复变函数与数学分析的比较

数学分析与复变函数的比较

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复变函数在数学分析中的教学中具有非常重要的意义,复变函数与数学分析具有很多共同点,但是也有较多的不同,虽有不同,但复变函数中的很多知识点都是数学分析的推广,是数学分析的加深.

数学分析与复变函数的相同点:

1.二者的定义相同，都是由一个对应法则从一个区域到另一个区域映射；

实数域上的函数与复变函数在进行加、减、乘、除及复合时具有相同的

性质；都具的基本初等函数，如指数函数，对数函数，幂函数等；

2.二者都具有极限和连续性，对数学分析中的一些比较重要的定理，如维

尔斯特拉斯定理，区间套定理，有限覆盖定理在复数集也成立；

3.二者都具有积分，并且积分定义形式类似，都可用类似黎曼积分定义的

形式来表述，在此就不详细说明了，实函数与复变函数中积分都有相同

的运算法则；

4.二者都有数项级数和函数项级数，并且结构类似，函数项级数的收敛性

都可用柯西一致收敛原理，魏尔斯特拉斯判别法来判断，函数都可以有

泰勒展式，并且形式一致。

数学分析与复变函数的不同点:

数学分析和复变函数研究的是定义在数域上的函数，数学分析研究实数上的函数，复变函数研究复数领域的函数。由于定义域的不同，而导致了数学分析和复变函数有很多的差异。

1. 极限

复变函数研究定义域上自变量趋近于其一个聚点的极限，数学分析中可研究自变量趋近于某一点的极限，也可研究趋近于无穷大的极限，也可以研究单侧极限，研究范围比复变函数要广。

2. 求导与微分

数学分析中求导与求微分是非常重要的一部分，可以算作是积分学的逆运算，在现实生活中有举足轻重的作用，而复变函数中虽提到导数与微分，但并未展开来讲。数学分析中的微分学提出了微分中值定理，函数的升降、凸性及极值理论，还提出了待定型求极限的方法。