用幂级数展开式求极限Word版
函数的幂级数展开
函数的幂级数展开幂级数具有良好性质。
如果一个函数在某一区间上能够表示成一个幂级数，将给理论研究和实际应用带来极大方便。
Taylor 级数由Taylor 公式，若函数f 在0x 的某个邻域上具有1+n 阶导数，那么在该邻域上成立)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x r x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= ， 其中1000)1()()!1())(()(++-+-+=n n n x x n x x x f x r θ（10<<θ）为Lagrange 余项。
因此可以用多项式n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000-++-''+-'+ 来近似)(x f 。
自然会想到，增加这种多项式的次数，就可能会增加近似的精确度。
基于这种思想，若函数f 在0x 的某个邻域),(0r x O 上任意阶可导，就可以构造幂级数∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f ， 这一幂级数称为f 在0x 点的Taylor 级数，记为~)(x f ∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f 。
称!)(0)(k x f a k k = （ ,2,1,0=k ） 为f 在0x 点的Taylor 系数。
特别地，当00=x 时，常称∑∞=0)(!)0(n n n x n f 为f 的Maclaurin 级数。
假设函数f 在0x 的某个邻域),(0r x O 上可表示成幂级数∑∞=-=00)()(n n n x x a x f ， ),(0r x O x ∈，即∑∞=-00)(n n n x x a 在该邻域上的和函数为f (x )。
根据幂级数的逐项可导性，f 必定在),(0r x O 上任意阶可导，且对一切∈k N +，成立∑∞=--+--=k n k n n k x x a k n n n x f )()1()1()(0)( 。
函数的幂级数的展开与技巧.docx
1引言函数的幕级数展开在高等数学中有着重耍的地位，在研究泵级数的展开之 前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幕级数的展开屮有着重要的地 位。
一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幕级数的展开，几乎不用 积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。
2泰勒级数泰勒定理指出：若函数/在点兀。
的某个邻域内存在直至斤阶的连续导数，则/(x) = /(x 0) + /(x 0)(x-x 0) + /(x Q )^X这里心（兀）=。
（（兀-兀）〃）称为皮亚诺型余项。
如果增加条件“/（X ）有H + 1阶连续 导数”，那么心（0还可以写成三种形式（柯西余项） （积分型余项） 如果在（1）中抹去余项心（X ）,那么在兀。
附近/可用（1）式中右边的多项式来近似代 替。
如果函数/在兀=兀0处有任意阶的导数，这吋称形式为：的级数为函数/在x 0的泰勒级数，对于级数（2）是否能够在X 。
附近确切地表达/, 或说/在心泰勒级数在心附近的和函数是否就是/,这是我们现在耍讨论的问 题。
下面我们先看一个例子：例1山由于函数/(%)= \ 八，心 °,（拉格朗日余项）心。
）+广（％）（-切+%（—订+・・・+匚糾 （兀一兀0）+…（2）= 广“+1）［兀+0（兀_观卄（］_0）〃 （兀_观）〔0, x = 0,在x = x0处的任何阶导数都为0,即/叫0) = 0/= 1,2,…，所以/在x = 0处的泰勒级数为：C C 0 2 . 0 “0 + 0 • X H X + -------- ------- X+…，2! nl显然，它在(- oo,+oo)上收敛，且其和函数S(X)= 0,由此看到对一切* 0都有/(X)H S(X),这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有lim R n (x) = 0HT8时才能够。
在实际应用上主要讨论在勺=0的展开式。
这时(2)也可以写成刑)+以乩+皿宀…+创乩"+…，1! 2! /1!称为麦克劳林级数。
第三章 幂级数展开精品文档
a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2
称为双边级数。
正幂部分的收敛范围：
在 z z0
R1 圆域内收敛，收敛半径为 R1
lim k
ak ak 1
。
负幂部分的收敛范围：在 R2 Fra bibliotekz z0
圆外域内收敛，R2
lim
k
a(k 1) ak
(z 1)( z 2) z 1 z 2
1 1 z 1 1 (z 1)
当 0 z 1 1时，
f (z)
1
z 1k z 1k
z 1 k0
k 1
1
例 3. 在 z0 0 的邻域上把函数 e z 展开为级数。
1
2 i
CR1
w( ) z
d
ak
k 0
1
2 i
( z0 )k d CR1 z
ak (z z0 )k w(z) k 0
w(z) 为解析函数。
例 1. 求幂级数
1 z k 的收敛半径。
k0 k!
R lim
1 k!
lim (k 1)! lim (k 1)
2
……
f (n) (z) sin(z n )
2
f (n) (0) sin n
2
0 (1)k
n 2k n 2k 1
f (z) sin z
(1)k z 2k1 z 1 z 3 1 z 5 1 z 7
k0 (2k 1)!
【说明】
由幂级数可得一个正项级数，
幂级数展开式步骤
幂级数展开式步骤1.了解幂级数的定义：幂级数是形如∑(anxn)的无穷级数，其中an是一系列常数，称为系数，而x是变量，可以是实数或复数。
2.确定展开点：幂级数在每个展开点的收敛性可能不同。
展开点通常是函数的解析性质较好的点。
例如，面对需要展开的函数f(x)，我们可以选择函数在处的泰勒级数展开点为展开点。
3.写出幂级数的通项公式：根据幂级数的定义，通项公式为anxn。
其中，an为系数，xn为基础幂函数。
例如，对于函数f(x)，通项公式为an(x-a)n。
4.计算各阶导数：为了计算系数an，我们需要求函数f(x)在展开点处的各阶导数。
对f(x)求导n次后，在展开点处得到导数的值。
5.计算系数：系数an可以根据导数的值来计算。
对于幂级数的通项公式an(x-a)n，将函数在展开点处的导数代入后，可以求得系数an。
6.写出幂级数的展开式：根据上述步骤得到的系数，将其代入幂级数的通项公式，可以得到幂级数的展开式。
7.确定幂级数的收敛域：幂级数的收敛性需要进行判定。
在收敛域内，可以用幂级数近似表示原函数；而在发散域内，则不能用幂级数近似表示原函数。
8.判断边界情况：在计算幂级数展开时需要特别注意边界情况，即幂级数在展开点处是否收敛。
当幂级数在展开点处收敛时，可以得到的展开式为收敛幂级数；当幂级数在展开点处发散时，可以得到的展开式为发散幂级数。
9.验证展开式：为了验证通过幂级数展开得到的近似解，可以将幂级数代入原函数进行验证。
比较幂级数展开式与原函数，在一定范围内进行比较，以判断近似解的有效性。
10.逐步优化展开式：幂级数展开往往是一个近似表示，其精确度通常依赖于使用的级数项数。
如果通过提高级数项数可以获得更高的精确度，则可以逐步添加更多项以优化展开式。
总结：幂级数展开是一种将函数表示为无限次幂的和的方法。
展开步骤包括确定展开点、写出通项公式、计算各阶导数、计算系数、写出展开式、确定收敛域、判断边界情况、验证展开式和优化展开式等。
函数的幂级数展开式的应用
dx
2 (1)n π n0 n!
1 2
x
2n
dx
0
2 π
n0
(1)n n! (2n
1)
1 22n
1
2
1 2
ex2
dx
π0
1 π
1
1 22
3
2
4
1 5
2!
26
1 7
3!
欲使截断误差
rn
1 π
n!(2n
1 1)
n2
比较系数得: a0 0, 6a4 2a3 1
(n 1)(n 2)an (n 2)an1 0 (n 2, n 4)
可任意取值, 因是求特解, 故取 a1 a2 0,
从而得 当n > 4 时,
a3 0,
a4
1 6
an
n
1
1an1
(n
exi y ex (cos y i sin y) ex
z x i y r cos i sin r ei
第七节 第六节
作业 (6-11)
P289 2 (2) (4) (5); 3 (1) ; 4; 6 P298 1 (1); 2(2)；3(1); 4(2); P329 10 (1) ; 11(1)
r2
1 ( π )5 5! 20
1 (0.2)5 1 105
120
3
sin π π 1 ( π )3 0.157080 0.000646 20 20 3! 20
函数的幂级数展开-逼近定理汇总
2
傅里叶级数由正弦函数和余弦函数构成，可以表 示为无穷级数的和，其中每一项都是正弦函数或 余弦函数的线性组合。
3
傅里叶级数的定义基于三角函数的正交性，即在 一个周期内，任何两个不同的三角函数都不会有 相同的积分。
傅里叶级数展开的几何意义
01
傅里叶级数展开的几何意义是将一个周期函数表示为一系列正 弦函数和余弦函数的叠加。
收敛性的判定主要依赖于幂级数的系数和项数， 以及自变量 (x) 的取值范围。
02 泰勒级数展开
泰勒级数定义
泰勒级数定义
对于在某点的可微函数，可以表 示为在该点的n阶导数与n阶倒数 的无穷乘积，即f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+f''(a)(xa)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-
收敛性的判定通常基于三角函数的性质和函数的周期性，不同的函数可能 有不同的收敛条件和收敛速度。
04 拉格朗日插值法
拉格朗日插值法定义
拉格朗日插值法是一种通过已知的离 散数据点来构造一个多项式，并利用 该多项式对未知数据进行逼近的方法 。
该方法由意大利数学家约瑟夫·拉格朗 日于18世纪提出，是数值逼近理论中 的重要工具之一。
牛顿插值法的收敛性
牛顿插值法的收敛性是指当插值节点增加时，插值多项式的逼近效果会越来越好。具体来说，如果函 数在插值节点上取值的极限存在，则当插值节点趋于无穷时，插值多项式的极限就是该函数的极限。
然而，如果函数在插值节点上取值的极限不存在，则插值多项式的极限也不存在，此时插值多项式无 法逼近该函数。因此，在使用牛顿插值法时需要注意函数的性质和取值情况。
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函数的幂级数展开式的应用
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22 . 45
14
三、积分的近似计算
有些初等函数的原函数不能用初等函数 表示, 故其定积分就不能用牛顿--莱布尼茨 公式计算. 但如果这些函数在积分区间上能 能展开成幂级数, 则可利用幂级数逐项积分 性质来计算这些定积分.
7
函数的幂级数展开式的应用
例 计算 1 sin x dx 的近似值, 精确到104. 0x
在一般情况下泰勒公式比用拉格朗日估计误差的精度更好20sin函数的幂级数展开式的应用有些初等函数的原函数不能用初等函数故其定积分就不能用牛顿莱布尼茨但如果这些函数在积分区间上能表示公式计算
函数的幂级数展开式的应用
一、求极限
有些未定式的极限 可以用幂级数方法求出.
这种方法的优点是: 可以将极限过程中的主要、 次要成份表示得非常清楚.
x0 3! 5!
3! 6
1
函数的幂级数展开式的应用
由此例可看出: 在求极限时,为什么加、减项 的无穷小不能用其等价无穷小代换.
这里, sinx与其等价无穷小x相差高阶无穷小 1 x3 1 x5 .这个高阶无穷小不能与分子 的
3! 5!
第一项x 抵消,它在极限中是起作用的. 但如果将 sinx用x代换,则相当于将这个起作用的高阶无穷 小也略去了, 这显然是错误的.
解 被积函数 sin x 的原函数不能用初等函数表示.
x
由于x
=
0是
sin x
x
的可去间断点,
故定义
sin x lim sin x 1,这样被积函数在[0, 1]上 x x0 x0 x
连续. 展开sin x , 得 x
1sin
第五节函数的幂级数展开式
定理
n f ( x ) 函数 能展开成幂级数 a n x 的必要条 n0
件是 f ( x ) 在点 x 0 处有任意阶导数，且系数
f ( 0 ) f ( 0) , a2 , a0 f (0) , a1 1! 2!
f ( n ) ( 0) an n!
证略
f ( x)
( 1)
2! ( 1)( n 1) n x x ( 1, 1) n!
6
x
2
间接法求展开式: 利用已知展开式, 通过变量代 换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法, 求展开式 .
例1 将下列函数展开成 x 的幂级数.
(1) f ( x) e
n 0
f
( n)
(0) n f (0) f (0) 2 x f (0) x x n! 1! 2!
3
定理 函数 f ( x ) 能展开成幂级数
n a x n 的充分条件是 n 0
lim Rn ( x ) 0 ,
n
x D
其中 D 是幂级数
n 0
f ( n ) (0) n x 的收敛域， n!
16
n 1 ( 1) n n1 t , 5 t n 0 5
| t | 5
所以
n ( 1 ) 1 n1 ( x 1)n , 4 x n 0 5
收敛域 : x 1 5 , 即 x (4, 6) .
17
作业：P356
16: (1),(5) 17: (1)
n
解
f ( x ) ln(4 3 x x )
常用幂级数展开
常用幂级数展开常用幂级数展开幂级数是一种数学工具，用于将一个函数表示为无限项的多项式的形式。
它在数学分析、物理学和工程学等领域中广泛应用。
在实际问题中，我们经常需要对复杂的函数进行近似计算，而幂级数展开提供了一种有效的方法来实现这一目标。
1. 幂级数的定义幂级数是指形如∑(n=0 to ∞)an(x-a)n的无穷级数，其中a和x是实数或复数。
其中，an称为系数，a称为展开点。
2. 幂级数收敛性幂级数的收敛性与展开点x-a之间的距离有关。
当x-a在某个区间内时，幂级数可能会收敛；当x-a超出该区间时，幂级数可能会发散。
3. 常见的幂级数展开公式以下是一些常见函数的幂级数展开公式：- 指数函数：e^x = ∑(n=0 to ∞)(x^n/n!)- 正弦函数：sin(x) = ∑(n=0 to ∞)((-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!)- 余弦函数：cos(x) = ∑(n=0 to ∞)((-1)^n*x^(2n)/(2n)!)这些公式可以用于计算指数函数、正弦函数和余弦函数在某个展开点处的近似值。
4. 幂级数展开的应用幂级数展开在各个领域中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：- 物理学中的运动学问题：通过对位移、速度和加速度进行幂级数展开，可以得到近似解，从而简化运动学问题的分析。
- 工程学中的电路分析：通过对电流和电压进行幂级数展开，可以得到电路中各个元件的近似值，从而简化电路分析。
- 经济学中的财务分析：通过对收入和支出进行幂级数展开，可以得到财务指标的近似值，从而进行财务分析。
5. 幂级数展开的计算方法要计算一个函数的幂级数展开，通常有两种方法：- 直接计算法：根据函数的定义和性质，将其转化为一个已知函数或已知序列的形式，并利用已知序列的幂级数展开公式来计算。
- 微积分法：利用微积分中的导数和积分等运算规则，将函数表示为无穷项求和形式，并根据求导和积分公式逐项计算。
6. 幂级数展开的误差估计幂级数展开是一种近似方法，其结果与原函数之间存在误差。
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式摘要：1.幂级数展开式的概念与意义2.幂级数展开式的基本公式3.常见函数的幂级数展开式4.幂级数展开式的应用5.总结与展望正文：**一、幂级数展开式的概念与意义**在数学中，幂级数展开式是一种将函数表示为无穷级数的方法。
它通过将函数的自变量逐步代入，展开成一个无穷多项的级数，从而实现对函数的近似表示。
幂级数展开式具有重要的理论意义和实际应用价值，是数学、物理等领域研究的基础工具。
**二、幂级数展开式的基本公式**对于一个幂级数展开式，通常形式如下：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...其中，ai（i=0,1,2,...）为展开式各项的系数，x为自变量。
通过选择合适的级数项数，可以实现对函数f(x)的近似表示。
**三、常见函数的幂级数展开式**1.指数函数：e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...2.三角函数：sin(x) ≈ x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...cos(x) ≈ 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...3.多项式函数：f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ...+ zx + k其中，a、b、c...、k为多项式各项的系数，n为最高次数。
**四、幂级数展开式的应用**1.数值计算：在科学计算中，幂级数展开式可用于求解微分方程、积分等问题。
2.近似计算：在工程、物理等领域，通过幂级数展开式，可以对复杂函数进行近似表示，从而简化问题。
3.函数分析：在数学分析中，幂级数展开式是研究函数性质、求解方程等问题的有力工具。
**五、总结与展望**幂级数展开式是数学中一种重要的表示方法，它在理论研究和实际应用中具有广泛的应用。
掌握幂级数展开式的基本概念、公式和常见函数的展开式，有助于提高我们在各个领域中的计算能力和问题解决能力。
函数的幂级数展开及应用
f '(x0 )(x x0 )
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
(点处的泰勒级数展开式
若 x0 = 0 , 则上式为
f ( x) f (0) f '(0)x f (n)(0) xn
(2)
n!
(2) 称为函数 f (x) 的麦克劳林级数展开式
常用的泰勒级数展开式 ( 取 x0 = 0 ) (1) f (x) = e x 的展开式
下面考虑
(1
x)
?
1
(
1)(
n 1)xn
,
x (1,1)
n1
n!
对于任意的 x (-1 , 1)
记
S(x)
1
(
1)(
n
1)xn
,
n1
n!
S'(x)
(
1)(
n
1)
x
n1
n1
(n 1) !
(1 x)S'( x)
(
1)(
n
1)
(1
x )x n1
n1
(n 1) !
(
1)(
n
1)
x n1
x0 )n
则有
f (x) Sn(x) Rn(x)
故知:
f (x)
n0
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
lim
n
Sn
(
x)
f (x)
lim
n
Rn
(
x
)
0
定理
在点 x 处
f (x)
n0
f
(n)( x0 ) n!
高等数学 第十一章 无穷级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用
1 2 = (1 x + 2!
x 2n + ( 1)n + ( 2n)!
1 3 + i( x x + 3!
x 2 n +1 + ( 1)n + ( 2n + 1)!
cos x
)
sin x
= cos x + i sin x .
∵ e ix = cos x + i sin x
又 ∵ e ix = cos x i sin x
x2
解法
被积函数 被积函数
定积分的近似值 定积分的近似值
展开成幂级数 展开成幂级数
逐项积分 逐项积分
sin x 例3 计算 ∫ dx 的近似值 , 精确到10 4. 0 x
1
sin x 1 2 1 4 1 6 x ∈ ( ∞ ,+∞ ) 解 ∵ = 1 x + x x + x 3! 5! 7! 1 sin x 1 1 1 ∫0 x dx = 1 3 3! + 5 5! 7 7! + 收敛的交错级数 1 1 < < 10 4 , 第四项 7 7! 3000
取前三项作为积分的近似值,得
sin x 1 1 ∫0 x dx ≈ 1 3 3! + 5 5! ≈ 0.9461
1
三,求数项级数的和
1.利用级数和的定义求和:
(1)直接法;
∞
(2)拆项法;
(3)递推法.
1 例4 求 ∑ arctan 2 的和. 2n n =1
解
1 1 + 1 1 2 8 = arctan 2 , s2 = arctan + arctan = arctan 1 1 2 8 3 1 2 8
第九讲 幂级数展开的例
泰勒级数
初等函数的幂级数展开式
第九讲 幂级数展开的例
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
§2函数的幂级数展开
泰勒级数
初等函数的幂级数展开式
例8 求 (1 x)ln(1 x) 在 x 0 处的幂级数展开式.
解 利用ln(1 x)
(1)n1
x
n
，x
(
1,1],
.
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
§2函数的幂级数展开
泰勒级数
初等函数的幂级数展开式
估计余项:
0
Rn
2
1 2n
1
1 32n1
1 2n
3
1 32n3
(2n
2 1)
32n1
1
1 32
1 34
(2n
2 1)
32n1
1
1
1 32
1 4(2n 1) 32n1 ,
取n = 4,
0.5
‐2
‐1
O
1
2x
‐0.5
n1
‐1
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
复习思考题
1. 设幂级数 an xn 在( R, R)的和函数为 f ( x)，问 n0
f ( x)在 x 0处的幂级数展开式是什么?
2. 设函数 f ( x)在( R, R)上的幂级数展开式为
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
得
n1
n
ln(1 x)
x
n
，x
[
1,1)
n1 n
xn
因此 (1 x) ln(1 x) (1 x)(
幂指函数极限的计算
毕业论文题目: 幂指函数极限的计算学院: 数学与信息科学学院姓名: 何晓岭指导教师: 魏喜凤幂指函数极限的计算【摘要】函数极限就是《数学分析》中的一个重点知识,也就是微积分学的基础,因此,掌握好函数极限的求解方法就是学好《数学分析》的关键、而在函数极限的计算中,有关幂指函数极限计算的题目类型多、难度大且灵活多变、为此,首先给出了幂指函数的定义,其次讨论幂指函数确定式(B A型)与不确定式(00型、1∞型、0∞型)的极限问题,最后整理总结了幂指函数极限的计算方法,并通过实例说明这些方法的实用性、【关键词】幂指函数;极限;确定式;不确定式;计算方法The Calculation of the Power Exponent Function Limit 【Abstract】The limit function is a key knowledge of mathematical analysis, and calculus based, therefore, it is important for the learning of mathematical analysis to master the methods of solving the limit of function 、But in the calculation of the function limit, the subjects of calculation about power exponent function are various,difficult and flexible、so, we first give the definition of the exponential function, followed by a discussion of limit problem of power exponent function to determine the type and uncertain type, finally summarize the methods of power exponential function limit, and explain the practicability of these methods by actual examples、【Key Words】power exponent function; limit; determine type; uncertain type; methods to solve problem目录1引言 (1)2 幂指函数的定义 (1)2、1指数函数 (1)2、2幂函数 (1)2、3幂指函数 (1)3幂指函数的极限 (1)3、1确定式 (3)3、2不确定式 (3)4 幂指函数极限的计算方法 (3)4、1直接法 (3)4、2重要极限 (4)4、3对数解法 (5)4、4等价无穷小代换 (8)5 结论 (9)参考文献 (9)致谢 (11)1引言函数极限问题就是《数学分析》中的一个重点知识,就是微积分学的基础,因此,掌握好函数极限的求解方法就是学习中的关键一环,使许多问题得以解决、其中,幂指函数极限的计算就是难点,因为幂指函数的运算题目类型多,而且技巧性强、灵活多变,对于幂指函数求极限问题,许多学生不能对各种题型加以区分从而找不到快速正确的解题方法,影响做题的正确性、分析发现,这一问题的原因就是许多学生对幂指函数的概念与定理理解不深刻,把幂指函数与幂函数、指数函数混为一谈,对题目中出现的题型及解题方法没有整理总结找到其中的解题技巧、因此,对幂指函数极限的计算问题,有必要给出幂指函数的定义、讨论幂指函数极限的类型并对解题方法进行整理总结,让更多的学习者很好地认识幂指函数,增强对求极限的多种技能技巧的理解与合理运用求极限技巧的能力,从而提高解题的正确性及效率,提高分析问题的能力与解决问题的能力、2 幂指函数的定义2、1指数函数一般地,形如函数(0,1)xy a a a =>?叫作指数函数,其中x 就是自变量,定义域为R 、2、2 幂函数一般地,形如函数()y x x R α=∈叫作幂函数,其中x 就是自变量,定义域为(0,)+?、 2、3 幂指函数设()u x 、()v x 就是定义在区域D 上的两个函数,形如()()v x y u x =的函数叫作区域D 上的幂指函数,其中()0u x >、以上给出指数函数、幂函数以及幂指函数的定义,目的就是更好地理解幂指函数,不能将幂指函数与指数函数、幂函数混为一谈,幂指函数具有幂函数与指数函数的两重特性、3 幂指函数的极限对自变量0,x x x →→∞情形下的幂指函数()()v x y u x =的极限问题进行探讨:求幂指函数的极限时,因为()0u x >,可以把它改写为指数函数()()ln ()()v x v x u x y u x e ==,再由指数函数的连续性即知幂指函数的极限lim (()ln ())()()ln ()lim ()lim x x v x u x v x v x u x x x x x u x e e →→→==,其中假设所写出的极限存在、这样,就把求幂指函数的极限0()lim ()v x x x u x →转化为求极限0lim(()ln ())x x v x u x →、所以,很自然地考察0lim ()x x u x →与0lim ()x x v x →,而对于极限0lim ()x x u x →与0lim ()x x v x →,若至少有一个不存在(不包括极限为无穷的情况),则幂指函数()()v x y u x =的极限问题极为复杂,且在实际问题中几乎不出现,没有其研究意义、因此,假设0lim ()0x x u x A →=≥, 0lim ()x x v x B →=(包括A 、B 为无穷的情形)、下面,将给出讨论:（1）01,A B <<≠∞; 则0()lim ()v x B x x u x A →=、(2) 01,A B <<=∞; 则0()0,,lim (),,B v x Bx x B A B u x B A B →⎧=+∞=+∞⎧⎪==⎨⎨+∞=-∞=-∞⎪⎩⎩、 (3)1,A B =≠∞; 则0()lim ()11v x B B x x u x A →=== 、(4)1,A B ==∞时,0()lim ()v x x x u x →就是不确定式、(5)1,A B <<+∞≠∞; 则0()lim ()v x B x x u x A →=、(6)1,A B <<+∞=∞; 则0(),,lim ()0,,Bv x B x x B A B u x B A B →⎧+∞=+∞=+∞⎧⎪==⎨⎨=-∞=-∞⎪⎩⎩ 、 (7),0A B =+∞=时, 0()lim ()v x x x u x →就是不确定式、(8),0A B =+∞<<+∞时, 0()lim ()v x B x x u x A →= 、,0A B =+∞-∞<<时, 0()lim ()v x B x x u x A →=、(9) ,A B =+∞=+∞; 则0()lim ()v x B x x u x A →=+∞=、(10),A B =+∞=-∞; 则0()lim ()0v x B x x u x A →==、(11)0,0A B =<<+∞时,0()lim ()0v x B x x u x A →==、0,0A B =-∞<<时,0()lim ()v x B x x u x A →=+∞=、(12)0,A B ==+∞; 则0()lim ()00v x B x x u x A +∞→=== 、(13)0,A B ==-∞; 则0()lim ()0v x B x x u x A -∞→==+∞=、(14)0,0A B ==时,0()lim ()v x x x u x →就是不确定式 、上述情况(4)记作1∞ 型、(7)记作0∞ 型 、(14)记作00 型,1∞ 型、0∞ 型、00 型三种形式为幂指函数极限问题的不确定式,其余情况为幂指函数极限问题的确定式、自变量x →∞时,幂指函数的极限类型与0x x →的极限类型有相同的情况,就不再列出、注1 若A 为小于1的非负数,而B 为无穷时,则极限0()lim ()v x x x u x →并不就是不确定式、 其中包括易误认为就是不定式的0∞型,因为,当指数趋于无穷大时有00+∞=,而当指数趋于负无穷大时有0-∞=+∞ 、注 2 对于幂指函数()()v x y u x =的不确定式极限问题,它的底数部分()u x 与指数部分()v x 的极限过程就是同步进行的,也就就是说,它就是一个整体的极限,而不能简单地理解为其底函数部分与指数函数部分分别单独求极限,更不能有求极限的先后次序、4 幂指函数极限的计算方法 4、1直接法直接法求极限主要用于幂指函数极限的确定式类型、当幂指函数的底数部分与指数部分二者的极限都存在,且底函数()u x 的极限大于零时,即当lim ()0x x u x A →=> ,0lim ()x x v x B →=(B 为正常极限)时,则利用指数函数的连续性得lim ()()lim ()(lim ())x x v x v x B x x x x u x u x A →→→== 、有一道求极限的问题121lim()3x x x x -→∞++ ,如果对底数部分与指数部分分别求极限11lim 1,lim 32x x x x x →∞→∞+-==∞+ ,则由1的任何次幂都等于1得121lim()113x x x x-∞→∞+==+的解法就是错误的、错误之一在于对幂指函数底数与指数部分分别求极限,不理解只有当0lim ()0x x u x A →=>,0lim ()x x v x B →=(B 为正常极限)时,才可以用直接法求极限,错误之二在于认为不管幂的值α为多少都有11α=,其实,1的任何次幂都等于1指的就是1的有限次幂、下面结合实例理解直接法求幂指函数的极限:例4、1、1 求极限01lim(2x x x→++ 、解 因为011lim022x x x →+=>+ ,01lim 11x x →-=- 为正常极限 ,所以用直接法就得到极限011lim(22x x x →+=+、例4、1、2 求极限 11lim(2x x x→++ 、解 因为112lim023x x x →+=>+ ,1111lim 12x x x →→==-为正常极限,所以用直接法就得到极限11lim(2x x x →+=+、4、2重要极限利用重要极限求极限主要针对幂指函数极限问题的不确定式1∞型、(1)1lim(1)x x e x→∞+= (4、2、1)等价于同时成立以下两个极限:1lim (1)x x e x→+∞+=1lim (1)x x e x→-∞+=(2)将(4、2、1)可变型为:1lim(1)xx x e →+= (4、2、2)(3)在(4、2、1)的基础上可以用下列方法解决许多1∞型的不确定式问题,就就是对于lim ()0,lim ()xaxaf xg x ==?的情况,有1lim (()())()()()()lim(1())lim[(1())]x af xg x g x f x f x g x xaxaf x f x e®+=+= (4、2、3)于就是只要计算lim(()())x af xg x → 即可、例4、2、1 求极限101lim()1x x x x→+- 、解 这就是一个1∞型不确定式极限,可用重要极限求解, 将1()1x f x x +=- 化为2()11x f x x =+- ,则指数部分需出现12xx- , 所以利用重要极限得1122210012lim()lim(1)11x x x x x x x x e x x-⋅-→→+=+=--、 例4、2、2 求极限2221lim()1x x x x →∞+- 、解法1 将括号内的分子分母同时除以2x 后即可利用(4、2、1)如下求极限:22122222111lim()lim(1)(1)1x x x x x e e e x x x→∞→∞+=+-=⋅=- 、 解法2 这就是一个1∞型不确定式极限,用(4、2、3)的方法就得到222222lim 212212lim()lim(1)11x x x x x x x x e e x x →∞-→∞→∞+=+==--、 4.3 对数解法对幂指函数()()(()0)v x y u x u x =>,等式两边可以同时取对数,便得到()ln ln(())()ln ()v x y u x v x u x == ,通过求ln y 的极限0lim ln lim(())ln ()x x x x y v x u x →→= ,便可以得到幂指函数的极限0lim ln ()ln lim ()lim x x yv x yx x x x u x ee→→→==、对数解法解决幂指函数极限的不确定式00型、1∞型、0∞型,这三种不确定式极限一般经过对数变换后,均可化为00型或∞∞型的不定式极限,我们在题目中解决不定式极限00型、∞∞型用到更多的方法就是洛必达法则、我们在转化为00型或∞∞型不定式极限后利用洛必达法则求极限时,应注意以下几点内容:定理4、3、1【1】若函数()f x 与()g x 满足: (ⅰ)0lim ()0lim ()0x x x x f x g x →→=== ;(ⅱ)()f x 与()g x 在0x 的某空心邻域0()U x o 内可导,且()0g x '≠ ;(ⅲ)0()lim ()x x f x A g x →'=' (A 可为实数,也可为∞ )则 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'==' 定理4、3、2【1】 若函数()f x 与()g x 满足: (ⅰ)0lim ()lim ()x x x x f x g x ++→→=∞==∞(ⅱ)()f x 与()g x 在0x 的右邻域0()U x +o 内可导,且()0g x '≠ (ⅲ)0()lim()x x f x A g x →'=' (A 可为实数,也可为,±∞∞ ) 则 0()()lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x ++→→'==' 以上以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛必达法则、 注1 在定理4、3、1中,如果0()lim()x x f x g x →''仍就是00型不定式极限,只要有可能,我们可再次利用洛必达法则,即考察极限0()lim()x x f x g x →''就是否存在,这时()f x ' 与()g x ' 在0x 的某邻域须满足相应的条件【1】、定理4、3、2中,若有可能,也可再次利用洛必达法则、注 2 由洛必达法则条件的充分性可得,若极限0()lim()x x f x g x →''不存在,并不能说明0()lim()x x f x g x → 存在,在利用洛必达法则求极限时若遇到此类情况,我们应另找其她的方法来求极限、注 3 不能对任何比式极限都按洛必达法则求解,首先必须注意它就是不就是不定式极限,其次瞧就是否满足洛必达法则的其她条件【1】、注 4 在利用洛必达法则之后,如果题目变得越来越复杂,则说明题目不适合用洛必达法则求极限,我们应分析题目,寻找其她合适的方法、例4、3、1 求极限1ln 0lim (sin )kxx x ++→ (k 为常数)、解 这就是一个00型不确定式极限, 令1ln (sin )kxy x +=,两边取对数,得1ln ln sin ln ln[(sin )]1ln k xk xy x x+==+ ,0ln sin lim 1ln x k x x +→+就是∞∞型不定式极限,由 0000cos ln sin sin lim ln lim limlim cos 11ln sin x x x x k xk x x x y k x k x xx++++→→→→===⋅=+ ,(洛必达法则) 得到 0lim ln ln 1ln 0lim(sin )lim lim x k yyk xx x x x y e ee +→++++→→→====(0,k k ≠为常数)、当0k =时上面所得的结果仍然成立、例4、3、2 求极限xx xx cos 110)sin (lim -→、 解 这就是一个1∞型不确定式极限,令xxx y cos 11)sin (-=,两边取对数,得1sin ln ln 1cos x y x x =-, 因为0x →时,2~cos 12x x -,所以 2000sin sin lnlnlimln lim lim 1cos 2x x x x xx x y x x →→→==- , 20sin lnlim2x x x x → 就是00型不定式极限,下一步可用洛必达法则,由 2200x cos sin sin lnsin lim lim 2x x x x x x x x x x x →→-⋅= 20xcosx sin lim sin x x x x →-= 30cos sin lim x x x x x →-=20-sin lim 3x x x x →=13=- 得到31cos 110)sin (lim --→=e xx x x 、 例4、3、3 求极限x x x x ln 12)1(lim +++∞→、解 这就是一个0∞型不确定式极限,令1ln ()x y x = ,两边取对数,得1ln ln ln(x y x ==,ln(lim ln x x x →+∞+就是∞∞型不定式极限由ln(lim lim 1ln x x x xx →+∞→+∞+==,(洛必达法则) 得到1lim ln ln ln lim ()lim lim x y y x x x x x y e e e →+∞→+∞→+∞→+∞+====、4、4等价无穷小代换定理4、4【7】 设()u x 与()v x 为0x 去心邻域内的连续函数,()u x 、()v x 均就是变化过程0x x →时的无穷小量并且()~()u x x α、()~()v x x β,则有00()()lim ()lim ()v x x x x x x u x x βα→→=、 推论1 设()u x 与()v x 为0x 去心邻域内的连续函数,()u x 就是变化过程0x x →时的无穷小量并且()~()u x x α,则有00()()lim ()lim ()v x v x x x x x u x x α→→=、 推论2 设()u x 与()v x 为0x 去心邻域内的连续函数,()v x 就是变化过程0x x →时的无穷小量并且()~()v x x β,则有00()()lim ()lim ()v x x x x x x u x u x β→→= 、 例4、4、1 求极限x x x tan 0)(sin lim +→、解 00lim sin 0,lim tan 0x x x x ++→→== ,此问题为00 型不确定式极限, 因为x x x x ~tan ,~sinx 0时，+→,所以由定理4、4,tan 00lim(sin )lim x x x x x x ++→→=, 令x y x = ,两边取对数,得ln ln ln 1x y x x x== , 由00ln lim ln lim 01x x x x x x++→→== ,得到 0lim ln tan 00lim(sin )1x y x x x e e +→+→===、 例4、4、2 求极限sin 01lim ()x x x+→ 、 解 001lim ,lim sin 0x x x x ++→→=+∞= ,此问题为0∞ 型不确定式极限, 因为0x +→时,sin ~x x ,所以由推论2,sin 0011lim()lim()x x x x x x++→→=, 令1()x y x= ,两边取对数,得ln ln ln 1x y x x x=-=- , 由 00ln lim ln lim 01x x x x x x++→→-=-= ,得到 sin 01lim ()x x x +→=1、 等价无穷小代换应用到幂指函数极限的计算时,通常会结合洛必达法则及对数法,使得计算快捷简便、注: 当0→x 时,有下列常用的一组等价无穷小:x x ~sin ; x x ~tan ; x x ~arcsin ;x x ~arctan ; x e x ~1-; x x ~)1ln(+; 2~cos 12x x -; a x a x ln ~1-; n x x n ~11-+; x x αα~1)1(-+ 、5 结论通过对幂指函数与指数函数、幂函数概念上的对比分析,对幂指函数极限类型的归纳总结以及对计算方法的整理分析,我们更好地认识了幂指函数,对其每一极限类型适用的计算方法也已经掌握,对以后的学习会有很大的帮助、但值得我们注意的就是,在求解幂指函数的极限时,题目中不可能只会用到一种计算方法,计算过程中可能会用到几种方法,比如说例4、4、1、例4、4、2用到等价无穷小代换与对数解法,我们在求解时应该对每一步仔细分析,掌握计算的技巧,找到正确快速的解题方法、参考文献[1]华北师范大学数学系、数学分析(上册)[M]、第三版、北京:高等教育出版社,2001:56-131、[2]邵剑,李大侃、高等数学专题梳理与解读[M]、上海:同济大学出版社,2008:37-38、[3]沐定夷、谢惠民、吉米多维奇数学分析习题集学习指引(第一册)[M]、北京:高等教育出版社,2010:116-118、[4]裴礼文、数学分析中的典型问题与方法[M]、北京:高等教育出版社,2001、[5]冯加才、幂指函数的极限问题[J]、焦作工学院学报,1999,18(5)、[6]康佳鑫、浅谈应用洛必达法则求不定式极限[J]、哈尔滨师范大学自然科学学报,2015,31(2)、[7]陈茜,舒慧颖、浅谈幂指函数的极限问题[J]、衡水学院学报,2011,13(4)、[8]钱吉林、数学分析题解精粹[M]、第二版、湖北:湖北辞书出版社,2003、致谢这篇文章包含了许多老师与同学的宝贵建议,同时也有来自参考著作中的启示,如高等教育出版社出版的数学分析、冯加才老师的幂指函数的极限问题等,还要感谢我的指导老师——魏老师的亲切关怀与悉心指导,她严谨的科学态度、精益求精的工作作风,深深地感染与激励着我从课题的选择到论文的最终完成,魏老师都始终给予我细心的指导与不懈的支持,在此谨致以诚挚的谢意与崇高的敬意、。
常用的级数展开公式
常用的级数展开公式级数展开公式是一种将一个函数表达为无限级数的方法，它在数学和物理学中起着重要的作用。
以下是一些常用的级数展开公式。
1.幂级数展开幂级数展开是将一个函数表示为幂函数的级数形式。
一个函数f(x)在x=a处展开为幂级数的展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...2.泰勒级数展开泰勒级数展开是幂级数展开的一种特例，它以x=a处的函数值和各阶导数来表示函数的展开式。
泰勒级数展开的展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...3.麦克劳林级数展开麦克劳林级数展开是泰勒级数展开的一种特殊情况，即以x=0处的函数值和各阶导数来表示函数的展开式。
麦克劳林级数展开的展开式为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...4.三角函数级数展开三角函数的级数展开是将三角函数表达为正弦和余弦函数的级数形式。
例如，正弦函数的展开式为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...5.指数函数级数展开指数函数的级数展开是将指数函数表达为幂函数的级数形式。
例如，指数函数的展开式为：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...6.对数函数级数展开对数函数的级数展开是将对数函数表达为幂函数的级数形式。
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...7.二项式定理二项式定理是将一个二项式表达式展开为幂函数的级数形式。
二项式定理的展开式为：(x+y)^n=C(n,0)x^n+C(n,1)x^(n-1)y+C(n,2)x^(n-2)y^2+...+C(n,n)y^n这些是常见的级数展开公式，展开式可根据需要进行截断或适当的近似处理。
[大全]常用函数的幂级数展开式
![[大全]常用函数的幂级数展开式](https://img.taocdn.com/s3/m/02d4a537182e453610661ed9ad51f01dc3815759.png)
目录上页下页返回结束内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法—利用泰勒公式;(2) 间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式x e ∙1=),(∞+-∞∈x )1(ln x +∙x =]1,1(+-∈x x +2!21x +,!1+++n x n 221x -331x + +-441x 11)1(++-+n n x n +式的函数.目录上页下页返回结束++-++!)12()1(12n x n n x sin ∙x =!33x -!55x + +-!77x x cos ∙1=!22x -!44x + +-!66x +-+!)2()1(2n x nn m x )1(+∙1=x m +2!2)1(x m m -++ ++--+n x n n m m m !)1()1(当m = –1 时x+11,)1(132 +-++-+-=n n x x x x ),(∞+-∞∈x ),(∞+-∞∈x )1,1(-∈x )1,1(-∈x目录上页下页返回结束四、物体的转动惯量设物体占有空间区域Ω, 有连续分布的密度函数.),,(z y x ρ该物体位于(x , y , z ) 处的微元vz y x y x d ),,()(22ρ+因此物体对z 轴的转动惯量:⎰⎰⎰+=Ωρzy x z y x y x I z d d d ),,()(22=z I d OxyzΩ对z 轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算.目录上页下页返回结束类似可得:⎰⎰⎰=Ωρz y x z y x I x d d d ),,( ⎰⎰⎰=Ωρz y x z y x I y d d d ),,( ⎰⎰⎰=Ωρzy x z y x I O d d d ),,( )(22z y +)(22z x +)(222z y x ++对x 轴的转动惯量对y 轴的转动惯量对原点的转动惯量目录上页下页返回结束如果物体是平面薄片,面密度为D y x y x ∈),(),,(μ⎰⎰=Dx y x y x I d d ),( μ⎰⎰=DO y x y x I d d ),(μ则转动惯量的表达式是二重积分.xDyO2y 2x )(22y x +⎰⎰=Dy y x y x I d d ),(μ目录上页下页返回结束r r a d d sin 03π2⎰⎰=θθμ例7.求半径为a 的均匀半圆薄片对其直径解: 建立坐标系如图,⎩⎨⎧≥≤+ 0:222y a y x D y x y I Dx d d 2⎰⎰=∴μ⎰⎰=Dr r θθμd d sin 23⋅=441a μ241a M =半圆薄片的质量μ2π21a M =2π212⋅⋅的转动惯量.OxyDa-a目录上页下页返回结束)sin sin cos sin (222222θϕθϕρΩr r +=⎰⎰⎰解:取球心为原点, z 轴为l 轴,,:2222a z y x ≤++Ω则=z I ⎰⎰⎰+Ωρz y x y x d d d )(22⋅=5π52a ρM a 252=θϕϕd d d sin 2r r ⋅1322⋅⋅⎰=π20d θρ球体的质量ρ3π34a M =ϕϕd sin π03⎰rr a d 04⎰例8.求密度为ρ的均匀球体对于过球心的一条轴l 的设球所占域为(用球坐标)lOzxy转动惯量.。
七个常用幂级数展开式
七个常用幂级数展开式幂级数展开式是由无限正整数幂按从小到大序列构成的无限级数，用符号表示为：若给定一个函数 f(x)，它含有一个数 x，那么在任意给定的点x=a我们可以用无穷个幂级数展开式来表示它，具体形式为：f(x) = a + a(x - a) + a(x - a) + a(x - a) + a(x - a) +…其中a、a、a、a、a等分别是f(x)的系数，而a可以为任意数。
在数学中，有七个常用的幂级数展开式。
下面简单介绍一下每个幂级数展开式的基本特征。
（1）指数级数展开式：指数级数展开式是指一个函数f(x)可以用指数形式表示，其数学表达式如下：f(x) = a + ae^x + ae^(2x) + ae^(3x) + ae^(4x) +…指数级数展开式的拟合能力非常强，尤其是在x非常小的情况下。
（2）线性级数展开式：线性级数展开式也叫多项式函数，其数学表达式如下：f(x) = a + ax + ax + ax + ax +…线性级数展开式是一种最简单的幂级数展开式，其展开形式与指数级数展开式不同，它只含有一个变量，且系数仅有一个未知常数。
（3）正弦级数展开式：正弦级数展开式是根据正弦函数（sin x）的拓展而得到的级数，其数学表达式如下：f(x) = a + asin x + asin(2x) + asin(3x) + asin(4x) + ...正弦级数展开式的非常强的拟合能力可以用来分析并解释许多实际的数据，例如地理数据、医疗数据、经济数据等。
（4）余弦级数展开式：余弦级数展开式也叫余弦函数，它是根据余弦函数（cos x）来拓展的，其数学表达式如下：f(x) = a + acos x + acos(2x) + acos(3x) + acos(4x) +…余弦级数展开式跟正弦级数展开式类似，但它可以表示一些平稳变化的趋势和抖动性变化的趋势。
（5）正切级数展开式：正切级数展开式是根据正切函数（tan x）的拓展而得到的，其数学表达式如下：f(x) = a + atan x + atan(2x) + atan(3x) + atan(4x) +…正切级数展开式可以用来分析类似单项式函数的复杂函数，并可拟合有数据背景的正弦函数和余弦函数。