世纪金榜第六章第五节

•=
所以
所以数列 是首项
•为b1，公比为 的等比数列，其通项为
•答案：数列 为等比数列，且通项为
•【拓展提升】 •1.类比推理的一般步骤 •(1)找出两类事物之间的相似性或一致性. •(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明 确的命题(猜想).
•2.熟悉常见的类比对象 •(1)平面与空间的类比
•4.已知a0≠0，设方程a0x+a1=0的一个根是x1,则x1=
方程
•a0x2+a1x+a2=0的两个根是x1,x2，则x1+x2=
由此类推方程
•a0x3+a1x2+a2x+a3=0的三个根是x1,x2,x3，则x1+x2+x3=_____.
•【解析】由给出的一次方程、二次方程的根之和与系数的关系
•判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). •(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一 定正确.( ) •(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合 情推理.( ) •(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类 比对象较为合适.( )
•(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定 是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( ) •(5)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正 确.( )
•+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.
•【思路点拨】(1)分析每一个方程中等号右边的数值与方程解 •的个数的倍数关系，发现其中的规律. •(2)分析直线方程中x的系数、双曲线方程中 的系数与交点 •的横坐标、纵坐标之间的数量关系，发现规律. •(3)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2), •f(-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x)的值.
•(2)给出下列命题： •命题1：点(1，1)是直线y=x与双曲线
的一个交点；
•命题2：点(2，4)是直线y=2x与双曲线 的一个交点；
•命题3：点(3，9)是直线y=3x与双曲线
的一个交点；
•…
•请观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)为：_______.
•(3)设f(x)=
先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)
•3.设f(x)= 012(0) •=________.
记f1(x)=f(x),若fn+1(x)=f(fn(x)),则f2
•【解析】f1(x)= f2(x)=
•f3(x)=
f4(x)=
•所以f5(x)=f1(x)，f6(x)=f2(x)，…，f2 012(x)=f4(x)=x＝1，an＋1＝ •列的通项公式为_________. •【解析】根据递推公式得
(n∈N*)，猜想这个数 于是猜想
•答案:
•2.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为
•复数集)
•①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，
•则a－b＝0⇒a＝b”.
•考向 1 归纳推理 •【典例1】(1)(2012·江西高考改编)观察下列事实：|x|+|y| •=1的不同整数解(x,y)的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解 (x,y)的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12， …，则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为______.
•【变式备选】(1)(2012·石家庄模拟)观察下列等式，照此规 律，第五个等式应为______. •1=1 •2+3+4=9 •3+4+5+6+7=25 •4+5+6+7+8+9+10=49 •【解析】第五个等式中应该有9个数相加，第一个数是5，和 等于81，所以第五个等式是： 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81. •答案：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81
•数列 为等差数列，且通项为
类似地，请
•完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为b1， •公比为q，前n项的积为Tn，则________.
•【思路点拨】(1)“三角形”与“四面体”类比，“面积”与
•“体积”类比，“内切圆”与“内切球”类比，“面积分割
•法”与“体积分割法”类比，即可得到结论.
•考向 3 演绎推理 •【典例3】已知函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c<b<1).若函数f(x)的 一个零点为1，且函数y＝f(x)＋1有零点. •(1)证明：－3<c≤－1且b≥0. •(2)若m是函数y＝f(x)＋1的一个零点，判断f(m－4)的正负并 加以证明.
•【思路点拨】(1)由函数f(x)的一个零点为1，代入可得b与c 的关系式，由函数y＝f(x)＋1有零点，可用判别式建立不等式 从而得到c与b的范围. •(2)将f(m-4)用m与c表示，结合(1)判断符号.
•(2)等差数列与等比数列的类比
•【变式训练】(1)在平面上，若两个正三角形的边长的比为 •1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正 •四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为______. •【解析】V1∶V2＝ •答案：1∶8
•(2)若{an}是等差数列，m,n,p是互不相等的正整数，则有： (m-n)ap+(n-p)am+(p-m)an=0，类比上述性质，相应地，对等比 数列{bn}，有_______. •【解析】由等差数列与等比数列的性质易得结论. •答案：bpm-n·bmn-p·bnp-m=1
•考向 2 类比推理
•【典例2】(1)设△ABC的三边长分别为a,b,c，△ABC的面积为
•S，内切圆半径为r，则
类比这个结论可知，四面
•体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4，四面体ABCD的体积 •为V，内切球半径为R，则R＝________.
•(2)若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则
•②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”
•类比推出“若a，b，c，d∈Q，则
⇒a＝c，b＝
•d”.
•③“若a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C， 则a－b＞0⇒a＞b”. •其中类比得到的结论正确的序号是______.
•【解析】由复数以及实数的性质可知①②是正确的类比，其 结果是正确的，而类比③得到的结论是错误的，例如： a=2+i,b= •1+i，有a-b=1>0，但不能有2+i>1+i，因为虚数不能比较 大小. •答案:①②
③一种具有创造性的推理
由特殊到特殊的推理
•2.合情推理的解题流程 •(1)归纳推理 •实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论 •(2)类比推理 •观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论
•3.演绎推理 •(1)定义：一种由•_一__般__性__的__命_题___推演出•_特__殊_性__命__题___的方法， •我们把这种推理称为演绎推理. •(2)特点：演绎推理是由•_一__般_到__特__殊___的推理. •(3)模式：演绎推理的一般模式是三段论. •①大前提：已知的•_一__般__性__的__原__理__； •②小前提：所研究的特殊对象； •③结论：根据一般性的原理，对•_特__殊__对_象___做出的判断.
•(2)“除”与“开方”相类比，即 类比 类比
•“加”与“乘”相类比，即
类比a1+(n-1)
•【规范解答】(1)设四面体ABCD的内切球球心为O， •连结OA,OB,OC,OD， •则V＝VO-ABC＋VO-BCD＋VO-CDA＋VO-ABD •＝ •＝ •所以R＝
•答案：
•(2)因为Tn=b1·b2·b3·…·bn=b1n·q1+2+3+…+(n-1)
知b≥0.
•(2)f(x)＝x2＋2bx＋c＝x2－(c＋1)x＋c＝(x－c)(x－1). •因为m是函数y＝f(x)＋1的一个零点，所以f(m)＝－1. •从而f(m)＝(m－c)(m－1)<0，所以c<m<1， •所以c－4<m－4<－3<c. •所以f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)>0， •即f(m-4)的符号为正.
•(3)f(0)+f(1)= •= •= •同理可得：
•由此猜想f(x)+f(1-x)= •证明：f(x)+f(1-x)= •= •=
•【互动探究】利用本例第(3)题中的结论计算 •f(-2 012)+f(-2 011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 013)的值 . •【解析】由本例第(3)题中的结论f(x)+f(1-x)= 得 •方法一：f(-2 012)+f(2 013)= •f(-2 011)+f(2 012)= •故f(-2 012)+f(-2 011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 013)= •2 013×
•(2)(2012·长沙模拟)考察下列一组不等式：
•
将上述不等式在左右两端仍为两项和的
•情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则 •推广的不等式为______. •【解析】观察所给的三个不等式中不等号左右两边的各项的次 •数之间的关系可得. •答案：am+n+bm+n>ambn+anbm(a,b>0,a≠b,m,n>0)