张正友相机二维标定

过已知初始值得到的像点估计坐标。 •
ˆ A, Ri , ti , M j m
是通
ˆ A, Ri , ti , M j 的求解是一个经典的非线性优化的问题，使评价函数最小的A，Ri，ti就是 m
这个问题的最优解。可以取第一次得到的线性求解结果作为A、Ri , ti i 1n的初始值，解决 这类问题的方法很多 ，在计算机视觉领域里通常使用Levenberg-Marquarat(LM)算法进行求 解。
T
v12 b 0
(v11 v22 )T b 0
Vb 0
• V矩阵是2*6矩阵，也就是说每张照片可建立起两个方程组，6个未 知数。根据线性代数知识可知，解6个未知数需至少6个方程组，所 以也就是说我们至少需要三张照片才能求解未知数。b矩阵的解出， 相机内参矩阵A也就求解出，从而每张图像的R，t也迎刃而解。
r r 0
T 1 2
r1 r2 1
对单应性矩阵H的估算
• H就是我们常说的单应性矩阵，在这里描述的是空间中平面三维点
和相机平面二维点之间的关系。因为相机平面中点的坐标可以通过 图像处理的方式（哈里斯角点，再基于梯度搜索的方式精确控制点 位置）获取，而空间平面中三维点可以通过事先做好的棋盘获取。 所以也就是说每张图片都可以计算出一个H矩阵。
~ ~ sm HM
r1 r2 r3 1 r1 r2 r2 r3 r3 r1 0
2 2 2
X t Y 1
我们假定 H Ar1
r2
t 则原式可化为：
这里，矩阵H就是从世界坐标系到图像坐标系的3×3大小的单应性矩阵。 对H再次进行变形，假设h1,h2,h3是H的列向量，有：
uXh31 uYh32 u h11 X h12Y h13 vXh31 vYh32 v h21 X h22Y h23
令
h' h11 h12
X 0 Y 1 0 0 0 X
h13
Y
h21 h22
1 vX
h23
uY vY
h31 h32 1
张正友相机标定方法-二维标定方法
张正友相机标定方法
主要步骤： 1.从不同的角度拍摄图像 2.识别特征点 3.建立单应矩阵H 4.求解线性系统 5.优化 张正友方法所用的平面模板
一个二维点坐标被表示为 m [u, v] ，一个三维点被表示为M [ X , Y , Z ]T T ~ [u, v,1] x 去表示通过在矩阵最后面的元素加一个1的向量：m ，我们使用 ~ ~ T M 和 [X, Y , Z ,1] ，相机通常都是针孔模型：它的3D点M和它的图像投影 点m的关系为：
ˆ A, Ri , ti , M j mij m
n m i 1 j 1
ˆ A, Ri , ti , M j mij m
n m i 1 j 1
• 其中mij是三维场景中第j个物点在第i幅图像上的像点坐标矢量，Ri是第i幅图像的旋转矩阵，是
ti第i幅图像的平移向量，Mj是三维场景中第j个物点的空间坐标，
张正友标定方法流程
1.打印一张标定板，然后附加到一个平坦的表上。
2.通过移动相机或者平面拍摄标定板各种角度的图片。
3.检测图片中的特征点 4.计算5个内部参数和所有的外部参数
5.通过最小二乘法先行求解径向畸变系数。
6.通过求最小参数值，优化所有的参数
谢谢观看！
A 0 0
u0 v0
0 1
很显然，B是一个对称矩阵，我们假定：
b B11
B12
B22
B13
B23
B33
T
设H矩阵中第i列的向量为
hi hi1 hi 2
中有：
hi3
T
带入到
h1T AT A1h2 0
T
hi B hj
解得：
T 1 T 1
B12 B22 B23
B13 B23 B33
2
1

2 2 (v0 u0 ) v0 2 2 2
2 (v0 u0 ) v0 2 2 2 2 2 (v0 u0 ) v0 1 2 2 2 v0 u0
r1 A1h1 1 r2 A h2 r3 r1 r2 1 t A h 3 1 1 1 1 A h A h 1 2
最大似然估计
• 由于数据中的噪声,计算矩阵R的不满足一般的旋转矩阵的性质。所 以要对上面得到结果用最大似然估计来进行优化。 • 转动标定模板，从不同的角度拍摄棋盘标定模板的n幅图像，设每幅 图像都具有相同的标定点，标定点的个数为m，并假设每个标定点 的坐标都有独立同分布的噪声，因为初始的参数已经求解，所以我 们将每张图像的控制点根据求解的参数重投影回三维空间，最小化 与真实值的差异，其实就是建立非线性最小化模型：
Z=0平面
u Ar r s v 1 2 1
r3
X Y t Ar1 r2 0 1
X t Y 1
单应性矩阵H推导
u Ar r s v 1 2 1
T
~ ~ sm A[ R, t ]M
任意数 二维坐标 内参矩阵 旋转矩阵
平移矩阵
三维坐标
A 0 0
u0 v0
0 1
~ ~ sm A[ R, t ]M
展开
u Ar r s v 1 2 1
r3
X Y t Z 1
u h' 0 v
可以看出每张图片都可以 计算出一个H矩阵
0 0 uX
h1T AT A1h2 0
T T 1 h1T AT A1h1 h2 A A h2
所以，令
B11 B AT A1 B21 B13 1 2 2 v0 u0 2
T
vij hi1h j1 hi1hj 2 hi 2hj1 hi 2hj 2
1
T

vij b
hi3hj1 hi1h j 3 hi3hj 2 hi 2h j 3 hi3hj 3
v12T b 0 (v11 v 22)T

h A A h2 0
T T 1 h AT A1h1 h2 A A h2
H h1 h2
r1 r2 1
h3 Ar1 r2 t
A1h1 A1h2

1
r r 0
T 1 2

r1 r2 1

r1 r2
1

1
A1h1 A h2
1

h1T AT A1h2 0
T T 1 h1T AT A1h1 h2 A A h2
假设
H Ar1
r2
t [h1
h2
h11 h3 ] h21 h31
h12 h22 h32
h13 h23 1
~ ~ sm HM
su h11 X h12Y h13 sv h21 X h22Y h23 s h X h 1 31 32