双缝干涉条纹间距公式的推导

双缝干涉条纹间距公式的推导

双缝干涉的实验装置如下图所示，P 0是S 1S 2的中垂线与屏的交点；d 是双缝S 1、S 2的距离；L 是缝与屏的距离；y 是P 点到P 0点的距离；r 1、r 2是屏上P 点到S 1、S 2的距离；设S 1、S 2到P 点的路程差（光程差）为δ=r 2−r 1，则由图可知

r 22 = (y +d 2)2+L 2 ------------------------------------------------------------------------------------------① r 12 = (y −d 2)2+L 2 ------------------------------------------------------------------------------------------② 由①—②可得：

r 22−r 12 = (y +d 2)2−(y −d 2

)2 = 2d y -----------------------------------------------------------------③ 即：(r 2+r 1)(r 2−r 1) = 2d y

由于L ≫d ，L ≫y ，因此 r 2+r 1≈2L

所以 δ=r 2−r 1=2dy 2L 即：δ=d L y

当光程差δ等于光波波长λ的整数倍时，两列波在P点同相加强，出现亮条纹，

即kλ=d

L

y(k=0，±1，±2，±3，⋯)

则y=k L

d

λ(k=0，±1，±2，±3，⋯)

所以Δy=y k+1−y k=(k+1)L

d λ−k L

d

λ=L

d

λ

即Δy=L

d

λ-----------------------------------------------------------------------------------------------④

当光程差δ等于光波半波长λ

2

的奇数数倍时，两列波在P点反相减弱，出现暗条纹，

即(2k+1)λ

2=d

L

y(k=0，±1，±2，±3，⋯)

则y=(2k+1)L

d ∙λ

2

(k=0，±1，±2，±3，⋯)

所以Δy=y k+1−y k=(2k+3)L

d ∙λ

2

−(2k+1)L

d

∙λ

2

=L

d

λ

即Δy=L

d

λ------------------------------------------------------------------------------------------------⑤

根据④、⑤两式可知：相邻两条明条纹（或暗条纹）间距均为Δy=L

d

λ，而L、d和λ都为定值，所以屏上的干涉条纹是等间距的。

在双缝干涉实验中若入射光为白光，则中央明条纹（白色）的两侧出现彩色条纹，且靠近中央明条纹的是紫光。

另外在研究双缝干涉现象时，一般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少，这是因为从光的能量角度讲，从明条纹到暗条纹衔接处，是连续变化的，没有分界线。