平面直角坐标系下的图形变换

平面直角坐标系下的图形变换
王建华
图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生的逻辑推理能力，一般难度较大。

在平面直角坐标系中，探索图形坐标的的变化和平移、对称、旋转和伸缩间的
关系，是中考考查平面直角坐标系的命题热点和趋势，这类试题设计灵活
平移: 上下平移横坐标不变,纵坐标改变
左右平移横坐标改变,纵坐标不变
对称: 关于x轴对称横坐标不变,纵坐标改变
关于y轴对称横坐标不变,纵坐标不变
关于中心对称横坐标、纵坐标都互为相反数
旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状
旋转角旋转半径弧长公式L=nπR／180
一、平移
例1，如图1，已知△ABC的位置，画出将ABC向右平移5个单位长度后所得的ABC，并写出三角形各顶点的坐标，平移后与平移前对应点的坐标有什么变化？
解析：△ABC的三个顶点的坐标是：A(-2，5)、B(-4，3)、C(-1，2)．
向右平移5个单位长度后，得到的△A′B′C′对应的顶点的坐标是：A′(3，5，、B′(1，3）、C′(4，2）．
比较对应顶点的坐标可以得到：沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有变化，而横坐标都增加了5个单位长度．
友情提示：如果将△ABC沿y轴向下平移5个单位，三角形各顶点的横坐标都不变，而纵坐标都减少5个单位．(请你画画看)．例2. 如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点B'的坐标是_______。

析解：由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，∴)3,3(B经过相同的平移后可得)4,7(/B
反思：①根据平移的坐标变化规律：
★左右平移时：向左平移h个单位)
,
(
)
,
(b
h
a
b
a-
→
向右平移h个单位)
,
(
)
,
(b
h
a
b
a+
→
★上下平移时：向上平移h个单位)
,
(
)
,
(h
b
a
b
a+
→
向下平移h个单位)
,
(
)
,
(h
b
a
b
a-
→
二、旋转
例3.如图2，已知△ABC，画出△ABC关于坐标原点
0旋转180°后所得△A′B′C′，并写出三角形各顶点的
坐标，旋转后与旋转前对应点的坐标有什么变化？
解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：
A(-2，4)，B(-4，2)，C(-1，1)．
△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：
图2
图1
B/
图
2
图1
A′(2，-4)，B′(4，-2)，C′(1，-1)．
比较对应点的坐标可以发现：将△ABC沿坐标原点旋转180°后，各顶点的坐标分别是原三角形各顶点坐标的相反数．
例3如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）.点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O 对称，….对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标.
分析：本题是一道和对称有关的探索题，是在中心对称和点的坐标知识基础上的拓宽题，由于是规律循环的对称，所以解决问题的关键是找出循环规律.如图，标出P1到P7各点，可以发现点P7和点P1重合，继续下去可以发现点P8和点P2循环,所以6个点循环一次，这样可以求出各点的坐标.
解：如图P2(1,-1)，P7(1,1)，因为100除以6余4，所以点P100和点P4的坐标相同，所以P100的坐标为(1,-3).
三、对称
例4．如图3，已知△ABC，画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出各顶点的坐标．关于x轴对称的两个三角形对应顶点的坐标有什么关系？
解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：
A(1，4)，B(3，1)，C(-2，2)．
△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：
A′(1，-4)，B′(3，-1)，C′(-2，-2)．
观察各对应顶点的坐标可以发现：关于x轴对称两个三角形的对应顶点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．
友情提示：关于y轴对成的两个图形，对称点的纵坐标不变，横坐标互为相反数．在直角坐标系中，ABC
△的三个顶点的位置如图3所示．
（1）请画出ABC
△关于y轴对称的A B C
'''
△（其中A B C
'''
，，分别是A B C
，，的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A B C
'''
，，三点的坐标：
(_____)(_____)(_____)
A B C
'''
，，．
析解：如图4，根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1
-，故可得（2）(23)
A'，，(31)
B'，，(12)
C'--
，
反思：★关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，即纵坐标乘以1
-
★关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1
-
★关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以1
-
四、位似
例4 如图4，已知△ABC，画出△ABC以坐标原点0为位似中心的位似△A′B′C′，
使△A′B′C′在第三象限，与△ABC 的位似比为
2
1
，写出三角形各顶点的坐标，位似变换后对应顶点发生什么变化？
解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：
A(2，2)，B(6，4)，C(4，6)．
△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：
A′(-1，-1)，B′(-3，-2)，C′(-2，-3)．
图3
1 2 x
O
1
-1
A
B
C
y
1 2 x
O
1
-1
A
B
C
A'
B'
C'
y
图3 图4
C B A
A 2C 2
A 1
B 1
C 1
O
观图形可知，△A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC
对应各顶点坐标2
1
的相反数．
友情提示： △ABC 以坐标原点0为位似中心的位
似△A ′B ′C ′，当△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比为2
1
，
且△A ′B ′C ′在第一象限时， △A ′B ′C ′各顶点的坐标
分别是△ABC 各顶点坐标的2
1
．
课前练习：在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点). ⑴画出△ABC 向下平移4个单位后的△A 1B 1C 1;
⑵画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A 2B 2C 2,并求出A 旋转到A 2所经过的路
线长.
解:⑴画出△A 1B 1C 1;
⑵画出△A 2B 2C 2, ,连接OA 1、OA 2,OA=2
2
23+=13
点A 旋转到A 2,所经过的路线长为:ι=901313
1802
ππ⋅=
点评:图形的变换可以转化为点的问题,即找到顶点变换后的对应点,再顺次连接
这些点即可得到图形.旋转变换要明确旋转中心、旋转方向、旋转半径、旋转角
度；平移变换要明确平移的方向和距离；作一个图形关于某点的中心对称图形要明
确对应点的连线经过对称中心，且对应点到对称中心的距离相等；作一个图形关于
某一条直线的的对称图形，要明确对应点的连线被对称轴平分，且对应点到对称轴
的距离相等。

图4。