风险价值(VaR)课件
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i 1 T
若每天的方差为 2，且各天之间相互独立，则T天的方差为 D(rT ) D( ri ) 2T D(rT ) T
i 1 T
解析法释义
VaR V0 ( zc T T ) ) V0 ( zc
每单位资产偏离了正常的状态 的程度，或者异常——风险。 在解析法下，资产的VaR等于期初资产的盯市价值 乘上方差和某个置信水平下的分位数，减去资产 的平均价值。 15
pr
1-C
V
损失
V*
VaR
V0u
16
解析法的计算实例
假定A银行期初的资产市值V0＝$8,000,000，根据 历史资料，其资产月回报率服从正态分布，即1个 月内该银行的回报率为
r ~ N (0.01,0.04)
现在求其1个季度（3个月）的99％置信水平的VaR
VaR V0 zc T V0 T =8,000,000 2.33 0.2 3 8,000,000 0.01 3 =6,217,085.41062
持有期＝10天
V0
V0（1＋r）
随机变量
其中，r是持有期的回报率，如果在某个置信水平C 下，第10天资产组合的某个置信水平的最低价值为 V*，则
V V0 (1 r )
回忆：资产组合在未来一段时间内可能的最大 损失。若以绝对损失定义（绝对VaR）
VaR V0 V * V0 r
JP Morgan的CEO Weathstone要求每天《4.15 报
告》只产生一个数字的风险计量方法，计量不同 交易工具，不同部门综合后的风险。 截止到1999年，BCBS监管下的71家银行中有66家 对公众披露VaR
4
3.VaR的数学表示
损失：盯市计算
Pr(V VaR) 1 c
风险价值（VaR）
南京大学金融学系 林辉 linhui@nju.edu.cn
1
第一节
1. VaR的含义
风险价值的定义
Value at Risk 译为风险价值或在险价值，
风险的货币表示。
VaR是指在某一给定的置信水平下，资产组
合在未来特定的一段时间内可能遭受的最大 损失（Jorion，1997）。
VaR V0 V 8.27 7.22 1.05 （元）
*
20
历史模拟法的计算步骤
收集资产的历史样本，计算历史上资产的回 报分布。 2. 假设资产未来回报的概率分布与其历史是同 分布的，故可用历史上的资产回报的分布来 表示未来价格的波动，并得到未来可能的N 种价格。 3. 将N种未来的资产价格从小到大排序，第N× （1－c）％个就是置信水平为C的最坏价格 4. 当前价格与最坏价格相减，就得到VaR。
23
例：模拟一个股票的运动轨迹，初始的价格为 10元， 回报率为1％，波动率（标准差）为5％，模拟1000 次，计算95％置信水平的VaR。
采用Matlab 6.5编程得到的价格分布如图所示 由此便可计算得到95％的VaR（参见程序）
第四节 银行资本充足性标准:VaR方法
VaR方法的实质：允许符合条件的金融机构采用 自己开发的VaR模型计算其防范风险的最小充足 资本
黄灯区
红灯区
第五节 VaR的其他用途
信息披露
1998年美国证券交易委员会的市场风险披露规则
“FRR No.48”要求所有规模较大的上市公司必 须选择包括VaR在内四种方式定量披露公司暴露 的风险（不仅仅是市场风险）
置信水平C：通常为99％（BCBS，1997）或95％
（JP Morgan），置信度越大VaR越大 持有期：10个交易日（BCBS，1997），持有期越 长VaR越大
2
如何理解VaR：金融风险的“天气预报”
A银行2004年12月1日公布其持有期为10天、 置信水平为99%的VaR为1000万元。这意 味着如下3种等价的描述：
26
后验测试与惩罚
后验测试（Backtesting）：VaR计算的风险对实 际风险的覆盖程度。监管部门定期测试银行的内 部模型。
0.1
0.0
实际回报 GARCH-N(95%) GARCH-T(95%) EGARCH-GED(95%) GARCH-N(99%) GARCH-T(99%) EGARCH-GED(99%)
计分布，如正态分布、t分布、广义误差分布 （GED分布）等 由分布的参数来估计回报率r在某个置信水平 下的最小值
10
例子：假定回报服从正态分布
假定A银行期初的资产市值V0＝$10,000,000，根据 历史资料，其资产月回报率r服从正态分布，即1 个月内该银行的回报率为
r * 0.01 r ~ N (0.01,0.04) z 1c 0.2 若c 99%, 可以查正态分布表得到 z1c z1% 2.33, 所以 r 2.33 0.2 0.01 0.465
置信水平
VaR
f ( x)dx 1 c
5
pr
1-C
损失
收益
ΔV *
VaR
ΔV
VaR计量的是资产组合的下方风险(Downside Risk)，虽然这种风险发生的概率只有5％或者1％， 但是危害性大，所以银行要加以防范。
6
第二节 VaR计算的基本模型
不妨将A银行的全部资产看成1个资产组合，期初（比如 2004.12.6）的盯市价值为V0，10天后其资产价值如下图
已知的量
( V0 V * )
V0 V0 (1 r )
需要估计的未知量
注：(1)约定俗成，VaR一般以正数表示；(2)计算 VaR就相当于计算最小的V*值或回报率r*。
8
VaR的另一种表达：以回报的均值为参照——相对损失， 称为相对VaR。假定A银行未来（1个月）回报的概率分布 如下图所示
1.
21
第三节 VaR计算的三种方法
3. 蒙特卡洛模拟（Monte simulation）
蒙特卡洛模拟也是一种非参数方法，其计算
原理与历史模拟法相同，都是通过模拟资产 回报的路径得到各种可能结果，从而在得到 的组合损益分布的基础上，通过分位数来求 得VaR。 与历史模拟不同的是，蒙特卡洛模拟法对资 产价格分布的估计不是来自于历史的观测值， 而是通过产生大量的随机数得到的。
这里我们也可以发现方差计量风险的缺点，在回报率方差 为0.004的条件下，但回报率可以低到-46.5%。
11
参数
若以绝对VaR来计算
VaR V0 V V0 V0 (1 r )
*
V0 r $10, 000, 000 ( 0.465) $4, 650, 000
A银行从12月1日开始，未来10天内的资产组合
的损失大于1000万元的概率小于1%； 以99％的概率确信，A银行在未来10天内的损 失不超过1000万元；
3
2. VaR的优点
精确性：借助于数学和统计学工具，VaR以定
量的方式给出资产组合下方风险（Downside Risk）的确切值。 综合性：将风险来源不同、多样化的金融工 具的风险纳入到一个统一的计量框架，将整 个机构的风险集成为一个数值。 通俗性：货币表示的风险，方便沟通和信息 披露
累计分布达到5％所 对应的资产价值变 化为 -$25,800,000 。
VaR V V * $8,000,000 ($25,800,000) $33,800,000
第三节 VaR计算之一：解析法
1. 解析法（方差-协方差法、参数法）
借助统计学，利用历史数据拟合回报率r的统
明日（12月7日）可能的价格 7.88 8.82 8.24 8.43 9.18 7.86 7.79 8.59 7.63 8.58 8.26 8.26 7.9 8.25 8.36 8.55 8.15 8.51 8.41 8.1 7.96
1000 种 可能 的价格 （局部）
将S证券未来1000种可能的价格由小到大排 序，那么99％置信水平下的最大损失就是对 应于第10种最坏的情形。 将今天（12月6日）的价格－明天（估计的） 1000种中第10个最坏情形的价格，就得到了 99％置信水平下、持有期为1天的VaR。
含义：在1个月内，该银行有99％概率确信其损失 不大于372万美元，或者说损失大于372万的可能性 只有1％。
12
解析法的计算公式
由上面的例子我们不难发现
若某个持有期内（1个小时，1天，1个月...) 回报率为 r ~ N ( , 2 ) 则 r
正态分布具 有对称性
z1c r z1c , 故
巴塞尔的标准法受到JP Morgan和G30的严厉指责。 G30：商业银行赖以生存的技能之一就是对其具有个
性化的资产组合建模，由此产生“内部模型法 ” （IRB）。 1996年，BCBS市场风险补充规则允许运用内部风险 管理的VaR模型作为计算资本充足性的基础。
25
基于VaR的最小充足资本
本质：把所有的可能列出
22
基本步骤：
情景产生：通过产生服从某种分布的随机数，
构造可能可能情景（比如东南亚金融危机）。 资产估值：在每个情景下计算资产的价格。 估计VaR：根据资产价格分布，计算某个置信 水平下的VaR。
例如：模拟1000个情景，从而得到资产价格的1000
个可能结果，由此得到价格的分布，根据最不利的 50个情景（95％置信水平）或最不利的第10个情景 （99％置信水平）
-0.1
-0.2
-0.3
250天后验测试示意图
27
后验测试与惩罚
BCBS规定：在连续250日内，监管部门测算银行 的实际损失超过VaR测量结果的天数平均不能超 过5天。
内部模型不准确的惩罚
绿灯区 结果出现偏差的天数 ≤4 5 6 7 8 9 ≥10 谨慎性乘数K 3 3.4 3.5 3.65 3.75 3.85 4
第三节 VaR计算方法之二：历史模拟法
2. 历史模拟法（Historical Simulation）
基本思想：历史可以再现，明天的情形可能是历史
上的所有情形中的一种。 非参数方法，区别于参数法，不需要估计均值、方 差等参数
例：计算S证券明日的99％置信水平下的VaR。
得到S证券今日之前1001个交易日的收盘价，并由此
计算原理：商业银行t日前1天的VaR值和前60天 平均VaR的k倍，取两者之间的最大值，就是t日 的最小风险资本（Min risk capital）
1 60 MRCt max(k VaRt i ,VaRt 1 ) 60 i 1 其中，k为监管部门规定的一个谨慎性乘数 如果模型不准确将加大处罚力度！
VaR V0 r V0 ( z1c ) V0 zc V0
平方根法则
假定资产回报率是在1天（月）的持有期上计算 出来的，现在要计算T天（月）持有期下的VaR， 此时就要采用平方根法则
VaR V0 zc TBiblioteka BaiduV0 T
若每日回报为ri , T 天的平均回报就是E (rT ) E ( ri ) T
收盘价格 11.55 11.15 11.69 11.65 11.8 12.7 12.28 11.79 12.1 11.45 11.75 8.63 8.61 8.23 8.2 8.28 8.55 8.42 8.65 8.78 8.6 8.28
涨跌幅 -0.4 0.54 -0.04 0.15 0.9 -0.42 -0.49 0.31 -0.65 0.3 -0.02 -0.02 -0.38 -0.03 0.08 0.27 -0.13 0.23 0.13 -0.18 -0.32
计算得到1000个交易日的涨跌幅。 假定这1000种涨跌幅在明天都有可能发生，以今日 价格为基础，那么明天的价格就有1000种可能。
18
20001021 20001022 20001023 20001024 20001025 20001028 20001029 20001030 20001031 20001101 20001104 20041122 20041123 20041124 20041127 20041128 20041129 20041130 20041201 20041204 20041205 20041206
若每天的方差为 2，且各天之间相互独立，则T天的方差为 D(rT ) D( ri ) 2T D(rT ) T
i 1 T
解析法释义
VaR V0 ( zc T T ) ) V0 ( zc
每单位资产偏离了正常的状态 的程度，或者异常——风险。 在解析法下，资产的VaR等于期初资产的盯市价值 乘上方差和某个置信水平下的分位数，减去资产 的平均价值。 15
pr
1-C
V
损失
V*
VaR
V0u
16
解析法的计算实例
假定A银行期初的资产市值V0＝$8,000,000，根据 历史资料，其资产月回报率服从正态分布，即1个 月内该银行的回报率为
r ~ N (0.01,0.04)
现在求其1个季度（3个月）的99％置信水平的VaR
VaR V0 zc T V0 T =8,000,000 2.33 0.2 3 8,000,000 0.01 3 =6,217,085.41062
持有期＝10天
V0
V0（1＋r）
随机变量
其中，r是持有期的回报率，如果在某个置信水平C 下，第10天资产组合的某个置信水平的最低价值为 V*，则
V V0 (1 r )
回忆：资产组合在未来一段时间内可能的最大 损失。若以绝对损失定义（绝对VaR）
VaR V0 V * V0 r
JP Morgan的CEO Weathstone要求每天《4.15 报
告》只产生一个数字的风险计量方法，计量不同 交易工具，不同部门综合后的风险。 截止到1999年，BCBS监管下的71家银行中有66家 对公众披露VaR
4
3.VaR的数学表示
损失：盯市计算
Pr(V VaR) 1 c
风险价值（VaR）
南京大学金融学系 林辉 linhui@nju.edu.cn
1
第一节
1. VaR的含义
风险价值的定义
Value at Risk 译为风险价值或在险价值，
风险的货币表示。
VaR是指在某一给定的置信水平下，资产组
合在未来特定的一段时间内可能遭受的最大 损失（Jorion，1997）。
VaR V0 V 8.27 7.22 1.05 （元）
*
20
历史模拟法的计算步骤
收集资产的历史样本，计算历史上资产的回 报分布。 2. 假设资产未来回报的概率分布与其历史是同 分布的，故可用历史上的资产回报的分布来 表示未来价格的波动，并得到未来可能的N 种价格。 3. 将N种未来的资产价格从小到大排序，第N× （1－c）％个就是置信水平为C的最坏价格 4. 当前价格与最坏价格相减，就得到VaR。
23
例：模拟一个股票的运动轨迹，初始的价格为 10元， 回报率为1％，波动率（标准差）为5％，模拟1000 次，计算95％置信水平的VaR。
采用Matlab 6.5编程得到的价格分布如图所示 由此便可计算得到95％的VaR（参见程序）
第四节 银行资本充足性标准:VaR方法
VaR方法的实质：允许符合条件的金融机构采用 自己开发的VaR模型计算其防范风险的最小充足 资本
黄灯区
红灯区
第五节 VaR的其他用途
信息披露
1998年美国证券交易委员会的市场风险披露规则
“FRR No.48”要求所有规模较大的上市公司必 须选择包括VaR在内四种方式定量披露公司暴露 的风险（不仅仅是市场风险）
置信水平C：通常为99％（BCBS，1997）或95％
（JP Morgan），置信度越大VaR越大 持有期：10个交易日（BCBS，1997），持有期越 长VaR越大
2
如何理解VaR：金融风险的“天气预报”
A银行2004年12月1日公布其持有期为10天、 置信水平为99%的VaR为1000万元。这意 味着如下3种等价的描述：
26
后验测试与惩罚
后验测试（Backtesting）：VaR计算的风险对实 际风险的覆盖程度。监管部门定期测试银行的内 部模型。
0.1
0.0
实际回报 GARCH-N(95%) GARCH-T(95%) EGARCH-GED(95%) GARCH-N(99%) GARCH-T(99%) EGARCH-GED(99%)
计分布，如正态分布、t分布、广义误差分布 （GED分布）等 由分布的参数来估计回报率r在某个置信水平 下的最小值
10
例子：假定回报服从正态分布
假定A银行期初的资产市值V0＝$10,000,000，根据 历史资料，其资产月回报率r服从正态分布，即1 个月内该银行的回报率为
r * 0.01 r ~ N (0.01,0.04) z 1c 0.2 若c 99%, 可以查正态分布表得到 z1c z1% 2.33, 所以 r 2.33 0.2 0.01 0.465
置信水平
VaR
f ( x)dx 1 c
5
pr
1-C
损失
收益
ΔV *
VaR
ΔV
VaR计量的是资产组合的下方风险(Downside Risk)，虽然这种风险发生的概率只有5％或者1％， 但是危害性大，所以银行要加以防范。
6
第二节 VaR计算的基本模型
不妨将A银行的全部资产看成1个资产组合，期初（比如 2004.12.6）的盯市价值为V0，10天后其资产价值如下图
已知的量
( V0 V * )
V0 V0 (1 r )
需要估计的未知量
注：(1)约定俗成，VaR一般以正数表示；(2)计算 VaR就相当于计算最小的V*值或回报率r*。
8
VaR的另一种表达：以回报的均值为参照——相对损失， 称为相对VaR。假定A银行未来（1个月）回报的概率分布 如下图所示
1.
21
第三节 VaR计算的三种方法
3. 蒙特卡洛模拟（Monte simulation）
蒙特卡洛模拟也是一种非参数方法，其计算
原理与历史模拟法相同，都是通过模拟资产 回报的路径得到各种可能结果，从而在得到 的组合损益分布的基础上，通过分位数来求 得VaR。 与历史模拟不同的是，蒙特卡洛模拟法对资 产价格分布的估计不是来自于历史的观测值， 而是通过产生大量的随机数得到的。
这里我们也可以发现方差计量风险的缺点，在回报率方差 为0.004的条件下，但回报率可以低到-46.5%。
11
参数
若以绝对VaR来计算
VaR V0 V V0 V0 (1 r )
*
V0 r $10, 000, 000 ( 0.465) $4, 650, 000
A银行从12月1日开始，未来10天内的资产组合
的损失大于1000万元的概率小于1%； 以99％的概率确信，A银行在未来10天内的损 失不超过1000万元；
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2. VaR的优点
精确性：借助于数学和统计学工具，VaR以定
量的方式给出资产组合下方风险（Downside Risk）的确切值。 综合性：将风险来源不同、多样化的金融工 具的风险纳入到一个统一的计量框架，将整 个机构的风险集成为一个数值。 通俗性：货币表示的风险，方便沟通和信息 披露
累计分布达到5％所 对应的资产价值变 化为 -$25,800,000 。
VaR V V * $8,000,000 ($25,800,000) $33,800,000
第三节 VaR计算之一：解析法
1. 解析法（方差-协方差法、参数法）
借助统计学，利用历史数据拟合回报率r的统
明日（12月7日）可能的价格 7.88 8.82 8.24 8.43 9.18 7.86 7.79 8.59 7.63 8.58 8.26 8.26 7.9 8.25 8.36 8.55 8.15 8.51 8.41 8.1 7.96
1000 种 可能 的价格 （局部）
将S证券未来1000种可能的价格由小到大排 序，那么99％置信水平下的最大损失就是对 应于第10种最坏的情形。 将今天（12月6日）的价格－明天（估计的） 1000种中第10个最坏情形的价格，就得到了 99％置信水平下、持有期为1天的VaR。
含义：在1个月内，该银行有99％概率确信其损失 不大于372万美元，或者说损失大于372万的可能性 只有1％。
12
解析法的计算公式
由上面的例子我们不难发现
若某个持有期内（1个小时，1天，1个月...) 回报率为 r ~ N ( , 2 ) 则 r
正态分布具 有对称性
z1c r z1c , 故
巴塞尔的标准法受到JP Morgan和G30的严厉指责。 G30：商业银行赖以生存的技能之一就是对其具有个
性化的资产组合建模，由此产生“内部模型法 ” （IRB）。 1996年，BCBS市场风险补充规则允许运用内部风险 管理的VaR模型作为计算资本充足性的基础。
25
基于VaR的最小充足资本
本质：把所有的可能列出
22
基本步骤：
情景产生：通过产生服从某种分布的随机数，
构造可能可能情景（比如东南亚金融危机）。 资产估值：在每个情景下计算资产的价格。 估计VaR：根据资产价格分布，计算某个置信 水平下的VaR。
例如：模拟1000个情景，从而得到资产价格的1000
个可能结果，由此得到价格的分布，根据最不利的 50个情景（95％置信水平）或最不利的第10个情景 （99％置信水平）
-0.1
-0.2
-0.3
250天后验测试示意图
27
后验测试与惩罚
BCBS规定：在连续250日内，监管部门测算银行 的实际损失超过VaR测量结果的天数平均不能超 过5天。
内部模型不准确的惩罚
绿灯区 结果出现偏差的天数 ≤4 5 6 7 8 9 ≥10 谨慎性乘数K 3 3.4 3.5 3.65 3.75 3.85 4
第三节 VaR计算方法之二：历史模拟法
2. 历史模拟法（Historical Simulation）
基本思想：历史可以再现，明天的情形可能是历史
上的所有情形中的一种。 非参数方法，区别于参数法，不需要估计均值、方 差等参数
例：计算S证券明日的99％置信水平下的VaR。
得到S证券今日之前1001个交易日的收盘价，并由此
计算原理：商业银行t日前1天的VaR值和前60天 平均VaR的k倍，取两者之间的最大值，就是t日 的最小风险资本（Min risk capital）
1 60 MRCt max(k VaRt i ,VaRt 1 ) 60 i 1 其中，k为监管部门规定的一个谨慎性乘数 如果模型不准确将加大处罚力度！
VaR V0 r V0 ( z1c ) V0 zc V0
平方根法则
假定资产回报率是在1天（月）的持有期上计算 出来的，现在要计算T天（月）持有期下的VaR， 此时就要采用平方根法则
VaR V0 zc TBiblioteka BaiduV0 T
若每日回报为ri , T 天的平均回报就是E (rT ) E ( ri ) T
收盘价格 11.55 11.15 11.69 11.65 11.8 12.7 12.28 11.79 12.1 11.45 11.75 8.63 8.61 8.23 8.2 8.28 8.55 8.42 8.65 8.78 8.6 8.28
涨跌幅 -0.4 0.54 -0.04 0.15 0.9 -0.42 -0.49 0.31 -0.65 0.3 -0.02 -0.02 -0.38 -0.03 0.08 0.27 -0.13 0.23 0.13 -0.18 -0.32
计算得到1000个交易日的涨跌幅。 假定这1000种涨跌幅在明天都有可能发生，以今日 价格为基础，那么明天的价格就有1000种可能。
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20001021 20001022 20001023 20001024 20001025 20001028 20001029 20001030 20001031 20001101 20001104 20041122 20041123 20041124 20041127 20041128 20041129 20041130 20041201 20041204 20041205 20041206