等差数列及其前n项和全面总结

(1)由定义知,{an}为等差数列,an+1-an
必为一个常数. (2)只需推证(an+2-an+1)-(an+1-an)为一个常数.
(1)解
an+1-an=［p(n+1)2+q(n+1)］-(pn2+qn)
=2pn+p+q, 要使{an}是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的 常数,所以只有2p=0,即p=0, q R . 故当p=0 , q R 时，数列{an}是等差数列.
∴a8=a6+2d=10+2×3=16,
( a1 a8 ) S8=8× =44. 2 (3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有
(a-d)+a+(a+d)=12
(a-d)·a·(a+d)=48, ∴
a=4 a(a2-d2)=48 , ∴ a=4 d=±2.
∵d＞0,∴d=2,a-d=2. ∴首项为2.∴a1=2. 探究提高 方程思想是解决数列问题的基本思想， 通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最 基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的 应用.
差数列，公差为 2d . （4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}是 等差 数列 .
（ 5 ）若 {an} 是等差数列，则 ak ， ak+m ， ak+2m ，…
（k，m∈N*）是公差为md 的等差数列.
5.等差数列的前n项和公式
n(a1 an ) 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn= 2 n(n 1) na1 d 或Sn = . 2
§6.2 等差数列及其前n项和 基础知识
要点梳理
1.等差数列的定义 如果一个数列 从第二项起每一项与它相邻前面一项 的差是同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母 d
自主学习
表示.
2.等差数列的通项公式 如果等差数列 {an} 的首项为 a1 ，公差为 d ，那么它的 通项公式是an=a1+（n-1）d .
8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质
S n 也成 等差 数列， （1）若{an}是等差数列，则 n 1 其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的 2 .
（2）Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项， 前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差 数列.
2 2 2 a 即 a1 +2a1d+d = 1 +3a1d.化简得a1=d. 2=a a . 因为a1,a2,a4成等比数列，故 a2 1 4
（2）解
因为S10=110，S10=10a1+ 10 9 d， 2 所以10a1+45d=110. 由（1）a1=d,代入上式得55d=110, 故d=2,an=a1+(n-1)d=2n. 因此，数列{an}的通项公式为an=2n,n=1,2,3,….
3.等差中项 ab A 如果 2 ，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am+(n-m)d，（n， m∈ N* ） . （2）若{an}为等差数列，且k+l=m+n，（k，l，m， n∈N*），则 ak+al=am+an .
（3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等
3.（2009·福建）等差数列{an}的前n项和为Sn,且
S3=6,a3=4,则公差d等于 A.1 解析 B. 5 C.2 3 设{an}首项为a1,公差为d, （ C ） D.3
3 2 则S3=3a1+ d=3a1+3d=6, 2
a3=a1+2d=4,∴a1=0,d=2.
4.已知等差数列{an}的前13项之和为39，则a6+a7+a8
方法二
4分
8分
且最大值为S12=S13=130.
12分 4分 8分 10分 12分
5 方法三 同方法一得d= . 3 又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.
∴5a13=0,即a13=0.
∴当n=12或13时，Sn有最大值，
且最大值为S12=S13=130.
探究提高
求等差数列前n项和的最值，常用的方法：
两个最基本量，利用通项公式与前n项和公式，先
求出a1和d.
解
（1）方法一
33=a1+14d 153=a1+44d
设首项为a1,公差为d,依条件得
a1=-23, d=4.
,解方程组得
∴a61=-23+(61-1)×4=217. 由 d an am , 得d a45 a15 153 33 4, nm 45 15 30 由an=am+(n-m)d, 方法二 得a61=a45+16d=153+16×4=217. a1+5d=10 （2）∵a6=10,S5=5,∴ 5a1+10d=5. 解方程组得a1=-5,d=3,
a17 a9 24 ∴d= =3, 17 9 8 ∴an=a9+(n-60,
令
an=3n-63≤0
an+1=3n-60≥0
,得20≤n≤21,
20 [ 60 ( 3)] ∴S20=S21= 630 , 2
∴当n=20或21时，Sn最小且最小值为-630.
（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；
（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值； （3）利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A、B为常数） 为二次函数，根据二次函数的性质求最值.
知能迁移3 在等差数列{an}中，a16+a17+a18=a9=-36, 其前n项和为Sn. （1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值； （2）求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|. 解 （1）设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, ∵a16+a17+a18=3a17=-36,∴a17=-12,
从而an+1-an=
题型二
等差数列的基本运算
【例2】在等差数列{an}中， （1）已知a15=33,a45=153,求a61; （2）已知a6=10,S5=5，求a8和S8； （3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d＞0,
求a1 .
思维启迪 在等差数列中，五个重要的量，只要 已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是
12 11 5 S12=S13=12×20+ ( ) =130. 2 3
10分
∴当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为 12分
5 同方法一求得d= . 3 n( n 1) 5 ∴Sn=20n+ ( ) 2 3 5 125 = n2 n 6 6 5 25 3 125 = (n ) 2 . 6 2 24 ∵n∈N+,∴当n=12或13时，Sn有最大值，
(2)证明
∵an+1-an=2pn+p+q,
∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, ∴(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数.
∴{an+1-an}是等差数列.
探究提高
证明或判断一个数列为等差数列 , 通常
有 两 种 方 法 :(1) 定 义 法 :an+1-an=d;(2) 等 差 中 项 法 :2an+1=an+an+2. 就 本 例 而 言 , 第 (2) 问 中 , 需 证 明 (an+2-an+1)-(an+1-an)是常数,而不是证an+1-an为常数. 知能迁移1 设两个数列{an},{bn}满足bn=
2.已知数列{an}中,a1=1, an1 A. 1 B. 1 4 5 C.1 6 解析
1

1 1 , 则a10等于（B） an 3
D.以上都不对
1 1 1 由a1=1, 得 为等差数列. an1 an 3 an
1
∴ 1 1 (n 1) 1 1 n 2 , an a1 3 3 3 ∴ 1 10 2 4, a 1 . 10 a10 3 3 4
解
方法一
∵a1=20，S10=S15，
15 14 ∴10×20+ 10 9 d=15×20+ d， 2 2 5 ∴d= . 3 5 5 65 ∴an=20+（n-1）× ( ) n . 3 3 3 ∴a13=0.
4分 8分
即当n≤12时，an＞0,n≥14时，an＜0.
由①-②，得nan=
n( n 1) n( n 1) bn bn1 , 2 2
整理得an= nd bn bn1 , 2
其中d为{bn}的公差（n≥2）.
(n 1)d bn 1 bn nd bn bn 1 2 2 2 d d 3 （n≥2）. d 2 2 3 又 a 1 = b 1 , a 2= d+b1,∴a2-a1= 3 d, 2 2 所以{an}是等差数列.
S 2 n1 T2 n1
.
基础自测
1.(2009·辽宁){an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0, 则公差d= A.-2 解析 （ B ） B. 1 C.1 D.2 2 2 根据题意得a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-1,
1 ∴a1=1.又∵a3=a1+2d=0,∴d= . 2