三角函数及解三角形常用公式

三角函数常用公式

1、两角和与差的三角函数关系sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin βcos(α±β)=cos α·cos β sin α·sin β

β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅±=

± 2、倍角公式s in2α=2sin α·cos αcos2α=cos 2α-sin 2α

=2cos 2α-1=1-2sin 2α3、降幂升角公式1+cos α=2

cos 22α

cos 2α22cos 1α

+=

1-cos α=2

sin 22

α

sin 2α2

2cos 1α

-=

4、引入辅助角。

)cos()sin(cos sin 2222ϕθϕθθθ-+=++=+=b a b a b a y ，

这里辅助角ϕ所在象限由b a 、的符号确定，

ϕ角的值由a

b

=

ϕtan 确定5、三角函数的图像和性质：（其中z k ∈）

试

三角函

数

x

y sin

=x

y cos

=x

y tan

=

图像

定义域（-∞，+∞）（-∞，+∞）

2

π

π+

≠k

x

值域[-1,1][-1,1]（-∞，+∞）

最小正

周期π2

=

Tπ2

=

Tπ

=

T 奇偶性奇偶奇

单调性]

2

2,

2

2[

π

π

π

π+

-k

k

单调

递增

]

2

3

2,

2

2[

π

π

π

π+

+k

k

单调

递减

]

2,

)1

2

[(π

πk

k-单调

递增

]

)1

2(,

2

[(π

π+

k

k单调

递减

)

2

,

2

(

π

π

π

π+

-k

k

单调

递增

对称性对称轴：

2

π

π+

=k

x

对称中心：)0,

(πk

对称轴：πk

x=

对称中心：

)0,

2

(

π

π+

k

对称中心：

)0,

2

(

πk

零值点πk

x=

2

π

π+

=k

x

πk

x=

最值点1

,

2

2

max

=

+

=y

k

x

π

π

1

,

2

2

max

-

=

-

=y

k

x

π

π

1

,

2

max

=

=y

k

xπ

1

,

)1

2(

max

-

=

+

=y

k

xπ无

试

6、函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：

（本节知识考察一般能化成形如)sin(ϕω+=x A y 图像及性质）（1）函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ

2=T （2）函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ω

π=

T （3）五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设ϕω+=x t ，取0、2

π、π、

2

3π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。

（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡

先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。【函数的平移变换】：

①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =

图像沿x 轴向左（右）

平移a 个单位（左加右减）

②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =

图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位（上加下减）【函数的伸缩变换】：

①)

0)(()(>=→=

w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变，

横坐标缩到原来的w

1倍（1>w 缩短，10<

②)

0)(()(>=→=

A x Af y x f y 将)(x f y =图像横坐标不变，纵坐

标伸长到原来的A 倍（1>A 伸长，10<

试