直纹曲面是可展曲面的一个充要条件

直纹曲面是可展曲面的一个充要条件摘要：可展曲面是直纹面的一种类型，可展曲面就是沿每一条直母线只有一个切平面.通过几何分析方法，讨论了直纹曲面，给出了直纹曲面是可展曲面的一个充分切必要条件，说明直纹曲面)()(),(:u e v u v u r S +=ρ是可展曲面，其充要条件是：沿准线)(,0:u r v C ρ==，曲面S 是它的切平面的包络面，并且给出了这个定理应用的两个例子.关键词：直纹曲面 可展曲面 包络面1直纹曲面与可展曲面我们知道由动直线产生的曲面为直纹曲面，动直线为该直纹曲面的直母线。

如柱面、锥面、一条曲线的切线曲面等都是直纹曲面。

文献[1]利用曲线测地挠率与曲线挠率的关系来刻划直纹曲面是可展曲面。

本文利用包络面来刻划直纹曲面是可展曲面。

设))((:21u u u u C ≤≤=ρρ是直纹曲面S 上的一条准线，即C 与所有直母线相交，设)(u e 是过))((u P ρ点的直母线上的非零矢量，则直纹曲面S 的参数方程是)()(:u e v u r S +=ρ （1） 其中21u u u ≤≤，+∞<<∞-v ，u 线是与准线C 平行的曲线，v 线是值母线。

特别地，当0)(ρρ=u 是常矢时)(:0u e v r S +=ρ （2） 是锥面，0)(:e v u r S +=ρ （3）是柱面，其中0)(e u e =是常矢。

定义1 若直纹曲面（1）式沿每一条直母线只有一个切平面，即对一切的v 值，法线方向上的矢量v u r r N ⨯=彼此平行，即对21v v ≠有：0),(),(21=⨯v u N v u N （4） 则称直纹曲面（1）式是可展曲面。

定理1 直纹曲面)()(:u e v u r S +=ρ是可展曲面，其充要条件是：0))(),(),((''=u e u e u ρ （5） 定理2 直纹曲面)()(:u e v u r S +=ρ是可展曲面，其充要条件是：或者S 是柱面，或者S 是锥面，或者S 是一条曲线的切线曲面。

定理3 直纹曲面)()(:u e v u r S +=ρ是可展的，其充要条件是：S 上任意一点的Gasuu 曲率都为零，即0),(≡v u K （6） 定理4 直纹曲面)()(:u e v u r S +=ρ是可展的，其充要条件是：它上面的直母线（v 线）是曲率线。

2单参数平面族的包络面 给定单参数λ的平面族：0)()(:=-⋅λλπλp r n （7） 并且0)()('≠⨯λλn n （否则)(λn 具有定向，此平面族变为平行平面束）。

定义2 给定单参数{}λπ，如果有一个曲面S 满足：（1）S 上任一点P 都是{}λπ中某个平面λπ上的点 （2）在P 点，λπ是S 上的切平面，即)(//λλn r r N v ⨯= 则称单参数平面族{}λπ的包络面为S定义3 给定单参数平面族（7）式，取一个固定平面0)()(:=-⋅λλπλp r n ，再取邻近的平面0)()(:=∆+-⋅∆+∆-λλλλπλλp r n 它们的交线λλ∆-L 在0→∆λ时的极限记为λL ，即=⋂∆-λλλππ→∆-λλL λL （0→∆λ） 则称λL 为单参数平面族{}λπ在λπ上的特征线定理5 给定单参数平面族（7）式，则它的特征线方程是：⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=-⋅0)()(0)()(:''λλλλλp r n p r n L （8） 其中)()('λλn n ⨯是λL 的方向矢量定理 6 直纹曲面)()(),(:u e v u v u r S +=ρ是可展曲面，其充要条件是：沿准线)(,0:u r v C ρ==，S 是它的切平面族的包络面证明 “⇒”设直纹曲面S 可展，则0))(),(),((''=u e u e u ρ因为)(),()(''u e r u e v u r v u =+=ρ （9） 所以曲面S 上任一点),(v u P 的法矢量为：)()()()(),(''u e u e v u e u r r v u N v u ⨯+⨯=⨯=ρ 曲面S 上任一点的切平面方程是：[]0),(),(1=-⋅v u r r v u N沿准线0:=y C ，得曲面S 的切平面方程是：[]0)()()(:1'=-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯u r u e u ρρπλ （10） 现在求切平面族{}u π的包络面，特征线u L 的方程是：[][]⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅⨯+-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯≡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯0)()(0)()()(''1''''1'ρρρρρρρe u r e e u r u e u 即[][]⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=0)(0)(1''''1'u r e e u r e L u ρρρρρ （11） 又平面u π的法矢量为：'''''')(),()()(e e u n u e u u n ⨯+⨯=⨯=ρρρ再由（9）式得特征线u L 的方向矢量为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⨯'''''')()()()(e e u e u u n u n ρρρ ''''''''''''),,(),,(),,(),,(e e e e e e e e ρρρρρρρρ-+-=).(//)())(),(),((u e u e u u u e "'=ρρ （12）由（11）式知，)(1u r ρ=是包络面的准线，即原准线C 就是包络面的准线，再由（12）式知，包络面的方程是： )()(:u e v u r S +=ρ包 所以S S =包“⇐”沿准线C ，S 是切平面族{}u π的包络面，由定理6知，S 是可展曲面。

例1 已知曲面的参数方程为 {}v u v u v u r S ,sin ,cos ),(:-=证明：（1）S 是可展曲面；(2) 沿准线0:=v C ，S 是它的切平面族的包络面。

证明 （1）将曲面写成直纹曲面{}{}e v u v u u v u r S +=-+=)(1,0,10,sin ,cos ),(:ρ （13）则S 是柱面，显然柱面是可展曲面，它的一般方程是1)(:22=++y z x S （14） （3）因为{},0,cos ,sin u u r u -=→{},1,0,1-=→v r{},cos ,sin ,cos ),(u u u r r v u N v u =⨯=→→→所以沿曲线,0:=v C 即沿圆{},0,sin ,cos :u u r C =→曲面S 的切平面的方程是：,0)0(cos )sin (sin )cos (cos =-+-+-z u u y u u x u即 .1cos sin cos :=++u z y y u x u π （15） 单参数切平面族{}u π的特征线的方程是：⎩⎨⎧=++-=++.0cos sin )(,1sin cos )(:u y u z x u y u z x L u （16） 上两式两边分别平方再相加得包络面的一般方程是：.1)(:22=++y z x S 包 （17）这正是曲面S 的一般方程.又因为平面u π的法矢量是:{}{},sin ,cos ,sin )(,cos ,sin ,cos )(u u u u n u u u u n --='=→→所以特征线u L 的方向矢量是：{}.1,0,1)()(-='⨯→→u n u n （18）因u L 的方向矢量是常矢，所以{}u π的包络面是柱面.另外，还可以将该柱面写成其它的参数方程.作过原点且以{}1,0,1-为法矢量的平面π，即.0:=-z x π （19）由（16）式和（19）式求出新准线的方程：.cos 21,sin ,cos 21u z u y u x === （20）所以包络面的参数方程是：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→v u u v u v u u u r S cos 21,sin ,cos 211,0,1cos 21,sin ,cos 21:包 (21)消去参数u 和v 得包络面的一般方程：.1)(:22=++y z x S 包 (22)这正是曲面S 的一般方程。

例2 证明正螺面{}av v u v u v u r S ,sin ,cos ),(:=→是不可展曲面 证法1 将S 写成直纹曲面的方程{}{}),()(0,sin ,cos ,0,0:v e u v v v u av rS →→∧+=+=→ρu 线是直母线，因为{},,0,0)(a v ='→ρ{},0,cos ,sin )(v v v e -='→00cos sin 0sin cos 00))(),(),((≠=-=''→→→a v v vvav e v e v ρ （23）所以由定理1知，S 不是可展曲面. 证法2 因为,)(2222dv u a du ++=I .222dudv ua a +-=II而S 上任一点的Gauss 曲率为：,0)(222222≠+-=--=u a a F EG M LN K (24) 所以由定理2知，S 不是可展曲面.证法 3 因为u 线是直母线，{},,sin ,cos )(:000av v u v u u r C u =→{},0,sin ,cos )(00v v u r ='→又因为{},0,sin ,cos v v r u =→{},,cos ,sin a v u v u r v -=→所以法矢{}.,cos ,sin ),(u v a v a r r v u N v u -=⨯=→→→沿,:0v v C u =法矢为：{}{}.1,0,0)(,,cos ,sin )(00='-=→→u N u v a v a u N 因为010cos sin 0sin cos ))(),(),((000≠-=-=''→→→a u v a v a v v u N u N u r (25) 所以曲面上任一点的法矢是：{}u v a v a r r v u N v u ,cos ,sin ),(-=⨯=→→沿准线0:=u C 曲面的法矢是： {}0,cos ,sin )(v a v a v N -= 所以曲面沿准线的切平面的方程是;0)sin (cos )cos (sin =---v u y v a v u x v a即 0)(cos )(sin :=-y v x v v π （26） 现在求切平面族{}v π的包络面，特征线的方程是：⎩⎨⎧=+=-.0)(sin )(cos ,0)(cos )(sin y v x v y v x v 上式两边平方相加得切平面族的包络面的方程是：,022=+y x 即.0,0==y x (27)故切平面族的包络面是z 轴，它不是正螺面，因正螺面的一般方程是.arctan xya z ⋅=由定理知，正螺面不是可展曲面.由定理4知，可展曲面只有三类：柱面、锥面和一条曲线的切线曲面.易得：（1） 柱面→→→+=e v u r S )(:ρ柱的切平面的方程是：.0)()(:1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯'→→→→u r e u u ρρπ （28）其中→1r 是切平面上任一点的径矢，u π是单参数u 的平面族，它的包络面是柱面柱S .（2） 锥面)(:0u e v r S →→→+=ρ锥的切平面方程是：.0)()(:01=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯'→→→→ρπr u e u e u （29）它是单参数u 的平面族，它的包络面是锥面锥S . (3)曲线)(:u C →→=ρρ的切线曲面方程是：).()(),(:u v u v u r S →→→'+=ρρ切 切S 的切平面方程是：.0)()()(:1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⨯'→→→→u r u u u ρρρπ （30） 它也是单参数u 的平面族，它的包络面是切S . 总之，可展曲面就是它的切平面族的包络面.参考文献：[1] 孙国汉，赵培标，刘以钧.可展曲面的条件[J].阜阳师范学院院报.1996. [2] 纪永强.微分几何与微分流形[M].北京:高等教育出版社，2000:114-123. [3] 梅向明，黄敬之. 微分几何. 高等教育出版社. 2003.12。