正弦定理余弦定理解三角形

第一篇 正弦定理和余弦定理

【知识清单】

一、三角形有关性质

（1）在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；a ＋b >c ，a －b b ⇔sin A >sin B ⇔A >B ；

（2）三角形面积公式：S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝1

2ac sin B ＝1sin 2

bc A ；

（3）在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或2

A B π

+=

⇔三角形为等腰或直角三角形； sin(A ＋B )＝sin C ，()cos cos A B C +=-，sin

A ＋

B 2＝cos C

2

. 定理 正弦定理

余弦定理

内容

2sin sin sin a b c

R A B C === 2222sin a b c bc A =+-

2222sin b a c ac B =+- 222

2sin c a b ab C =+-

变形

形式

①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =； ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R

=；

③::c sin :sin :sin a b A B C =； ④sin sin +sin sin a b c a A B C A ++=+. 222cos 2b c a A bc

+-=；

222cos 2a c b B ac

+-= ；

222cos 2a b c C ab

+-= 解决

的问题

①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．

①已知三边，求各角；

②已知两边和它们的夹角，求第三

边和其他两个角. 三、解斜三角形的类型

（1）已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解；

（2）已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ∆中， A 为锐角 A 为钝角或直角

图 形

关系式 sin a b A < sin a b A = sin b A a b << a b ≥ a b >

解个数

无解 一解 两解 一解 一解

上表中，为锐角，时，无解；为钝角或直角时，或均无解.

【典例归纳】

考点1 利用正、余弦定理解三角形

【例1】（1）在△ABC 中：

（1）10c =，75A =o

，45C =o

，求b ； （2）20a =，28c =，30A =o ，求sin B ； （3

）)

::21a b c =，求角A 、B 、C ；

（4）7a =，10b =，6c =，判断ABC ∆的形状.

解：（1）由正弦定理得

sin sin b c

B C =

，又()()180180754560B A C =-+=-+=o o o o o

得，10sin sin 2

c B

b C

=

==（2）由正弦定理得，sin sin b a

B A

=

，故sin 28sin 307sin 2010b A B a ===o （3）令2a k =

，b =

，)

1c k =

+()0k >，

由余弦定理的推论得

2

222

2

2

2

614cos 22

k k k b c a

A bc

+

-+-=

=

=

45A ∴=o ，同理60B =o ，18075C A B =--=o o ，45A ∴=o ，60B =o ，75C =o .

（4）b a c >>Q ，∴ B 最大

由余弦定理的推论得22222276105

cos 0227628a c b B ac +-+-=

==-<⨯⨯ 90180B ∴<

【变式1】ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b

、

c .已知90A C -=o

，a c +=，

求C .

【变式2】ABC ∆中，,,a b c 是,,A B C 所对的边，且cos cos 2B b

C a c

=

-. （1）求B ∠的大小；（2）若72b =

，ABC ∆的面积332

S =，求a c +的值.

【变式3】已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、

C 的对边，cos 3sin a C a C b +-- 0c =.

（1）求A ；（2）若2a =，ABC ∆3b ，c .

方法总结：在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当地选取定理，简化运算过程，提高解题速度，同时要挖掘题目中的隐含条件.解题时，要综合、灵活地运用两个定理，认真分析已知条件，选择需要先解的三角形和相关定理，并结合三角形的有关性质，如大边对大角、内角和定理等.注意数形结合，正确地求解三角形，防止出现漏解或增解的情况.

考点2 三角形解的情况的判定

【例2】不解三角形，判断下列三角形解的个数

（1）5a =，4b =，120A =o

； （2）5a =，10b =，150A =o

； （3）9a =，10b =，60A =o ； （4）18a =，24b =，44A =o .

解：（1）a b >Q ，且A 为钝角，∴ ABC ∆有唯一解； （2）b a >Q ，且A 为钝角，∴ ABC ∆有无解；

（3）sin 102

b A =⨯

=Q ∴ sin b A a b <<，∴ ABC ∆有两解；

（4）sin 24sin 4424sin 45b A =<=o o

Q ，又1824<，故有两解.

【变式1】ABC ∆中，A 、B 的对边分别是a 、b ，且60A =o

，a =

4b =，那么

满足条件的ABC ∆（ ）

A. 有一个解

B. 有两个解

C. 无解

D. 不能确定

【变式2】在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ． 10=b ，ο45=A ，ο70=C B ．60=a ，48=c ，ο

60=B C ． 7=a ，5=b ，ο80=A D ．14=a ，16=b ，ο

45=A

【变式3】不解三角形，下列判断中正确的是（ ）

A. 7a =，14b =，30A =o

有两解 B. 28a =，24b =，150A =o

有两解 C. 6a =，9b =，45A =o

有两解 D. 9b =，10c =，60B =o

有两解

方法总结：已知三角形的两边和其中一边的对角，由正弦定理可以求出另一边的对角的正弦值，从而解出三角形，但这个三角形不一定有解.这类问题可以通过计算来判断，也可以通过画图用几何方法来判断.讨论时应注意两点：一是其正弦值与“1”的大小关系，从而决定符合正弦值的角是否存在；二是由此确定的角()

0180o o :有几个，它与已知角的和是否小于180o

.