正弦定理余弦定理解三角形
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是初中数学中非常重要的定理，它们在解决三角形相关问题时起到了至关重要的作用。
在本文中，我将为大家详细介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的实用性和重要性。
一、余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
它的数学表达式为：c² = a²+ b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角。
1. 求解三角形的边长假设我们已知一个三角形的两边和它们之间的夹角，想要求解第三边的长度。
这时，我们可以利用余弦定理来解决这个问题。
例如，已知一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，夹角为60°，我们可以利用余弦定理来计算第三边的长度。
根据余弦定理，我们可以得到c² = 5² + 8² - 2×5×8×cos60°，即c² = 25 + 64 -80cos60°。
进一步计算可得c² = 89 - 80cos60°，再开方可得c ≈ 2.92cm。
因此，这个三角形的第三边长约为2.92cm。
2. 求解三角形的角度除了求解边长外，余弦定理还可以用来求解三角形的角度。
例如，已知一个三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，我们可以利用余弦定理来计算它的夹角。
根据余弦定理，我们可以得到cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4)，即cosC = (9 + 16 - 25) / 24。
计算可得cosC = 0，因此C的值为90°。
通过以上两个例子，我们可以看到余弦定理在求解三角形边长和角度时的实用性和重要性。
它为我们解决各种三角形相关问题提供了有力的工具。
二、正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
正弦定理与余弦定理解三角形5大题型
正弦定理与余弦定理解三角形5大题型“解三角形”是每年高考常考内容，在选择题、填空题中考查较多，有时也会出现在解答题中。
对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；而是考查两个定理的综合应用，多与三角变换、平面向量等知识综合命题。
以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为容易题、中档题。
一、解三角形中常用结论及公式1、解三角形所涉及的其它知识（1）三角形内角和定理：A+B+C=π.（2）三角形边角不等关系：B A B A B A b cos cos sin sin <⇔>⇔∠>∠⇔>.2、诱导公式在ABC ∆中的应用（1）()()C B A C B A C B A tan )tan(;cos cos ;sin sin -=+-=+=+；（2）2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+；3、三角形中，最大的角不小于3π，最小的角不大于3π.二、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状设a 是三角形中最长的边，则（1）若0222>-+a c b ，则ABC ∆是锐角三角形；（2）若0222=-+a c b ，则ABC ∆是直角三角形；（3）若0222<-+a c b ，则ABC ∆是钝角三角形；或（1）若0sin sin sin 222>-+A C B ,则ABC ∆是锐角三角形；（2）若0sin sin sin 222=-+A C B ,则ABC ∆是直角三角形；（3）若0sin sin sin 222<-+A C B ,则ABC ∆是钝角三角形；三、利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
正弦定理、余弦定理及解三角形
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考点突破 考点四 正、余弦定理在实际问题中的应用
训练 4 (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向 上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上， 仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________m.
∴sin B＝ 1－cos2B
＝2 3
2×79－13×4
9
2＝1027
2 .
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考点突破 考点一 利用正、余弦定理解三角形
规律方法
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要 考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则 考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有 可能用到．
＝sin∠6(海AB里C)＝．ACsBinC120°＝2×623＝ 22. ∴∠ABC＝45°，易知 CB 方向与正北方向垂直，
从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD 中，根据正弦定理，可得 sin∠BCD＝BDsinC∠D CBD＝10t·1s0in31t20°＝12， ∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝ 6(海里)，
则有 10t＝ 6，t＝106≈0.245 小时＝14.7 分钟．
故缉私船沿北偏东 60°方向，需 14.7 分钟才能追上走私船．
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考点突破 考点三 和三角形面积有关的问题
规律方法
解三角形应用题的两种情形： (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或 两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角 形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角 形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式三角形是平面几何中的一个基本图形，研究三角形的性质与定理在数学中具有重要地位。
本文将介绍三角形中的三个重要定理，正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式。
一、正弦定理：正弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，正弦定理可以表述为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，sin(A)表示A角的正弦值，a表示边a的长度。
正弦定理可以从三角形的面积公式推导得出。
二、余弦定理：余弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的另一个重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，余弦定理可以表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，cos(C)表示C角的余弦值，c表示边c的长度。
余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，进而计算三角形的面积。
三、三角形的面积公式：给定一个三角形，设其底边长度为b，对应的高为h。
那么，三角形的面积可以通过以下公式来计算：S=1/2*b*h其中，S表示三角形的面积。
在计算三角形的面积时，还可以使用海伦公式。
海伦公式可以通过三角形的三边长来计算三角形的面积，其公式如下：S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))其中，p表示三角形的半周长，计算公式为：p=(a+b+c)/2在使用海伦公式计算三角形面积时，需确保三条边长满足三角不等式，即任意两边之和大于第三边的长度。
总结：通过正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，可以解决三角形相关的问题。
正弦定理和余弦定理给出了通过角度和边长计算三角形的方法，而三角形的面积公式提供了计算三角形面积的途径。
这些定理在三角形等应用中具有重要的价值，对于解题和扩展应用都非常有帮助。
三角函数与解三角形：正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理【考点梳理】1．正弦定理和余弦定理(1)S＝12a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．【考点突破】考点一、利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，∠BAC＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．[解析] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理得sin B＝b sin∠BACa＝3310＝1010，由题设知0＜B＜π4，所以cos B＝1－sin 2B＝1－110＝31010.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sin Bsin(π－2B)＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10.【类题通法】1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．【对点训练】1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B ＋sin C)＝(a－3c)sin A，则角B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°[答案]A[解析] 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.[答案] 2113[解析] 在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×636535＝2113.考点二、判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形(2)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B ＜C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] (1)D (2)A[解析] (1)因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＜C ，可得C ＞π2，故三角形ABC 为钝角三角形，反之不成立．故选A. 【类题通法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能． 【对点训练】1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] 法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .2．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形[答案] D[解析]根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D．考点三、与三角形面积有关的问题【例3】已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sinC.(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．[解析] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝ 2.所以△ABC的面积为12×2×2＝1.【类题通法】三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【对点训练】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．[解析] (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，即2cos C sin(A＋B)＝sin C，故2sin C cos C＝sin C.可得cos C＝12，所以C＝π3.(2)由已知得12ab sin C＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.。
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。
如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解 ）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解 ） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
正弦定理和余弦定理解直角三角形
第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，bc＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 33．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135°6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75° 二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a 、b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况.A 为锐角a <b sin A a ＝b sin A b sin A<a <b a ≥b无解 一解(直角) 两解(一锐角， 一钝角)一解(锐角)A 为直角或钝角 a ≤b a >b 无解 一解(锐角)1.1.1 正弦定理(二)课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞)C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎤0，403 4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶66．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4 二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .1．在△ABC 中，有以下结论： (1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tanC2.2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．1．1.2 余弦定理(一)课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°； (2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5 D ．52．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π123．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．44．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.235．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120° 二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．能力提升 13．(2010·潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定 二、填空题 7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________． 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且AB ·BC ＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π314．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；（2）设BA ·BC = 23，求a+c 的值.1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件 应用定理 一般解法一边和两角 (如a ，B ，C ) 正弦定理由A ＋B ＋C ＝180°，求角A ；由正弦定理求出b 与c .在有解时只有一解．两边和夹角 (如a ，b ，C ) 余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由A ＋B ＋C ＝180°求出另一 角．在有解时只有一解．三边(a ，b ，c )余弦定理 由余弦定理求出角A 、B ；再利用A ＋B ＋C ＝180°，求出角C .在有一解时只有一解. 两边和其中一边的对角如 (a ，b ，A ) 余弦定理 正弦定理 由正弦定理求出角B ；由A ＋B ＋C ＝180°，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c .可有两解、一解或无解.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一)一、选择题 1答案 D 2答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B， 得4sin 45°＝bsin 60°，∴b ＝2 6. 3答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 5答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22.∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°. 6答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C . ∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题 7答案 75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°. ∴C ＝75°.8答案 102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C，∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.9答案 1解析 由正弦定理，得 3sin 2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1. 10答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 三、解答题11解 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4. ∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3. 12解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.13答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2. ∴sin(π4＋B )＝1. 又0<B <π，∴B ＝π4. 由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12. 又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6. 1.1.1 正弦定理(二)一、选择题1答案 D2答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C . ∴0<c ≤403. 4答案 A解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .5答案 B解析 ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6. 令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝4k c ＋a ＝5ka ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝72k b ＝52kc ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1. 二、填空题7答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223， ∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 8答案 2 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B， ∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a >b ， 得A >B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.9答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C＝2＋1＋4＝7. 10答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183， ∴sin C ＝12，∴c sin C ＝a sin A＝12，∴c ＝6. 三、解答题11证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边． 所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 12解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2 B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．13答案 C解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35， 故B 为锐角，sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87. 1．1.2 余弦定理(一)一、选择题1答案 A2答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 3答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2. 4答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34. 5答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc ⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理． 故△ABC 为直角三角形．6答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .二、填空题7答案 120°8答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12. ∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12， ∴θ＝120°. 10答案 －2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213， ∴tan C ＝－12＝－2 3.11解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 1．1.2 余弦定理(二)一、选择题1答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， ∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°. 2答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12. ∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0.∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .5答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab .∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .6答案 A解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，∴c ＋x 所对的最大角变为锐角．二、填空题7答案 19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，∴c ＝19.8答案 2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1. ∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2，化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1，∴a >2，∴2<a <8.9答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ，∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49，∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3， ∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13，∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393， ∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ·cos B －sin B sin C ·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c2＝左边． 所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C . 12解 （1）∵AB ·BC ＝－21，∴BA ·BC =21.∴BA ·BC = |BA |·|BC |·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB =53，∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54 = 14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝b sin B. ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22. ∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C ＝45°.13答案 A 解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1， ∴0<sin C ≤12. ∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6， ∴0<C ≤π6. 14解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74. 由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2 B＝sin B sin 2 B ＝1sin B ＝477. (2)由BA ·BC = 23得ca ·cosB = 23 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2. 由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a2＋c2＝b2＋2ac·cos B＝5，∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.。
(完整版)解三角形1.1正弦定理和余弦定理知识点总结
第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba 。
二、正弦定理（一）知识与工具：正弦定理：在△ABC 中， R Cc B b A a 2sin sin sin ===。
（外接圆圆半径） 在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。
注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为180°(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)面积公式：S=21absinC=Rabc 4=2R 2sinAsinBsinC 111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径） )(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)(4)三角函数的恒等变形。
(5) sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin 2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（6）(边化角公式）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（7）(角化边公式） ::sin :sin :sin a b c A B C =（8）sin sin sin (9),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === （10）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1 利用正弦定理公式原型解三角形题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用正弦定理和余弦定理是解三角形中非常常用的定理。
它们可以帮助我们在已知一些边长或角度的情况下，求解出其他未知边长或角度。
在本文中，我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的概念，并阐述它们在解三角形中的运用。
一、正弦定理正弦定理是解三角形中最为基础和常用的定理之一、它可以用来求解三角形的任意一个角度或边长。
正弦定理的表达形式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。
在应用正弦定理求解问题时，需要注意以下几个方面：1.已知两边和它们对应的夹角，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 a = b * sinA / sinB 或 a = c * sinA / sinC。
2.已知两边和它们对应的夹角，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinA = a * sinC / c 或 sinA = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 A 的值。
3.已知两个角度和一个对边，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 b = a * sinB / sinA 或 b = c * sinB / sinC。
4.已知两个角度和一个对边，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinB = b * sinA / a 或 sinB = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 B 的值。
由于正弦定理可以用来求解任意一个角度或边长，因此它非常灵活和实用。
二、余弦定理余弦定理是解三角形中另一个重要的定理。
它可以用来求解三角形的边长或角度。
余弦定理的表达形式如下：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosAb^2 = c^2 + a^2 - 2ac * cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。
正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题(学生)
1， b
2 ， cosC
1
.
4
（Ⅰ）求 ABC 的周长；（Ⅱ）求 cos A C 的值 .
【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力
【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
sin
sin cos cos sin 令
sin 2 2sin cos
【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：
（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余
弦定理结合使用； （ 2）另一个方向是角，走三角变形之路 .通常是运用正弦定理
【解析】
.
【思考】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式
.
【例 9】 . 在△ ABC中，在
tan 2
2 tan 1 tan2
【例 4】（ 2010 重庆文数） 设 ABC 的内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c , 且 3 b 2 +3 c2 -3 a2 =4 2 b c .
2sin( A )sin( B C )
( Ⅰ ) 求 sinA 的值； ( Ⅱ ) 求
4
【例 6】（ 2009 全国卷Ⅰ理）在 ABC 中，内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，已知 a 2 c2 2b ，且 sin A cosC 3cos Asin C , 求 b
【解题思路】对已知条件 (1) a 2 c 2 2b 左侧是二次的右侧是一次的 , 可以考虑余弦定理；而对已知条件 (2) sin AcosC 3cos A sin C , 化角化边都可以。
(边角转化的重要工具 )
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。
正弦定理余弦定理解三角形技巧
正弦定理余弦定理解三角形技巧正弦定理和余弦定理是解三角形问题中常用的两个重要定理。
它们通过三角形的边长和角度之间的关系，帮助我们求解未知的角度和边长。
下面将介绍正弦定理和余弦定理的定义、推导过程和应用技巧。
一、正弦定理的定义和推导：1.定义：对于任意三角形ABC，它的三边长度分别为a、b、c，而对应的角度分别为A、B、C，则正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC2.推导：设三角形ABC的高为h，其与底边a的夹角为α，边a与边c的夹角为β，则由三角形的定义可知：sinα = h/c, sinβ = h/a根据正弦定理，我们可以得到以下的关系：a/sinA = c/sinC，即a/sinA = c/sinαb/sinB = c/sinC, 即b/sinB = c/sinβ由此推导出正弦定理的表达式。
二、正弦定理的应用技巧：正弦定理可以用来求解三角形的未知边长和角度，常用的技巧有以下几种：1.已知两边和夹角，求第三边：根据正弦定理的表达式，我们可以将已知信息代入其中，解方程求得未知边长。
2.已知两边和一个对角的正弦值，求第三边：将已知信息代入正弦定理的表达式，解方程求得未知边长。
3.已知两角和一边，求第三边：将已知信息代入正弦定理的表达式，解方程求得未知边长。
4. 已知三边，求三角形内部的角度：根据正弦定理，我们可以得到以下关系：sinA = a/c，sinB = b/c，sinC = c/a。
通过反正弦函数，我们可以求得每个角度的值。
三、余弦定理的定义和推导：1.定义：对于任意三角形ABC，它的三边长度分别为a、b、c，而对应的角度分别为A、B、C，则余弦定理的表达式为：a² = b² + c² - 2bc*cosAb² = a² + c² - 2ac*cosBc² = a² + b² - 2ab*cosC2.推导：设三角形ABC的高为h，其与底边a的夹角为α，边a与边c的夹角为β，则由三角形的定义可知：cosα = h/c, cosβ = h/a根据余弦定理，我们可以得到以下关系：a² = b² + c² - 2bc*cosA，即a² = b² + c² - 2bc*cosαb² = a² + c² - 2ac*cosB，即b² = a² + c² - 2ac*cosβ由此推导出余弦定理的表达式。
正余弦定理三角形一些公式
正余弦定理三角形一些公式正弦定理和余弦定理是研究三角形的重要公式，它们可以帮助我们在成比例的三角形中计算角度和边长。
本文将详细介绍这些公式，并提供一些运用案例。
1.正弦定理正弦定理给出了一个三角形中边与其对应角度的关系。
设一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的顶点角度为A、B、C。
则正弦定理可以表示为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，sin(A)表示角A的正弦值。
根据正弦定理，我们可以计算出任意一个角的正弦值，进而计算出其他两个角的正弦值。
同时，我们可以通过边长和对应的角度计算出三角形的面积。
2.余弦定理余弦定理给出了一个三角形中边与其对应角度的关系。
设一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的顶点角度为A、B、C。
则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(B)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)其中，cos(A)表示角A的余弦值。
根据余弦定理，我们可以计算出一个边的长度，已知其他两边的长度和它们对应的角度。
这个公式也可以用来计算三角形的面积。
3.应用示例3.1 例题一：已知一个三角形的两条边长分别为5cm和8cm，它们的夹角为60°，求另一边长。
解：根据余弦定理，可得：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)将已知数据带入公式，得：a^2 = 5^2 + 8^2 - 2*5*8*cos(60°)=25+64-80*0.5=89-40=49得到a的平方为49，因此a = √49 = 7、所以，另一边的长度为7cm。
3.2 例题二：已知一个三角形的三边长分别为6cm、9cm和11cm，计算它的面积。
解：根据正弦定理，可得：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c由此可知，sin(A) = a * sin(C) / c所以，sin(A) = 6 * sin(C) / 11根据正弦函数的性质，我们可以计算出角A的正弦值小于1、因此，角A的度数应该在0°到90°之间。
三角函数正弦定理和余弦定理
三角函数正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是解决三角形的重要工具。
这些定理是数学中最耳熟能详的公式之一。
这篇文章将探讨正弦定理和余弦定理的定义、公式和应用。
一、正弦定理正弦定理表明三角形中任意两个角的正弦值与对应边的比例相等。
具体来说，正弦定理是指：对于任意三角形ABC，设三角形的三边分别为a、b和c，α、β和γ为三边相对的角，则有：\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}这个公式常常用于计算三角形的任意一个角的正弦值，或者计算一个角的度数。
例如，假设三角形的三边分别为3、4和5，那么正弦定理可以写成：\frac{3}{\sin A}=\frac{4}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}如果我们想知道角A的正弦值，我们只需要解出等式中的$\sin A$，就可以得到：\sin A=\frac{3}{5}这就是三角函数正弦定理的应用。
二、余弦定理余弦定理表明三角形中的一个角的余弦值等于与此角相对的两条边的平方和与第三条边平方差的比例。
具体来说，余弦定理是指：对于任意三角形ABC，设三角形的三边分别为a、b和c，α、β和γ为三边相对的角，则有：a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alphab^2=a^2+c^2-2ac\cos \betac^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma可以根据需要使用任何一个等式，计算三角形的边长或角度。
例如，假设我们知道一个三角形的两条边a和b，以及它们之间的夹角γ，我们可以使用余弦定理求出第三条边c的长度。
具体来说，如果我们知道：a=3，b=4，γ=90°则可以使用余弦定理的第三个等式来求解c的长度：c^2=3^2+4^2-2\times 3\times 4\times \cos 90°=9+16-24\cos 90°=25因此，c的长度为5。
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用
知识回顾：
1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 相等 ， 即
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C
.
正弦定理适用的解三角形的问题：
(1)已知三角形的任意两角与一边 (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角
例1(1)已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，
3 1 1 解：由正弦定理，有 ＝ ，即 sin B＝ 2π sin B 2 sin 3 π 又 C 为钝角，所以 B 必为锐角，所以 B＝ 6 π 所以 A＝ .故 a＝b＝1. 6
例3．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求
AC边上的中线长． 思考：用正弦还是余弦定理？
解：设 AC 的中点为 D，由余弦定理的推论得： AB2＋AC2－BC2 92＋82－72 2 cos A＝ ＝ ＝ ， 2· AB· AC 2×9×8 3 在三角形 ABD 中，由余弦定理知： BD2＝AD2＋AB2－2· AD· ABcos A 2 ＝4 ＋9 －2×4×9× ＝49 3
方法感悟： 所给边不是已知角的对边 先求出第三个角， 再由正弦定理求另外两边
6- 2 2
B
6- 2 2
a
A C
b=1
2．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去 两倍这两边与它们的夹角的余弦的积，即 a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ a2＋c2－2accos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C .(三边一角)
法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝ a2＋(3 3)2－ 2× 3 3a× cos 30° ， 即 a2－ 9a＋18＝0，∴a＝6 或 a＝3. 1 6× asin B 2 ＝ ＝1 当 a＝ 6 时，由正弦定理得 sin A＝ b 3 a ∴ A＝ 90° ， C＝60° . 当 a＝ 3 时， A＝30° ，C＝120° .
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式.教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形知识点清单一.正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R（其中R是三角形外接圆的半径）sin A sin B si2.变形：1) a b c a b csin sin si nC sin sin si nC2）化边为角：a :b: c sin A: sin B :s in C -a si nA.b sin B a sin AJb sin Bc sin C c sin C '3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsi nB, c 2Rs inC4）化角为边：sin A a ;J sin B b ; si nA aJ7sin B b sin C c sin C c5）化角为边：sin A a sin B b si nC c2R‘2R'2R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角; 例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理-Sn） - Sn^; b sin B c sin C a sin A;求出b与cc sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理旦血求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正b sin B弦定理旦泄求出c边c sin C4. △ ABC中，已知锐角A,边b,贝U①a bsin A时，B无解；②a bsinA或a b时，B有一个解;③ bsin A a b 时，B 有两个解。
如：①已知A 60 ,a 2,b2, 3 ,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a23,求B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
正弦定理和余弦定理直角三角形
正弦定理和余弦定理直角三角形正弦定理和余弦定理是解决直角三角形中边长和角度关系的两个基本公式。
一、正弦定理：在任何三角形中，对于一个角度和它对应的边，正弦定理表示边长与正弦值成正比例关系。
对于一个直角三角形中的角 A，其对边长设为 a，邻边长设为 b，斜边长为 c，则正弦定理可表示为：sin A = a / c其中，sin A 表示角 A 的正弦值，a 表示角 A 对应的直角三角形的对边长，c 表示直角三角形的斜边长。
可以通过正弦定理推导出其他两个角的正弦值，从而求解三角形中的边和角度：sin B = b / csin C = c / c = 1二、余弦定理：余弦定理是另一种在直角三角形中解决边长和角度关系的基本公式。
对于一个直角三角形中的角 A，其对边长设为 a，邻边长设为 b，斜边长为 c，则余弦定理可表示为：cos A = b / c其中，cos A 表示角 A 的余弦值，b 表示角 A 对应的直角三角形的邻边长，c 表示直角三角形的斜边长。
通过余弦定理，可以求出其他两个角的余弦值：cos B = a / ccos C = 0三、比较正弦定理和余弦定理：正弦定理和余弦定理是解决直角三角形中边长和角度关系的两个基本公式。
它们都可以用于求解三角形的边和角度，但是有一些不同点：1. 适用条件不同。
正弦定理适用于任何三角形，而余弦定理无法适用于等边三角形。
2. 求解的变量不同。
正弦定理可以求解角的正弦值，而余弦定理可以求解角的余弦值。
3. 计算方式不同。
正弦定理使用正弦函数，余弦定理使用余弦函数，两者在计算推导过程中存在差异。
总之，正弦定理和余弦定理是直角三角形中解决边长和角度关系的基本公式，掌握并灵活应用这两个公式可以帮助我们更好地理解和求解三角形中的各种问题。
正弦定理余弦定理解三角形技巧
正弦定理余弦定理解三角形技巧以正弦定理和余弦定理为基础的三角形解题技巧在解决三角形相关问题时，正弦定理和余弦定理是非常有用的工具。
它们可以帮助我们计算三角形的各个角度和边长，从而解决一系列问题，比如求解未知边长、未知角度、判断三角形类型等。
下面我将介绍一些使用正弦定理和余弦定理解决三角形问题的技巧。
一、正弦定理正弦定理是指在一个三角形中，三条边的长度与对应的角的正弦值之间的关系。
具体表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c分别代表三角形的三条边的长度，A、B、C分别代表三角形的三个角度。
通过正弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知两个角和一个边的长度，求解其他未知边和角。
2. 已知两个边和一个角的大小，求解其他未知边和角。
3. 已知一个边和两个角的大小，求解其他未知边和角。
以一个具体的例子来说明，假设有一个三角形ABC，已知边长a=5，边长b=7，角C的大小为30度，我们可以利用正弦定理求解其他未知边和角。
根据正弦定理，我们可以得到以下等式：5/sinA = 7/sinB = c/sin30通过计算可得sinA ≈ 0.866，sinB ≈ 0.5。
将这些结果代入等式中，可以求解出c ≈ 8.66，A ≈ 60度，B ≈ 30度。
二、余弦定理余弦定理是指在一个三角形中，三条边的长度与对应的角的余弦值之间的关系。
具体表达式如下：c² = a² + b² - 2abcosC其中a、b、c分别代表三角形的三条边的长度，C代表三角形的一个角的大小。
通过余弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知三个边的长度，求解三个角的大小。
2. 已知两个边和对应的夹角，求解第三边的长度。
3. 已知两个边和一个角的大小，求解其他未知边和角。
以一个具体的例子来说明，假设有一个三角形ABC，已知边长a=5，边长b=7，角C的大小为30度，我们可以利用余弦定理求解其他未知边和角。
正弦定理余弦定理与解斜三角形
正弦定理、余弦定理和解斜三角形1、 正弦定理推导在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1.1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==,A则sin sin sin abccABC===b c从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC ==C a B思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图 1.1-3，当∆ABC是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a Bb A =,则sin sin abA B =， C 同理可得sin sin c bCB =， b a 从而sin sin a b A B=sin cC =A DB (图1.1-3) 证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =Abc B ac C ab sin 21sin 21sin 21== 两边同除以abc21即得：A a sin =B b sin =C c sin证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴R CD D aA a 2sin sin === (R 为外接圆的半径)同理 B b sin =2R ，C csin ＝2R由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
从上面的研究过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC =(1) 理解定理(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；(2）sin sin abAB=sin c C =等价于sin sin ab AB =，sin sin cb CB =，sin aA=sin cC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A Bb=。
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第一篇 正弦定理和余弦定理【知识清单】一、三角形有关性质（1）在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；a ＋b >c ，a －b <c ；a>b ⇔sin A >sin B ⇔A >B ；（2）三角形面积公式：S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1sin 2bc A ；（3）在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或2A B π+=⇔三角形为等腰或直角三角形； sin(A ＋B )＝sin C ，()cos cos A B C +=-，sinA ＋B 2＝cos C2. 定理 正弦定理余弦定理内容2sin sin sin a b cR A B C === 2222sin a b c bc A =+-2222sin b a c ac B =+- 2222sin c a b ab C =+-变形形式①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =； ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=；③::c sin :sin :sin a b A B C =； ④sin sin +sin sin a b c a A B C A ++=+. 222cos 2b c a A bc+-=；222cos 2a c b B ac+-= ；222cos 2a b c C ab+-= 解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 三、解斜三角形的类型（1）已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解；（2）已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ∆中， A 为锐角 A 为钝角或直角图 形关系式 sin a b A < sin a b A = sin b A a b << a b ≥ a b >解个数无解 一解 两解 一解 一解上表中，为锐角，时，无解；为钝角或直角时，或均无解.【典例归纳】考点1 利用正、余弦定理解三角形【例1】（1）在△ABC 中：（1）10c =，75A =o，45C =o，求b ； （2）20a =，28c =，30A =o ，求sin B ； （3）)::21a b c =，求角A 、B 、C ；（4）7a =，10b =，6c =，判断ABC ∆的形状.解：（1）由正弦定理得sin sin b cB C =，又()()180180754560B A C =-+=-+=o o o o o得，10sin sin 2c Bb C===（2）由正弦定理得，sin sin b aB A=，故sin 28sin 307sin 2010b A B a ===o （3）令2a k =，b =，)1c k =+()0k >，由余弦定理的推论得2222222614cos 22k k k b c aA bc+-+-===45A ∴=o ，同理60B =o ，18075C A B =--=o o ，45A ∴=o ，60B =o ，75C =o .（4）b a c >>Q ，∴ B 最大由余弦定理的推论得22222276105cos 0227628a c b B ac +-+-===-<⨯⨯ 90180B ∴<<o o ，∴ ABC ∆为钝角三角形.【变式1】ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b、c .已知90A C -=o，a c +=，求C .【变式2】ABC ∆中，,,a b c 是,,A B C 所对的边，且cos cos 2B bC a c=-. （1）求B ∠的大小；（2）若72b =，ABC ∆的面积332S =，求a c +的值.【变式3】已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，cos 3sin a C a C b +-- 0c =.（1）求A ；（2）若2a =，ABC ∆3b ，c .方法总结：在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当地选取定理，简化运算过程，提高解题速度，同时要挖掘题目中的隐含条件.解题时，要综合、灵活地运用两个定理，认真分析已知条件，选择需要先解的三角形和相关定理，并结合三角形的有关性质，如大边对大角、内角和定理等.注意数形结合，正确地求解三角形，防止出现漏解或增解的情况.考点2 三角形解的情况的判定【例2】不解三角形，判断下列三角形解的个数（1）5a =，4b =，120A =o； （2）5a =，10b =，150A =o； （3）9a =，10b =，60A =o ； （4）18a =，24b =，44A =o .解：（1）a b >Q ，且A 为钝角，∴ ABC ∆有唯一解； （2）b a >Q ，且A 为钝角，∴ ABC ∆有无解；（3）sin 102b A =⨯=Q ∴ sin b A a b <<，∴ ABC ∆有两解；（4）sin 24sin 4424sin 45b A =<=o oQ ，又1824<，故有两解.【变式1】ABC ∆中，A 、B 的对边分别是a 、b ，且60A =o，a =4b =，那么满足条件的ABC ∆（ ）A. 有一个解B. 有两个解C. 无解D. 不能确定【变式2】在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ． 10=b ，ο45=A ，ο70=C B ．60=a ，48=c ，ο60=B C ． 7=a ，5=b ，ο80=A D ．14=a ，16=b ，ο45=A【变式3】不解三角形，下列判断中正确的是（ ）A. 7a =，14b =，30A =o有两解 B. 28a =，24b =，150A =o有两解 C. 6a =，9b =，45A =o有两解 D. 9b =，10c =，60B =o有两解方法总结：已知三角形的两边和其中一边的对角，由正弦定理可以求出另一边的对角的正弦值，从而解出三角形，但这个三角形不一定有解.这类问题可以通过计算来判断，也可以通过画图用几何方法来判断.讨论时应注意两点：一是其正弦值与“1”的大小关系，从而决定符合正弦值的角是否存在；二是由此确定的角()0180o o :有几个，它与已知角的和是否小于180o.考点3 三角形形状的判定【例3】在ABC ∆中，cos cos cos a A b B c C +=，试判断三角形的形状.解：由余弦定理代入已知条件得2222222220222b c a a c b a b c a b c bc ac ab+-+-+-⋅+⋅-⋅=， 整理，得()()()2222222222220a b c a b a c b c c a b +-++-+--=， 即()2224a bc -=，222a b c ∴-=±，即222a b c =+或222b a c =+根据勾股定理知ABC ∆是直角三角形.【变式1】在ABC ∆中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，试判断ABC ∆的形状.【变式2】在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，试判断ABC ∆的形状.方法总结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： （1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．考点4 正、余弦定理与其他知识的综合应用【例4】ABC ∆中，已知45A =o，4cos 5B =. （1）求cos C 的值；（2）若10BC =，D 为AB 的中点，求CD 的长. 解：（1）4cos 5B =Q ，且()0,B ∈π，3sin 5B ∴== ()()cos cos cos 135C A B B =π-+=-⎡⎤⎣⎦ocos135cos sin135sin B B =+oo43252510=-⨯+=- （2）由（1）得sin 10C ===， 由正弦定理得sin sin BC ABA C ==，解得14AB =. 在BCD ∆中，7BD =，22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=，CD ∴=【变式】在ABC ∆中，A 、B 、C 为其三个内角，且其对边分别为a 、b 、c .若()2cos23,2m A =+u r ，()2cos ,1n A =r，且//m n u r r .（1）求角A ；（2）若a =3b c +=，求ABC ∆的面积.方法总结：正、余弦定理与三角函数、平面向量综合考查出现频率较高.解决此类问题首先要把握题目重点考查知识点是什么，它们之间有怎样的联系，怎样将他们整合在一起，然后，将问题合理转化，特别注意三角形中角范围的限制.考点5 三角形的范围与最值问题【例5】在锐角ABC ∆中，1BC =，2B A =，则cos ACA的值等于_________，AC 的取值范围为____________. 解：由正弦定理知sin 2sin AC BC A A =，即12sin cos sin AC A A A =，∴ 2cos ACA=ABC ∆Q 是锐角三角形，02A π∴<<，022A π<<，032A π<π-<解得，64A ππ<<.由2cos AC A =得AC 的取值范围为.【变式1】锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2C A =，则ca的取值范围是（ ）A. ()1,2B. (C.)2 D.【变式2】在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ） A. 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. ,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦ C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. ,3π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦【变式3】设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin a b A =. （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.方法总结：（1）求式子的取值范围，可以将其转化为关于一个角的三角函数求最值问题. （2）求正弦定理有关的三角函数最值的求法：①利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些基本量； ②将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数（包括三角函数），从而转化为求函数的最值问题.。