人教版广东省惠州市第一中学高二数学选修2-2 第一章 导数及其应用 函数极值与导数 函数的最大(小)
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.3.2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其它 0 ；而且在点 x ＝ b 附近的左侧 点的函数值都大， f′(b) ＝ ______ f′(x)>0 f′(x)<0 ，就把点b叫做函数y＝f(x)的极 __________ ，右侧__________ 大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
③y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；
④y＝f(x)在区．②③
B．①④
D．③④
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第一章 导数及其应用
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解析：
由导函数图象知函数 f(x) 在( －∞，－3) 上单调递
解析：
D．极小值点x＝1
y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3
＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，
故选C.
答案： C
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第一章 导数及其应用
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3．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．
么，f(x0)是极大值．
f′(x)<0 ，右侧__________ f′(x)>0 (2)如果在x0附近的左侧__________ ，那 么，f(x0)是极小值．
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人教版高中数学选修2-2学案：第一章1.31.3.2函数的极值与导数
1． 3.2函数的极值与导数预习课本P26～ 29，思虑并达成以下问题(1)函数极值点、极值的定义是什么？(2)函数获得极值的必需条件是什么？(3)求可导函数极值的步骤有哪些？[新知初探 ]1．函数极值的观点(1) 函数的极大值一般地，设函数y＝ f(x)在点 x0及邻近有定义，假如对x0邻近的全部的点，都有f(x)＜f(x0)，就说 f(x0 )是函数 y＝ f(x)的一个极大值，记作y 极大值＝ f(x0)， x0是极大值点．(2) 函数的极小值一般地，设函数y＝ f(x)在点x0及邻近有定义，假如对x0邻近的全部的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝ f(x)的一个极小值，记作y 极小值＝ f(x0)， x0是极小值点．极大值与极小值统称为极值．[点睛 ]怎样理解函数极值的观点(1)极值是一个局部观点，极值不过某个点的函数值，与它邻近点的函数值比较它是最大值或最小值，但其实不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值能够不只一个．(3)函数的极大值与极小值之间无确立的大小关系．(4)函数的极值点必定出此刻区间的内部，区间的端点不可以成为极值点．(5)单一函数必定没有极值．2．求函数 y＝ f(x)极值的方法一般地，求函数y＝ f(x)的极值的方法是：解方程 f′(x)＝ 0. 当 f′(x)＝ 0 时：(1)假如在 x0邻近的左边 f′(x)＞ 0，右边 f′(x)＜ 0，那么 f( x0)是极大值；(2)假如在 x0邻近的左边 f′(x)＜ 0，右边 f′(x)＞ 0，那么 f( x0)是极小值．[点睛 ]一般来说，“f′(x0)＝0”是“函数y＝f(x)在点x0处获得极值”的必需不充足条件．若可导函数 y＝ f(x)在点 x处可导，且在点 x处获得极值，那么 f′(x000)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则点 x0不必定是函数 y＝ f(x)的极值点．[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 f(x)＝ x3＋ ax2－ x＋ 1必有 2个极值． ()(2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合． ()1(3)函数 f(x)＝x有极值． ()答案： (1) √ (2) √ (3) ×2．以下四个函数：①y＝ x3；② y＝ x2＋ 1；③ y＝ |x|；④ y＝ 2x，此中在 x＝ 0 处获得极小值的是()A．①②B．②③C．③④D．①③答案： B3．已知函数 y＝ |x2－1|，则 ()A． y 无极小值，且无极大值B． y 有极小值－ 1，但无极大值C． y 有极小值0，极大值 1D． y 有极小值0，极大值－ 1答案： C4. 函数 f(x)＝ x＋ 2cos x 在 0，π上的极大值点为 () 2πA． 0 B.6ππC. 3D.2答案： B运用导数解决函数的极值问题题点一：知图判断函数的极值1．已知函数y＝ f( x)，其导函数y＝ f′(x)的图象以下图，则y＝ f(x)()A．在 (－∞， 0)上为减函数C．在 (4，＋∞)上为减函数分析：选 C由导函数的图象可知：B．在 x＝0 处取极小值D．在 x＝2 处取极大值x∈ (－∞， 0)∪ (2,4) 时， f′(x)>0， x∈ (0,2)∪ (4，＋∞)时， f′(x)<0 ，所以 f(x)在 (－∞， 0)， (2,4)上为增函数，在(0,2)， (4，＋∞)上为减函数，所以 x＝ 0 获得极大值， x＝2 获得极小值， x＝ 4 获得极大值，所以选 C.题点二：已知函数求极值2．求函数－x 的极值．f(x)＝ x2e解：函数的定义域为R，f′(x)＝ 2xe x＋ x2·e x·(－ x) ′－－＝ 2xe x－ x2·e x－－＝ x(2－ x)e－x .－x令 f′(x)＝ 0，得 x(2－ x) ·e ＝ 0，解得 x＝ 0 或 x＝ 2.当 x 变化时， f′(x)， f( x)的变化状况以下表：x(－∞， 0)0(0, 2)2(2，＋∞) f′(x)－0＋0－f(x)极小值 0－ 2极大值 4e所以当 x＝ 0时， f(x)有极小值，并且极小值为f(0) ＝ 0；当 x＝ 2 时， f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝ 4e－24＝ 2.e题点三已知函数的极值求参数3．已知函数 f (x)的导数 f′(x)＝ a(x＋ 1)(x－ a)，若 f (x)在 x＝a 处取到极大值，则 a 的取值范围是 ()A． (－∞，－ 1)B． (0，＋∞)C． (0,1)D． (－ 1,0)分析：选D若 a<－ 1，∵ f′(x)＝ a(x＋ 1)(x－ a)，∴ f( x)在 (－∞， a)上单一递减，在(a，－ 1)上单一递加，∴f(x)在 x＝ a 处获得极小值，与题意不符；若－ 1<a<0，则 f(x)在 (－ 1， a)上单一递加，在 (a，＋∞)上单一递减，进而在 x＝ a 处获得极大值．若 a>0，则 f (x)在 (－ 1， a)上单一递减，在 (a，＋∞)上单一递加，与题意矛盾，∴选 D.4．已知 f(x)＝ ax5－ bx3＋ c 在 x＝±1 处的极大值为 4，极小值为 0，试确立 a， b， c 的值．解： f′(x)＝ 5ax4－3bx2＝ x2(5ax2－ 3b)．由题意， f′(x)＝ 0 应有根 x＝±1，故 5a＝ 3b，于是 f′(x)＝ 5ax2(x2－ 1)(1)当 a＞ 0， x 变化时， f′(x)， f(x)的变化状况以下表：x (－∞，－－ 1(－ 1,0)0(0,1)1(1，＋∞) 1)f′(x)＋0－0－0＋f (x)极大值无极值极小值4＝ f－＝－a＋b＋c，由表可知：0＝ f＝a－b＋c.又 5a＝ 3b，解之得： a＝ 3， b＝ 5， c＝ 2.(2)当 a＜ 0 时，同理可得 a＝－ 3， b＝－ 5， c＝ 2.1．求函数极值的步骤(1)确立函数的定义域．(2)求导数 f′(x)．(3)解方程 f′(x)＝ 0 得方程的根．(4)利用方程 f′(x)＝ 0 的根将定义域分红若干个小开区间，列表，判断导函数在各个小开区间的符号．(5) 确立函数的极值，假如f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处获得极大(小 )值．2．已知函数极值，确立函数分析式中的参数时，注意两点(1)依据极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)由于导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后一定考证充足性．函数极值的综合应用[典例 ]3y ＝已知函数 f(x)＝ x － 3ax － 1(a ≠0)．若函数 f(x)在 x ＝－ 1 处获得极值，直线m 与 y ＝ f(x)的图象有三个不一样的交点，求 m 的取值范围．[解 ]由于 f(x)在 x ＝－ 1 处获得极值且 f ′(x)＝ 3x 2－ 3a ，所以 f ′(－1)＝ 3×(－ 1)2－ 3a ＝ 0，所以 a ＝ 1.所以 f(x)＝ x 3－ 3x － 1， f ′(x)＝ 3x 2－ 3，由 f ′(x)＝ 0，解得 x 1＝－ 1， x 2＝ 1.当 x<－ 1 时， f ′(x)>0 ；当－ 1<x<1 时， f ′(x)<0 ；当 x>1 时， f ′(x)>0.所以由 f(x)的单一性可知，f(x)在 x ＝－ 1 处获得极大值f(－ 1)＝ 1，在 x ＝ 1 处获得极小值 f(1) ＝－ 3. 作出 f(x)的大概图象以下图：由于直线 y ＝ m 与函数y ＝ f(x)的图象有三个不一样的交点，联合f(x)的图象可知， m 的取值范围是 (－ 3,1)．[一题多变]1．[变条件]若本例中条件改为“已知函数f(x)＝－ x 3＋ ax 2－ 4”在x ＝43处获得极值， 其余条件不变，求m 的取值范围．解： 由题意可得2f ′(x)＝－3x ＋ 2ax ，由4 f ′ ＝ 0，33 2可得 a ＝ 2，所以 f(x)＝－ x ＋ 2x － 4，2则 f ′(x)＝－ 3x ＋ 4x.令 f ′(x)＝ 0，得 x ＝ 0 或 x ＝4，3当 x 变化时， f ′(x)， f( x)的变化状况以下表：x(－∞， 0)0， 44 4，＋ ∞3 3 3f ′(x) －0 ＋0 －f(x)－ 4－7627作出函数 f(x)的大概图象以下图：由于直线y＝ m 与函数y＝ f(x)的图象有三个不一样的交点，所以m 的取值范围是76－4，－27 .2． [变条件 ]若本例“三个不一样的交点”改为“两个不一样的交点”结果怎样？改为“一个交点”呢？解：由例题分析可知：当 m＝－ 3 或 m＝ 1 时，直线 y＝ m 与 y＝ f(x)的图象有两个不一样的交点；当 m<－ 3 或 m>1 时，直线 y＝ m 与 y＝ f(x)的图象只有一个交点．(1) 研究方程根的问题能够转变为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，方程 f(x)＝ g(x)的根就是函数f( x) 与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数能够判断函数的单一性，研究函数的极值状况，并能在此基础上画出函数的大概图象，从直观上判断函数图象与进而为研究方程根的个数问题供给了方便．x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，1．已知函数层级一学业水平达标y＝ f(x)在定义域内可导，则函数y＝ f(x)在某点处的导数值为0 是函数y＝f(x)在这点处获得极值的()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．非充足非必需条件分析：选 B依据导数的性质可知，若函数y＝ f(x)在这点处获得极值，则f′(x)＝ 0，即32必需性建立；反之不必定建立，如函数 f (x)＝ x 在 R 上是增函数，f′(x)＝ 3x ，则 f′(0)＝ 0，但在 x＝ 0 处函数不是极值，即充足性不建立．故函数 y＝ f(x)在某点处的导数值为0 是函数y＝ f(x)在这点处获得极值的必需不充足条件，应选 B.22．设函数 f(x)＝x＋ ln x，则 ()1为 f(x)的极大值点A． x＝21B． x＝2为 f(x)的极小值点C． x＝ 2 为 f(x)的极大值点D． x＝ 2 为 f(x)的极小值点分析：选D由 f ′(x)＝－221＝11－2＝ 0可得 x＝ 2.当 0＜ x＜ 2 时， f′(x)＜ 0， f(x) x＋x x x单一递减；当 x＞ 2 时， f′(x)＞ 0， f(x)单一递加．故x＝ 2 为 f(x)的极小值点．3．已知函数32f (x)＝ 2x＋ ax ＋ 36x－ 24 在 x＝ 2 处有极值，则该函数的一个递加区间是()A． (2,3)B． (3，＋∞)C． (2，＋∞ )D． (－∞， 3)分析：选B由于函数f(x)＝ 2x3＋ ax2＋ 36x－ 24 在 x＝ 2 处有极值，又f′(x)＝ 6x2＋ 2ax＋36，所以 f′(2)＝ 0 解得 a＝－ 15.令 f′(x)＞ 0，解得 x＞ 3 或 x＜ 2，所以函数的一个递加区间是 (3，＋∞)．4．设函数 f( x)在 R 上可导，其导函数为f′(x)，且函数 f(x)在 x＝－ 2 处获得极小值，则函数 y＝ xf′(x)的图象可能是()分析：选 C由题意可得f′(－2)＝ 0，并且当 x∈ (－∞，－ 2)时， f′(x)＜ 0，此时xf′(x)＞0；清除 B、 D，当 x∈ (－ 2，＋∞)时， f′(x)＞ 0，此时若 x∈ (－ 2,0)， xf′(x)＜ 0，若 x∈(0，＋∞)， xf′(x)＞ 0，所以函数 y＝ xf′(x)的图象可能是 C.5．已知函数f(x)＝ x3－ px2－ qx 的图象与 x 轴切于 (1,0)点，则 f(x)的极大值、极小值分别为()44A. 27， 0B． 0，27C．－4， 0D． 0，－4 2727分析：选A f′(x)＝ 3x2－2px－ q，由 f′(1)＝ 0， f(1) ＝ 0 得，3－2p－ q＝ 0，p＝ 2，解得∴ f( x)＝ x3－ 2x2＋ x. 1－p－ q＝ 0，q＝－ 1，由 f′(x)＝ 3x2－ 4x＋ 1＝ 0 得 x＝13或 x＝ 1，易适当 x＝13时 f(x)取极大值274.当 x＝ 1 时 f(x)取极小值 0.6 ．设 x ＝ 1与 x ＝ 2是函数f(x) ＝ aln x ＋ bx2＋ x 的两个极值点，则常数 a ＝______________.分析：∵ f′(x)＝a＋ 2bx＋ 1，由题意得a＋ 2b＋ 1＝0，a＋ 4b＋ 1＝ 0.x22∴ a＝－ .3答案：－237．函数 f(x)＝ ax2＋ bx 在 x＝1处有极值，则 b 的值为 ________．a分析： f′(x)＝ 2ax＋ b，∵函数f(x)在 x＝1a处有极值，1 1∴f′a＝2a·＋ b＝ 0，即 b＝－ 2.a答案：－28.已知函数 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx，其导函数y＝ f′(x)的图象经过点 (1,0) ， (2,0)．如图，则以下说法中不正确的选项是 ________． (填序号 )①当 x＝3时，函数 f(x)获得最小值；2② f( x)有两个极值点；③当 x＝ 2 时函数值获得极小值；④当 x＝ 1 时函数获得极大值．分析：由图象可知， x＝ 1,2 是函数的两极值点，∴②正确；又x∈ (－∞， 1)∪ (2，＋∞)时， y＞ 0； x∈ (1,2)时， y＜ 0，∴ x＝ 1 是极大值点， x＝ 2 是极小值点，故③④正确．答案：①9．设 a 为实数，函数xf(x)＝ e － 2x＋ 2a， x∈ R，求 f(x)的单一区间与极值．解：由 f(x)＝ e x－ 2x＋ 2a， x∈ R 知 f′(x)＝ e x－ 2， x∈ R. 令 f′(x)＝ 0，得 x＝ ln 2.于是当 x 变化时， f′(x)， f(x)的变化状况以下表：x(－∞， ln 2)ln 2(ln 2 ，＋∞)f′(x)－0＋f (x)单一递减↘2(1－ ln 2＋ a)单一递加↗故 f( x)的单一递减区间是 (－∞， ln 2) ，单一递加区间是 (ln 2，＋∞)；且 f( x)在 x＝ ln 2 处获得极小值．极小值为 f(ln 2)＝ 2(1－ ln 2＋ a)，无极大值．10．已知 f(x)＝ ax3＋ bx2＋cx(a≠0)在 x＝±1 时获得极值，且 f(1)＝－ 1.(1)试求常数 a， b， c 的值；(2)试判断 x＝±1 时函数获得极小值仍是极大值，并说明原因．解： (1)由已知， f′(x)＝ 3ax2＋ 2bx＋ c，且 f′(－1)＝ f′(1)＝ 0，得 3a＋ 2b＋ c＝ 0,3a－ 2b＋ c＝ 0.又 f(1) ＝－ 1，∴ a＋b＋ c＝－ 1.∴ a ＝ 1， b ＝ 0， c ＝－3. 221 33x ， (2) 由 (1)知 f(x)＝ x －22∴ f ′(x)＝ 3x 2－ 3＝3(x － 1)(x ＋ 1)．22 2当 x<－ 1 或 x>1 时， f ′(x)>0；当－ 1<x<1 时， f ′(x)<0 ，∴函数 f(x)在 (－ ∞，－ 1)和 (1，＋ ∞)上是增函数，在 (－ 1,1)上为减函数．∴当 x ＝－ 1 时，函数获得极大值 f(－ 1)＝ 1；当 x ＝ 1 时，函数获得极小值f(1)＝－ 1.层级二应试能力达标1．函数 f(x)＝ ax 3＋ bx 在 x ＝ 1 处有极值－ 2，则 a ， b 的值分别为 ( )A ． 1，－ 3B ． 1,3C ．－ 1,3D ．－ 1，－ 3分析： 选 A ∵ f ′(x)＝ 3ax 2＋ b ，由题意知3a ＋ b ＝ 0，∴ af ′(1)＝ 0， f (1)＝－ 2，∴a ＋b ＝－ 2， ＝ 1， b ＝－ 3.32a 的取值范围是 ()2．已知 f(x)＝ x ＋ ax ＋ (a ＋ 6)x ＋ 1 有极大值和极小值，则 A ． (－ 1,2)B ． (－ 3,6)C ． (－∞，－ 3)∪ (6，＋ ∞ )D ． (－ ∞，－ 1)∪ (2，＋ ∞)分析： 选 C f ′(x)＝ 3x 2＋2ax ＋ a ＋ 6，∵ f( x)有极大值与极小值，∴ f ′(x)＝ 0 有两不等实根，∴＝ 4a 2－ 12(a ＋ 6)>0，∴ a<－ 3或 a>6.3．设 a ∈R ，若函数 y ＝ e x ＋ ax(x ∈R) 有大于零的极值点，则 ( )A ． a ＜－ 1B ． a ＞－ 111C ． a ＜－ eD ． a ＞－ e分析：选 A ∵ y ＝ e x ＋ ax ，∴ y ′＝ e x ＋ a.令 y ′＝ e x ＋ a ＝ 0，则 e x ＝－ a ，∴ x ＝ ln( － a)．又∵ x ＞ 0，∴－ a ＞ 1，即 a ＜－ 1.4．已知函数 f (x)＝ e x (sin x － cos x)， x ∈ (0,2 017 ，π)则函数 f (x)的极大值之和为 ()2π 2 018 ππ2 016 πe－ ee － eA.2πB. 2πe － 11－ eπ1 008 ππ 1 008 πe － ee－ eC.1－ e 2πD.1－ e π分析： 选 B f ′(x)＝ 2e x sin x ，令 f ′(x)＝ 0 得 sin x ＝ 0，∴ x ＝ k π， k ∈ Z ，当 2k π<x<2k π＋ π时， f ′(x)>0 ，f(x)单一递加，当 (2k － 1) π<x<2k π时， f ′(x)<0， f(x)单一递减，∴当 x ＝ (2k＋1) π ，f(x)取到极大，∵ x∈ (0,2 017 π)，∴ 0<(2k＋ 1) π<2 017 ，π∴ 0≤k<1 008 ，k∈ Z. ∴f(x)的极大之和S＝ f( π)＋f(3 π)＋f(5 π)＋⋯＋ f(2π3π5π2015π015 π)＝ e ＋ e ＋ e ＋⋯＋ e＝π2π 1 008π 2 016 πe [1－]e－ e，故 B.2π＝2π1－e1－ e5．若函数y＝－ x3＋ 6x2＋ m 的极大13，数m 等于 ______．分析： y′＝－ 3x2＋ 12x＝－ 3x(x－ 4)．由 y′＝ 0，得 x＝ 0 或 4.且 x∈ (－∞， 0)∪ (4，＋∞)，y′＜ 0；x∈ (0,4)， y′＞ 0，∴ x＝ 4 取到极大．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.答案：－ 1932a 的取范6．若函数 f( x)＝ x＋ x － ax－ 4 在区 (－ 1,1)上恰有一个极点，数______．分析：由意， f′(x)＝ 3x2＋ 2x－ a，f′(－1)f′(1)<0，即 (1－ a)(5－ a)<0，解得 1<a<5，此外，当 a＝ 1，函数 f(x)＝ x3＋232x－ x－ 4 在区 (－ 1，1)上恰有一个极点，当 a＝5 ，函数 f(x)＝ x ＋ x － 5x－ 4 在区 (－1,1)没有极点．故数 a 的范 [1,5)．答案： [1,5)7．已知函数 f(x)＝ e x(ax＋ b)－ x2－ 4x，曲 y＝ f (x)在点 (0，f(0)) 的切方程 y＝ 4x＋4.(1)求 a， b 的；(2)f(x)的性，并求 f(x)的极大．解：(1)f′(x)＝ e x( ax＋ a＋ b)－ 2x－ 4.由已知得f(0)＝ 4， f′(0)＝4，故 b＝ 4， a＋ b＝ 8.进而 a＝ 4， b＝ 4.(2) 由 (1)知， f(x)＝ 4e x(x＋ 1)－ x2－ 4x，′(＝x ＋－－＝＋e x－1f x)4e ( x 2)2x 4 4(x 2) 2.令 f′(x)＝ 0 得， x＝－ ln 2 或 x＝－ 2.进而当 x∈ (－∞，－2)∪ (－ ln 2，＋∞) ， f′(x)>0；当 x∈ (－ 2，－ ln 2)， f′(x)<0.故 f( x)在 (－∞，－ 2)， (－ ln 2，＋∞)上增，在 (－ 2，－ ln 2)上减．当 x＝－ 2 ，函数f(x)获得极大，极大－ 2f (－ 2)＝ 4(1－ e )．8．已知 f(x)＝ 2ln(x＋ a)－ x2－ x 在 x＝ 0 获得极．(1)求数 a 的．(2) 若对于 x 的方程 f(x)＋ b＝ 0 的区 [－ 1,1]上恰有两个不一样的数根，求数 b 的取范．2解： (1)f ′(x)＝－ 2x － 1，当 x ＝ 0 时， f(x)获得极值，所以 f ′(0)＝ 0，解得 a ＝ 2，查验知 a ＝ 2 切合题意．(2) 令 g(x)＝ f (x)＋ b ＝ 2ln(x ＋ 2)－ x 2 － x ＋ b ，5 则 g ′(x)＝ 2 － 2x － 1＝－2x x ＋ 2 (x ＞－ 2)． x ＋ 2x ＋ 2g(x)， g ′(x)在 (－ 2，＋ ∞)上的变化状态以下表：x( － 2,0) 0 (0，＋ ∞) g ′(x)＋ 0 － g(x) 2ln 2＋ b由上表可知函数在x ＝ 0 处获得极大值，极大值为 2ln 2＋ b. 要使 f(x)＋ b ＝ 0 在区间 [ －1,1]上恰有两个不一样的实数根，g － ≤0，只要 g ＞ 0，g ≤0，b ≤0，即 2ln 2 ＋ b ＞ 0， 2ln3 － 2＋ b ≤0，所以－ 2ln 2＜ b ≤2－ 2ln 3.故实数 b 的取值范围是 ( －2ln 2,2－ 2ln 3] ．。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章导数及其应用1.1.1、2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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(4)在公式ΔΔxy＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1中，当 x1 取定 值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特 别地，当函数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔyx＝0.
平均变化率为
fx2－fx1
___x_2_－__x1___
②曲线割线的 斜率
刻画函数值在
区间 [x_1_，__x_2_]_
上变化的快慢
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处 ①瞬时速度：物
刻画函数值在
的瞬时变化率是 lim
体在某一时刻
ΔΔyx＝Δ_lix_m→_0_f__x_0＋__Δ_ΔΔ_xxx_→－_0_f_x_0
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
为 g×2＋12g×0.1＝4210g.
(4)由(2)得物体在 t＝2 s 时的瞬时速度为 g×2＝2g.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
求函数f(x)在某点处的导数
已知f(x)＝x2＋3. (1)求f(x)在x＝1处的导数； (2)求f(x)在x＝a处的导数．
广东省惠州市第一中学高二数学人教A版选修导数及其应用生活中的优化问题举例PPT课件
广 东 省 惠 州 市第一 中学高 二数学 人教A版 选修2 －2 第 一 章 导 数 及其 应用 1 . 4 生 活 中 的 优 化问 题举例 (共24 张PPT)
栏目 导引
广 东 省 惠 州 市第一 中学高 二数学 人教A版 选修2 －2 第 一 章 导 数 及其 应用 1 . 4 生 活 中 的 优 化问 题举例 (共24 张PPT)
广 东 省 惠 州 市第一 中学高 二数学 人教A版 选修2 －2 第 一 章 导 数 及其 应用 1 . 4 生 活 中 的 优 化问 题举例 (共24 张PPT)
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广 东 省 惠 州 市第一 中学高 二数学 人教A版 选修2 －2 第 一 章 导 数 及其 应用 1 . 4 生 活 中 的 优 化问 题举例 (共24 张PPT)
第一章 导数及其应用
【解】 设 OO1 为 x m，则 1<x<4.由题设可得正六棱锥底面 边长为 32－（x－1）2＝ 8＋2x－x2. 于是底面正六边形的面积为 6· 43·( 8＋2x－x2)2＝323(8＋2x－x2)．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
帐篷的体积为 V(x)＝323(8＋2x－x2)13（x－1）＋1＝ 23(16＋12x－x3)． 求导数，得 V′(x)＝ 23(12－3x2)． 令 V′(x)＝0，解得 x＝－2(不合题意，舍去)或 x＝2. 当 1<x<2 时，V′(x)>0，V(x)为增函数； 当 2<x<4 时，V′(x)<0，V(x)为减函数． 所以当 x＝2 时，V(x)最大．
特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。
第一章 导数及其应用
面积、容积最值问题 请你设计一个帐篷，它下部的形状是高 为 1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥(如图所示)．试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为多少时，帐篷的体积最大？
广东省惠州市第一中学高二数学人教A版选修2-2 第一章 导数及其应用《导数在研究函数中的应用》习题课
导数在研究函数中的应用习题课讲义例1、一个物体的运动方程为21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒例2、 已知32()26f x x x a =-+(a 是常数)在[－2，2]上有最大值3，那么在[－2，2]上的最小值是（ ） A ．－5B ．－11C ．－29D ．－37例3、已知函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----,则(1)f '=（ ）A ．0B ．24C ．24-D ．120-例4、设函数()f x 是定义在R 上的可导函数，,x R ∀∈有2()(),f x f x x -+=在(0,)+∞上，()f x x '<，若(6)()1860f m f m m ---+≥，则实数m 的取值范围是( )A 、[3,3]-B 、[3,)+∞C 、[2,)+∞D 、(,3]-∞例5、定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x xe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞UC ．()(),00,-∞+∞UD ．()3,+∞ 例6、定义在R 上的可导函数()f x 满足()()xf x f x e '-<，且(0)4f =，则不等式()(4)xf x x e <+的解集为例7、已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 例8、过曲线y ＝x 3－x 2上一点)2,1(--P 的切线方程是 例9、若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是______ __．例10、抛物线2y x =上的点到直线20x y --=的距离的最小值为例11、已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0，1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1，2)上为增函数， 则a ＝例12、已知函数f (x )＝ax 2＋2ln x ，若当a >0时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围为________．例13、已知函数()2xf x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是例14、已知2()ln ,()2,f x x x ax g x x =-=--若对一切(0,)x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．例15、函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a ，10－a 2 )上有最大值，则实数a 的取值范围是____________例16、已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 例17、设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．例18、已知函数()()ln 1f x x =+.求证：（1） 当()0,x ∈+∞时，()1xf x x x<<+； （2） 1111111ln(1)1234123n n n++++<+<+++++L L .例19、已知函数()ln 1x f x ae x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．课后作业：课时作业8 导数在研究函数中的应用（强化练）导数在研究函数中的应用习题课讲义参考答案例1、C 例2、D 例3、B 例4、B 解析：令222111()(),()()()()0,222g x f x x g x g x f x x f x x =--+=--+-=∴Q 函数()g x 为奇函数，(0,)()()0,()(0,)x g x f x x g x ''∈+∞=-<∴+∞Q 时，在上为减函数，又(0)0,(0)0,f g =∴=所以函数()g x 在R 上为减函数，不等式(6)()1860f m f m m ---+≥可化为2211(6)(6)()(6)()22f m m f m mg m g m ---≥--≥即，而函数()g x 在R 上为减函数，所以6,3m m m -≤∴≥，故选B.例5、答案:A 解析:由()()1f x f x '+>得[()()]0[()]0,x x x x e f x f x e e f x e ''+->->即令()()x x g x e f x e =-,则()g x 在R 上是增函数, 因为(0)4f =,所以0(0)(0)413g e f e =-=-=,于是()3x xe f x e >+可化为()(0)g x g >,又()g x 在R 上是增函数,所以0.x >例6、答案:(0,)+∞,解析:由()()xf x f x e '-<得:()()()()()110]0,x x xf x f x f x f x f x x e e e''--'<⇒-<-<即[ 令()()x f x g x x e =-,则()g x 在R 上是减函数,因为(0)4f =,所以(0)4g =,不等式()(4)xf x x e<+可化为()4,()(0)x f x x g x g e-<<即,又()g x 在R 上是减函数,所以0.x >例7、),6()3,(+∞--∞Y 例8、y ＝5x ＋3或y ＝x －1 例9、]31,31[- 例10例11、2例12、),[+∞e 例13、(,2ln 22]-∞- 例14、 (,3]-∞ 解析：原问题等价于x x x a 2ln ++≤对),0(+∞∈x 恒成立，令)0(,)1)(2()(,2ln )(>-+='++=x xx x x F x x x x F ，易知.3,3)1()(min ≤∴==a F x F 例15、[－2，1) 例16、2-例17、解：（1）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．（2）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞U ，，．例18、证明：（1）令()()ln(1)(0)11x xg x f x x x x x =-=+->++， 则2211()0(0)1(1)(1)xg x x x x x '=-=>>+++ 所以()(0,)g x +∞在上是增函数，所以当()0,x ∈+∞时，()(0)0g x g >=， 即()1xf x x >+成立. 令()()ln(1)(0)h x f x x x x x =-=+->， 则1()10(0)11x h x x x x '=-=-<>++ 所以()(0,)h x +∞在上是减函数，所以当()0,x ∈+∞时，()(0)0h x h <=， 即()f x x <成立. 综上所述，当()0,x ∈+∞时，()1xf x x x <<+成立. （2）由（1）可知：当0x >时，有ln(1)1x x x x <+<+，令1(1,2,3,,)x k n k ==L ，得 111ln(1)(1,2,3,,)1k n k k k <+<=+L ，即11ln(1)ln (1,2,3,,)1k k k n k k<+-<=+L 于是可以得到下面n 个不等式：1ln 2ln112<-<， ,212ln 3ln 31<-< …，11ln(1)ln 1n n n n <+-<+ 将以上n 个不等式相加得：1111111ln(1)1234123n n n++++<+<+++++L L .例19、解：（1）)(x f 的定义域为(0)+∞，，)0(1)(>-='x xae x f x由题设知，0)2(='f ，所以212a e =． 从而21()ln 12x f x e x e =--，211()2x f x e e x'=-． 又211()2x f x e e x'=-在),0(+∞上是增函数，且0)2(='f 所以当20<<x 时，0)(<'x f ；当2>x 时，0)(>'x f ． 所以)(x f 在)2,0(上单调递减，在),2(+∞上单调递增．（2）当e a 1≥时，.1ln )(--≥x e e x f x ． 设xe e x g x e e x g x x 1)(,1ln )(-='--=则， 又1()x e g x e x'=-在),0(+∞上是增函数，且0)1(='g所以当10<<x 时，0)(<'x g ；当1>x 时，0)(>'x g ．所以1=x 是)(x g 的最小值点． 故当0>x 时，.0)1()(=≥g x g因此，当1a e ≥时，()0f x ≥．（2）另证：要证当e a 1≥时，0)(≥x f ，只要证明当e a 1≥时，x e x a 1ln +≥，只需证明ee x x 11ln ≤+ 令)0(1ln )(>+=x e x x g x，则x x x xe x x e x e e x x g ---=+-=')1ln 1()()1(ln 1)(2，令1ln 1)(--=x xx h ，易知)(x h 在),0(+∞上是减函数，且0)1(=h ，所以当)1,0(∈x 时，0)(0)(>'⇒>x g x h ，当),1(+∞∈x 时，0)(0)(<'⇒<x g x h ，当1=x 时，0)1(0)1(='⇒=g h ，所以)(x g 在]1,0(上是增函数，在),1[+∞上是减函数，所以)1()(g x g ≤，即ee x x 11ln ≤+成立. 所以当ea 1≥时，0)(≥x f 成立.。
人教版广东省惠州市第一中学高二数学选修2-2 第一章 导数及其应用 几个常用函数的导数(共18张PP
练习 2．已知曲线 y＝ln x 的一条切线方程为 x－y＋c＝0，求 c 的值． 解：设切点为(x0，ln x0)， 由 y＝ln x 得 y′＝1x. 因为曲线 y＝ln x 在 x＝x0 处的切线方程为 x－y＋c＝0，其斜 率为 1.所以 y′|x＝x0＝x10＝1，即 x0＝1，
所以切点为(1，0)． 所以 1－0＋c＝0，所以 c＝－1.
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
求下列函数的导数． (1)y＝3x； (2)y＝log3x. 解:(1)因为 y＝3x，所以 y′＝3xln 3.
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
达标训练一
求下列函数的导数:
《函数的极值与导数》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.3.2课时)
y y fx
a ob x
图1.3 10
新知探究
极大值的概念 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),我们就说f(x0)是函 数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0). 极小值的概念
A. y=-x3 D. y=1/x
B. y=cos2x
C. y=tanx-x
课堂练习
2.曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( B )
A. –5
B. –6
C. –7
D. –8
课堂练习 3. 下列说法正确的是 （ C ）
h' a 0
单调递增
h' t 0
单调递减
h' t 0
图1.3 9
新知探究
探究 下图中函数y=f(x)在a—j点的函数值与这些点附近的函数值有什么函数关系？y=f(x)在这些 点得到数值是多少？在这些点附近，该函数的导数符号有什么规律？
y y fx
y
y fx
a ob x
图1.3 10
c d e f og h i j x
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
1.3.2函数的极值与导数
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
课前导入
一般地，函数的单调性与导数的关系： 在某个区间a, b内, 如果f ' x > 0, 那么 函数y = f x在这个区间内单调递增; 如果 f ' x < 0,那么函数 y = f x在这个区间内
人教高中数学选修2-2第一章 1.3.2函数的极值与导数课件公开课(共18张PPT)
y P(x1,f(x1)) o a x1 y=f(x)
Q(x2,f(x2)) x2 x x
b
x
3、导数为0的点一定是极值点吗？
y y=x3
而 x 0 不是该函数的极值点.
o x
f ' x 3x 2 ，令 f ' x 0 ，则 x 0 ，
列表
求极值
勇攀高峰：
(2016年河南高考题节选)已知 f x x ax bx
3 2
在 x 1 与
2 x 3
时都取得极值. （1）求 a , b 的值； （2）求 f x 的极值.
【解】 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b，令 f ′(x )＝0. 2 由题设，知 x 1＝1 与 x 2＝－ 为 f ′(x )＝0 的解． 3 2 2 b 2 ∴－ a＝1－ ， ＝1×(－ )． 3 3 3 3 1 ∴a＝－ ，b＝－2. 2
庐山
1.3.2 函数的极值与导数
学习目标： 1、理解函数极值的概念，掌握利用导数求函数极 值的方法。 2、培养学生观察、归纳的能力；学会运用数形结 合的方法解决问题。 重点：学会用导数求函数极值的方法，并能灵活运用。
思、议： 阅读教材P26---P29回答下列问题：
1、什么是极小值，什么是极大值？各有什么特点？ 2、（1）函数的极大值一定大于极小值吗？ （2）函数的极大值和极小值是惟一的吗？ （3）区间的端点能为极值点吗？ 3、导数为0的点一定是极值点吗？
夯实基础：
3 2 f ( x ) x 3 x 9x 5的极值. 求函数
解：（1）f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.
高中数学人教版选修2-2全套教案设计
第一章导数及其应用§1.1。
1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线；三、求已知函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现,随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。
从数学角度，如何描述这种现象呢?⏹气球的体积V（单位：L)与半径r(单位:dm）之间的函数关系是⏹如果将半径r表示为体积V的函数，那么⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为⑵当V从1增加到2时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）= —4。
9t2+6。
5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？思考计算：和的平均速度在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题:⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:如图是函数h（t)= —4.9t2+6。
人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数
第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用函数的极值与导数A 级基础稳固一、选择题1．函数 f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如下图，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点、两个极小极值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点分析：由导函数f′(x)的图象可知， f′ (x)＝ 0 有四个零点，依据极值的观点知，函数f(x)有两个极大值点、两个极小值点．答案： C2． f′ (x0)＝ 0 是可导函数f(x) 在点 x0处取极值的 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析： f′(x不可以保证 f′(x)在x0左右两边异号，故不可以保证有极值，但f(x)在 x 处有0)＝00极值则必有f′(x0)＝ 0.答案： B3．设函数x，则() f(x)＝ xeA． x＝ 1 为 f(x)的极大值点B． x＝ 1 为 f(x)的极小值点C． x＝－ 1 为 f (x)的极大值点D． x＝－ 1 为 f (x)的极小值点分析： f′(x)＝ e x＋ xe x＝ (1＋ x)e x，令 f′(x)＝ 0，得 x＝－ 1，当 x＜－ 1 时， f′ (x)＜ 0；当 x ＞－ 1 时， f′ (x)＞ 0.因此 x＝－ 1 为 f( x) 的极小值点．答案： D24．已知函数y＝ x－ ln (1＋ x ) ，则函数 y 的极值状况是() A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值分析： x∈ R，由于 y′＝ 1－12· (1＋x 2) ′＝ 1－2x2＝（ x－ 1）22≥ 0 恒建立，1＋x1＋x1＋ x 因此函数 y＝ x－ ln (1 ＋ x2)无极值．答案： D5．函数 y＝ ax3＋ bx2获得极大值和极小值时的x 的值分别为 0 和1，则() 3A． a－ 2b＝ 0B． 2a－ b＝ 0 C． 2a＋ b＝ 0D． a＋ 2b＝ 0分析： y′＝ 3ax2＋ 2bx，依题意，0 和1是方程322b13ax ＋ 2bx＝ 0 的两根，因此－＝，因此a＋2b＝0.答案： D二、填空题π6．函数 f(x)＝ x＋ 2cos x 在 0，2上的极大值点为________．π分析： f′(x)＝ 1－ 2sin x，令 f′(x)＝ 0 得 x＝6.π当 0＜x＜时，f′ (x)＞0；6ππ当＜ x＜时， f′ ( x) ＜ 0.62π因此当 x＝时， f (x)有极大值．6答案：π67．设 x＝ 1 与 x＝ 2 是函数 f(x)＝ aln x＋ bx2＋ x 的两个极值点，则常数a＝ ________．分析： f′(x)＝a＋ 2bx＋ 1，由题意得a＋ 2b＋ 1＝ 0，a＋ 4b＋ 1＝ 0，x22解得 a＝－ .3答案：－238．若函数 y＝ x·2x在 x＝ x0时取极小值，则x0＝________．答案：－1ln 2三、解答题9．已知函数f(x)＝ x3－ px2－ qx 的图象与x 轴切于 (1， 0)点，求 f(x)的极大值及极小值．解： f′(x)＝ 3x2－ 2px－ q，由 f ′(1)＝ 0， f(1)＝ 0 得，3－ 2p－ q＝ 0，解得 p＝ 2， q＝－ 1，1－ p－ q＝ 0，因此 f(x)＝ x3－ 2x2＋ x.由 f′(x)＝ 3x2－ 4x＋ 1＝ 0 得 x＝13或 x＝ 1，易适当 x＝1时， f(x)取极大值4 ，327当 x＝1 时， f(x)取极小值 0.10．设函数 f(x)＝ x3－ 3ax＋ b(a≠0)．(1)若曲线 y＝ f(x)在点 (2， f(2)) 处与直线 y＝ 8 相切，求 a， b 的值；(2)求函数 f(x)的单一区间与极值点．解： (1) 由已知可得 f′(x)＝ 3x2－ 3a(a≠0)．由于曲线 y＝ f(x)在点 (2， f(2)) 处与直线 y＝ 8 相切，f′（ 2）＝ 0，3（ 4－ a）＝ 0，因此即f（ 2）＝ 8，8－ 6a＋ b＝8，解得 a＝ 4， b＝ 24.(2)f′(x)＝ 3(x2－ a)( a≠0)．当 a＜0时， f′ (x)＞ 0，函数 f(x)在 (－∞，＋∞)上单一递加，此时函数 f (x)没有极值点．当 a＞0时，由 f′(x)＝ 0，得 x＝± a.当 x∈(－∞.－a) 时， f′ (x)＞ 0，函数 f(x)单一递加；当 x∈(－ a， a)时， f′ (x)＜ 0，函数 f( x)单一递减；当 x∈(a，＋∞)时， f′ (x)＞ 0，函数 f(x) 单一递加．此时 x＝－ a是 f(x)的极大值点， x＝ a是 f(x)的极小值点．B 级能力提高1312在 (0， 2)内有极小值，则 () 1．函数 f(x)＝ x － (2b＋ 1)x＋ b(b＋ 1)x32A． 0＜ b＜ 1B． 0＜ b＜ 2C．－ 1＜ b＜ 1D．－ 1＜ b＜ 2分析： f′(x)＝ x2－ (2b＋ 1)x＋ b(b＋ 1)＝ (x－ b)，令 f′(x)＝ 0，则 x＝ b 或 x＝ b＋ 1， x＝ b＋ 1是极小值点，因此0＜b＋ 1＜ 2，得－ 1＜ b＜ 1.答案： C2．若函数y＝－ x3＋ 6x2＋ m 的极大值为 13，则实数m 等于 ________．分析： y′＝－ 3x2＋ 12x＝－ 3x(x－ 4)．由 y′＝ 0，得 x＝0 或 x＝ 4.且 x∈ (－∞， 0)或 x∈ (4，＋∞)时，y′＜ 0； x∈ (0， 4)时， y′＞ 0.因此 x＝ 4 时取到极大值．故－ 64＋ 96＋ m＝ 13，解得 m＝－ 19.答案：－ 193．已知函数f(x)＝ e x(ax＋ b)－ x2－ 4x，曲线 y＝ f(x)在点 (0，f(0)) 处的切线方程为y＝ 4x＋4.(1)求 a， b 的值；(2)议论 f(x)的单一性，并求f(x)的极大值．解： (1)f′(x)＝ e x(ax＋ a＋ b)－ 2x－ 4.由已知得f(0) ＝ 4， f′ (0) ＝ 4，故 b＝ 4，a＋ b＝ 8.进而 a＝ 4， b＝ 4.(2)由 (1)知， f(x)＝4e x (x＋ 1)－ x2－ 4x，1′＝x ＋－－＝＋e x－.f(x)4e (x 2)2x 4 4(x 2) 2令 f′(x)＝ 0 得， x＝－ ln 2 或 x＝－ 2.进而当 x∈ (－∞，－ 2)或 x∈ (－ ln 2，＋∞)时， f′ (x)＞ 0；当 x∈ (－ 2， ln 2)时， f′ (x)＜0.故 f(x)在 (－∞，－ 2)， (－ ln 2，＋∞)上单一递加，在(－ 2，－ ln 2)上单一递减．当 x＝－ 2 时，函数 f (x)获得极大值，极大值为f(－ 2)＝－24(1－ e )．。
函数的极值与导数-高二数学人教版(选修2-2)(解析版)
第一章 导数及其应用1.3.2 函数的极值与导数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a 为函数31(–)2f x x x =的极大值点，则a = A ．–4 B ．–2 C ．4D ．2【答案】B【解析】23123(2)((2))f x x x 'x =-=+-，令0()f 'x =得2x =-或2x =，易得()f x 在(,2)-∞-上单调递增，在()2,2-上单调递减，故()f x 的极大值点为2-，即2a =-，故选B ． 2．设函数()e x f x x =，则 A ．x ＝1为()f x 的极大值点B ．x ＝1为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点【答案】D【解析】本题考查函数的极值点．由题意得e (())1xf x x '+=，令0()f x '>，得1x >-；令0()f x '<，得1x <-，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，所以1x =-为()f x 的极小值点．故选D ．3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x =-'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f【答案】D【解析】由函数的图象可知，(2)0f '-=，(2)0f '=，并且当2-<x 时，()0f x '>；当12<<-x 时，()0f x '<，则函数()f x 有极大值(2)f -．又当21<<x 时，()0f x '<；当2>x 时，()0f x '>，则函数()f x 有极小值(2)f ．故选D ． 4在(0,2)内有极小值，则 A ．01b << B ．02b << C ．11b -<<D ．12b -<<【答案】C【解析】2()(21)(1)()()]1[f x x b x b b x b x b '=-+++=--+，令()0f x '=，得1x b x b ==+或，当x b <时，()0f x '>，函数是增函数；当1b x b <<+时，()0f x '<，函数是减函数；当1x b >+时，()0f x '>，函数是增函数，1x b ∴=+是极小值点，012b ∴<+<，11b ∴-<<，故选C ．51x =是函数()f x 的极大值点，则实数a 的取值范围为 A ．(1,0)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(0,)+∞【答案】B，由题意可知()01f '=，即b -=10≥a ，由()0f 'x =，得1=x ，当10<<x 时，()0f 'x >，此时()f x 单调递增；当1>x 时，()0f 'x <，此时()f x 单调递减，所以1=x 是()f x 的极大值点．②若0<a ，则由()0f 'x =，得1=x 或ax 1-=．1=x 是函数()f x 的极大值点，11>-∴a，解得01<<-a ．综合①②可得，实数a 的取值范围是(1,)-+∞．故选B ． 6．已知a 为常数，函数l )()n (f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则 A ．1()0f x >，2()12f x >-B ．1()0f x <，2()12f x <-C ．1()0f x >，2()12f x <-D ．1()0f x <，2()12f x >-【答案】D【解析】由题可得ln (2)1x x f x 'a =-+，易知ln y x =在点P （1，0）处的切线为1y x =-． 当021a <<时，直线21y ax =-与曲线ln y x =交于不同两点（如下图），且121x x <<，111111111(ln )(2))0()1(1f x x x ax x ax ax x ax =-=--=-<，2222222222ln 1ln 1ln111(ln )()(ln )2222x x x x f x x x ax x x +-⋅-=-=-=>=-， 易知函数ln y x x x =-在(1,)+∞上单调递增，所以2221222>=-， 即2()12f x >-，故选D ．【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的零点与方程的根的问题，属于难题．已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象：一是转化为两个函数,()()y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为,()y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题． 二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________________． 【答案】(,3)(6,)-∞-+∞【解析】由题意得2()3260f x x ax a '=+++=有两个不相等的实根，则2(2)43(6)03a a a ∆=-⋅+>⇒<-或6a >，故实数a 的取值范围是(,3)(6,)-∞-+∞．8．已知函数()e x x f ax =-，0a >，则函数()f x 的极小值为________________． 【答案】ln a a a -【解析】函数()f x 的定义域为R ，()e x'a x f =-，令()0f 'x >，得ln x a >，所以()f x 的单调递增区间是(ln ,)a +∞；令()0f 'x <，得ln x a <，所以()f x 的单调递减区间是(,ln )a -∞，故函数()f x 在ln x a =处取得极小值，所以ln ()(ln )e ln ln af f a a a a a x a ==-=-极小值．9．已知函数22ln ()2f x x x x ax =-+，其中0a >，()g x 是()f x 的导函数，则函数()g x 的极大值为________________． 【答案】2a【解析】由题可得2l (n )22(2)g x x x f a 'x =-+=+，则，易得函数()g x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减，所以函数()g x 的极大值为2(1)g a =．101x =处取得极值43-，则实数b =________________． 【解析】由题可得22()x x f 'bx c =-++，因为函数()f x 在1x =处取得极值43-， 所以11(2)0b 'c f -++==且3(1)143b c bc f -+++=-=，解得13b c =-⎧⎨=⎩或11b c =⎧⎨=-⎩．当11b c =⎧⎨=-⎩时，2221(1())0f x x x 'x =-+-=--≤，不符合题意；当13b c =-⎧⎨=⎩时，223(3)(1())x x x x x f '=--+=-+-，满足题意．综上，实数1b =-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）20x y +-=；（2）见解析．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1a f x x'=-． （1）当2a =时，()2ln f x x x =-，2()1(0)f x x x'=->，则(1)1f =，(1)1f '=-， 故()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=． （2）由()1,0a x a f x x x x-'=-=>可知： ①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值; ②当0a >时，由()0f x '=，解得x a =．当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>．故()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()ln f a a a a =-，无极大值．综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -，无极大值．12．已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 存在极值，且所有极值之和大于15ln2-，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间；（2）(4,)+∞． 【解析】（1）由题可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当0a =时，2()ln f x x x =--，1()20f x x x'=--<恒成立， 所以函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间．（2）由题可得221()x ax f x x-+'=-，0x >，因为函数()f x 存在极值，所以221()x ax f x x-+'=-在(0,)+∞上存在变号零点，令2()21g x x ax =-+，则函数()g x 在(0,)+∞上存在变号零点，因为(0)10g =>，所以280a ∆=->且022a-->⨯，解得a >记函数()g x 的两个零点分别为1x ，2x ，21x x <， 易得1()()f x f x =极小值，2()()f x f x =极大值，122x a x +=，1212x x =， 所以22122211212211()()()(ln ln )1ln 5ln (242)2a a f x f x a x x x x x x +=+-+-+=-+->-，即216a >，结合a >4a >，故实数a 的取值范围为(4,)+∞． 13．已知函数xxx f ln 1)(+=． （1）求函数)(x f 的极值；（2）求证：当1>x 时，2()1f x x >+． 【答案】（1）函数)(x f 的极大值为1，没有极小值；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题可得)0(ln )(2>-='x x xx f ， 当)1,0(∈x 时0)(>'x f ，)(x f 单调递增；当),1(+∞∈x 时0)(<'x f 时，)(x f 单调递减， 所以1=x 是函数)(x f 的极大值点，极大值为(1)1f =， 故函数)(x f 的极大值为1，没有极小值． （2）要证2()1f x x >+，即证(1)(1ln )2x x x ++>， 令x x x x g )ln 1)(1()(++=，则22ln )1)(ln 1(])1)(ln 1[()(x xx x x x x x x x g -=++-⋅'++='，令x x x h ln )(-=，则xx x x h 111)(-=-='，因为1>x ，所以0)(>'x h ，所以)(x h 在),1(+∞上是增函数，所以01)1()(>=>h x h ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在),1(+∞上是增函数，所以当1>x 时，2)1()(=>g x g ，即(1)(1ln )2x x x ++>，所以当1>x 时，2()1f x x >+．。
【全国百强校】广东省惠州市第一中学高二数学人教A版选修2-2 第一章 导数及其应用 章末复习测试
课时作业14 章末复习提升课1．下列求导运算正确的是( )A.'⎪⎭⎫⎝⎛x ln 1＝x B ．(x e x )′＝e x ＋1 C ．(x 2cos x )′＝－2x sin x D.)1('+x x ＝1－1x 22．若曲线f (x )＝x 4－2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(1，1) B ．(1，－1) C ．(－1，1) D ．(－1，－1) 3．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32 D.3 4．函数y ＝ln|x |x的示意图是( )5．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( )A ．0≤a ≤21B ．a ＝0或a ＝7C ．a ＜0或a ＞21D ．a ＝0或a ＝216．若曲线y ＝ax 2－ln(x ＋1)在点(1，b )处的切线平行于x 轴，则a ＝________． 7．已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x1＋x，x ≥0，其中a >0，若0)1(='f ，则a 的值是________． 8．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1，1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1，1]上的最小值是________． 9．已知F (x )＝).,1(,)4(1+∞-∈-⎰-x dt t t x(1)求F (x )的单调区间； (2)求函数F (x )在[1，5]上的最值．10．若函数f (x )＝ax 2＋2x －43ln x 在x ＝1处取得极值．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间及极值．11．若函数f (x )＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 、b 的大小不能确定12．要做一个圆锥形漏斗，其母线的长为20 cm ，要使体积最大，则高为________． 13．设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0，1]上的最大值为12，求a 的值．14．(选做题)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数)．(1)当a ＝5时，求函数y ＝g (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若关于x 的方程g (x )＝2e x f (x )在],1[e e上有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．课时作业14 章末复习提升课答案1-5：DBDAA 6．答案：147．答案：1 8．答案：－129．解：F (x )＝x xt t dt t t 1231)231()4(---=-⎰＝13x 3－2x 2－)231(--＝13x 3－2x 2＋73 (x >－1)． (1)由F ′(x )>0 (x >－1)，即F ′(x )＝x 2－4x >0 (x >－1)，得－1<x <0或x >4；由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4，所以F (x )的单调递增区间为(－1，0)和(4，＋∞)，单调递减区间为(0，4)．(2)由(1)知F (x )在[1，4]上递减，在[4，5]上递增．因为F (1)＝13－2＋73＝23， F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253， F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6.所以F (x )在[1，5]上的最大值为23，最小值为－253.10．解：(1))(x f '＝2ax ＋2－43x ， 由)1(f '＝2a ＋23＝0，得a ＝－13.(2)f (x )＝－13x 2＋2x －43ln x (x >0)． )(x f '＝－23x ＋2－43x ＝－2（x －1）（x －2）3x (x >0).由)(x f '＝0，得x ＝1或x ＝2.①当)(x f '>0时，1<x <2； ②当)(x f '<0时，0<x <1或x >2. 当x 变化时)(x f '，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增为f (1)＝53，极大值为f (2)＝83－43ln 2.11．解析：选A.)(x f '＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则)(x g '＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x ，当0<x <1时，)(x g '<0，即g (x )在(0，1)上是减函数，得g (1)<g (0)＝0，则g (x )<0在(0，1)上恒成立，故)(x f '<0，即函数f (x )在(0，1)上是减函数，得a >b ，故选A.12．答案：2033 cm 解析：设圆锥形漏斗的高为h cm ，则0<h <20，圆锥的体积为V cm 3.由题意知，V ＝13π(400－h 2)×h ，所以V ′(h )＝13π(400－3h 2)，令V ′(h )＝0，得h 2＝4003，所以h＝2033.当0<h <2033时，V ′>0；当2033<h <20时，V ′<0，所以当h ＝2033时，V 取最大值．13．解：函数f (x )的定义域为(0，2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x （2－x ），所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)． (2)当x ∈(0，1]时，f ′(x )＝2－2xx （2－x ）＋a >0，即f (x )在(0，1]上单调递增，故f (x )在(0，1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.14．解：(1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)·e x ，g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x ，所以在x ＝1处切线的斜率为g ′(1)＝4e.又g (1)＝e ， 所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即y －4e x ＋3e ＝0. (2)由g (x )＝2e x f (x )可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3，所以a ＝x ＋2ln x ＋3x ，令h (x )＝x ＋2ln x ＋3x )1(e x e≤≤，则h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2.当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：h )(e ＝1e ＋3e －2，h (1)＝4，h (e)＝3e ＋e ＋2，h (e)－h )(e ＝4－2e ＋2e <0，可知h )(e>h (e)，所以实数a 的取值范围为].23,4(++e e。
高中数学选修2-2讲义：第一章 3 2 第一 利用导数研究函数的极值问题 含答案
1．3.2利用导数研究函数的极值第一课时利用导数研究函数的极值问题已知y＝f(x)的图像(如图)．问题1：函数y＝f(x)在b，c，d，e点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？提示：在b，d点的函数值是这两个点附近的函数值中最大的，而在c，e点的函数值是这两个点附近的函数值中最小的．问题2：y＝f(x)在b，c，d，e点的导数值是多少？提示：f′(b)＝f′(c)＝f′(d)＝f′(e)＝0.问题3：在b，c，d，e点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？提示：在b，d点附近的导数的符号是左正右负，而在c，e点附近的导数的符号是左负右正．1．极值的概念(1)极大值与极大值点：已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，f(x)<f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点．(2)极小值与极小值点：如果在x0f(x)>f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．(3)极值与极值点：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．2．求函数y＝f(x)极值的方法(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；(3)考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值，如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)的符号不变，则f(x0)不是极值．1．对极值概念的理解(1)函数的极值是一个局部概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或是最小的．(2)在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一，也可能不存在，并且极大值与极小值之间无确定的大小关系．2．极值与极值点辨析(1)函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应点的纵坐标．(2)极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点．3．导数与极值的关系根据极值的定义可知，对于一个可导函数，如果函数y＝f(x)在x0处取得极值，则它在该极值点x0处的导数值等于0，但导数值为0的点不一定是函数的极值点．例如，函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但由于当x＜0和x＞0时均有f′(x)＞0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．[例1]求下列函数的极值．(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝ln x x.[思路点拨]首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值．[精解详析](1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：[对应学生用书P17]因此，x ＝－1是函数的极大值点，极大值为f (－1)＝10；x ＝3是函数的极小值点，极小值为f (3)＝－22.(2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln x x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此，x ＝e 是函数的极大值点，极大值为f (e)＝1e ，没有极小值．[一点通] 求函数极值的流程：1．函数y ＝1＋3x －x 3有( ) A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2D ．极小值－1，极大值3解析：y ′＝3－3x 2，令y ′＝3－3x 2＝0，得x ＝±1， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化状态如下：所以当x ＝－1时取得极小值－1，当x ＝1时取得极大值3. 答案：D2．求函数f (x )＝x 2e －x 的极值．解：函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2x e －x ＋x 2e －x (－x )′＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化状态如下表：从表中可以看出，当x ＝0时，函数f (x )有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数f (x )有极大值，且f (2)＝4e2.[例2] 若函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，试求a ，b 的值． [思路点拨]求导数f ′(x )―→列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0―→解方程组得a ，b ―→检验[精解详析] 设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， 则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝10，f ′(1)＝0即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＝9，2a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，但由于当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3≥0， 故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，不合题意，舍去；而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11时，经检验知符合题意，故a ，b 的值分别为4，－11. [一点通]已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知－3是3x 2＋2ax ＋3＝0的根，解3×(－3)2＋2a (－3)＋3＝0得a ＝5，经检验a ＝5时符合题意．答案：54．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3ax ＋1在区间(－∞，＋∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解：依题意，f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3a ＝0有两个不同实根， ∴Δ＝(－2a )2－4×3×3a ＞0， 解得：a ＜0或a ＞9. 答案：(－∞，0)∪(9，＋∞)5．设函数f (x )＝x 2e x －1＋ax 3＋bx 2，已知x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点．(1)求a 和b 的值； (2)讨论f (x )的单调性；解：(1)f ′(x )＝e x －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx ＝x e x －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )，因为x ＝－2和x ＝1是f (x )的极值点， 所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6a ＋2b ＝0，3＋3a ＋2b ＝0，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝－1.(2)因为a ＝－13，b ＝－1，所以f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1. 因为当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－2,0)，(1，＋∞)上是单调递增的； 在(－∞，－2)，(0,1)上是单调递减的.[例3] (12分)已知a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a . (1)求函数f (x )的极值，并画出其图像(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？ [精解详析] (1)由f (x )＝－x 3＋3x ＋a ， 得f ′(x )＝－3x 2＋3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.(2分) 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2； 极大值为f (1)＝a ＋2.(5分)由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图像，如图所示．(7分)(2)结合图像，当极大值a ＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰有两个实数根，所以a ＝－2满足条件；当极小值a －2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰好有两个实数根，所以a ＝2满足条件．综上，当a ＝±2时，方程恰有两个实数根．(12分)[一点通](1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图像问题，一般地，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图像与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )的图像的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x 轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．6．在例3中当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x ) 与x 轴仅有三个交点？解：函数f (x )的大致图像如图所示：当函数f (x )的极大值a ＋2＞0且极小值a －2＜0时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有三个交点，所以所求实数a 的范围是(－2,2)．7．求函数f (x )＝x 3－3x 2－a (a ∈R )的极值，并讨论a 为何值时函数f (x )恰有一个零点． 解：f ′(x )＝3x 2－6x ，函数f (x )的定义域为R ， 由f ′(x )＝0得x ＝0，或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化状态如下表：因此，函数在x ＝0处有极大值，极大值为f (0)＝－a ；在x ＝2处有极小值，极小值为f (2)＝－4－a .函数y ＝f (x )恰有一个零点即y ＝f (x )的图像与x 轴只有一个交点(如图)，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (2)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＜0，f (2)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＞0，－4－a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜0，－4－a ＜0，解得a ＜－4或a ＞0，所以当a ＞0或a ＜－4时，函数f (x )恰有一个零点．根据可导函数极值的定义，可知：(1)极大(小)值未必是最大(小)值，函数可以有多个数值不同的极大(小)值； (2)极大(小)值是局部领域内的最大(小)值；(3)极大(小)值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值； (4)f ′(x 0)＝0只是可导函数f (x )在x 0取得极值的必要条件，不是充分条件．1．函数f (x )＝2－x 2－x 3的极值情况是( ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既无极大值也无极小值D ．既有极大值又有极小值解析：f ′(x )＝－2x －3x 2，令f ′(x )＝0有x ＝0或x ＝－23.当x ＜－23时，f ′(x )＜0；当－23＜x ＜0时，f ′(x )＞0；当x ＞0时，f ′(x )＜0，从而在x ＝0时，f (x )取得极大值，在x ＝－23时，f (x )取得极小值．答案：D2．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图像如图所示，则函数f (x )()A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点解析：由导数与函数极值的关系知，在x 0的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则f (x )在x ＝x 0处取得极大值；若在x 0的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则f (x )在x ＝x 0处取得极小值，[对应课时跟踪训练(七)]设y ＝f ′(x )图像与x 轴的交点从左到右横坐标依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则f (x )在x ＝x 1，x ＝x 3处取得极大值，在x ＝x 2，x ＝x 4处取得极小值．答案：C3．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3D ．－1，－3解析：f ′(x )＝3ax 2＋b ，由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3.答案：A4．对于函数f (x )＝x 3－3x 2，给出下列命题： ①f (x )是增函数，无极值； ②f (x )是减函数，无极值；③f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)； ④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值． 其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝3x 2－6x >0，得x >2或x <0；令f ′(x )＝3x 2－6x <0，得0<x <2.∴函数f (x )在区间(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减，当x ＝0和x ＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4.答案：B5．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． 解析：∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a ，若y ′＝0，则a ＝－e x ，由已知得：x ＞0，∴e x ＞1，故a ＜－1.答案：(－∞，－1)6．函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋3x 的极值点为x 1＝1，x 2＝2，则a ＝________，b ＝________. 解析：f ′(x )＝ax ＋2bx ＋3＝2bx 2＋3x ＋a x ，∵函数的极值点为x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＝1，x 2＝2是方程f ′(x )＝2bx 2＋3x ＋ax＝0的两根，即为2bx 2＋3x ＋a ＝0的两根，∴由根与系数的关系知⎩⎨⎧－32b＝1＋2，a2b ＝1×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－12.答案：－2 －127．求函数f (x )＝3x＋3ln x 的极值．解：函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化状态如下表：因此当x ＝1时，f (x )有极小值，并且f (1)＝3. 8．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，由f ′(x )>0解得x <－a ，或x >a ， 由f ′(x )<0解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )， (a ，＋∞)，f (x )的单调减区间为(－a ，a )． (2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值，高中数学课程11 f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0.∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3.由f ′(x )＝0解得x ＝－1或x ＝1，由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图像有三个不同的交点， 结合图像可知m 的取值范围是(－3,1)．。
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解方程 f ' x 0 ，当 f ' x0 0 时：
（1）如果在 x 0 附近的左侧 f ' x 0 ，右侧 f ' x 0 ，
那么 f x0 是极大值；
（2）如果在 x 0 附近的左侧 f ' x 0 ，右侧 f ' x 0 ，
那么f x0 是极小值
练习： 下列结论中正确的是（ B ）。
y f x x3
A、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0, 那么 f(x0)是极大值。 C、如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0, 那么f(x0)是极大值。 Ｄ、极大值一定大于极小值。
x
0
巩固练习：求函数 f x3xx3的极值
解:∵ f x3xx3
y f x
ao
f(a)(0图一)b
问题：
x
y f x
e cd of g h x
(图二)
（1）函数 y f x 在点 a , b 的函数值与这些点
附近的函数值有什么关系?
（2）函数 y f x 在点 a , b 的导数值是多少?
（3）在点 a , b 附近,y f x 的导数的符号有
什么规律?
二、新课——函数的最值
y
观察右边一
个定义在区间
[a,b]上的函数
y=f(x)的图象.
a x1 o X2
X3
bx
发现图中__f_(_x_1)_、__f(_x_3_) _是极小值，__f_(_x_2)____是极 大值，在区间上的函数的最大值是___f(_b_)_，最小值 是__f_(_x_3)__。
∵曲线 y f (x)与 x 轴总有交点
2 a 0
1
8
a
0
即2a18
※动手试试
求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
1 、 f(x ) x 3 2 7 x x 4 ,4
最 大 值 为 54,最 小 值 为 -54.
2、 最f大 (x 值 )为 6 22 ,最 12 小 x值 x 为 355.x 1 3,3
x (2, 1) 1 ( 1,1) 1
f ( x ) 0
+0
f (x)
↘
极小值
2 a
↗
极大值
2a
(1,3 )
↘
所以函数的极大值为 2 a ，极小值为2 a .
(2) 由（1）可知，函数在区间[ 2 , 3 ] 上的极大值 为 2 a ，极小值为 2 a ，又因 f(2)2a，
f(3)18a 所以函数的最大值为 2 a ，最小值为 18a
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
1aba2 10
32ab0
解之得
ba33或ab141
注意代 入检验
注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
课堂小结:
今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值 一、方法: (1)确定函数的定义域 (2)求导数f'(x) (3)求方程f'(x) =0的全部解 (4)检查f'(x)在f'(x) =0的根左.右两边值的符号,如果左正 右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值
x
1x3
3
4x4
3
∴ f'x x 2 4 x 2 x 2
令 f ' x 0, 解得x=2,或x=-2.
下面分两种情况讨论:
2
（1）当 f ' x 0 ，即x＞2,或x＜-2时; 2
（2）当 f ' x 0 ，即-2 ＜ x＜2时。
当x变化时，f' x, f x的变化情况如下表：
②如果在x0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧f/(x)>0 ,那 么,f(x0) 是极小值.
2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右
两侧的导数异号时取到.
3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.
所有极值连同端点函数值进行比较， 最大的为最大值，最小的为最小值
※典型例题
求 函 数 f ( x ) 6 1 2 x x 3 在 3 ， 3 上 的 最 值 .
解：f ' x123x2 x3,3
令f ' x 0,解得：x2或x2 1、求出所有导数为0的点； 2、计算；
又f (2) 22，f (2) 10，f (3) 15, f (3) 3
f(b)0
y
极大值f(b)
y
f(x)0 f(x)0 f(x)0
y f x
a
极小值f(a)
o
f(a)(0图一)b
x
y f x
e cd of g h x
(图二)
点a为函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值
点b为函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
27
3 、 f(x ) 3 x x 3 x 2 ,3
最 大 值 为 -2,最 小 值 为 -18.
小结：
求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b] 上的最值的步骤:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大 的一个是最大值,最小的一个是最小值.
二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数 的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题
课时作业 6 函数的极值与导数
1.3.3函数的最大(小)值与导数
一、复习引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的 方法是:
①如果在x0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧f/(x)<0 ,那 么,f(x0)是极大值;
，得 x 1 ，或 x 1.
下面分两种情况讨论：
（1）当 f ' x 0 ，即 1x1时；
（2）当 f ' x 0 ，即 x 1 ，或 x 1 时。
当 x变化时，f' x, f x的变化情况如下表：
x , 1 1 1,1
1
1,
f 'x
极小值点、极大值点统称极值点， 极大值和极小值统称为极值. 思考：极大值一定大于极小值吗？
（1）如图是函数 y f x的图象,试找出函数y f x
的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
（2）如果把函数图象改为导函数 y f ' x的图象?
y
yy ff'xx
答：
x3
x a x 1 o x 2 x 4 x 5 x 6 b
所以函数f (x) 612xx3在3，3上的
最大值为22，最小值为10.
3、比较确定最值。
应用 例2：已知函数f(x)x33x29xa,
(1)求f ( x ) 的单调减区间 (2)若f ( x ) 在区间[ 2 , 2 ] 上的最大值为 2 0 , 求该区间上的最小值
解:(1)f(x) 3x26x9 令f(x)0 即 3x26x90 解 得 :x1或 x3
所以函数的单调减区间为 (,1)， (3,)
(2)f(x) 3x26x9
令 f(x)0 解得 x1或 x3（舍去）
当 x 变化 时, f(x), f(x)的变化情况如下表:
x 2 (2, 1) 1
f ( x )
0
(1,2) 2
f ( x ) 2 a ↘ 极小值5 a ↗ 22 a
所以函数的最大值为 f(2)22a,最小值为 5 a
解：（1）f'x3ax22bx2
∵ f x 在 x2,x1取得极值,∴ f( 2)0 ,f(1 )0
即
12a 4b 2 0
3a
2b
2
0
解得 a 1 , b 1 32
∴
f x1x31x22x
32
（2） ∵ f'xx2x2， 由 f ' x 0得 x1或 x2
∴ f x 的单调增区间为 ,2或 1,
变化的函数 h(t)4.9t26.5t10的图象