倒立摆校正装置的设计

自动控制原理课程设计报告倒立摆系统的控制器设计指导教师：谢昭莉学生：冯莉学号： 20095099专业：自动化班级： 2009 级 3 班设计日期： 2011.12.12—2011.12.23重庆大学自动化学院2011年12月重庆大学本科学生课程设计任务书目录1倒立摆系统的研究背景和意义 (1)2小车倒立摆系统模型的假设 (1)3符号说明 (2)4模型的建立 (2)4.1牛顿力学法系统分析 (2)4.2拉氏变换后实际系统的模型 (6)5开环响应分析 (7)6根轨迹法设计超前校正装置函数 (9)6.1校正前倒立摆系统的闭环传递函数的析 (9)6.2系统稳定性分析 (9)6.3期望闭环极点的确定 (10)6.4 超前校正装置传递函数的设计 (11)6.4.1校正参数计算 (11)6.4.2控制器的确定 (13)6.4.3校正装置的改进 (13)6.4.4Simulink仿真 (15)7直线一级倒立摆频域法设计 (17)7.1系统频域响应分析 (17)7.2频域法控制器设计 (19)7.2.1控制器的选择 (19)7.2.2系统开环增益的计算 (19)7.2.3校正装置的频率分析 (20)7.2.4控制器转折频域和截止频域的求解 (22)7.2.5校正装置的确定 (22)7.2.6Simulink仿真 (24)8直线一级倒立摆的PID控制设计 (25)8.1PID简介 (25)8.2PID控制设计分析 (25)8.3PID控制器的参数测定 (26)9总结与体会 (29)9.1总结 (29)9.2体会 (29)10参考文献 (30)摘要倒立摆是一种典型的非线性，多变量，强耦合，不稳定系统，许多抽象的控制概念如系统的稳定性、可控性、系统的抗干扰能力等都可以通过倒立摆直观的反应出来；倒立摆的控制思想在实际中如实验、教学、科研中也得到广泛的应用；在火箭飞行姿态的控制、人工智能、机器人站立与行走等领域有广阔的开发和利用前景。

因此，对倒立摆系统的研究具有十分重要的理论和实践意义。

本文首先将直线倒立摆抽象为简单的模型以便于受力分析进行机理建模，然后通过牛顿力学原理进行分析，得出相应的模型，进行拉氏变化带入相应参数得出摆杆角度和小车位移、摆杆角度和小车加速度、摆杆角度和小车所受外界作用力、小车位移与小车所受外界作用力的传递函数，其中摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：02()0.02725()()0.01021250.26705s G s V s s Φ==- (1)即我们在本次设计中主要分析的系统的传递函数。

然后从时域角度着手，分析直线一级倒立摆的开环单位阶跃响应和单位脉冲响应，利用Matlab 中的Simulink 仿真工具进行仿真，得出结论该系统的开环响应是发散的。

最后分别利用根轨迹分析法，频域分析法和PID 控制法对倒立摆系统进行校正。

针对目标一：调整时间0.5(2%)s t s =误差带，最大超调量%10%≤p σ，选取参数利用根轨迹法进行校正，得出利用超前校正环节的传递函数为：135.1547( 5.0887)()135.1547c s G s s +=+ (2)针对目标二：系统的静态位置误差常数为10；相位裕量为 50︒；增益裕量等于或大于10 分贝。

通过频域法得出利用超前校正环节的传递函数为：1189.6(8.15)()99.01c s G s s +=+ (3)针对目标三： 调整时间误差带）%2(2s t s =，最大超调量，%15%≤p σ，设计或调整PID 控制器参数，得出调整后的传递函数为：150()21020c G s s s=++ (4)关键词：直线一级倒立摆 根轨迹分析 频域分析 PID控制1倒立摆系统的研究背景和意义倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。

通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。

倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案。

由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。

[1]平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。

倒立摆系统中最基本、经典的是平面直线一级倒立摆，它是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载一级摆体组件。

2 小车倒立摆系统模型的假设1、假设空气阻力为0；2、假设系统各部分连接处的摩擦力分布均匀；3、假设摆杆的质量分布均匀；4、皮带传动时没有弹性；3 符号说明1、M——小车质量 1.096kg2、m——摆杆质量0.109kg3、b——小车摩擦系数4、l——摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m5、I——摆杆惯量6、F——加在小车上的力7、x——小车位置8、φ——摆杆与垂直向上方向的夹角9、θ——摆杆与垂直向下方向的夹角4 模型的建立4.1牛顿力学法系统分析通过以上假设，将倒立摆抽象为如图所示的系统FMmxdx bdtl图4-1-1、直线一级倒立摆物理模型对系统进行受力分析，如图4-1-2小车和摆杆的受力图。

其中，N 和P 分别为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向是确定的，矢量方向定义如图2所示，规定水平向右为矢量正方向。

[2]mg22d I dtθ图4-1-2 直线一级倒立摆受力分析首先对小车水平方向所受的合力和对摆杆水平方向的受力进行分析，得到系统的第一个运动方程。

对小车水平方向所受的合力进行分析，得到如下方程：22d x dx M F bNdtdt=--（4-1-1）对摆杆水平方向的受力进行分析，得到如下面方程：22(sin )dN mx l dtθ=+ （4-1-2）即：22222N = m+ mlcos ml()sin d x d d dtdtdtθθθθ-（4-1-3）把这个表达式代入式(4-1)中，得到系统的第一个运动方程：22222()cos ()sin d dx d d M m bmlml F dtdtdtdtθθθθθ+++-= （4-1-4）然后通过对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到系统的第二个运动方程。

对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到方程如下：22(cos )d P mg ml dtθ-= （4-1-5）222sin ()cos d d P mg mlml dtdtθθθθ-=-- （4-1-6）力矩平衡方程如下：22sin cos d Pl Nl Idtθθθ--= （4-1-7）此方程中力矩的方向，如图所示θπφ=+ , 则cos sin ,sin sin φθφφ=-=-，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去 P 和N ，得到第二个运动方程：22222()sin cos d d x I ml mgl mldtdtθθθ++=- （4-1-8）设θπφ=+（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1φ<<，则可以进行近似认为2cos 1,sin ,()0d dtθθθφ=-=-=。

用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下[3]：2222222222()()()d d x I m l m gl m l dt dt d x dx d M m b m l udt dt dt φφφ⎧+-=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩（4-1-9）假设初始条件为0，对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到：22222()()()()()()()()()I m l s s m gl s m lX s sM m X s s bX s s m l s s U s ⎧+Φ-Φ=⎪⎨++-Φ=⎪⎩ （4-1-10） 由于输出为角度φ ，求解方程组的第一个方程，可以得到：22()()()I ml g X s s ml s ⎡⎤+=-Φ⎢⎥⎣⎦ （4-1-11）222()()()s m lsX s I m l s m glΦ=+-（4-1-12）令v = x ，则有：22()()()s mlV s I ml s mglΦ=+- （4-1-13）把上式代入方程组的第二个运动方程，得到：22222()()()()()()()I ml g I ml g M m s s b s s ml s s U s ml s ml s ⎡⎤⎡⎤+++-Φ++Φ-Φ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（4-1-14）整理后得到传递函数：22432()()()()m lss qb I m l M m m glbm gl U s s s s sqqqΦ=+++--（4-1-15）其中222[()()]q M m I m l m l =++-。

4.2拉氏变换后实际系统的模型本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。

摆杆角度和小车位移的传递函数：22()0.02725()0.01021250.26705s sX s s Φ=-（4-2-1）摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：2()0.02725()0.01021250.26705s V s s Φ=-（4-2-2）摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：32() 2.35655()0.088316727.9169 2.30942s sU s s s s Φ=+--（4-2-3）5 开环响应分析当输入为小车加速度时，分析摆杆角度与小车位置的脉冲响应和阶跃响应。

由式（4-2-1）、（4-1-2）或者通过受力分析物理公式均可得到小车位移和小车加速度的传递函数：2()1()X s V s s（4-2-4）利用Matlab 中的Simulink 仿真工具进行仿真[4]，仿真系统的结构如图5-1图5-1 摆杆角度与小车位移的阶跃响应和脉冲响应仿真结构图摆杆角度的阶跃响应和脉冲响应分别如图5-2、图5-3所示。

图5-2、摆杆角度的阶跃响图5-3、摆杆角度的脉冲响应小车位置的阶跃响应、脉冲响应分别如图5-4、图5-5所示。

图5-4、小车位置的阶跃响图5-5、小车位置的脉冲响应从图5-2～图5-5可以看出，输入加速度时，摆杆角度及小车位移的阶跃响应和脉冲响应都是发散的。

倒立摆系统不稳定，需要进行校正。