即z有极小值－1．8．设Ω是由坐标平面和平面x—y＋z＝2所围成的区域，则重积分＝________．正确答案：解析：9．设三元函数，则过点A(1，1，1)且与方向l垂直的平面方程为________，其中l是使为最大的方向．正确答案：x＋y＋4z＝6解析：因为使为最大的方向是10．如果的敛散性为________．正确答案：收敛解析：(un＋un)2＝un2＋un2＋2unun≤2(un2＋un2) 因收敛。
考研数学一(高等数学)模拟试卷54(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷54(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设(x+y≠0)为某函数的全微分，则a为( )．A．一1B．0C．1D．2正确答案：D解析：P(x，y)=得a=2，选(D)．知识模块：高等数学2．设L为由y2=x+3及x=2围成的区域的边界，取逆时针方向，则等于( )．A．一2πB．2πC．πD．0正确答案：B解析：取Cr：x2+y2=r2(其中r＞0，Cr在L内，取逆时针)，设由L及Cr—所围成的区域为Dr，由Cr围成的区域为D0，由格林公式得知识模块：高等数学填空题3．设I=dx+xdy，其中L是椭圆4x2+y2=1，L为逆时针方向，则I=___________．正确答案：解析：知识模块：高等数学4．设曲线L：y=(一1≤x≤1)，则∫L(x2+2xy)ds=___________．正确答案：解析：知识模块：高等数学5．∮(x2+2xy+y3)ds=___________，其中L：x2+y2=4．正确答案：8π解析：根据对称性和奇偶性得知识模块：高等数学6．设L：=1，且L的长度为l，则∮L(9x2+72xy+4y2)dx=___________．正确答案：36l解析：由对称性∮L(9x2+72xy+4y2)ds=∮L(9x2+4y2)dx，于是原式=36∮L()ds=36∮Ldx=36l．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7．计算∫L(x2+y2)ds，其中L：x2+y2=a2．正确答案：根据对称性，∫L(x3+y2)ds=∫Ly2ds=∫Lx2ds，则∫L(x3+y2)dx=×2πa=πa3 涉及知识点：高等数学8．∫Leds，其中L为由x轴，x2+y2=4及y=x所围成的第一封限内的区域的边界．正确答案：涉及知识点：高等数学9．计算∫Lxdy一(2y+1)dx，其中(1)L从原点经过直线y=x到点(2，2)；(2)L从原点经过抛物线y=到点(2，2)．正确答案：(1)∫Lxdy一(2y+1)dx=∫02xdx一(2x+1)dx=一∫02(x+1)dx=一4 (2)∫Lxdy一(2y+1)dx=∫02x×dxd一(x2+1)dx=一2 涉及知识点：高等数学10．计算∫L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy，其中(1)L从原点沿直线y=x到点(1，1)；(2)L从原点沿抛物线y=x到点(1，1)．正确答案：(1)∫L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy=∫01(x+x)dx+(x+x)dx =∫01(2x+2x)dx= (2)∫L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy=J(x4+x2)dx+(x4+x)×2xdx =∫01(3x5+3x2)dx= 涉及知识点：高等数学11．计算∫L(3x+2y+1)dx+，其中L为x2+y2=4第一象限逆时针方向部分．正确答案：涉及知识点：高等数学12．利用格林公式计算∫L(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy，其中L是圆周y=(a＞0)上从点A(2a，0)到点O(0，0)的弧段．正确答案：I=∫L(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy 涉及知识点：高等数学13．求I=，其中L为x2+y2=a2上从点A(a，0)沿逆时针方向到点B(一a，0)的有向曲线段，其中a＞0．正确答案：取L0：y=0(起点x=一a，终点x=a)，涉及知识点：高等数学14．计算I=∫L(ex+1)cosydx—[(ex+x)siny一x]dy，其中L为由点A(2，0)沿心形线r=1+cosθ上侧到原点的有向曲线段．正确答案：令L1：y=0(起点x=0，终点x=2)，则涉及知识点：高等数学15．在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从点O到A的积分I=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．正确答案：I=I(a)=∫0π[(1+a3sin3x)+(2x+asinx)．acosx]dx=π一4a+．由I’(a)=4(a2一1)=0，得a=1，I”(a)=8a，由I”(1)=8＞0得a=1为I(a)的极小值点，因为a=1是I(a)的唯一驻点，所以a=1为I(a)的最小值点，所求的曲线为y=sinx．涉及知识点：高等数学16．设Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续的偏导数，且∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，且对任意的t有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．正确答案：因为曲线积分与路径无关，所以=2x，于是Q(x，y)=x2+φ(y)．由∫(0，0)(t，1)+Q(x，y)dy=∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy，得t2+∫01φ(y)dy=t+∫0tφ(y)dy，两边对t求导数得1+φ(t)=2t，φ(t)=2t一1，所以Q(x，y)=x2+2y一1．涉及知识点：高等数学17．设曲线积分∫Lxy2dx+yφ(x)dy与路径无关，其中φ连续可导，且φ(0)=0，计算，∫(0，0)(1，1)xy2dx+yφ(x)dy．正确答案：令P(x，y)=xy2，Q(x，y)=yφ(x)，因为曲线积分与路径无关，所以有，即φ’(x)=2x，故φ(x)=x2+C，因为φ(0)=0，所以φ(x)=x2．∫(0，0)(t，1)xy2dx+yφ(x)dy=∫(0，0)(t，1)xy2dx+x2ydy= 涉及知识点：高等数学18．计算曲线积分，其中L为不经过原点的逆时针光滑闭曲线．正确答案：(2)当0(0，0)在L所围成的区域内部时，作Cr：x2+4y2=r2(其中r＞0，C在L内部，方向为逆时针方向)，再令由L和Cr—所围成的区域为Dr，由格林公式涉及知识点：高等数学19．计算，其中L为x2+y2=1从点A(1，0)经过B(0，1)到C(—1，0)的曲线段．正确答案：P(x，y)=，作上半椭圆C0：x2+4y2=1，方向取逆时针，L与C0—围成的区域为D1，C0与x轴围成的区域为D2，由格林公式得涉及知识点：高等数学20．计算I=在第一卦限的部分．正确答案：涉及知识点：高等数学21．计算位于z=2下方的部分．正确答案：曲面∑在xOy平面上的投影区域为Dxy：x2+y2≤4，涉及知识点：高等数学22．求I=所截的顶部．正确答案：涉及知识点：高等数学23．计算I=介于z=0与z=1之间的部分．正确答案：涉及知识点：高等数学24．计算(x+y2)ds，其中S：x2+y2+z2=2z．正确答案：涉及知识点：高等数学25．设∑：=1(z≥0)，点P(x，y，z)∈∑，π为曲面∑在点P处的切平面，d(x，y，z)为点0(0，0，0)到平面π的距离，计算．正确答案：涉及知识点：高等数学。
高等数学大一上学期试题(含答案)
高等数学（上）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是 ；2、设函数20() 0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ； 4、已知3()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、21lim(1)xx x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ；7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ；8、曲线x y xe =的拐点是 ；9、21x dx-⎰= ；10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+，且a b ⊥，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()()f x d e = 。
二、 计算下列各题（每题5分，共20分）1、11lim()ln(1)x x x →-+ 2、y =y '；3、设函数()y y x =由方程xye x y =+所确定，求0x dy =；4、已知cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩，求dy dx 。
三、求解下列各题（每题5分，共20分）1、421x dx x +⎰2、2sec x xdx ⎰ 3、40⎰ 4、2201dx a x +⎰ 四、 求解下列各题（共18分）：1、求证：当0x >时，2ln(1)2x x x +>-（本题8分） 2、求由,,0xy e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
（本题10分）高等数学（上）模拟试卷二一、填空题（每空3分，共42分）1、函数24lg(1)y x x =-+-的定义域是 ； 2、设函数sin 0()20xx f x xa x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩在点0x =连续，则a = ；3、曲线34y x =-在(1,5)--处的切线方程是 ； 4、已知2()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、31lim(1)xx x →∞+= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)1000)f x x x x x =---……(，则'(0)f = ；8、曲线xy xe =的拐点是 ； 9、32x dx-⎰= ；10、设2,22a i j k b i j k λ=--=-++，且a b ，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()(2)f x d = 。
考研数学一(高等数学)模拟试卷159(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷159(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=，其中g(x)为有界函数，则f(x)在x=0处( )．A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续，但不可导D．可导正确答案：D解析：因为f(0＋0)=，所以f(x)在x=0处连续；=0，即f＋’(0)=0，=0，即f －’=0，因为f＋’=f－’=0，所以f(x)在x=0处可导，应选(D)．知识模块：高等数学2．设在区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f’’(x)＞0，令S1=∫abf(x)dx，S2=f(b)(b 一a)，S3=[f(a)+f(b)]，则( )．A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S3＜S1＜S2D．S2＜S3＜S1正确答案：B解析：因为函数辅导f(x)在[a，b]上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2＜S1＜S3，选(B)．知识模块：高等数学3．f(x)在x0处可导，则｜f(x)｜在x0处( )．A．可导B．不可导C．连续但不一定可导D．不连续正确答案：C解析：由f(x)在x0处可导得｜f(x)｜在x0处连续，但｜f(x)｜在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0处不可导，选(C)．知识模块：高等数学4．设f(x，y)=，则f(x，y)在(0，0)处( )．A．连续但不可偏导B．可偏导但不连续C．可微D．一阶连续可偏导正确答案：C解析：知识模块：高等数学5．设f(x)=ancosnπx(n=0，1，2…；一∞＜x＜+∞)，其中an=2∫01f(x)cosn πxdx，则S()为( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：对函数f(x)进行偶延拓，使f(x)在(一1，1)上为偶函数，再进行周期为2的周期延拓，然后把区间延拓和周期延拓后的函数展开成傅里叶级数，傅里叶级数的和函数为S(x)，则，选(C)．知识模块：高等数学填空题6．设a≠，则=________．正确答案：解析：知识模块：高等数学7．曲面z—ex+2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为_________．正确答案：切平面为π：4(x一1)+2(y一2)=0，即π：2x+y一4=0解析：曲面z—ez+2xy=3在点(1，2，0)处的法向量为n={2y，2x，1一ez}(1，2．0)=｛4，2，0｝，则切平面为π：4(x一1)+2(y一2)=0，即π：2x+y一4=0．知识模块：高等数学8．f(x)为以2π周期的函数，当一π≤x＜π时，f(x)=，设其傅里叶级数的和函数为S(x)，则S(11π)=_________．正确答案：解析：因为f(x)的间断点为x=(2k+1)π(k∈Z)，所以知识模块：高等数学9．设f(x)可导，且∫01[f(x)+xf(xt)]dt=1，则f(x)=________．正确答案：e－x解析：由∫01[f(x)+xf(xt)]dt=1得∫01f(x)dt+∫01f(xt)d(xt)=1，整理得f(x)+∫0xf(μ)dμ=1，两边对x求导得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce－x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e－x．知识模块：高等数学10．设函数y=y(x)满足△y=△x+o(△x)，且y(1)=1，则∫01y(x)dx=________．正确答案：解析：知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖北省专升本(高等数学)模拟试卷7(题后含答案及解析)
湖北省专升本（高等数学）模拟试卷7(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数f(x)的定义域为( )A．(-∞，3)B．(1，+∞)C．(3，+∞)D．(1，3)正确答案：D解析：要使函数有意义，须，求解得：1＜x＜3．2．设极限=e2，则m=( )A．-1／2B．-2C．2D．1／2正确答案：B解析：因=e-m，于是e-m=e2，故m=-2．3．函数f(x)=的间断点情况应为( )A．不存在间断点B．仅存在间断点x=1C．仅存在间断点x=-1D．有两个间断点x=±1正确答案：B解析：当|x|＜1时，f(x)==1+x；当|x|＞1时，f(x)=0；而x=-1，f(x)=0；x=1，f(x)=1，由此可以判断x=1为第一类不可去间断点．4．极限=( )A．∞B．0C．2D．不存在正确答案：C解析：(x+1)=2．选C5．下列说法正确的是( )A．无穷小的和为无穷小B．无穷小的商为无穷小C．两个无穷大的差为无穷小D．无限个无穷大的积为无穷大正确答案：D解析：无限多个(或有限多个)无穷大量的乘积仍是无穷大量．6．下列各组概念中正确的是( )A．若函数f(x)在点x0处间断，则f(x)不存在B．若函数f(x)在[a，b]上可积，则f(x)在[a，b]上连续C．若函数f(x)在点x0处连续，则f(x)在x0点可导D．若函数f(x)在[a，b]上可导，则f(x)在[a，b]上一定可积正确答案：D解析：若f(x)在[a，b]上可导，则f(x)在[a，b]上一定连续，连续函数都是可积的．7．若点(x0，f(x0))为函数f(x)的拐点，则( )A．f”(x0)=0B．f”(x0)不存在C．f”(x0)=0或f”(x0)不存在D．以上说法都不对正确答案：C解析：f”(x0)=0或f”(x0)不存在是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处取得拐点的必要不充分条件．8．函数f(x)=2x3+3x2-12x+1在(-2，1)上是( )A．增函数B．减函数C．有增有减D．常数正确答案：B解析：f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1)，所以当-2＜x＜1时，f’(x)＜0，f(x)在(-2，1)上为减函数．9．设函数y=y(x)由参数方程确定，则dy／dx=( )A．1／2tB．2tC．1D．t正确答案：A解析：10．不定积分∫dx=( )A．B．C．D．正确答案：D解析：11．若f’(x+1)=2x+1，则f(x)=( )A．x2-3xB．x2-xC．x2-3x+CD．x2-x+C正确答案：D解析：f’(x+1)=2x+1=2(x+1)-1，所以f’(x)=2x-1，所以，f(x)=x2-x+C12．下列各式正确的为( )A．B．C．D．正确答案：D解析：广义积分∫1+∞dx当p＞1时收敛，p≤1时发散．13．下列各组函数中，f(x)=g(x)的是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：∫axsintdt=sinx．14．方程x2-y2+z2=1表示( )A．单叶旋转双曲面B．双叶旋转双曲面C．双曲柱面D．锥面正确答案：A解析：其可以看做xOy平面内双曲线x2-y2=a2绕y轴旋转而成．绕虚轴旋转为单叶旋转双曲面，绕实轴旋转为双叶旋转双曲面．15．曲线上任意一点处的切线( )A．与x轴成定角B．与y轴成定角C．与z轴成定角D．以上说法全不对正确答案：C解析：因所以曲线上任一点切线的方向向量为s={x’(t)，y’(t)，z’(t)}而|s|=aea所以切线与z成定角．16．二元函数f(x，y)=在点(0，0)处( )A．连续，偏导存在B．连续，偏导不存在C．不连续，偏导存在D．不连续，编导不存在正确答案：C解析：因不存在(若沿x轴→(0，0)时，极限为0，若沿直线y=x→(0，0)时，极限为1／2，所以在(0，0)点函数无极限)．所以函数在(0，0)点不连续．而=0偏导在(0，0)点存在．17．交换积分顺序I=∫04dx f(x，y)dy后，I=( )A．B．C．D．正确答案：A解析：积分区域D为如图所示：18．下列各式中，表示区域D为x2+y2≤4的面积的是( )A．(x2+y2)dxdyB．4dxdyC．1／2∮cxdy-ydx，其中曲线C为沿x2+y2=4正向一周D．∫02πdθ∫04rdr正确答案：C解析：利用公式，区域D的面积为S=1／2∫Cxdy-ydx，其中C为区域D的边界线正向．19．设P(x，y)，Q(x，y)是连续函数，L从点A(0，1)经点B(1，1)到点C(1，2)的折线段，则曲线积分∫L(P(x，y)+Q(x，y))ds=( )A．∫01P(x，1)dx+∫12Q(1，y)dyB．∫01P(1，y)dy+∫12Q(x，1)dxC．∫12P(1，y)dx+∫01Q(x，1)dyD．∫01[P(x，1)+Q(x，1)]dx+∫12[P(1，y)+Q(1，y)]dy正确答案：D解析：∫L=∫AB+∫BC=∫01[P(x，1)+Q(x，1)dx]+∫12[P(1，y)+Q(1，y)]dy．20．设C为直线段x=x0，0≤y≤3／2，∫C4dy=( )A．4x0B．4C．6x0D．6正确答案：D解析：∫C4dy=4dy=6．21．下列各选项正确的是( )A．B．C．D．正确答案：A解析：因|unvn|≤1／2(un2+vn2)，由题所组条件知级数(unvn)绝对收敛，所以(un2+2unvn+vn2)收敛，即(un+vn)2收敛．22．下列数项级数中，不收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：23．幂级数anxn的收敛半径为R，如果幂级数在x0处收敛，则必有( ) A．R≥x0B．R≤x0C．R≥|x0|D．R≤|x0|正确答案：C解析：因幂级数在x0处收敛，则x0必位于收敛域内部，即有|x0|≤R．24．已知函数y满足微分方程xy’=yln，且x=1时，y=e2，则当x=-1时，y=( )A．-1B．-2C．1D．e-1正确答案：A解析：y’==u，y=xu，所以y’=u+x则两边积分得ln|lnu-1|=ln|x|+lnC，lnu=1+Cx，当x=1，y=e2时C=1，所以特解为ln=1+x；当x=-1时，y=-1．25．微分方程y”-6y’+9y=x2e3x的特解应设为( )A．y*=ax2e3xB．y*=x2(ax2+bx+c)e3xC．y*=x(ax2+bx+c)D．y*=(ax2+bx+c)e3x正确答案：B解析：先求对应齐次方程y”-6y’+9y=0的通解，因特征方程为r2-6r+9=0，r=3为重根，所以齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e3x，由非齐次项f(x)=x2e3x及齐次方程的通解，则原方程特解应设为y*=(ax2+bx+c)x2e3x．26．求=( )A．2B．3／2C．4D．1正确答案：B解析：函数f(x，y)=是初等函数，它的定义域为D=((x，y)|x≠0，y≠0，}，p0(1，2)为D的内点，故存在p0的某一邻域，U(p0)D，而任何邻域都是区域，所以U(p0)是f(x，y)的一个定义域区域，因此27．求函数z=x2y+y2的全微分dz=( )A．(x2+2y)dx+2xydyB．2xydx-(x2++2y)dyC．-2xydy+(x2++2y)dxD．2xydx+(x2++2y)dy正确答案：D解析：因为=x2+2y，所以dz=2xydx+(x2+2y)dy．28．函数f(x)在点z。
高等数学上册试题及参考答案3篇
高等数学上册试题及参考答案高等数学上册试题及参考答案第一篇：微积分1.已知函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$，求$f'(x)$和$f''(x)$。
参考答案：首先，根据对数函数的导数公式$[\lnf(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)}$，我们可以得到$f'(x)$的计算式为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\cdot\frac{\fra c{1}{2}\cdot2x}{\sqrt{(1+x^2)}}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$ 将上式整理化简，得到：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$接下来，我们需要求$f''(x)$。
由于$f'(x)$是由$f(x)$求导得到的，因此$f''(x)$可以通过对$f'(x)$求导得到，即：$$f''(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\sqrt{(1+x^2) }\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\r ight]$$通过链式法则和乘法法则，我们得到：$$f''(x)=\frac{-(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)-\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{2x}{\sqrt{(1+x^2)}}\cdot(\sqrt{ (1+x^2)}+x)^2}{(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$$将上式整理化简，得到：$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $因此，函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$的导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$分别为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $2.计算二重积分$\iint_D(x^2+y^2)*e^{-x^2-y^2}d\sigma$，其中$D$是圆域$x^2+y^2\leqslant 1$。
考研数学一(高等数学)模拟试卷151(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷151(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=，则x=0是f(x)的( )．A．连续点B．第一类间断点C．第二类间断点D．不能判断连续性的点正确答案：B解析：知识模块：高等数学2．设(x+y≠0)为某函数的全微分，则a为( )．A．一1B．0C．1D．2正确答案：D解析：知识模块：高等数学填空题3．设a＞0，且=1，则a=________，b=________．正确答案：a=4，b=1解析：知识模块：高等数学4．设f(x)二阶连续可导，且=1，f’’(0)=e，则=_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学5．∫1＋∞=________．正确答案：解析：∫1＋∞知识模块：高等数学6．设L1：，L2：，则过L1平行于L2的平面方程为_________．正确答案：所求平面为π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0或π：x一3y+z+2=0 解析：因为所求平面π经过L1，所以点M(1，2，3)在平面π上，因为π与L1，L2都平行，所以所求平面的法向量为n=｛1，0，一1｝×｛2，1，1｝=｛1，一3，1｝，所求平面为π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0或π：x一3y+z+2=0．知识模块：高等数学7．设f(x，y)可微，且f1’(一1，3)=一2，f2’(一1，3)=1，令z=f(2x—y，)，则dz｜(1，3)=_________．正确答案：-7dx＋3dy解析：知识模块：高等数学8．设f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续，F(t)==_________．正确答案：2πf(0，0)解析：知识模块：高等数学9．级数的收敛域为________，和函数为________．正确答案：[-2，2)，S(x)=解析：知识模块：高等数学10．微分方程(2x+3)y’’=4y’的通解为_________．正确答案：y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2解析：令y’=p，则dx，两边积分得lnp=ln(2x+3)2+lnC1，或y’=C1(2x+3)2，于是y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2．知识模块：高等数学11．设f(x，y)可微，f(1，2)=2，fx’(1，2)=3，fy’(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)=________．正确答案：47解析：因为φ’(x)=fx’[x，f(x，2x)]+fy’[x，f(x，2x)]×[fx’(x，2x)+2fy’(x，2x)]，所以φ’(1)=fx’[1，f(1，2)]+fy’[1，f(1，2)]×[fx’(1，2)+2fy’(1，2)]=3+4×(3+8)=47．知识模块：高等数学12．=__________．正确答案：解析：知识模块：高等数学13．以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为________．正确答案：y’’’一3y’+4y’一2y=0解析：特征值为λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ一1)(λ一1+i)(λ－1一i)=0，即λ3一3λ2+4λ一2=0，所求方程为y’’’一3y’+4y’一2y=0．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)模拟试卷90(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷90(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在R上连续，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是( ) ①φ[f(x)]必有间断点。
②[φ(x)]2必有间断点。
③f[φ(X)]没有间断点。
A．0。
B．1。
C．2。
D．3。
正确答案：A解析：①错误。
举例：设φ(x)=f(x)=ex，则φ[f(x)]=1在R上处处连续。
②错误。
举例：设φ(x)=则[φ(x)]2=9在R上处处连续。
③错误。
举例：设φ(x)=在x=0处间断。
因此选A。
知识模块：高等数学2．设f(x)=｜x｜sin2x，则使导数存在的最高阶数n=( )A．0。
B．l。
C．2。
D．3。
正确答案：C解析：故f(3)(0)不存在。
因此n=2，选C。
知识模块：高等数学3．设f(x)=aretanx-(x≥1)，则( )A．fx(x)在[1，+∞)单调增加。
B．f(x)在[1，+∞)单调减少。
C．f(x)在[1，+∞)为常数D．f(x)在[1，+∞)为常数0。
正确答案：C解析：按选项要求，先求f’(x)。
又f(x)在[1，+∞)连续，则f(x)=常数=f(1)=。
故选C。
知识模块：高等数学4．若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为( )A．1+sinx。
B．1-sinx。
C．1+cosx。
D．1-cosx。
正确答案：B解析：由f’(x)=sinx，得∫(x)=∫f’(x)dx=∫sinxdx=-cosx+C1，所以f(x)的原函数是F(x)=∫f(x)dx=∫(-cosx+C1)dx=-sinx+C1x+C2，令C1=0，C2=1得F(x)=1-sinx。
故选B。
知识模块：高等数学5．在曲线x=t，y=-t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线( ) A．只有一条。
高等数学基础模拟题答案
高等数学基础模拟题一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． (A)x y = (B)x 轴(C)y 轴 (D)坐标原点2.当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．(A)x 1 (B)x x sin(C)1e -x (D)2x x3.设x x f e )(=，则=∆-∆+→∆x f x f x )1()1(lim 0（B ）．(A)e 2 (B)e(C)e 41 (D)e 21 4.=⎰x x xf x d )(d d 2（ A ）．(A))(2x xf (B)x x f d )(21 (C))(21x f (D)x x xf d )(2 5.下列无穷限积分收敛的是（B ）．(A)⎰+∞0d e x x (B)⎰+∞-0d e x x (C)⎰+∞1d 1x x (D)⎰+∞1d 1x x 二、填空题（每小题3分，共15分）1.函数)1ln(92--=x x y 的定义域是 (1,2)U(2,3］ ．2.函数⎩⎨⎧≤>-=0sin 01x x x x y 的间断点是 X=0 ．3.曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是1/2．4.函数1)1(2++=x y 的单调减少区间是 （－∞，－1） ．5.='⎰x x d )(sin sinx+c ．三、计算题（每小题9分，共54分）1.计算极限xx x 5sin 6sin lim0→． 2.设22sin xx y x+=，求y '． 3.设x y e sin 2=，求．4.设是由方程y x y e cos =确定的函数，求．5.计算不定积分⎰x x x d 3cos ． 6.计算定积分⎰+e1d ln 2x x x ． 四、应用题（本题12分）圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？五、证明题（本题4分）当0>x 时，证明不等式x x arctan >．高等数学基础模拟题答案一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.D2.C3.B4.A5.B二、填空题（每小题3分，本题共15分）1.]3,2()2,1(2.0=x3.21 4.)1,(--∞ 5.c x +sin 三、计算题（每小题6分，共54分）1.解：5655sin lim 66sin lim 5655sin 66sin 56lim 5sin 6sin lim 0000=⋅=⋅=→→→→xx x x x x x x x x x x x x 2.解：由导数四则运算法则得3.解：)e 2sin(e e cos e sin e 2xx x x x y =='4.解：等式两端求微分得左端y x x y x y d cos )(cos d )cos (d +==右端y y y d e )e (d ==由此得整理后得5.解：由分部积分法得6.解：由换元积分法得四、应用题（本题12分）解：如图所示，圆柱体高h 与底半径r 满足 222l r h =+圆柱体的体积公式为将222h l r -=代入得求导得令0='V 得l h 33=，并由此解出l r 36=．即当底半径l r 36=积最大．五、证明题（本题4分）证明：设x x x F arctan )(-=，则有2221111)(xx x x F +=+-=' 当0>x 时，0)(>'x F ，故)(x F 单调增加，所以当0>x 时有0)0()(=>F x F ，即不等式x x arctan >成立，证毕．高等数学基础练习题一、单项选择题：（每小题3分，共15分）1．设函数f (x )的定义域为),(+∞-∞，则函数f (x ))(x f --的图形关于（）对称。
高等数学模拟试题与答案
A.f'(x)B.f'(x)C.f'(x)D.f'(x)baf(x)dx是(a) 27、定积分A.一个常数B.f(x)的一个原函数C.一个函数族D.一个非负常数28、naxyxe，那么高阶导数(n)y (c)A.naxaxnaxae B.n!C.n!e D.!nae29、假设f(x)dxF(x)c，那么s inxf(cosx)dx等于(b)A.F(sinx)cB.F(sinx)cC.F(cosx)cD.F(cosx)c 30、微分方程xy'y3的通解是(b)c3y3ycyx B.x C. A.21,yx x(,0]的反函数是(c) 31、函数c3x D.ycx3A.yx1,x[1,)B.yx1,x[0,)C.yx1,x[1,)D.yx1,x[1,) 32、当x0时，以下函数中为x的高阶无穷小的是(a) A.1cosx B. 2xx C.sinx D.x33、假设函数f(x)在点x0 处可导，那么|f(x)|在点x处(c)A.可导B.不可导C.连续但未必可导D.不连续34、当xx0时,和(0)都是无穷小.当x x时以下可能不是无穷小的是〔d〕A.B.C.D.35、以下函数中不具有极值点的是(c)2yx A.B.2yx C.3yx D. yx 336、f(x)在x3处的导数值为f'(3)2,那么limh0f(3h)f(3)2h(b)33A. 2B.2C.1D.137、设f(x)是可导函数，那么(f(x)dx)为(d)A.f(x)B.f(x)cC.f(x)D.f(x)c38、假设函数f(x)和g(x)在区间(a,b)内各点的导数相等，那么这两个函数在该区间内(d)A.f(x)g(x)x B.相等C.仅相差一个常数D.均为常数二、填空题1、极限limx0x2costdtx=第3页〔共8页〕a2x1x e，那么常数a.2、lim()x022dx3、不定积分xex=.4、设yf(x)的一个原函数为x，那么微分d(f(x)cosx).5、设f(x)x2dxxC ，那么f(x).6、导数ddx x12costd t.7、曲线 3y(x1)的拐点是.8、由曲线 2yx, 24yx及直线y1所围成的图形的面积是.9、曲线yf(x)上任一点切线的斜率为2x并且曲线经过点(1,2)那么此曲线的方程为.10、22f(xy,xy)xyxy，那么ffxy.11、设f(x1)xcosx，那么f(1).12、xa112lim(1)ex，那么常数a. x13、不定积分l nxdx2 x.14、设yf(x)的一个原函数为sin2x，那么微分dy.15、极限limx0x2arcsintdt2x=.16、导数2dxsintdt dx.a17、设0 xtedte ，那么x.18、在区间[0,]x2上由曲线ycosx与直线2 ,y1所围成的图形的面是.19、曲线ysinx在点x23 处的切线方程为.ff20、22fxyxyxy，那么(,)x y.第4页〔共8页〕21、极限limln(1x)sinx01x=22、x1ax2lim()exx，那么常数a.123、不定积分xedx .24、设yf(x)的一个原函数为tanx，那么微分dy.b a f(x)dx0,那么b[f(x)1]dxa25、假设f(x)在[a,b]上连续，且.26、导数d2xsintdt dx.x27、函数y24(x1)2x2x4的水平渐近线方程是.28、由曲线1yyx xx2与直线所围成的图形的面积是.x29、f(3x1)e，那么f(x)=.a,2,3b2,4,30、两向量,平行，那么数量积ab.231、极限l im(1sin)xx x032、973(x1)(ax1)lim8250x(1)x，那么常数a.xsinxdx33、不定积分.34、设函数sin2x ye,那么微分dy.35、设函数f(x)在实数域内连续,那么xf(x)dxf(t)dt.36、导数dx2ttedt dx.a37、曲线y23x4x52(3)x的铅直渐近线的方程为.38、曲线2yx 与2y2x 所围成的图形的面积是.第5页〔共8页〕三、计算题1、求极限：22lim(xx1xx1).x解：lim(11)x2xx2x=x lim(11)x2xx2x/2x= x2、计算不定积分：解：sin2x21sin xdx3、计算二重积分D sinxxdxdy D是由直线yx及抛物线 2yx围成的区域解：4、设zuv而2ln2lnuxyv3x2y.求zxzy解：5、求由方程解：221xyxy确定的隐函数的导数d ydx.第6页〔共8页〕6、计算定积分:2|sinx|dx.解：27、求极限：limx0(x x e) x.解：8、计算不定积分：解：1x 21xedx2x.9、计算二重积分D22(xy)d其中D是由yx,yxa,yay3a(a0)所围成的区域解：10、设u2vze,其中3usinx,vx，求dzdt.解：第7页〔共8页〕dy 11、求由方程yxlny所确定的隐函数的导数解：，dx.f(x) x x2,01,2,01,x,1x2..求x(x)f(t)dt12、设在[0,2]上的表达式. 解：13、求极限：解：limx02x112x.dx14、计算不定积分：解：x lnxlnlnx.第8页〔共8页〕15、计算二重积分D (4xy)dD是圆域222xyy解：16、设z2xyxy，其中y2x3，求dzdt.解：dyy17、求由方程1yxe所确定的隐函数的导数d x. 解：第9页〔共8页〕f(x) 1sin,0,xx20,其它.x(x)f(t)dt求0,18、设内的表达式.在解：19、求极限：limx42x13x.22解：20、计算不定积分：a rctanx11xxdx解：第10页〔共8页〕21、计算二重积分D2xydD是由抛物线px22ypx和直线2(p0)围成的区域解：22、设zyx而txe,2ty1e 求d zdt.解：四、综合题与证明题1、函数21xsin,x0,f(x)x0,x0在点x0处是否连续？是否可导？2、求函数32y(x1)x的极值. 解：第11页〔共8页〕3、证明：当x0时1xln(x1xx.2)122)12证明：4、要造一圆柱形油罐体积为V问底半径r和高h等于多少时才能使外表积最小？这时底直径与高的比是多少？解：5、设f(x)ln(1x),1x0,1x1x,0x1 讨论f(x)在x0处的连续性与可导性解：，第12页〔共8页〕6、求函数y3x2(1)x的极值.解：0x7、证明:当2 时sinxtanx2x.证明：28、某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图)截面的面积为5m 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小从而使建造时所用的材料最省？解：第13页〔共8页〕----6、求函数y3x2(1)x的极值.解：0x7、证明:当2 时sinxtanx2x.证明：28、某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图)截面的面积为5m 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小从而使建造时所用的材料最省？解：----1 / 21 6、求函数 y 3x2(1) x 的极值.解：0x 7、证明:当2时sinxtanx2x .证明：2 8、某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图)截面的面积为5m 问底宽x 为多少 时才能使截面的周长最小从而使建造时所用的材料最省？ 解：第13页〔共8页〕。
高等数学模拟试题及答案[1]
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武汉大学网络教育入学考试 专升本 高等数学 模拟试题一、单项选择题1、在实数范围内，下列函数中为有界函数的是( b )A.xy e = B.1sin y x =+ C.ln y x =D.tan y x =2、函数23()32x f x x x -=-+的间断点是( c ) A.1,2,3x x x === B.3x = C.1,2x x == D.无间断点3、设()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在0x x =处( b )A. 一定可导B. 必不可导C. 可能可导D. 无极限 4、当x →0时，下列变量中为无穷大量的是（ D ） A.sin x x B.2x-C.sin x x D. 1sin xx+ 5、设函数()||f x x =，则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( d )A.1B.1-C.0D.不存在. 6、设0a >，则2(2)d aaf a x x -=⎰( a )A.0()d af x x -⎰B.0()d af x x ⎰ C.02()d af x x ⎰ D.02()d af x x -⎰7、曲线23x xy e--=的垂直渐近线方程是( d ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在8、设()f x 为可导函数，且()()000lim22h f x h f x h→+-=，则0'()f x = ( c ) A. 1 B. 2 C. 4 D.0 9、微分方程''4'0y y -=的通解是( d )A. 4x y e =B. 4x y e -=C. 4xy Ce = D. 412x y C C e =+10、级数1(1)34nn nn ∞=--∑的收敛性结论是（ a ）A. 发散B. 条件收敛C. 绝对收敛D. 无法判定 11、函数()f x =( d )A. [1,)+∞B.(,0]-∞C. (,0][1,)-∞⋃+∞D.[0,1]12、函数()f x 在x a =处可导，则()f x 在x a =处( d )A.极限不一定存在B.不一定连续C.可微D.不一定可微 13、极限1lim(1)sin nn e n →∞-=( c)A.0B.1C.不存在D. ∞ 14、下列变量中，当x →0时与ln(12)x +等价的无穷小量是（ ）A.sin xB.sin 2xC.2sin xD. 2sin x15、设函数()f x 可导，则0(2)()limh f x h f x h →+-=( c )A.'()f x -B.1'()2f x C.2'()f x D.016、函数32ln 3x y x +=-的水平渐近线方程是( c )A.2y =B.1y =C.3y =-D.0y =17、定积分sin d x x π=⎰( c )A.0B.1C.πD.218、已知x y sin =，则高阶导数(100)y 在0x =处的值为( a )A. 0B. 1C. 1-D. 100． 19、设()y f x =为连续的偶函数，则定积分()d aaf x x-⎰等于( c )A. )(2x afB.⎰adxx f 0)(2C.0D. )()(a f a f --20、微分方程d 1sin d yx x =+满足初始条件(0)2y =的特解是( c )A. cos 1y x x =++B. cos 2y x x =++C. cos 2y x x =-+D. cos 3y x x =-+ 21、当x →∞时，下列函数中有极限的是( C )A.sin xB.1x eC.211x x +- D.arctan x22、设函数2()45f x x kx =++，若(1)()83f x f x x --=+，则常数k 等于 ( a ) A.1 B.1- C.2 D.2- 23、若0lim ()x x f x →=∞，lim ()x x g x →=∞，则下列极限成立的是( b )A. lim[()()]ox x f x g x →+=∞B.lim[()()]0x x f x g x →-=C.1lim()()x x f x g x →=∞+ D. 0lim ()()x x f x g x →=∞24、当x →∞时，若21sin x 与1k x 是等价无穷小，则k =（ b ）A.2B.12C.1D. 325、函数()f x =[0,3]上满足罗尔定理的ξ是( a )A.0B.3C. 32 D.2 26、设函数()y f x =-, 则'y =( c )A. '()f xB.'()f x -C. '()f x -D.'()f x --27、定积分()d baf x x⎰是( a )A.一个常数B.()f x 的一个原函数C.一个函数族D.一个非负常数 28、已知naxy x e =+，则高阶导数()n y=( c )A. n axa e B. !n C. !axn e + D. !n axn a e + 29、若()()f x dx F x c =+⎰，则sin (cos )d xf x x ⎰等于( b )A. (sin )F x c +B. (sin )F x c -+C. (cos )F x c +D. (cos )F x c -+ 30、微分方程'3xy y +=的通解是( b )A. 3c y x =- B. 3y c x =+ C. 3c y x =-- D. 3c y x =+31、函数21,y x =+(,0]x ∈-∞的反函数是( c )A. 1,[1,)y x =∈+∞B. 1,[0,)y x =∈+∞C. [1,)y =∈+∞D. [1,)y =∈+∞ 32、当0x →时，下列函数中为x 的高阶无穷小的是( a )A. 1cos x -B. 2x x + C. sin xD.33、若函数()f x 在点0x 处可导，则|()|f x 在点0x处( c )A. 可导B. 不可导C. 连续但未必可导D. 不连续 34、当x x →时,α和(0)β≠都是无穷小. 当0x x →时下列可能不是无穷小的是（ d ）A. αβ+B. αβ-C. αβ⋅D. αβ35、下列函数中不具有极值点的是( c ) A.y x= B. 2y x = C. 3y x = D. 23y x =36、已知()f x 在3x =处的导数值为'(3)2f =, 则0(3)(3)lim2h f h f h →--=( b )A.32B.32-C.1D.1-37、设()f x 是可导函数，则(())f x dx '⎰为( d )A.()f xB. ()f x c +C.()f x 'D.()f x c '+38、若函数()f x 和()g x 在区间(,)a b 内各点的导数相等，则这两个函数在该区间内( d ) A.()()f x g x x -= B.相等 C.仅相差一个常数 D.均为常数二、填空题 1、极限20cos d limxx t tx →⎰=2、已知 102lim()2ax x x e -→-=，则常数 =a .3、不定积分2d xx ex -⎰= .4、设()y f x =的一个原函数为x ，则微分d(()cos )f x x = .5、设2()d f x x x C x=+⎰，则()f x = . 6、导数12d cos d d x t t x-=⎰ . 7、曲线3(1)y x =-的拐点是 .8、由曲线2y x =,24y x =及直线1y =所围成的图形的面积是 .9、已知曲线()y f x =上任一点切线的斜率为2x , 并且曲线经过点(1,2)-, 则此曲线的方程为 .10、已知22(,)f xy x y x y xy +=++，则f f x y∂∂+=∂∂ . 11、设(1)cos f x x x +=+，则(1)f = .12、已知 112lim(1)x x a e x --→∞-=，则常数 =a .13、不定积分2ln d x x x =⎰.14、设()y f x =的一个原函数为sin 2x ，则微分d y = .15、极限22arcsin d limxx t t x →⎰ =.16、导数2d sin d d x a t t x =⎰ .17、设d xt e t e=⎰，则x = .18、在区间[0,]2π上, 由曲线cos y x =与直线2x π=,1y =所围成的图形的面是 .19、曲线sin y x =在点23x π=处的切线方程为 . 20、已知22(,)f x y x y x y -+=-，则f fx y ∂∂-=∂∂ .21、极限01limln(1)sinx x x →+⋅ =22、已知21lim()1axxxex-→∞-=+，则常数=a.23、不定积分x=⎰.24、设()y f x=的一个原函数为tan x，则微分d y=.25、若()f x在[,]a b上连续，且()d0baf x x=⎰, 则[()1]dbaf x x+=⎰.26、导数2dsin ddxxt tx=⎰.27、函数224(1)24xyx x+=++的水平渐近线方程是.28、由曲线1yx=与直线y x=2x=所围成的图形的面积是.29、已知(31)xf x e'-=，则()f x= .30、已知两向量(),2,3aλ→=,()2,4,bμ→=平行，则数量积a b⋅=.31、极限2lim(1sin)x xx→-=32、已知973250(1)(1)lim8(1)xx axx→∞++=+，则常数=a.33、不定积分sin dx x x=⎰.34、设函数y=则微分d y=.35、设函数()f x在实数域内连续, 则()d()dxf x x f t t-=⎰⎰.36、导数2dddx tate tx=⎰.37、曲线22345(3)x xyx-+=+的铅直渐近线的方程为.38、曲线2y x=与22y x=-所围成的图形的面积是.三、计算题1、求极限：lim x →+∞.解：lim x →+∞=lim x →+∞/2x=2、计算不定积分：2sin 2d 1sin xx x +⎰解：3、计算二重积分sin d d Dx x y x ⎰⎰, D 是由直线y x =及抛物线2y x =围成的区域. 解：4、设2ln z u v =, 而x u y =, 32v x y =-. 求z x ∂∂, zy∂∂. 解：5、求由方程221x y xy +-=确定的隐函数的导数d d yx. 解：6、计算定积分: 20|sin | d x x π⎰.解：7、求极限：xxx e x 20)(lim +→.解：8、计算不定积分：x.解：9、计算二重积分22()Dx y d σ+⎰⎰, 其中D 是由y x =,y x a =+,y a =, 3y a =(0a >)所围成的区域. 解：10、设2u vz e -=, 其中3sin ,u x v x ==，求dz d t .解：11、求由方程lny x y=+所确定的隐函数的导数ddyx.解：，12、设2,01,(),1 2.x xf xx x⎧≤≤=⎨<≤⎩. 求0()()dxx f t tϕ=⎰在[0, 2]上的表达式.解：13、求极限：2 0x→解：14、计算不定积分：dln ln lnxx x x⋅⋅⎰.解：15、计算二重积分(4)dDx yσ--⎰⎰,D是圆域222x y y+≤.解：16、设2x yzx y-=+，其中23y x=-，求dzd t.解：17、求由方程1yy xe=+所确定的隐函数的导数ddyx.解：18、设1sin,0,2()0,x xf xπ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.求0()()dxx f t tϕ=⎰在(),-∞+∞内的表达式.解：19、求极限：x→解：20、计算不定积分：1d 1xx +解：21、计算二重积分2Dxy dσ⎰⎰,D是由抛物线22y px=和直线2px=(p>)围成的区域.解：22、设yzx=,而tx e=,21ty e=-,求dzd t.解：四、综合题与证明题1、函数21sin,0,()0,0x xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x=处是否连续？是否可导？2、求函数(y x=-.解：3、证明：当0x >时, 221)1ln(1x x x x +>+++.证明：4、要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解：5、设ln(1),10,()01x x f x x +-<≤⎧⎪=<<, 讨论()f x 在0x =处的连续性与可导性. 解：，6、求函数32(1)x y x =-的极值.解：7、证明: 当20π<<x 时, sin tan 2x x x +>. 证明：8、某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解：9、讨论21, 0,21, 01,()2, 12,, 2x x x f x x x x x ≤⎧⎪+<≤⎪=⎨+<≤⎪⎪>⎩在0x =,1x =,2x =处的连续性与可导性.解：10、确定函数y =(其中0a >)的单调区间.解：；11、证明：当20π<<x 时, 331tan x x x +>. 证明：12、一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解：13、函数21, 01,()31, 1x x f x x x ⎧+≤<=⎨-≤⎩在点x =1处是否可导？为什么？解：14、确定函数x x x y 6941023+-=的单调区间. 解：。
高等数学上、下册考试试卷及答案6套[1]
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高等数学上册试卷A 卷一 填空题（每题2分，共10分） 1． 2()d f x dx ⎰= ；２. 设f (x )=e -x ，则(ln )f x dx x'⎰= ； ３．比较积分的大小：11_________(1)x e dx x dx +⎰⎰；４.函数1()2(0)x F x dtx ⎛=> ⎝⎰的单调减少区间为 ；５. 级数()(0)nn n a x b b ∞=->∑，当x =0时收敛，当x =2b 时发散，则该级数的收敛半径是 ；二、求不定积分（每小题4分，共16分）1.； 2．sin x xdx ⎰；３．；4. 已知sin xx是f (x )的一个原函数，求()xf x dx '⎰. 三、求定积分（每小题4分，共12分）１．520cos sin 2x xdx π⎰； ２．121(x dx -⎰；３．设1,当0时1()1,当0时1xx xf x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩求20(1)f x dx -⎰四、应用题（每小题5分，共15分）1．计算由曲线y =x ２，x =y ２所围图形的面积；２.由y =x 3、x =2、y =0所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体的体积.3. 有一矩形截面面积为20米2，深为5米的水池，盛满了水，若用抽水泵把这水池中的水全部抽到10米高的水塔上去，则要作多少功?（水的比重1000g 牛顿/米3 ）五、求下列极限（每题5分，共10分）1．222222lim 12n n n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭；2. 设函数f (x )在(0，+∞)内可微，且f (x )满足方程11()1()xf x f t dt x=+⎰，求f (x )。
六、判断下列级数的敛散性（每题5分，共15分）1. 21sin32n n n n π∞=∑； 2. 2111n n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑； 3.()1ln 1nn nn∞=-∑； 七、求解下列各题（每题5分，共10分）1. 求幂级数111n n x n +∞=+∑的收敛域及和函数；2． 将函数21()32f x x x =++展开成（x +4）的幂级数。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷50(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷50(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设函数f(1／y，1／x)＝（x＋y）／（x－y），则f(x，y)＝（）A．（x＋y）／xyB．（x＋y）／x－yC．（x－y）／（x＋y）D．xy／（x＋y）正确答案：B解析：令m＝1／y，n＝1／x，即y＝1／m，x＝1／n，则有f(m，n)＝（1／n＋1／m）／1／n－1／m＝（m＋n）／m－n，即f(x，y)＝（x＋y）／x－y，故B选项正确．2．设函数f(x，y)＝x3＋y3，则点(0，0)是f(x，y)的（）A．极小值点B．间断点C．极大值点D．连续点正确答案：D3．设积分区域D：y＝1，y＝－1，x＝0，x＝2，则二重积分的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不确定正确答案：C解析：积分区域D：y＝1，y＝－1，x＝0，x＝2（如下图所示），区域D关于x轴对称，被积函数f(x，y)＝y是关于y的奇函数，故原积分为零．4．微分方程dy／dx＝（x2＋y2）／xy是（）A．齐次微分方程B．可分离变量的微分方程C．一阶线性齐次微分方程D．一阶线性非齐次微分方程正确答案：A解析：将（x2＋y2）／xy的分子分母同时除以x2，得dy／dx＝［1＋（y／x）2］／y／x，上式符合齐次微分方程的形式，故选A5．幂级数的和函数为（）A．ln(1＋x)B．arctanxC．ln(1－x)D．arctan(－x)正确答案：C解析：因为幂级数ln（1＋x）＝所以ln（1－x）＝故选C填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．区域Ω是由平面z＝0，x2＋y2＋z2＝1(z≤0)所围成的闭区域，则____________正确答案：2／3π解析：．7．二重积分____________正确答案：4解析：（x＋2y）dy＝（4－2x）dx＝4．8．设D是由x2＋y2＝1(y＞0)，y＝0所围成的区域，则____________正确答案：0解析：此时积分区域D(如下图所示)关于y轴对称，被积函数xy关于x是奇函数，从而9．设L是抛物线x2＝y2上是O(0，0)与A(1，1)之间的一段弧，则____________正确答案：解析：曲线L如下图所示，y∈［0，1］10．设L是圆x2＋y2＝1，取逆时针方向，则____________正确答案：0解析：令P(x，y)＝(x＋y)2，Q(x，y)＝－(x2＋y2)，则＝－2x，＝2（x＋y）将L所围成的闭区域记为D，根据格林公式有(x＋y)2dx－(x2＋y2)dy ＝（－2x－2x－2y）dxdy＝（4x＋2y）dxdy＝（2rcosΘ＋rsinΘ）rdr＝（2cosΘ＋sinΘ）dΘ＝－2／／3（2sinΘ－cosΘ）＝0．计算题11．设平面π经过点P(5，3，－2)，且平行于平面π1：x＋4y－3z－11＝0，求平面π的方程正确答案：平面π1的法向量为{1，4，－3}，所求平面π平行于平面π1，于是其点法式方程为(x－5)＋4(y－3)－3(z＋2)＝0，即x＋4y－3z－23＝0．12．求过点P(1，0，7)且与平面x－z＝10和y＋2z＝3都平行的直线方程正确答案：两平面的法向量分别为n1＝{1，0，－1}，n2＝{0，1，2}．设所求直线的方向向量为v，由于直线与两平面都平行，所以v⊥n1且v⊥n2，v＝n1×n2＝＝{1，－2，1}，又直线过点P（1，0，7），则其对称式方程为（x－1）／1＝y／－2＝（z－7）／1．已知直线L1：和直线L2：（x－3）／4＝y／－2＝（z＋5）／113．求出直线L1的对称式方程；正确答案：直线L1的方向向量为v1＝＝{－28，14，－7}＝－7{4，－2，1}，令z＝1，则方程组变为，解之得x＝2，y＝－3．所以点（2，－3，1）在直线上．故直线L1的对称式方程为x－2／4＝y＋3／－2＝z－1／1．14．求直线L1和直线L2的夹角．正确答案：直线L2的法向量为v2＝{4，－2，1}，显然v1∥v2，从而直线L1和直线L2互相平行，即夹角Θ＝0．15．已知平行四边形的3个顶点A(3，－4，7)、C(1，2，－3)和D(9，－5，6)，求与顶点D相对的第4个顶点B正确答案：取O点为AC的中点，则O点的坐标为(1＋3／2，－4＋2／2，7－3／2)，即O(2，－1，2)．则O点也是BD的中点，设B(x，y，z)，有164解之得x＝－5，y＝3，z＝－2．故所求B点坐标为(－5，3，－2)．16．设α、β都是非零向量，且满足关系式｜α－β｜＝｜α＋β｜，证明α·β＝0正确答案：由于｜α－β｜＝｜α＋β｜，故｜α－β｜2＝｜α＋β｜2．即(α－β)(α－β)＝(α＋β)(α＋β)．α·α－α·β－β·α＋β·β＝α·α＋α·β＋β·α＋β·β．即α·α＋β·β－2(α·β)＝α·α＋β·β＋2(a·β)．又因α，β均为非零向量，要使上式成立，必有α·β＝0．17．设曲线方程为求它在三个坐标面上的投影曲线正确答案：将原方程化为消去z，联立z＝0，得曲线在Oxy平面上的投影曲线消去y，联立y＝0，得曲线在Oxz平面上的投影曲线消去x，联立x＝0，得曲线在Oyz平面上的投影曲线18．设z＝f（x＋y，exy），f是可微函数，求正确答案：设z＝f(u，v)，u＝x＋y，v＝exy，则求下列函数的定义域：19．z＝正确答案：令2x－x2－y2＞0得（x－1）2＋y2＜1．故定义域D＝{(x，y)｜(x－1)2＋y2＜1)，为一圆内部的区域(不包括边界)．20．z＝＋ln(x＋y)；正确答案：D＝{(x，y)｜x＞0且x＋y＞0)．21．z＝arcsin(x－2y)．正确答案：D＝{(x，y)｜－1≤x－2y≤1}．22．在所有周长等于6的直角三角形中，求出斜边最小的三角形正确答案：设直角三角形的两直角边为x，y，斜边为z，则有构造拉格朗日函数L(x，y)＝＋λ（x＋y＋z－6）＝（1＋λ）＋λ（x＋y－6），解方程组当λ＝－1时，方程组的前两个式子都不成立，故λ≠－1．解得x＝y＝3(2－)．由于实际情况必存在斜边最小值，故当直角三角形的两直角边长均为3(2－)时，斜边最小．23．求函数u＝[*]在点(1，2，1)处的梯度正确答案：gardu（1，2，1）＝｛e6，2e6，2e6｝．24．求函数u(x，y，z)＝x2＋2xy＋z2在点P(1，2，0)处沿方向l＝?2，－1，2?的方向导数正确答案：因为＝2x＋2y，＝2x，＝2z，cosα＝2／3，cosβ＝－1／3，cosy＝2／3．所以＝10／3．25．求空间曲线L：x＝31nΘ，y＝2sinΘ，z＝Θ，(一∞＜Θ＜＋∞)在点P(3lnπ，0，π)处的法平面方程及切线正确答案：x?(Θ)＝3／Θ，y?(Θ)＝2cosΘ，z?(Θ)＝1，于是点P（3lnπ，0，π）处的法平面方程为x?（π）（x－3lnx）＋y?（π）y＋z?（π）（z－π）＝0，即3（x－3lnx）／π－2y＋z－π＝0．点P(3lnx，0，π)处的切线方程为（x－3lnπ）／x?（π）＝y／y?（π）＝（z－π）／z?（π），即π（x－3lnπ）／3＝y／－2＝（z－π）／1．综合题26．在xy平面上求一点，使它到三直线x＝0，y＝0，2x＋y－6＝0的距离平方和最小正确答案：设所求点为(x，y)，该点到三直线的距离平方和为z＝x2＋y2（2x＋y－6）2／5由得驻点（6／5，3／5）由于Zxx＝15／8＞0，Zyy＝12／5，则△＝Z2xy－ZxxZyy＝16／5－18／5·12／5＜0，因此（6／5，3／5）是z的极小值点．由实际意义知，在点（6／5，3／5）处z 取得最小值．27．求曲面z＝xy包含在圆柱x2＋y2＝1内部分的曲面面积S正确答案：设所求曲面∑面积为S，该曲面在Oxy坐标面上的投影D：x2＋y2≤1．28．将函数f(x)＝ln(1＋x)展开成(x－1)的幂级数正确答案：对原函数求导f?(x)＝1／（1＋x）1／（1＋x）＝1／2·1／1－［－（x－1）／2］＝1／2［－（x－1）／2］n｜（x－1）／2｜＜1＝（－1）n（x－1）n／2n＋1，｜x－1｜＜2对上式等式两边积分f(x)＝ln（1＋x）＝｜x－1｜＜2．。
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高等数学上模拟试卷和答案Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】北京语言大学网络教育学院《高等数学（上）》模拟试卷注意：1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。
请监考老师负责监督。
2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。
3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。
4.本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。
一、【单项选择题】(本大题共100小题，每小题4分，共400分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。
1、函数)1lg(2++=x x y 是（ ）。
[A] 奇函数[B] 偶函数[C] 既奇又偶函数[D] 非奇非偶函数2、极限=--→93lim 23x x x （ ）。
[A] 0[B] 61 [C] 1 [D] ∞3、设c x x x x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （ ）。
[A] 1ln +x[B] x ln [C] x [D] x x ln4、 ⎰-=+01d 13x x （ ）。
[A]65[B] 65-[C] 23-[D]23 5、由曲线22,y x x y ==所围成平面图形的面积=S （ ）。
[A] 1[B]21 [C] 31[D]41 6、函数x x y cos sin +=是（ ）。
[A] 奇函数 [B] 偶函数 [C] 既奇又偶函数 [D] 非奇非偶函数7、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=003sin )(x ax x x x f ，在0=x 处连续，则a 等于（ ）。
[A] 1- [B] 1 [C] 2 [D] 38、函数12+=x y 在区间]2,2[-上是（ ）。
[A] 单调增加 [B] 单调减少 [C] 先单调增加再单调减少 [D] 先单调减少再单调增加9、设⎰+=Φ031)(x t dtx ，则=Φ')(x （ ）。
[A] 311x +- [B] 3213x x +-[C] 311x + [D] 3213x x + 10、曲线24,3x y x y -==所围成平面图形的面积S 是（ ）。
[A] dx x x )34(142--⎰- [B] dy y y)43(312⎰---[C] ⎰---412)34(dx x x ；[D] dy y y)43(14⎰---11、函数122+=x xy 的反函数是（ ）。
[A] x x y -=1log 2[B] x xy -=1log 2[C] x xy +=1log 2[D] xxy +=1log 212、设)(x f 可导，)1(2+=x f y ，则=dxdy（ ）。
[A] )1(2+'x f [B] )1()1(22+'+x f x [C] )1(2+'x f x [D] )1(22+'x f x13、设⎰+=,sin )(C x dx x f 则=)(x f （ ）。
[A] x cos [B] x sin [C] x cos - [D] x sin -14、下列积分值为0的是（ ）。
[A] ⎰-222sin ππxdx[B] ⎰-11sin xdx x[C] ⎰-+11cos 1dx xx[D] ⎰-21xdx15、若函数⎩⎨⎧<≥=0)(x e x x x f x ，，，则积分=⎰-21d )(x x f （ ）。
[A] 13--e [B] 13-+e [C] e -3 [D] e +316、函数)32lg(213---=x x y 的定义域为（ ）。
[A] ),23(+∞ [B] ),23[+∞[C] ),2()2,23(+∞ [D] ),2()2,23[+∞17、设n x y =，则=+)1(n y （ ）。
[A] 1 [B] !n [C] )!1(+n[D] 018、设 x f =)x 1(，则)(x f '=（ ）。
[A] x 1 [B] x 1- [C] 21x[D] 21x -19、函数xxy -=3的定义域是（ ）。
[A] )3,(-∞[B] ]3,(-∞[C] ]3,0()0,( -∞[D] )3,0()0,( -∞20、若a xx e x =+→10)21(lim ，则常数=a （ ）。
[A] 2- [B] 21-[C] 21[D] 2 21、0330sin 'o 的近似值为（ ）。
[A] 0.5076 [B] 0.2432 [C] 0.7182[D] 0.992122、函数11y x =+-的定义域是（ ）。
[A] (0,)+∞ [B] (,0]-∞[C] (,)-∞+∞ [D] (,0)(0,)-∞+∞23、若极限a xx e x =-∞→)411(lim ，则常数=a （ ）。
[A] 1[B]14[C] 0[D] 14-24、若函数)(x f y =满足条件（ ），则在),(b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ成立。
[A] 在),(b a 内连续 [B] 在),(b a 内可导[C] 在),(b a 内连续，在),(b a 内可导 [D] 在],[b a 内连续，在),(b a 内可导 25、若)(x f 是],[a a -上的连续偶函数，则 ()aa f x dx -=⎰（ ）。
[A] ⎰-0d )(ax x f[B] 0[C] ⎰-0d )(2ax x f[D] ⎰ax x f 0d )(26、设)(x f '为连续函数，则='⎰dx x f )(（ ）。
[A] )(x f ' [B] C x f +')( [C] C x f +)( [D] )(x f 27、下列式子中，正确的是（ ）。
[A] x tdt x cos cos 0='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰[B] x tdt cos cos 20='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰π [C] 0cos 0='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰x tdt [D] x tdt xcos cos 0='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ 28、满足方程0)(='x f 的点是函数)(x f y =的（ ）。
[A] 极值点[B] 拐点[C] 驻点[D] 间断点29、若)(x f 与)(x g 是],[b a 上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线b x a x ==,所围图形的面积（ ）。
[A] ⎰-ba dx x g x f )()([B] ⎰-badx x g x f ))()(([C] ⎰-badx x f x g ))()(([D]⎰-badx x g x f ))()((30、22|1|x dx --=⎰（ ）。
[A] 5 [B] 0 [C]25 [D] 7 31、不是同一个函数的原函数的是（ ）。
[A] x y ln = [B] ）（x y 3ln = [C] )2ln(x y = [D] 3ln 2+=x y32、⎰=')arcsin (xdx （ ）。
[A]C x +-211[B]211x -[C] C x +arcsin [D] x arcsin33、=+⎰-+∞→x dx x xe x x )')sin ((lim （ ）。
[A] 0[B] 1[C] ∞[D] ∞≠不存在，且34、设函数20()ln(2)x f x t dt =+⎰,则'()f x 的零点的个数（ ）。
[A] 0[B] 1[C] 2 [D] 335、设)(x f '存在，a 为常数，则ha h x f a h x f h )()(lim0--+→等于（ ）。
[A] )(x f ' [B] 0[C] )('2x f a[D] )('2x f 36、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在x=0处（ ）。
[A] 连续且可导[B] 连续，不可导[C] 不连续[D] 都不是37、已知x y 2tan =,则dy 等于（ ）。
[A] xdx tan 2 [B]tgxdx x212+ [C] xdx x 2sec tan 2 [D] x tgx 2sec 238、⎰+dx xx 21=（ ）。
[A] c x +arctan [B] c x ++)1ln(2[C] c x ++212 [D] c x ++21 39、若⎰+=c xdx x f 2sin )(，则=)(x f （ ）。
[A] 2cos x [B] 2cos x - [C] 2cos 21x [D] 2cos 21x-40、广义积分⎰10ln xdx 是（ ）。
[A] 发散 [B] 收敛[C] 无法判断 [D] 都不正确41、设函数()313f x x x =-，则1x =（ ）。
[A] 是()f x 的驻点且为极大值点 [B] 是()f x 的驻点且为极小值点[C] 是()f x 的驻点但不是极值点 [D] 不是()f x 的驻点42、曲线3(2)1y x =-+在区间(,2)-∞，(2,)+∞内分别为（ ）。
[A] 凹的和凹的[B] 凹的和凸的[C] 凸的和凸的 [D] 凸的和凹的 43、下列等式正确的是（ ）。
[A] C x dx x +-=-⎰arcsin 112 [B] C x dx x +=-⎰arcsin 112[C] C x dx x +=-⎰arcsin 2112 [D] C x dx x +-=-⎰arcsin 511244、22dx x⎰=（ ）。
[A] c x +2 [B] c x +22[C] c x +331 [D] c x +32345、已知函数)2111)((+-=xa x G y ，（其中)(,1,0x G a a ≠>为偶函数），则该函数为（ ）。
46、极限=+--+→2332lim 2241x x x x x （ ）。
47、函数[A] 奇函数 [B] 偶函数 [C] 非奇非偶函数[D] 无法判断[A] 4[B] 4- [C] 8 [D] 8-2sin x y =的导数为（ ）。
[A] x x y cos 2=' [B] 2cos 2x x y ='[C] x x y cos 2-='[D] 2cos 2x x y -='48、⎰=xdx x ln （ ）。
[A] c x x x +-3241ln 21[B] c x x x +-2341ln 21[C] c x x x +-2241ln 21[D] c x x x +-3441ln 2149、极限=⎰→2sin limx tdt xx （ ）。