第五章 测量误差的基本知识

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观测量的最或然值与观测值之差,称为观测值改正数V。 当为等精度观测时,算术平均值x与观测值l之差,即为观测 值改正数V。
Vi x li
(i=1,2,….n)
三、由观测值改正数计算观测值中误差
在现实生产中,真误差往往不知道,需要计算观
测值的改正数(观测值与算术平均值之差)来计算
中误差,用改正数求等精度观测值中误差的公式
3、相对误差(relative error) 中误差与相应观测值之比,通常将分子化为1, 用1/N的形式表示,
当误差的大小与被观测量无关时,用中误差来衡量精度;反之,用相对 误差衡量。 4、平均误差
第三节 算术平均值及其中误差
一、算术平均值 当观测次数无限增加时,算术平均值趋近于真值。
将最接近真值的近似值,称为“最或然值”(或称为“最可靠 值”)。 二、观测值改正数
X=36 50 26
v
+4 0 +2 -2 -1 -3 [v]=0
vv
16 0 4 4 1 9 [vv]=34
计算
m [vv] 34 2.6 n 1 61
M m 2.6 1.16 n5
第四节 误差传播定律
例如,水准测量中,每站的高差h就是观测的后视 读数a与前视读数b之差求得的,即
第五章 测量误差的基本知识 第一节 测量误差及其分类
一、测量误差(error)及其来源
先看三个例子: 1、如果用两把刻划不一样的尺,丈量同一段距离,用第一根尺量得距离
为20m,用第二根尺量得距离为19.98m,两者相差2cm。
• 结论:这时误差产生的如果用两把刻划不一样的尺,丈量同一段距离, 用第一根尺量得距离为20m,用第二根尺量得距离为19.98m,两者相差 2cm。
2、量身高: 现用同一根尺对
同一人量身高三次,

当视线水平或向上倾

斜或向下倾斜时,会
量得三个不同的身高
值,这三个值之间存
在误差。
结论:这时候产生误差的原因主要是由人为因素造成的
3、测三角形内角和 用经纬仪测量一三角形内角,除了上面所说的人和仪器的
因素导致误差外,还有环境因素,如:光的折射、视线跳动等 等,都有可能使照准失真,这些现象是由于空气的密度不同、空 气的对流、风力等情况所造成的, 也就是由环境造成的。
i li X (i=1,2,….n)
• 真值X:反映一个量真正大小的绝对准确的数值。
二、测量误差分类 按性质分为 系统误差(system error)、偶然误差(accident error) 1.系统误差:在相同的观测条件下,误差的大小、符号 表现出系统性,
或按一定规律性变化,这种误差称为系统误差。 2.偶然误差:在相同的观测条件下,误差的大小、符号 表现出偶然性,
A
B
C’ C
结论:环境因素也是造成误差产生的又一个主要原因
误差产生原因:
1.仪器设备
2.人为因素
3.外界条件
• 测量仪器、观测者、外界条件是引起观测误差的主要因素, 这三个因素综合起来称为观测条件。
• 观测条件相同的一系列观测称为等精度观测;
• 观测条件不同的各次观测称为非等精度观测。
• 误差(Error)Δ(真误差):观测值L与真值X的差值。
二、和差函数
设有未知量Z为其他两个独立观测值X,Y的和函数或差函数,
合写为
Z X Y
设X,Y的观测值为x,y,由此得函数的计算值z为 z x y
设观测值x,y的中误差分别为mx,my
mz m2x m2 y
两个独立观测值代数和的中误差,等于这两个独立观测值中 误差的平方和。
设独立观测值为x1,x2…… ,xn ,其中误差为m1, m2 ……, mn,n个独立观测值的代数和的函数中
或不按一定规律性变化,这种误差称为偶然误差。 三、偶然误差的统计特性: a.在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限度(有
界性)。 b. 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(大小性)。 c. 绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)。 d.随着观测次数的无限增加,偶然误差的算术平均值趋近于零(抵偿
h a b
高差h是观测值a和b的函数。 阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的
定律,称为误差传播定律。
一、倍数函数
设某个未知量Z观测值X之间,存在倍数的函数关系为 Z kX
式中k为常数。设X的观测值为x,由此得Z的观测值z为
z kx
设观测值x的中误差为mx
mz kmx
K倍观测值函数的中误差,等于观测值中误差的K倍。
误差计算值为mz,则
mz m12 m22 mn2
当m1=m2=……=mn=m 时
mz m n
三、线性函数
设有未知量Z为独立观测值X1,X2 ……,Xn的线性函数,

z k1X1 k2 X 2 knXn
式中k1 ,k2 ……,kn为常数。设各个观测量的观测值为x1, x2…… ,xn ,其中误差为m1,m2 ……, mn。n个独立观测 值的代数和的函数中误差计算值为mz,由观测值计算得函 数的计算值为
性)。
第二节 评定精度的指标
一、精度的含义 对某一个量的多次观测中,其误差分布的密集和离散程度。
二、衡量精度的指标 1、中误差(mean square error)
真误差的平方和的平均数之平方根。
m [] n
式中[ΔΔ]为真误差Δ的平方和,n为观测次数。 中误差不同于每个观测值的真误差,它是衡量一组观测精度的指 标,它的大小反映一组观测值的离散程度。中误差小,则误差的分 布密集,各观测值之间的差异也较小,这组观测值的精度就高;反 之,精度越低。
2、容许误差 (亦称极限误差limit error) 在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的界限,称
为极限误差。 真误差大于一倍中误差的偶然误差出现的概率为31.7% 真误差大于两倍中误差的偶然误差出现的概率为4.5% 真误差大于三倍中误差的偶然误差出现的概率为0.3%
一般以2-3倍中误差作为容许误差△容≈2m或△容≈ 3m
(白塞尔公式):
m [vv] n 1
四、算术平均值中误差M
M m n
因此,增加观测次数,可以提高算术平均值的精度
[例] 设用经纬仪测量某角度6个测回,观测值见下表,求 观测值的中误差及算术平均值中误差。
观测次序
1Baidu Nhomakorabea2 3 4 5 6
观测值(°′″)
36 50 30 26 28 24 25 23
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