用幂级数展开式求极限Word版
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用幂级数展开式求极限
极限理论是微积分理论的基础，极限是一个非常重要的概念，它是深入研究一些实际问题的重要工具．求函数极限的方法很多，幂级数法是其中之一．
例1 求极限21
lim[ln(1)]x x x x
→∞-+．
解 因为
212111111
ln(1)(1)()23n n x x x x n x
---+=-⋅+⋅⋅⋅+-⋅⋅+⋅⋅⋅，
所以
22111111
ln(1)(1)()23n n x x x x n x
--+=-⋅+⋅⋅⋅+-⋅⋅+⋅⋅⋅，
因此
21
lim[ln(1)]x x x x
→∞-+ 211111
lim[(1)()]23n n x x n x -→∞=-⋅++-⋅⋅+
2
1=． 例2 利用幂级数展开式，求极限30sin lim tan x x x
x
→-．
解 由于x sin 在0=x 处的幂级数展开式为
3521sin (1)3!5!(21)!
n n
x x x x x n +=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+，x -∞<<+∞
又当0→x 时，tan ~x x ，因此
35
33
00()sin 1
3!5!lim lim 6
tan x x x x x x x x x x →→--+-
-==
． 例3 求极限2242lim()333
n n n
→∞++⋅⋅⋅+．
解 设
2242333
n n n S =
++⋅⋅⋅+， 作幂级数1
23n
n n n x ∞
=∑
，设其和函数为()S x ，即 12()3
n
n
n n S x x ∞
==∑
，
由
12
1
1
(1)
n n nx x ∞
-==
-∑，1x < 得
11
1)3(3232)(-∞=∞
=∑∑==n n n n n x n x x n x S 221
3(1)3
x x =-，13x < 由此可得
23
)3
11(1323
2)1(2
1=-==∑
∞
=n n
n S ， 因此
22423
lim()33
32
n
n n →∞+++
=．