全国高中数学联赛贵州省初赛试题

2014全国高中数学联赛贵州省初赛试题本卷考试时间：150分钟 满分：120分一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

1．在ABC ∆中，已知2AB AC AB CB =u u u r u u u r u u u r u u u r g g，若4cos 5A =，则tanB = . 2．桌面上放着3个半径为2014的球，两两相切，在它上方的空隙里放入一个球使其顶点（最高处）恰巧和3个球的顶点在同一平面上，则该球的半径等于 .3.已知函数2014()2014log 1x f x x =+-（2n ≥且*n N ∈），则11n i i f n -=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑. 4. 某种电路开关闭合后，会出现闪动的红灯或绿灯.已知开关第一次闭合，出现红灯和出现绿灯的概率都是12，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下次出现红灯的概率是13，出现绿灯的概率是23；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是35，出现绿灯的概率是25.则开关第3次闭合后出现红灯的概率是 . 5. 已知,,[0,1].a b c ∈则111a b cbc ca ab +++++取值范围是 . 6.已知(0,)2x π∈，则函数342sin cos y x x =+的最小值是 . 7.已知函数2()xf x x e =与()2xg x xe a =+的图象有且只有三个交点，则实数a 的取值范围 .8.对任意*n N ∈，任意[]1,2a ∈，都有21(1)23n ax x e a n+≤-+-恒成立（注：e 为自然对数的底数），则实数x 的取值范围 .二、填空题：本大题共3小题，共56分。

9. （本小题满分16分）已知数列{}n a 中，11a =，且121n n a a +=+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列1)}n a +的前n 项和为n S ，求证：22(1)(41)3n nn n S +-≤．10. （本小题满分20分）已知函数221()af x x ax b x x=++++(,0)x R x ∈≠且.若实数a b 、使得()0f x = 有实根，求22ab +的最小值.11. （本小题满分20分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1,2点1F 、2F 分别为其左、右焦点，其右焦点2F 到点(2,1)E --的距离为.10 一动圆过点2F ，且与直线1-=x 相切，记动圆圆心的轨迹为G.（Ⅰ）在轨迹G 上有两点M N 、,椭圆C 上有两点,P Q 、满足22//MF NF u u u u r u u u u r ，22//PF QF u u u u r u u u u r，且22,MF PF ⊥u u u u r u u u u r求四边形PMQN 面积的最小值．（Ⅱ）过点1F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ．问在直线y x =上是否存在点D ，使得23361612k AD BD k +++u u u r u u u r g 是与k 无关的常数？ 参考答案1.解：依题意，有cos 2cos cb A ca B =，即cos 2cos b A a B =由正弦定理，得sin cos 2sin cos B A A B =，即tan 2tan B A =又4cos 5A =， 所以 33sin , tan 54A A == 故33tan 242B =⨯=. 2.解：显然，开始的3个球的球心位于边长为4018的正三角形的顶点处. 若在上方空隙里放入半径为x 的小球，与它们相切，则其球心位于一正三棱锥的顶点，侧棱长为2014x +.于是该三棱锥的高h 满足2222(2014)3h x ⎛=+-⋅ ⎝=222014314028⋅-+x根据题意，得()22220143140282014⋅-+=-x x解得 20143x =3.解：依题意得()f x 的定义域为(0,1)，且()(1)4018f x f x +-=.则111124018(1)n n i i i i n i f f f n n n n --==⎛-⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑. 故112014(1)n i i f n n -=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑. 4.解: 开关第1次闭合后出现红灯的概率是12开关第2次闭合后出现红灯的概率是11137232515⨯+⨯=所以， 开关第3次闭合后出现红灯的概率是7183107153155225⨯+⨯= 5.解：显然，所求代数式的最小值为0，当且仅当0a b c ===时取到. 当0a b c ++>时，12(1)a b c b c bc ++≤++≤+. 于是21a abc a b c≤+++. 同理：21b b ca a b c ≤+++，21c cab a b c≤+++. 以上三式相加即得2111a b cbc ca ab ++≤+++. 6.解：设,a b R +∈，使3322sin 3sin x a a x +≥=422cos 2cos x b b x +≥所以，3422322sin cos 3sin 2cos y x x a x b x a b =+≥+--由3342sin ,cos x a x b ==，则sin ,cos x a x ==所以，21a b +=又令32a b =，则13,24a b ==所以，当1sin ,cos 2x x ==6x π=时，函数342sin cos y x x =+的最小值是3213316y a a b =--=7.解：0(2a e <<+令2()(2)xh x x x e =-2()(2)x h x x e '∴=-()h x ∴在(,)-∞+∞上单调递增，在(上单调递减当x <时，有()0h x >，且lim ()0x h x →-∞= ，lim ()x h x →+∞=+∞由((20,(20h e h =+>=-<所以，0(2a e <<+8.解：11111(1)=(1)(1)(1)(1)1n n n n n n++⋅+⋅++⋅L 由1111111111()1n nn n n n +++++++++<+L 11111()(1)11n n n n n ++++==+++ ()1*11(1)(1)1n n n N n n +∴+<+∈+又1lim (1)n x e n→+∞+=由对任意*n N ∈，任意[]1,2a ∈，都有21(1)23n ax x e a n+≤-+-恒成立即任意[]1,2a ∈，223e ax x e a ≤-+-恒成立 也即是任意[]1,2a ∈，2230ax x a --≥恒成立 令[]22()23(3)2,1,2f a ax x a a x x a =--=--∈所以，22(1)230,(2)2260f x x f x x =--≥=--≥即31x x x x ≥≤-⎧⎪⎨⎪⎩或所以，132x x ≥≤或 9.解：（Ⅰ）由121n n a a +=+得1(1)2(1)n n a a ++=+所以数列{1}n a +是一个以112a +=为首项，2q =为公比的等比数列故12n n a +=，即21nn a =-（Ⅱ）1)n n a +=Q12122...2n n S ∴=⨯+ 所以由柯西不等式得212(1222)n n S =⨯+L242(12)(222)nn ≤++++++L L(1)4(14)2(1)(41)2143n n n n n n +-+-=⨯=- 10.解：将221()af x x ax b x x=++++改写为： ()2211,f a b x a b x x x ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()()2211001f a x a b x x x ⎛⎫⎛⎫=⇒++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设(),M a b 为直线（1）上一点，则222OM a b =+.又设原点到直线（1）的距离为d ，那么22222222222222222222119919311133119(3)613x x x x d a b x x x x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+===+-+⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭=+++-++ 再令()[)22193, 5.65t x t f t t t x t=++≥=+-∈+∞则由于在，上增，故 ()()min9455655f t f ==+-=⎡⎤⎣⎦.也就是22a b +的最小值为45. 11.解：（Ⅰ）由12c e a ===解得2,a b ==所以，椭圆22:143x y C +=又焦点2(1,0)F则动圆过点2F ，且与直线1-=x 相切的圆心的轨迹方程G ：24y x =设直线PQ 的倾斜角为(0,)2πθθπθ≤<≠，则直线MN 的倾斜角为2πθ±2231214cos 1cos 4PQ θθ==--2244cos 1cos ()2MN πθθ==-±所以，四边形PMQN 面积()222211124248224cos cos 4cos cos S MN PQ θθθθ=⋅=⋅⋅=≥--⋅当且仅当0θ=，四边形PMQN 面积取到最小值8.（Ⅱ）假设存在点D (,)d d ，使得23361612k AD BD k +⋅++u u u r u u u r 是与k 无关的常数 设直线1122:(1),(,),(,)l y k x A x y B x y =+由 (1)y k x =+与22143x y +=联立方程组得2222(34)84120k x k x k +++-=221212228412,3434k k x x x x k k -∴+=-=++ 112222336336(,)(,)16121612k k AD BD d x d y d x d y k k ++∴⋅+=--⋅--+++u u u r u u u r 12122336()()()()1612k d x d x d y d y k +=--+--++22121212122336()()1612k x x d x x d y y d y y d k +=-+++-++++22212121212122336()(1)(2)1612k x x d x x d k x x x x dk x x d k +=-++++++-+++++222212122336(1)()()221612k k x x x x k dk d d dk k k +=+++--+-+++ 2222222224128336(1)()2234341612k k k k k dk d d dk k k k k -+=+---+-+++++2222222224128336(1)()2234341612k k k k k dk d d dk k k k k -+=+---+-+++++22223(885)(6)63443d d k d k d k +-+-+-=+ 当228856343d d d +--=时18d =此时233631161232k AD BD k +⋅+=-+u u u r u u u r 是与k 无关的常数 所以，在直线y x =上存在点11(,)88D ，使得23361612k AD BD k +⋅++u u u r u u u r 是与k 无关的常数。