西南大学19秋0346]《初等数论》

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《初等数论(闵嗣鹤、严士健-高等教育出版社)》习题解答 (整理精华版)

且 | tn |
|t | b , , 如此类推知： 2 22
| tn 1 | | tn 2 | |t | |b| 2 n n 1 2 2 2 2
而 b 是一个有限数，n N , 使 tn 1 0
(a, b) (b, t ) (t , t1 ) (t1 , t2 ) (tn , tn 1 ) (tn , 0) tn ，存在其求法为： (a, b) (b, a bs ) (a bs, b (a bs ) s1 )
a1 , a2 , an | a1 |,| a2 | ,| an |
证：设 [a1 , a2 , , an ] m1 ，则 ai | m1 (i 1, 2, , n)
《初等数论》习题解答
∴ | ai || m1 (i 1, 2, , n) 又设 [| a1 |,| a2 |, ,| an |] m2
《初等数论》习题解答
(76501,9719) (9719, 76501 9719 7) (8468,9719 8468) (1251,8468 1251 6) (3,1) 1
4．证明本节（1）式中的 n
log b log 2
证：由 P3§1 习题 4 知在（1）式中有
0 rn 1 rn 1
rn 1 rn 2 r b 2 n11 n ，而 rn1 2 2 2 2
b , 2n b ， n 2
n log 2 b
log b log b ，即 n log 2 log 2
§3 整除的进一步性质及最小公倍数
an p n an 1 p n 1q a1 pq n 1 a0 q n 0

0346初等数论

三、解：因为125 = 53，50 = 252，
所以125与50的最大公因数是52，即25。
四、解：因为(1,9) = 1，所以不定方程有整数解。
显然x = 1，y = 0是其一个特解，
所以不定方程的一切整数解为，其中t取一切整数。
五、证明：若m或n为3的倍数，则mn是3的倍数；若m是3的倍数加1，n是3的倍数加1，则m-n是3的倍数；若m是3的倍数加1，n是3的倍数加2，则m+n是3的倍数；若m是3的倍数加2，n是3的倍数加1，则m+n是3的倍数；若m是3的倍数加2，n是3的倍数加2，则m-n是3的倍数，结论成立。
三、（15分）求125与50的最大公因数。
四、（15分）求不定方程x+9y=1的一切整数解。
五、（10分）设m,n为整数，证明m+n,m-n与mn中一定有一个是3的倍数。
一、解释概念
1.答：若a，b是两个整数，其中b>0，则存在两个整数q及r，使得
a=bq+r， 0<=r<b 成立，而且q及r是唯一的，q叫做a被b除所得的不完全商。学与应用数学2017年06月
课程名称【编号】：初等数论【0346】 A卷
大作业满分：100 分
一、解释下列概念（每小题15分，共30分）
1.叙述整数a被b除的不完全商的概念。
2.叙述整数a，b对模m同余的概念。
二、（30分）给出有关整除的一条性质并加以证明。
2.答：如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a与b对模m同余，记为a≡b（mod m）。
二、答：若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数。即：若b| a，c| b，则 c|a。
证：由b|a，c|b及整除的定义知存在整数q1,q2 使得a=bq1,b=cq2。因此a=(cq2)q1=c(q1q2)，但q1q2是一个整数，故c|a。

初等数论

问题一：数学教育专业分为专业基础课：高等代数，数学分析，空间解析几何以及专业课：实变函数论，点集拓扑，复变函数论，微分几何，概率与数理统计，数学建模，初等数论，数学教学论。

数学主要的学科首要产生于商业上计算的需要、了解数与数之间的关系、测量土地及预测天文事件。

这四种需要大致地与数量、结构、空间及变化(即算术、代数、几何及分析)等数学上广泛的领域相关连著。

除了上述主要的关注之外，亦有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：至逻辑、至集合论(基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、及较近代的至不确定性的严格学习。

一、李永乐：李永乐老师毕业于北京大学数学系，后来在清华大学数学系任教，他还是前二李全书的代数执笔者，李永乐全书和660题的主编，可以说是考研数学界的权威代表。

他的研究方向是线性代数。

二、汤家凤：汤老师是南京大学数学系博士，南京工业大学副教授。

他的研究方向为高等代数。

三、李林：李林老师毕业于北师大数学系，大连理工大学数学科学学院数学研究所教师，职称为讲师，研究方向为常微分方程。

四、武忠祥：西安交通大学数学系教授，从事高等数学教学和考研辅导23年，国家高等数学试题库骨干专家。

五、王式安：王式安本人毕业于复旦大学数学系，后来任教于北京理工大学。

王式安老师是前考研命题组的老师，主要是讲概率。

六、方复全：首都师范大学特聘教授，教育部长江学者特聘教授。

主要研究方向为微分几何、微分拓扑学。

七、曹一鸣：北京师范大学数学学科学院教授，博士生导师，贵州师范大学特聘教授。

主要从事数学课程与教学、数学史与数学教育研究。

八、戎小春：首都师范大学数学系硕士毕业，后留校任教。

现为美国Rutgers大学教授。

他的研究方向主要为微分几何理论。

九、王贵君：天津师范大学数学学院教授。

研究方向：模糊测度与积分,模糊神经网络,模糊系统逼近。

十、汪晓勤：中国科学院科学技术史博士专业，获哲学博士学位。

现任华东师范大学数学系教授，学科教育（数学）专业博士生导师。

2019西南大学数学教育学答案

1、理性思维的含义包括的四个方面是.独立思考，不迷信权威；尊重事实，不感情用事；思辨分析，不混淆是非；严谨推理，不违背逻辑。

.独立思考，不迷信权威；尊重事实，不感情用事；思辨分析，不混淆是非；合情推理，不需要逻辑推理。

.博采众长，不独断猜想；尊重群众，不采纳少数意见；思辨分析，不混淆是非；严谨推理，不违背逻辑。

.合作交流，不独自思考；尊重事实，不感情用事；思辨分析，不混淆是非；严谨推理，不违背逻辑。

2、数学史教育应该遵循的四个原则是. B. 科学性、实用性、趣味性、广泛性.普及性、实用性、趣味性、广泛性.科学性、实用性、趣味性、民族性.科学性、教育性、趣味性、广泛性3、《周易》对中国古代数学发展的影响主要表现在以下三个方面.第一，易数在各领域的广泛应用和发展；第二，《周易》对中国古代数学家知识结构的影响；第三，《周易》对中国古代数学思维方式的影响。

.第一，提出了勾股定理；第二，阐述了“割圆术”；第三，提出了“杨辉三角”.第一，易数在各领域的广泛应用和发展；第二，阐述了“割圆术”；第三，算命.第一，提出了勾股定理；第二，《周易》对中国古代数学家知识结构的影响；第三，《周易》对中国古代数学思维方式的影响。

4、中学数学教学中最重要的三种基本思想方法是. F. 函数思想、方程思想和数形结合思想.化归思想、方程思想和概率统计思想.函数思想、算法思想和概率统计思想.函数思想、方程思想和概率统计思想5、古希腊文明的数学标志性著作是.《高观点下的初等数学》.《几何原本》. 《九章算术》.《怎样解题》6、波利亚认为中学数学教育的根本任务是.教会学生解题. 教会学生思考. 教会学生应用.教会学生猜想7、 .在数学教学成为一门科学学科的历史发展过程中，有两门学科对其有过根本性的影响，它们是. C. 数学和心理学. 数学与物理学. 教育学与数学.教育学与心理学8、决定数学教学目标的主要依据是. 学生的年龄特征. 学生的情感因素. 教师的教学能力.教材的难度9、波利亚在“怎样解题表”中，将解题过程分为. E. 了解问题、拟定计划、实现计划三大步骤. 了解问题、拟定计划、实现计划和回顾四大步骤. 读题、解题、反思三大步骤.读题、解题过程、作答三大步骤10、中国古代数学的标志性著作是.《九章算术》.《几何原本》.《周髀算经》.《易经》11、《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的基本理念给义务教育数学课程的定位是. A. 基础性、普及性与灵活性. D. 基础性、普及性与发展性.选择性、基础性与操作性.基础性、选择性与发展性12、中国古代数学教育的主要目的是.选拔人才.经世致用.普及算法.思维训练多项选择题13、数学命题的教学设计的重点是.结论的发现过程.推导的思考过程.熟记命题的方法.弄清命题的条件与结论14、中国数学双基教学的特征是.重复练习依赖变式获得提升.记忆通向理解直至形成直觉.运算速度赢得思维效率.重视逻辑演绎保持严谨准确15、“提高课堂效益的初中数学教改实验”的指导思想、原则和方法是.积极前进，循环上升.开门见山，适当集中.淡化形式，注重实质.先做后说，师生共作16、美籍匈牙利数学教育家波利亚关于解数学解题理论的代表作是.《数学的发现》.《中小学生数学能力心理学》.《数学与猜想》.《怎样解题》17、构建数学课堂文化最重要的因素是.创造.安静.合作.民主18、弗赖登塔尔关于现实数学教育中的数学化的两种形式是.将数学问题转化为实际应用问题.将数学概念还原成为现实生活实例.实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分作符号化处理。

(0346)《初等数论》网上作业题及答案

（0346）《初等数论》网上作业题及答案1：第一次作业2：第二次作业3：第三次作业4：第四次作业5：第五次作业1：[论述题]数论第一次作业参考答案：数论第一次作业答案2：[单选题]如果a|b，b|c，则（）。

A：a=cB：a=-cC：a|cD：c|a参考答案：C马克思主义哲学是我们时代的思想智慧。

作为时代的思想智慧，马克思主义哲学主要具有反思功能、概括功能、批判功能和预测功能。

（1）“反思”是哲学思维的基本特征，是以思想的本身为内容，力求思想自觉其为思想。

通过不断的反思，揭示自己时代的本质和规律，达到对事物本质和规律性的认识。

（2）概括是马克思主义哲学的重要功能，是马克思主义哲学把握人与世界总体性关系的基本思维方式。

（3）马克思主义哲学的批判功能主要是指对现存世界的积极否定。

（4）马克思主义哲学的预测功能在于预见现存世界的发展趋势。

3：[单选题]360与200的最大公约数是（）。

A：10B：20C：30D：40参考答案：D数论第一次作业答案4：[单选题]如果a|b，b|a ，则（）。

A：a=bB：a=-bC：a=b或a=-bD：a，b的关系无法确定参考答案：C数论第一次作业答案5：[单选题]-4除-39的余数是（）。

A：3B：2C：1D：0参考答案：C数论第一次作业答案6：[单选题]设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。

A：整除B：不整除C：等于D：小于参考答案：A数论第一次作业答案7：[单选题]整数6的正约数的个数是（）。

A：1B：2C：3D：4参考答案：D数论第一次作业答案8：[单选题]如果5|n ，7|n，则35（）n 。

A：不整除B：等于C：不一定D：整除参考答案：D数论第一次作业答案1：[论述题]数论第二次作业参考答案：数论第二次作业答案2：[单选题]288与158的最大公约数是（）。

A：2B：4C：6D：8参考答案：A数论第二次作业答案3：[单选题]-337被4除余数是（）。

西南大学2020秋季 [0346]《初等数论》考试答案

西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期：2020年秋季
课程名称【编号】：初等数论【0346】 A卷
考试类别:大作业满分：100分
1.解：整除的定义：
设a, b是任意两个整数,其中b不为零,若存在一个整数q使得a=bq,我们就说b 整除a,记为bla.这时b叫a的因数, a叫b的倍数.若这样的q不存在，则说b 不整除a.
6整除24.
8不整除42.
3.解：欧拉函数()a
ϕ是定义在正整数上的函数，它在正整数a上的值等于序列0,1,2，…，a-1中与a互质的数的个数。

(5)
ϕ=4
(6)
ϕ=2.
4.解：220=2²×5×11。

6.解如下图
8.解：素数除了1和自己就没有其他约数了.4m-1或4m+1,其中4m-1看成4m+3,即一切奇素数都可以表示成4m+3或4m+1的形式.因为,一切奇素数不可以写成4m的形式（约数4）,但也不能写成4m+2(约数2）.所以一切奇素数都可以表示成4m-1或4m+1的形式，即41
m±.
- 1 -。

19秋福师《初等数论》在线作业一[4]答案

正确答案是：B
22、题面见图片
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
23、
题见下图
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
24、
题见图片
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
25、
题见图片
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：A
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
14、
题见图片
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：A
15、题面见图片
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
16、题面见图片
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
17、
题见图片
A错误
B正确
Ap-q
Bp*q
Cp^2+q^2
Dp!+q!
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
20、
题见图片
AA
BB
CC
DD
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：C
21、
题见图片
AA
BB
CC
DD
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：A
22、
题见图片
AA
BB
CC
DD
[仔细分析上述题目，并作出选择]
【奥鹏】19秋福师《初等数论》在线作业一

(完整word版)《初等数论》

第一节整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。

进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。

在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。

基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。

由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的1m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。

在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。

但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。

特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。

为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且01 m a 。

而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。

典例分析例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。

(0346)《初等数论》复习思考题 (1)

（0346）《初等数论》复习思考题1．一个不等于1的自然数，分别去除967，1000，2001得到相同的余数。

试求这个自然数。

2．求证：不可能存在两个质数p 1，p 2，使得p 1 + p 2 = 111…1(20位数)。

3．如果p 和p + 2都是大于3的质数，求证6 | p + 1。

4．设m , n 为整数，求证m +n , m -n 与mn 中一定有一个是3的倍数。

5．证明：两个奇数的平方差是8的倍数。

6．已知p 为偶数，q 为奇数。

方程组⎩⎨⎧=+=-q y x p y x 39918的解是整数，那么（）。

A. x 是奇数，y 是偶数 B. x 是偶数，y 是奇数C. x 是偶数，y 是偶数D. x 是奇数，y 是奇数7．求1980的标准分解式。

8．求792与594的最大公因数。

9．求2001！中末尾0的个数。

10．求不定方程10x -7y =17的一切整数解。

11．求不定方程15x +10y +6z =61的一切整数解。

12．袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是 43，问：小明最多摸出标有数字2的球多少个？13．下列结论是否成立。

A. 若a 2≡b 2(mod m )，则a ≡b (mod m )。

B. 若a 2≡b 2(mod m )，则a ≡b (mod m )或a ≡-b (mod m )至少有一个成立。

C. 若a ≡b (mod m )，则a 2≡b 2(mod m )。

D. 若a ≡b (mod 2)，则a 2≡b 2(mod 22)。

E. 若ac ≡bc (mod m )，c 关于模m 不同余于0，则a ≡b (mod m )。

F. 若a ≡b (mod 3)，k ≥2，则a k ≡b k (mod 3)。

14．若n 为为然数，求证9n +1≡8n +9(mod 64)。

15．写出模9的一个完全剩余系。

16．写出模8的一个简化剩余系。

《初等数论》第三版习题解答

第一章整数的可除性§1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3定理3 若12n a a a ，，，都是m 得倍数，12n q q q ，，，是任意n 个整数，则1122n n q a q a q a +++是m 得倍数．证明：12,,n a a a 都是m 的倍数。

∴ 存在n 个整数12,,n p p p 使 1122,,,n n a p m a p m a p m ===又12,,,n q q q 是任意n 个整数1122n nq a q a q a ∴+++1122n n q p m q p m q p m =+++1122()n n p q q p q p m =+++即1122n n q a q a q a +++是m 的整数2．证明 3|(1)(21)n n n ++ 证明(1)(21)(1)(21)n n n n n n n ++=+++-(1)(2)(1)(1)n n n n n n =+++-+ 又(1)(2)n n n ++，(1)(2)n n n -+是连续的三个整数故3|(1)(2),3|(1)(1)n n n n n n ++-+3|(1)(2)(1)(1)n n n n n n ∴+++-+从而可知3|(1)(21)n n n ++3．若00ax by +是形如ax by +（x ，y 是任意整数，a ，b 是两不全为零的整数）的数中最小整数，则00()|()ax by ax by ++．证：,a b 不全为0∴在整数集合{}|,S ax by x y Z =+∈中存在正整数，因而有形如ax by +的最小整数00ax by +,x y Z ∀∈，由带余除法有0000(),0ax by ax by q r r ax by +=++≤<+则00()()r x x q a y y q b S =-+-∈，由00ax by +是S 中的最小整数知0r =00|ax by ax by ∴++00|ax by ax by ++ （,x y 为任意整数） 0000|,|ax by a ax by b ∴++ 00|(,).ax by a b ∴+ 又有(,)|a b a ，(,)|a b b 00(,)|a b ax by ∴+ 故00(,)ax by a b +=4．若a ，b 是任意二整数，且0b ≠，证明：存在两个整数s ，t 使得||,||2b a bs t t =+≤成立，并且当b 是奇数时，s ，t 是唯一存在的．当b 是偶数时结果如何？证：作序列33,,,,0,,,,2222b b b bb b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使122q q b a b +≤<成立 ()i 当q 为偶数时，若0.b >则令,22q qs t a bs a b ==-=-，则有 02222b q q qa bs t ab a b b t ≤-==-=-<∴<若0b < 则令,22q qs t a bs a b =-=-=+，则同样有2b t <()ii 当q 为奇数时，若0b >则令11,22q q s t a bs a b ++==-=-，则有 1102222b b q q t a bs a b a b t ++-≤=-=-=-<∴≤ 若 0b <，则令11,22q q s t a bs a b ++=-=-=+，则同样有2b t ≤，综上所述，存在性得证．下证唯一性当b 为奇数时，设11a bs t bs t =+=+则11()t t b s s b -=-> 而111,22b bt t t t t t b ≤≤∴-≤+≤ 矛盾故11,s s t t == 当b 为偶数时，,s t 不唯一，举例如下：此时2b为整数 11312(),,22222b b b b b b b t t ⋅=⋅+=⋅+-=≤§2 最大公因数与辗转相除法 1．证明推论4.1推论4.1 a ，b 的公因数与（a ，b ）的因数相同．证：设d '是a ，b 的任一公因数，∴d '|a ，d '|b 由带余除法111222111111,,,,,0n n n n n n n n n n a bq r b r q r r r q r r r q r r r r b---++-=+=+=+==≤<<<<∴(,)n a b r =∴d '|1a bq -1r =， d '|122b r q r -=，┄, d '|21(,)n n n n r r q r a b --=+=,即d '是(,)a b 的因数。

西南大学网络教育0346初等数论期末考试复习题及参考答案

。
解：由 x 1(mod3) 得 x 3k 1，将其代入 x 2(mod5)
得 3k 1 2(mod5) ，
解得 k 2(mod5) ，即 k 5t 2 ，
所以 x 15t 7 ，所以解为 x 7(mod15) 。
9.求不定方程 3x + 2y = 2 的一切整数解。
解：因为(3,2) = 1，所以不定方程有整数解。
16．66 的个位数是 6 。
17．710 被 11 除的余数是 1 。
18．（1516，600）= 4 。
19．6 的所有正因数的和是 12 _。
20．24 与 60 的最大公因数是 12 。
21．35 的最小质因数是 5 。
22．46 的个位数是 6 。 23．8 的所有正因数的和是 15 _。 24．18 的标准分解式为 18 2 32 。 25．20 的欧拉函数值(20) = 8 。
8
证明题答案
1.设 m, 一定有一个是 3 的倍数。
证明：若 m 或 n 为 3 的倍数，则 mn 是 3 的倍数；若 m 是 3 的倍数加 1，n 是 3 的倍数加 1，则 m-n 是 3 的倍数；若 m 是 3 的倍数加 1，n 是 3 的倍数加 2，则 m+n 是 3 的倍数；若 m 是 3 的倍数加 2，n 是 3 的倍数加 1，则 m+n 是 3 的倍数；若 m 是 3 的倍数加 2，n 是 3 的倍数加 2，则 m-n 是 3 的倍数，结论成立。
显然 x 0, y 1是其一个特解，
所以不定方程的一切整数解为 10. 解同余式 4x 1(mod5) 。
，其中 t 取一切整数。
解：因为(4,5) = 1，所以同余式有解，且只有 1 个解。

《初等数论》复习思考题答案

（0346）《初等数论》复习思考题答案1．一个不等于1的自然数，分别去除967，1000，2001得到相同的余数。

试求这个自然数。

解：设这个自然数为q ，则q | 1000 – 967，即q | 33。

又q | 2001 – 1000，即q | 1001，所以 q = 11。

2．求证：不可能存在两个质数p 1，p 2，使得p 1 + p 2 = 111…1(20位数)。

证明：由于p 1与p 2的和为奇数，故p 1与p 2中有一个为2，设p 2 = 2，则110101*********-++++= p 。

因为10 ≡ 1(mod 9)，所以p 1 ≡ 19 – 1 ≡ 0 (mod 9)，即p 1不是质数，矛盾。

3．如果p 和p + 2都是大于3的质数，求证6 | p + 1。

证明：首先p 是大于3的质数，则p 不是3的倍数。

又p + 2是大于3的质数，所以p – 1不是3的倍数。

故p + 1 必为3的倍数。

但p + 1 为偶数，所以p + 1 为2的倍数。

由于2与3互质，所以p + 1 为6的倍数，于是6 | p + 1。

4．设m , n 为整数，求证m +n , m -n 与mn 中一定有一个是3的倍数。

证明：若m 或n 为3的倍数，则mn 是3的倍数；若m 是3的倍数加1，n 是3的倍数加1，则m -n 是3的倍数；若m 是3的倍数加1，n 是3的倍数加2，则m +n 是3的倍数；若m 是3的倍数加2，n 是3的倍数加1，则m +n 是3的倍数；若m 是3的倍数加2，n 是3的倍数加2，则m -n 是3的倍数，结论成立。

5．证明：两个奇数的平方差是8的倍数。

证明：若a =2k +1为奇数，则a 2-1=4k (k +1)，因2|k (k +1)，所以8| a 2-1。

于是当a , b 均为奇数时，由8| a 2-1与8| b 2-1得8|a 2-b 2。

即两个奇数的平方差是8的倍数。

初等数论

递推公式: 不妨设时间是从一月一日开始计算的, 我们用 Fn 表示n月一日总共有兔子的对数用 Fn(大)表示n月一日大兔子的对数用F
(小) n
表示n月一日大兔子的对数
对 n 1有
Fn F
( 大) n
F
(小) n
由定义, 我们有
F
当
( 大) n 1
Fn , F
( 大) n
(小) n 1
即
,
m0 是M 中的最大自然数.
斐波那契(Fibonacci)数列
Leonardo Pisano Fibonacci (1170 – 1250)
有一个人第一月底时在一间房子里放了一对小兔子，假定一对小兔子一个月后就能长成一对大兔子，而一对大兔子经过一个月便能生下一对小兔子，斐波那契的问题是经过一年以后一共有多少对兔子生出来？
这项工作获得了1998年世界数学家大会(柏林)的尼凡林那奖.
1 2
2.孪生素数猜想（Twin prime conjecture）是否存在无限多素数对 p, p 2 ? 如 p 65516468355 2
333333
1
2013年5月，Yitang Zhang 证明
lim inf ( pn1 pn ) 7 10
数论研究中的若干问题
1. 素数判定与整数分解
给定一个大整数n,是否有好的算法来判定n是不是素数? 试除法: 依次用1，2，…, n-1去除n 最多进行 n-1次除法,在数论问题中, 对输入的正整数n , 算法的计算时间复杂性是 n 的二进制表示的位数 [log 2 n] 1 的函数.在这种情况下, O(n)就是 O(2logn ) . 这是一个速度极慢的指数复杂性算法!

西南大学线性代数作业答案

第一次行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。

2．排列45312的逆序数为 5 。

3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10232543--中元素-2的代数余子式是 —11 。

5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 —5 。

6．计算00000d c ba = 0行列式部分计算题 1．计算三阶行列式381141102--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。

3．(7分)已知0010413≠x x x，求x 的值．解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。

解：()211110100011111111-=--==λλλλλD由D=0 得 λ=15．用克莱姆法则求下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为331132104217117021042191170189042135113215421231312≠-=⨯-⨯=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算：811110212942311-=-=D 1081103229543112-==D1351013291531213=-=D因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：x=27，y=36，z=—45第二次线性方程组部分填空题1．设齐次线性方程组A x =0的系数阵A 的秩为r ，当r= n 时，则A x =0 只有零解；当A x =0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .2．设η1，η2为方程组A x =b 的两个解，则 η1－η2或η2－η1 是其导出方程组的解。

大学数学---初等数论

128 234 所以：[128.234]= 2 14976
.
同理可得：[14976,524]=1961856, 于是：[128,234,524]=1961856.
习题
1、求[21，35]. 2、求[123，321]. 3、求[125，725，1125，2015].
§1.4整数可除性的检验
例2：求（2605，-5125）.
解：因为5125=2605×1+2520， 2605=2520×1+85 2520=85×29+55 85=55×1+30 55=30×1+25 30=25×1+5 25=5×5 所以（2605，-5125）=5.
例3：求（2605，3245，7250）.
解：先求2065和3245的最大公因数。因为3245=2605×1+1180， 2605=1180×1+885 1180=885×1+295 885=295×3 所以（2605，3245）=295. 再求295与7250的最大公因数。 7250=295×24+170， 295=170×1+125 170=125×1+45 125=45×2+35 45=35×1+10 35=10×3+5 10=5×2 所以（2605，3245，7250）= （295，7250）=5.
第二章不定方程
中国古代数学家张丘建曾经解答了下面的题目： “鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡．问鸡翁、母、雏各几何？” 设用 x，y，z 分别代表鸡翁、鸡母，鸡雏的数目，就得到下面的方程：
1 5 x 3 y z 100 3 x y z 100

西南大学网络学院19秋0044]《线性代数》

(c)求解如下矩阵方程：
2、(a)什么是向量组线性相关？
(b)判断向量组是否线性相关。
(c)请用上述向量组表示向量
三、从下列两题中任选一题作答（30分）
1、(a)请阐述特征值与特征向量的定义。
(b)求解矩阵的特征值及其对应的特征向量
2、(a)已知A为对称阵，，且求矩阵A。
(b)已知矩阵，，且变，试用表示。
一、必答题（40பைடு நூலகம்）
1、什么是矩阵的初等行变换？
2、用矩阵乘积形式表示如下线性方程组。
3、求解如下线性方程组
二、从下列两题中任选一题作答（30分）
1、(a)什么是初等矩阵？
答：初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。
(b)阐述初等矩阵在矩阵乘积中的作用。
b已知矩阵111263111p26311063???????????????????????123?txxx且p??变试用123xxx表示2222422?????xyzxyxzyz
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教2019年12月
课程名称【编号】：线性代数【0044】B卷
大作业满分：100分

19初等数论

该计划利用大量普通计算机的闲置时间, 获得相当于超级计算机的运算能力，近年来新产生的梅森素数都是通过GIMPS项目找到的. 梅森

美国电子新领域基金会设立了10万美元的奖金, 鼓励第一个找到超过千万位素数的人; 25万美元奖第一个找到超过十亿位素数的人. 81-13

素数判定
在“手算笔录年代”仅找到12个梅森素数, 近10多年来通过GIMPS 项目找到了10个(35至44个)梅森素数.
81-11
素数判定
81-12
素数判定
梅森(法, 1588-1648)数: 《物理数学随感》(1644), 2p-1=Mp , p 是素数.

1772年欧拉(瑞, 1701-1783)证明第8个梅森素数M31, 有10位数字.
1996年美国数学家及程序设计师乔治· 沃特曼编制了因特网梅森素数大搜索程序(GIMPS项目), 将其放置在因特网上供数学爱好者使用。目前有150多个国家的9万多名志愿者、超过25万台计算机参与这项计划.
max( max( max( p1 r1 ,s1 ) p2 r2 ,s2 ) pk rk ,sk ) lcm(a,b)=
例4 求150和220的最大公约数和最小公倍数. 解 150=2×3×52, 168=23×3×7. gcd(150,168)=21×31×50×70=6, lcm(150,168)=23×31×52×71=4200.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
81-19
19.2 最大公约数与最小公倍数
公约数、最大公约数
公倍数、最小公倍数
辗转相除法互素
81-20
最大公约数与最小公倍数
d是a与b的公因子(公约数): d |a且d |b m是a与b的公倍数: a | m且b | m

初等数论总复习题及知识点总结

初等数论学习总结本课程只介绍初等数论的的基本内容。

由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系，因此初等数论对于中学的数学教师和数学系（特别是师范院校）的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的.一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练，这些训练在很多方面都是有益的.正因为如此, 许多高等院校，特别是高等师范院校，都开设了数论课程。

最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，贝U相当于只身来到宝库而空手返回而异。

数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。

初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法最大公因数和辗转相除法整除的进一步性质和最小公倍数素数、算术基本定理[X]和｛X｝的性质及其在数论中的应用习题要求p3 : 2，3；p8 : 4；p i2 : 1；p i7 : 1，2，5；p20 : 1°第二章：不定方程（4学时）自学12学时元一次不定方程ax + by = C多元一次不定方程a i X i +82X2 +…a^n =c勾股数费尔马大定理。

习题要求P29 : 1, 2，4；p3i : 2， 3。

第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质剩余类和完全剩余系欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用习题要求 P43 : 2， 6；P46 : 1 ； P49 : 2， 3； P53 1 ， 2。

第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念孙子定理高次同余方程的解数和解法素数模的同余方程威尔逊定理。