不定积分公式大全 含求积分通用方法及例题

不定积分小结一、不定积分基本公式

(1)∫x a dx=x a+1

a+1

+C(a≠−1) (2)∫

1

x

dx=ln|x|+C

(3)∫a x dx=a x

ln a

+C(4)∫sin x dx=−cos x+C

(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx

1+x2

=arctan x+C

(13)∫dx

x2+a2=1

a

arctan x

a

+C(14)∫dx

x2−a2

=1

2a

ln|a−x

a+x

|+C

(15)∫dx

a2−x2=1

2a

ln|a+x

a−x

|+C(16)∫

√1−x2

=arcsin x+C

(17)

√a2−x2=arcsin x

a

+C(18)

√x2±a2

=ln|x+√x2±a2|+C

(19)∫√a2−x2dx=x

2

√a2−x2+

a2

2

arcsin

x

a

+C

(20)∫√x2±a2dx=x

2

√x2±a2±

a2

2

ln|x+√x2±a2|+C

二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）

(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)

则D n=−cos x sin n−1x

n

+

n−1

n

D n−2(求三角函数积分)

易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；

n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x

2−sin2x

4

+C；

(2)I n=∫

dx

(x2+a2)n

(详情请查阅教材173页)

则I n+1=

1

2na2

x

(x2+a2)n

+

2n−1

2na2

I n

易得I n可递推至I1=∫dx

x2+a2=1

a

arctan x

a

+C

迅捷

P D

F编

辑

器

（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法

(一)换元积分法：

第一类换元积分法(凑微分法)

这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。

首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子

例1：

x

√5+x−x2

注意到分母根号下为二次，其导数为一次，而分子正好就是一次，通过凑微分和配方可以得到解决。

x

√5+x−x2=

−

1

2(−2x+1)+

1

2

√5+x−x2

=−1

2

d(5+x−x2)

√5+x−x2

+

1

2

1

√5+x−x2

=−√5+x−x2+1

2

dx

(√

21

2)2−(x−

1

2)2

=−√5+x−x2+1

2

arcsin(

2x−1

√21

)+C

例2：∫

x3

x4+x2+1

dx

与例1类似，我们有：

∫

x3

x4+x2+1

dx=∫

1

4(4x

3+2x)−1

2x

x4+x2+1

dx

=1

4

∫

d(x4+x2+1)

x4+x2+1

−

1

4

∫

d(x2+

1

2)

(x2+

1

2)

2

+(√

3

2)

2

后面套公式就好啦

例3：∫

dx

1+sin2x

∫

dx

cos2x+2sin2x

=∫

1

cos2x

dx

1+2tan2x

=∫

d(tan x)

1+2tan2x

迅捷

P D

编

辑

器

=12d(tan x)(√2

2)2+tan 2x

=√22arctan (tan x)+C 接下来举几个我们可能不太熟悉的例子，不容易凑成微分。

例4：√x √a 3−x 3=√x

32√x √(a 3

2)2−(x 32)2d(x 32)

=23

√(a 32)

2−

(x 32)

2(x 3

2)至此可以套用公式了 例5：∫

1

2x +3dx =∫1

2x

1+32x

dx ，注意到32x 的导数为−3ln 212x ， 至此可以用凑微分法了

例6：∫x 1−x cot x dx =∫x sinx

sin x −x cos x dx

注意到sin x −x cos x 的导数为x sinx

第二类换元积分法

（1）利用三角函数进行代换：sin 2x +cos 2x =1

tan 2x +1=sec 2x cot 2 x +1=csc 2x

换元时必须要注意变量的范围，保证范围的等价性（通过例题体会） 例如以下两个基本积分公式

∫√a 2−x 2dx =x 2√a 2−x 2+a 2

2arcsin x

a +C

∫√x 2±a 2dx =x 2√x 2±a 2±a 2

2ln |x +√x 2±a 2|+C

例：∫dx

(x 2+9)3

利用tan 2x +1=sec 2x ，令x =3tan t ，这里x 可以取到全体实数，那么 t 取(−π2,π

2

)就可以保证x 取到全体实数，因为t 的范围直接影响到三角

函数的正负，所以这一点在涉及到开根号的三角函数表达式时尤为重要。

则：∫dx (x 2+9)3=393

∫cos 4

t dt

至此，∫cos 4t dt 有多种求法，比如说直接用递推公式，见第五页：

∫cos n

x dx 利用cos x =sin(π2

−x)和∫sin n x dx 求得

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