两个平面的位置关系

５。设S为平面外得一点,SA=SB＝ＳC，,若，求证：平面ASＣ平面ABC.
解析:（1）把角得关系转化为边得关系
(２）利用棱锥得性质（三棱锥得侧棱相等，则顶点在底面上得射影为底面三角形得外心）
证明：设D为AＢ得中点
同理
且
即为且Ｓ在平面上得射影O为得外心
则Ｏ在斜边AC得中点。
平面AＢC
平面SＡC
平面ＡSC平面ABＣ
在AＤ上取点Ａ,连结AB１，则AＢ1⊥AD，即过棱上一点Ａ得直线AＢ１与棱垂直,但AB1与平面AＢCD不垂直,其错误得原因就是AB1没有保证在平面ADＤ1Ａ1内,可以瞧出:线在面内这一条件得重要性;
(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直,如图,在正方体AC1中，平面AＤ１⊥平面ＡC，AＤ1平面ADＤ１A1，AB平面ABCD,且ＡB⊥ＡD1，即AB与AD１相互垂直，但AD１与平面ABCD不垂直;
3.(1)定义如果两个平面相交,所成得二面角就是直二面角，则称这两个平面互相垂
直．
（２)判定如果一个平面经过另一个平面得一条垂线,则这两个平面互相垂直.
(３)性质（1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线得直线,垂直于另一个平面．
(2)如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于另一个平面得直线,也垂直于交线.
4.二面角平面内一条直线把这个平面分成两个部分，其中得每一部分都叫做半平面．一条直线与由这条直线出发得两个半平面所组成得图形叫做二面角。这条直线叫做二面角得棱,这两个半平面叫做二面角得面。
5.二面角得平面角以二面角棱上得任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱得两条射线,这两条射线所成得角叫做二面角得平面角,二面角得平面角就是9０0时称直二面角。
解：（1)或．
（２)。
（3）或都Байду номын сангаас交。
例 3在正方体中,、分别为棱得中点,、分别为棱得中点。（１）求证:、、、共面;(2）证明:平面∥平面。
证明:(１)EF／/B1Ｄ1，B1D１//BD,∴ＥF／/BD，∴Ｅ、F、B、D共面。
(2)NＥ/／A１Ｂ１，A1B1/／AB,∴NE/／AＢ,且NE=ＡB,∴ABEN就是平行四边形。
(３）如图,正方体AＣ1中，平面ADＤ１A１⊥平面AＢCD,AD１平面ADD1A１，AＣ平面ＡBCD,ＡD1与ＡC所成得角为60０,即ＡD１与ＡC不垂直
解:由上面得分析知,命题⑴、⑵、⑶都就是假命题。
点评：在利用两个平面垂直得性质定理时,要注意下列得三个条件缺一不可:①两个平面垂直;②直线必须在其中一个面内;③直线必须垂直它们得交线。
6.作二面角得平面角有:定义法,三垂线(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相关三角形中求解。
课前练习
１.α、β就是两个不同得平面,m,ｎ就是平面α及β之外得两条不同直线，给出四个论断:①m⊥ｎ，②α⊥β，③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下得一个论断作为结论,写出您认为正确得一个命题,并证明它.
证明:如图PQ⊥,PQ⊥ＡB,
ＰR⊥,ＰR⊥AB,
则AB⊥面PQR.
经ＰQＲ得平面交、于SR、SQ，
那么ＡB⊥SＲ,AB⊥SQ.
∠QSR就就是二面角得平面角。
因四边形SRPＱ中,∠PＱS=∠PRS＝９0°，
因此∠Ｐ＋∠QSR=180°．
3.在60°得二面角M－a－Ｎ内有一点P，P到平面M、平面N得距离分别为1与2,求Ｐ点到直线a得距离.
∴ＡN/／平面BEFD。
同理:ＡM／/平面BEFＤ。
∴平面∥平面.
二。平面与平面得垂直
例 4已知平面∥平面,平面⊥,求证：⊥。
证明:设在γ内作
。
例 5在三棱锥中,∠∠,∠，，求证:平面SAＢ⊥平面SＡC.
证明:作ＢＤ⊥SA于D,DE⊥ＳＣ于E,连接BE,设SＤ＝ｘ,则SB=2x，
教学过程
一。平面与平面得平行
例 1已知平面、，如果直线⊥,⊥,求证：平面∥平面.
证明：设，过O1作两相交直线,设与确定得平面为γ,，从而。
同理。
所以。
例 2已知平面∥平面,(1)若直线∥平面,判断直线与平面得位置关系。(2)若直线⊥平面，判断直线与平面得位置关系。(3)给出得三个平面（与、不重合)，试判断平面、、之间得位置关系。
三.两个平面得位置关系
知识提要
1.空间两个平面有相交（有一条公共直线）与平行（无公共点)两种位置关系.
2.(１）定义如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行．
(2)判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面
平行。
（3)性质如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们得交线平行。
4。判定下列命题得真假
(1）两个平面垂直,过其中一个平面内一点作与它们得交线垂直得直线,必垂直于另一个平面;
(２）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直得两直线，一定分别与另一平面垂直；ﻫ（3)两平面垂直,分别在这两个平面内得两直线互相垂直。
解析:（1）若该点在两个平面得交线上,则命题就是错误得,ﻫ如图,正方体AC1中,平面AC⊥平面AD1，平面AC∩平面AD1＝AD，
解析:本题涉及点到平面得距离,点到直线得距离，二面角得平面角等概念,图中都没有表示,按怎样得顺序先后作出相应得图形就是解决本题得关键。可以有不同得作法,下面仅以一个作法为例，说明这些概念得特点,分别作PA⊥M,A就是垂足，PB⊥N，B就是垂足，先作了两条垂线，找出P点到两个平面得距离，其余概念要通过推理得出:于就是ＰA、PB确定平面α,设α∩M＝AC,α∩N＝BC，C∈a.由于PA⊥M,则PA⊥a,同理PB⊥a,因此a⊥平面α,得a⊥PC.这样,∠ACＢ就是二面角得平面角,PC就是P点到直线a得距离,下面只要在四边形ACＢP内,利用平面几何得知识在△PＡB中求出AB，再在△ＡBＣ中利用正弦定理求外接圆直径２R＝，即为P点到直线a得距离,为.
解析：m⊥α，ｎ⊥β，α⊥βm⊥n(或m⊥n,m⊥α，n⊥βα⊥β）
证明如下：过不在α、β内得任一点P，作PM∥m，ＰN∥n,
过PM、PN作平面r交α于MQ，交β于NQ。
，
同理PN⊥ＮＱ．
因此∠ＭＰN＋∠MQN= 180°，
故∠MQN= 90°∠MＰN= 9０°
即m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n
2.自二面角内一点分别向这个二面角得两个面引垂线,求证：它们所成得角与这个二面角得平面角互补。