江苏省徐州一中、兴化中学、致远中学、南京十三中2021届四校联合第三次适应性考试数学试卷
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确的是
A．函数 y f (x) 的图象关于点 ( π ,0) 对称 3
B．函数 y f (x) 的图象关于直线 x 5π 对称 12
C．函数
y
f
(x) 在
2π 3
,
π 6
单调递减
D．该图象向右平移 π 个单位可得 y 2sin 2x 的图象 6
11．如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2， M 为 DD1 的中点， N 为正方形 ABCD
测呈阳性相互独立，且概率均为 p(0＜p＜1) ．该家庭至少检测了 4 人才能确定为“感染高危
户”的概率为 f ( p) ，当 p p0 时， f ( p) 最大，此时 p0
A． 15 5
B． 5 5
C．1 15 5
D．1 5 5
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
AMB 90 ，则直线 l 的方程为 ▲ ．
14．已知四面体 ABCD 满足：AB BC CD DA AC 1，BD 2 ，则四面体 ABCD 外
接球的表面积为 ▲ ． 15．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数性质直观地 从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．如图所示的 杨辉三角中，从第 3 行开始，每一行除 1 以外，其他每一个数字 都是其上一行的左、右两个数字之和．若在杨辉三角中存在某一 行，满足该行中有三个相邻的数字之比为 4 : 5: 6 ，则这一行是第 ▲ 行．
数之比为1 : 2.28 ，由此可计算得 C60 中两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值为
▲ ．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 10 分）在① B 2C ，② sin A sin B sin C ，③ csin B 3这三个条件中任 选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，
16．如图， C60 是一种由 60 个碳原子构成的碳原子簇，其结构是以正五边形和正六边形组成
的凸 32 面体，则 C60 结构中正六边形个数为 ▲ ．这 60 个 C 原子在空间进行排列时， 形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也被称为足球
烯．根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角 0 180
y2 b2
1 (a
0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1(1,0) ，
F2 (1,0)
．经过点 F1 且倾斜角为
(0
π) 2
的直线 l
与椭圆
交于
A, B 两点（其中点
A在 x
轴上方），△ABF2 的周长为 8．
折
折
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，将平面 xOy 沿 x 轴折叠，使 y 轴正半轴和 x 轴所确定的半平面（平面 AF1F2 ）与 y
徐州一中 兴化中学 致远中学 南京十三中
2021 届四校联合第三次适应性考试
高三数学
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求． 1．本试卷共 6 页，包含选择题（第 1 题～第 12 题，共 12 题）和非选择题（第 13 题～第 22 题，共 10 题）两部分．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．考试结束后，请将本试 卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答 题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题（第 1 题～第 12 题），必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂 黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题（第 13 题～第 22 题）， 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
a ， PM F2M
3 ，则
双曲线的渐近线方程为
A． y 3 x 4
B． y 4 x 3
C． y 3 x 5
D． y 5 x 3
8．新型冠状病毒肺炎（COVID－19）疫情爆发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗争的 初步胜利．面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查， 过程中排查到一户 5 口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该 5 名成员逐一 进行核酸检测．若任一成员出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”．设该家庭每个成员检
8
8
t xi x 2 ti t 2 zi z xi x yi y ti t
i 1
i 1
i 1
i 1
25 2.89 646
168
422688
48.48
70308
表中 zi
ln yi ； z
1 8
8
zi ； ti
i 1
xi2 ； t
1 8
8 i 1
ti
；
（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
说明理由．
问题：是否存在 △ABC ，它的面积为 S ，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 b 5 ， 8S (a b)2 c2 ，__________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分 12 分）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵
n
ivi nv
最小二乘估计分别为 ˆ
i 1 n
，ˆ v ˆ ．
i2 n 2
i 1
19．（本小题满分 12 分）已知数列an 的前 n 项和 Sn 满足 2Sn nan 3n (n∈N*)，且 a2 5．
（1）证明：数列an 为等差数列，并求其通项公式；
（2）设 bn an
1 an1 an1
A．1, 2
B．0,1, 2
C．x 0 x 2 D．x 1 x 3
2．复数 z1 cosx isinx ， z2 sinx icosx ，则 z1 z2
A．1
B．2
C．3
D．4
3．某班 45 名同学都参加了立定跳远和 100 米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和 100 米
跑合格的人数分别为 30 和 35，两项都不合格的人数为 5．现从这 45 名同学中按两项测试分
数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数 y （个）和温度 x（℃）的 8 组观测数据，制成 图 1 所示的散点图．现用两种模型① y ebxa ，② y cx2 d 分别进行拟合，由此得到相应
的回归方程并进行残差分析，进一步得到图 2 所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
xz
8
8
轴负半轴和 x 轴所确定的半平面（平面 BF1F2 ）互相垂直．
①若
π 3
，求异面直线
AF1 和 BF2 所成角的余弦值；
②是否存在
(0＜＜
π) 2
，使得折叠后 △ABF2
的周长为 15 2
？若存在，求
tan
的值；若不存
在，说明理由．
（2）根据（1）中所选择的模型，求出 y 关于 x 的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位
小数），并求温度为 34℃时，产卵数 y 的预报值．
参考数据： e5.41 224 ， e5.50 245， e5.59 268 ．
附：对于一组数据 (1, v1) ， (2, v2 ) ，…， (n , vn ) ，其回归直线 vˆ ˆ ˆ 的斜率和截距的
an
，Tn 为数列bn 的前 n 项和，求使Tn
3 成立的最小正整数 10
n 的值．
20．（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 S ABCD 中，AB//CD ，AD AB ，SA DC ，SB AC ， CD 2AB 2AD 2 ， SD 3 ， SE 2EB ． （1）证明： SD// 平面 AEC ； （2）求点 A到平面 BEC 的距离．
门广场的纬度为北纬 395427 ，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为 9.57 米，则该天
的太阳直射纬度为
A．北纬 5533 B．南纬 5533 C．北纬 55427 D．南纬 55427 5．已知函数 f (x) xsin x ln | x | ，则 y f (x) 的大致图象为
6．已知 m
满足 cos ( 3 cos2 1) ( 5 cos3 3 cos ) 0 ，式中 ， ， ， 分别为杂
2
22
2
化轨道中 s ， p ， d ， f 轨道所占的百分数．已知 C60 中的杂
化轨道为等性杂化轨道，且无 d ， f 轨道参与杂化，碳原子
杂化轨道理论计算值为 sp2.28 ，它表示参与杂化的 s ， p 轨道
（命题：兴化中学高三数学组 徐州一中高三数学组 审核：南京十三中高三数学组 致远中学高三数学组）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．设集合 M＝x R 0 x 2 ， N x N 1 x 3，则 M N
所在平面内一动点，则下列结论正确的是 A．若 MN＝2，则 MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为π B．若 N 到直线 BB1 与直线 DC 的距离相等，则 N 的轨迹为抛物线 C．若 D1N 与 AB 所成的角为 60°，则 N 的轨迹为双曲线 D．若 MN 与平面 ABCD 所成的角为 60°，则 N 的轨迹为椭圆 12．甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任 取一个球交换放入另一口袋，重复 n(n∈N*)次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn，则下列结论正确的是
A．
p2
16 27
， q2
7 27
B．数列{2 pn qn 1} 是等比数列
C．
X
n
的数学期望
E
(
X
n
)
1
(
1) 3
n
(n
N*)
D．数列{ pn}的通项公式为
pn＝
pn
3 10
(
1)n 9
1 2
(1)n 3
Βιβλιοθήκη Baidu
1 5
(n
N*)
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知点 M (1, 2) 和抛物线 C： y2 4x ，过 C 的焦点 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，若
目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
9．在 ABC
中，
AB
2，
AC
1，
AB
AC
2AP ，则下列结论正确的是
A． PB PC 0
B． PB PC 0
C．
PB
1
AB
1
AC
22
D．
AP
BP
3
4
10．已知函数 f (x) Asin(x )( A 0, 0, π) 的部分图象如图所示，则下列结论正 2
2 ln
，n
2 ，
ln 1
p
2
2 ln
，则
A． n m p
B． p n m
C． m n p
D． n p m
7．已知 F1 、 F2 分别是双曲线
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0) 的上、下焦点，过点 F2 的直线与双曲
线的上支交于点 P ，若过原点 O 作直线 PF2 的垂线，垂足为 M ， OM
别是否合格分层抽出 9 人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有
A．1 人
B．2 人
C．5 人
D．6 人
4．如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射纬
度（当地夏半年取正值，冬半年取负值）， 为该地的纬度值．已知太阳每年直射范围在南北
回归线之间，即 2326, 2326．北京天安门广场的汉白玉华表高为 9.57 米，北京天安
21．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) ex cos x 2 ， f (x) 为 f (x) 的导数．
（1）当 x 0 时，求 f (x) 的最小值；
（2）当 x 时， xf ( x) ax2 恒成立，求 a 的取值范围． 2
22．（本小题满分 12
分）已知椭圆
:
x2 a2
A．函数 y f (x) 的图象关于点 ( π ,0) 对称 3
B．函数 y f (x) 的图象关于直线 x 5π 对称 12
C．函数
y
f
(x) 在
2π 3
,
π 6
单调递减
D．该图象向右平移 π 个单位可得 y 2sin 2x 的图象 6
11．如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2， M 为 DD1 的中点， N 为正方形 ABCD
测呈阳性相互独立，且概率均为 p(0＜p＜1) ．该家庭至少检测了 4 人才能确定为“感染高危
户”的概率为 f ( p) ，当 p p0 时， f ( p) 最大，此时 p0
A． 15 5
B． 5 5
C．1 15 5
D．1 5 5
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
AMB 90 ，则直线 l 的方程为 ▲ ．
14．已知四面体 ABCD 满足：AB BC CD DA AC 1，BD 2 ，则四面体 ABCD 外
接球的表面积为 ▲ ． 15．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数性质直观地 从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．如图所示的 杨辉三角中，从第 3 行开始，每一行除 1 以外，其他每一个数字 都是其上一行的左、右两个数字之和．若在杨辉三角中存在某一 行，满足该行中有三个相邻的数字之比为 4 : 5: 6 ，则这一行是第 ▲ 行．
数之比为1 : 2.28 ，由此可计算得 C60 中两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值为
▲ ．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 10 分）在① B 2C ，② sin A sin B sin C ，③ csin B 3这三个条件中任 选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，
16．如图， C60 是一种由 60 个碳原子构成的碳原子簇，其结构是以正五边形和正六边形组成
的凸 32 面体，则 C60 结构中正六边形个数为 ▲ ．这 60 个 C 原子在空间进行排列时， 形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也被称为足球
烯．根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角 0 180
y2 b2
1 (a
0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1(1,0) ，
F2 (1,0)
．经过点 F1 且倾斜角为
(0
π) 2
的直线 l
与椭圆
交于
A, B 两点（其中点
A在 x
轴上方），△ABF2 的周长为 8．
折
折
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，将平面 xOy 沿 x 轴折叠，使 y 轴正半轴和 x 轴所确定的半平面（平面 AF1F2 ）与 y
徐州一中 兴化中学 致远中学 南京十三中
2021 届四校联合第三次适应性考试
高三数学
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求． 1．本试卷共 6 页，包含选择题（第 1 题～第 12 题，共 12 题）和非选择题（第 13 题～第 22 题，共 10 题）两部分．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．考试结束后，请将本试 卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答 题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题（第 1 题～第 12 题），必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂 黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题（第 13 题～第 22 题）， 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
a ， PM F2M
3 ，则
双曲线的渐近线方程为
A． y 3 x 4
B． y 4 x 3
C． y 3 x 5
D． y 5 x 3
8．新型冠状病毒肺炎（COVID－19）疫情爆发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗争的 初步胜利．面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查， 过程中排查到一户 5 口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该 5 名成员逐一 进行核酸检测．若任一成员出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”．设该家庭每个成员检
8
8
t xi x 2 ti t 2 zi z xi x yi y ti t
i 1
i 1
i 1
i 1
25 2.89 646
168
422688
48.48
70308
表中 zi
ln yi ； z
1 8
8
zi ； ti
i 1
xi2 ； t
1 8
8 i 1
ti
；
（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
说明理由．
问题：是否存在 △ABC ，它的面积为 S ，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 b 5 ， 8S (a b)2 c2 ，__________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分 12 分）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵
n
ivi nv
最小二乘估计分别为 ˆ
i 1 n
，ˆ v ˆ ．
i2 n 2
i 1
19．（本小题满分 12 分）已知数列an 的前 n 项和 Sn 满足 2Sn nan 3n (n∈N*)，且 a2 5．
（1）证明：数列an 为等差数列，并求其通项公式；
（2）设 bn an
1 an1 an1
A．1, 2
B．0,1, 2
C．x 0 x 2 D．x 1 x 3
2．复数 z1 cosx isinx ， z2 sinx icosx ，则 z1 z2
A．1
B．2
C．3
D．4
3．某班 45 名同学都参加了立定跳远和 100 米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和 100 米
跑合格的人数分别为 30 和 35，两项都不合格的人数为 5．现从这 45 名同学中按两项测试分
数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数 y （个）和温度 x（℃）的 8 组观测数据，制成 图 1 所示的散点图．现用两种模型① y ebxa ，② y cx2 d 分别进行拟合，由此得到相应
的回归方程并进行残差分析，进一步得到图 2 所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
xz
8
8
轴负半轴和 x 轴所确定的半平面（平面 BF1F2 ）互相垂直．
①若
π 3
，求异面直线
AF1 和 BF2 所成角的余弦值；
②是否存在
(0＜＜
π) 2
，使得折叠后 △ABF2
的周长为 15 2
？若存在，求
tan
的值；若不存
在，说明理由．
（2）根据（1）中所选择的模型，求出 y 关于 x 的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位
小数），并求温度为 34℃时，产卵数 y 的预报值．
参考数据： e5.41 224 ， e5.50 245， e5.59 268 ．
附：对于一组数据 (1, v1) ， (2, v2 ) ，…， (n , vn ) ，其回归直线 vˆ ˆ ˆ 的斜率和截距的
an
，Tn 为数列bn 的前 n 项和，求使Tn
3 成立的最小正整数 10
n 的值．
20．（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 S ABCD 中，AB//CD ，AD AB ，SA DC ，SB AC ， CD 2AB 2AD 2 ， SD 3 ， SE 2EB ． （1）证明： SD// 平面 AEC ； （2）求点 A到平面 BEC 的距离．
门广场的纬度为北纬 395427 ，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为 9.57 米，则该天
的太阳直射纬度为
A．北纬 5533 B．南纬 5533 C．北纬 55427 D．南纬 55427 5．已知函数 f (x) xsin x ln | x | ，则 y f (x) 的大致图象为
6．已知 m
满足 cos ( 3 cos2 1) ( 5 cos3 3 cos ) 0 ，式中 ， ， ， 分别为杂
2
22
2
化轨道中 s ， p ， d ， f 轨道所占的百分数．已知 C60 中的杂
化轨道为等性杂化轨道，且无 d ， f 轨道参与杂化，碳原子
杂化轨道理论计算值为 sp2.28 ，它表示参与杂化的 s ， p 轨道
（命题：兴化中学高三数学组 徐州一中高三数学组 审核：南京十三中高三数学组 致远中学高三数学组）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．设集合 M＝x R 0 x 2 ， N x N 1 x 3，则 M N
所在平面内一动点，则下列结论正确的是 A．若 MN＝2，则 MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为π B．若 N 到直线 BB1 与直线 DC 的距离相等，则 N 的轨迹为抛物线 C．若 D1N 与 AB 所成的角为 60°，则 N 的轨迹为双曲线 D．若 MN 与平面 ABCD 所成的角为 60°，则 N 的轨迹为椭圆 12．甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任 取一个球交换放入另一口袋，重复 n(n∈N*)次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn，则下列结论正确的是
A．
p2
16 27
， q2
7 27
B．数列{2 pn qn 1} 是等比数列
C．
X
n
的数学期望
E
(
X
n
)
1
(
1) 3
n
(n
N*)
D．数列{ pn}的通项公式为
pn＝
pn
3 10
(
1)n 9
1 2
(1)n 3
Βιβλιοθήκη Baidu
1 5
(n
N*)
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知点 M (1, 2) 和抛物线 C： y2 4x ，过 C 的焦点 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，若
目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
9．在 ABC
中，
AB
2，
AC
1，
AB
AC
2AP ，则下列结论正确的是
A． PB PC 0
B． PB PC 0
C．
PB
1
AB
1
AC
22
D．
AP
BP
3
4
10．已知函数 f (x) Asin(x )( A 0, 0, π) 的部分图象如图所示，则下列结论正 2
2 ln
，n
2 ，
ln 1
p
2
2 ln
，则
A． n m p
B． p n m
C． m n p
D． n p m
7．已知 F1 、 F2 分别是双曲线
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0) 的上、下焦点，过点 F2 的直线与双曲
线的上支交于点 P ，若过原点 O 作直线 PF2 的垂线，垂足为 M ， OM
别是否合格分层抽出 9 人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有
A．1 人
B．2 人
C．5 人
D．6 人
4．如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射纬
度（当地夏半年取正值，冬半年取负值）， 为该地的纬度值．已知太阳每年直射范围在南北
回归线之间，即 2326, 2326．北京天安门广场的汉白玉华表高为 9.57 米，北京天安
21．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) ex cos x 2 ， f (x) 为 f (x) 的导数．
（1）当 x 0 时，求 f (x) 的最小值；
（2）当 x 时， xf ( x) ax2 恒成立，求 a 的取值范围． 2
22．（本小题满分 12
分）已知椭圆
:
x2 a2