三角函数与解直角三角形.doc
解直角三角形.doc 例题
解直角三角形经典例题精析类型一、锐角三角函数1．（1）在△ABC中，∠C=90°.若sinA=，则tanA=______.【考点】锐角三角函数的定义与特殊角三角函数值.【解析】设∠A的对边为(也可设为1)，则斜边为2，由勾股定理得邻边为，所以由tanA===(也可由sinA=得∠A=30°，则tan30°=).【答案】.（2）（2010哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）．（A） 7sin35°（B）（C）7cos35°（D）7tan35°【考点】锐角三角函数的定义.【答案】C2．已知：cos=，则锐角的取值范围是( )A.0°＜＜30°B.45°＜＜60°C.30°＜＜45°D.60°＜＜90°【思路点拨】cos60°=，cos45°=，因为＜＜所以45°＜＜60°.【答案】B.3．当45°＜＜90°时，下列各式中正确的是( )A.tan＞cos＞sinB.sin＞cos＞tanC.tan＞sin＞cosD.cos＞sin＞tan 【考点】同一锐角不同三角函数比较大小.【提示】当一锐角在45°～90°范围内，正切值＞1，1＞正弦值＞，＞余弦值＞0.【答案】C.4．Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的,那么锐角A的各个三角函数值( )A.都缩小B.都不变C.都扩大5倍D.无法确定【考点】三角函数值与角的度数有关，与边的比值有关.【思路点拨】因为一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，但各边的比值不变.【答案】B.5．1-cos234°-cos256°=__________.【考点】(1) sin2A+cos2A=1；(2)互余两角的三角函数关系sinA=cos(90°-A)或cosA=sin(90°-A).【解析】1-cos234°-cos256°=1-(sin256°+cos256°)=1-1=0.【答案】0.6．方程有实数根，求锐角的取值范围.【考点】锐角三角函数的增减性及特殊角的三角函数值.【解析】∵方程有实数根∴△=≥0，即≤，∴0°＜≤30°.总结升华：应掌握特殊角的三角函数值及各个锐角三角函数之间的联系，注意锐角三角函数概念的理解领会及运用. 举一反三：【变式1】已知为锐角，下列结论正确的有( )(1)(2)如果，那么(3)如果，那么(4)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【思路点拨】利用三角函数的增减性和有界性即可求解.【解析】由于为锐角知(1)不成立当时，有，即(2)正确当时，，即(3)成立又，即正确，即(4)成立.【答案】C.【变式2】A、B、C是△ABC的三个内角，则等于( )A. B. C. D.【考点】互余两角正余弦关系.【思路点拨】===.【答案】A.【变式3】已知△ABC中，∠C=90°，若∠A、∠B的余弦值是关于的方程的两个根.且△ABC的周长为24.试求BC的长度.【考点】锐角三角函数概念的理解和运用.【解析】∵∠A、∠B的余弦值是关于的方程的两个根∴由根与系数的关系得：又∵A＋B=900 ∴①平方并把②代入得：整理得：解得=3，=19当=3时，因=＜1不符题意，故舍去.∴=19此时原方程为：解得=，=又设＞∴设=，那么=，=∵=24 ∴=24 解得=2∴△ABC的斜边BC==10.类型二、解直角三角形7．（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=5，BD=3，则sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____，tanB=_____.【考点】解直角三角形，利用已知元素求两锐角的三角函数值.【思路点拨】由∠ACB=90°，CD⊥AB可知，∠A=∠DCB，∵BC=5，BD=3 ∴由勾股定理得CD=4所以sinA=sin∠DCB==， cosA=cos∠DCB==tanA=tan∠DCB==， tanB==【答案】sinA=，cosA=，tanA=，tanB=.（2）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）（A） 2 （B）（C）（D）1【考点】解直角三角形、勾股定理.【思路点拨】过D作DE⊥AB于E，因为∠A=45°，设AE=DE=x, AD =x由tan∠DBA=，得BE=5x, AC=6AB=,即5x+x=,x=,AD =x=2.【答案】A8．如图，在中，AD是BC边上的高，.(1)求证：AC=BD； (2)若，求AD的长.【考点】利用锐角三角函数知识和已知条件解直角三角形.【思路点拨】由于AD是BC边上的高，则有和，这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解.【解析】(1)在中，有，中，有(2)由可设由勾股定理求得即.9．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B，取米，.要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是( )A.米B.米C.米D.米【思路点拨】在中可用三角函数求得DE长.【解析】A、C、E成一直线在中，米，米 .【答案】B.总结升华：任何锐角都可以求三角函数值，并非只能在直角三角形中的锐角才可求三角函数值，此处易混淆.解直角三角形的关键是正确地选择公式，为了迅速准确地优选所需公式，应依题意画出图形，便于分析，并尽量利用原始数据，避免积累误差或链式错误.举一反三：【变式1】在△ABC中，∠C=30°，∠BAC=105°，AD⊥BC，垂足为D，AC=2cm，求BC的长.【思路点拨】在Rt△ADC中，利用sinC=，求出AD=1cm，cosC=，求出CD=在Rt△ABD中，利用tan∠BAD=，求出BD=1，所以BC=BD+CD=1+.【答案】(1+)cm.【变式2】如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，根据下列条件解直角三角形.(1)∠A=60°，CD⊥AB于D，CD=；(2)a=2，CD⊥AB于D，BD=.【考点】解直角三角形中运用已知元素求未知元素，恰当选用锐角三角函数求值.【解析】(1)∵ CD⊥AB，∠A=60°，CD=∴在Rt△CDA中，AC=∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=30°，AB=2AC=4，BC=ABsinA=4×=2；(2)∵BC=a=2，CD⊥AB于D，BD=，∴cosB=，∴∠B=30°∴在Rt△ABC中，∠A=90°-∠B=60°，∴AB=， AC=AB=.总结升华：大胆正确应用，虽然方法很多，但要总结最优解法.【变式3】某片绿地形状如图，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，•求AD、BC的长.【思路点拨】设法补成含60°的直角三角形再求解.【解析】延长BC，AD交于E，∠E=30°在Rt△ABE中，在Rt△CDE中，AD=AE-DE=400-100，BC=BE-CE=200-200.类型三、解直角三角形的实际应用10．(1)（2010 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝，那么AB等于（）(A) m·sin米 (B) m·tan米 (C) m·cos米(D) 米【考点】解直角三角形与实际问题.【答案】B(2)已知，如图：AB∥DC，∠D=900，BC=，AB=4，=，求梯形ABCD的面积.【考点】解直角三角形在实际中的应用.【思路点拨】过B作BE⊥CD于E，设BE=，则结合=得CE=3，又BC=，利用勾股定理求，从而可求梯形ABCD的面积.【解析】过B作BE⊥DC于E，∵tanC=，∴设BE=，则EC=在Rt△BEC中，由勾股定理得：，即解得：=1，∴BE=1，EC=3，∴==.11．如图，在湖边高出水面50m的山顶A处看见一架直升机停留在湖面上空某处，观察到飞机底部标志P处的仰角为45°，又观察到其在湖中之像的俯角为65°，试求飞机距湖面的高度h.(精确到0.01m) tan65°≈2.145【考点】利用三角形函数解实际问题.【思路点拨】通过作点P至湖面的对称点P′，根据方向角平面成像的知识解决问题.【解析】作点P至湖面的对称点P′，连接AP′，设AE=x，在Rt△AEP中∠PAE=45°，则∠P=45°，所以PE=AE=x，由平面成像知识可得OP′=OP=PE+EO=x+50，•在Rt△AP′E中，tan∠EAP′==tan65°，又EP′=OE+OP′=x+100，所以=tan65°≈2.145，解得x≈87.34，所以OP=x+50≈137.34(m)，即飞机距湖面的高度h约为137.34m.12．已知：如图，山顶建有80米高的铁塔BC，为了测量山的高度，测量人员在一个小山坡的P处，测得塔的底部B点的仰角为45°，塔顶C的仰角为60°，若小山坡的坡角为30°，坡长MP=40米，请问，测量人员用这种方法能测量出山的高度吗？如果能，山的高度是多少？(精确到1米，参考数据)【思路点拨】如果能由已知数据计算出山高AB，那么该测量人员的方法可行，另外为计算方法，可将问题抽象成几何计算题【解析】这种方法可以测量出山高，理由如下：如图，作PE⊥AM的延长线于点E，设P点的水平视线与AB交于D点，由已知可得，∠C=30°，∠PBD=45°，BD=DP设BD=x米，则即又答：该测量人员用他的方法能测量出山的高度，其高度约为129米.13．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m，看旗杆顶部的仰角为45；小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5m，看旗杆顶部的仰角为.两人相距28米且位于旗杆两侧(点在同一条直线上).请求出旗杆的高度.(参考数据：，，结果保留整数)【解析】解法一：过点作于，过点作于，则在中，，设(不设参数也可)， 5分在中，，7分答：旗杆高约为12米.解法二：过点作于，过点作于，则，在中，，设，则在中，，解得答：旗杆高约为12米.总结升华：在运用本单元内容时要运用转化思想将所求问题转化到直角三角形中，利用三角函数建立已知与结论的联系，另外，在实际问题时，要注意分类讨论.举一反三：【变式1】如图所示的燕服槽是一个等腰梯形，外口AD宽10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i=1：1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积.【考点】坡度的概念.【解析】如下图，作DF⊥BC于点F.由条件可得四边形AEFD是矩形，AD=EF=10.AB的坡角为1：1，所以=1，所以BE=10.同理可得CF=10.里口宽BC=BE+EF+FC=30(厘米).截面积为×(10+30)×10=200(平方厘米).【变式2】如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥.经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？(精确到0.1)【考点】方向角的应用.【解析】过点C作CD⊥AB于点D.CD就是连接两岸最短的桥.设CD=x米.在直角三角形BCD中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x.在直角三角形ACD中，∠ACD=30°，所以AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°=x.因为AD+DB=AB，所以x+x=3，x=≈1.9(米).【变式3】气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛(设为点)的南偏东方向的点生成，测得.台风中心从点以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点处.因受气旋影响，台风中心从点开始以30km/h的速度向北偏西方向继续移动.以为原点建立如图所示的直角坐标系.(1)台风中心生成点的坐标为，台风中心转折点的坐标为；(结果保留根号)(2)已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市(设为点)位于点的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？【考点】利用三角函数解决实际问题.【解析】解：(1)，；(2)过点作于点，如图，则.在中，，，..，，台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时.相似经典例题精析类型一、图形的相似1．在比例尺1：10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为__________km.考点：比例性质.思路点拨：地图上的比例尺是一种比例关系，即图上距离与实际距离的比.解析：1：10 000 000=8：80 000 000，即实际距离是80 000 000cm=800km.2．（1）将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( )A．菱形的各角扩大为原来的2倍B．菱形的边长扩大为原来的2倍C．菱形的对角线扩大为原来的2倍D．菱形的面积扩大为原来的4倍考点：相似图形的定义和性质.解析：从放大看到的菱形和原来的菱形相似，放大镜只能放大边长，而不能放大角.所以B、C正确，A不正确.D 中相似图形的面积比等于相似比的平方，所以D也正确.故选A.（2）（2010山西）在R t△ABC中，∠C＝90º，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（）A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变考点：相似图形的性质.答案：D3．（1）在同一时刻物高与影长成比例，小华量得综合楼的影长为6 米，同一时刻她量得身高 1.6米的同学的影长为0.6 米，则可知综合楼高为__________.考点：比例线段的基本性质，同一时刻物高与影长的比相等.解析：，则楼高==16，故填16米.（2）（2010四川内江）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6m、与树相距15m，则树的高度为______________m.解析：答案：74．若四边形ABCD∽四边形，且AB：=1：2 ，已知BC=8，则的长是( ) A．4 B．16C．24D．64考点：相似图形的性质，相似四边形对应边的比等于相似比.解析：因为四边形ABCD∽四边形，所以AB：=BC：=1：2即=2BC=2×8=16，故选B.5．下列多边形中，一定相似的是( )A．两个矩形B．两个菱形C．两个正方形D．两个平行四边形考点：多边形相似的定义.解析：A中两个矩形只能满足对应角相等，而对应边不一定成比例；B中两个菱形只满足对应边成比例，而对应角不一定相等；D中两个平行四边形对应边不一定成比例，对应角也不一定相等；C中两个正方形满足对应角相等，对应边成比例.故选C.举一反三：【变式1】下列命题中正确的命题是( )A．相似多边形是全等多边形B．不全等的图形不是相似多边形C．全等多边形是相似多边形D．不相似的图形可能是全等图形解析：全等多边形是特殊的相似多边形，相似比为1.故选C.【变式2】证明：正六边形ABCDEF与正六边形相似.考点：边数相同的正多边形相似的判定.证明：∵正六边形的每个内角都等于120°∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，∠E=∠E′，∠F=∠F′又∵AB=BC=CD=DE=EF=FA=====∴=====∴正六边形ABCDEF∽正六边形.总结升华：边数相同的正多边形都相似.【变式3】两地的距离是500 米，而地图上的距离为10 厘米，则这张地图的比例尺为()A．1：50B．1：500 C．1：5000 D．1：50000解析：图上距离与实际距离的比等于比例尺，即比例尺为10：50000=1：5000，故选C.【变式4】如图，在一张长10cm，宽6cm的矩形纸片上，剪下一个矩形，若剩下的矩形(图中阴影部分)和原来的矩形相似，那么剩下的矩形的面积是多少cm2？思路点拨：已知两个矩形相似，则它们的长的比等于宽的比.因此只能是矩形ABCD的长AD对应矩形CDEF的长CD，矩形ABCD的宽CD对应矩形CDEF的宽DE.解析：∵矩形ABCD∽矩形CFED，∴即解得DE=3.6，∴S矩形CDEF=CD×DE=6×3.6=21.6cm2.类型二、相似三角形6．（1）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有( )(A)1对(B)2对(C)3对(D)4对考点：本题考查三角形相似的基本定理与判定定理的运用.思路点拨：有两角对应相等的两个三角形相似.解析：△ADE∽△ABC，△ACD∽△ABC，△ADE∽△ACD，△DCE∽△CBD，故选D.（2）（2010北京）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB=3∶4，AE=6，则AC 等于( )A．3 B．4 C．6 D．8解析：△ADE∽△ABC答案：D7．下列判断中，正确的是()(A)各有一个角是67°的两个等腰三角形相似(B)邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似(C)各有一个角是45°的两个等腰三角形相似(D)邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似考点：本题要求运用相似三角形的判定定理.思路点拨：设计出反例淘汰错误的选项.解析：A不成立的原因是当底角为67°时，顶角为46°，另一个三角形的顶角为67°时，底角为66.5°，这两个等腰三角形不相似.B两个等腰三角形的邻边之比都为2：1，结合三角形三边关系可知，这两邻边只能是腰和底的比为2：1，每个三角形三边之比均为腰：腰：底=2：2：1.C不成立的原因也是顶角不等.D不成立的原因是当一个等腰三角形的腰与底的比是2：3时，另一个等腰三角形的腰与底的比为3：2，它们三边之比分别为2：2：3与3：3：2.故选B.8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对思路点拨：利用两组角对应相等的两个三角形相似判定.解析：考虑Rt△ABC与Rt△ACD和Rt△CBD相似情况.除直角外，∠A为Rt△ABC和Rt△ACD的公共角，故Rt△ABC∽Rt△ACD，又∠B为Rt△ABC和Rt△CBD的公共角，故Rt△ABC∽Rt△CBD，可得Rt△ACD∽Rt△CBD，故选C.9．如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为( )A．4：5B．16：25C．196：225 D．256：625考点：相似三角形的性质.思路点拨：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，所以相似三角形的面积比等于对应角平分线的比的平方.答案：D.10．如图，在边长为1的正方形网格上有P、A、B、C四点.(1)求证：△PAB∽△PCA；(2)求证：∠APB+∠PBA=45°.考点：相似三角形的判定.思路点拨：判定方法：两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，或两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.解析：(1)∵PC=1，PA=，PB=5，∵∠APC=∠BPA，∴△PAB∽△PCA；(2)∵∠B=∠PAC∠ACB=45°，∴∠APB+∠PBA=∠APB+∠PAC=∠ACB=45°.11．如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED.考点：利用相似三角形的性质和判定解决实际问题.思路点拨：过A点作AH⊥ED，构造三角形，并证明△AFG∽△AEH，再利用相似三角形的对应边的比相等求出结论.解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H.由题意，可得：△AFG∽△AEH，∴，即，解得：EH=9.6米.∴ED=9.6+1.6=11.2米.总结升华：判断两个多边形是否相似，必须同时具备对应角相等，对应边成比例.举一反三：【变式1】在△ABC中，DE∥BC，，若，求.考点：比例的基本性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方.思路点拨：由得出，再利用DE∥BC可得△ADE∽△ABC解：∵，∴.∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，∴.【变式2】如图，△ABC是一块直角三角形的木块，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一块面积最大的正方形木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由.思路点拨：要加工成一块面积最大的正方形木块，有两种方法，利用相似三角形的判定和性质求出两个正方形的边长，比较大小即可.解：(1)如图1，设正方形CDEF的边长为x，则有，得x=cm；(2)如图2，设正方形PQRS的边长为y，作CN⊥AB于N交RS于M，而知CN=，同样有得(cm)，x-y=＞0，故x＞y，所以按正方形CDEF加工，可得面积最大的正方形.【变式3】已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s 的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？思路点拨：用运动的时间t和速度表示线段的长，当△PBQ与△BDC相似时，利用对应边的比相等求出时间.解析：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD= 90°，(1)当∠1=∠2时，有：，即；(2)当∠1=∠3时，有：，即∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD.类型三、位似12．下列图形中不是位似图形的是( )考点：位似图形的定义.解析：A是以圆心为位似中心的图形，B、D根据定义可判断.C是相似但不是位似的图形.故选C.13．（1）（2010广东茂名）如图，已知△与△是相似比为1：2的位似图形，点O为位似中心，若△内一点（x，y）与△内一点是一对对应点，则点的坐标是_________．考点：位似图形的性质.答案：（-2x，-2y）（2）如图，直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标为A(7，1)、B(8，2)、C(9，0).请在图中画出△ABC的一个以点P (12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要求与△ABC同在P点一侧)；考点：位似图形的画法思路点拨：连接位似中心P和△ABC的各顶点，并延长，使PA′=3PA，PB′=3PB，PC′=3PC连接、、，则得到所要画的图形.解：画出，如图所示.14．如图，D，E分别AB，AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？考点：会利用位似图形的定义判定两个图形是位似图形，会利用位似图形的性质解决问题.思路点拨：(1)可先证明△ADE和△ABC相似，对应边在同一直线上或平行，再找出对应顶点的连线交于一点A 可判定是位似图形.(2)利用位似图形的性质，位似图形是相似图形.从而得到对应角相等，可得DE∥BC.解：(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE和=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.又∵点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，∴△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：△ADE和△ABC是位似图形，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC.总结升华：位似图形重点考查学生理解图形变换的意义，利用数形结合的思想解决问题.举一反三：【变式1】如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上.以O为位似中心将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧)；考点：位似图形坐标变换规律.思路点拨：问题关键是确定位似图形各个顶点的坐标：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为2，那么位似图形对应点的坐标的比等于2或-2.由图形可知，A点坐标为(-2，0)，B点坐标为(-1，2)，要求所画△OA1B1与△OAB 在原点两侧，所以相似比为-2，即A1点坐标为(4，0)，B1点坐标为(2，-4).解：如图，△OA1B1就是△OAB放大后的图象.【变式2】如图，用下面的方法可以画出△AOB的“内接等边三角形”，•阅读后证明相应的问题.画法：(1)在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上；(2)连结OE并延长，交AB于点E′，过E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；(3)连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形.请判断△C′D′E′是否是等边三角形，并说明理由.考点：重点考查阅读理解能力和知识的迁移能力.思路点拨：由画法可知，△CDE和△C′D′E′是位似图形.答：△C′D′E′是等边三角形.证明：∵C′E′∥CE，∴△OEC∽△OE′C′，∴，∠C′E′D′=∠CED=60°，∴△C′D′E′∽△CDE.∵△CDE为等边三角形，•∴△C′D′E′为等边三角形.。
第20章 锐角三角函数及解直角三角形
第二十章 锐角三角函数及解直角三角形 29.1 锐角三角函数以及特殊角（2011江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（ ） A. 12B. 2C. 2D.1 【解析】sin45°=2【答案】B 【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。
需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。
（2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为A ．12 BCD【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝CD AC【答案】B【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义．29.2 三角函数的有关计算图4图4（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ．200米B.C.D. 1)米解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tan ,tan CD CD A B AD DB ==，又CD=100，因此AB=AD+DB=00100100100tan tan tan 30tan 45CD CD A B +=+=。
答案：D点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。
( 2012年浙江省宁波市,8,3)如图，Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23,则BC 的长为（A ）4 (B)2 5 (C) 18 1313 (D) 121313 【解析】由三角函数余弦的定义cosB=BC AB =23，又∵AB=6∴BC=4,故选A 【答案】A【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易.（2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是 ，cosA 的值是 .（结果保留根号） 8题图 A B C解析：由已知条件，可知△BDC 、△ADB 是等腰三角形，且DA=DB=BC ，可证△BDC ∽△ABC ，则有BC DC AC BC =，设BC=x ，则DC=1-x ，因此21,101x x x x x-=+-=即，解方程得，1211,22x x ==（不合题意，舍去），即； 又cosA=2ABAD ===点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。
锐角三角函数解直角三角形
2023-11-06CATALOGUE 目录•锐角三角函数的定义•锐角三角函数在解直角三角形中的应用•特殊角的锐角三角函数值及其应用•锐角三角函数的实际应用•练习与解答01锐角三角函数的定义定义正弦函数是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，记作sin(α)。
性质正弦函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随着角度的增加而增加，其最大值为1，最小值为0。
单位正弦函数的单位是弧度(rad)。
定义余弦函数是直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作cos(α)。
性质余弦函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随着角度的增加而减小，其最大值为1，最小值为-1。
单位余弦函数的单位是弧度(rad)。
010203正切函数定义正切函数是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，记作tan(α)。
性质正切函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随着角度的增加而增加，其值无限增大。
单位正切函数的单位是弧度(rad)。
02锐角三角函数在解直角三角形中的应用利用正弦函数解直角三角形已知锐角A的对边与斜边的比值，可以用来求解未知边b。
正弦定理：a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)。
求解公式：b=a×sin(A)/sin(B)。
010203利用余弦函数解直角三角形余弦定理：c²=a²+b²-2abcos(C)。
已知锐角A的邻边与斜边的比值，可以用来求解未知边b。
求解公式：b=(a²+c²-b²)/2ac。
利用正切函数解直角三角形已知锐角A的对边与邻边的比值，可以用来求解未知边b。
正切定理：tan(A)=a/b，tan(B)=b/a。
求解公式：b=a×tan(A)。
01030203特殊角的锐角三角函数值及其应用$\frac{\sqrt{3}}{2}$30度的正弦值$\frac{1}{2}$30度的余弦值$\sqrt{3}$30度的正切值30度、45度、60度的正弦值、余弦值、正切值45度的正弦值：$\frac{\sqrt{2}}{2}$45度的余弦值：$\frac{\sqrt{2}}{2}$45度的正切值：130度、45度、60度的正弦值、余弦值、正切值0360度的正切值$\sqrt{3}$30度、45度、60度的正弦值、余弦值、正切值0160度的正弦值$\frac{\sqrt{3}}{2}$0260度的余弦值$\frac{1}{2}$在解直角三角形时，特殊角的三角函数值可以作为已知条件，用于求解其他角度或边的长度。
锐角三角函数与解直角三角形
选择适当的三角函数
根据已知条件选择适当的三角 函数（正弦、余弦、正切）， 以便建立方程。
建立方程
利用三角函数定义和勾股定理 ，建立关于未知边的方程。
解方程
解方程求出未知边或角。
解直角三角形的实际应用
测量问题
在测量中，经常需要解直 角三角形来计算高度、距 离等。
在直角三角形中，如果一个角是 60度，那么它所对的直角边等于
斜边的√3倍。
特殊角的三角函数值
sin30度=1/2， cos30度=√3/2， tan30度=1/√3
sin60度=√3/2， cos60度=1/2， tan60度=√3
sin45度=√2/2， cos45度=√2/2， tan45度=1
建筑学
在建筑设计、施工等过程 中，需要利用解直角三角 形来计算角度、长度等参 数。
物理学
在力学、电磁学等领域中， 解直角三角形也是常用的 工具。
03
特殊角的解法
30度、45度、60度角的解法
30度角
在直角三角形中，如果一个角是 30度，那么它所对的直角边等于
斜边的一半。
45度角
在等腰直角三角形中，如果一个角 是45度，那么它所对的直角边等于 斜边的长度。
了解三角函数在实际问题中的应用， 如测量、工程等。
掌握利用三角函数图象解方程的方法。
综合练习题
综合运用三角函数的性质和图 象解决复杂问题。
结合其他数学知识，如代数、 几何等，综合运用三角函数。
了解三角函数与其他数学知识 的联系，如微积分、线性代数 等。
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求出对角的正切值。
三角函数对解直角三角形的影响
第36课 锐角三角函数和解直角三角形
5．(2011·苏州 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是 、AD的 ． 苏州)如图，在四边形 中 、 分别是AB、 的 苏州 如图 分别是 中点． 等于( 中点．若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于 B ) ＝ ， ＝ ， ＝ ， 等于 A. 3 B. 4 3 4 C. 3 D. 4
(2011·潜江 五月石榴红，枝头鸟儿歌．一只小鸟从石 潜江)五月石榴红 枝头鸟儿歌． 潜江 五月石榴红，
榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部 处 榴树上的 处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处．从A处看房屋 处沿直线飞到对面一房屋的顶部 处看房屋 顶部C处的仰角为 ° 看房屋底部D处的俯角为 处的俯角为45° 顶部 处的仰角为30°，看房屋底部 处的俯角为 °，石榴树 处的仰角为 与该房屋之间的水平距离为3 与该房屋之间的水平距离为 3 m，求出小鸟飞行的距离 和 ，求出小鸟飞行的距离AC和 房屋的高度CD. 房屋的高度
疑点清源] [难点正本 疑点清源]
1．正确理解三角函数的概念 书写三角函数时， 书写三角函数时，若锐角用一个大写字母或者一个小写希腊字 母表示的，表示它的正弦时，习惯省略角的符号， 母表示的，表示它的正弦时，习惯省略角的符号，如sin A；若锐 ； 角是用三个大写字母或数字表示的，表示它的正弦时，不能省略 角是用三个大写字母或数字表示的，表示它的正弦时， 角的符号， 角的符号，如sin∠ABC，余弦和正切的写法同理．由定义可以看 ∠ ，余弦和正切的写法同理． 的正弦、 出，锐角A的正弦、余弦、正切都是它所在直角三角形的两边的 锐角 的正弦 余弦、 的取值范围是0<∠ 比，因此都是正数；因为锐角A的取值范围是 ∠A<90°，则三 因此都是正数；因为锐角 的取值范围是 ° 角函数的取值范围是0<sin A<1,0<cos A<1，tan A>0；当∠A确定 角函数的取值范围是 ， ； 确定 时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应． 三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．
专题七、锐角三角函数及解直角三角形
7 2
,
B a C
c b A
7.若 α为锐角,且cos α= -2<m<1 值范围__________.
1- m ,则m的取 3
8.若∠A为锐角，且tan2A+2tanA-3=0，
则∠A=
45°
.
广安怎么考
2009．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设 计的测量方案及数据如下： （1） 在大树前的平地上选择一点 A， 测得由点 A 看大树顶端 C 的仰角为 30°； （2）在点 A 和大树之间选择一点 B（A、B、D 在同一直线上），测得由点 B 看大树顶端 C 的仰角恰好为 45°； （3）量出 A、B 间的距离为 4 米．请你根据以上数据求出大树 CD 的高度． （精确到 0.1，参考数据： 2 ≈1.41
4.在△ ABC中，∠C=90°,c=26,
24 则a=_____. A 5k =10 C 26 = 13k
5 cosA = 13
B
5. 在△ ABC中，∠C=90°,c=2,
1 tanA = 2
4 5 则S△ABC=________.
B k C
c=2 2k A
6. 在△ ABC中，∠C=90°,a+b= S△ABC=
b c
C
tanA=
a b
tanα＞0；
一 .知识网络构建
3.特殊角的三角函数值：
30° sinA2
60°
3 2
1 2
一 知 识 网 络 构 建 .
2 2
tanA
若Α为锐角,则:
3 3
1
3
sinA的值随∠A度数的增大而增大; cosA的值随∠A度数的增大而减小; tanA的值随∠A度数的增大而增大.
八锐角三角函数解直角三角形新
八锐角三角函数解直角三角形新汇报人：2023-12-20•八锐角三角函数基本概念•直角三角形中的锐角三角函数•利用八锐角三角函数解直角三角形目录•八锐角三角函数与其他数学知识联系•八锐角三角函数在实际问题中的应用•总结与展望目录01八锐角三角函数基本概念定义与性质- 正弦sin(θ) = opposite / hypotenuse- 余弦√3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3三角函数表的使用- 查表求三角函数值用三角函数表进行近似计算：当需要快速估算某个角度下的三角函数值时，可以通过查表得到近似值，从而进行近似计算。
用三角函数表进行单位换算：在处理物理、工程等领域的问题时，经常需要将角度转换为弧度或反之，此时可以利用三角函数表进行单位换算。
用三角函数表解直角三角形：已知直角三角形的两个锐角角度，可以通过查表得到相应的正弦、余弦值，进而利用这些值求出直角三角形的第三边长度。
02直角三角形中的锐角三角函数直角三角形中的角度与边长关系在直角三角形中，角度与边长之间存在一定的关系。
例如，在一个直角三角形中，如果一个角为30度，那么与它相邻的边长是斜边长度的1/2。
角度与边长的关系式在直角三角形中，角度与边长的关系可以用三角函数来表示。
例如，sin(θ) =opposite / hypotenuse，cos(θ) = adjacent / hypotenuse，tan(θ) = opposite / adjacent。
计算角度通过已知的边长和三角函数值，可以计算出对应的角度。
例如，如果已知一个直角三角形的斜边长度和其中一个锐角的三角函数值，可以计算出该锐角的度数。
计算边长通过已知的角度和三角函数值，可以计算出对应的边长。
例如，如果已知一个直角三角形的两个锐角的三角函数值和斜边长度，可以计算出其中一个锐角的对边长度。
锐角三角函数在直角三角形中的应用特殊角度下的锐角三角函数值特殊角度下的正弦值在0度、30度、45度、60度、90度等特殊角度下，正弦值是已知的。
三角函数及解直角三角形竞赛试题
《三角函数及解直角三角形》1．三角函数定义：如图R t △ABC 中，∠中，∠C C ＝9090°°正弦：斜边的对边A A Ð=sin ；c aA =sin余弦：斜边的邻边A A Ð=cos ；c b A =cos正切：的邻边的对边A tan ÐÐ=A A ；ba A =tan根据定义，写出∠根据定义，写出∠B B 的三个三角函数值的三个三角函数值=B sin ______________________；；=B cos ________________________；；=B tan ______________________________；；cabBCA2．三角函数之间关系．三角函数之间关系 （1）同角三角函数关系）同角三角函数关系AAA cos sintan =；1cos sin 22=+A A模仿写出：=B tan ________________________；；1cos sin 22=+B B （2）互余角三角函数关系（）互余角三角函数关系（A A ＋B ＝9090））B A cos sin =；B A sin cos =；tanA tanA··tanB tanB＝＝1一个角的正弦等于它余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦3．特殊角的三角函数值3030°、°、°、454545°、°、°、606060°°三角函数三角函数 3030°° 4545°° 6060°° a sina cos a tan4．会设计并根据三角函数关系计算15°、°、757575°角的三角函数°角的三角函数°角的三角函数DC BA5．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性 当0°≤a ≤9090°时，°时，°时，sin a 随a 的增大而的增大而_____________________；；cos a 随a 的增大而的增大而_____________________；；tan a 随a 的增大而的增大而_______ _______6．已知一个三角函数值，求其他三角函数值。
锐角三角函数与解直角三角形
解：（1）∵BD⊥AC， ∴∠ADB=90° 在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°
BD 1 2 AB 3
AD AB2 BD2 62 32 3 3
3 3 3 2 3
2CD AC AD 5
在Rt△BCD中，
BD CD
tan∠C=
3 2 3
1 2
2 2 2 2
3..（1）锐角三角函数是在直角三角形中定义的.
3 2 （333）锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角所处的直角三角形的大小无关 .
2）sinA,cosA,tanA表示的是一个整体，是指两条线段的比，没有单位.
1 2
3 3
1
3
sin cos
3.三角函数之间的关系：
2 2 （1）同角三角函数之间的关系：sin cos 1; tan
AD AB
1 3 且AD 1
∵BD2=AB2﹣AD2
BD
3 2
2
2
2 2
在Rt△ADC中，∵∠C=45° ∴CD=AD=1
BC BD DC 2 2 1
11．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC= 5 3 ，∠A=30°． ①求BD和AD的长； ②求tan∠C的值．
第23课时
锐角三角函一：锐角三角函数
1锐角函数的定义： 如图，在△ABC中，∠C=90°∠A, ∠B ,∠C的对边分别是a，b，c，
则sinA=
a c
cosA=
b c
tanA =
a b
。
c
b
45
0
2.特殊角的三角函数值：
特殊角
温馨提示：
锐角三角函数及解直角三角形
4a
4
3)．计算tan 60°＋2sin 45°－2cos 30°的结果是(c A．2 B. 3 C. 2 D．1 解：原式=
)
3
2 +2× 2
3 - 2× 2
=2
（4）在△ABC中， ∠ B、 2∠ C均为锐角，且
1 3 sin B cos C 2 2 0 ，求∠A的度数。
(2)(2010· 黄冈)在△ABC中,∠C＝90°，sinA＝ ，则tanB＝_ 5 3 4 A. B. C.5(3) D.5(4) 4 3 BC 4 4 (2)∵sinA＝ ，∴ = ，于是可设BC＝4a， AB 5 5
4
AB＝5a.在Rt△ABC中，由勾股定理，可得AC＝ 3a. AC 3a 3 ∴tanB＝ ＝ ＝ .故选B.
分：作PD⊥BC于点D，设 PD=x,则BD=x,AD=x+12,根据AD= 3 3 PD,得x+12= x,求出x的值,再 比较PD与18的大小关系.
D
⑴正弦
1.锐角三角函数的定义 ⑵余弦 ⑶正切 2.30°、45°、60°特殊角的三角函数值
⑴定义
①三边间关系
锐 角 三 角 函 数
⑵解直角三角形的依据
(1)(2010· 哈尔滨)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°， AB＝7，则BC的长为( ) 7 A．7sin35° B. C．7cos35° D．7tan35°
BC 解答：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝ AB
cos 350
，
∴BC＝AB· cosB＝7 cos35°，故选C.
如图，直径为5的⊙A经过点C(0,3)和 点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点， 则∠OBC的余弦值为_______。
初三数学利用三角函数解直角三角形
解直角三角形中考要求知识要点模块一 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=； （4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A=等． 四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．cb CBA六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等．【例1】 如图是教学用直角三角板，边33090tan 3AC cm C BAC =∠=︒∠=，，，则边BC 的长为（ ）A ．303cmB ．203cmC ．103cmD ．53cm【巩固】如图，在ABC △中，9060C B D ∠=︒∠=︒，，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，则BC 的长为（ ）A ．2B ．433C ．23D ．43【巩固】如图，ABC △是等腰三角形，90ACB ∠=︒，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接CE ，则sin ACE ∠= ．例题精讲CBA3ED CBAEDCBA如图所示，O 的直径点作O 的切线，切点为七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵．（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位． （一）仰角与俯角30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB ．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线FD CDCB A【巩固】如图，某电信部门计划架设一条连结B C ，两地的电缆，测量人员在山脚A 地测得B C ， 两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045︒︒，，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）（二）坡度与坡角图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．（1）请你帮助小王在下图中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．O CA（三）方向角【例8】 如图，AC 是某市环城路的一段，AE BF CD ，，都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A B C ，，．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45︒方向、点B 的北偏东30︒方向上， 2AB km =，15DAC ∠=︒．（1）求B D ，之间的距离； （2）求C D ，之间的距离．【巩固】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就减弱一级，该台风中心现在以15km/h 的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响． （1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？ （3）该城市受台风影响的最大风力是几级？（四）其它【例9】 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15︒的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75︒，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．(结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26︒≈和平路文化路中山路30°15°45°FEDCBA【巩固】如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60︒．（1）求AO 与BO 的长；（2）若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行．① 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；② 如图３，当A 点下滑到'A 点，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到'P 点．若'15POP ∠=︒，试求'AA 的长．【例10】 关于三角函数有如下的公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-tan tan tan()(1tan tan 0)1tan tan αβαβαβαβ++=-⋅≠-⋅利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan 45tan 60tan105tan(4560)(21tan 45tan 60︒+︒︒=︒+︒===--︒⋅︒根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α为60︒，底端C 点的俯角β为75︒，此时直升飞机与建筑物CD 的水平距离BC 为42米，求建筑物CD 的高．图1图2图3βαDCBA课堂检测1． （2011•遵义）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长6AB cm =，45ABC ∠=︒，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使30ADC ∠=︒（如图所示） （1）求调整后楼梯AD 的长； ACB ∠= ．课后作业水坡CD 的坡度为2，坝高CF 为2m ，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30︒，D 、E 之间是宽为2m 的人行道，试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由(在地面上，以点B 为圆心．以AB 的长为半径的圆形区域为危险区域)．FE人行道DCB A。
锐角三角函数和解直角三角形
m 的形式.m的值的顺口溜为：1， 2
②正切值可表示为
m
的形式.m的值的顺口溜为：3，9，27.
三、解直角三角形
•１、直角三角形中，除直角外，一共有五个元素， 即 和 . 在直角三角形中，由已知元素求 元素的过程， 就是解直角三角形. •２、在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ、ｂ、 ｃ 分别是∠Ａ∠Ｂ∠Ｃ的对边. 在解直角三角形的过程中，常用的边角关系： （１）三边之间的关系： ； （２）两锐角之间的关系： ； （３）边角之间的关系：sinA=
中考真题· 实战演练
一、选择题(每小题10分，共50分) 1.(2010·哈尔滨中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°， AB＝7，则BC的长为( (A)7sin35° (C)7cos35° ) (B) (D)7tan35°
【解析】选C.由三角函数的定义可知.
2.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ 1 ，则sinB＝(
一、锐角三角函数的概念以性质
• 1、锐角三角函数的概念： 在Rt△ABC中，∠C是直角，∠A、∠B、 B
∠C的对边分别是a、b、c，如图.
A的对边 (1) s in A 斜边 A的邻边 （2） cos A 斜边 A的对边 (3) tan A A的邻边
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的
10 . 2008 · （ 龙岩中考）如图，在 Rt△ ABC中，CAB 90 ，AD 1 是CAB的平分线， B , tan 2 则CD :DB
小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一 般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面 图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，选用适当锐角三角形 函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
三角函数解直角三角形
三角函数解直角三角形
解直角三角形的三角函数主要有正弦函数、余弦函数和正切函数。
在一个直角三角形中，我们通常将直角所在的角定义为角A，以直角的斜边为对边，斜边与直角边的交点为顶点B，直角边上的另一点叫作顶点C。
根据三角形内角和为180度的性质，我们知道直角边与斜边之间的另一个角定义为角C。
由此，可以得出以下三角函数的定义：
1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，角A的正弦值定义为直角边
AC的长度与斜边AB的长度的比值，即sin(A) = AC / AB。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，角A的余弦值定义为直角边
BC的长度与斜边AB的长度的比值，即cos(A) = BC / AB。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，角A的正切值定义为直角边
AC的长度与直角边BC的长度的比值，即tan(A) = AC / BC。
这些三角函数在解直角三角形的过程中起到了重要的作用。
我们可以
通过已知两个角度和一个边长，或者已知一个角度和两个边长，利用
三角函数的关系式来求解直角三角形的其他未知边长或角度。
需要注意的是，三角函数的值都是有范围的，比如正弦函数和余弦函
数的值域在[-1, 1]之间，而正切函数的值域则是全体实数。
因此，在
解直角三角形的过程中，我们需要根据具体的问题来判断解的合理性，并进行适当的推理和计算。
总的来说，三角函数解直角三角形是一种重要的数学应用，可以帮助
我们理解和解决涉及直角三角形的各种实际问题。
三角函数及解直角三角形
三角函数及解直角三角形1、知识点梳理知识点一：锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数注意：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< ，cosA< ，tanA>知识点二：特殊角的三角函数值：ΑSinαcosαtanα300450600注意：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆2、正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而知识点三：解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：Rt∠ABC中，∠C=900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB注意：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示，则i=tanα=hl。
⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示OD表示（也可称东南方向）铅直水平线3、 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点，选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解出数学问题答案，从而得到实际问题的答案注意：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决2、近几年真题再现：1．（天津）tan60°的值等于（ ）A ．1BCD ．22．（温州）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA 的值是（ ）A ．3B ． 4C ．3D ． 4A ．B ．C ．D ．A ．B ．C ．D ．A ．12B ．C ．米D ．7 （潍坊）一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C 靠近，同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）A ．/小B ．30海里/小时C ．/小时D ．/小时8（东营）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为 米．精确到0.1）11 （莱芜）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A 、B 上的观测点进行观测，从A 岛测得渔船在南偏东37°方向C 处，B 岛在南偏东66°方向，从B 岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A 岛上维修船的速度为每小时20海里，B 岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）3、考点训练考点一：锐角三角函数的概念例1 （贵阳）如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12，5），则tan α等于（ ）A ． 513B ．1213C ．512D ．125对应训练1．如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是（ ）A ．23B ．32C ．13D ．13考点二：特殊角的三角函数值对应训练2．计算6tan45°-2cos60°的结果是（）A．B．4 C．D．5考点三：化斜三角形为直角三角形3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC．若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为．（结果保留根号）考点四：解直角三角形的应用例4 （2015•舟山）某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．思路分析：先求出校门关闭时，20个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可．点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，难度适中．解题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，一切将迎刃而解．对应训练4．如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）。
中考数学总复习第15讲-锐角三角函数与解直角三角形
2016年中考数学总复习第15讲-锐角三角函数与解直角三角形-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANb c a B C A D B C Ah l斜坡B C A b c aB C A 2016年中考数学总复习第15讲：锐角三角函数与解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比值叫做∠A 的正弦，记作sinA ． 在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比值叫做∠A 的余弦，记作cosA ． 在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比值叫做∠A 的正切，记作tanA ． 如图，则：sinA= ，∠cosA = ，tanA= ．sine[英][sa ɪn][美][sa ɪn] ；cosine[英][‵k əʊsa ɪn][美][‵ko ʊsa ɪn]；tangent[英][‵tænd ʒənt][美][‵tænd ʒənt] ． 作图归纳：sinα cosα tanα3004506001、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合图形进行记忆．2、三角函数可以进行变换．三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形．2、解直角三角形的依据： Rt △ABC 中，∠C=900 ，三个角的三边对应分别为a 、b 、c ，如图： ⑴三边关系： ； ⑵两锐角关系 ； ⑶边角之间的关系：sinA= ，cosA ，tanA ．sinB= ，cosB ，tanB ．注：1、解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 ．2、当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应三角函数的边角关系解决． 3、解直角三角形应用中的有关概念：⑴仰角和俯角：如图：∠ABC 为仰角，∠DAB 为俯角．⑵坡度坡角：如图：斜坡AB 的垂直度AC 和水平宽度BC 的比叫做坡度， 用i 表示，即i= ，坡面与水平面得夹角为 ， 用字母α表示，则i=h l = ． ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的角，方位角先说南北再说东西．4、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形．⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案．注：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决．【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1．（2012•内江）如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ）A．12 B．55 C．1010 D．255例2．（2012•贵港）在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于（）A．55 B．52 C．32 D．12考点二：特殊角的三角函数值例3．（2012•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°=．例4．（2012•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°= ．．考点三：化斜三角形为直角三角形例5．（2012•安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．例6．（2012•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）考点四：解直角三角形的应用例7．（2013•益阳）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）例8．（2013•娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C 的深度．（精确到0.1米，参考数据：）例9．（2013•呼和浩特）如图，A 、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地经过C 地沿折线A→C→B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米（结果保留根号）【综合训练】一、选择题1.（2012•哈尔滨）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB 的值是（ ）A ．23B ．35C ．34D ．45 2．（2012•天津）2cos60°的值等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．23． 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m4．（2012•泰安）如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A ．310米B ．10米C ．320米D ．3320米第3题图 第4题图二、填空题5．（2012•宁夏）在△ABC 中∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA= ．三、解答题6．（2012•遵义）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB ，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）7．（2012•资阳）小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD=10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．。
第2课时 锐角三角函数与解直角三角形
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解析：∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AB＝2BC， 1 1 ∴∠A＝30° ，∠B＝60° ，∴sin A＝ ，cos B＝ ，tan A 2 2 3 ＝ ，tan B＝ 3，故②③④正确． 3
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2 2 2
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温馨提示 1.互余两角的三角函数值之间的关系：若 ∠ A＋ ∠ B＝ 90° ，那么 sin A＝ cos B 或 sin B＝ cos A. 2.同角的三角函数值之间的关系：sin A＋ cos A＝ sin A 1； tan A＝ . cos A
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锐角三角函数
(2013· 深圳 )如图，已知 l1∥ l2∥ l3，相邻两条 平行直线间的距离相等，若等腰直角△ ABC 的三个顶 点分别在这三条平行直线上，则 sin α 的值是 ( )
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第2课时 锐角三角函数 与解直角三角形
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三角函数与解直角三角形
三角函数与解直角三角形一、选择题：1．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）1213 （C ）1013 （D ）5122．下列等式中正确的是（ ）（A ）1sin cos 22=+αα （B ）cos30°+cos45°=cos75° （C ）33260tan 30tan =︒-︒ （D ）2cot22°30＇=cot45°=1 3．△ABC 中，3)90cot(tan =-︒=C B ，则△ABC 是（ ）（A ）等腰三角形 （B ）等边三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形 4．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，假如将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)1 (B)2 （C ）22(D)225．已知81cos sin =⋅αα，45°<α<90°，则cos α－sin α=（ ） （A ）23（B ）23-（C ）43（D ）23±6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列关系式中错误的是（ ） （A ）b=c ·cosB （B ）b=a ·tanB （C ）a=c ·sinA （D ）a=b ·cotB 7．在Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，则下列结论中不成立的是（ ）（A ）AB ACB =tan （B ）ACCD DAC =∠sin （C ）ABAD BAD =∠cos （D ）AD CDDAC =∠cot8．在△ABC 中，三边之比为2:3:1::=c b a ，则sinA+tanA 等于（ ）（A ）6323+ （B ）321+ （C ）233 （D ）213+9．如图6-32，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ∶AC 等于（ ） （A ）2:3（B ）3:3 （C ）1∶2 （D ）1:210．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ） ABCD（A ）4 （B ）5 （C ）32（D ）338 11．如图是一束平行的光线从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成的∠AMC= 30°，在教室地面的影长MN=32米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC 为（ ）（A ）32米 （B ）3米 （C ）3.2 米 （D ）233米 12．如图1，梯形护坡石坝的斜坡AB 的坡度i =1:3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是（ ） A ．25米 B ．210米C ．45米D ．6米13．如图，在等腰三角形中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=51，则AD 的长是（ ） (A)2 (B) 2 （C ）1 (D)2214．如图是一块长、宽、高分别是6cm,4cm 和3cm 的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 （ ）(A) （3213+）cm (B) cm 97(C)cm 85 (D) cm 10915．如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶 端距地面的垂直距离MA 为a 米，现在梯子的倾斜角为75°.若梯子底 端距离地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角为45°.则这间房子 的宽AB 是（ ）（A ）2ba +米 （B ）2b a -米 （C ）b 米 （D ）a 米二、填空题：１．锐角Ａ满足２sin (Ａ－１５０)＝3则∠Ａ＝______________.２．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，若33sin =A ， BD=1，则AD=________.AB643A BCMBDCACB DCBA3．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，已知EC=1，135cos =B ，则那个菱形的面积是________________. 4．某人欲以最短距离游泳横渡一条河，由于水流的阻碍，实际上岸地点Ｃ偏离欲到达点Ｂ约200米，结果他在水中实际游乐520米，则该河流的 宽度约为___________.5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是那个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短 路程是_____________.三、解答题：1。
第18讲 锐角三角函数与解直角三角形
.
[变式2]如图所示,在由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经
过点C和点D,则tan∠ADC=
.
考点二
特殊角的三角函数值
[例2] (2022燕山一模)计算:
3tan 30°-tan245°+2sin 60°.
2
解:3tan 30°-tan 45°+2sin 60°
第18讲
知识点一
锐角三角函数与解直角三角形
锐角三角函数的概念
在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b
正弦
余弦
正切
∠的对边
sin A=
斜边
∠的邻边
cos A=
斜边
∠的对边
tan A=
∠的邻边
=
=
=
知识点二
特殊角的三角函数值
三角
函数
sin α
30°
45°
在 Rt△BCD 中,∠BDC=90°-53°=37°,CD=90 米,
∴BD=CD·cos 37°≈90×0.80=72(米).
在 Rt△ABD 中,∠A=37°,BD≈72 米,∴AB=
°
答:A,B 两点间的距离约 96 米.
≈
=96(米).
.
[变式7](2022海南)无人机在实际生活中应用广泛.如图所示,小明利用无人机测量大楼的高度,无人
位于 B 的北偏西 45°方向,则从 B 到达 C 需要多少小时?
解:如图所示,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.由题意,得 AE∥CD,BF∥CD,
∴∠ACD=∠CAE=60°,∠BCD=∠CBF=45°.
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学习必备 欢迎下载锐角三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
a 2 b 2c 22、如下图，在 Rt △ABC 中，∠ C 为直角，则∠ A 的锐角三角函数为 ( ∠A 可换成∠ B)：定义 表达式 取值范围正 A 的对边0 sin A 1sin A斜边( ∠A 为锐角 )弦余 A 的邻边0 cos A1cos A斜边( ∠A 为锐角 )弦正 A 的对边tan A 0tan A A 的邻边( ∠A 为锐角 )切3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
由 A B 90B得 B90A斜边 c对sin A sin A cos(90 A) a 边cosBbcos A sin Bcos A sin(90 A)AC邻边4、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特殊角的三角函数值 ( 重要 )三角函数30°45°60°sincostan5 、正弦、余弦的增减性：当 0°≤≤ 90°时， sin 随 的增大而增大， cos 随的增大而减小。
6 、正切、余切的增减性：当 0° < <90°时， tan 随 的增大而增大注意：一定要记住上面的公式与特殊三角函数的值。
解直角三角形1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：a2 b2 c 2；②角的关系： A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
A的对边cos A A的邻边A的对边sin A斜边tan A斜边A的邻边2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
视线铅垂线仰角水平线俯角视线h i h : lαl(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度 (坡比 )。
用字母i表示，即i h。
坡度一般写成 1: m的形式，如 i 1:5 等。
l把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角 )，那么i htan 。
l3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图 3，OA、OB、OC、 OD 的方向角分别是： 45°、 135 °、 225°。
4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图 4,OA、OB、OC、 OD 的方向角分别是：北偏东 30°（东北方向），南偏东 45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西 60°（西北方向）。
45°的直角三角形: 口诀（1）斜边是直角边的2倍，（2）直角边是斜边2倍2300的直角三角形 : 口诀(1)斜边是短直角边的 2 倍（2）长直角边是短直角边的3倍3（3）短直角边是长直角边的3倍基础练习：1．在 Rt△ ABC中，∠ C =90°，sinA= 4，则 cosB 的值等于 ( ) 53 4 3 5A．B．C．D．5 5 4 5 2. 在ABC中， C 900 , sin A 12 , 则 tan A 的值为12 5 12 1313C DA B5 1213 133．在△ ABC中，∠ C=90°，cosA= 3，那么 tanB 的值等于3 4 53 4B.A．5 C. D.5 4 34.一人乘雪橇沿坡度为１: 3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t（秒）之间的关系为Ｓ＝10t 2t 2 ,若滑动时间为 4 秒，则他下降的垂直高度为（）A、 72 米B、36 米C、363米D、18 3米5．如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， CD⊥ AB，垂足为 D．已知 AC= 5 ，BC=2，那么sin∠ACD＝（）A． 5 B．2C．2 5D． 53 3 5 26．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD 和地面 BC上，量得 CD=8 米， BC=20 米， CD 与地面成30o 角，且此时测得 1 米杆的影长为 2 米，则电线杆的高度为 ( )A 9米B 28米C7 3 米D．14 2 3米．．．7．如果α是锐角，且sin 4) （）。
，则 cos(905A. 4B. 3C. 3D. 1 545 58．在△ ABC 中， A ， B 为锐角，且有 sin A cosB ，则这个三角形是（ ）A. 等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形9. 当 450A 90 0 时，下列不等式中正确的是（）。
A. tan A cos A sin A C. sin A tan A cosAB.D.cos A tan A sin Atan A sin A cos A10．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A ，关于 ∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）。
A ． sin A 的值越大，梯子越陡B ． cosA 的值越大，梯子越陡C ． tan A 的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与 ∠ A 的函数11．如图，沿 AE 折叠矩形纸片 ABCD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处。
已知 AB ＝ 8， BC ＝ 10，则 tan ∠ EFC 的值为（ ）。
A ．3B ．4C ．3D ．4435512. 如图，已知直线 l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ∥ l 4 ，相邻两条平行直线间的距离都是 1，如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则 sin ．Aα l 1lBA D2l 3Cl 413. 如图，将两张宽度都为 1 的纸条叠放成如图所示的图形， ? 如果所成四边形的锐角为α，那么这个四边形的面积是（）A ．1B.tanC.tanD.1cos sin14．如图，是一张宽 m 的矩形台球桌 ABCD ，一球从点 M （点 M 在长边 CD 上）出发沿虚线 MN 射向边 BC ，然后反弹到边 AB 上的 P 点 .AB如果 MC n ， CMN.那么 P 点与 B 点的距离为.·ND·CM15. 如图，在正方形网格中，∠的正切值是AOBCD16.如图 ，已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 AD 和 BC 相交于点P ，那么 AB 等于（）A ． sin ∠ BPDB ． cos ∠ BPDC ． tan ∠ BPDD ． 1/ tan ∠ BPD17．在半径为 1 的⊙ O 中，弦 AB 、 AC 分别是2 、3 ，则∠ BAC 的度数为_____ .18．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ CAB=90°， AD 是∠ CAB的平分线， tanB= 1，则 CD ∶ DB=219．将直角边为 12cm 的等腰直角三角形 ABC 绕点 A 顺时针旋转 15o 后得到△ AB ′ ，C ′那么 图中阴影部分面积是 _____cm 2．B'BC'CA20.已知：如图，在△ ABC 中，∠ A=30°, tanB= 3， AC=18，求 BC 、 AB 的长 .4CAB21.如图，某同学在测量建筑物 AB 的高度时，在地面的 C 处测得点 A 的仰角为走 60 米到达 D 处，在 D 处测得点 A 的仰角为 45°，求建筑物 AB 的高度 .A45° BD 30°，向前30°C22.已知：如图，等腰△ ABC 中， AB= BC ， AE ⊥ BC 于点 E ， EF ⊥ AB 于点 F ，若 CE=1，4cos AEF ，求 EF 的长 .523．如图， AD 是△ ABC 的角平分线，且 AD=1615 ，∠ C=90°， AC=8 5 ，求 BC 及 AB ．324.如图，已知电线杆 AB直立于地面上， ? 它的影子恰好照在土坡的坡面 CD和地面 BC上．如果CD与地面成 45°，∠ A=60°， CD=4m， BC=（ 4 6－ 2 2） m，求电线杆 AB 的长．25.日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场检测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋的影响及时开展分析评估．如图上午9 时 , 海检船位于 A 处，观测到某港口城市P 位于海检船的北偏西67.5 °，海检船以21 海里 / 时的速度向正北方向行驶，下午 2 时海检船到达 B 处，这时观测到城市P 位于海检船的南偏西36.9 °方向，求此时海检船所在 B 处与城市P 的距离？（参考数据：sin36.9 °≈3 ，tan36.9°≈3 ，sin67.5°≈12 ，5 4 13tan67.5 °≈12）5B36.9 °CP67.5 °A创新练习：1.小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC上的点 E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点 A 落在 BC上的点 F 处，这样就可以求出67.5 °的角的正切值是D CFEA BA. 3+1B.2+1C.2.5D. 52.在Rt△ABC中，∠ ACB=90°，BC＜AC，若BC AC1 AB 2，则∠A=°．43. 在ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、 b 、c三边，它的外接圆半径为R。
求证：a b csin A sin B =2RsinC4..观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ ABC中，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别是a、 b、 c，过 A 作AD⊥ BC于 D(如图 )，则 sinB= AD， sinC=AD，即 AD=csinB， AD=bsinC，c bc a于是 csinB=bsinC，即b c.同理有：a bsin C sin C，sin A，sin B sin A sin B 所以a b csin A sin B sin C即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题 .（ 1）如图，△ABC 中， B0，∠C=75 0，BC=60 ，则∠ A= ；∠ =45AC= ；（ 2）如图，一货轮在 C 处测得灯塔 A 在货轮的北偏西 30°的方向上，随后货轮以 60 海里／时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达 B 处，此时又测得灯塔 A 在货轮的北偏西75°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔 A 的距离 AB.综合练习1.如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西 15°，距离为61 2千米，且位于临海市（记作点B）正西方向603千米处．台风中心正以 72 千米 / 时的速度沿北偏东 60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心 60 千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？2.当0 60 ，下列关系式中有且仅有一个正确。