大连市高等数学竞赛试题B答案完整版
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大连市高等数学竞赛试
题B答案
HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
大连市第二十三届高等数学竞赛试卷
答案（B）
一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，
计10分）
1. n ⎭
⎝∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x x
x
→-
= 1/2 . 3. 0
lim x x x +
→= 1 . 4. 2
cos lim x
x t dt
x
→⎰= 1 .
5.
若221lim 2,2
x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、（本题10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=),0(1),0(1sin
)(3
x x x
x x f 求)(x f '.
解 当0≠x 时，x
x x f 1
sin )(3=为一初等函数，这时
;
1
cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232x
x x x x x x x x x f -=⎪
⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
+='（6分） 当0=x 时，由于
),0(01
sin lim )(lim 300f x
x x f x x ≠==→→（8分） 所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。（10分）
解：0,1,1x x x ===-为间断点。（3分） 当0x =时，
由于00lim ()lim 1,1||
x x x f x x x ++→→==+
而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。（5分） 当1x =时，
由于11lim ()lim 1,1||
x x x f x x x →→==+
所以1x =是可去间断点。（7分） 当1x =-时， 而1
lim (),x f x →-=∞
所以1x =-是无穷间断点。（8分）
考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页
第 1页
曲线)0(3
1
6>=x x y 上哪一点处的法线在y 轴上的截距最小？ 3
在),(y x 处的法线方程为 )(x X k y Y -=-，
因为52x y ='，所以521x k -=，法线方程为 )(21
5x X x y Y --=-，（4分）
整理后为 645453
1
2121212x x X x x x X y Y ++-=+-=，
法线在y 轴上的截距为 643
1
21x x b +=。（6分）
求此函数的极值：令0='b ，解得1,121-==x x （舍去）;（8分）
020)1(,1010
46>=''+=''b x x
b ,
故)1(b 为极小值。由于驻点唯一，知它即是最小值，因此曲线在点⎪⎭
⎫
⎝⎛31,1处的法
线在y 轴上截距最小。（10分）
五、（本题6分）求x x y 44cos sin +=的n 阶导数. x x x x 22222
cos sin 2)cos (sin -+= ,4cos 41
4324cos 12112sin 212x x x +=⎪
⎭⎫ ⎝⎛--=-=（2分） )2
4cos(44)4sin (410π
+=⋅-='x x y （3分）
)224cos(4π
⋅+=''x y （4分） 所以).4cos(41)(π
⋅+=-n x y n n （6分）
六、（本题10分）讨论方程ax x =ln （其中0>a ）有几个实根？ ),0(,+∞∈-x ax x ，则a x x f -='1)(，故a x 1=为)(x f 的驻点（2分）。
当a x <时，0)(>'x f ，当a x 1>时，0)(<'x f ，所以)1
(a f 为最大值。（4分）
当0)1(>a f 时，即01ln >--a ,即e
a 1
0<<时，由于
-∞=-∞=∞
→→+)(lim ,)(lim 0
x f x f x x ，
所以当e
a 1
0<<时，此时方程有两个根。（8分）
当0)1(=a f 时，即e a 1
=时，此时方程有一个根。（9分）