人教版广东省惠州市第一中学高二数学选修2-2 第一章 导数及其应用 函数极值与导数 函数的最大(小)

x (2, 1) 1 ( 1,1) 1
f ( x ) 0
+0
f (x)
↘
极小值
2 a
↗
极大值
2a
(1,3 )
↘
所以函数的极大值为 2 a ，极小值为2 a .
(2) 由（1）可知，函数在区间[ 2 , 3 ] 上的极大值 为 2 a ，极小值为 2 a ，又因 f(2)2a，
f(3)18a 所以函数的最大值为 2 a ，最小值为 18a
极小值点、极大值点统称极值点， 极大值和极小值统称为极值. 思考：极大值一定大于极小值吗？
（1）如图是函数 y f x的图象,试找出函数y f x
的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
（2）如果把函数图象改为导函数 y f ' x的图象?
y
yy ff'xx
答：
x3
x a x 1 o x 2 x 4 x 5 x 6 b
二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数 的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题
课时作业 6 函数的极值与导数
1.3.3函数的最大(小)值与导数
一、复习引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的 方法是:
①如果在x0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧f/(x)<0 ,那 么,f(x0)是极大值;
如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极 值点，那么这个极值点必定是最值点。
有两个极值点时，函数有无最值情况不定。
凡 事都 是多 棱镜 ，不同 的角 度会 看到 不同 的结 果。若 能把 一些 事看 淡了 ，就会 有个 好心 境， 若把 很多 事 看开了 ，就 会有 个好 心情。 让聚 散离 合犹 如月 缺月 圆那样 寻常 ，
凡 事都 是多棱 镜， 不同 的角 度会
凡 事都是 多棱 镜， 不同 的角度 会看 到不 同的 结果 。若 能把一 些事 看淡 了， 就会 有个好 心境 ，若 把很 多事 看开 了 ，就会 有个 好心 情。 让聚散 离合 犹如 月缺 月圆 那样 寻常， 让得 失利 弊犹 如花 开花谢 那样 自然 ，不 计较 ，也 不 刻意执 着； 让生 命中 各种的 喜怒 哀乐 ，就 像风 儿一 样，来 了， 不管 是清 风拂 面，还 是寒 风凛 冽， 都报 以自 然 的微笑 ，坦 然的 接受 命运的 馈赠 ，把 是非 曲折 ，都 当作是 人生 的
f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，
而x =0不是该函数的极值点.
y f (x)x3
Ox
f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点
x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0
注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
归纳：求函数y=f(x)极值的方法是: (最好通过列表法)
f(b)0
y
极大值f(b)
y
f(x)0 f(x)0 f(x)0
y f x
a
极小值f(a)
o
f(a)(0图一)b
x
y f x
e cd of g h x
(图二)
点a为函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值
点b为函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
22a20 即a 2
最小值为 527
练习
1、已知函数 f(x ) x 3 3 x a ,x [ 2 ,3 ]
(1)求 f ( x ) 的极值
(2)当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f (x)
与 x 轴总有交点
解: (1)f(x)3x23令 f(x)0 解得 x1或 x1
当 x 变化时, f(x), f(x)的变化情况如下表:
由 f ' x 0 得 2x1
f x 的单调减区间为 (2,1)
函数 f(x)x3a2xb xa2在 x1时有极值10，则a，
b的值为（ ）C
A、 a3,b3或 a4,b11
B、 a4,b1或 a4,b11
C、a4,b11 ， D、 以上都不对
解:由题设条件得：
f f
(1) 10 / (1) 0
1.3.2函数极值与导数
知识回顾:
用“导数法” 求单调区间的步骤:
①求 f '( x )
②令f'(x)0 解 不 等 式 f(x)的 递 增 区 间
f'(x)0 解 不 等 式 f(x)的 递 减 区 间
③求单调区间
注意：函数定义域
如果在某个区间内恒有 f(x)0,则 f ( x)为常数.
问题：如图表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t
所以函数f (x) 612xx3在3，3上的
最大值为22，最小值为10.
3、比较确定最值。
应用 例2：已知函数f(x)x33x29xa,
(1)求f ( x ) 的单调减区间 (2)若f ( x ) 在区间[ 2 , 2 ] 上的最大值为 2 0 , 求该区间上的最小值
解:(1)f(x) 3x26x9 令f(x)0 即 3x26x90 解 得 :x1或 x3
解：（1）f'x3ax22bx2
∵ f x 在 x2,x1取得极值,∴ f( 2)0 ,f(1 )0
即
12a 4b 2 0
3a
2b
2
0
解得 a 1 , b 1 32
∴
f x1x31x22x
32
（2） ∵ f'xx2x2， 由 f ' x 0得 x1或 x2
∴ f x 的单调增区间为 ,2或 1,
解方程 f ' x 0 ，当 f ' x0 0 时：
（1）如果在 x 0 附近的左侧 f ' x 0 ，右侧 f ' x 0 ，
那么 f x0 是极大值；
（2）如果在 x 0 附近的左侧 f ' x 0 ，右侧 f ' x 0 ，
那么f x0 是极小值
练习： 下列结论中正确的是（ B ）。
1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函
数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。
2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x) 的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。
例4：求函数f x1x34x4的极值.
解:∵
f
二、新课——函数的最值
y
观察右边一
个定义在区间
[a,b]上的函数
y=f(x)的图象.
a x1 o X2
X3
bx
发现图中__f_(_x_1)_、__f(_x_3_) _是极小值，__f_(_x_2)____是极 大值，在区间上的函数的最大值是___f(_b_)_，最小值 是__f_(_x_3)__。
0
0
f x 单调递减 2 单调递增 2 单调递减
∴当 x 1时, f (x) 有极小值，并且极小值为 2 . 当 x 1 时, f (x) 有极大值，并且极大值为 2 .
思考：已知函数 fxax3bx22x在x2,x1处取得
极值。
（1）求函数 f x 的解析式（2）求函数 f x 的单调区间
∵曲线 y f (x)与 x 轴总有交点
2 a 0
1
8
a
0
即2a18
※动手试试
求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
1 、 f(x ) x 3 2 7 x x 4 ,4
最 大 值 为 54,最 小 值 为 -54.
2、 最f大 (x 值 )为 6 22 ,最 12 小 x值 x 为 355.x 1 3,3
x ,2 2 2, 2 2
2,
f 'x
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
f x 单调递增
28 3
单调递减 4
3
∴当x=-2时, f(x)的极大值为 f (2) 28
当x=2时,
f(x)的极小值为
f
2
4 3
3
单调递增
❖ 若寻找可导函数极值点,可否
只由f(x)=0求得即可?
探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?
y f x
ao
f(a)(0图一)b
问题：
x
y f x
e cd of g h x
(图二)
（1）函数 y f x 在点 a , b 的函数值与这些点
附近的函数值有什么关系?
（2）函数 y f x 在点 a , b 的导数值是多少?
（3）在点 a , b 附近,y f x 的导数的符号有
什么规律?
变化的函数 h(t)4.9t26.5t10的图象
h' a 0
h
单调递增
h(t)0
单调递减
h(t)0
oa t
归纳: 函数h ( t ) 在点 a 处 h(a)0,在t a的附近,
当 t a时,函数h(t)单调递增，h(t)0; 当 t a时,函数h(t)单调递减, h(t)0。
f(b)0
y
y
f(x)0 f(x)0 f(x)0
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
1aba2 10
32ab0
解之得
ba33或ab141
注意代 入检验
注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
课堂小结:
今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值 一、方法: (1)确定函数的定义域 (2)求导数f'(x) (3)求方程f'(x) =0的全部解 (4)检查f'(x)在f'(x) =0的根左.右两边值的符号,如果左正 右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
导数的应用-----求函数最值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.
∴ f' x33x2
令 f'x33x20，得 x 1 ，或 x 1.
下面分两种情况讨论：
（1）当 f ' x 0 ，即 1x1时；
（2）当 f ' x 0 ，即 x 1 ，或 x 1 时。
当 x变化时，f' x, f x的变化情况如下表：
x , 1 1 1,1
1
1,
f 'x
所以函数的单调减区间为 (,1)， (3,)
(2)f(x) 3x26x9
令 f(x)0 解得 x1或 x3（舍去）
当 x 变化 时, f(x), f(x)的变化情况如下表:
x 2 (2, 1) 1
f ( x )
0
(1,2) 2
f ( x ) 2 a ↘ 极小值5 a ↗ 22 a
所以函数的最大值为 f(2)22a,最小值为 5 a
x
1x3
3
4x4
3
∴ f'x x 2 4 x 2 x 2
令 f ' x 0, 解得x=2,或x=-2.
下面分两种情况讨论:
2
（1）当 f ' x 0 ，即x＞2,或x＜-2时; 2
（2）当 f ' x 0 ，即-2 ＜ x＜2时。
当x变化时，f' x, f x的变化情况如下表：
y f x x3
A、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0, 那么 f(x0)是极大值。 C、如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0, 那么f(x0)是极大值。 Ｄ、极大值一定大于极小值。
x
0
巩固练习：求函数 f x3xx3的极值
解:∵ f x3xx3
②如果在x0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧f/(x)>0 ,那 么,f(x0) 是极小值.
2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右
两侧的导数异号时取到.
3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.
27
3 、 f(x ) 3 x x 3 x 2 ,3
最 大 值 为 -2,最 小 值 为 -18.
小结：
求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b] 上的最值的步骤:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大 的一个是最大值,最小的一个是最小值.
所有极值连同端点函数值进行比较， 最大的为最大值，最小的为最小值
※典型例题
求 函 数 f ( x ) 6 1 2 x x 3 在 3 ， 3 上 的 最 值 .
解：f ' x123x2 x3,3
令f ' x 0,解得：x2或x2 1、求出所有导数为0的点； 2、计算；
又f (2) 22，f (2) 10，f (3) 15, f (3) 3