2006年广东高考数学试题及答案

③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
A.4
B.3 C.2
D.1
ห้องสมุดไป่ตู้
5、①②④正确，故选 B.
6、已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和 15，偶数项之和为 30，则其公差是
A.5
B.4 C. 3
D.2
x1 = −1, x2 = 1, f (−1) = 0, f (1) = 4 所以, 点 A、B 的坐标为 A(−1,0), B(1,4) .
(
Ⅱ
)
设
p(m, n)
，
Q(x, y)
，
PA • PB = (−1− m,−n)• (1− m,4 − n) = m2 −1+ n2 − 4n = 4
1
k PQ
A(0,2),
B(4
−
s,2s
−
4), C (0,
s), C ′(0,4)
，
（1） 当 3 ≤ s < 4 时可行域是四边形 OABC，此时， 7 ≤ z ≤ 8
（2） 当 4 ≤ s ≤ 5 时可行域是△OA C ′ 此时， zmax = 8
故选 D.
10、对于任意的两个实数对（a,b）和(c,d),规定（a,b）＝(c,d)当且仅当 a＝c,b＝d;运算“ ⊗ ”
=
− 2
，所 以
y−n 1 =−
x−m 2
，又
PQ
的中 点在
y = 2(x − 4) 上 ， 所 以
y
+
m
=
2⎜⎛
x
+
n
−
4
⎞ ⎟
2
⎝2 ⎠
消去 m, n 得 (x − 8)2 + (y + 2)2 = 9
19、（本小题满分 14 分）
已知公比为
q(0
<
q
<
1)
的无穷等比数列
{an
}
各项的和为
9，无穷等比数列
(Ⅱ)以 O 为原点，BC、AF、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），
则 O（0，0，0），A（0， − 3 2 ，0），B（ 3 2 ，0，0）,D（0， − 3 2 ，8），E（0，0，8），F （0， 3 2 ，0） 所以， BD = (−3 2,−3 2,8), FE = (0,−3 2,8)
1 A. − BC + BA
2
1 B. − BC − BA
2
1 C. BC − BA
2
1 D. BC + BA
2
4、 CD = CB + BD = −BC + 1 BA ，故选 A. 2
5、给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和
交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 ,那么这条直线垂直于这个平面;
(Ⅱ)动点 Q 的轨迹方程
18 解: (Ⅰ)令 f ′(x) = (−x3 + 3x + 2)′ = −3x 2 + 3 = 0 解得 x = 1或x = −1
当 x < −1时, f ′(x) < 0 , 当 −1 < x < 1时, f ′(x) > 0 ,当 x > 1时, f ′(x) < 0 所 以 , 函 数 在 x = −1 处 取 得 极 小 值 , 在 x = 1 取 得 极 大 值 , 故
2 3
⎞ ⎟ ⎠
n−1
,所以数列
T
( 2)
的的首项为
t1
=
a2
=
2 ,公差 d
=
2a2
−1= 3,
S10
= 10 × 2 +
1 ×10 × 9 × 3 = 155 ,即数列 T (2) 的前 10 2
项之和为
155.
(Ⅲ)
bi = ai
+ (i −1)(2ai
− 1)=
(2i
− 1)a i
−
(i
− 1) =
B. (2,0) C. (0,2)
D. (0,−4)
10、由
(1,2)
⊗
(
p, q)
=
(5,0)
得
⎧ p − 2q ⎩⎨2 p + q
= =
5 0
⇒
⎧p ⎩⎨q
= =
1 −2
,
所以 (1,2) ⊕ ( p, q) = (1,2) ⊕ (1,−2) = (2,0) ,故选 B.
第二部分 非选择题（100 分）
（Ⅱ） f (x) 的最大值为 2 和最小值 − 2 ；
（Ⅲ）因为
7 sin 2α = −
16
3 f (α ) =
4
，即
3 sin α + cos α = ⋅ ⋅ ⋅
4
7 ⇒ 2sin α cosα = −
,即
16
16、（本小题满分 12 分） 某运动员射击一次所得环数 X 的分布列如下：
X 0-6 7 8 9 10 Y 0 0.2 0.3 0.3 0.2
二、填空题
11、 lim ( 4 − 1 ) = x→−2 4 − x2 2 + x
11、 lim (
4
1 − ) = lim
1
1 =
x→−2 4 − x2 2 + x x→−2 2 − x 4
12、若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
12、 d = 3 3 ⇒ R = 3 3 ⇒ S = 4πR 2 = 27π 2
⎪ ⎪
y
⎪⎨x
≥ +
0 y
≤
s
下，当 3 ≤ s ≤ 5 时，
⎪⎩ y + 2x ≤ 4
目标函数 z = 3x + 2 y 的最大值的变化范围是
A. [6,15]
B. [7,15] C. [6,8]
D. [7,8]
9、由
⎧x
⎨ ⎩
y
+ +
y=s 2x =
4
⇒
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
4− s 2s −
4
交点为
14、在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正 三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第 2、3、4、…堆最底层（第一 层）分别按图 4 所示方式固定摆放 .从第一层开始，每层的小球自然
垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f (n) 表示第
得
lim Sn 存在且不等于零. n→∞ m (注：无穷等比数列各项的和即当 n → ∞ 时该无穷数列前 n 项和的极限)
19
解:
(Ⅰ)依题意可知,
⎧ a1 ⎪⎪1 − q
=
9
⎨ ⎪
a
2 1
81 =
⎪⎩1 − q 2 5
⇒
⎪⎧a1 = 3 ⎨2 ⎪⎩q = 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, an
=
3
×
⎛ ⎜ ⎝
8、已知双曲线 3x 2 − y 2 = 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距
离之比等于
A. 2
23
B.
C. 2
D.4
3
8、依题意可知 a = 3,c = a2 + b2 = 3 + 9 = 2 3 ， e = c = 2 3 = 2 ，故选 C. a3
⎧x ≥ 0
9、在约束条件
cos < BD, EF >= BD • FE = 0 + 18 + 64 = 82 | BD || FE | 100 × 82 10
设 异 面 直 线 BD 与 EF 所 成 角 为 α ， 则 cosα =| cos < BD, EF >|= 82
10 直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos 82
为： (a,b) ⊗ (c, d ) = (ac − bd ,bc + ad ) ，运算“ ⊕ ”为： (a,b) ⊕ (c, d ) = (a + c,b + d ) ，
设 p, q ∈ R ，若
(1,2) ⊗ ( p, q) = (5,0) 则 (1,2) ⊕ ( p, q) =
A. (4,0)
面均垂直，AD＝8,BC 是⊙O 的直径，AB＝AC＝6，OE//AD. (Ⅰ)求二面角 B—AD—F 的大小； (Ⅱ)求直线 BD 与 EF 所成的角.
17、解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD 是二面角 B—AD—F 的平面角， 依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD＝450. 即二面角 B—AD—F 的大小为 450；
6、
⎧5a1 ⎩⎨5a1
+ +
20d 25d
= 15 = 30
⇒
d
=
3 ，故选
C.
7、函数 y = f (x) 的反函数 y = f −1(x) 的图象与 y 轴交于点 P(0,2) (如图 2 所示)，则方程
f (x) = 0 的根是 x =
A. 4
B. 3 C. 2
D.1
7、 f (x) = 0 的根是 x = 2，故选 C
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 ξ .
(Ⅰ)求该运动员两次都命中 7 环的概率；
(Ⅱ)求 ξ 分布列；