2017-2018学年高中数学第二章统计阶段质量检测A卷(含解析)新人教A版必修3

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2017-2018学年高中数学人教A版必修2练习：第二章单元

第二章单元检测班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为()A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α答案：B2．有下列命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：B解析：平行于同一直线的两平面可能相交，①错，垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，③错，可知②④正确．3．若α⊥β，α∩β＝l，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么()A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行答案：C解析：两平面垂直，两直线分别在两平面内，且两直线与交线不垂直，两直线若平行，则均与交线平行，因此可能平行；若a与b垂直，根据面面垂直的性质，则a与l垂直或b 与l垂直，与已知矛盾，选C.4．两条异面直线在同一平面的正投影不可能是()A．两条平行直线B．两条相交直线C．一个点和一条直线D．两个点答案：D解析：如果两条直线在同一平面内的正投影是两个点，则这两条直线都和平面垂直，这两条直线平行，不会是异面直线．5．给出下列命题：①和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面，其中正确命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：A解析：两两相交且过同一点的直线，可以不在同一平面内，所以①②都错；两平面相交，也可以有三个不同的公共点，所以③错；两两平行的三条直线可以在同一平面内，所以④错．6.如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线AC与直线BC′所成的角为() A．30°B．60°D ．45° 答案：B解析：AC 与A ′C ′平行，三角形A ′C ′B 为等边三角形，结合等角定理可知所求角为60°.7．已知三条不同的直线a ，b ，c ，三个不同的平面α，β，γ，有下面四个命题： ①若α∩β＝a ，β∩γ＝b 且a ∥b ，则α∥γ；②若直线a ，b 相交，且都在α，β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β； ③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α； ④若a ⊂α，b ⊂α，c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥α. 其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 答案：B解析：命题①错误，因为α与γ还可能相交；命题②正确，设a 与b 确定的平面为γ，由题设知α∥γ，β∥γ，所以α∥β，所以排除A 、C 、D ，答案选B.8．如图，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B ，D ∈a ，线段AB ，AD 分别交α于E ，G ，若BD ＝15，BE ＝2AE ，则EG 等于( )A ．10 B.103C ．5 D.53答案：C解析：由三角形AEG 与三角形ABD 相似得，EG ＝13BD ＝5.9．若α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，且AB ＋CD ＝28，AB 、CD 在β内的射影长分别为9和5，则AB 、CD 的长分别为( )A ．16和12B ．15和13C ．17和11D ．18和10 答案：B解析：令AB ＝x ，CD ＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝28x 2－81＝y 2－25，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15y ＝13. 10.如图所示，正三棱锥V —ABC (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中，D ，E ，F 分别是VC ，VA ，AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是( )A ．30°B ．90°侧棱垂直于底面且底面为正三角形的三棱柱所成角的正弦值为(，在等边△ABC为所求，＝2a，，CD⊥α，垂足分别为，给出四个条件：BD在β内的正投影在同一条直线上；内的正投影所在的直线交于一点．内的正投影所在的直线相交时，平面若EF⊥BD，由于EF⊥小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．中，平面AB1D1和平面∥平面AB1D1，同理BC，BC1⊂平面BDC1，1ABCD所在平面，且∠ABCD 是菱形且∠ABC ＝上的射影，即∠PCA 为所求角，的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离所求距离即球心与球的外切正方体的顶点的距离，也即正方体对角线长度的一，故其外切正方体的棱长为2R ，其对角线长为ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知A 1EF ⊥平面EFP ，则1O ，OP ，显然A 1E ＝P 的平面角，若平面A 1中，A 1O ＝1＋(14(1－x )2，∴98＋98＋x 2＝－A 1B 1C 1D 1中，底面AF 綊CD ，∴AD ∥CF ADD 1A 1，－BCD 中，侧棱长和底面边长均相等，，同理⎬⎪⎫AD ＝BD ⇒DE ⊥中，平面P AD ⊥平面ABCD 5.AD ＝2，BD ＝4，AB ＝，平面P AD ∩平面ABCD ＝PO ⊥平面ABCD . 的等边三角形，中，4 55.×5×4 55＝2.13×2×3＝2 3 3某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图底面为正方形且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．请画出该安全标识墩的侧(左)视图；求该安全标识墩的体积；⊥平面PEG.该安全标识墩的侧视图如图所示．该安全标识墩的体积为：－EFGH×20＝32000＋32000＝64000(cm3)．(3)证明：如图，由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，∴FH⊥EG，又∵ABCD－EFGH为长方体，∴BD∥FH，设点O是EFGH的对称中心，∵P－EFGH是正四棱锥，∴PO⊥平面EFGH，而FH⊂平面EFGH，∴PO⊥FH.∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，PO⊂平面PEG，EG⊂平面PEG，∴FH⊥平面PEG.而BD∥FH，故直线BD⊥平面PEG.21.(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C，求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明：(1)由E、F分别是A1B，A1C的中点，知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1故DD1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1，B1C⊂平面BB1C1C.所以A1D⊥平面BB1C1C.又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.22．(12分)在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE ：EB＝CF ：F A＝CP ：PB＝1 ：2(如图甲)．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1—EF—B成直二面角，连接A1B，A1P(如图乙)．(1)求证：A1E⊥平面BEP；(2)求二面角A1—BP—E的大小．解：不妨设正三角形的边长为3，则(1)证明：在题图甲中，取BE的中点D，连接DF，∵AE ：EB＝CF ：F A＝1 ：2，∴AF＝AD＝2，而∠A＝60°.∴△ADF为正三角形．又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD.在题图乙中，A1E⊥EF，BE⊥EF.∴∠A1EB为二面角A1—EF—B的一个平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE.又BE∩EF＝E，。

2017-2018学年高中新课标数学人教A版选修2-2：第二章

答案：A
8．求证：＋＞ .
证明：因为＋和都是正数，
所以为了证明＋＞，
只需证明( ＋ )2＞( )2，
展开得5＋2 ＞5，即2 ＞0，
此式显然成立，
所以不等式＋＞成立．
上述证明过程应用了()
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
解析：证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．
解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．
答案：D
3．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：f(2)＝，f(3)＝，f(4)＝，猜想f(x)＝ .
答案：B
4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是()
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
解析：(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析：要证＜ a
只需证b2－ac＜3a2
∵a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c
只需证(－a－c)2－ac＜3a2

2017-2018学年高中数学人教B版2练习：第二章阶段质量检测含解析

(时间90分钟,满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．过两点A（4，y）,B(2，－3）的直线的斜率是－1，则y＝( )A．1 B．－1C．5 D．－5解析：y＋34－2＝－1，∴y＝－5.答案：D2．点P（3，－2,4)关于点A（0,1，－3)的对称点的坐标是（）A．（－3,2，－4）B．（－3，4，－10）C．（－3,3，－7) D．(6,－5，11)解析：P(3，－2，4)关于点A（0,1，－3)的对称点的坐标是(0－3，1×2－(－2），2×(－3）－4），即（－3，4，－10）．答案：B3．(2010·安徽高考）过点(1,0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0解析：与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为：x－2y＋c ＝0,将点（1，0）代入x－2y＋c＝0，解得c＝－1，故直线方程为x －2y－1＝0。

答案：A4．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( ）A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0解析:设所求直线上任一点P(x，y），则P关于直线x＝1的对称点p′(2－x，y），一定在直线x－2y＋1＝0上，得（2－x)－2y＋1＝0，即x＋2y－3＝0.答案:D5．(2010·安徽联考)过点P(－1，3）且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是（）A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0解析：设所求方程为2x＋y＋m＝0.将P(－1，3)代入得2×(－1)＋3＋m＝0,解得m＝－1，∴所求方程为2x＋y－1＝0。

答案：A6．若点P(a，2a)在圆（x－1）2＋y2＝5a2－1的内部，则a的取值范围是( ）A．a＞1 B．a≥1C．a〈1 D．a≤1解析：由（a－1）2＋（2a)2〈5a2－1，解得a〉1,5a2－1>4,满足题意．答案：A7．一束光线自点P（1,1，1)发出，被xOy平面反射到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光线所走的路程是（）A.错误!B。

2017—2018学年度第二学期教学质量检查高一数学参考答案20180528_最新修正版

2017—2018学年度第二学期教学质量检查高一数学参考答案及评分标准二、填空题(每小题5分,满分20分)13.52 14．7； 15．0.95； 16．5三、解答题 17．（本小题满分10分）解:（1）与2+a b 垂直，得2+0a a b ⋅=（）即22+=0a a b ……………………2分即10120k -+= ……………………3分解得92k =-． ……………………4分（2）依题意，10102521||||cos =⨯+-==b a b a θ， ……………………6分因为[0,]θπ∈ s i n 10θ∴==……………………7分 sin tan 3cos θθθ∴== ……………………8分 54110121cos 22cos 2-=-⨯=-=∴θθ ……………………10分18．（本小题满分l2分）解: (1)由题意：第2组的人数：7050.07n =⨯⨯，得到：=200n ，故该组织有200人.……………………3分(2)第3组的人数为0.3200=60⨯，第4组的人数为0.2200=40⨯，第5组的人数为0.1200=20⨯. ∵第3，4，5组共有120名志愿者，∴利用分层抽样的方法在120名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：606=3120⨯；第4组：406=2120⨯；第5组：206=1120⨯. ……………………5分记第3组的3名志愿者为1A ，2A ，3A ，第4组的2名志愿者为1B ，2B ，第5组的1名志愿者为C .则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：()12A A ，，()13A A ，，()11A B ，，()12A B ，，()1A C ，，()23A A ，，()21A B ，,()22A B ，,()2A C ，,()31A B ，,()32A B ，,()3A C ，,()12B B ，,()1B C ，,()2B C ，，共有15种.……………………8分其中第3组的3名志愿者为1A ，2A ，3A ，至少有一名志愿者被抽中的有：()12A A ，，()13A A ，，()11A B ，，()12A B ，，()1A C ，，()23A A ，，()21A B ，,()22A B ，,()2A C ，,()31A B ，,()32A B ，,()3A C ，共有12种.……………………10分则第3组的为至少有一名志愿者被抽中的概率为541512==P . ……………………12分 [用间接法求解亦可以给满分] 19. （本小题满分l2分）解：（1）66880838490+++++=q y ，又80y =，75=∴q . ……………………3分（2）4567891362x +++++==， ……………………4分2133050680241327162b ∧-⨯⨯∴==-⎛⎫- ⎪⎝⎭……………………6分 ()138041062a ∧∴=--⨯= ……………………7分 4106y x ∧∴=-+ ……………………8分（3）4106y x ∧=-+1111410690,909001y x y y ∧∧∴=-+=-=-=<，所以()()11,4,90x y =是“理想数据”；2222410686,=868421y x y y ∧∧=-+=--=>，所以()()22,5,84x y =不是“理想数据”;3333410682,838211y x y y ∧∧=-+=-=-==，所以()()33,6,83x y =是“理想数据”.所以所求的“理想数据”为)90,4( ，)83,6(. ……………………12分20. （本小题满分l2分）解: （1）()2ππ2sin 1cos 242f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1sin22sin 213x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭， ……………………4分∴函数()f x 最小正周期为22T ππ== ……………………5分 (2)ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ππ2π2,363x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， ……………………7分∴π1sin 2[,1]32x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ∴π2sin 2[1,2]3x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ……………………10分 ∴()[2,3]f x ∈……………………11分 ∴函数()f x 的值域是[2,3]……………………12分21. （本小题满分l2分）（1）解：设点(),Q x y 、()00,P x y .点P 在圆C 上，∴2200(3)(5)4x y -+-=. ① ……………………1分又PA 中点为点Q∴002121x x y y =+⎧⎨=+⎩ ………………… 3分可得021x x =-，021y y =-代入①得22(2)(3)1x y -+-=∴点Q 的轨迹方程为22(2)(3)1x y -+-= …………………… 4分（2）假设存在直线l ，使得6=∙OM ，设()11,M x y ，()22,N x y ，由222(2)(3)1y kx x y =+⎧⎨-+-=⎩ 得22(1)(24)40k x k x +-++= …………………… 6分因为直线与Q 的轨迹交于两点所以22=(24)16(1)0k k ∆+-+> 得403k <<② …………………… 7分且121222244,11k x x x x k k++==++ …………………… 8分又212121212(1)2()4OM ON x x y y k x x k x x +=+∙++=+222424(1)24=1011k k k k k +=+⨯+⨯+++ …………………… 9分∴2410k k +-=解得2k =-± …………………… 10分因为2k =--②， …………………… 11分所以存在直线l：(22y x =-++，使得=10OM ON ∙ ……………………12分22. （本小题满分l2分）解：（1）当1=a 时，1cos sin cos sin )(-++-=x x x x x f ，令x x t cos sin +=，则]2,2[-∈t ，21cos sin 2-=t x x ，22)1(21121)(--=-+--=t t t t g ，当1=t 时，0)(max =t g ，当2-=t 时，223)(min --=t g ，所以)(x f 的值域为]0,223[--……………………4分（2）1)cos (sin cos sin )(-++-=x x a x x x f ，令sin cos t x x =+，则当3[0,]4x π∈时，t ∈，21sin cos 2t x x -=， 2221111()1()2222t h t at t a a -=-+-=--++， …………………… 5分 )(x f 在3[0,]4π内有且只有一个零点等价于()h t 在[0,1){2}内有且只有一个零点，)2,1[无零点.因为1≥a ， ……………………6分 ∴()h t 在[0,1)内为增函数，①若()h t 在[0,1)内有且只有一个零点，)2,1[无零点，故只需10(1)01(0)0020302a h h h ⎧⎪->⎧>⎪⎪-⎪≤⇒≤⎨⎨⎪⎪>⎩->得423>a ；……………………10分②若2为()h t 的零点，)2,1[内无零点，则0232=-a ，得423=a ，经检验，423=a 不符合题意. 综上，423>a . ……………………12分。

2017—2018学年度第二学期教学质量检查高一数学参考答案_最新修正版

2017—2018学年度第二学期教学质量检查高一数学参考答案及评分标准二、填空题(每小题5分,满分20分)13.52 14．7； 15．0.95； 16．5三、解答题 17．解:（1）与垂直，得0a b ⋅= 即021=+-k ……………………3分解得21=k ．……………………5分（2）依题意，10102521||||cos =⨯+-==b a b a θ，……………………7分 54110121cos 22cos 2-=-⨯=-=∴θθ.……………………10分18．（本小题满分l2分）(1)由题意：第2组的人数：70＝5×0.07×n ，得到：n ＝200，故该组织有200人.……………………………………………… 3分(2)第3组的人数为0.3×200＝60，第4组的人数为0.2×200＝40，第5组的人数为0.1×200＝20. ∵第3，4，5组共有120名志愿者，∴利用分层抽样的方法在120名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：60120×6＝3；第4组：40120×6＝2；第5组：20120×6＝1. ……………… 5分记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1， B 2，第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有： (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)， (A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)， (A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共有15种.……………………………………………… 8分其中第3组的3名志愿者A 1，A 2，A 3，至少有一名志愿者被抽中的有： (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，共有12种.…………………………………………… 10分则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为P ＝1215＝45. ………12分19. （本小题满分l2分）解：（1）66880838490+++++=q y ，又80y =，75=∴q . ……………………………………………………3分（2）4567891362x +++++==， ………………………………………………………………4分2133050680241327162b ∧-⨯⨯∴==-⎛⎫- ⎪⎝⎭………………………………………………………………6分 ()138041062a ∧∴=--⨯= ………………………………………………………………7分 4106y x ∧∴=-+ ………………………………………………………………8分（3）4106y x ∧=-+1111410690,909001y x y y ∧∧∴=-+=-=-=<，所以()()11,4,90x y =是“理想数据”；2222410686,|868421y x y y ∧∧=-+=-=-=，所以()()22,5,84x y =不是“理想数据”;3333410682,838211y x y y ∧∧=-+=-=-==，所以()()33,6,83x y =是“理想数据”.所以所求的“理想数据”为)90,4( ，)83,6(. …………………………………………12分 20. （本小题满分l2分）解析: （1）()2ππ2sin 1cos 242f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1sin22sin 213x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，………………………3分令222232k x k πππππ-+≤-≤+ k Z ∈51212k x k ππππ∴-+≤≤+ k Z ∈ …………………3分∴()f x 单调增区间为5[,]1212k k ππππ-++,k Z ∈.令ππ2π32x k -=+， k Z ∈，得5ππ122k x =+， k Z ∈，………………………4分∴()f x 的对称轴为5ππ122k x =+， k Z ∈． ………………………………5分(2) 关于x 的方程()2f x m -=在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解∴()2f x m -=∴π2sin 2123x m ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解 ………………………6分 ∴函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像和直线12m y +=在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不同的交点……8分ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ππ2π2,363x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，由图可知，1122m +≤< ………………10分11m ≤<． ……………………………12分 21.（1）解：设点Q (x ，y )、P (x 0，y 0). ……………………………… 1分∵点P 在圆C 上， ∴(x 0－3)2＋(y 0－5)2＝4. ………………………………………… 2分又∵P A 的中点为点Q ，∴⎩⎨⎧2x ＝x 0＋12y ＝y 0＋1②③………………………………………… 3分由②③得x 0＝2x －1，y 0＝2y －1代入①得 (2x －1－3)2＋(2y －1－5)2＝4，化简得(x －2)2＋(y －3)2＝1.………………………………………… 4分（2）假设存在直线l ，使得6=∙OM ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2 (x －2)2＋(y －3)2＝1，得(1＋k 2)x 2－(2k ＋4)x ＋4＝0， ………… 6分由△＝(2k ＋4)2－16(1＋k 2)＞0得0＜k ＜43，且x 1＋x 2＝2k ＋41＋k 2，x 1x 2＝41＋k 2，…………………………………… 8分又ON OM ∙＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)41＋k 2＋2k ×2k ＋41＋k 2＋4＝10， …………… 10分解得2k =-±2k =-不满足△＞0， ………… 11分所以当2k =-+l ，使得10=∙ON OM .……… 12分22.解：（1）当1=a 时，1cos sin cos sin )(-++-=x x x x x f ，令x x t c o s s i n +=，则]2,2[-∈t ，21cos sin 2-=t x x ，22)1(21121)(--=-+--=t t t t g ，当1=t 时，0)(m ax =t g ，当2-=t 时，223)(m in --=t g ，所以)(x f 的值域为]0,223[-- ………………………………………………………………4分（2）1)cos (sin cos sin )(-++-=x x a x x x f ，令sin cos t x x =+，则当3[0,]4x π∈时，t ∈，21sin cos 2t x x -=， 2221111()1()2222t h t at t a a -=-+-=--++， …………………………… 5分 )(x f 在3[0,]4π内有且只有一个零点等价于()h t 在[0,1){2}内有且只有一个零点，)2,1[无零点.因为1≥a ， ………………………………………………………………6分 ∴()h t 在[0,1)内为增函数，①若()h t 在[0,1)内有且只有一个零点，)2,1[无零点，故只需10(1)01(0)0020302a h h h ⎧⎪->⎧>⎪⎪-⎪≤⇒≤⎨⎨⎪⎪>⎩->得423>a ；…………10分 ②若2为()h t 的零点，)2,1[内无零点，则0232=-a ，得423=a ，经检验，423=a 不符合题意. 综上，423>a .…………12分。

1.2017-2018学年高中数学(人教版,必修2)阶段质量检测(四)

阶段质量检测（四）(A 卷学业水平达标) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．直线l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系为( ) A ．相交或相切 B ．相交或相离 C ．相切 D ．相交答案：D2．已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0的圆心在直线x ＋y ＝1上，则D 与E 的关系是( ) A ．D ＋E ＝2 B ．D ＋E ＝1 C ．D ＋E ＝－1 D ．D ＋E ＝－2 答案：D3．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为( )A ．2或1B ．－2或－1C ．2D ．1 答案：C4．以正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1中点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1，1 B.⎝⎛⎭⎫1，12，1 C.⎝⎛⎭⎫1，1，12 D.⎝⎛⎭⎫12，12，1 答案：C5．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切答案：B6．自点A (－1,4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线，则切线长为( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．5 答案：B7．直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于( ) A.3或－ 3 B ．－3或3 3 C ．－33或 3 D ．－33或3 3答案：C8．圆心在x 轴上，半径长为 2，且过点(－2,1)的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．x 2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x ＋3)2＋y 2＝2D ．(x ＋1)2＋y 2＝2或(x ＋3)2＋y 2＝2 答案：D9．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.43答案：B10．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或 3 B ．1或3 C ．－2或6 D ．0或4 答案：D二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．在如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________．答案：(a ，b ，c )12．(北京高考)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________．答案：2 213．设点A 为圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上一动点，则A 到直线x －y －5＝0的最大距离为________．答案：522＋114．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________．答案：x 2＋y 2＝4(x ≠±2)三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0.(1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．解： (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴圆C 1和C 2相交． (2)圆C 1和圆C 2的方程左、右分别相减，得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0. 圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离 d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.16．(本小题满分12分)正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动．若|CM |＝|BN |＝a (0＜a ＜2)．(1)求MN 的长度；(2)当a 为何值时，MN 的长度最短．解：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，BA ，BE ，BC 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 上且在正方形ABCD 的对角线AC 上，所以点M⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a .因为点N 在坐标平面xBy 上且在正方形ABEF 的对角线BF 上，|BN |＝a ，所以点N⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0.(1)由空间两点间的距离公式，得 |MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1，即MN 的长度为a 2－2a ＋1.(2)由(1)得|MN |＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12，当a ＝22(满足0＜a ＜2)时，⎝⎛⎭⎫a －222＋12取得最小值22，即MN 的长度最短，最短为22.17．(本小题满分12分)一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得A (6，－2)，设圆的半径长为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10，所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设A ′(x 0，－3)(x 0＞0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得2x 0＝251，即当水面下降1米后，水面宽251米．18．(本小题满分12分)已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；(2)若点P 的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程．解：(1)设P (2m ，m )，由题可知MP ＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解得m ＝0或m ＝45，故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝⎛⎭⎫85，45.(2)由题意易知k 存在，设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22，所以22＝|－2k －1|1＋k 2，解得k ＝－1或k ＝－17，故所求直线CD 的方程为：x ＋y－3＝0或x ＋7y －9＝0.19．(本小题满分12分)已知以点C 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，且圆心在直线x ＋3y －15＝0上．设点P 在圆C 上，求△PAB 的面积的最大值．解：∵线段AB 的中点为(1,2)，直线AB 的斜率为1，∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －2＝－(x －1)，即y ＝－x ＋3.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋3，x ＋3y －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6，即圆心C 为(－3,6)，则半径r ＝(－3＋1)2＋62＝2 10. 又|AB |＝(3＋1)2＋42＝42，∴圆心C 到AB 的距离d ＝(2 10)2－(22)2＝42，∴点P 到AB 的距离的最大值为d ＋r ＝42＋2 10， ∴△PAB 的面积的最大值为12×42×(42＋2 10)＝16＋8 5.20．(本小题满分12分)已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解：(1)∵x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0， ∴D ＝－2，E ＝－4，F ＝m ，由D 2＋E 2－4F ＝20－4m >0，可得m <5.故m 的取值范围为(－∞，5)．(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，消去x 得5y 2－16y ＋8＋m ＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5.∵OM ⊥ON ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴5y 1y 2－8(y 1＋y 2)＋16＝0. ∴m ＝85.(3)设圆心为(a ，b )，则 a ＝x 1＋x 22＝45，b ＝y 1＋y 22＝85，半径r ＝|MN |2＝455.∴圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165.(B 卷能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是( )A.32π B.34π C ．3πD ．不存在解析：选B 将方程化为标准方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋m －122＝－m 2－2m ＋24， ∴半径r ＝12－m 2－2m ＋2＝12－(m ＋1)2＋3.要使圆的面积最大，应使半径最大，当m ＝－1时，r max ＝32，∴最大面积为πr 2max ＝34π. 2．已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝13 B ．(x ＋2)2＋y 2＝17 C ．(x ＋1)2＋y 2＝40D ．(x －1)2＋y 2＝20解析：选D 设圆心坐标为C (a,0)，则AC ＝BC ，即(a －5)2＋22＝(a ＋1)2＋42，解得a ＝1，所以半径r ＝(1＋1)2＋42＝20＝25，所以圆C 的方程是(x －1)2＋y 2＝20.3．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.4．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心解析：选C 圆心C (0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝1k 2＋1<2，∴直线与圆相交，且圆心C (0,0)不在该直线上．5．与直线2x －y ＋1＝0平行且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x －y ＋5＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：选D 设所求的直线方程为2x －y ＋C ＝0，则圆心(0,0)到该直线的距离d ＝|C |5＝5，得C ＝±5.∴所求直线的方程为2x －y ±5＝0.6．过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ,B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20解析：选A 由圆x 2＋y 2＝4，得到圆心O 坐标为(0,0)，∴△OAB 的外接圆为四边形OAPB 的外接圆，又P (4,2)，∴外接圆的直径为|OP |＝42＋22＝25，半径为5外接圆的圆心为线段OP 的中点是(2,1)，所以△OAB 的外接圆方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.7．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是( ) A ．|b |＝2 B ．－1<b ≤1或b ＝－ 2 C ．－1≤b ≤1 D ．非A ，B ，C 的结论解析：选B 作出曲线x ＝1－y 2和直线y ＝x ＋b ，利用图形直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法．将曲线x ＝1－y 2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0)．当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2＋y 2＝1相切时，则满足|0－0－b |2＝1，|b |＝2，b ＝±2.观察图象，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时，直线与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点．8．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选B 因为圆心在直线x ＋y ＝0上，所以设圆心坐标为(a ，－a )(此时排除C 、D)，因为圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，所以|a ＋a |2＝|a ＋a －4|2，解得a ＝1，r＝|a ＋a |2＝2，所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.9．已知A (－2,0)，B (0,2)，点M 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上的动点，则点M 到直线AB 的最大距离是( )A.322－1B.322C.322＋1D ．2 2解析：选C 可知圆的圆心坐标为(1,0)，半径为1，直线AB ：－x 2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，则圆心到直线的距离为d ＝|1－0＋2|2＝32 2.∴点M 到直线AB 的最大距离是d ＋r ＝322＋1.10．实数x ，y 满足x 2＋y 2－6x －6y ＋12＝0，则yx 的最大值为( ) A ．3 2 B ．3＋2 2 C ．2＋ 2D. 6解析：选B 实数x ，y 满足x 2＋y 2－6x －6y ＋12＝0，所以点(x ，y )在以(3,3)为圆心，6为半径的圆上，则yx 为圆上的点与原点连线的直线的斜率，设过原点的直线方程为y ＝kx ，则直线与圆相切时|3k －3|k 2＋1＝6，解得k ＝3±22，所以yx的最大值为3＋22，选B.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．空间直角坐标系中，点A (－2,1,3)关于x 轴的对称点为点B ，又已知C (x,0，－2)，且|BC |＝32，则x 的值为________．解析：易知B (－2，－1，－3)，|BC |＝(x ＋2)2＋1＋1＝32，解得x ＝2或－6.答案：2或－612．圆心在直线 x －2y ＝0上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为__________________________________________．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b ＞0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b ＞0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝413．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，则圆的方程为________．解析：法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2.y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0，得5x 2＋10x ＋4m －27＝0，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275，又y 1y 2＝12(－x 1＋3)×12(－x 2＋3)＝14[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9]＝m ＋125，因为OP ⊥OQ ，所以OP ―→·OQ ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝5m －155＝0，解得m ＝3，则所求圆的方程为x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0.法二：据题意设以PQ 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＋λ(x ＋2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋(1＋λ)x ＋(2λ－6)y ＋m －3λ＝0.因为OP ⊥OQ ，所以点O (0,0)在以PQ 为直径的圆上，则m －3λ＝0，①设圆心为C ，则其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋λ2，3－λ，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋λ2，3－λ在直线x ＋2y －3＝0上，得－1＋λ2＋2(3－λ)－3＝0，解得λ＝1，由①得m ＝3，则所求圆的方程为x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0.答案：x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝014．已知点P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________．解析：可知C (1,1)，半径r ＝1，S 四边形PACB ＝2S △PAC ，则要使四边形PACB 的面积最小，只需使Rt △PAC 的面积最小，观察Rt △PAC ，直角边AC ＝r ＝1，所以要使△PAC 的面积最小，只需斜边PC 最短，而当PC 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0时，PC 最短，为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，这时|PA |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以四边形PACB 面积的最小值为2×12×22×1＝2 2.答案：2 2三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程．解：法一：由题意可设所求圆的方程为：(x －3)2＋(y －6)2＋λ(4x －3y ＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.法二：设圆的标准方程，寻找三个方程构成方程组求解．设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ，得⎩⎪⎨⎪⎧ (3－a )2＋(6－b )2＝r 2，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，b －6a －3×43＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝92，r 2＝254，所以圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 法三：设圆的一般方程求解．设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A (3,6)、B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.16．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，(1)若直线l 1过定点A (1,0)，且与圆C 相切，求l 1的方程；(2)若圆D 的半径为3，圆心在直线l 2：x ＋y －2＝0上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．解：(1)①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意． ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即|3k －4－k |k 2＋1＝2，解之得k ＝34.所求直线方程是x ＝1,3x －4y －3＝0. (2)依题意设D (a,2－a )，又已知圆C 的圆心C (3,4)，r ＝2，由两圆外切，可知CD ＝5 ∴可知(a －3)2＋(2－a －4)2＝5，解得a ＝3，或a ＝－2， ∴D (3，－1)或D (－2,4)，∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9或(x ＋2)2＋(y －4)2＝9.17．(本小题满分12分)已知△ABC 三个顶点坐标分别为：A (1,0)，B (1,4)，C (3,2)，直线l 经过点(0,4)．(1)求△ABC 外接圆⊙M 的方程；(2)若直线l 与⊙M 相切，求直线l 的方程；(3)若直线l 与⊙M 相交于A ，B 两点，且AB ＝23，求直线l 的方程. 解：(1)法一：设⊙M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋D ＋F ＝0，17＋D ＋4E ＋F ＝0，13＋3D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－4，F ＝1∴⊙M 的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0，或(x －1)2＋(y －2)2＝4.法二：∵A (1,0)，B (1,4)的横坐标相同，故可设M (m,2)，由MA 2＝MC 2得(m －1)2＋4＝(m －3)2，解得m ＝1，∴⊙M 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4，或x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0.(2)当直线l 与x 轴垂直时，显然不合题意，因而直线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx ＋4，由题意知|k －2＋4|k 2＋1＝2，解得k ＝0或k ＝43，故直线l 的方程为y ＝4或4x －3y ＋12＝0.(3)当直线l 与x 轴垂直时，l 方程为x ＝0，它截⊙M 得弦长恰为23；当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋4，圆心到直线y ＝kx ＋4的距离为|k ＋2|k 2＋1，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|k ＋2|k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫2322＝4，解得k ＝－34，故直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －16＝0.18．(本小题满分12分)已知直线l 与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M (0,1)，(1)求实数a 的取值范围以及直线l 的方程；(2)若圆C 上存在四个点到直线l 的距离为2，求实数a 的取值范围；(3)已知N (0，－3)，若圆C 上存在两个不同的点P ，使PM ＝3PN ，求实数a 的取值范围．解：(1)圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，C (－1,2)，r ＝5－a (a <5)，据题意：CM ＝2<5－a⇒a <3，即实数a 的取值范围为(－∞，3)．因为CM ⊥AB ⇒k CM ·k AB ＝－1，k CM ＝－1⇒k AB ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.(2)与直线l 平行且距离为2的直线为l 1：x －y ＋3＝0过圆心，有两个交点， l 2：x －y －1＝0与圆相交，⇒22<5－a ⇒a <－3.故实数a 的取值范围为(－∞，－3)．(3)设P (x ，y )，PM ＝3PN ⇒x 2＋(y ＋5)2＝12，据题意：两个圆相交：|5－a －23|<52<5－a ＋23⇒－57－206<a <206－57，且206－57<3，所以－57－206<a <206－57. 故实数a 的取值范围为(－57－206，206－57)．19．(本小题满分12分)若圆C ：x 2＋y 2＋8x －4y ＝0与以原点为圆心的某圆关于直线y ＝kx ＋b 对称．(1)求k ，b 的值；(2)若这时两圆的交点为A ，B ，求∠ACB 的度数．解：(1)将圆C 的方程化为标准方程，为 (x ＋4)2＋(y －2)2＝20.∴圆心为(－4,2)，半径r ＝2 5.圆C 关于直线y ＝kx ＋b 对称的圆的圆心为(0,0)，半径为2 5.∴⎩⎨⎧1＝－2k ＋b ，2－4·k ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝5.(2)显然直线AB 的方程就是y ＝2x ＋5，即2x －y ＋5＝0. 设AB 的中点为D ，则|CD |＝55＝ 5. ∵r ＝25， ∴|AD |＝20－5＝15，在Rt △CDA 中，sin ∠DCA ＝|AD |r ＝32，∴∠DCA ＝60°.故∠ACB ＝2∠DCA ＝120°.20．(本小题满分12分)已知⊙C 经过点A (2,4)、B (3，5)两点，且圆心C 在直线2x －y －2＝0上．(1)求⊙C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋3与⊙C 总有公共点，求实数k 的取值范围．解：(1)法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 22＋42＋2D ＋4E ＋F ＝0，32＋52＋3D ＋5E ＋F ＝0，2⎝⎛⎭⎫－D 2－ ⎝⎛⎭⎫－E 2－2＝0，⇒⎝⎛D ＝－6，E ＝－8，F ＝24，所以⊙C 方程为x 2＋y 2－6x －8y ＋24＝0. 法二：由于AB 的中点为D ⎝⎛⎭⎫52，92，k AB ＝1，则线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－x ＋7，而圆心C 必为直线y ＝－x ＋7与直线2x －y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋7，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，即圆心C (3,4)，又半径为|CA |＝(2－3)2＋(4－4)2＝1，故⊙C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1.(2)法一：因为直线y ＝kx ＋3与⊙C 总有公共点，则圆心C (3,4)到直线y ＝kx ＋3的距离不超过圆的半径，即|3k －4＋3|1＋k2≤1，将其变形得4k 2－3k ≤0，解得0≤k ≤34.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －4)2＝1y ＝kx ＋3⇒(1＋k 2)x 2－(6＋2k )x ＋9＝0. 因为直线y ＝kx ＋3与⊙C 总有公共点，则 Δ＝(6＋2k )2－36(1＋k 2)≥0，解得0≤k ≤34.故k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34.。

2017_2018学年高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程2圆的参数方程学案含解析新人教A版选修

2．圆的参数方程圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝xr ，sin ωt ＝y r，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt(t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ(0≤θ＜2π)．圆(数方程．根据圆的特点，结合参数方程概念求解．如图所示，设圆心为O ′，连接O ′M ， ∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(φ为参数)(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.(φ为参数)(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程．解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)．这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.若 (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．求原点到曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝－2＋2cos θ(θ为参数)的最短距离．解：原点到曲线C 的距离为：x －0 2＋ y －0 2＝ 3＋2sin θ 2＋－2＋2cos θ 2＝17＋4 3s in θ－2cos θ ＝17＋413⎝⎛⎭⎪⎫313sin θ－213cos θ＝ 17＋413sin θ＋φ≥17－413＝ 13－2 2＝13－2. ∴原点到曲线C 的最短距离为13－2.4．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1，∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1.解得1－2≤a ≤1＋2，即a 的取值范围是．法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴1－2≤a ≤1＋2，即a 的取值范围是．课时跟踪检测(八)一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0) 解析：选D 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ，故直线与圆相交，有两个公共点．3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：选D 圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入，得 (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)． ∴最大值为36. 二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ(φ为参数)表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆．答案：圆6．已知圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________．解析：由极坐标系与直角坐标系互化关系可知，直线l 的直角坐标方程为x ＝1. 由圆C 的参数方程可得x 2＋(y －1)2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 2＋ y －1 2＝1得直线l 与圆C 的交点坐标为(1,1)．答案：(1,1)7．(广东高考)已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析：由极坐标方程与直角坐标方程互化公式可得，曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，故曲线C 对应的参数方程可写为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)三、解答题8．P 是以原点为圆心，半径r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点． (1)画图并写出⊙O 的参数方程；(2)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程．解：(1)如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(2)设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， ∵Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．9．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹．解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝cos θ cos θ＋sin θ ＝cos 2θ＋cos θsin θ，y 1＝sin θ cos θ＋sin θ ＝sin θcos θ＋sin 2θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝1＋sin 2θ，x 1y 1＝12sin 2θ＋12sin 22θ.将sin 2θ＝x 1＋y 1－1代入另一个方程，整理，得⎝⎛⎭⎪⎫x 1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1－122＝12.∴所求轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，以22为半径的圆．10．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3 x －1 ，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．。

高中数学专题02频率分布直方图及其应用分项汇编含解析新人教A版必修3

专题 02频次散布直方图及其应用一、选择题1．【 2017-2018 年北京市国都师大附中高二期末】对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样检查, 画出以下频次散布直方图. 依据直方图预计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超出80km/ h的概率A. 75，0.25B. 80，0.35C. 77.5，0.25D. 77.5，0.35【答案】 D应选D.2．【人教 B 版高中数学必修三同步测试】依据某水文观察点的历史统计数据, 获得某条河流水位的频次散布直方图(如图), 从图中能够看出, 该水文观察点均匀起码100 年才碰到一次的洪水的最低水位是()A. 48mB. 49mC. 50mD. 51m【答案】 C频次【分析】由频次散布直方图知水位为50 m的为0.005 2 0.01 ,即水文观察点均匀起码一百年才遇组距到一次的洪水的最低水位是50 m.本题选择 C选项.3．【福建省三明市 A 片区高中结盟校2017-2018 学年高二上学期阶段性考试】为认识某地域名高三男生的身体发育状况，抽查了该地域名年纪为~岁的高三男生体重() ，获得频次散布直方图如图. 依据图示，预计该地域高三男生中体重在kg 的学生人数是()A.B.C.D.【答案】 C点睛：本题主要考察了频次散布直方图在实质问题中的应用，属于中低档题型，也是常考考点. 在解决此类问题中，充足利用频次散布直方图的纵坐标的实质意义，其纵坐标值为：频次/ 组距，由此各组数据的频次=其纵坐标组距，各组频数=频次×整体，进而可预计出所求数据段的频数（即人数）.4．【广东省中山一中、仲元中学等七校2017-2018 学年高二 3 月联考】某商场在国庆黄金周的促销活动中，对 10 月 1 日 9 时至 14 时的销售额进行统计，其频次散布直方图以下图．已知9 时至 10 时的销售额为 3 万元，则9 时至 14 时的销售总数为A. 10 万元B. 12 万元C. 15 万元D. 30 万元【答案】 D【分析】 9 时至 10 时的销售额频次为0.1 ，所以所有销售总数为万元，应选 D．5．【四川省成都外国语学校2017-2018 学年高二上学期期末考试】容量为100的样本，其数据散布在2,18 ，将样本数据分为 4 组：2,6 ，6,10 ，10,14 ，14,18 ，获得频次散布直方图以下图. 则以下说法不正确的选项是A. 样本数据散布在6,10 的频次为0.32B. 样本数据散布在10,14 的频数为40.样本数据散布在2,10的频数为40 . 10%散布在10,14C D 预计整体数据大概有【答案】 DD不正确.应选 .D6．【四川省雅安市 2017-2018 学年高二上学期期末考试】某高校进行自主招生，先从报名者中挑选出400 人参加笔试，再按笔试成绩择精选出100 人参加面试，现随机检查了24 名笔试者的成绩，以下表所示：据此预计同意参加面试的分数线大概是（）A. 75B. 80C. 85D. 90【答案】 B应选 B7．【四川省成都市2017-2018 学年高二上学期期末调研考试】容量为100 的样本，其数据散布在2,18 ，将样本数据分为 4 组：2,6 , 6,10 , 10,14 , 14,18 ，获得频次散布直方图以下图，则以下说法不正确的是（）A. 样本数据散布在6,10 的频次为 0.32B. 样本数据散布在10,14 的频数为 40.样本数据散布在2,10的频数为40.预计整体数据大概有10% 10,14C D 散布在【答案】 D【分析】整体数据散布在10,14 的概率为0.1 40%0.02 0.08 0.1 0.05应选 D8．【广西南宁市第二中学（曲靖一中、柳州高中）2017-2018 学年高二上学期末期考试】2014 年 5 月，国家统计局宣布了《 2013 年农民工监测检查报告》，报告显示：我国农民工收入连续迅速增添．某地域农民工人均月收入增添率如图1，并将人均月收入绘制成如图 2 的不完好的条形统计图．依据以上统计图来判断以下说法错误的选项是（）A. 2013年农民工人均月收入的增添率是．B. 2011年农民工人均月收入是元．C. 小明看了统计图后说：“农民工2012 年的人均月收入比2011 年的少了”．D. 2009年到2013年这五年中2013 年农民工人均月收入最高．【答案】 C9．【四川省遂宁市2017-2018 学年高二上学期期末考试】供电部门对某社区位居民2017年12月份人均用电状况进行统计后，按人均用电量分为，，，，，，，，，五组，整理获得以下的频次散布直方图，则以下说法错误的选项是A. 月份人均用电量人数最多的一组有人B. 月份人均用电量不低于度的有人C. 月份人均用电量为度D. 在这位居民中任选位辅助收费，选到的居民用电量在，一组的概率为【答案】 C点睛：统计中利用频次散布直方图计算样本均值时，可利用组中值进行计算.10．【内蒙古赤峰市宁城县2017-2018 学年高二上学期期末考试】有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机是随机抽取了16 台，记录上午8： 00~11： 00 间各自的销售状况（单位：元），用茎叶图表示：设甲、乙的均匀数分别为x1 , x2，标准差分别为s1 , s2，则（）A.x1 x2 ，s1Bx1 x2，s1 s2s2.C. x x ， D x x ，s1 s2. 2 s1 s21 2 1【答案】 D【分析】依据公式获得1 8 6 5 20 14 36 22 25 27 60 41 43 307x1 =16 16x2 1 10 12 18 20 22 46 27 31 32 68 38 42 43 48 47716 16故 x1 x2，再将以上均值代入方差的公式获得s1s2 . 或许察看茎叶图，获得乙的数据更集中一些，故得到s1s2 .故答案为： D.11．【陕西省黄陵中学2017-2018 学年高二（要点班）上学期期末考试】某篮球运动员在一个赛季的40 场比赛中的得分的茎叶图如右以下图所示：则中位数与众数分别为（）A.3与3B.23与23C.3与23D.23与3【答案】 B点睛：茎叶图的问题需注意：(1) “叶”的地点只有一个数字，而“茎”的地点的数字位数一般不需要一致；(2)重复出现的数据要重复记录，不可以遗漏，特别是“叶”的地点的数据．12．【内蒙古鄂尔多斯市第一中学2017-2018 学年高二上学期第三次月考】如图是某次拉丁舞比赛七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图( 此中m为数字 0～9 中的一个 ) ，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的均匀数分别为a1、a2，则 a1、a2的大小关系是（）A.a1＝ a2B. a1>a2C.a2>a1D.没法确立【答案】 C85 84 85 85 81 a15 84【分析】由茎叶图，得甲、乙两名选手得分的均匀数分别为，84 84 86 84 87 a25 85a1；应选 C.，即a2填空题13．【吉林省辽源市田家炳高级中学2017-2018 学年高二放学期 3 月月考】上方右图是一个容量为200 的样本的频次散布直方图，请依据图形中的数据填空：(1) 样本数据落在范围[5 ， 9 )的可能性为 __________；(2)样本数据落在范围 [9 ， 13 )的频数为 __________ ．【答案】 0.32 72点睛：本题主要考察的知识点是频次散布直方图的意义以及应用图形解题的能力，属于基础题. 对于 1 根频次组距2组距频次样本容量即可求出结果 .据频次即可求出结果，对于依据频数14．【山西省临汾第一中学等五校2017-2018 学年高二上学期期末联考】当前北方空气污染愈来愈严重，某大学组织学生参加环保知识比赛，从参加学生中抽取40 名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频次散布直方图如图，若从成绩是 80 分以上（包含80 分）的学生中选两人，则他们在同一分数段的概率为_______. 【答案】∵前三组的积累频次为：0.10+0.15+0.25=0.50，故此次环保知识比赛成绩的中位数为70；成绩在 [80 ， 90）段的人数有10×0.010 ×40=4 人，成绩在 [90 ， 100] 段的人数有10×0.005 ×40=2 人，15 种不一样的基本领件，从成绩是 80 分以上（包含 80 分）的学生中任选两人共有此中他们在同一分数段的基本领件有： 7，故他们在同一分数段的概率为故答案为 :.15．【黑龙江省大庆中学2017-2018 学年高二上学期期末考试】某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，分为 5 组制出频次散布直方图以下图.则 a __________，d__________.【答案】30 0.2点睛：利用频次散布直方图求众数、中位数与均匀数时，易犯错，应注意划分这三者．在频次散布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左侧和右侧的小长方形的面积和是相等的；(3) 均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．16．【辽宁省六校协作体 2017-2018 学年高二上学期期初联考】从某小学随机抽取100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频次散布直方图（如图）．若要从身高在 [ 120 , 130）， [130 ， 140) , [140 , 150] 三组内的学生中，用分层抽样的方法选用18 人参加一项活动，则从身高在[140 ， 150] 内的学生中选取的人数应为【答案】 3 人【分析】试题剖析：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（ 0.005+0.035+ a+0.02+0.01 ）=1，解得 a=0.03．由直方图可知三个地区内的学生总数为100×10×（ 0.03+0.02+0.01 ） =60 人．此中身高在 [140 ， 150] 内的学生人数为10 人，所以身高在 [140 ， 150] 范围内抽取的学生人数为人．考点：频次散布直方图．评论：本题考察频次散布直方图的有关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频次，所以各个矩形面积之和为 1．同时也考察了分层抽样的特色，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的.解答题17．【2017-2018 学年人教A版数学必修三同步测试】我校正高二600 名学生进行了一次知识测试, 并从中抽取了部分学生的成绩( 满分 100 分 ) 作为样本 , 绘制了下边还没有达成的频次散布表和频次散布直方图.分组频数频次[50,60) 2 0. 04[60,70) 8 0. 16[70,80) 10[80,90)[90,100] 14 0. 28共计1. 00(1)填写频次散布表中的空格 , 补全频次散布直方图 , 并标出每个小矩形对应的纵轴数据;(2)请你估量该年级学生成绩的中位数;(3) 假如用分层抽样的方法从样安分数在[60,70)和[80,90)的人中共抽取 6 人 , 再从 6 人中选 2 人 , 求 2 人分数都在 [80,90)的概率.2【答案】 (1) 答案看法析； (2)83.125；(3)5【分析】试题剖析：试题分析：(1)填写频次散布表中的空格 , 以下表 :分组频数频次[50,60)20.04[60,70)80.16[70,80)100.2[80,90)160. 32[90,100]140. 28共计50 1. 00补全频次散布直方图,以以下图 :(2) 设中位数为x,依题意得0. 04+0. 16+0. 2+0. 032×( x- 80) =0. 5,解得 x=83. 125,所以中位数约为83. 125.(3) 由题意知样安分数在[60,70) 有 8 人, 样安分数在[80,90) 有 16人,用分层抽样的方法从样安分数在[60,70) 和 [80,90) 的人中共抽取 6 人 ,则抽取的分数在 [60,70) 和 [80,90) 的人数分别为2人和 4人.记分数在 [60,70) 的为 a , a ,在[80,90) 的为 b , b , b , b .1 2 1 2 3 4从已抽取的 6 人中任选两人的所有可能结果有15 种, 分别为{ a , a },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ b , b },{ b , b },{ b , b },{ b , b },{1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 2 1 3 1 4 2 3b2, b4},{ b3, b4},设“2 人分数都在 [80,90) ”为事件A,则事件 A 包含{ b , b },{ b , b },{ b , b },{ b , b },{ b , b },{ b 6 2, b } 共 6 种 , 所以 P( A)= .1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4155点睛：利用频次散布直方图求众数、中位数和均匀数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左侧和右侧的小长方形的面积和是相等的；③均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18．【内蒙古自治区北方重工业公司有限公司第三中学2017-2018 学年高二 3 月月考】节能减排以来，兰州市 100 户居民的月均匀用电量单位：度，以，，，，，，，，，，，，，分组的频率散布直方图如图．求直方图中x 的值；求月均匀用电量的众数和中位数；预计用电量落在，中的概率是多少？【答案】（1）5；（ 2）众数为，中位数为224；（ 3）.月均匀用电量在，中的概率是．试题分析：的频次之和为，的频次之和为，∴中位数在内，设中位数为y，则解得，故中位数为224．由频次散布直方图可知，月均匀用电量在中的概率是．点睛：利用频次散布直方图预计样本的数字特色(1)中位数：在频次散布直方图中，中位数左侧和右侧的直方图的面积相等，由此能够预计中位数值．(2)均匀数：均匀数的预计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．19．【河南师范大学隶属中学2017-2018 学年高二 4 月月考】某要点中学100 位学生在市统考取的理科综合分数，以160,180 ，180,200 ，200,220 ，220,240 ，240,260 ，260,280 ，280,300分组的频次散布直方图如图．（ 1）求直方图中 x 的值；（ 2）求理科综合分数的众数和中位数；（ 3）在理科综合分数为220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 的四组学生中，用分层抽样的方法抽取 11 名学生，则理科综合分数在220,240 的学生中应抽取多少人？【答案】 (1)0.0075(2)230 ， 224 （ 3） 5 人【分析】试题剖析：（ 1）依据直方图求出 x 的值即可；（ 2）依据直方图求出众数，设中位数为，获得对于 a 的方程，解出即可；a（ 3）分别求出 [220 ， 240）， [240 ，260）， [260 ，280）， [280 ， 300] 的用户数，依据分层抽样求出知足条件的概率即可．220 240（ 2）理科综合分数的众数是230 ，2∵ 0.0020.0095 0.011 20 0.45 0.5，∴理科综合分数的中位数在 220,240 内，设中位数为a ，则 0.0020.0095 0.011 20 0.0125 a 2200.5，解得a 224，即中位数为 224 ．（ 3）理科综合分数在220,240的学生有 0.0125 20 100 25 （位），同理可求理科综合分数为240,260 ，260,280 ，280,300 的用户分别有15位、10位、5位，11 1故抽取比为2515 10 5 5 ，25 1 5∴从理科综合分数在220,240 的学生中应抽取 5 人．点睛：利用频次散布直方图求众数、中位数与均匀数时，易犯错，应注意划分这三者．在频次散布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左侧和右侧的小长方形的面积和是相等的；(3)均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．20．【河北省阜城中学 2017-2018 学年高二上学期期末考试】某校高一年级某次数学比赛随机抽取100 名学生的成绩，分组为 [50 ， 60）， [60 ， 70）， [70 ， 80）， [80 ， 90）， [90 ， 100] ，统计后获得频次散布直方图以下图：（ 1）试预计这组样本数据的众数和中位数（结果精准到0.1 ）；（ 2）年级决定在成绩[70 ， 100] 顶用分层抽样抽取 6 人构成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的状况做一个检查，则在[70 ， 80）， [80 ， 90）， [90 ， 100] 这三组分别抽取了多少人？（ 3）此刻要从（ 2）中抽取的 6 人中选出正副 2 个小组长，求成绩在[80 ， 90）中起码有 1 人入选为正、副小组长的概率．【答案】（1） 65， 73.3 ；（ 2） 3， 2， 1；（ 3）【分析】试题剖析：（ 1）由频次散布直方图中面积最大的矩形中点可得众数、左右边积各为0.5的分界处为中位数．（ 2）先求出成绩为[70 ，80）、[80 ，90）、[90 ，100] 这三组的频次，由此能求出[70 ，80）、[80 ， 90）、[90 ，100] 这三组抽取的人数．（ 3）由（ 2）知成绩在[70 ， 80）有 3 人，分别记为a， b， c；成绩在[80 ， 90）有 2 人，分别记为d，e；成绩在 [90 ， 100] 有1 人，记为 f ．由此利用列举法能求出成绩在[80 ，90）中起码有 1 人入选为正、副小组长的概率．（ 2）成绩为 [70 ， 80）、 [80 ， 90）、 [90 ， 100] 这三组的频次分别为0.3 ，0.2 ， 0.1 ，∴ [70 ， 80）、 [80 ，90）、 [90 ， 100] 这三组抽取的人数分别为 3 人，2 人，1人．（ 3）由（2）知成绩在[70 ， 80）有 3 人，分别记为 a，b， c；成绩在 [80 ， 90）有 2 人，分别记为d， e；成绩在[90，100]有1 人，记为f．∴从（ 2）中抽取的 6 人中选出正副 2 个小组长包含的基本领件有种，分别为：ab， ba， ac， ca， ad，da， ae， ea， af ， fa ， bc， cb， bd， db， be， eb， bf ， fb ， cd， dc， ce， ec，cf ，fc ， de， ed， d f ， fd ，ef ， fe ，记“成绩在 [80 ， 90）中起码有 1 人入选为正、副小组长”为事件Q，则事件 Q包含的基本领件有18 种，∴成绩在[80 ， 90）中起码有 1 人入选为正、副小组长的概率P（Q）= ．点睛：利用频次散布直方图求众数、中位数与均匀数时，易犯错，应注意划分这三者．在频次散布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左侧和右侧的小长方形的面积和是相等的；(3)均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．21．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018 学年高二 3 月月考】从某学校高三年级共800 名男生中随机抽取 50 名丈量身高，丈量发现被测学生身高所有介于155cm和 195cm之间，将丈量结果按以下方式分红八组：第一组 [155,160)；第二组[160,165)、、第八组[190,195]，以下图是按上述分组方法获得的频次散布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数同样，第六组、第七组、第八组人数挨次构成等差数列．（ 1）预计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上 ( 含 180cm) 的人数；（2）求第六组、第七组的频次并增补完好频次散布直方图（如需增添刻度请在纵轴上标志出数据，并用直尺作图）；（3）由直方图预计男生身高的中位数．【答案】（1）；（2）详看法析;(3).试题分析： (1) 由直方图，前五组频次为(0.008 ＋ 0.016 ＋ 0.04 ＋ 0.04 ＋0.06) ×5＝ 0.82 ，后三组频次为 1 －0.82 ＝ 0.18.这所学校高三男生身高在180cm以上 ( 含 180cm) 的人数为800×0.18 ＝ 144 人．(2)由频次散布直方图得第八组频次为 0.008 ×5＝ 0.04 ，人数为 0.04 ×50＝ 2 人，设第六组人数为 m，则第七组人数为0.18×50－2－ m＝7－ m，又 m＋2＝2(7－ m)，所以m＝4，即第六组人数为 4 人，第七组人数为 3 人，频次分别为0.08,0.06. 频次除以组距分别等于0.016,0.012，见图．（ 3）设中位数为，由频次为22．【广东省中山一中、仲元中学等七校，所以2017-2018 学年高二，3 月联考】某公司职工，解得=174.5500 人参加“学雷锋”志愿活动，按年纪分组：第 1 组 [25 ，30) ，第[45 ， 50] ，获得的频次散布直方图以下图．2 组[30 ，35) ，第3 组[35 ，40) ，第4 组[40 ， 45) ，第5 组(1) 上表是年纪的频数散布表，求正整数的值；(2) 此刻要从年纪较小的第1,2,3 组顶用分层抽样的方法抽取 6 人，年纪在第1,2,3 组的人数分别是多少？(3) 在 (2) 的前提下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传沟通活动，求起码有 1 人年纪在第 3 组的概率．【答案】(1) ； (2) 第 1， 2， 3 组分别抽取 1 人，1人，4 人；(3) .【分析】试题剖析：（ 1）) 由题设可知，2， 3 组的比率关系为 1:1:4 ，则分别抽取，1 人， 1人， 4 人；（ 3）设第 1 组的 1 位同学为；（ 2）由第1，，第 2组的 1位同学为，第3组的 4 位同学为，由穷举法，求得起码有 1 人年纪在第 3 组的概率为．(3) 设第 1 组的 1 位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从6位同学中抽两位同学有：共种可能．此中 2 人年纪都不在第 3 组的有：共 1 种可能，所以起码有 1 人年纪在第 3 组的概率为．。

2017-2018学年度高二下学期第二次段考数学(理科)试题答案与评分标准

2017-2018学年度高二下学期第二次段考数学（理科）试题答案与评分标准一、选择题：（每小题5分满分60分）ADDBB BDCAC CB;11.C;解析：∵ ∴，设过(0，0)点与相切的切点为，∴解得且，即过点，与相切的切线方程为当直线与直线平行时，;当时，当时， ;当时，∴ 和y=的图象在，，，各有1个交点；直线在y= 与y= 之间时，与函数图象有两个交点，∴故选C. 二、填空题（每小题5分满分20分）：13. 0.5；14. -10；15.1440；16.①②④16. 答：①②④；解：因为函数，所以，因为导函数在上单调递增.又，1(0)103f '=->，所以()0f x '=在上有唯一的实根,设为0x ，且0(1,0)x ∈-，故②正确；同时在有极小值也为最小值，故①正确；由得，即，故.因为，，由双勾函数性质知值域为，，所以. 故④正确同时判断③错误. 故填写：①②④ 三、解答题：（本大题共6个小题，满分80分） 17. （10分）解：(1)当n ＝1时，，………………………1分当n ＝2时， + ＝＝－，∴ ＝4. ………………………2分当n ＝3时， + ＝＝－，∴ ＝8. ………………………3分当n ＝4时， + ＝＝－，∴ ＝16. ……………………4分由此猜想：． ………………………5分 (2)证明：①当＝时，＝2，猜想成立． ………………………6分②假设＝且时，猜想成立，即， ……………………7分那么n ＝k ＋1时， ……………………8分 ∴ ，这表明n ＝k ＋1时，猜想成立，……………………9分由①②知猜想成立．………………………10分18. （12分）解:(Ⅰ)由点斜式方程得直线l 的方程为， ……1分将cos ,sin x y ρθρθ==代人以上方程中，所以,直线l 的极坐标方程为. ………………3分同理,圆C 的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=. …………6分 (Ⅱ)在极坐标系中,由已知可设，，.联立……………………7分可得，所以233ρρ+=+ ………………………8分因为点M 恰好为AB 的中点,所以 ,即，. ……………9分把，代入得………11分所以. …………………………………12分19.（12分）解：（Ⅰ）…………………………………………2分根据列联表中数据，计算随机变量的观测值，………… 4分又∵ 且 …………………………5分答：有99.5%的把握认为平均车速超过100/km h 与性别有关． ……………………………6分（Ⅱ）记这10辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h 的车辆数为，根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100/km h 的车辆的频率为，利用频率估计它的概率为． …………… 8分由已知可知X 服从二项分布，即，， ………………………………9分所以驾驶员为男性且超过100km/h 的车辆数的均值(辆). ………11分答：在随机抽取的10辆车中平均有4辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h . ……12分 20.（12分）解：（Ⅰ）因为14=x 时，，代入关系式，得，解得 . ……………………………………4分（Ⅱ）由（1）可知，套题每日的销售量， …………5分所以每日销售套题所获得的利润定义域， ……………………………………6分从而 . （7分）令，∵ ,得（8分）且当，时, ，当，时，，函数在，上单调递增；在，上单调递减， ……………………9分所以是函数在()16,12内的极大值点，也是最大值点， ………………10分所以当时，函数取得最大值. …………………………11分答：当销售价格为3.13元/盒时，餐厅每日销售所获得的利润最大. ……………………12分 21.（12分）解：（Ⅰ）选出的4人中智慧队和理想队的都要有，所以选法种数是：种……………………………………2分选出的4名大学生仅有1名女生的选法有：第一类：从智慧队中选取1名女生的选法有:种……………3分第二类：从理想队中选取1名女生的选法有:…4分或者用排除法种所以选取4名女大学生仅有1名女生的概率为；………………………………5分（Ⅱ）随机变量的可能取值为0，1，2，3 …………………………………………6分则………………………………………………………………7分………………………………………………………………8分………………………………………………………………9分21y =……………………………………………………………………………10分女生人数为数学期望…………………12分22.（12分）解：（Ⅰ）∵，∴，…（1分）当时，∵，∴．∴在上是递增函数，即的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间．…………………………………3分当时，，令，得．∴当，时，；当时，；．∴的单调递增区间为，，单调递减区间为．……………………5分综上，当a≤0时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为．………………6分（Ⅱ）当﹣时，，（＞）正实数，满足，⇒⇒………………………………7分令函数﹣，（），则﹣……………………………………9分，时，，为递减；，∞时，，为递增；即当t=1时有极小值也是最小值；∴（）（）∴．…………………………10分则，或（舍去）, ………………………………………………11分∴………………………………………………12分。

2017-2018学年人教A版数学选修2-2阶段质量检测(二) A卷含解析

阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)（时间120分钟，满分150分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．观察下列各等式：错误!＋错误!＝2，错误!＋错误!＝2，错误!＋错误!＝2，错误!＋错误!＝2,依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（)A.错误!＋错误!＝2B.n＋1n＋1－4＋错误!＝2C.错误!＋错误!＝2D。

错误!＋错误!＝2解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋（－2)＝8. 2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①y＝cos x(x∈R）是三角函数;②三角函数是周期函数；③y＝cos x(x∈R）是周期函数．A．①②③ B．②①③C．②③①D．③②①解析：选B 按“三段论”的模式，排列顺序正确的是②①③。

3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点"可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”（)A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面,边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．4．(山东高考）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根"时，要做的假设是（）A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A 因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：（）①a·b＝b·a；②(a·b）·c＝a·（b·c）；③a·（b＋c)＝a·b ＋a·c;④由a·b＝a·c（a≠0)，可得b＝c。

广东省揭阳市第三中学2017-2018学年人教A版高中数学必修5第二章数列单元测试题(含精品解析)

第二章章末检测一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.1.一个首项为23，公差为整数的等差数列中，前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差d为( )A. －2B. －3C. －4D. －5【答案】C【解析】【分析】先写出数列的通项a n＝23＋(n－1)d，再解不等式组即得d的值.【详解】设通项公式为a n＝23＋(n－1)d，由题意列不等式组解得－＜d＜－.∵d是整数，∴d＝－4.故答案为：C【点睛】本题主要考查等差数列的通项和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.2.2.若等比数列{a n}满足a n a n＋1＝16n，则公比为( )A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】当n=1时，a1a2=16①；当n=2时，a2a3=256②，②÷①得：=16，即q2=16，解得q=4或q=﹣4，当q=﹣4时，由①得：a12×（﹣4）=16，即a12=﹣4，无解，所以q=﹣4舍去，则公比q=4．故选B3.3.已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )A. －1B. 1C. 3D. 7【答案】B【解析】【分析】先根据已知求出，d,再利用等差数列的通项求a20.【详解】∵a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，∴a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝33－35＝－2，∴a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查等差数列的性质和通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.4.4.在等差数列{a n}中，前n项和为S n，S10＝90，a5＝8，则a4＝( )A. 16B. 12C. 8D. 6【答案】D【解析】【分析】根据已知得到关于a1，d的方程组，解方程组得a1，d，即得a4的值.【详解】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则解得∴a4＝a1＋3d＝0＋3×2＝6.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查等差数列的前n项和和通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)等差数列的前项和公式：一般已知时，用公式，已知时，用公式5.5.在等比数列{a n}中，若a n＞0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )A. 16B. 81C. 36D. 27【答案】D【解析】【分析】根据已知条件得到关于的方程组，解方程组即得，即得a4＋a5的值.【详解】设等比数列{a n}的公比为q且q＞0，由已知得⇒q2＝9⇒q＝3，所以a1＝，所以a4＋a5＝×33＋×34＝＝27.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)等比数列的通项公式：.6.6.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )A. 55 986只B. 46 656只C. 216只D. 36只【答案】B【解析】【分析】先由题得到{a n}是公比为6的等比数列，再利用等比数列的通项求出a6得解.【详解】设第n天所有的蜜蜂都归巢后共有a n只蜜蜂，则有a n＋1＝6a n，a1＝6，则{a n}是公比为6的等比数列，则a6＝a1q5＝6×65＝46656.故答案为：B【点睛】本题主要考查等比数列性质的判定和等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.7.7.等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，S n为前n项和，则数列{}是( )A. 首项为a1，公差为d的等差数列B. 首项为a1，公比为d的等比数列C. 首项为a1，公差为的等差数列D. 首项为a1，公比为的等比数列【答案】C【解析】【分析】先计算出,再判断该是数列的性质得解.【详解】∵S n＝na1＋d，∴＝a1＋(n－1)·，∴{}是以a1为首项，为公差的等差数列．故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查数列性质的判定，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)数列性质的证明一般有两种方法,方法一：利用等差数列等比数列的定义来证明.是等差数列,数列是等比数列.8.8.已知S n＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于( )A. 0B. 1C. －1D. 2【答案】B【解析】【分析】先分别求S17，S33，S50，再求S17＋S33＋S50的值.【详解】S17＝1－2＋3－4＋…＋17＝－8＋17＝9，S33＝1－2＋3－4＋…＋33＝－16＋33＝17，S50＝1－2＋3－4＋…－50＝－25，∴S17＋S33＋S50＝9＋17－25＝1.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查数列求和，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题利用的是并项求和.9.9.已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是( )A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】B【解析】试题分析：由a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，得，令得，所以S n达到最大值的n是20考点：等差数列性质及求和10.10.数列{a n}的通项公式a n＝n cos，其前n项和为S n，则S2 012等于( )A. 1 006B. 2 012C. 503D. 0【答案】A【解析】【分析】先计算出a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，再利用数列和的周期性求S2 012.【详解】由题意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故S2 012＝503×2＝1006.故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查数列的求和，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题发现归纳出数列和的周期性是解题的关键.二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)11.11.－1与＋1的等比中项是________．【答案】±1【解析】【分析】直接利用等比中项的定义求解.【详解】设－1与＋1的等比中项为G，则G2＝(－1)(＋1)＝1，∴G＝±1.故答案为：±1【点睛】(1)本题主要考查等比中项，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.12.12.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【答案】【解析】试题分析:先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为考点：等比数列的性质．13.13.已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于________．【答案】31【解析】【分析】根据两个已知条件求出的值，再利用等比数列的前n项和求S5.【详解】设数列{a n}的公比为q，则a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1⇒a4＝2，a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×⇒q＝.故a1＝＝16，S5＝＝31.故答案为：31【点睛】(1)本题主要考查等比数列的通项和求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算分析推理能力.(2)等比数列的前项和公式：.14.14.在数列{a n}和{b n}中，b n是a n与a n＋1的等差中项，a1＝2，且对任意n∈N*都有3a n＋1－a n＝0，则数列{b n}的通项公式b n＝________．【答案】【解析】由，得，又因为，所以,故填. 15.15.某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a1元/m2，顶层由于景观好价格为a2元/m2，第二层价格为a元/m2，从第三层开始每层在前一层价格上加价元/m2，则该商品房各层的平均价格为________元/m2.【答案】 (a1＋a2＋23.1a)【解析】【分析】先求出S21，再求平均价格得解.【详解】设第二层到第22层的价格构成数列{b n}，则{b n}是等差数列，b1＝a，公差d＝，共21项，所以其和为S21＝21a＋·＝23.1a，故平均价格为 (a1＋a2＋23.1a)元/m2.故答案为： (a1＋a2＋23.1a)【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.16.数列{a n}的前n项和记为S n，点(n，S n)在曲线f(x)＝x2－4x(x∈N*)上．求数列{a n}的通项公式．【答案】a n＝2n－5.【解析】【分析】先由题得到S n＝n2－4n，再由项和公式求数列{a n}的通项公式．【详解】解：由点(n，S n)在曲线f(x)＝x2－4x(x∈N*)上知，S n＝n2－4n，当n≥2时a n＝S n－S n－1＝n2－4n－[(n－1)2－4(n－1)]＝2n－5；当n＝1时，a1＝S1＝－3，满足上式；∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n－5.【点睛】（1）本题主要考查项和公式求数列的通项，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.17.17.已知数列{log2(a n－1)}(n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：＜1.【答案】（1）a n＝2n＋1.（2）见解析【解析】【分析】(1)先求出数列{log2(a n－1)}的公差d，再利用等差数列的通项求出a n.(2)先求出＝＝，再利用等比数列求和公式求和证明不等式.【详解】解：(1)设等差数列{log2(a n－1)}的公差为d.由a1＝3，a3＝9，得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1.所以log2(a n－1)＝1＋(n－1)×1＝n，即a n＝2n＋1.(2)证明：因为＝＝，所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＜1.【点睛】本题主要考查等差数列的通项，考查等比数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.18.18.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{a n}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求S n.【答案】（1）（2）【解析】(1)∵S1，S3，S2成等差数列，∴2S3＝S1＋S2，即2(a1＋a2＋a3)＝a1＋a1＋a2，∴2a3＝－a2，∴q＝.(2)a3＝a1q2＝a1，∴a1－a1＝3，∴a1＝4，∴S n＝19.19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n＋1＝S n(n＝1，2，3，…)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当b n＝(3a n＋1)时，求证：数列的前n项和T n＝.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1)由项和公式得到a n＋1＝a n(n≥2)，得到数列{a n}是以a2为首项，以为公比的等比数列，再写出数列{a n}的通项公式.(2)利用裂项相消法求数列的前n项和T n＝.【详解】解：(1)由已知 (n≥2)，得a n＋1＝a n(n≥2)．∴数列{a n}是以a2为首项，以为公比的等比数列．又a2＝S1＝a1＝，∴a n＝a2× (n≥2)．∴a n＝(2)证明：b n＝log (3a n＋1)＝log＝n.∴＝＝－，∴T n＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝.【点睛】（1）本题主要考查项和公式和等比数列的通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2)类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.20.20.甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为 (n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元．(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？【答案】（1）见解析（2）第7年【解析】【分析】(1)利用a n＝ (n2－n＋2)－ [(n－1)2－(n－1)＋2]求甲超市第n年销售额的表达式，利用累加法求乙超市第n年销售额的表达式.(2) 由b n＜a n得 a＜ (n－1)a,解不等式即得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．【详解】解：(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为a n，b n.则有a1＝a，当n≥2时，a n＝ (n2－n＋2)－ [(n－1)2－(n－1)＋2]＝(n－1)a，∴a n＝b n＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(b n－b n－1)＝a(n∈N*)．(2)易知b n＜3a，所以乙超市将被甲超市收购，由b n＜a n得： a＜ (n－1)a.∴n＋＞7，∴n≥7，即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．【点睛】（1）本题主要考查项和公式和累加法求通项，考查不等关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是读懂已知，求出甲、乙两超市第n年销售额的表达式.。

[配套K12]2017-2018学年高中数学第二章统计阶段质量检测B卷(含解析)新人教A版必修3

第二章统计(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是( )A ．分层抽样B ．抽签抽样C ．随机抽样D ．系统抽样答案：D2．下列各选项中的两个变量具有相关关系的是( ) A ．长方体的体积与边长 B ．大气压强与水的沸点 C ．人们着装越鲜艳，经济越景气 D ．球的半径与表面积解析：选C A 、B 、D 均为函数关系，C 是相关关系．3．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民．这2 500名城镇居民的寿命的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本D ．样本容量答案：C4．已知总体容量为106，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本．下面对总体的编号最方便的是( )A ．1,2，…，106B ．0,1,2，…，105C ．00,01，…，105D ．000,001，…，105 解析：选D 由随机数抽取原则可知选D.5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为()A ．18B ．36C ．54D ．72(B 卷能力素养提升)解析：选B 易得样本数据在区间[10,12)内的频率为0.18，则样本数据在区间[10,12)内的频数为36.6．对一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i ＋c (i ＝1,2,3，…，n )，其中c ≠0，则下面结论中正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变了，而方差保持不变C ．平均数不变，而方差变了D ．平均数与方差均发生了变化解析：选B 设原来数据的平均数为x －，将它们改变为x i ＋c 后平均数为x ′，则x ′＝x －＋c ，而方差s ′2＝1n[(x 1＋c －x －－c )2＋…＋(x n ＋c －x －－c )2]＝s 2.7．某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 甲班学生成绩的众数为85，结合茎叶图可知x ＝5；又因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y ＝3，即x ＋y ＝5＋3＝8.8．相关变量x ，y 的样本数据如下表：经回归分析可得y 与x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝1.1x ＋a ，则a ＝( )A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4解析：选C ∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，且由题意得(x ，y )＝(3,3.6)，∴3.6＝1.1×3＋a ，∴a ＝0.3.9．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为( )①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选D 因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，②也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，③正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，④正确．10．已知数据：①18,32，－6,14,8,12；②21,4,7,14，－3,11；③5,4,6,5,7,3；④－1,3,1,0,0，－3.各组数据中平均数和中位数相等的是( )A．①B．②C．③D．①②③④解析：选 D 运用计算公式x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)，可知四组数据的平均数分别为13,9,5,0.根据中位数的定义：把每组数据从小到大排列，取中间一位数(或两位的平均数)即为该组数据的中位数，可知四组数据的中位数分别为13,9,5,0.故每组数据的平均数和中位数均对应相等．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560×280560＋420＝160.答案：16012．(山东高考)下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5，25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．解析：设样本容量为n，则n×(0.1＋0.12)×1＝11，所以n＝50，故所求的城市数为50×0.18＝9.答案：913．(江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：解析：对于甲，平均成绩为x －＝90，所以方差为s 2＝15×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，对于乙，平均成绩为x －＝90，方差为s 2＝15×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.由于2<4，所以乙的平均成绩较为稳定．答案：214．某班12位学生父母年龄的茎叶图如图所示，则12位同学母亲的年龄的中位数是________，父亲的平均年龄比母亲的平均年龄多________岁.解析：由41＋432＝42，得中位数是42.母亲平均年龄＝42.5，父亲平均年龄为45.5，因而父亲平均年龄比母亲平均年龄多3岁．答案：42 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：[107,109)3株；[109,111)9株；[111,113)13株； [113,115)16株；[115,117)26株；[117,119)20株； [119,121)7株；[121,123)4株；[123,125]2株． (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在[109,121)范围内的可能性是百分之几？解：(2)(3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在[109,121)范围内的可能性是91%.16．(本小题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？解：(1)作出茎叶图如下：(2)x 甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x 乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.s 2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，∵x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．17．(本小题满分12分)某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这些服装件数x 之间有如下一组数据：已知∑i ＝17x 2i ＝280，∑i ＝17x i y i ＝3 487，(1)求x ，y ；(2)求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程； (3)每天多销售1件，纯利y 增加多少元？解：(1)x ＝17(3＋4＋5＋…＋9)＝6，y ＝17(66＋69＋…＋91)≈79.86.(2)设回归直线方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则b ^＝∑i ＝17x i y i －7x －y－∑i ＝17x 2i －7x 2＝3 487－7×6×79.86280－7×62≈4.75. a ^＝y －b x －≈79.86－4.75×6＝51.36.∴所求的回归直线方程为y ^＝51.36＋4.75x .(3)由回归直线方程知，每天多销售1件，纯利增加4.75元．18．(本小题满分14分)某地统计局就该地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000，1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽多少人？解：(1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0.000 3×(3 500－3 000)＝0.15. (2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1， 0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2， 0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25， 0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－＋0.000 5＝2 000＋400＝2 400(元)．(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×(3 000－2 500)＝0.25，所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)．再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽取100×2 50010 000＝25(人)．。

2017_2018学年高中数学阶段质量检测(二)数列新人教B版必修5

阶段质量检测（二）数列(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数数列D ．摆动数列解析：选D 因为等比数列{a n }的公比为q ＝－14，a 1＝2，故a 2<0，a 3>0，…，所以数列{a n }是摆动数列．2．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－3D ．－4解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，a ＋3b ＋c ＝10，解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8.3．等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝( ) A ．10 B ．20 C ．16D ．12 解析：选D ∵{a n }是等差数列， ∴d ＝a 5－a 35－3＝52，∴a 7＝2＋4×52＝12.4．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A ．－163B.163C ．－83D.83解析：选B ∵a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1，∴a 2＝(－1)2×2×13＝23，a 3＝(－1)3×2×23＝－43， a 4＝(－1)4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－83，a 5＝(－1)5×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－83＝163.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2D ．1∶3解析：选A 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.6．在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．5D ．－5解析：选D 因为S n ＝5n ＋1＋a ＝5×5n＋a ，由等比数列的前n 项和S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝a 11－q－a 11－q·q n ，可知其常数项与q n的系数互为相反数，所以a ＝－5.7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( )A ．第8项B ．第10项C ．第12项D ．第14项解析：选D 当n 为正奇数时，a n ＋1＝2a n ，则a 2＝2a 1＝2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝a n ＋1，得a 3＝3，依次类推得a 4＝6，a 5＝7，a 6＝14，a 7＝15，…，归纳可得数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋12－1，n 为正奇数，2n 2＋1－2，n 为正偶数，则2n2＋1－2＝254，n ＝14，故选D.8．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2＝( )A ．2B.123解析：选C ∵S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3，∴1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3＝35，∵a 1a 2a 3＝15，∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，∴a 2＝3.故选C. 9．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1、公比为13的等比数列，那么a n ＝( )A.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13nB.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1 C.23⎝⎛⎭⎪⎫1－13nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1 解析：选A 由题知a 1＝1，q ＝13，则a n －a n －1＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.设数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1的前n 项和为S n ， ∴S n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n .又∵S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n ，∴a n ＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13.10．已知等比数列{a n }各项均为正数，且a 1，12a 3，a 2成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5等于( )A.5＋12 B.5－12C.1－52D.5＋12或5－12解析：选B 由题意，得a 3＝a 1＋a 2，即a 1q 2＝a 1＋a 1q ， ∴q 2＝1＋q ，解得q ＝1±52.又∵{a n }各项均为正数， ∴q >0，即q ＝1＋52.∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 3＋a 4q a 3＋a 4 ＝1q ＝5－12. 11．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )24C.334D.172解析：选B 设{a n }的公比为q ，q >0，且a 23＝1， ∴a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍去)，a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝314.12．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－2 014，S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2，则S 2 016的值为( )A ．－2 016B ．2 016C ．2 015D ．－2 015解析：选B 因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为d ′，则由S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2，得2d ′＝2，解得d ′＝1，所以S 2 0162 016＝S 11＋2 015d ′＝a 1＋2 015d ′＝－2 014＋2 015＝1，所以S 2 016＝2 016.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ＋.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20× 20－1 2×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2，∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.答案：11014．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 015－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．解析：由a n ＝2 015－3n >0，得n <2 0153＝67123，又∵n ∈N ＋，∴n 的最大值为671. 答案：67115．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N ＋)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1 1－q n1－q＝2 1－2n1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6.答案：616．在等比数列{a n }中，若1，a 2，a 3－1成等差数列，则a 3＋a 4a 5＋a 6＝________. 解析：设等比数列的公比为q ，依题意，可得2a 1q ＝1＋a 1q 2－1，又a 1≠0，整理得q 2－2q ＝0，所以q ＝2或q ＝0(舍去)，所以a 3＋a 4a 5＋a 6＝1q 2＝14. 答案：14三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)依题意，有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0. 又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由(1)可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3，故a 1＝4.从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .18．(12分)已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且x ∈N ＋)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 016.解：(1)证明：∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2且n ∈N ＋)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2且n ∈N ＋)， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列． (2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53.∴1x 2 016＝2 016＋53＝2 0213. ∴x 2 016＝32 021.19．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132. (1)求等比数列{a n }的公比q ； (2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n . 解：(1)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1，知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.(2)由(1)，得a n ＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，所以a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，所以数列{a 2n }是首项为1，公比为14的等比数列，故a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .20．(12分)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N ＋)，且a 2＝3，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差是d ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4a 1＋6d ＝16，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝12n －1 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 21．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a n <a n ＋1，得q >1，又a 1＝1，则a 2＝q ，a 3＝q 2，因为S 3＝2S 2＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＝2(a 1＋a 2)＋1，则1＋q ＋q 2＝2(1＋q )＋1，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)由(1)知，b n ＝(2n －1)·a n ＝(2n －1)·2n －1(n ∈N ＋)，则T n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，2T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，两式相减，得－T n ＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n －1)×2n，即－T n ＝1＋22＋23＋24＋…＋2n －(2n －1)×2n，化简得T n ＝(2n －3)×2n＋3.22．(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式． (2)设b n ＝a na n ＋1，是否存在m ，k (k >m ≥2，m ，k ∈N ＋)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝11，2a 1＋19d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在m ，k (k >m ≥2，m ，k ∈N ＋)使得b 1，b m ，b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k . 因为b n ＝a n a n ＋1＝nn ＋1，所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝kk ＋1，所以⎝⎛⎭⎪⎫m m ＋12＝12×k k ＋1. 整理，得k ＝2m2－m 2＋2m ＋1.以下给出求m ，k 的方法：因为k >0，所以－m 2＋2m ＋1>0，解得1－2<m <1＋ 2. 因为m ≥2，m ∈N ＋，所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2，k ＝8使得b 1，b m ，b k 成等比数列．。

2017_2018学年高中数学课时跟踪检测(二)独立性检验的基本思想及其初步应用(含解析)新人教A版选修1_2

课时跟踪检测(二) 独立性检验的基本思想及其初步应用一、选择题1．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中，最为精确的是( ) A．2×2列联表 B．独立性检验C．等高条形图 D．其他解析：选B A、C只能直观地看出两个分类变量x与y是否相关，但看不出相关的程度．独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为准确．2．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是( )A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大解析：选B k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大．即k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．故选B.3．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是( )A．k≥6.635 B．k＜6.635C．k≥7.879 D．k＜7.879解析：选C 犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.4．(江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1表2表3表4A．成绩 B．视力C．智商 D．阅读量解析：选D 因为k 1＝－2 16×36×32×20＝52×8216×36×32×20，k 2＝－2 16×36×32×20＝52×112216×36×32×20，k 3＝－2 16×36×32×20＝52×96216×36×32×20，k 4＝－2 16×36×32×20。

2017-2018学年高中数学必修2阶段质量检测二含答案精品

阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．下列说法不正确的是( )A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直答案：D2．(浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C3.如图在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定( )A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对答案：A4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )A．AC B．BDC．A1D D．A1D1答案：B5．给定下列四个命题：①若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为正确的命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案：D6．正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是( )A.12B.32C.63D.62答案：C7．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为( )A.12B.13C.33D.23答案：C8．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是( )A．3 B．2C．1 D．0答案：B9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为( ) A．13 B.151 C．12 3 D．15答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的即可)答案：BM⊥PC(其他合理即可)12．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．答案：313．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝3，则异面直线AD与BC所成角的大小为________．答案：60°14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下三个结论．①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；说法正确的命题序号是________．答案：①②三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，(1)证明：CD⊥平面PAC；(2)若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB.证明：(1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又CD⊥PC，PA∩PC＝P，∴CD⊥平面PAC.(2)∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴∠BAC＝45°，∠CAD＝45°，AC＝ 2.∵CD⊥平面PAC，∴CD⊥CA，∴AD＝2.又∵E为AD的中点，∴AE＝BC＝1，∴AE綊BC，∴四边形ABCE是平行四边形，∴CE∥AB.又∵AB⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB.16．(本小题满分12分)(山东高考)如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形．所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.法二：延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝12 AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.17.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，BB1＝2BC，D，E，F分别是CC1，A1C1，B1C1的中点，G在BB1上，且BG＝3GB1.求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面GEF∥平面ABD.证明：(1)取BB1的中点为M，连接MD，如图所示．因为BB1＝2BC，且四边形BB1C1C为平行四边形，所以四边形CDMB和四边形DMB1C1均为菱形．故∠CDB＝∠BDM，∠MDB1＝∠B1DC1，所以∠BDM＋∠MDB1＝90°，即BD⊥B1D.又AB⊥平面BB1C1C，B1D⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1D.又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.(2)连接MC1，可知G为MB1的中点，又F为B1C1的中点，所以GF∥MC1.又MB綊C1D，所以四边形BMC1D为平行四边形，所以MC1∥BD，故GF∥BD.又BD⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD.又EF∥A1B1，A1B1∥AB，AB⊂平面ABD，所以EF∥平面ABD.又EF∩GF＝F，故平面GEF∥平面ABD.18．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1，∴四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连接FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形．∴CF⊥EG.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF.∴CF⊥BD.又BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.19．(本小题满分12分)如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．解：(1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BC′，∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2，sin∠OAC＝OCAC＝12，∴∠OAC＝30°.即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. (2)如图所示，作OE ⊥BC 于E ，连接AE . ∵平面BC ′⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角．在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55. (3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O ， ∴OC ⊥平面AOB .又∵OC ⊂平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC . 即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°.20．(本小题满分12分)如图①，在平面四边形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝135°，∠C ＝60°，AB ＝AD ，M ，N 分别是边AD ，CD 上的点，且2AM ＝MD ，2CN ＝ND ，如图①，将△ABD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面BCD ，并连接AC ，MN (如图②)．(1)证明：MN ∥平面ABC ； (2)证明：AD ⊥BC ；(3)若BC ＝1，求三棱锥A BCD 的体积．解：(1)证明：在△ACD 中， ∵2AM ＝MD,2CN ＝ND ，∴MN∥AC，又∵MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.(2)证明：在△ABD中，AB＝AD，∠A＝90°，∴∠ABD＝45°.∵在平面四边形ABCD中，∠B＝135°，∴BC⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，且BC⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴BC⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，∴AD⊥BC.(3)在△BCD中，∵BC＝1，∠CBD＝90°，∠BCD＝60°，∴BD＝ 3.在△ABD中，∵∠A＝90°，AB＝AD，∴AB＝AD＝6 2，∴S△ABD＝12AB·AD＝34，由(2)知BC⊥平面ABD，∴V ABCD＝V CABD＝13×34×1＝14.(B卷能力素养提升)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：选D 由等角定理可知β＝60°或120°.2．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．3.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③BC1与AC所成角为60°.以上三个结论中，正确结论的序号是( )A．①B．②C．③D．②③解析：选C ①错，应为DA1⊥BC1；②错，两直线所成角为45°；③正确，将BC1平移至AD1，由于三角形AD1C为等边三角形，故两异面直线所成角为60°，即正确命题序号为③，故选C.4．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l∥α，α∥β，则l∥βD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析：选D 对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，所以A错；对于B，若α⊥β，l∥α，则l∥β或l⊥β或l⊂β或l与β相交，所以B错；对于C，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，所以C错；对于D，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，由面面垂直的判定可知选项D正确．5．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：选C ∵MN∥PQ，由线面平行的性质定理可得MN∥AC，从而AC∥截面PQMN，B正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，A正确；又∠PMQ＝45°，故D正确．6．α，β，γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②解析：选C 若填入①，则由a∥γ，b⊂β，b⊂γ，b＝β∩γ，又a⊂β，则a∥b；若填入③，则由a⊂γ，a＝α∩β，则a是三个平面α、β、γ的交线，又b∥β，b⊂γ，则b∥a；若填入②，不能推出a∥b，可以举出反例，例如使β∥γ，b⊂γ，画一草图可知，此时能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥b，有可能异面．从而A、B、D都不正确，只有C正确．7．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c 与a，b的位置关系是( )A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行解析：选D 如图，以三棱柱为模型．∵a∥b，a⊄γ，b⊂γ，∴a∥γ.又∵a⊂β，β∩γ＝c，∴a∥c.∴a∥b∥c.8．如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°解析：选D 还原几何体，如图．可知D点与B点重合，△ABC是正三角形，所以选D.9．在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选A 如图，二面角αlβ为45°，AB⊂β，且与棱l成45°角，过A 作AO ⊥α于O ，作AH ⊥l 于H .连接OH 、OB ，则∠AHO 为二面角αl β的平面角，∠ABO 为AB 与平面α所成角．不妨设AH ＝2，在Rt △AOH 中，易得AO ＝1；在Rt △ABH 中，易得AB ＝2.故在Rt △ABO 中，sin ∠ABO ＝AO AB ＝12， ∴∠ABO ＝30°，为所求线面角．10．如图(1)所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，如图(2)所示，那么，在四面体A EFH 中必有( )A ．AH ⊥△EFH 所在平面B ．AG ⊥△EFH 所在平面C ．HF ⊥△AEF 所在平面D ．HG ⊥△EFH 所在平面解析：选A 折成的四面体中有AH ⊥EH ，AH ⊥FH ，∴AH ⊥平面HEF .故选A.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA 1＝2，则异面直线A 1B 1与BD 1的夹角大小等于________．解析：∵A 1B 1∥AB ，∴AB 与BD 1所成的角即是A 1B 1与BD 1所成的角．连接AD 1，可知AB ⊥AD 1，在Rt △BAD 1中，AB ＝1，AD 1＝3，∴tan ∠ABD 1＝AD 1AB ＝3， ∴∠ABD 1＝60°，故A 1B 1与BD 1的夹角为60°.答案：60°12．如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：取AC ，A 1C 1的中点E ，E 1，连接BE ，B 1E 1，EE 1，由题意知平面BEE 1B 1⊥平面AC 1，过D 作DF ⊥EE 1于F ，连接AF ，则DF ⊥平面AC 1.∴∠DAF 即为AD 与平面AC 1所成的角．可求得AD ＝2，DF ＝32，∴sin ∠DAF ＝DF AD ＝64. 答案：6413．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线；⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .上述命题中正确的命题是________(只填序号)．解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确； a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．答案：①14．给出下列命题：①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a ，b 中一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面；③一定存在平面α同时和异面直线a ，b 都平行．其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)解析：①中，异面直线a ，b 可以都与c 相交，故不正确；②中，直线异面不具有传递性，故不正确；③中，过直线b上一点P作a′∥a，则a′、b确定一平面，则与该平面平行的任一平面(平面内不包含直线a、b)都与异面直线a、b平行，故正确．答案：③三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算过程)15.(本小题满分10分)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．解：在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈D1F，P∈DA.又∵D1F⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，∴PB 即为平面BED1F与平面ABCD的交线．如图所示．16．(本小题满分12分)在右图的几何体中，面ABC∥面DEFG, ∠BAC＝∠EDG＝120°，四边形ABED是矩形，四边形ADGC是直角梯形，∠ADG＝90°，四边形DEFG是梯形，EF∥DG，AB＝AC＝AD＝EF＝1，DG＝2.(1)求证：FG⊥面ADF；(2)求四面体CDFG的体积．解：(1)连接DF、AF，作DG的中点H，连接FH，EH，∵EF∥DH，EF＝DH＝ED＝1，∴四边形DEFH是菱形，∴EH⊥DF，又∵EF∥HG, EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴FG∥EH，∴FG⊥DF，由已知条件可知AD⊥DG，AD⊥ED，所以AD⊥面EDGF，所以AD⊥FG.又∵⎩⎪⎨⎪⎧ FG ⊥AD ，FG ⊥DF ，AD ⊂面ADF ，DF ⊂面ADF ，AD ∩DF ＝D ，∴FG ⊥面ADF . (2)因为DH ∥AC 且DH ＝AC ，所以四边形ADHC 为平行四边形，所以CH ∥AD ，CH ＝AD ＝1，由(1)知AD ⊥面EDGF ，所以CH ⊥面DEFG .由已知，可知在三角形DEF 中，ED ＝EF ＝1，∠DEF ＝60°，所以，△DEF 为正三角形，DF ＝1，∠FDG ＝60°，S △DEG ＝12·DF ·DG ·sin∠FDG ＝32.四面体CDFG ＝13·S △DFG ·CH ＝13×32×1＝36.17．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 的中点，N 为线段PB 的中点，G 在线段BM 上，且BGGM ＝2.(1)求证：AB ⊥PD ；(2)求证：GN ∥平面PCD .证明：(1)因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB .又因为AD ⊥AB ，AD ∩PA ＝A ，所以AB ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD .(2)因为△ABC 是正三角形，且M 是AC 的中点，所以BM ⊥AC . 在直角三角形AMD 中，∠MAD ＝30°，所以MD ＝12AD .在直角三角形ABD中，∠ABD＝30°，所以AD＝12BD，所以MD＝14BD.又因为BGGM＝2，所以BG＝GD.又N为线段PB的中点，所以GN∥PD.又GN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以GN∥平面PCD.18．(本小题满分12分)(浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC 的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．解：(1)证明：设E为BC的中点，连接AE，A1E，DE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.又因为A1E，BC⊂平面A1BC，A1E∩BC＝E，故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以四边形AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，AE∩A1E＝E，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F.又因为DE∩BC＝E，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝ 2.由A 1E ⊥平面ABC ，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14.由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72.所以sin ∠A 1BF ＝78.19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1 ；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E ABC 的体积．解：(1)证明：在三棱柱ABC A1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB .又因为AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F ，G 分别是A 1C 1，BC ，AB 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ，EC 1＝12A 1C 1.因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形，所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.20.(本小题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1、DB 的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1；(2)求三棱锥VB 1EFC 的体积；(3)求二面角ECFB1的大小．解：(1)证明：连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB 的中点，则EF为中位线，∴EF∥D1B，而D1B⊂面ABC1D1，EF⊄面ABC1D1，∴EF∥面ABC1D1.(2)等腰直角三角形BCD中，F为BD中点，∴CF⊥BD.①∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴DD1⊥面ABCD，又CF⊂面ABCD，∴DD1⊥CF.②综合①②，且DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂面BDD1B1，∴CF⊥平面EFB1即CF为高，CF＝BF＝ 2.∵EF＝12BD1＝3，B1F＝BF2＋BB21＝ 2 2＋22＝6，B1E＝B1D21＋D1E2＝12＋ 22 2＝3，∴EF2＋B1F2＝B1E2，即∠EFB1＝90°，∴S△B1EF＝12EF·B1F＝322，∴VB1EFC＝VCB1EF＝13·S△B1EF·CF＝13×322×2＝1.(3)∵CF⊥平面BDD1B1，∴二面角ECFB1的平面角为∠EFB1. 由(2)知∠EFB1＝90°∴二面角ECFB1的大小为90°.。

2017-2018学年高中数学综合学业质量标准检测新人教A版必修2

综合学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·泰安二中高一检测)直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于导学号 09025121( C )A ．－2B ．2C ．－12[解析] 由题意，得2k ＝－1，∴k ＝－12.2．空间中到A 、B B ) A ．线段AB 的中垂线 B C ．过AB 中点的一条直线D [解析] 空间中线段AB 的中垂面上的任意一点到 3．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线； ②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线；D ) C ．③④D ．②④故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的故④正确．选D ．y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是导学号 09025125( C )[解析] 当a >0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a >0，此时，选项A 、B 、C 、D 都不符合；当a <0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a <0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a <0，只有选项C 符合，故选C ．5．已知圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋m ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为2，则实数m 的值是导学号 09025126( C )A ．3B ．4C ．5D ．7[解析] 圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋m ＝0的圆心(－2,2)，半径r ＝8－m (m <8)．圆心(－2,2)到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－2＋2＋2|12＋12＝2，由题意，得m ＝5. 6．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是导学号 09025127( D )[解析] 如图所示，由图可知选D ．2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，C )B ．2x －y －5＝0D ．4x －3y ＋7＝03)，圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心C 2(3,0)，k ＝0＋33－2＝3，所求直线方程为y ＝3(x －2x －3y ＋4＝0关于直线x ＝1对称，则直线l 的方程为导学号 09025129( A )A ．2x ＋3y －8＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．3x ＋2y －7＝0[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋4＝0x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2.由题意可知直线l 的斜率k 与直线2x －3y ＋4＝0的斜率互为相反数，∴k ＝－23，故直线l 的方程为y －2＝－23(x －1)，即2x ＋3y －8＝0.9．某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积是导学号 09025130( B )A ．332B ．1336C ．233D ．1136[解析] 该几何体是一个正三棱柱和一个三棱锥的组合体，故体积V ＝34×22×32＋13×34×22×2＝1336. 10．(2016～2017·郑州高一检测)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是导学号 09025131( D )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －3＝0[解析] 由圆的几何性质知，圆心角∠ACB 最小时，弦AB 的长度最短，此时应有CM ⊥AB . ∵k CM ＝1， ∴k l ＝－1.∴直线l 方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. 故选D ．11．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则c 的取值范围是导学号 09025132( C )A ．[－22，22]B ．(－22，22)C ．[－2,2]D ．(－2,2)[解析] 圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0整理为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心坐标为C (2,2)，半径长为32，要使圆上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，如右图可知圆心到直线l 的距离应小于等于2，∴d ＝|2－2＋c |1＋1＝|c |2≤2，解得|c |≤2，即－2≤c ≤2.12．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为导学号 09025133( A )A ．52－4B ．17－1C ．6－2 2D ．17[解析] 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|称点C 1′(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C 1′C 2|＝52，所以(|PM |(1＋3)＝52－4.第Ⅱ卷(非选择题二、填空题(本大题共4个小题，每小题5) 13．(2016·曲阜师大附中高一检测)△ABC 、C (0,1)，则BC 边上的中线所在直线的一般方程为__x ＋3y －5＝0__.[解析] BC 边的中点D 的坐标为∴BC 边上的中线AD x ＋3y －5＝0.2k ＋1，则直线恒经过的定点__(－＋1，即＋2)， 15．一个正四棱台，其上、下底面边长分别为8 cm 和18 cm ，侧棱长为13 cm ，则其表面积为__1 012 cm 2__.导学号 09025136[解析] 由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h ＝132－18－822＝12(cm)，所以S 侧＝4×12×(8＋18)×12＝624(cm 2)，S 上底＝8×8＝64(cm 2)，S 下底＝18×18＝324(cm 2)，于是表面积为S ＝624＋64＋324＝1 012(cm 2)．16．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点P 在面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：导学号 09025137①三棱锥A －D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确命题的序号是 ①②④ .[解析] ①因为BC 1∥AD 1，所以BC 1∥平面AD 1C ，所以直线BC 1上任一点到平面AD 1C 的距离都相等，所以VA －D 1PC ＝VP －AD 1C ＝VB －AD 1C 为定值，正确；②因为AC ∥A 1C 1，AD 1∥BC 1，AC ∩AD 1＝A ，A 1C 1∩BC 1＝C 1，所以平面ACD 1∥平面A 1BC 1，因为A 1P ⊂平面A 1BC 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，正确；③假设DP ⊥BC 1，因为DC ⊥BC 1，DC ∩DP ＝D ，所以BC 1⊥平面DPC ，所以BC 1⊥CP ，因为P 是BC 1上任一点，所以BC 1⊥CP 不一定成立，错误；④因为B 1B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以B 1B ⊥AC ，又AC ⊥BD ，BD ∩B 1B ＝B ，所以AC ⊥平面BB 1D ，所以AC ⊥DB 1，同理可知AD 1⊥DB 1，因为AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，因为DB 1⊂平面PDB 1，所以平面PDB 1⊥平面ACD 1，正确．故填①②④.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线l 1：ax －by －1＝0(a 、b 不同时为0)，l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0.导学号 09025138(1)若b ＝0且l 1⊥l 2，求实数a 的值；(2)当b ＝2，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离． [解析] (1)若b ＝0，则l 1：ax －1＝0，l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0.∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝0，∴a ＝－2或0(舍去)，即a ＝－2. (2)当b ＝2时，l 1：ax －2y －1＝0，l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0，∵l 1∥l 2，∴a ＝－2(a ＋2)，∴a ＝－43.∴l 1：4x ＋6y ＋3＝0，l 2：2x ＋3y －4＝0，∴l 1与l 2之间的距离d ＝|32＋4|22＋32＝111326. 18．(本小题满分12分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程.导学号 09025139[解析] 连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1.即x 2＋y 2－4x ＝0.①当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，所以BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内)．19．(本小题满分12分)(2016·葫芦岛高一检测)已知半径为2，圆心在直线y ＝x ＋2上的圆C .导学号 09025140(1)当圆C 经过点A (2,2)且与y 轴相切时，求圆C 的方程；(2)已知E (1,1)、F (1,3)，若圆C 上存在点Q ，使|QF |2－|QE |2＝32，求圆心横坐标a 的取值范围．[解析] (1)设圆心坐标为(a ，－a ＋2)， ∵圆经过点A (2,2)且与y 轴相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋[2－－a ＋2＝4|a |＝2，解得a ＝2.∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)设Q (x ，y )，由已知，得(x －1)2＋(y ＋3)2－[(x －1)2＋(y －1)2]＝32，即y ＝3.∴点Q 在直径y ＝3上．又∵Q 在圆C 上，∴圆C 与直线y ＝3相交， ∴1≤－a ＋2≤5，∴－3≤a ≤1. ∴圆心横坐标a 的取值范围为－3≤a ≤1.20．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，斜率为1的直线l 与圆C 交于A 、B 两点.导学号 09025141(1)化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；(2)是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；(3)当直线l 平行移动时，求△CAB 面积的最大值．[解析] (1)(x －1)2＋(y ＋2)2＝9.圆心C (1，－2)，r ＝3. (2)假设存在直线l ，设方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵以AB 为直径的圆过圆心O ， ∴OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y 得2x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2＋4m －4＝0. Δ＞0得－32－3＜m ＜32－3. 由根与系数关系得：x 1＋x 2＝－(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋4m －42，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 解得m ＝1或－4.直线l 方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.(3)设圆心C 到直线l ：y ＝x ＋m 的距离为d ， |AB |＝29－d 2，S △CAB ＝12×29－d 2×d ＝9d 2－d 4＝814－d 2－922≤92，此时d ＝322，l 的方程为y ＝x 或y ＝x －6. 21．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ文，18)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.导学号 09025142(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．[解析] (1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . 又AP ∩DP ＝P ，且AP ，DP ⊂平面PAD 所以AB ⊥平面PAD .因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)解：如图，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为点E .由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，又∵AD ∩AB ＝A . 可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝1x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC 可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 22．(本小题满分12分)已知⊙：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0.导学号 09025143PM ，M 为切点，O 为原点，若|PM |＝|PO |，求使|PM |4，若切线不过原点，设为x ＋y ＝a ，则|－1＋2－a |2＝2，∴a ＝1±22， ∴切线方程为：y ＝0，y ＝43x ，x ＋y ＝1＋22和x ＋y ＝1－2 2.(2)x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝x 20＋y 20， ∴2x 0－4y 0＋1＝0，|PM |＝x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝5y 20－2y 0＋14∵P 在⊙C 外，∴(x 0＋1)2＋(y 0－2)2>4，将x 0＝2y 0－12代入得5y 20－2y 0＋14>0，∴|PM |min ＝510.此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－110，15.。

2017-2018学年人教A版高中数学必修一_阶段质量检测二

阶段质量检测（二）(A 卷学业水平达标) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分) 1．221+log 512等于( )A ．2＋5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52解析：选B 221+log 512＝2×22log 512＝2×2log 2 5.2．函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫34，1B.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞)解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(4x －3)>0，4x －3>0，解得34<x <1.3．函数y ＝2－|x |的单调递增区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．不存在解析：选B 函数y ＝2－|x |＝⎝⎛⎭⎫12|x |，当x ＜0时为y ＝2x ，函数递增；当x ＞0时为y ＝⎝⎛⎭⎫12x，函数递减．故y ＝2－|x |的单调递增区间为(－∞，0)．4．若0<a <1，且log b a <1，则( ) A ．0<b <a B ．0<a <b C ．0<a <b <1D ．0<b <a 或b >1解析：选D 当b >1时，log b a <1＝log b B. ∴a <b ，即b >1成立．当0<b <1时，log b a <1＝log b b,0<b <a <1，即0<b <a .5.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )解析：选C 当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，若f (x 0)>3，则x 0的取值范围是( )A.(8，＋∞) B ．(－∞，0)∪(8，＋∞) C ．(0,8)D ．(－∞，0)∪(0,8)解析：选A 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≤0，3x 0＋1>3或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>0，log 2x 0>3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤0，x 0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>0，log 2x 0>log 28.所以x 0∈∅，或x 0>8，故选A.7．对于函数f (x )＝lg x 定义域内任意x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2.上述结论正确的是( ) A ．②③④ B ．①②③ C ．②③D ．①③④解析：选C 由对数的运算性质可得f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)＝f (x 1x 2)，所以①错误，②正确；因为f (x )是定义域内的增函数，所以③正确； f ⎝⎛⎫x 1＋x 22＝lg x 1＋x 22，f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1＋lg x 22＝lg x 1x 2，因为x 1＋x 22>x 1x 2(x 1≠x 2)，所以lg x 1＋x 22>lg x 1x 2，即f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2，所以④错误．8．若当x ∈R 时，函数f (x )＝a |x |始终满足0＜|f (x )|≤1，则函数y ＝log a ⎪⎪⎪⎪1x 的图象大致为 ( )解析：选B 由函数f (x )＝a |x |满足0＜|f (x )|≤1，得0＜a ＜1，当x ＞0时，y ＝log a ⎪⎪⎪⎪1x ＝－log a x .又因为y ＝log a ⎪⎪⎪⎪1x 为偶函数，图象关于y 轴对称，所以选B.9．若f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( ) A ．f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3) D ．g (0)<f (2)<f (3)解析：选D 用－x 代x ，则有f (－x )－g (－x )＝e －x ，即－f (x )－g (x )＝e －x ，结合f (x )－g (x )＝e x ，可得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e －x ＋e x2.所以f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝0，g (0)＝－1，所以f (3)>f (2)>f (0)>g (0)，故选D. 10．已知偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)≥f (b ＋2)B ．f (a ＋1)＜f (b ＋2)C ．f (a ＋1)≤f (b ＋2)D ．f (a ＋1)＞f (b ＋2)解析：选D 因为函数f (x )＝log a |x －b |为偶函数，则f (－x )＝f (x )，而f (－x )＝log a |－x －b |＝log a |x ＋b |，所以log a |x －b |＝log a |x ＋b |，即|x －b |＝|x ＋b |，所以b ＝0，故f (x )＝log a |x |.因为当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝log a |x |＝log a (－x )，其中y ＝－x 为减函数，而已知f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0＜a ＜1，故1＜a ＋1＜2，而b ＋2＝2，故1＜a ＋1＜b ＋2.又因为偶函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以在(0，＋∞)上单调递减，故f (a ＋1)＞f (b ＋2)，选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________. 解析：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝lg 1100÷100-12 ＝－2÷110＝－20.答案：－2012．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f (f (2))＝________. 解析：∵f (2)＝log 3(22－1)＝1， ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.答案：213．下列说法中，正确的是________(填序号)． ①任取x ＞0，均有3x ＞2x ； ②当a ＞0，且a ≠1时，有a 3＞a 2； ③y ＝(3)－x是增函数；④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x的图象关于y 轴对称．解析：对于②，当0＜a ＜1时，a 3＜a 2，故②不正确．对于③，y ＝(3)－x ＝⎝⎛⎭⎫33x ，因为0＜33＜1，故y ＝(3)－x 是减函数，故③不正确．易知①④⑤正确．答案：①④⑤ 14．已知函数f (x )＝e |x－a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是______________．解析：∵f (x )＝e|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a，x ≥a ，e －x ＋a ，x ＜a ， ∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)， ∴a ≤1.答案：(－∞，1]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(10分)计算：(1)lg 52＋23lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2；(2)312－2716＋1634－2×(8-23)－1＋52×(4-25)－1.解：(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝2＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝2＋lg 5＋lg 2＝3.(2)原式＝312－(33)16＋(24)34－2×(23)23＋215×(22)25＝312－312＋23－2×22＋215×245＝8－8＋2+1455＝2.16．(12分)已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1－6，其中x∈[0,3]．(1)求函数f(x)的最大值和最小值；(2)若实数a满足f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范围．解：(1)f(x)＝(2x)2－4·2x－6(0≤x≤3)．令t＝2x，∵0≤x≤3，∴1≤t≤8.则h(t)＝t2－4t－6＝(t－2)2－10(1≤t≤8)．当t∈[1,2]时，h(t)是减函数；当t∈(2,8]时，h(t)是增函数．∴f(x)min＝h(2)＝－10，f(x)max＝h(8)＝26.(2)∵f(x)－a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立，∴a≤f(x)min恒成立．由(1)知f(x)min＝－10，∴a≤－10.故a的取值范围为(－∞，－10]．17．(12分)若函数f(x)＝a·3x－1－a3x－1为奇函数．(1)求a的值；(2)求函数的定义域；(3)求函数的值域．解：函数y＝f(x)＝a·3x－1－a3x－1＝a－13x－1.(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即2a －13x－1－13x －1＝0，∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－13x －1，∴3x －1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－13x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴3x －1≠0，∴0＞3x －1＞－1或3x －1＞0. ∴－12－13x －1＞12或－12－13x －1＜－12.即函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＞12或y ＜－12.18．(12分)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且x ≤0时，f (x )＝log 12(－x ＋1)．(1)求f (0)，f (1)； (2)求函数f (x )的解析式；(3)若f (a －1)<－1，求实数a 的取值范围．解：(1)因为当x ≤0时，f (x )＝log 12(－x ＋1)，所以f (0)＝0.又因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝log 12[－(－1)＋1]＝log 122＝－1，即f (1)＝－1.(2)令x >0，则－x <0，从而f (－x )＝log 12(x ＋1)＝f (x )，∴x >0时，f (x )＝log 12(x ＋1)．∴函数f (x )的解析式为f (x )＝(3)设x 1，x 2是任意两个值，且x 1<x 2≤0，则－x 1>－x 2≥0， ∴1－x 1>1－x 2>0.∵f (x 2)－f (x 1)＝log 12(－x 2＋1)－log 12(－x 1＋1)＝log 121－x 21－x 1>log 121＝0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )＝log 12(－x ＋1)在(－∞，0]上为增函数．又∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数． ∵f (a －1)<－1＝f (1)， ∴|a －1|>1，解得a >2或a <0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)． 19．(12分)已知函数f (x )＝a －22x＋1(a ∈R). (1) 判断函数f (x )的单调性并给出证明； (2) 若存在实数a 使函数f (x )是奇函数，求a ；(3)对于(2)中的a ，若f (x )≥m2x ，当x ∈[2,3]时恒成立，求m 的最大值．解：(1)不论a 为何实数，f (x )在定义域上单调递增．证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫a －22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫a －22x 2＋1＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1). 由x 1<x 2可知0<2x 1<2x 2，所以2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)．所以由定义可知，不论a 为何数，f (x )在定义域上单调递增． (2)由f (0)＝a －1＝0得a ＝1，经验证，当a ＝1时，f (x )是奇函数．(3)由条件可得： m ≤2x ⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1＝(2x ＋1)＋22x ＋1－3恒成立．m ≤(2x ＋1)＋22x ＋1－3的最小值，x ∈[2,3]．设t ＝2x ＋1，则t ∈[5,9]，函数g (t )＝t ＋2t －3在[5,9]上单调递增，所以g (t )的最小值是g (5)＝125，所以m ≤125，即m 的最大值是125. 20．(12分)已知函数f (x )＝a －22x＋1. (1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的取值范围．解：(1)f (0)＝a －220＋1＝a －1.(2)∵f (x )的定义域为R ， ∴任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝2×(2x 1－2x 2)(1＋2x 1)(1＋2x 2).∵y ＝2x 在R 上单调递增，且x 1<x 2， ∴0<2x 1<2x 2，∴2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上单调递增． (3)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1.[或用f (0)＝0求解] ∴f (ax )<f (2)即为f (x )<f (2)．又∵f (x )在R 上单调递增， ∴x <2.(或代入化简亦可) 故x 的取值范围为(－∞，2)．(B 卷能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分) 1．幂函数的图象过点(3,9)，则它的单调递增区间是 ( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C 由f (x )＝x α过点(3,9)，知3α＝9，∴α＝2，即f (x )＝x 2，知C 正确． 2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 31(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为( ) A ．2e B ．2e 2 C ．2D.2e2解析：选D ∵f (2)＝log 31(4－1)＝log 313＝－1，∴f (f (2))＝f (－1)＝2e －1－1＝2e 2.3．函数f (x )＝lg (3x ＋1)1－x的定义域是( ) A.⎝⎛⎭⎫－13，1 B.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13 解析：选A 要使f (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，1－x >0，解得－13<x <1，故f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－13，1. 4．函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝2－(x －1)在同一直角坐标系下的图象大致是( )解析：选C 由图象可判断C 正确．5．幂函数f (x )＝x 45，若0<x 1<x 2 ，则f x 1＋x 22和f (x 1)＋f (x 2)2 的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2B ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2C ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f (x 1)＋f (x 2)2D ．无法确定解析：选A 易知f (x )＝x 45的定义域为R ，且是偶函数，在(0，＋∞)上单增，据此作出f (x )的图象如图所示，则点C 的纵坐标为f (x 1)＋f (x 2)2，点D 的纵坐标为f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，由图可知f (x 1)＋f (x 2)2<f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.6．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x -12等于( )A.13B.36C.24D.33解析：选C 由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝8，∴x -12＝24. 7．a ＝log 0.7 0.8，b ＝log 1.1 0.9，c ＝1.10.9的大小关系是( )A ．c >a >bB ．a >b >cC ．b >c >aD ．c >b >a解析：选A a ＝log 0.70.8∈(0,1)，b ＝log 1.10.9∈(－∞，0)，c ＝1.10.9∈(1，＋∞)，故c >a >b . 8．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上是增函数，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)＝f (b ＋2)B ．f (a ＋1)>f (b ＋2)C ．f (a ＋1)<f (b ＋2)D ．不能确定解析：选B 由f (x )为偶函数，∴b ＝0.又f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上为增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．∴0<a <1，∴1<a ＋1<2＝b ＋2， ∴f (a ＋1)>f (b ＋2)． 9．函数f (x )＝2x2log 的图象大致是( )解析：选C ∵f (x )＝2x2log ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，∴选C.10．已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( )A ．[160，＋∞)B ．(－∞，40]C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．(－∞，20]∪[80，＋∞)解析：选C 据题意可知k 8≤5或k8≥20，解得k ≤40或k ≥160.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．当x ∈[－2,0]时，函数y ＝3x ＋1－2的值域是________．解析：∵x ∈[－2,0]时y ＝3x ＋1－2为增函数，得3－2＋1－2≤y ≤30＋1－2，即－53≤y ≤1.答案：⎣⎡⎦⎤－53，1 12．若指数函数f (x )与幂函数g (x )的图象相交于一点(2,4)，则f (x )＝________，g (x )＝________.解析：设f (x )＝a x ，g (x )＝x α，代入(2,4)， ∴f (x )＝2x ，g (x )＝x 2. 答案：2x x 213．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)等于________．解析：∵1<log 23<2，∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，此时3＋log 23>4，故f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫1223log 3＋＝223log 3－－＝2－3×22log 3－＝18×2log213＝18×13＝124.即f (2＋log 23)＝124. 答案：12414．已知函数f (x )的图象与函数g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列命题：①h (x )的图象关于原点(0,0)对称；②h (x )的图象关于y 轴对称；③h (x )的最小值为0；④h (x )在区间(－1，0)上单调递增．其中正确的是________．(把正确命题的序号都填上)解析：∵f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于y ＝x 对称，∴两者互为反函数，f (x )＝log 2x (x >0)，∴h (x )＝f (1－|x |)＝log 2(1－|x |)．又h (－x )＝h (x )，∴h (x )＝log 2(1－|x |)为偶函数，故h (x )的图象关于y 轴对称，∴①②正确．∵当1－|x |的值趋近于0时，h (x )的函数值趋近于－∞，∴h (x )的最小值不是0，∴③不正确．设－1<x 1<x 2<0，则1－|x 2|>1－|x 1|，又∵y ＝log 2x 是单调增函数，∴log 2(1－|x 2|)>log 2(1－|x 1|)，∴h (x 2)>h (x 1)，∴h (x )在区间(－1,0)上单调递增，∴④正确．答案：②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(10分)不用计算器计算： (1)log 327＋lg 25＋lg 4＋77log 2＋(－9.8)0；(2)⎝⎛⎭⎫278-23－⎝⎛⎭⎫4990.5＋(0.008)-23×225.解：(1)原式＝log 3 332＋lg(25×4)＋2＋1＝32＋lg 102＋3＝32＋2＋3＝132.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫82723－⎝⎛⎭⎫49912＋⎝⎛⎭⎫1 000823×225＝49－73＋25×225＝－179＋2＝19. 16．(12分)已知函数f (x )＝xk k 22－＋＋(k ∈N)满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q ，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤－4，178？若存在，求出q; 若不存在，请说明理由．解：(1)∵f (2)<f (3)，∴⎝⎛⎭⎫32k k 22－＋＋>1，即－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.又∵k ∈N ，∴k ＝0或k ＝1.且当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q >0满足题设．由(1)知，g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1.∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝⎛⎭⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取到，而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4，解得q ＝2.经检验q ＝2符合题意．17．(12分)已知函数f (x )＝(log 14x )2－log 14x ＋5，x ∈[2,4]，求f (x )的最大值及最小值．解：令t ＝log 14x .∵x ∈[2,4]，t ＝log 14x 在定义域内递减，∴log 144<log 14x <log 142，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－1，－12，∴f (t )＝t 2－t ＋5＝⎝⎛⎭⎫t －122＋194，t ∈⎣⎡⎦⎤－1，－12， ∴当t ＝－12时，f (x )取最小值234，当t ＝－1时，f (x )取最大值7.18．(12分)已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．解：∵f (x )＝log a x ，当0<a <1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13－|f (2)|＝log a 13＋log a 2＝log a 23>0，当a >1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13－|f (2)|＝－log a 13－log a 2＝－log a 23>0，∴⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13>|f (2)|总成立．则y ＝|f (x )|的图象如图所示．要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，即当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，即0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)． 19．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－1(a >0且a ≠1)． (1)若函数y ＝f (x )的图象经过点P (3，4)，求a 的值； (2)判断并证明函数f (x )的奇偶性；(3)比较f ⎝⎛⎭⎫lg 1100与f (－2.1)的大小，并写出必要的理由．解：(1)∵f (3)＝a 2＝4，∴a ＝2.(2)f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝a (－x )2－1＝ax 2－1＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)∵f ⎝⎛⎭⎫lg 1100＝f (－2)， ①当a >1时，f (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴f ⎝⎛⎭⎫lg 1100<f (－2.1)； ②当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上单调递增， ∴f ⎝⎛⎭⎫lg 1100>f (－2.1)． 20．(12分)已知函数f (x )＝a x －a ＋1，(a >0且a ≠1)恒过定点⎝⎛⎭⎫12，2. (1)求实数a ；(2)若函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1，求函数g (x )的解析式； (3)在(2)的条件下，若函数F (x )＝g (2x )－mg (x －1)，求F (x )在[－1,0]上的最小值h (m )．解：(1)由已知a12-a ＋1＝2，∴a ＝12.(2)g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1＝⎝⎛⎭⎫12⎛⎫- ⎪⎝⎭1122x+－1＋1＝⎝⎛⎭⎫12x .(3)∵F (x )＝⎝⎛⎭⎫122x －m ⎝⎛⎭⎫12x －1＝⎝⎛⎭⎫122x －2m ⎝⎛⎭⎫12x .∴令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，t ∈[1,2]． ∴y ＝t 2－2mt ＝(t －m )2－m 2.①当m ≤1时，y ＝t 2－2mt 在[1,2]上单调递增， ∴t ＝1时，y min ＝1－2m ；②当1<m <2时，当t ＝m 时，y min ＝－m 2；③当m ≥2时，y ＝t 2－2mt 在[1,2]上单调递减， ∴当t ＝2时，y min ＝4－4m . 综上所述：h (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2m ，m ≤1，－m 2，1<m <2，4－4m ，m ≥2.。

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第二章统计(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是( )A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样C．分层抽样，系统抽样D．简单随机抽样，系统抽样解析：选D 由抽样方法的概念知选D.2．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是( )A．09,14,19,24 B．16,28,40,52C．10,16,22,28 D．08,12,16,20解析：选B 分成5组，每组12名学生，按等间距12抽取．选项B正确．3．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为( ) A．193 B．192C．191 D．190解析：选B 1 000×n200＋1 200＋1 000＝80，求得n＝192.4．某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝－10x＋200，则下列结论正确的是( )A．y与x具有正的线性相关关系B．若r表示变量y与x之间的线性相关系数，则r＝－10C．当销售价格为10元时，销售量为100件D．当销售价格为10元时，销售量在100件左右解析：选D y与x具有负的线性相关关系，所以A项错误；当销售价格为10元时，销售量在100件左右，因此C错误，D正确；B项中－10是回归直线方程的斜率．(A卷学业水平达标)5．设有两组数据x 1，x 2，…，x n 与y 1，y 2，…，y n ，它们的平均数分别是x 和y ，则新的一组数据2x 1－3y 1＋1,2x 2－3y 2＋1，…，2x n －3y n ＋1的平均数是( )A ．2x －3yB ．2x －3y ＋1C ．4x －9yD ．4x －9y ＋1解析：选B 设z i ＝2x i －3y i ＋1(i ＝1,2，…，n )，则z ＝1n (z 1＋z 2＋…＋z n )＝2n (x 1＋x 2＋…＋x n )－3n(y 1＋y 2＋…＋y n )＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋ (1)＝2x －3y ＋1.6．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A ．85,85,85B ．87,85,86C ．87,85,85D ．87,85,90解析：选C ∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85，中位数为85，平均数为110(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.7．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得的他们某月交通违章次数的数据制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为( )A ．1B ．1.8C ．2.4D ．3解析：选B5×0＋20×1＋10×2＋10×3＋5×450＝1.8.8．下表是某厂1～4月份用水量情况(单位：百吨)的一组数据：用水量y 与月份x 之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ^＝－0.7x ＋a ，则a 的值为( )A ．5.25B ．5C ．2.5D ．3.5解析：选A 线性回归方程经过样本的中心点，根据数据可得样本中心点为(2.5,3.5)，所以a ＝5.25.9．在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84 B ．84,1.6 C ．85,1.6D ．85,4解析：选C 去掉一个最高分93，去掉一个最低分79，平均数为15×(84＋84＋86＋84＋87)＝85，方差为15[(85－84)2＋(85－84)2＋(85－86)2＋(85－84)2＋(85－87)2]＝1.6.10．图甲是某县参加2017年高考学生的身高条形统计图，从左到右各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10{如A 2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数}，图乙是统计图甲中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )A ．i ＜6?B ．i ＜7?C ．i ＜8?D ．i ＜9?解析：选C 由图甲可知身高在160～180 cm 的学生都在A 4～A 7内，∴i ＜8.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为____件．解析：设乙设备生产的产品总数为x 件，则4 800－x 50＝x80－50，解得x ＝1 800，故乙设备生产的产品总数为1 800件．答案：1 80012．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；[25.9,26.2)，8；[26.2,26.5)，8；[26.5,26.8)，4，则样本在[25,25.9)上的频率为________．解析：[25,25.9)包括[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；频数之和为20，频率为2040＝12.答案：1213．要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表法抽取种子时，先将500颗种子按001,002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：____________________，_______，_______，_______，_______. (下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54解析：选出的三位数分别为331,572,455,068,877,047,447，…，其中572,877均大于500，将其去掉，剩下的前5个编号为331,455,068,047,447.答案：331 455 068 047 44714．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a ×10＋0.020×10＋0.010×10＝1， ∴a ＝0.030.设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x ，y ，z 人，则x100＝0.030×10，解得x ＝30.同理，y ＝20，z ＝10.故从[140,150]的学生中选取的人数为1030＋20＋10×18＝3.答案：0.030 3三、解答题(本大题共4题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分12分)某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量(单位：kg)，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99；乙：110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙车间产品重量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？解：(1)甲、乙两组数据间隔相同，所以采用的方法是系统抽样法． (2)x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100，x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100， s 2甲＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43，s 2乙＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)＝228.57，∴s 2甲＜s 2乙，故甲车间产品比较稳定．16．(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)的人数．解：由分组[10,15)的频数是10，频率是0.25，知10M＝0.25，所以M ＝40.因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3.故p ＝3M ＝340＝0.075.因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a ＝2540×5＝0.125.(2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90.17．(本小题满分12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的．对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，b ^＝－－＋－－＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5. a ^＝y －b ^x ＝3.2.由上述计算结果知所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2 010)＋a ^＝6.5(x －2 010)＋3.2.即y ^＝6.5(x －2 010)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为 6．5×(2 016－2 010)＋260.2 ＝6.5×6＋260.2 ＝299.2(万吨)．18．(本小题满分14分)(四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a ×0.5，解得a ＝0.30.(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5，所以2≤x＜2.5. 由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．。