二元一次方程的”特殊解“

二元一次方程的“特殊解”

我们知道，任何一个二元一次方程都有无数多个解，但二元一次方程的特殊解例如“自然数解或者正整数解”，往往是有限多个。例如二元一次方程5

2=

+y

x

的解有无数多个，但是其正整数解只有2个，分别是

1,

3

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

和

2,

1;

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

自然数解有

3个，分别是

1,

3,

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

2,

1,

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

0,

5.

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

二元一次方程的特殊解在解决实际问题时，可

以助你一臂之力。

例12008年北京奥运会的球类比赛的门票价格如下：

某球迷购买了x张男篮比赛的门票，y张足球比赛的门票，共用去12000元。

⑴列出二元一次方程；

⑵写出各种购票的方案。

析解：⑴男篮比赛的门票x张，每张1000元，费用为1000x元；足球比赛的门票y张，每张800元，费用为800y元，所以可得到二元一次方程12000

800

1000=

+y

x。

⑵根据题意，求各种购票的方案，就是求二元一次方程12000

800

1000=

+y

x

的自然数解的问题，方程12000

800

1000=

+y

x经过整理可以化为60

4

5=

+y

x，

易得出其自然数解为

0,

15,

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

4,

10,

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

8,

5,

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

12,

0.

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

所以有以下购票方案：购男

篮比赛门票12张；或者购男篮比赛门票8张，足球比赛5张；或者购男篮比赛门票4张，足球比赛门票10张；或者购足球比赛门票15张。

例2 当围绕一点拼在一起边长相等的正五边形和正十边形，怎样组合才能

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铺满地面？

析解：本题可以通过列二元一次方程的方法解决。正五边形的每个内角为108度，正十边形的每个内角为144度，设在一个拼接点处有x y

个正五边形,个

正十边形。根据题意，得360

144

108=

+y

x，该方程仅仅有一个正整数解

2,

1. x

y

=⎧

⎨

=⎩

所以在一个拼接点处有2个正五边形和1个正十边形组合才能铺满地面。

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