2010年江苏高考数学试题(含答案详解

2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析

数学Ⅰ试题

参考公式：锥体的体积公式: V 锥体=

1

3

Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是高。 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．

.1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。3∈B, a+2=3, a=1.

2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与3+2 i 的模相等，z 的模为2。

3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.

[解析]考查古典概型知识。316

2

p ==

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm 。 [解析]考查频率分布直方图的知识。

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

100×（0.001+0.001+0.004）×5=30

5、设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e x +ae -x 为奇函数，由g(0)=0，得a =－1。

6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线

112

42

2=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是___▲_______ [解析]考查双曲线的定义。

4

22

MF e d ===，d 为点M 到右准线1x =的距离，d =2，

MF=4。 7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是______▲_______

[解析]考查流程图理解。2

412223133,+++

+=<输出25122263S =++++=。

8、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=____▲_____

[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：2

2(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2

k

a x =

， 所以1135,1641212

k

k a a a a a +=

++=++=。 9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆42

2

=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______▲_____ [解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2， 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，

||

113

c <，c 的取值范围是（-13，13）

。 10、定义在区间⎪⎭

⎫

⎝

⎛20π,

上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_______▲_____。 [解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P 1P 2的长即为sinx 的值， 且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=

23。线段P 1P 2的长为2

3

11、已知函数2

1,0()1,

0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是__▲___。

[解析]

考查分段函数的单调性。2

2

12(1)10x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩

12、设实数x,y 满足3≤2

xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43

y

x 的最大值是 ▲ 。

[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。

22()[16,81]x y ∈，2111[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy =⋅∈，43

y

x 的最大值是27。

13、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，

6cos b a

C a b

+=，则tan tan tan tan C C

A B

+

=____▲_____。 [解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。 当A=B 或a=b 时满足题意，此时有：1cos 3C =

，21cos 1tan 21cos 2

C C C -==+

，tan 22C =，

1tan tan tan 2

A B C

==

=，

tan tan tan tan C C

A B

+

= 4。 （方法二）22

6cos 6cos b a C ab C a b a b +=⇒=+，2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=

2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C

A B C A B C A B C A B

+++=⋅=⋅=⋅由正弦定理，得：上式=222

2

2214113cos ()662

c c c c C ab a b =⋅===+⋅

14、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

2

(S =梯形的周长）梯形的面积

,则S 的最小值是____▲____。

[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。