第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差的基本知识
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
第五章 测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识单选题1、引起测量误差的因素概括起来有以下三个方面（B）。
A.观测者、观测方法、观测仪器B.观测仪器、观测者、外界因素C.观测方法、外界因素、观测者D.观测仪器、观测方法、外界因素2、测量误差来源于（A）。
A.仪器、观测者、外界条件B.仪器不完善C.系统误差D.偶然误差3、用测回法测水平角，盘左盘右角值相差1°是属于（ D ）。
A.系统误差B.偶然误差C.绝对误差D.粗差4、测量记录时，如有听错、记错，应采取（C）。
A.将错误数字涂盖B. 将错误数字擦去C. 将错误数字划去D.返工重测重记5、真误差是观测值与（A ）之差。
A.真值B.观测值与正数C.中误差D.相对误差6、真误差为观测值与（C）之差。
A.平均B.中误差C.真值D.改正数7、钢尺的尺长误差对距离测量产生的影响属于（B ）。
A.偶然误差B.系统误差C.偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差8、下列误差中（A）为偶然误差。
A.照准误差和估读误差B.横轴误差C.水准管轴不平行与视准轴的误差D.指标差9、尺长误差和温度误差属（B）。
A.偶然误差B.系统误差C.中误差D.粗差10、用名义长度为30 m的钢尺量距，而该钢尺实际长度为30.004 m，用此钢尺丈量AB两点距离，由此产生的误差是属于（C）。
A.偶然误差B.相对误差C.系统误差D.绝对误差11、水准尺向前或向后方向倾斜对水准测量读数造成的误差是（B）。
A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差12、普通水准尺的最小分划为1cm，估读水准尺mm位的误差属于（A）。
A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差13、由于钢尺的不水平对距离测量所造成的误差是（ B ）。
A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差14、经纬仪对中误差属（A）A.偶然误差B.系统误差C.中误差D.容许误差15、衡量一组观测值精度的指标是（A）。
第五章 测量误差的基本知识
2 ma
解：
α
D
+a
mS = ± 30 2 × 0.04 2 + 40 2 × 0.03 2
mS = ±1.7(m 2 )
1、求D 、 D＝Lcos α ＝ ＝165.50×cos15°30′ × ° ＝159.48m
2、求mD 、 （1）函数式 ） D=Lcosα （2）偏微分 ）
中误差m ㎜，中误差 d＝±0.2㎜，求实地距离 及其 ㎜ 求实地距离D及其 中误差。 中误差。 解： D＝500d ＝
n-1 [ vv ] m=± n-1
例1：
l 1 2 3 4 5 85°42′49″ ° 85°42′40″ ° 85°42′42″ ° 85°42′46″ ° 85°42′48″ ° l0=85°42′40″ ° △l 9 0 2 6 8 25 v ﹣4 ﹢5 ﹢3 ﹣1 ﹣3 0 vv 16 25 9 1 9 60
V △l（㎜） （㎜） （㎜）
vv 4 25 256 441 9 121 856
m2 = n n
=
L = l0 +
[ vv ] 1 2 + m
∑∆ l 25" = 85°42' 40" + 5 5 ＝85°42′45″ °
二、求观测值的函数的中误差 S＝ab （一）求偏微分 dS＝b da＋a db （二）以偶然误差代替微分元素
60 m=± 5 -1
m = ±3.9"
mD = 0.012 + 0.02 2 + 0.03 2
=±0.037（m） ± （ ） 六、线性函数的中误差 函数： 函数： z＝k1x1＋k2x2＋…＋knxn ＝ ＋ 偏微分： 偏微分： dz＝k1 dx1＋k2 dx2＋…＋kn dxn ＝ ＋ 中误差： 中误差：
误差基本知识
1．用真误差来确定中误差
在等精度观测条件下，对真值为Ｘ的某一量进行n 次观测，其观测值为L1，L2…Ln，相应的真误差为 1，2…n。取各真误差平方的平均值的平方根， 称为该量各观测值的中误差，以m表示，即：
Δi = X - L i
m =
2
i =1
n
n
2．用改正数来确定中误差
在实际工作中，未知量的真值往往不知道，真误差也无法 求得，所以常用最或是误差即改正数来确定中误差。
系统误差除可用改正数计算公式对观测 结果进行改正加以消除外，也可以用一 定的观测方法来消除其误差影响。
如经纬仪视准轴不垂直于横轴造成的误差，可以 用盘左、盘右观测角度，取其平均值的方法加以 消除；在水准测量中，采用前、后视距离相等来 消除水准仪的视准轴不平行于水准管轴造成的误 差。
由此可见，系统误差对观测结果影响较大，因此 必须采用各种方法加以消除或减少它的影响。比 如用改正数计算公式对丈量结果进行改正。
例四 某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为h1 = 18.316 m ± 5 mm，h2 = 8.171 m ± 4 mm，h3 = 6.625 m ± 3 mm，试求总的高差及其中误差。 解：h = h1 + h2 + h3 = 15.316 + 8.171 6.625 = 16.862 (m)
1． 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不 会超过一定的限值。 ………………….（有界性）
2． 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会多。………………………………….（单峰性）
3．绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相
等。 ………………………………次数的无限
容 = 2m 容 = 3m
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性
第五章测量误差的基本知识
mC
试求 中误差
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中 误差
▪ 当观测次数n趋于无穷大时，算术平均值趋 于未知量的真值。当n为有限值时，通常取 算术平均值做为最可靠值。
▪ 利用观测值的改正数vi计算中误差：
m [vv] (n 1)
▪ 算术平均值中误差：
M m [vv] n n(n 1)
例：对某直线丈量了6次，丈量结果如表，求算术
▪ 4相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _______。
▪ 5衡量观测值精度的指标是_____、_______和 ______。
▪ 6对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中 误差是观测值中误差的______倍。
▪ 7在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测 值之间互有差异,其观测精度是______的。
第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差基本知识
5.1 测量误差与精度 5.2误差传播定律 5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误 差 5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中 误差
第五章 测量误差基本知识
▪ 主要内容：测量误差的概念、来源、分类 与处理方法；精度概念及评定标准；误差 传播定律；观测值中误差计算；直接观测 值的最可靠值及其中误差
Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差
▪ 经纬仪对中误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 尺长误差和温度误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 下面是三个小组丈量距离的结果，只有（ 测量的相对误差不低于1/5000的要求
）组
▪ Ａ.100m 0.025m； Ｂ.200m 0.040m； Ｃ.150m 0.035m
第五章测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识1、衡量测量精度的指标有中误差、相对误差、极限误差。
5.测量，测角中误差均为10〃，所以A角的精度高于B角。
（X）8.在测量工作中无论如何认真仔细，误差总是难以避免的。
（X）10 .测量中，增加观测次数的目的是为了消除系统误差。
（X）1、什么是偶然误差？它有哪些特性？定义：相同的观测条件，若误差在数值和符号上均不相同或从表面看无规律性。
如估读、气泡居中判断等。
偶然误差的特性：（D有界性（2）渐降性（3）对称性（4）抵偿性7.已知DJ6经纬仪一测回的测角中误差为m户±20〃，用这类仪器需要测几个测回取平均值，才能达到测角中误差为±10” ?（）A. 1B.2C.3D.43.偶然误差服从于一定的规律。
4.对于偶然误差，绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会。
14.测量误差的来源有、、外界条件。
3.设对某距离丈量了6 次，其结果为246.535m、246.548m、246.520m、246.529m、246.550m、246.537m,试求其算术平均值、算术平均值中误差及其相对中误差。
6.偶然误差的算术平均值随观测次数的无限增加而趋向于o14.设对某角度观测4个测回，每一测回的测角中误差为±5",则算术平均值的中误差为±〃。
24.衡量测量精度的指标有、、极限误差。
3.观测值与之差为闭合差。
（）A.理论值B.平均值C.中误差D.改正数5.由于钢尺的不水平对距离测量所造成的误差是（）A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差8.阐述函数中误差与观测值中误差之间关系的定律称为o9.什么是系统误差？什么是偶然误差？误差产生的原因有哪些？10测量误差按性质可分为和两大类。
1. 2.相对误差2.由估读所造成的误差是（）oA.偶然误差B.系统误差C.既是偶然误差又是系统误差14.下列不属于衡量精度的标准的是（）。
第五章 测量误差基础知识
5.1.3
观测误差的分类及其处理方法
②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的 改正。如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖 直角进行指标差改正等。 ③将系统误差限制在允许范围内。有的系统误差既不便计算改 正，又不能采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管 水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水平角的影响，对于这类系统 误差，则只能按规定的要求对仪器进行精确检校，并在观测中仔细 整平将其影响减小到允许范围内。
表5-1 误差绝对值 K K/n 91 0.254 81 0.226 66 0.184 44 0.123 33 0.092 26 0.073 11 0.031 6 0.017 0 0
正误差 K K/n 46 0.128 41 0.115 33 0.092 21 0.059 16 0.045 13 0.036 5 0.014 2 0.006 0 0
[] X [l ] n n 根据偶然误差第（4）特性 [ ] 0 [l ] lim n n
lim
n
[l ] X n
n
x
27
§5-4 测量值的精度评定
若被观测对象的真值不知，则取平均数 l 为最优解x （最或然值） 改正值：
vi l li x li
标准差可按下式计算
2
v
i 1
n
2
i
n 1
m
白塞尔公式
v
i 1
n
2
i
n 1
28
证明：
1 X l1 2 X l2 n X ln
v1 x l1 v1 x l1 v1 x l1
容许误差
第五章测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识第五章测量误差的基本知识本章摘要：本章主要介绍测量误差的种类；偶然误差的统计特征和处理⽅法；精度的含义；评定测量精度的指标；不同精度指标表达的意义及其适⽤范围。
§5-1 测量误差及分类摘要内容：学习误差理论知识的⽬的，使我们能了解误差产⽣的规律，正确地处理观测成果，即根据⼀组观测数据，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度；同时，根据误差理论制定精度要求，指导测量⼯作选⽤适当观测⽅法，以符合规定精度。
讲课重点：测量误差的概念、测量与观测值分类、测量误差及其来源、测量误差的种类、偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲课难点：偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲授重点内容提要：⼀、测量误差的概念⼈们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差，这种误差在对变量进⾏观测和量测的过程中反映出来，称为测量误差。
⼆、测量与观测值通过⼀定的仪器、⼯具和⽅法对某量进⾏量测，称为观测，获得的数据称为观测值。
三、观测与观测值的分类1.同精度观测和不同精度观测观测条件：构成测量⼯作的要素包括观测者、测量仪器和外界条件，通常将这些测量⼯作的要素统称为观测条件。
同精度观测：在相同的观测条件下，即⽤同⼀精度等级的仪器、设备，⽤相同的⽅法和在相同的外界条件下，由具有⼤致相同技术⽔平的⼈所进⾏的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度观测值或等精度观测值。
反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。
2.直接观测和间接观测直接观测：为确定某未知量⽽直接进⾏的观测，即被观测量就是所求未知量本⾝，称为直接观测，观测值称为直接观测值。
间接观测：通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测，观测值称为间接观测值。
（说明：例如，为确定两点间的距离，⽤钢尺直接丈量属于直接观测；⽽视距测量则属于间接观测。
）3.独⽴观测和⾮独⽴观测独⽴观测：各观测量之间⽆任何依存关系，是相互独⽴的观测，称为独⽴观测，观测值称为独⽴观测值。
第五章测量误差的基本知识_土木工程测量
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m, m1=±0.01m ， D2=200m, m2=±0.01m，求： K1, K2 解：
K1
m1
D1
0.01 100
1 10000
K2
m2
D2
0.01 200
1 20000
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一、 求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n
次，观测值为l1、l2……ln，中误差为m1、 m2 …mn，则其算术平均值（最或然值、似真
第五章 测量误差的基本知识
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4
测量误差概述 衡量精度的标准 误差传播定律 等精度直接观测平差
测量实践中可以发现，测量结果不可避 免的存在误差，比如： 1、对同一值多次观测，其观测值不相同。 2、 观测值之和不于等理论值：
三角形 α+β+γ≠180°
闭合水准 ∑h≠0
2.全微分
dD (cos )dD (D sin ) d
3.求中误差
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
mD2
[(cos
) mD ]2
[(D sin )
m
]2
[(cos15 ) 0.05]2 [(50 sin15 ) 30 ]2
mD 0.048(m)
二、 线性函数的误差传播定律
设线性函数为：
z k1x1 k2x2 knxn
偶然误差的特性
真误差 l x l 180
观测值与理论值之差
①在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性）
②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性、区间性）
③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，
可相互抵消；
(整理)第5章,误差基本知识
第5章测量误差基本知识测量工作使用仪器进行测量，在测量过程中不可避免的出现误差，为了提高测量精度及精度评定，需要了解测量误差的来源，促进测量工作方法的改进，和测量精度的提高。
误差—在一定观测条件下，观测值与真值之差。
精度—观测误差的离散程度。
5-1 误差的基本概念讨论测量误差的目的：用误差理论分析，处理测量误差，评定测量成果的精度，指导测量工作的进行。
▼▼▼▼产生测量误差的原因，▼▼测量误差的分类和处理原则，▼▼偶然误差的特性一、测量误差的来源仪器原因：仪器精度的局限，轴系残余误差等。
人的原因：判别力和分辨率的限制，经验等。
外界影响：气象因素（温度变化，风、大气折光）等。
有关名词:观测条件，等精度观测：上述三大因素总称观测条件，在上述条件基本一致的情况下进行各次观测，称等精度观测。
结论：观测误差不可避免（粗差除外）二、测量误差的分类两类误差：系统误差偶然误差粗差（错误排除）1、系统误差-- 误差出现大小、符合相同，或按规律变化，具有积累性。
处理方法①检校仪器，把仪器的系统误差降到最小程度；②求改正数，对测量结果加改正数消除；③对称观测，使系统误差对观测成果的影响互为相反数，以便外业操作时抵消。
例：误差处理方法钢尺尺长误差△D K 计算改正钢尺温度误差△Dt 计算改正水准仪视准轴误差I 操作时抵消（前后视等距）经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)●结论：系统误差可以消除。
2、偶然误差-- 误差出现的大小，符合各部相同，表面看无规律性。
例：估读误差—气泡居中判断，瞄准，对中等误差，导致观测值产生误差。
◎偶然误差：是由人力不能控制的因素所引起的误差。
◎特点:具有抵偿性。
◎处理原则：采用多余观测，减弱其影响，提高观测结果的精度。
3、粗差—指在一定的观测条件下超过规定限差值。
对于粗差，应当分析原因，通过补测等方法加以消除。
三、偶然误差的特性1、偶然误差的定义:设某量的真值X对该量进行n次观测得n次的观测值l1,l2,l3……l n则产生了n个真误差真误差：△I = X-l i2、偶然误差的特性☎当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现统计学上的规律性，偶然误差具有正态分布的特性。
测量误差基本知识
第五章测量误差基本知识5－1 测量误差概述一、测量误差产生的原因对某一个量进行多次重复观测，例如重复观测某一水平角或往返丈量某段距离等，其多次测量的结果总存在着差异，这说明观测值中含有测量误差。
产生测量误差的原因很多，概括起来有下列三个方面：1．仪器的原因测量工作是采用经纬仪、水准仪等测量仪器完成的，测量仪器的构造不可能十分完善，从而使测量结果受到一定影响。
例如，经纬仪的视准轴与横轴不垂直、度盘刻划不均匀，都会使所测角度产生误差；水准仪的视准轴不平行于水准管轴、望远镜十字丝不水平，都会使高差产生误差。
2．观测者的原因由于观测者感觉器官的鉴别能力存在局限性，所以对仪器的各项操作，如经纬仪对中、整平、瞄准、读数等方面都会产生误差。
此外，观测者的技术熟练程度和工作态度也会对观测成果带来不同程度的影响。
3．外界环境的影响测量所处的外界环境(包括温度、风力、日光、大气折光等)时刻在变化，使测量结果产生误差。
例如，温度变化会使钢尺产生伸缩，风吹和日光照射会使仪器的安置不稳定，大气折光会使瞄准产生偏差等。
人、仪器和外界环境是测量工作的观测条件，由于受到这些条件的影响，测量中的误差是不可避免的。
观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
二、测量误差的分类测量误差按其对观测结果影响性质的不同分为系统误差和偶然误差两类。
1．系统误差在相同的观测条件下对某一量进行一系列观测，若误差的出现在符号和数值上均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
例如，用名义长度为30.000m，而实际鉴定后长度为30.006m的钢卷尺量距，每量一尺段就有0.006m的误差，其量距误差的影响符号不变，且与所量距离的长度成正比。
所以，系统误差具有积累性，对测量结果的影响较大；另一方面，系统误差对观测值的影响具有一定的规律性，且这种规律性总能想办法找到，因此系统误差对观测值的影响可用计算公式加以改正，或采用一定的测量措施加以消除或削弱。
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
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Vi x li
(i=1,2,….n)
三、由观测值改正数计算观测值中误差
在现实生产中，真误差往往不知道，需要计算观
测值的改正数（观测值与算术平均值之差）来计算
中误差，用改正数求等精度观测值中误差的公式
误差计算值为mz，则
mz m12 m22 mn2
当m1=m2=……=mn=m 时
mz m n
三、线性函数
设有未知量Z为独立观测值X1，X2 ……，Xn的线性函数，
即
z k1X1 k2 X 2 knXn
式中k1 ，k2 ……，kn为常数。设各个观测量的观测值为x1， x2…… ，xn ，其中误差为m1，m2 ……， mn。n个独立观测 值的代数和的函数中误差计算值为mz，由观测值计算得函 数的计算值为
X=36 50 26
v
+4 0 +2 -2 -1 -3 [v]=0
vv
16 0 4 4 1 9 [vv]=34
计算
m [vv] 34 2.6 n 1 61
M m 2.6 1.16 n5
第四节 误差传播定律
例如，水准测量中，每站的高差h就是观测的后视 读数a与前视读数b之差求得的，即
或不按一定规律性变化，这种误差称为偶然误差。 三、偶然误差的统计特性： a.在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度（有
界性）。 b. 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多（大小性）。 c. 绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等（对称性）。 d.随着观测次数的无限增加，偶然误差的算术平均值趋近于零（三次，
尺
当视线水平或向上倾
子
斜或向下倾斜时，会
量得三个不同的身高
值，这三个值之间存
在误差。
结论:这时候产生误差的原因主要是由人为因素造成的
3、测三角形内角和 用经纬仪测量一三角形内角，除了上面所说的人和仪器的
因素导致误差外，还有环境因素，如：光的折射、视线跳动等 等,都有可能使照准失真，这些现象是由于空气的密度不同、空 气的对流、风力等情况所造成的, 也就是由环境造成的。
A
B
C’ C
结论:环境因素也是造成误差产生的又一个主要原因
误差产生原因：
1.仪器设备
2.人为因素
3.外界条件
• 测量仪器、观测者、外界条件是引起观测误差的主要因素， 这三个因素综合起来称为观测条件。
• 观测条件相同的一系列观测称为等精度观测；
• 观测条件不同的各次观测称为非等精度观测。
• 误差（Error)Δ（真误差）：观测值L与真值X的差值。
i li X (i=1,2,….n)
• 真值X：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。
二、测量误差分类 按性质分为 系统误差(system error)、偶然误差(accident error) 1.系统误差：在相同的观测条件下，误差的大小、符号 表现出系统性，
或按一定规律性变化，这种误差称为系统误差。 2.偶然误差：在相同的观测条件下，误差的大小、符号 表现出偶然性，
（白塞尔公式）：
m [vv] n 1
四、算术平均值中误差M
M m n
因此，增加观测次数，可以提高算术平均值的精度
[例] 设用经纬仪测量某角度6个测回，观测值见下表，求 观测值的中误差及算术平均值中误差。
观测次序
1 2 3 4 5 6
观测值（°′″）
36 50 30 26 28 24 25 23
二、和差函数
设有未知量Z为其他两个独立观测值X，Y的和函数或差函数，
合写为
Z X Y
设X，Y的观测值为x，y，由此得函数的计算值z为 z x y
设观测值x，y的中误差分别为mx，my
mz m2x m2 y
两个独立观测值代数和的中误差，等于这两个独立观测值中 误差的平方和。
设独立观测值为x1，x2…… ，xn ，其中误差为m1， m2 ……， mn，n个独立观测值的代数和的函数中
h a b
高差h是观测值a和b的函数。 阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的
定律，称为误差传播定律。
一、倍数函数
设某个未知量Z观测值X之间，存在倍数的函数关系为 Z kX
式中k为常数。设X的观测值为x，由此得Z的观测值z为
z kx
设观测值x的中误差为mx
mz kmx
K倍观测值函数的中误差，等于观测值中误差的K倍。
第五章 测量误差的基本知识 第一节 测量误差及其分类
一、测量误差（error）及其来源
先看三个例子： 1、如果用两把刻划不一样的尺，丈量同一段距离，用第一根尺量得距离
为20m,用第二根尺量得距离为19.98m，两者相差2cm。
• 结论:这时误差产生的如果用两把刻划不一样的尺，丈量同一段距离， 用第一根尺量得距离为20m,用第二根尺量得距离为19.98m，两者相差 2cm。
3、相对误差(relative error) 中误差与相应观测值之比，通常将分子化为1， 用1/N的形式表示,
当误差的大小与被观测量无关时，用中误差来衡量精度；反之，用相对 误差衡量。 4、平均误差
第三节 算术平均值及其中误差
一、算术平均值 当观测次数无限增加时，算术平均值趋近于真值。
将最接近真值的近似值，称为“最或然值”（或称为“最可靠 值”）。 二、观测值改正数
性）。
第二节 评定精度的指标
一、精度的含义 对某一个量的多次观测中，其误差分布的密集和离散程度。
二、衡量精度的指标 1、中误差(mean square error)
真误差的平方和的平均数之平方根。
m [] n
式中［ΔΔ］为真误差Δ的平方和，n为观测次数。 中误差不同于每个观测值的真误差，它是衡量一组观测精度的指 标，它的大小反映一组观测值的离散程度。中误差小，则误差的分 布密集，各观测值之间的差异也较小，这组观测值的精度就高；反 之，精度越低。
2、容许误差 （亦称极限误差limit error） 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的界限，称
为极限误差。 真误差大于一倍中误差的偶然误差出现的概率为31.7％ 真误差大于两倍中误差的偶然误差出现的概率为4.5％ 真误差大于三倍中误差的偶然误差出现的概率为0.3％
一般以2-3倍中误差作为容许误差△容≈2m或△容≈ 3m