理论力学动力学基础(PPT下载)

ar－质点的相对加速度 aC－质点的科氏加速度
8.3 质点的相对运动微分方程
m (aearaC)F m arF m aem aC
mar FF IeF IC
FIemae
ω F IC m a C 2 m v r
动力学引言
动力学 (dynamics) 研究作用于物体上的力与运动之间的关系。
动力学研究模型：质点、质点系和刚体。
研究方法—演绎方法： 1) 根据研究对象和所研究的问题，经过合理的抽象和简化， 建立用于理论分析的模型。 2) 建立相关的基本概念。 3) 根据物质运动规律的有关定律和定理，应用数学分析与演 绎，导出与所研究的问题有关的定理或方程。
第08章 动力学基础 第09章 动量定理 第10章 动量矩定理与碰撞 第11章 动能定理与动力学普遍定理综合应用 第12章 达朗贝尔原理 第13章 虚位移原理与动力学普遍方程 第14章 单自由度系统的振动
第8章 动力学基础
8.1 质点运动微分方程 8.2 质点动力学的两类基本问题 8.3 质点的相对运动微分方程 8.4 质点系的基本惯性特征 ➢ 小结
m y mg F N co qs
8.3 质点的相对运动微分方程
z
O x
sa
M
r´
sr
惯性参考系－ O x y z
非惯性参考系(non-inertial reference
system) － Oxyz
绝对运动轨迹 sa－质点M 在惯性参考系中的运动轨迹
相对运动轨迹 sr－质点M在非 惯性参考系中的运动轨迹
F xm x m w2x
Fym ym w2y
力F的大小和方向余弦为
x F Fx2 Fy2
mw2 x2y2mw2r
cosFx x
cos Fy
y
Fr
Fr
若将力F表示为解析式，则
w w F F x i F yj m 2 (x i y j) m 2 r
如图所示。
8.2 质点动力学的两类基本问题
【例8-2】图示单摆由一无重细长杆和固结在细长杆一端的重 球A组成。杆长OA = l ，球的质量为m。求： （1）单摆的运动微分方程； （2）在小摆动假设下摆的运动； （3）在运动已知的情况下求杆对球的约束力。
待定常数A , 由初始条件q0 q0 确定 。
8.2 质点动力学的两类基本问题
O
q
n FN
O'
s
y
【解】 （3）在运动已知的情况下求杆
x
对球的约束力
vsql
s+ t
A mg
FNmgcoqsmvl2
q q F N m cg o m s2 l
[讨论]
本题若采用直角坐标形式的微分方 程，有
m xFNsiqn
x O
q
A
y
8.2 质点动力学的两类基本问题
【解】 （1）单摆的运动微分方程
x
O
摆球作圆弧运动，建立自然轴系
q
n FN
O'
s
y
s+ t
A mg
得单摆的运动微分方程： 杆对球的约束力：
对摆球作受力分析
根据：mdv dt
Fit
msmgsinq
mv2 Fin
m
s 2 l
FNmgcoqs
由于： slq sql sql
maF
第3定律（作用反作用定律）：两物体之间的作用力和反作 用力等值、反向，并沿同一条直线分别作用在两个物体上。
8.1 质点运动微分方程
8.1.2 质点运动微分方程
当物体受若个力作用时，右端应为这若个力的合力。
即
m a F i F R
或
m
d2r dt2
Fi
8.1 质点运动微分方程
◆ 矢量形式 mr Fi(t,rr,)
y 研究质点在非惯性参考系中 的运动需要先研究质点在惯性 参考系中的运动。
相对位矢r′
8.3 质点的相对运动微分方程
先研究质点在惯性参考系中的运动。
sa
z
M
r′－相对位矢
r´
F sr
F －作用在质点上的力
对质点M应用牛顿第2定律
maa F
O
y
根据加速度合成定理
aa aearaC
x
aa－质点的绝对加速度 ae－质点的牵连加速度
8.1 质点运动微分方程
8.1.1 动力学基本定律 8.1.2 质点运动微分方程
8.1 质点运动微分方程
8.1.1 动力学基本定律
第1定律（惯性定律）：任何质点若不受力作用，则将保持 原来静止或等速直线运动状态。
物体保持其运动状况不变的固有属性，称为惯性。 质量为物体惯性的度量。
第2定律（力与加速度关系定律） ：在力的作用下物体所获 得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与物体的质量成反比 ，方向与力的方向相同。即
课程体系：矢量动力学与分析动力学
◆ 矢量动力学 ：在牛顿运动定律的基础上，以矢量 形式建立质点系的受力与各种运动量之间的关系。 ◆ 分析动力学 ：在力学的变分原理基础上，以功和 能概念 ，应用数学分析方法 ，建立描述质点系动力 学规律的方程。
动力学的两类问题
第1类问题：已知系统的运动，求作用在系统上的力。 第2类问题： 已知作用在系统上的力，求系统的运动。
i
◆ 直角坐标形式 m x F ix m y F iy m z F iz
◆ 弧坐标形式
m s F it
m s 2
F in
0 F ib
8.2 质点动力学的两类基本问题
第1类问题：已知质点的运动, 求作用于质点的力；
第2类问题：已知作用于质点的力, 求质点的运动。
8.2 质点动力学的两类基本问题
q gsinq 0
FNm l gcoqsmvl2
8.2 质点动力学的两类基本问题
O
q
n FN
O'
s
y
【解】 （2）在小摆动假设下摆的运动 x
q gsinq 0
l
s+ t
A mg
小摆动时， siqnq
q g q 0
l
引入qwn2 wqn20gl
这是二阶线性齐次微分方程标准形式
其通解： qAsiw nnt()
x
b来自百度文库 c2
为椭圆方程。
将运动方程取两次微分
根据公式：mddt2r2 Fi
xbw2cowst w2x y cw2sinwt w2 y
得作用于质点上的力F的投影为
F xm x m w2x Fym ym w2y
8.2 质点动力学的两类基本问题
y
y r
j Oi
【解】
F M
x
得作用于质点上的力F的投影为
【例8-1】图示质点 M 的质量为 m ，运动方程为 x = b coswt ， y = c sinwt，其中b，c，w为常量。求作用在此质点上的力。
y
y
M
x
O
x
8.2 质点动力学的两类基本问题
y
【解】
运动方程
x bcoswt
y
csinwt
由运动方程消去时间 t ，得轨迹方程
y M
O
x
x2 y2 1