大连市高等数学竞赛试题B答案完整版
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====， 即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
2012年大连市数学竞赛试题(数学专业试题答案)
学校姓名大连市第二十一届高等数学竞赛试卷（数学专业）考试时间：150分钟，满分100分题号一二三四五六七分数一、（15分）求顶点为(1,2,3)A，轴与平面:220x y zπ++=垂直，且过点(6,5,5)B的圆锥面方程。
解：轴线的方程为：123221x y z---==————3分过点(6,5,5)B且垂直于轴的平面为：2(6)2(5)(5)0x y z-+-+-=即2227x y z++=————5分该平面与轴的交点为(5,6,5)，与点(6,5,5)的距离为2，———— 7分因此圆锥面的准线为222(5)(6)(5)22227x y zx y z⎧-+-+-=⎨++=⎩————9分对锥面上任一点(,,)x y z，过该点与顶点的母线为123123X Y Zx y z---==---————11分它与准线的交点设为000(,,)X Y Z，即存在参数t，使得1(1)2(2)3(3)X x tY y tZ z t=+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩————13分将其代入准线方程，并消去t得22286861431527676360366307290x y z xy xz yz x y z++---+++-+=————15分阅卷人得分二、（10分）设(),()f x g x 是[,]a b 上的正值连续函数，求证：存在(,)a b ξ∈，使得()()1()()baf g f x dxg x dxξξξξ-=⎰⎰。
证明： 令()()()xb x axF x e f t dt g t dt -=⎰⎰，则易知有()0,()0F a F b ==， ————5分由Rolle 中值定理知，存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，即 ————7分()()()()()()()0b b aae f t dt g t dt f g t dt g f t dt ξξξξξξξ--+-=⎰⎰⎰⎰。
————9分化简即得结论。
大学生高等数学竞赛试题汇总与答案
原式=
(ln(1t)t)1/(1t)111
2
2(1t)
t2t2
limelimelimee
t0t0t0
（3）
11
sxnnsxnsxsxn
Iexdx()xde()[xe|edx]
n0
000
ss
nnn(n1)n!n!
sxn1
exdxIII
n12n2n0n1
sssss
0
二、（15分）设函数f(x)在(,)上具有二阶导数，并且
''()(2'
t2t)2(t)''()(2'
3
dxdx/dt(22t)
=。。。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设
n
a0,Sa,证明：
nnk
k1
（1）当1时，级数
a
n
S
nn
1
收敛；
（2）当1且()
sn时，级数
n
a
n
S
nn
1
发散。
解：
（1）
a>0,
n
s单调递增
n
当
n1
a收敛时，
n
aa
nn
一、（25分，每小题5分）
（1）设
n
22
x(1a)(1a)(1a),其中|a|1,求limxn.
n
n
（2）求
x
lim e1
x
1
x
2
x
。
（3）设s0，求
sxn
Iexdxn。
(1,2,)
0
（4）设函数f(t)有二阶连续导数，
大连市第3-6届高等数学竞赛试题
大连市第三届大学生高等数学竞赛试题1.（10分）求2.（10分）设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，且满足f(1)-2,求证在（0，1）内至少存在一点，使得f＇()= —。
3.（10分）设函数f(x)具有一阶、二阶导数，f(0)=f(1)=0,且证明：4.（10分）求函f(x)= 在[0，2]上的最大值与最小值。
5.（10分）设函数f(x)在区间（0，1）上可微，且0＜f＇(ｘ)≤１，f(0)=0证明6.（10分）已知f(t)=(tg(tg(tg,求f＇（１）。
7.（10分）试求的和函数，并计算8.（10分）一均质链条挂在一个无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边垂下8米，另一边垂下10米，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？9.（10分）设f(x)=a1sin(x)+a2sin2x+…+a n sinnx,且|f(x)|≤｜sinx｜求证：| a1+a2+…+a n|≤１10.（10分）设半径为R的球的球心在半径为a的定球面上，问R为何值时，夹在定球内部的表面积最大，并求出最大的表面积的值。
大连市第四届大学生高等数学竞赛试题1、设x=g(y)为y=f(x)的反函数，求。
2、设f(x)在（+）上有连续导函数，求其中L是从点A（3，）到点B(1,2)的直线段。
3、设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数，求证在（a,b）内存在,使得=（b-a）f()+(b-a) 。
4、设f(x)= 定义A(x)=令A= A(1)+ A()+…+ A()+…,试证：＜Ａ＜１５、设f(x)在（+）上有三阶连续导数，且等式f(x+h)=f(x)+hf’(x+)(0<<1)中，与h无关，则f(x)必为一个一次函数或二次函数。
6、函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0,试证由g(x)=所定义的g(x)有一阶连续导数。
7、若函数f(x)在[0,1]上二次可微，且f(0)=f(1), ||≤１，试证：｜｜≤在［０，１］上成立。
大连市高等数学竞赛试题B答案
大连市第二十三届高等数学竞赛试卷答案（B）学校一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，总计10分）1. n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→11lim = e^2 .2. 30tan sin limx x xx→-= 1/2 . 3. 0lim xx x +→= 1 . 4. 2cos lim xx t dtx→⎰= 1 .5. 若221lim 2,2x x ax bx x →--=+-则(,)(4,5).a b =-二、（本题10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=),0(1),0(1sin)(3x x xx x f 求)(x f '. 解 当0≠x 时，xx x f 1sin )(3=为一初等函数，这时;1cos 1sin 311cos 1sin3)(2232xx x x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='（6分） 当0=x 时，由于),0(01sinlim )(lim 30f xx x f x x ≠==→→（8分） 所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。
（10分）阅卷人得 分阅卷人 得 分题 号 一二三四五六七八九十总分分 数二、 三、（本题8分）求函数2221()11x x f x x x -=+-的间断点，并判断类型. 解：0,1,1x x x ===-为间断点。
（3分）当0x =时，由于2001lim ()lim 1,1||x x x x f x x x ++→→+==+而2001lim ()lim 1,1||x x x x f x x x --→→+==-+ 所以0x =是跳跃间断点。
（5分） 当1x =时，由于2111lim ()lim 1,1||x x x x f x x x →→+==+所以1x =是可去间断点。
（7分） 当1x =-时， 而1lim(),x f x →-=∞所以1x =-是无穷间断点。
（8分）考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页 第 1页阅卷人 得 分学校姓名四、（本题10分）曲线)0(316>=xxy上哪一点处的法线在y轴上的截距最小？解设631xy=在),(yx处的法线方程为)(xXkyY-=-，因为52xy='，所以521xk-=，法线方程为)(215xXxyY--=-，（4分）整理后为64545312121212xxXxxxXyY++-=+-=，法线在y轴上的截距为643121xxb+=。
辽宁省大连市(新版)2024高考数学统编版能力评测(强化卷)完整试卷
辽宁省大连市（新版）2024高考数学统编版能力评测(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题斐波那契数列因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.因n趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，，若从该数列前10项中随机抽取2项，则抽取的2项至少有1项是奇数的概率为（）A．B．C．D．第(2)题不等式组的解集是（）A．B．C．D．第(3)题若向量，则下列结论正确的是A．B．．C．D．第(4)题若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线离心率为（）A．B．2C．D．第(5)题.设，则（）A．B．C．D．第(6)题已知三棱锥中，为正三角形，，且在底面内的射影在的内部（不包括边界），二面角，二面角，二面角的大小分别为，，，则A．B．C．D．第(7)题已知，，，则，，的大小关系是A．B．C．D．第(8)题已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题是定义在上连续可导函数，其导函数为，下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若的图象关于点中心对称，则的图象关于直线轴对称D．若，的图象关于原点对称，则第(2)题知一组数据：，则下列说法正确的是（）A．若，则平均数为4.4B．若，则第25百分位数为3C．若，则中位数为4D．若，则方差为40第(3)题已知数列满足，，且，则下列表述正确的有（）A ．B．数列是等差数列C．数列是等差数列D．数列的前项和为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为___________.第(2)题若，则的值为______．第(3)题已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于，两点，且满足，，则双曲线的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求的取值范围．第(2)题[选修4-4:坐标系与参数方程]已知曲线的参数方程为 (为参数)，以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程;(2)设.直线与曲线交于点.求的值.第(3)题已知椭圆上的点到焦点的距离之和为．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于两点，求证：．第(4)题如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．第(5)题房价收入比，是指住房价格与城市居民家庭年收入之比.幸福是人们对生活满意程度的一种主观感受.幸福指数是衡量人们这种感受具体程度的主观指标数.幸福指数由若干指标综合而成.如图是10所城市的“房价收入比”和“幸福指数”.排名城市房价收入比幸福指数1杭州 2.8093.692济南 2.3291.563合肥 2.2185.484苏州 2.088.175成都 1.7888.926兰州 1.4289.87哈尔滨 1.3992.358昆明 1.3087.219海口 1.2791.6310重庆 1.2389.37（1）填写以下列联表，并计算有没有的把握认为幸福指数高（大于89）低与房价收入比高（大于1.7）低有关；幸福指数89以上幸福指数89及以下合计房价收入比1.7以上房价收入比1.7及以下合计（2）已知城市宜居指数，表示房价收入比的排名序号，建立关于的线性回归方程，并估算排名11的城市的宜居指数.参考公式和数据：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828，其中，，，，，.。
大连市数学竞赛试题17-21届
学 校姓 名大连市第十九届高等数学竞赛试卷（A ）一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总计20分）1． 已知tan 2x y =，则dy =tan 22ln 2sec x xdx2．2202x x dx -=⎰2π 3． 21cos x t y t⎧=+⎨=⎩，则22d y d x =3sin cos __________4t t t t - 4． 设111()24x xef x e+=+，则0x =为()f x 的__________跳跃型间断点5． 函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定，则()y y x =的驻点为____(1,1)______6． 幂级数0n n n a x ∞=∑在2x =-处条件收敛，则此级数的收敛半径为_____2_____7． 已知22:14y L x +=，逆时针方向，则224Lxdy ydxx y -=+⎰_____4_____π 8． 曲线2x y e -=的凸区间为22_____(,)_____22-9． 在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线只有_____2_____条10．22203()xxdx f x y dy +⎰⎰化为极坐标系下的先对ρ后对θ的二次积分为2sec 304()d f d πθπθρρρ-⎰⎰考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 三 页 第 1 页阅卷人得 分题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 分 数二、（本题8分）已知301()sin 21lim21x x f x x e →+-=-，求0lim ()x f x →.解：因为301()sin 21lim21xx f x x e →+-=-， 又 30lim(1)0x x e →-=，所以0lim(1()sin 21)0x f x x →+-=,0lim ()sin 20x f x x →=，……………………2分从而3001()sin 21()sin 22limlim 123x x x f x x f x xe x→→+-==-⨯，…………………………4分 又0sin 2lim12x xx→=，所以0lim ()6x f x →=…………………………………………………………..…2分三、（本题9分）设()f x 在区间(,)-∞+∞内可导。
第二十届大连市数学竞赛试题(专业)
⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+=53421:t z t y t x L ， ⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=-=178124:t z t y t x M ， 求与此二直线相切的直径最小的球面方程.解： 容易验证L 和M 既不平行, 也不相交，故为异面直线. -------2分有唯一的公垂线PQ , 垂足P 在L 上, Q 在M 上. -----------------1分 以PQ 为直径的球面即为所求的与L 和M 相切的直径最小的球面. ----2分 记向量)5,4,1(=, )3,2,1(-=, )17,8,12(-=, )1,1,4(-=,则L 和M 分别表示为 u t a + 和 v t b +. ----------------------2分 有常数p , q 使得 u p a P +=, v q b Q +=. 此时u p v q a b PQ -+-=. -----1分PQ 与L 和M 都垂直, 则该向量与u , v 的内积都是零, 即()0=⋅-+-u u p v q a b , ()0=⋅-+-v u p v q a b , -----------------1分或⎩⎨⎧=+-=+44184114q p q p , 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=251657251782q p ， -----------------2分 线段PQ 的中点为()⎪⎭⎫⎝⎛-=+++5028525,502791,50291521v q b u p a , ------------1分 半径的平方为 ()()1004147412=-+-⋅-+-u p v q a b u p v q a b . ------------1分所求球面方程为()()()22221472518525502791502915502⋅=-+-++z y x . ------------2分二、（12分）函数()xf满足()()211xxfxf+-=',+∞<<∞-x.试证: 极限()x fx+∞→lim都存在.证：分三种情况讨论.情形1. 0)(≥'xf, +∞<<∞-x.此时)(xf递增, 1)(≤xf, 故有上界, 因此()xfx+∞→lim存在. --------2分情形2. 0)(≤'xf, +∞<<∞-x.此时)(xf递减, 1)(≥xf, 故有下界,因此()xfx+∞→lim存在. --------2分情形3. )(xf'变号.此时有实数a, b使得0)(<'af, 0)(>'bf. ---------------------- 2分不妨设ba<. 因函数()xf连续, 有],[bac∈,使得()c f为()xf在该区间上的最小值. ---------------------- 1分注意0)(<'af和0)(>'bf表明在a点右侧)()(afxf<,在b点左侧)()(bfxf<,因此),(bac∈是一个极小值点, 满足0)(='cf, 即1)(=cf. -------------- 2分但0)(>'bf蕴涵1)(<bf.这与()c f为()xf在],[ba上的最小值矛盾. ---------------------- 1分这一矛盾表明, 情形3不可能出现. 即()xfx+∞→lim总是存在. ----------- 2分三、（13分）（13分）设,0,10>≤<ba试证数项级数()∑∞=1nlogsinannb发散.证:任给正整数N，取正整数p使得Ne bp>π2，------------- 2分再取正整数M，使得bbpeM621ππ+<-, bbpeM62ππ+≥. ------------2分此时NM>,bbpbbpbbbpbbbpbb eeeeeM652626462162114122πππππππππ++++=⋅<⋅<⎪⎪⎫⎛+⋅<. --------2分对正整数]2,[1M M n b∈, ]652,62[log ππππ++∈p p n b , ()216sin log sin =≥πn b . --------2分 注意1,10≥≤<x a 时x x a 11≥, ⎰+≥11n n a a xdx n , ---------2分()⎰⎰∑∑=≥≥≥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=MMMMa M Ma M Mabbb b bx dx x dx n n n b 1111222n 2n 2log 212121121log sin . ---------2分 根据Cauchy 收敛准则, 级数 ()∑∞=1n log sin an n b 发散. -----------1分四（13分）、设二元函数 ),(y x f 一阶偏导数处处存在, 且在单位圆盘}1:,≤+=y x y x D 上满足 1),(≤y x f . 试证: 存在 D y x ∈),(00使得 16),(),(200200≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y y x f x y x f . 证：考虑函数)(2),(),(22y x y x f y x g ++=. -----4分在单位圆周上, 1),(≥y x g . -----1分 若),(y x g 在 D 上为常数, 则偏导数处处为零,在)0,0(处0)0,0()0,0(=∂∂=∂∂x g x f ，0)0,0()0,0(=∂∂=∂∂yg y f ， 显然满足所求证的不等式. -----2分 若),(y x g 在 D 上不是常数, 则由于1)0,0()0,0(≤=f g , ),(y x g 必定在单位圆盘内部某点),(00y x 处达到极小值. -----3分 此处000004),(),(0x x y x f x y x g +∂∂=∂∂=, 000004),(),(0y yy x f y y x g +∂∂=∂∂=, -----2分 因此()1616),(),(2020200200≤+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y x y y x f x y x f . -----1分五、（12分）计算曲面积分()⎰⎰++SdSzyx532cos,其中S是中心在原点的单位球面.解：在以单位向量⎪⎭⎫⎝⎛=385,383,382w为法向量的平面上取两个正交的单位向量u, v, 使得u, v, w构成右手系. ----------------------- 2分对任意向量()z yxr,,=, 令u⋅=, v⋅=, w⋅=,则()()z yxwvu,,,,→是一个正交变换，将单位球面映射到单位球面, ----- 2分其Jacobian行列式()()1,,,,=∂∂wvuzyx. ------------------------------ 1分此时我们有wzyx38532=++. ---------------------- 1分取球面S的参数表示为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=wwwvwuθθsin1cos122, 其中11≤≤-w, )2,0[πθ∈,于是θcos12wwwu--=∂∂, θsin12wwwv--=∂∂, 1=∂∂ww,θθsin12wu--=∂∂, θθcos12wv-=∂∂, 0=∂∂θw, -------------------- 2分222211wwwwvwuE-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=,=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=θθθwwwvwvuwuF,22221wwvuG-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=θθθ, -------------------- 1分由此得到θθdwddwdFEGdS=-=2-------------------- 1分()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==++SSdwwddSwdSzyx11238cos38cos532cosπθ ----------- 1分38sin384π=.-------------------- 1分六、（15分） 设三次多项式 r qx px x +++23 的根都是正实数, 试证明: 这些根恰好构成一个三角形三内角的余弦值的充要条件是1222=--r q p .证：先证必要性. 设A , B , C 是某一个三角形的三内角, a , b , c 分别是相对的边长, 则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c C a A c b Bc C b a cos cos cos cos cos cos ，-------------------- 3分这是关于的三元齐次方程组, 因其有非零解, 故01cos cos cos 1cos cos cos 1=------A BA C BC .-------------------- 2分即 1c o s c o s c o s2c o s c o s c o s 222=+++C B A C B A . (1) ------------ 1分若方程 023=+++r qx px x 的解是A cos, B cos , C cos , 则由多项式根与系数的关系,C B A p cos cos cos ++=- ,A C CB B A q cos cos cos cos cos cos ++= ,CB A r cos cos cos =- ,-------------------- 2分代入(1)式即得1222=--r q p . (2)------------------ 1分现在证明充分性. 假设 (2) 式成立, r qx px x +++23 的根1x , 2x , 3x 都是正实数. 则12321232221=+++x x x x x x . (3)------------------ 1分由此可见每个根都落在开区间()1,0内, 故有唯一的一组锐角A , B , C 使得A x cos 1=,B x cos 2=,C x cos 3=.代入(3) 得 CB C B A A 222cos cos 1cos cos cos 2cos --=+,------------------ 1分 左边配方得CB C B A 222sin sin )cos cos (cos =+,------------------ 1分 开方取正根得CB C B A sin sin cos cos cos =+, ------------------ 1分 从而)cos()cos(cos cos sin sin cos C B C B C B C B A --=+-=-=π,------------------ 1分注意A 和C B --π都在),0(π内，因此 π=++C B A , 证毕.------------------ 1分七、（20分） 设A , B 都是n 阶实对称矩阵. ()M Tr 表示矩阵M 的迹.(1) (12分)试证明：()()22B A Tr ABAB Tr ≤. (2) (8分)给出等号成立的充要条件.证：(1) 取正交矩阵T 使得AT T A '=~为对角矩阵. -------------------- 则()()()B A B A Tr ABABT T Tr ABAB Tr ~~~~='= ， -------------------- 1()()()222222~~B A Tr T B A T Tr B A Tr ='= . --------------------记 ()n n ij a A ⨯=~, ()n n ij b BT T B ⨯='=~ . -------------------- 因 B ~是对称矩阵, -------------------- 1()∑==n j i jiijjj iib b a a B A B A Tr 1,~~~~∑∑≤<≤=+=nj i ij jj ii ni iiii b a a ba 121222 , -----------------()()∑∑∑≤<≤==++==nj i ij jj iini iiii nj i ijii b a aba b a B A Tr 12221221,2222~~ , --------------------于是()()()()02~~~~~~122122222≤--=--=-∑∑≤<≤≤<≤nj i ij jj ii nj i ij jj ii jj iib a ab a a aa B A Tr B A B A Tr .------(2) 等号成立则()0122=-∑≤<≤nj i ij jj ii b a a, 即()0=-ij jj iib a a, n j i ≤≤,1. --------------------注意A ~为对角矩阵,()n n ij ii n n n k kj ik b a b a B A ⨯⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑1~~ , ()n n jj ij nn nk kj ik a b a b A B ⨯⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑1~~ , -----因此 ()0=-ijjj ii b a a 蕴涵 A B B A ~~~~=, 随之BA AB =. ----------------- 2另一方面, BA AB= 时 ()()()22B A Tr AABB Tr ABAB Tr ==. -----------总之, 等号成立的充要条件是: A 与B 交换. --------------------。
辽宁省大连市(新版)2024高考数学统编版能力评测(提分卷)完整试卷
辽宁省大连市（新版）2024高考数学统编版能力评测(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题方程sin2x＝sin x在区间(0,2π)内解的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个第(2)题已知向量，，若，则（）A．8B．C．D．第(3)题已知函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．第(4)题直线与不等式组表示的平面区域的公共点有A．0个B．1个C．2个D．无数个第(5)题已知，则（）A．B．C．D．第(6)题在中，“”是“为等腰三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(7)题对任意，不等式恒成立，则正数a的最大值为（）A．B．C．D．e第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题复数p，q，r在复平面内对应的点分别为P，Q，R，下列说法正确的有（）A．若，则B．若，则C ．若，则P，Q，R三点共线D．若，则，，成等比数列第(2)题函数，．若在上的最大值为1，则（）A．B．C．，使在区间上为减函数D．若的图象关于对称，则的最小值为第(3)题如图所示，平行六面体中，，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是（）A．B．平面C．与平面ABCD所成角的余弦值为D．四棱锥的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题写出一个同时满足①②的复数___________.①；②.第(2)题已知平面向量（互不相等），与的夹角为，，，若，则__________．第(3)题若x，y满足约束条件，则的最大值是__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.（1）若，讨论在区间上的单调性；（2）证明：当时，在区间上有且只有两个零点.第(2)题给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列……(1)求的二阶差数列；(2)用含的式子表示的阶差数列，并求其前项和．第(3)题已知函数，其中，为自然对数的底数.(1)若，，证明：当时，；当时，(2)若，函数在区间内不单调，求的取值范围第(4)题如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接.(1)求证：，，，四点共面：(2)求平面与平面所成角的余弦值.第(5)题如图，在直三棱柱中，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.。
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而此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即
令
V (a) 2 a 1 (1 2a) 8 (1 a) 0 ，
5
3
27
得
即
因此
a 5 ,b 3 ,c 1.
42
七、（15
分）已知 un (x)
满足 un (x)
un (x)
xn1e x (n
1,2,)
,且 un (1)
e n
,
求函数项级数
收敛；
（2）当
1且 sn
(n ) 时，级数
n1
an Sn
发散。
解：
（1） an >0, sn 单调递增
当
n1
an
收敛时，
an sn
an s1
，而 an
s1
收敛，所以 an
sn
收敛；
当
n1
an
发散时，
lim
n
sn
所以， an s n1 n
a1 s1
n2
sn sn1
dx x
a1 s1
（1） xesin ydy yesin xdx
L
D
x
( xesin
y
)
y
(
ye sin
x
)dxdy
而 D 关于 x 和 y 是对称的，即知
因此
（2）因
故
由
知
即 xesin ydy yesin ydx 5 2
L
2
五、（10 分）已知 y1 xex e2x ， y2 xex ex ， y3 xex e2x ex 是某
zy 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 zy (x0 , y0 ) 2 y0 ， 即 x0 2, y0 1，又 z(x0 , y0 ) z(2,1) 5 ，于是曲面 2x 2 y z 0 在 (x0 , y0 , z(x0 , y0 )) 处的切平面方程是
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）行， 因 此， 由 ， Z y =2y 知（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷、填空题（每小题5分）（x + y ） ln （1 +》）1.计算 D -------------------- x dxdy =16/15，其中区域D 由直线y = 1与J 1-x-y两坐标轴所围成三角形区域.令t = 1 -u ，贝y u =1 -t1 2du =-2tdt ，u 2=1 —2t 2t 4，u(1—u)二 t 2(1—t)(1 t)，22 .设f(x)是连续 函数，且满足f(x) = 3x 2 - .o f(x)dx-2 ,则f(x) = _______________ .2解:令 A=J 0f(x)dx ，贝S f(x)=3x 3—A —2，22A (3x 2- A - 2)d x = 8 - QA 2) = 4 - 2A ,解得 A =—。
因此 f(x) =3x 2-10。
3323 .曲面z=L ，y 2-2平行平面2x 2y-z = 0的切平面方程是2解：因平面2x ，2y-z=0的法向量为（2,2,-1），而曲面2z=x y 2-2 在（X 0,y °）处的法向量为2（Z x （x °, y °）,Z y （x °, y °）,T ），故（Z x （x °, y °）, Z y （x °, y 。
）,-1）与（2,2^1）平解:令 x y=u,x=v ，贝卩 x=v, y=u —v ,■0 1 dudv = dudvJdxdy= det 〔2 =Z x (x °, y °) =x °,2 =Z y (x °, y °) =2y °，即 X o = 2, y ° =1，又 z(X o , y °) = z(2,1) = 5，于是曲面 2x 亠 2y —z =0 在(X o , y °,z(X o , y 。
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前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f ,则=)(x f ____________.解:令⎰=2d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题非数学类参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题;2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题每小题5分1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,⎰-=102d 1u uu 令u t -=1,则21t u -=dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,2．设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=2d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A ;因此3103)(2-=x x f ; 3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由xz x =,yz y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x ;4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d x y________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导,得 因)(29ln y f y xe e =,故y y y f x '=''+)(1,即))(1(1y f x y '-=',因此二、5分求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 解 :因 故 因此三、15分设函数)(x f 连续,⎰=10d )()(t xt f x g ,且A xx f x =→)(lim,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解 : 由A x x f x =→)(lim和函数)(x f 连续知,0)(lim lim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x因⎰=10d )()(t xt f x g ,故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g , 因此,当0≠x 时,⎰=xu u f xx g 0d )(1)(,故 当0≠x 时,xx f u u f x x g x )(d )(1)(02+-='⎰, 这表明)(x g '在0=x 处连续.四、15分已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证：1⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；22sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续,故由格林公式知 1y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 和y 是对称的,即知 因此 2因 故 由知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、10分已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解 设x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,则x x e e y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程 的解,因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ,而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ,由)(2111x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 212++=',x x x e xe e y 2142++='' 知,1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、10分设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点,故1=c ,于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令0)1(278)21(3152)(=---+='a a a a V πππ, 得 即 因此45-=a ,23=b ,1=c .七、15分已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.解x n n ne x x u x u 1)()(-+=', 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此由)1()1(nC e u n e n +==知,0=C , 于是下面求级数的和：令 则 即由一阶线性非齐次微分方程公式知令0=x ,得C S ==)0(0,因此级数∑∞=1)(n n x u 的和八、10分求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.解 令2)(t x t f =,则因当10<<x ,(0,)t ∈+∞时,2()2ln 0t f t tx x '=<,故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减;因此即()d ()1()d n f t t f n f t t ∞+∞+∞=≤≤+∑⎰⎰,又2()n n n f n x ∞∞===∑∑,21ln 1d 1ln1d d d )(01ln222πxt e xt et x t t f t xt t====⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+∞+,所以,当-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量是x-121π;2010-2012年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题; 一、25分,每小题5分1设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞2求21lim 1x x x e x-→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭;3设0s >,求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞-==⎰;4设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求2222g g x y ∂∂+∂∂;5求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离; 解：122(1)(1)(1)n n x a a a =+++=22(1)(1)(1)(1)/(1)nn x a a a a a =-+++- =222(1)(1)(1)/(1)na a a a -++-==12(1)/(1)n a a +--2 22211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x xx xx x x e e e x -++--→∞→∞→∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭令x=1/t,则原式=21(ln(1))1/(1)112(1)22lim lim lim t t t t ttt t t eeee +-+---+→→→===30000112021011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====⎰⎰⎰⎰二、15分设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞''''>=>=<且存在一点0x ,使得0()0f x <;证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根;解： 二阶导数为正,则一阶导数单增,fx 先减后增,因为fx 有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值;将fx 二阶泰勒展开： 因为二阶倒数大于0,所以lim ()x f x →+∞=+∞,lim ()x f x →-∞=-∞证明完成;三、15分设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切,求函数()t ψ; 解：这儿少了一个条件22d ydx=由()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切得 3(1)2e ψ=,'2(1)eψ= 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=;;; 上式可以得到一个微分方程,求解即可; 四、15分设10,,nn n k k a S a =>=∑证明：1当1α>时,级数1nn na S α+∞=∑收敛； 2当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1nn na S α+∞=∑发散; 解：1n a >0, n s 单调递增 当1n n a ∞=∑收敛时,1n n n a a s s αα<,而1n a s α收敛,所以nna s α收敛； 当1n n a ∞=∑发散时,lim n n s →∞=∞所以,11111211n n n s s n s s n n na a a dx dx s s x s x ααααα-∞∞==<+=+∑∑⎰⎰而1111111111lim 11ns n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--⎰,收敛于k; 所以,1nn na s α∞=∑收敛; 2lim n n s →∞=∞所以1n n a ∞=∑发散,所以存在1k ,使得112k n n a a =≥∑于是,111122212k k k n n n n nk a a a s s s α≥≥≥∑∑∑依此类推,可得存在121...k k <<<使得112i i k n k n a s α+≥∑成立,所以112Nk n na N s α≥⋅∑ 当n →∞时,N →∞,所以1nn na s α∞=∑发散 五、15分设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,其中2221)αβγ++=的直线,均匀椭球2222221x y z a b c ++≤,其中0,c b a <<<密度为1绕l 旋转; 1求其转动惯量；2求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值; 解：1椭球上一点Px,y,z 到直线的距离 由轮换对称性, 2a b c >>∴当1γ=时,22max 4()15I abc a b π=+ 当1α=时,22min 4()15I abc b c π=+六、15分设函数()x ϕ具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上,曲线积分422()cxydx x dyx yϕ++⎰的值为常数; 1设L 为正向闭曲线22(2)1,x y -+=证明422()0;cxydx x dyx y ϕ+=+⎰2求函数()x ϕ；3设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422()cxydx x dyx y ϕ++⎰;解：（1） L 不绕原点,在L 上取两点A,B,将L 分为两段1L ,2L ,再从A,B 作一曲线3L ,使之包围原点; 则有 （2） 令42422(),xy x P Q x y x yϕ==++ 由1知0Q P x y∂∂-=∂∂,代入可得 上式将两边看做y 的多项式,整理得 由此可得 解得：2()x x ϕ=-（3） 取'L 为424x y ξ+=,方向为顺时针2011-2012年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题;一． 计算下列各题本题共3小题,每小题各5分,共15分1.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；解：用两个重要极限：2.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭； 解：用欧拉公式令111...12n x n n n n=++++++ 其中,()1o 表示n →∞时的无穷小量,3已知()2ln 1arctan tt x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22d y dx ; 解：222222221211,121121tt t t t t t t t tte dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ 二．本题10分求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解;解：设24,1P x y Q x y =+-=+-,则0Pdx Qdy +=1,P Q y x ∂∂==∴∂∂0Pdx Qdy +=是一个全微分方程,设dz Pdx Qdy =+ ,P Q y x∂∂=∴∂∂该曲线积分与路径无关 三．本题15分设函数fx 在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()'"0,0,0f f f 均不为0,证明：存在唯一一组实数123,,k k k ,使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=;证明：由极限的存在性：()()()()1230lim 2300h k fh k f h k f h f →++-=⎡⎤⎣⎦即[]()123100k k k f ++-=,又()00f ≠,1231k k k ∴++=①由洛比达法则得由极限的存在性得()()()'''1230lim 22330h k fh k f h k f h →⎡⎤++=⎣⎦即()()'1232300k k k f ++=,又()'00f ≠,123230k k k ∴++=②再次使用洛比达法则得123490k k k ∴++=③由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解设1231111123,,01490k A x k b k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则Ax b =, 增广矩阵*111110031230010314900011A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()(),3R A b R A ==所以,方程Ax b =有唯一解,即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意, 且1233,3,1k k k ==-=;四．本题17分设2221222:1x y z a b c∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值;解：设Γ上任一点(),,M x y z ,令()222222,,1x y z F x y z a b c=++-,则'''222222,,,x y z x y z F F F a b c ===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为：222,,,x y z t a b c ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭1∑在点M 处的切平面为∏：原点到平面∏的距离为d =,令()222444,,,x y z G x y z a b c =++则1d =现在求()222444,,,x y z G x y z a b c =++在条件2222221x y z a b c++=,222z x y =+下的条件极值,令()()22222222212444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ⎛⎫=+++++-++- ⎪⎝⎭则由拉格朗日乘数法得：'1242'1242'1242222222222222022202220100x y z xx H x a a y y H y b b z z H z c c x y z ab c x y z λλλλλλ⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎪⎪⎪=+-=⎨⎪⎪++-=⎪⎪⎪+-=⎪⎩, 解得2222220x b c y z b c =⎧⎪⎨==⎪+⎩或2222220a c x z a c y ⎧==⎪+⎨⎪=⎩, 对应此时的()()442222,,b c G x y z b c b c +=+或()()442222,,a c G x y z a c a c +=+此时的1d =2d =又因为0ab c >>>,则12d d <所以,椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：2d =1d =五．本题16分已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分0z≥取上侧,∏是S 在(),,P x y z 点处的切平面,(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表示S 的正法向的方向余弦;计算：1(),,SzdS x y z ρ⎰⎰；2()3S z x y z dS λμν++⎰⎰解：1由题意得：椭球面S 的方程为()222310x y z z ++=≥令22231,Fx y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===,切平面∏的法向量为(),3,n x y z =,∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=,原点到切平面∏的距离()222,,x y z ρ==将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz D x z x z +≤≥≥2方法一：λμν===六．本题12分设fx 是在(),-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x <、,其中01m <<,任取实数0a ,定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛; 证明：()()112ln ln nn n n a a f a f a ----=-由拉格朗日中值定理得：ξ∃介于12,n n a a --之间,使得()()()'112n n n n f a a a a f ξξ---∴-=-,又()()f mf ξξ<、得()()'f m f ξξ<∴级数1101n n m a a ∞-=-∑收敛,∴级数11nn n aa ∞-=-∑收敛,即()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛;七．本题15分是否存在区间[]0,2上的连续可微函数fx,满足()()021f f ==,()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、请说明理由;解：假设存在,当[]0,1x ∈时,由拉格朗日中值定理得： 1ξ∃介于0,x 之间,使得()()()'10,f x f f x ξ=+, 同理,当[]1,2x ∈时,由拉格朗日中值定理得：2ξ∃介于x,2之间,使得()()()()'222f x f f x ξ=+-即()()[]()()()[]''121,0,1;12,1,2f x f x x f x f x x ξξ=+∈=+-∈ ()11f x -≤≤、,显然,()()200,0f x f x dx ≥≥⎰()()()()()1221211111133x dx x dx f x dx x dx x dx ≤-+-≤≤++-=⎰⎰⎰⎰⎰()21f x dx ∴≥⎰,又由题意得()()221,1f x dx f x dx ≤∴=⎰⎰即()21f x dx =⎰,()[][]1,0,11,1,2x x f x x x ⎧-∈⎪∴=⎨-∈⎪⎩ ()'1f ∴不存在,又因为fx 是在区间[]0,2上的连续可微函数,即()'1f 存在,矛盾,故,原假设不成立,所以,不存在满足题意的函数fx;。
完整版)高等数学测试题及答案
完整版)高等数学测试题及答案高等数学测试试题一、是非题（3’×6=18’）1、$\lim_{x\to 1}(1-x)=e$。
（×）2、函数$f(x)$在点$x=x_0$处连续，则它在该点处必可导。
（×）3、函数的极大值一定是它的最大值。
（×）4、设$G(x)=f(x)$，则$G(x)$为$f(x)$的一个原函数。
（√）5、定积分$\int_{-1}^1 x\cos x dx=0$.（√）6、函数$y=x-2$是微分方程$x\frac{dy}{dx}+2y$的解。
（√）二、选择题（4’×5=20’）7、函数$f(x)=\sin\frac{1}{x}$是定义域内的（）A、单调函数B、有界函数C、无界函数D、周期函数答案：C8、设$y=1+2x$，则$dy$=（）A、$2xdx$B、$2x\ln2$C、$2x\ln2dx$D、$(1+2x\ln2)dx$答案：A9、设在区间$[a,b]$上$f'(x)>0$，$f''(x)>0$，则曲线$y=f(x)$在该区间上沿着$x$轴正向A、上升且为凹弧B、上升且为凸弧C、下降且为凹弧D、下降且为凸弧答案：B10、下列等式正确的是（）A、$\int f'(x)dx=f(x)$B、$\int f(x)dx=f'(x)$C、$\int f'(x)dx=f(x)+C$D、$\int f(x)dx=f'(x)+C$答案：C11、$P=-\int \cos^2 x dx$，$Q=3\int dx$，$R=\int xdx$，则int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx < \int_0^1 \sin^2 x dx <\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$A、$P<Q<R$B、$Q<P<R$C、$P<R<Q$D、$R<Q<P$答案：D三、选择题（4’×5=20’）12．函数$f(x)=\frac{x^2}{3x-3}$的间断点为（）A、3B、4C、5D、6答案：A13、设函数$f(x)$在点$x=0$处可导，且$\lim_{h\to 0}\frac{f(-h)-f(0)}{h}=\frac{1}{2}$，则$f'(0)$=（）A、2B、1C、-1D、-2答案：B14、设函数$f(x)=x^2\ln x$，则$f''(1)$=（）A、2B、3C、4D、5答案：B15、$\frac{d}{dx}\int_0^{\ln(1+x)}\ln(1+t)dt=$A、$\ln(1+x)$B、$\ln(1+x^2)$C、$2x\ln(1+x^2)$D、$x^2\ln(1+x^2)$答案：C16、$\int f'(e^x)e^xdx=$A、$f(e^x)$B、$f(e^x)+C$C、$f'(e^x)$D、$f'(e^x)+C$答案：B四、选择题（7’×6=42’）17、$\lim_{x\to 2x-2}\frac{x^2+x-6}{x-2x+2}=$A、5B、6C、7D、8答案：B18、函数$y=x^3-3x$的单调减少区间为（）A、$(-\infty,-1)$B、$(-\infty,1)$C、$(-1,+\infty)$D、$[-1,1]$答案：A19、已知曲线方程$y=\ln(2+x)$，则点$M(0,\ln2)$处的切线方程为（）A、$y=\frac{x}{2}+\ln2$B、$y=\frac{x}{2}-\ln2$C、$y=2x+\ln2$D、$y=2x-\ln2$答案：AB、y=x+1C、y=x^2+ln2D、y=x+ln2x10、函数f(x)=∫lntdt的极值点与极值分别为：A、x=2，极小值f(2)=1B、x=1，极小值f(1)=1/2(ln2-1)C、x=2，极大值f(2)=1D、x=1，极大值f(1)=1/2(ln2-1)21、曲线y=4-x^2，x∈[0,4]与x轴，y轴以及x=4所围的平面图形的面积值S=A、4B、8C、16D、3222、微分方程dy/dx=ex-2y满足初始条件y(0)=1的特解为：A、lny=ex-1B、e2y=2ex-1C、e2y=ex-1D、e2y=e2x-1。
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上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设
n
a0,Sa,证明：
nnk
k1
（1）当1时，级数
a
n
S
nn
1
收敛；
（2）当1且()
sn时，级数
n
a
n
S
nn
1
发散。
解：
（1）
a>0,
n
s单调递增
n
当
n1
a收敛时，
n
aa
nn
ss
n1
，而
a
n
s
1
收敛，所以
a
n
s
n
收敛；
当
n1
a发散时，lim
n
解：
（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
由轮换对称性，
（2）abc
当1时，
4
22
Iabc(ab)
max
15
当1时，
4
22
Iabc(bc)
min
15
六、(15分)设函数(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的
简单闭曲线C上，曲线积分
c
2xydx(x)dy
42
xy
的值为常数。
（1）设L为正向闭曲线
1kk...
12
使得
k
i
1a1
n
2
s
kn
i
成立，所以
k
N
1
a
n
s
n
N
1
2
当n时，N，所以
a
n
s
nn
1
发散
五、（15分）设l是过原点、方向为(,,)，（其中
辽宁省大连市(新版)2024高考数学部编版能力评测(拓展卷)完整试卷
辽宁省大连市（新版）2024高考数学部编版能力评测(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(2)题在中，分别是角所对的边，若，则（）A．B．C．D．第(3)题从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A．B．C．D．第(4)题若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（）A．B．C．D．第(5)题已知集合，，全集，则（）A．B．C．D．第(6)题已知圆台的上、下底面的直径分别为8和4，若p为“圆台的体积不大于”，则p的充分不必要条件可以为（）A．圆台的母线长为B．圆台的母线长为C．圆台的母线长为D．圆台的母线长为第(7)题若数列的通项公式是，则等于（）A．B．C．D．第(8)题已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则在下列区间上函数单调递增的是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：）的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）．A．直径为的球体B．底面边长为、高为的正三棱柱C．底面直径为、高为的圆柱体D．底面直径为、高为的圆柱体第(2)题已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有两条，则实数的值为（）A．B．C．D．第(3)题定义在上的函数满足，，则（）A．的图象关于对称B．4是的一个周期C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系中，从区域内随机取一点，记该点为，则直线的倾斜角大于的概率为______．第(2)题设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，，则直线的方程为______，的面积为______.第(3)题阅读下面的程序框图，则输出的= ___________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题[选修4-4:坐标系与参数方程]已知曲线的参数方程为 (为参数)，以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程;(2)设.直线与曲线交于点.求的值.第(2)题已知是递增的等比数列，，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.第(3)题已知为坐标原点，抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为，曲线在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴.（Ⅰ）求线段的长；（Ⅱ）设不经过点和的动直线交曲线于点和，交于点，若直线的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由．第(4)题在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值.第(5)题已知各项递增的等比数列，其前n项和为，满足，.(1)求的通项公式；(2)记数列的通项公式为，将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和.。
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大连市高等数学竞赛试题B答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】大连市第二十三届高等数学竞赛试卷答案（B）一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，计10分）1. n ⎭⎝∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x xx→-= 1/2 . 3. 0lim x x x +→= 1 . 4. 2cos lim xx t dtx→⎰= 1 .5.若221lim 2,2x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、（本题10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=),0(1),0(1sin)(3x x xx x f 求)(x f '.解 当0≠x 时，xx x f 1sin )(3=为一初等函数，这时;1cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232xx x x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='（6分） 当0=x 时，由于),0(01sin lim )(lim 300f xx x f x x ≠==→→（8分） 所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。
（10分）解：0,1,1x x x ===-为间断点。
（3分） 当0x =时，由于00lim ()lim 1,1||x x x f x x x ++→→==+而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。
（5分） 当1x =时，由于11lim ()lim 1,1||x x x f x x x →→==+所以1x =是可去间断点。
（7分） 当1x =-时， 而1lim (),x f x →-=∞所以1x =-是无穷间断点。
（8分）考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页第 1页曲线)0(316>=x x y 上哪一点处的法线在y 轴上的截距最小？ 3在),(y x 处的法线方程为 )(x X k y Y -=-，因为52x y ='，所以521x k -=，法线方程为 )(215x X x y Y --=-，（4分）整理后为 64545312121212x x X x x x X y Y ++-=+-=，法线在y 轴上的截距为 643121x x b +=。
（6分）求此函数的极值：令0='b ，解得1,121-==x x （舍去）;（8分）020)1(,101046>=''+=''b x xb ,故)1(b 为极小值。
由于驻点唯一，知它即是最小值，因此曲线在点⎪⎭⎫⎝⎛31,1处的法线在y 轴上截距最小。
（10分）五、（本题6分）求x x y 44cos sin +=的n 阶导数. x x x x 22222cos sin 2)cos (sin -+= ,4cos 414324cos 12112sin 212x x x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=（2分） )24cos(44)4sin (410π+=⋅-='x x y （3分）)224cos(4π⋅+=''x y （4分） 所以).4cos(41)(π⋅+=-n x y n n （6分）六、（本题10分）讨论方程ax x =ln （其中0>a ）有几个实根？ ),0(,+∞∈-x ax x ，则a x x f -='1)(，故a x 1=为)(x f 的驻点（2分）。
当a x <时，0)(>'x f ，当a x 1>时，0)(<'x f ，所以)1(a f 为最大值。
（4分）当0)1(>a f 时，即01ln >--a ,即ea 10<<时，由于-∞=-∞=∞→→+)(lim ,)(lim 0x f x f x x ，所以当ea 10<<时，此时方程有两个根。
（8分）当0)1(=a f 时，即e a 1=时，此时方程有一个根。
（9分）当0)1(<a f 时，即ea 1>时，方程无根. （10分）共四页第 2 页七、（本大题共3小题，每小题6分，总计18分）（1）1.1tandxx+⎰解⎰⎰⎰+-++=+=+dxxxxxxxdxxxxdxx cossinsincossincos21cossincostan11（2分）1cos sin111(sin cos)2sin cos2sin cosx xdx x d x xx x x x-⎛⎫⎡⎤=+=++⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎰⎰（4分）1(ln|cos sin|).2x x x C=+++（6分）（2）sin(ln).x dx⎰解：⎰⎰⋅⋅-=dxxxxxxdxx1)cos(ln)sin(ln)sin(ln（2分）⎰⎰--=---=dxxxxxxdxxxxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln]1)]sin(ln[)cos(ln[)sin(ln（4分）所以.)]cos(ln)[sin(ln)sin(ln2Cxxxdxx+-=⎰（5分）故.)]cos(ln)[sin(ln2)sin(ln Cxxxdxx+-=⎰（6分）（3）⎰--+442.1sin ππdx e xx解 由于⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(，（2分）而x e e e x e x e x x f x f x x xx x 2222sin 111sin 1sin 1sin )()(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++=-+-（4分） 所以 ⎰⎰⎰-==+--4040244222cos 1sin 1sin ππππdx x xdx dx e x x.822sin 412140-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ππx x （6分）八、（本题10分）设)(x f '在],[b a 上连续，且0)()(==b f a f ，证明：),()()x f a f x =-),()()(x f x f b x-=-（3分）两式相减，得⎰⎰'-'=bxxadt t f dt t f x f )()()(2，（5分）所以 ⎰⎰'+'≤bxxadt t f dt t f x f )()(|)(|2（7分）⎰⎰⎰'='+'≤b ab xx adt t f dt t f dt t f |)(||)(||)(|（9分）即 .|)(|21|)(|⎰'≤ba dx x f x f （10分） 共 四页 第 3页九、（本题8分）已知函数()f x 具有二阶导数，且()lim0x f x x→=，(1)0f =，证明：存在点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ''=.证明：由1)(lim=∞→xx f x ，得0)0(=f ，0)0(='f ， （2分） 函数)(x f 在[0，1]连续，（0，1）可导，0)1()0(==f f ，由罗尔定理，至少存在)1,0(0∈x 使0)(0='x f 。
（6分）函数)(x f '在[]0,0x 连续，),0(0x 可导，0)()0(0='='x f f ，由罗尔定理，至少存在)1,0(),0(0⊂∈x ξ使0)(=''ξf （10分）十、（本题10分）设)(x f 为连续函数，且满足⎰--=x xdt t f t x e x f 02)()()(，求)(x f .解 将上式两边对x 求导，得⎰-='xx dt t f e x f 02)(2)(，（2分）再对上式求导，得)(4)(2x f e x f x -=''，即x e x f x f 24)()(=+''。
（4分） 由已知条件，可知2)0(,1)0(='=f f 。
（6分）因此所求函数)(x f y =满足下列初值问题⎩⎨⎧='==+''==2|,1|,4002x x x y y e y y ， 其通解为x e x C x C Y 22154sin cos ++=（8分）。
根据初值条件，得52,5121==C C 。
从而所求的函数为x e x x x f 254sin 52cos 51)(++=（10分）共四页第4页。