高三数学模拟题强化训练
高三数学强化训练(4)解析几何
高三数学强化训练（4）解析几何一1、已知以点P 为圆心的圆经过点()1,0A -和()3,4B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D，且||CD =. (1)求直线CD 的方程； ⑵求圆P 的方程；⑶设点Q 在圆P 上，试问使△QAB 的面积等于8的点Q 共有几个？证明你的结论.2．求椭圆22x ＋y 2＝1上的点到直线y ＝x ＋2的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．3．已知双曲线C ：2214y x -=， （1）求直线1y x =+被双曲线C 截得的弦长；（2）求过定点(0,1)的直线被双曲线C 截得的弦中点轨迹方程4．已知定点(1,0)C -及椭圆2235x y +=,过点C 的动直线与椭圆相交于,A B 两点．（1）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程； （2）在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ∙为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由5、在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与 抛物线x 2=2py （p>0）相交于A 、B 两点。
（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点， 求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。
6、如图，已知抛物线C ：px y 22=和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为417． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率； （Ⅲ）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．*7.设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2，,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
2023高考数学基础强化专题训练(二)
2023高考数学基础强化专题训练（二）解析几何直线与圆1．若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线y＝ 有两个交点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．{b |－2 ＜b ＜2 } B ．{b |2＜b ＜2 } C ．{b |2≤b ＜2 } D ．{b |b ＝±2}2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （－3，0）在圆C ：x 2＋y 2＋2mx －4y ＋m 2－12＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（3－2 ，1]∪[5，3＋2 ）B ．[1，5]C ．（3－2 ，3＋2 ）D ．（－∞，3－2 ）∪（3＋2 ，＋∞）3．（多选题）下列说法中，正确的有（ ） A ．直线y ＝ax ＋2a ＋3（a ∈R ）必过定点（2，3） B ．直线y ＝2x －1在y 轴上的截距为－1 C ．直线 x －y ＋2＝0的倾斜角为60°D ．点（1，3）到直线y －2＝0的距离为14．（多选题）已知圆M ：（x ＋2）2＋y 2＝2，直线l ：x ＋y －2＝0，点P 在直线l 上运动，直线P A ，PB 分别于圆M 切于点A ，B ．则下列说法正确的是（ ） A ．四边形PAMB 的面积最小值为 B ．|P A |最短时，弦ABC ．|P A |最短时，弦AB 直线方程为x ＋y －1＝0D ．直线AB 过定点（ ， ） 5. 在直线l ：2x －y ＋1＝0上一点P 到点A （－3，0），B （1，4）两点距离之和最小，则点P 的坐标为 ▲ .6．在平面直角坐标系xOy 中，点A （－2，2），B （－1，1），若直线x ＋y －2m ＝0上存在点P 使得P A ＝ PB ，则实数m 的取值范围是 ▲ ．7.已知直线:1l ax by +=是圆22220x y x y +--=的一条对称轴，则ab 的最大值为______．222224x -333333323-2128.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ．9.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，若点P 到直线1349:0l x y --=和2:340l x y a -+=的距离和都与x ，y 无关，则a 的取值区间为____________．10.11.已知直线l ：kx －y ＋2＋k ＝0(k ∈R )．（1）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值和此时直线l 的方程．12.已知⊙C 的圆心在直线3x －y －3＝0上，点C 在y 轴右侧且到y 轴的距离为1，⊙C 被直线l ：x －y ＋3＝0截得的弦长为2． （1）求⊙C 的方程；（2）设点D 在⊙C 上运动，且点T 满足→DT =2→TO ，(O 为原点)记点T 的轨迹为Γ． ①求Γ的方程；②过点M （1，0）的直线与Γ交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ?若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．圆锥曲线1.2.3.4.在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于原点对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于34-． （1）求动点P 的轨迹方程，并注明x 的范围;（2）设直线AP 与BP 分别与直线3x =交于M ，N ，问是否存在点P 使得PAB △与PMN △面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2＝30°，(1，32)在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P (－2，0)，Q (2，0)．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQ S △NPQ 的值． 6.7.已知双曲线)0,(1:2222>=-Γb a by a x ，经过双曲线Γ上的点)1,2(A 作互相垂直的直线AN AM 、分别交双曲线Γ于N M 、两点．设线段AN AM 、的中点分别为C B 、，直线OC OB 、O (为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.41-(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点A 作D MN AD (⊥为垂足），请问：是否存在定点E ，使得||DE 为定值？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.8.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ，使得TA →·TB →为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．函数与导数1.若直线4y x m =+是曲线313y x nx =-+与曲线22ln y x x =+的公切线, 则n m -=A. 11B. 12C. -8D. -72.已知3151log 2,log 10,sin 2a b c ===, 则A. b c a >>B. a c b >>C. a b c >>D. b a c >>【类题训练】1.若a ＝sin1＋tan1，b ＝2，c ＝ln4＋12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜c ＜a 2.3.设1.1ln =a ，11.0-=eb ，1.0tan =c ，π4.0=d ，则A ．d c b a <<<B ．d b c a <<<C ．c d b a <<<D ．b d c a <<<4.（多选题）已知0＜x ＜y ＜π，e y sin x ＝e x sin y ，则( )A ．sin x ＜sin yB ．cos x ＞－cos yC ． sin x ＞cos yD ．cos x ＞sin y 5.2022高考三类“比大小”问题的出题背景及应用举例文/刘蒋巍第1类 出题背景1变形得：x xx e x e<+<+11)0(>x注：该不等式也可运用“移项，构造函数”的高中方法证明。
高三数学强化训练
高三数学强化训练（理尖3）命题人：邓新如 刘文平 审题人：付兴文 做题人:刘文平 命题时间：2010.3.18 班级 姓名 得分 一选择题1.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ）A ．95 B ．94 C ．2111 D ．2110 2.从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 3.设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子，每盒放一球，并且恰好有两个球的编号数与盒子的编号数相同，则这样的投放方法总数为（ ）A. 20B. 30C. 60D. 1204、（2009江西师大附中等五所重点名校4月联考）将1、2、3、…、9这九个数字填在图中的9个空格中，要求每一 行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当3、4固定在图中的位置 时，填写空格的办法有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．18种 D ．24种A5.若与的展开式中含的系数相等，则实数m 的取值范围是（ ）A.B.C.D.6.若，且，则，等于 （ ） A. 81 B. 27 C. 243D. 729 二 填空题7、n n n 2n 1n C 1n 1)1(C 31C 211+-+-+-=__________。
8、如果一个三位正整数形如“321a a a ”满足2321a a a a <<且，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为___ 596 。
9. 20、若23456161520156(21)x x x x x x x N x -+-+-+∈≤且的值能被5整除，则x 的可取值的个数有__ 5 _个。
三 解答题10 1、（2009黄冈中学2月月考）一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则a k =1；出现“×”，则a k =1-.令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *∈. (1)当12p q ==时，求S 6≠2的概率； (2)当p =31，q =32时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.解：(1)∵先求6S =2的概率，则在6次变化中，出现“○”有4次，出现“ ×”有2次.故6S =2的概率为.6415)21(·)21(2446=C ∴6S ≠2的概率为P 1=1-64496415=. (2)当82S =时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知S i ≥0(i =1,2,3,4), 若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次.故此时的概率为P=()7835353638038303131=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+C C (或218780)。
高三第六次强化训练(学生参考答案版)
湖南省衡阳县第六中学高三数学第六次强化训练文科试卷（问 卷）时量：120分钟 总分：150分 （2010．12．29） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上． 9．=z i 2721±-10．7- 11．⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0 12．M N P <<13．6614．()2,1∈a15．42三、解答题：本大题共六小题，共计75分．解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．16．（本小题12分）已知非零向量→1e 、→2e 不共线，且→→→+=21e e AB ，→→→+=2182e e AC ，→→→-=213e e AD ．⑴若E 是BC 的中点，试用→1e 、→2e 表示→AE ；⑵如果121==→→e e ，221=+→→e e ，求→→⋅21e e ； ⑶判断B 、C 、D 三点是否共线，并证明你的结论．解：⑴→→→→→+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21292321e e AC AB AE ；⑵→→⋅21e e =2；⑶假设B 、C 、D 三点共线，则存在实数R ∈λ，使得→→=BD BC λ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-→→→→AB AD AB AC λ，∴⎪⎭⎫⎝⎛-=+→→→→2121227e e e e λ， →1e ，→2e 不共线，⎩⎨⎧=-=∴7212λλ，故λ无解，故假设不成立．17.（本小题12分）有一道解三角形的题目，因纸张破损致使有一个条件不清，具体如下： 在ABC ∆中，已知45,3==B a ， ，求角A .经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示60=A ，试将条件补充完整，并说明理由．解：将角 60=A 看作已知条件，由Bb Aa sin sin =，得2=b ；由Cc Aa sin sin =，得226+=c ．若已知条件为2=b ，则由Bb Aa sin sin =得23sin =A ， 60=∴A 或 120，不合题意，舍去．若已知条件为226+=c ，则由2cos 2222=-+=B ac c a b ，得2=b ．,212cos 222=-+=∴bcac b A ∴60=A ，符合题意．综上所述，破损处的条件应为226+=c ．18.（本小题12分）已知二次函数()()R c b a c bx x x f ∈++=,,,2，且同时满足下列条件：①()01=-f ；②R x ∈∀都有()0≥-x x f ；③当()2,0∈x 时，有()221⎪⎭⎫⎝⎛+≤x x f ．⑴求()1f 的值；⑵求实数a 、b 、c 的值；⑶当[]1,1-∈x 时，函数()()()R m mx x f x g ∈-=是单调函数，求实数m 的取值范围． 解：⑴令1=x ，由②有()011≥-f ，由③有()121112=⎪⎭⎫⎝⎛+≤f ，()11=∴f ．⑵()()01,1=+-=-++=c b a f c b a f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+∴2121b c a ，又R x ∈∀都有()0≥-x x f ，021441≤⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎩⎪⎨⎧=∆>∴a a a ，41=∴a ，从而41=c ． ⑶由⑵知()4121412+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x m x x g ，要使()()()R m mx x f x g ∈-=在[]1,1-∈x 上是单调函数，141221≥⨯-∴m 或141221-≤⨯-∴m ，1≥∴m 或0≤m ． 19．（本小题13分）在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为BD 、1BB 的中点． （1）求证：1AD EF ⊥； （2）求三棱锥AEF D -1的体积．（1）证明：连接D B 1、D A 1，易证得11AD D A ⊥，111AD B A ⊥，D B A AD 111平面⊥∴，D B AD 11⊥∴，易证D B EF 1//，1AD EF ⊥∴．（2）由（1）知1AD EF ⊥，又显然AE EF ⊥，1AED EF 平面⊥∴，EF ∴就是三棱锥1AED F -的高．又D D BB AE 11平面⊥ ，E D AE 1⊥，∴三棱锥1AED F -的底面1AED 是直角三角形，易求得6,2,3122===+=E D AE BFBEEF ，所以，三棱锥AEF D -1的体积：12131311111=⨯⨯⨯===∆--EF ED AE EF S V V AED AED F AEFD ．20．（本小题13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知a a =1，()++∈+=N n S a nn n 31．⑴设nn n S b 3-=，求数列{}n b 的通项公式；⑵若++∈≥N n a a n n ,1，求实数a 的取值范围．解：⑴依题意，()+++∈+==-N n S a S S n n n n n 311，即nn n S S 321+=+．由此得：()nn n n S S 32311-=-++，因此所求的通项公式为()+-∈-=-=N n a S bn nn n,2331．⑵由⑴知()+-∈-+=N n a S n n n ,2331，于是，当2≥n 时，()2112332----+⨯=-=n n n n n a S S a ，则()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-+⨯=-----+323122233422211a a a a n n n n n n ，当2≥n 时，n n a a ≥+1，因此，0323122≥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-a n ，即9123231232-=-≥⎪⎭⎫⎝⎛⨯-≥-n a ．又1123a a a >+=综上，所求的a 的取值范围是[)+∞-,9 21．（本小题13分）已知函数()x x x f 82+-=，()m x x g +=ln 6，是否存在实数m ，使得()x f y =的图象与()x g y =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：函数()x f y =的图象与()x g y =的图象有且只有三个不同的交点，即函数()()()x f x g x h -=的图象与X 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．()m x x x x h ++-=ln 682 ，()()()()03126826822>--=+-=+-='∴x xx x xx x xx x h ，当()1,0∈x 时，()0>'x h ，()x h 是增函数；当()3,1∈x 时，()0<'x h ，()x h 是减函数； 当()+∞∈,3x 时，()0>'x h ，()x h 是增函数；当31==x x 或时()0='x h ，()()()()153ln 63,71-+==-==∴m h x h m h x h 极小值极大值，∴要使()()()x f x g x h -=的图象与X 轴的正半轴有且只有三个不同的交点，必须且只需()()⎩⎨⎧<-+=>-=0153ln 607m x h m x h 极小值极大值，即3ln 6157-<<m ．所以存在实数m ，使得()x f y =的图象与()x g y =的图象有且只有三个不同的交点．。
阳江一中高三数学强化训练(4)解几
高三数学强化训练（4）解析几何1.已知双曲线C ：2214y x -=，（1）求直线1y x =+被双曲线C 截得的弦长；（2）求过定点(0,1)的直线被双曲线C 截得的弦中点轨迹方程1.解析：（1）由22141y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得224(1)40x x -+-=得23250x x --=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则有121225,33x x x x +==-得，12|d x x =-===（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ，由22114y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(4)250k x kx ---=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则22420(4)0k k ∆=+->，∴21680,||k k << 且12122225,44k x x x x k k +==---， ∴121212221114(),()()124224k x x x y y y x x k k =+==+=++=--， 22444k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，得2240(4x y y y -+=<-或0)y >。
方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则221122224444x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-， ∴121212124()y y x x x x y y +-=+-， 即41y xx y =-， 即2240x y y -+=（图象的一部分） 2.3．已知定点(1,0)C -及椭圆2235x y +=,过点C 的动直线与椭圆相交于,A B 两点．（1）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程； （2）在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ∙为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+,将(1)y k x =+代入2235x y +=,消去y 整理得2222(31)6350k x k x k +++-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ,则⎪⎩⎪⎨⎧+-=+>-+-=∆.136,0)53)(13(4362221224k k x x k k k由线段AB 中点的横坐标是12-，得2122312312x x k k +=-=-+，解得3k =±，适合①所以直线AB的方程为10x +=或10x += （2）假设在x 轴上存在点(,0)M m ，使⋅为常数． （ⅰ）当直线AB 与x 轴不垂直时，由（1）知22121222635,3131k k x x x x k k -+=-=++ ， ③所以212121212()()()()(1)(1)MA MB x m x m y y x m x m k x x ∙=--+=--+++22222212(1)()()k x x k m x x k m =++-+++；将③代入，整理得222222114(2)(31)2(61)5333131m k m m k MA MB m m k k -+----∙=+=+++① ②221614233(31)m m m k +=+--+ ， 注意到MA MB ∙ 是与k 无关的常数，从而有76140,3m m +==-，此时49MA MB ∙= ；（ⅱ）当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A B 、的坐标分别为(1,--，当73m =-时，亦有49MA MB ∙= ；综上，在x 轴上存在定点7(,0)3M -，使MA MB ∙ 为常数.6、如图，已知抛物线C ：px y 22=和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心点M到抛物线准线的距离为417．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时， 求直线EF 的斜率；（Ⅲ）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．6、解：（Ⅰ）∵点M 到抛物线准线的距离为=+24p 417， ∴21=p ，即抛物线C 的方程为x y =2． （Ⅱ）法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴HE HF k k =-， 错误！未找到引用源。
【新高考】数学 强化训练--专题04 如何由数列前n项和Sn求数列通项an(含答案解析)
b1
6 ， bn
Sn
1 an
4
n N*
.
（I）求数列an 的通项公式；
1 （Ⅱ）记数列
bn
的前 n 项和为 Tn ，来自明： Tn1 2.
16．（2020·福建省高三期末）记 Sn 为数列an 的前 n 项和.已知 an 0 ， 6Sn an2 3an 4 .
（1）求an 的通项公式；
于（ ）
A． 2
B．0
C．2
D．4
5．（2020·河南省高三期末）已知数列an 满足 a1 4a2 7a3 3n 2 an 4n ，则
a2a3 a3a4 a21a22 （ ）
5
A．
8
3
B．
4
二、填空题
C． 5 4
5
D．
2
6．（2020·山西省高三期末）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn 2 2n1 ，则 an ______.
31 A．
16
B． 31 2
1
C．
32
31
D．
32
3．（2020·全国高三专题练习）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 3Sn 2an 3n ，则 a2018 （ ）
A． 22018 1
B． 32018 6
C．
1 2
2018
7 2
D．
1 2018 3
10 3
4．（2020·海南省高三）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn1 Sn n2 25n n N * ，则 a12 a13 等
B． 32018 6
C．
1 2
2018
7 2
D．
1 2018 3
高三数学双基强化训练(一)
高三数学双基强化训练（一）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．sin 240o的值为（ ）.A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 2．已知双曲线C ：22214x y b-=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为（ ）.A ．12B C ．2 D ．23．执行如图所示的程序框图，则输出的z 的值是（ ）.A ．21B ．32C ．34D ．644．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan αβ+=tan α+tan β，则下列命题为真命题的是（ ）.A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝ 5．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）.A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1-- 6．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}na 的通项公式为（ ）.A ．2121n -+ B ．2121n -- C ．221n +D ．221n-7．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x …成立的概率为（ ）. A ．425B ．12C ．23D ．18．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点1x ，2x ，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb 平面上所构成区域的面积为（ ）.A ．14B ．12C ．34D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中的横线上． 9．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z = ． 10.已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1+=-a b ，则x y += ．11．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y km 与刹车时的速度x km /h 的关系可以 用2y ax =来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h 时，紧急刹车后滑行的距离 为b km ．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b km ，则这辆车的行驶速度12．若x ，y 满足11010y x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩………，则z x =+的最小值为 .13. 一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积 为 ．14.设点()0,1M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=o，则0x 的取值范围是 .高三数学双基强化训练（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}{}211,|0A x x x B x x x =+=+=+<，则A B =I （ ）. A. ()1,0- B.[)1,0- C. (]1,0- D ． []1,0- 2.复数z 满足1(1)i z z -=+，则z 的值是（ ）.A ． 1i + B.1i - C.i D.i -3.双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（ ）.4.51(1)2x +的展开式中2x 的系数为（ ）. A.5 B.52 C.54 D.585.m ,n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，下列说法正确的是（ ）. A ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n B ．若,,//,//m n m n αββ⊂，则//αβC ．,m n 是异面直线，若//,//,//,//m m n n αβαβ，则//αβ D. 若//,//m αβα，则//m β6．过点()2,3的直线 l 与圆 22:430C x y x +++=交于,A B 两点，当弦AB 取最大值时，直线l 的方程为( ).A ．3460x y -+= B.3460x y --= C. 4380x y -+= D. 438 0x y +-= 7.已知函数2sin (0)y x ωω=>的图像与直线2y =-的相邻的两个公共点之间的距离为2π3，则ω的值为( ). A ．13 B.32 C. 3 D.238．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）.A. 2+B. 42+59. 从1,2,3,4,5这5个数中中任取3个不同的数，其中，这3数构成一组勾股数的概率为（ ）. A.15 B ． 310 C ． 110 D ． 3510.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）. A ．2 B ．1 C ．0 D ．1-11.在ABC △中，,,a b c 分别是角,A B C ,的对边，且2cos 22A b c c+=，则ABC △是( ).A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角形12.已知函数3()23f x x x =-.若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则t 的取值范围为 ( ).A.()3-∞-，B. ()3,1--C.()1-+∞，D. ()0,1二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上. 13．函数()y f x =的反函数为2log y x =，则(1)f -=________.俯视图侧（左）视图正（主）视图14.设,x y 满足约束条件：1227y x y x y +⎧⎪⎨⎪+⎩………，则z x y =+的最大值_______.15.已知(1,1),,OA OB =-=-=+u u u r u u u ra ab a b .若OAB △是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB △的面积是_______.16.椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点(),0F c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是_______.高三数学双基强化训练（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2A x x =<，{}320B x x =->，则（ ）. A ．32A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭I B ．A B =∅I C ．32A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭U D ．A B =R U 2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为12n x x x ⋯，，，，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）. A ．12n x x x ⋯，，，的平均数 B ．12n x x x ⋯，，，的标准差 C ．12n x x x ⋯，，，的最大值 D ．12n x x x ⋯，，，的中位数 3．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）.A ．()2i 1i + B ．()2i 1i - C ．()21i + D ．()i 1i +4．如图所示，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）. A.14 B. π8 C. 12 D. π45.已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是()1,3，则APF △的面积为（ ）. A ．13 B ．12 C ．23 D ．326.如图所示，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）.7．设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩………，则z x y =+的最大值为（ ）. A ．0B ．1C ．2D ．38.函数sin 21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）.9.已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则（ ）.A.()f x 在()0,2上单调递增B.()f x 在()0,2上单调递减C.()y f x =的图像关于直线1x =对称D.()y f x =的图像关于点()1,0对称10如图所示的程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和 ）.B.AM NQBA.M NQ BA C.AM QNBD.BANQMA.1000?A >和1n n =+B.1000?A >和2n n =+C.1000?A …和1n n =+D.1000?A …和2n n =+11.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin cos 0B A C C +-=，2a =，c =则C =（ ）. A ．π12B ．π6C ．π4D ．π312.设A ，B 是椭圆22:13x y C m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则m 的取值范围是（ ）.A.(][)0,19,+∞UB.([)9,+∞U C.(][)0,14,+∞U D.([)4,+∞U二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()1,2=-a ，(),1m =b .若向量+a b 与a 垂直.则m = . 14.曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为 . 15.已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ . 16.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为 .高三数学双基强化训练（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1M x x =<，{}2,x N y y x M ==∈，则集合()M N R I ð等于（ ）.A.[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦UB.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D.[)1,+∞2.已知复数()4i1i b z b +=∈-R 的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点在（ ）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列说法中正确的是（ ）A.若分类变量X 和Y 的随机变量2K 的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越小B.对于自变量x 和因变量y ，当x 取值一定时，y 的取值具有一定的随机性，x ，y 之间的这种非确定关系叫做函数关系C.相关系数2r 越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱D.若分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小 4.如图所示是2016年某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字.这些数据的中位数是 ，去掉一个最低分和一个最高分后所剩数据的平均数是（ ）. A.86.5，86.7B.88；86.7C.88；86.8D.86.5；86.85.在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有（ ）.A.1个B.2个C.3个D.4个6.下面四个推理，不属于演绎推理的是（ ）.A.因为函数()sin y x x =∈R 的值域为[]1,1-，21x -∈R ，所以()()sin 21y x x =-∈R 的值域也为[]1,1-B.昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C.在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a b ∥，b c ∥，则a c ∥，将此结论放到空间中也是如此D.如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距离地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论7.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED ，则sin CED ∠=（ ）.8989454987EDC8.已知()f x 满足对x ∀∈R ，()()0f x f x -+=，且0x …时，()e x f x m =+（m 为常数），则()ln5f -的值为（ ）. A.4B.4-C.6D.6-9.若实数数列：1－，1a ，2a ，3a ，81-成等比数列，则圆锥曲线2221y x a +=的离心率是（ ）. A.1310.四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF被球面所截得的线段长为 ）. A.12πB.24πC.36πD.48π22340x xy y z -+-=，则当11.设正实数x ，y ，z 满足xy z取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）.A.0B.1C.94D.312.已知,a b 是实数，1和1-是函数()32f x x ax bx =++的两个极值点，设()()()h x f f x c =-，其中()2,2c ∈-，函数()y h x =的零点个数为（ ）.A.8B.11C.10D.9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 14.已知ABC △的外接圆的半径为8，且sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC △的面积为 ． 15.已知O 为三角形ABC 的外心，2AB a =，2AC a=，120BAC ∠=︒，若AO xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则36x y +的最小值为 ．a16.设函数3,eln ,e x x x y a x x 2⎧-+<=⎨⎩…的图象上存在两点P ，Q ，使得POQ △是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ．高三数学双基强化训练（五）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题:,221xp x x ∀∈>+R ，则p ⌝（ ）.A.,221xx x ∀∈+R … B. ,221xx x ∀∈<+R C. ,221xx x ∃∈+R … D.,221xx x ∃∈>+R 2.已知集合103x A x x ⎧+⎫=∈⎨⎬-⎩⎭Z…，{}2|1,B y y x x A ==+∈，则集合B 的含有元素1的子集个数为（ ）.A. 5B. 4C. 3D. 23.若,x y 满足3040x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩………，则3x y +的最大值为（ ）.A. 0B. 2C. 4D. 6 4.复数()2i 3i =-（ ）.A.13i 5- B. 13i 5+ C. 3i 5+ D.3i5-5.已知定义在区间[]3,3-上的函数()2xf x m =+满足()26f =，在[]3,3-上随机取一个实数x ，则使得()f x 的值不小于4的概率为（ ）. A.56 B. 12 C. 13 D.166.执行右图所示的程序框图，如果输出a 的值大于2017，那么判断框内的条件是（ ）.A. 9?k >B. 9?k …C. 10?k <D.11?k …7.在等差数列{}n a 中，已知37,a a 是函数()243f x x x =-+的两个零点，则{}n a 的前9项和等于（ ）.A. 18-B. 9C. 18D.368.函数()133,1log ,1x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则()1y f x =-的图像是（ ）.9.曲线()()22110x y x +-=…上的点到直线10x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是（ ）.B. 2C.12+1- 10. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）.A. 42+B.62+C. 10D. 1211.设12,F F 是椭圆()2221024x y b b +=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于A,B 两点，若22AF BF +的最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）.A.12B. 2C. 12A.D.12.已知函数()()2e 31xf x a x a x =--+，若函数()f x 在区间()0,ln3上有极值，则实数a 的取值范围是（ ）. A.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. (),1-∞- C. 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D. ()(),20,1-∞-U 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()2,0,1,2==a b ，若λ-a b 与()1,2=-c 垂直，则实数λ的值为 . 14.若1sin 33απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15.，则该三棱锥外接球的直径为 . 16.数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++，()()()*12nn n b a n =--∈N ，则数列{}n b 的前50项的和为 .高三数学双基强化训练（一）答案部分 一、选择题二、填空题3- 11. 1 13.1614. []1,1- 解析部分1. 解析 ()sin 240sin 18060sin 602=+=-=-o oo o.故选D.2. 解析 由题可得216914b-=，解得23b =，所以2227c a b =+=，所以2c e a ==.故选C.3. 解析 1x =，2y =，220z =<−−→是2x =，2y =，420z =<−−→是2x =，4y =，820z =<−−→是4x =，8y =，3220z =>−−→否输出32z =.故选B.4. 解析 因为x ∈R 时，20x …，所以命题p 是假命题；当tan 0α=或tan 0β=时，都有()tan tan tan αβαβ+=+，所以命题q 是真命题，所以()p q ⌝∧是真命题.故选C. 5. 解析 由题可得{}15B x x =-<< ，若A B ⊆，则有2125a a --⎧⎨+⎩……，解得13a剟.故选A.6. 解析 因为143n n a a +=+，所以()1141n n a a ++=+.又因为114a +=，所以{}1n a +是以4为首项，4为公比的等比数列，所以1214442n n n n a -+=⨯==，所以221n n a =-．故选D.7. 解析 令()0f x …，即2230x x -++…，解得13x-剟，所以当[]01,3x ∈-时，()00f x …，所以根据几何概型知成立的概率()()311442P --==--. 故选B. 8. 解析 由()3233f x x ax bx =++可得()2363f x x ax b '=++.因为()f x 有两个极值点1x ，2x ，所以()0f x '=有两个根1x ，2x ，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，又因为()f x '的图像开口向上，所以有()()()()10001020f f f f '-⎧⎪'⎪⎨'⎪⎪'⎩…………，即2102144a b b a b a b -⎧⎪⎪⎨+-⎪⎪+-⎩…………，对应的可行域如图阴影部分所示，所以点(),a b 在平面aOb 上所构成区域的面积111111121121222222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=.故选D.9. 解析 221i i i 1i i iz --===--，所以z =10. 解析 ()()2,11,1x y +=++=-a b ，所以2111x y +=⎧⎨+=-⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以3x y +=-.11. 解析 由题意可得3600b a =，所以33360010800b a a =⨯=，所以这辆车的行驶速度/h x ==.12. 解析 画出不等式组所表示的可行域，如图中所示的阴影部分.联立11y x y x =-⎧⎨=-+⎩，得()1,0B .由z x =+，得33y x z =-+.由图可知，当33y x z =-+经过点()1,0B 时，z 取得最小值，min 1z =.13. 解析 由三视图可知该几何体是底面为直角三角形，高为1的倒置的三棱锥，将其放入正方体中如图所示，所以111111326V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.4114. 解析 解法一：如图所示，在圆O 上任取一点N ，连接ON ，在OMN △中， 由正弦定理得sin sin ON OMOMN ONM =∠∠，即sin sin ON ONM OM ONM OMN∠==∠∠.又因为3π0,4ONM ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以(]sin 0,1ONM ∠∈，故(OM ∈，即212x +…，得011x -剟，所以0x 的取值范围是[]1,1-.解法二：过点M 作圆O 的切线，切点为Q ，连接OQ ，如图所示，则)45,90OMQ ⎡∠∈⎣oo，所以sin sin 452OMQ ∠=o…又在Rt OMQ △中，1sin OQ OMQ OM OM ∠==，所以12OM …，即OM …11x -剟，即0x 的取值范围是[]1,1-.评注 对于存在性问题，可利用转化思想，将其转化为最值求解.1CA高三数学双基强化训练（二）答案部分一、选择题二、填空题13.1214. 5 15. 2 16. 2解析部分1. 解析 集合{}1A x x =-…，{}10B x x =-<<<，()1,0A B =-I .故选A. 2. 解析 由()11i z z -=+，得()1i 1i z -=+，即1ii 1iz +==-. 故选C.3. 解析 双曲线221kx y -=的渐近线方程为y =. 若双曲线的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，()21-=-，所以14k =，故双曲线方程为2214x y -=，此双曲线的离心率2c e a ==.故选A. 4.解析 由15511C C 22rrrr r r T x x +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2r =，得2x 项的系数为22515C 22⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选B.5. 解析 对于选项A ：若//αβ，m α⊂，n β⊂， 则m n =∅I ，但不一定//m n ，m 与n 也可能异面； 对于选项B ：若,m n α⊂，//m β，//n β，不一定推出//αβ， 如果前提附加m n O =I ，则//αβ；对于选项D ：若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，因此选项D 错误.故选C.6. 解析 依题意，当弦AB 取最大值时，直线l 过圆心()2,0C -，则直线l 的斜率34k =，方程为()324y x =+，即3460x y -+=.故选A. 7. 解析 依题意，函数()2sin 0y x ωω=>的周期2π3T =，即2π2π3ω=，得3ω=.故选C.8. 解析 据三棱锥的三视图，还原几何体P ABC -，且PA ⊥平面ABC ， 底面ABC △为等腰三角形，12222ABC S =⨯⨯=△，112PAB PAC S S ==⨯=△△，122PBC S =⨯=△22PAB PAC ABC PBC S S S S +++=++=△△△△.故选C.9. 解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，有如下10种情况：{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,3,4，{}1,3,5，{}1,4,5，{}2,3,4，{}2,3,5，{}2,4,5，{}3,4,5.其中，这3数构成一组勾股数，则{}3,4,5满足条件.因此，这3个数构成一组勾股数的概率为110.故选C. 10. 解析 依题意，当6i =时输出S 的值.则π3π4π5πcoscos πcos cos cos 02222S =++++=.故选C. 11. 解析 由21cos cos 222A b c A c ++==，即11cos b A c +=+，得cos b A c=. 解法一（正弦定理）：由正弦定理，得sin cos sin BA C=，所以()sin sin cos sin πB C A A C ==-+=⎡⎤⎣⎦()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，因此sin cos 0A C =，得cos 0C =，π2C =. 2111P CB A所以ABC △是直角三角形.故选A.解法二（余弦定理）：由余弦定理，得2222b b c a c bc+-=，整理得222c a b =+，所以ABC △为直角三角形.故选A. 12. 解析 设函数()323f x x x =-上任意一点()()00,x f x ，在点()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-， 即()()()3200002363y x x x x x --=--.若过点()1,t ，则()()()()32320000002363146 3 t x x x x x x =-+--=-+-*依题意，方程()*有三个不等实根.令()32463g x x x =-+-，()()212121210g x x x x x '=-+=--=，得10x =，21x =.当()(),0,1,x ∈-∞+∞时，()0g x '<，函数()g x 在()(),0,1,-∞+∞上单调递减； 当()0,1x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在()0,1上单调递增. 因此()g x 的极小值为()03g =-，极大值为()11g =-. 若()t g x =有三个不等实根，则31t -<<-.故选B.13. 解析 由()f x 的反函数为2log y x =，得()2xf x =，则()11122f --==. 14. 解析 不等式组表示的区域，如图所示. 当直线z x y =+过点()2,3A 时，z 取得最大值5.15. 解析 依题意，OA OB =u u u r u u u r ，且OA OB ⊥u u u r u u u r ，得0⋅=⎧⎪⎨=⎪⎩a b a b ，12OAB S OA OB =u u u r u u u r △，又2OA OB =====u u u r u u u r ，所以12222OAB S =⨯⨯=△. 16. 解析 设椭圆的左焦点为()1,0F c -，依题意1OF OQ OF ==.又点O 为12F F 的中点，所以112OQ FF =， 则1QFF △为直角三角形，得1FQ FQ ⊥u u u r u u u r.又直线:bl y x c=垂直于FQ ，故1//FQ l ， 所以直线1F Q 的斜率为bc，可得直角顶点()0,Q b ，且π4FQO ∠=，故b c =.所以椭圆的离心率2c e a ===.高三数学双基强化训练（三）答案部分一、选择题 二、填空题13. 7 14. 1y x =+ 16. 36π解析部分1. 解析 由320x ->得32x <，所以{}33222A B x x x x x x ⎧⎫⎧⎫=<<=<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭I I .故选A. 2. 解析 刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.故选B. 3. 解析 因为2(1i)2i +=为纯虚数.故选C.4. 解析 不妨设正方形边长为a ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为221228a a ⎛⎫⨯π⨯ ⎪π⎝⎭=.故选B.5. 解析 由2224c a b =+=，得2c =，所以()2,0F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1，3)，故APF △的面积为()1332122⨯⨯-=.故选D. 6. 解析 由选项B ，//AB MQ ，则直线//AB 平面MNQ ；由选项C ，//AB MQ ，则直线//AB 平面MNQ ；由选项D ，//AB NQ ，则直线//AB 平面MNQ .故选项A 不满足.故选A.7.解析 如图所示，目标函数z x y =+经过(3,0)A 时最大，故max 303z =+=.故选D.8.解析 由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当x =π时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 201cos1y =>-，排除A.故选C.9. 解析 由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图像关于直线1x = 对称，选项C 正确，选项D 错误，又()112(1)(02)2(2)x f x x x x x x -'=-=<<--，在(0,1)上单调递增，在[)1,2上单调递减，选项A ，B 错误.故选C.10.解析 由题意选择321000nn->，则判定框内填1000?A …，由因为选择的n 为偶数，所以矩形框内填2n n =+.故选D.11.解析 由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，x即sin (sin cos )sin 04C A A C A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以34A π=.由正弦定理sin sin a c A C =，得23sin 4=π，即1sin 2C =，得6C π=.故选B.12.解析 因为在C 上存在点M ，满足120AMB ∠=o，所以()max 120AMB ∠o ….当点M 位于短轴端点时，AMB ∠取得最大值.① 当03m <<时，如图1所示，有120AMB ∠o …，则60,30AMO MAO∠∠oo 厔，所以()21tan 33m MAO ∠=…，解得01m <…；图1 图2② 当3m >时，如图2示，有120AMB ∠o …，则60,30AMO MAO∠∠oo 厔，所以()2tan 33mMAO ∠=…，解得9m …. 综上可得，的取值范围是(][)0,19,+∞U .故选A.评注：先研究“椭圆()222210x y a b a b+=>>，,A B 是长轴两端点，M 位于短轴端点时，AMB∠最大”这一结论.图3 如图3所示，因为AMB MBx MAx∠=∠-∠，所以tan tan tan 1tan tan 1MB MA MB MAk k MBx MAxAMB MBx MAx k k -∠-∠∠==+∠⋅∠+⋅.设()0MA k t t =>，因为22MB MAa k k b⋅=-（中点弦的一个结论），所以2222222222tan 1a a b b tt ab t t AMB a c c ba --+∠==---…（当且仅当222a t b =，即a t b =时等号成立，此时M 位于短轴端点处）.13.解析 由题得()1,3m +=-a b ，因为+a b 与a ()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =.14.解析 设()y f x =，则()212f x x x '=-，所以()1211f '=-=，所以曲线在(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+.15. 解析 由tan 2,sin 2cos ααα==得.又22sincos 1αα+=， 所以21cos 5α= .因为0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α=，sin α=. 所以cos cos cos sin sin 444αααπππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭525210=⨯+= 16. 解析 取SC 的中点O ，即球心.联结OA ，OB ，因为SA AC =，SB BC =，所以,OA SC OB SC ⊥⊥.因为平面SAC ⊥平面SBC ，OA ⊂平面SAC ，平面SAC I 平面SBC SC =，所以OA ⊥平面SBC .设OA r =，3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△9=，解得3r =，所以球的表面积为2436r π=π.高三数学双基强化训练（四）答案部分一、选择题二、填空题13. 1和10e+1⎛⎤ ⎥⎝⎦，解析部分1.解析 {}11M x x =-<<，122N y y ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则1,12M N ⎛⎫=- ⎪⎝⎭I ，()[)1,1,2M N ⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦R I U ð.故选A.2.解析 ()()4i 1444i 1i i 1i 222b b b z b +-+==++=+-，由实部位1-，得6b =，则75i z b -=-+，则在复平面对应的点位于第二象限.故选B.3.解析 若分类变量X 和Y 的随机变量2K 的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越大，所以A 错误；对于自变量x 和因变量y ，当x 取值一定时，y 的取值具有一定的随机性，x ，y 之间的这种非确定关系叫做相关关系，所以B 错误；相关系数2r 越接近1，表明两个随机变量线性相关性越强，所以C 错误；若分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小，所以D 正确.故选D.4.解析 由茎叶图知，中位数为88，去掉一个最低分和一个最高分后，所剩数据的平均数为848588888986.85++++=.故选C.5.解析 由题图知“上位”要素有3个.故选C.6.解析 C 选项为类比推理.故选C.7.解析由题图知，DE =，CE =1CD =,由余弦定理得222cos 2DE CE DC CED DE CE +-∠==⋅⋅，则sin CED ∠=故选B.8.解析 x ∀∈R ，()()0f x f x -+=，即()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，则()00e 0f m =+=，得1m =-.()()()ln5ln5ln5e14f f -=-=--=-，故选B.9.解析 由题知2281a =，且20a <，得29a =-，则圆锥曲线的方程为2219y x -=，则=1e =故选D. 10.解析 由三视图作出四棱锥的直观图，如图所示，知此几何体可以放在棱长为a 的正方体中，则()2223R a =，得2R =.由直线EF与球心的距离2a d ===即226R =，则2412S R =π=π.故选A.11.解析 由题意知22431x y xy xy z z +-=…，当且仅当2x y =时等号成立，所以1xy z 1?.当1xyz=11，即2x y =，xy z =时，221244x y z x x +-=-，令()244f x x x =-，()2334484x f x x x x-'=-+=，当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以d F OD PCBAE()()max 21f x f ==.故选B.12.解析 ()232f x x ax b '=++，由题意，1和1-是方程2320x ax b ++=的两根，所以有()2113a +-=-，()113b ⨯-=，得0,3a b ==-，所以()33f x x x =-，如图所示，由于()2,2c ∈-，则()f t c =有三个根，设其为123,,t t t （123t t t <<），有121t -<<，211t -<<，312t <<.再由()1f x t =，()2f x t =，()3f x t =分别有三个根，则共有9个根，即()()()h x f f x c =-的零点个数为9.故选D.13.解析 由丙的诉述，丙的卡片为1和2或1和3，当丙的卡片为1和2时，则乙的卡片为2和3，甲的卡片为1和3，满足题意.当丙的卡片为1和3时，易知不满足题意.故填1和3.14.解析 由正弦定理知a :b :c =sin A :sin B :sin C =2:3:4.由余弦定理知2222223427cos 22348b c a A bc +-+-===⨯⨯，则sin A =，a =，b =，c =12S ==. 15.解析 由题意知，222214222AO AB xAB y AB AC a x y AB a ⋅=+⋅=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ①222241222AO AC xAB AC y AC x y AC a a⋅=⋅+=-+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ②联立①②，解得22132624x ay a ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，则2213+6=26x y a a ++…当且仅当2212a a =时等号成立.故填16.解析 假设曲线()y f x =上存在两点,P Q 满足题设要求，则,P Q 只能在y 轴两侧. 不妨设()(),P t f t ()0t >，则()32,Q t tt -+，因为POQ △是以O为直角顶点的直角三角形，所以0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，即()()2320t f t t t -++= ①若此方程有解，则存在满足题设要求的两点,P Q ;若此方程无解，则不存在满足题设要求的两点,P Q .若0e t <<，则()32f t t t =-+，将其代入①式得()()232320t t t t t -+-++=，即4210t t -+=，而此方程无解，因此e t …，此时()ln f t a t =，代入①式整理得()11ln t t a=+，令()()()1ln e h x x x x =+…，则()1ln 10h x x x'=++>，所以()h x 在[)e +∞，上单调递增，()()e =e+1h t h >，所以对于10e 1a <+…，此方程总有解，即方程①总有解.故填10e+1⎛⎤ ⎥⎝⎦，.高三数学双基强化训练（五）答案部分一、选择题二、填空题13. 23- 14.79-49解析部分1.解析 命题:,221x p x x ∀∈>+R ,则命题:,221xp x x ⌝∃∈+R ….故选C.2.解析 由{}{}13,1,0,1,2A x x x =-<∈=-Z …, 得{}1,2,5B =,则集合B 的含有元素1的子集有{}1,{}1,2,{}1,5,{}1,2,5,共4种.故选B.3.解析 画出可行域如图所示.设3z x y =+,得3y z x =-,平移直线3y z x =-.由图可知,当直线3y z x =-经过点B 时,直线3y z x =-的截距最大.由304x y x y -=⎧⎨+=⎩=,得()1,3B ,此时z 最大, 3136z =⨯+=,所以3x y +的最大值为6. 故选D.4.解析 复数()()()()213i 2213ii 3i 13i 13i 13i 5--===-++-.故选A. 5.解析 由已知,()2226f m =+=,得2m =.要使得()f x 的值不小于4,则()24x f x m =+…,得1x …,又[]3,3x ∈-,所以[]1,3x ∈.故()f x 的值不小于4的概率为()31213363P -===--.故选C.6.解析 模拟程序框图的运行过程.已知1,1k a ==，满足循环条件,执行循环体, 6a =,3k =; 满足循环条件,执行循环体, 33a =,5k =; 满足循环条件,执行循环体, 170a =,7k =; 满足循环条件,执行循环体, 857a =,9k =; 满足循环条件,执行循环体, 4294a =,11k =;由题意,此时应该不满足循环条件.退出循环.输出4294a =. 由此可根据选项知判断框内的条件为10?k <.故选C.7.解析 已知37,a a 是函数()243f x x x =-+的两个零点，所以374a a +=.又数列{}n a 为等差数列,所以{}n a 的前9项和()()19379991822a a a a S ++===.故选C. 8.解析 由已知,得()()1133,01log 1,0x x f x x x -⎧⎪-=⎨-<⎪⎩….当0x =时, 3y =.故排除选项A,D;可得()()13ln 3,011,01ln 3x x f x x x -⎧-⎪'-=⎨<⎪-⎩…,则函数()1f x -在()0,+∞上单调递减, 在(),0-∞上单调递增.故选C.9.解析 曲线()()22110x y x +-=…表示以()0,1为圆心,以1为半径的左半圆.因为圆心到直线10x y --=的距离d ==所以圆上的点到直线10x y --=的最大距离1a =,最小距离为()0,0到直线10x y --=的距离,即2b ==,则11a b -==.故选C.10.解析 如图所示,还原该几何体为四棱锥A BCDE -,将四棱锥A BCDE -放入一个棱长为2的正方体内,可知AB AC =3AE AD ==.则此几何体的表面积21112222226222⨯+⨯+⨯⨯=+.故选B.11.解析 由题意,得22112248AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==,若22AF BF +的最大值为5,则AB 的最小值为3.可知当AB 过点1F 且垂直x 轴时AB 最小,为22b a,即223b a =,得23b =.又1c ==,所以离心率12c e a ==.故选A. 12.解析 已知()()2e 31xf x a x a x =--+. 令()()()e 231xf x a x ag x '=--+=.由函数()f x 在区间()0,ln3上有极值,等价于在()g x 在区间()0,ln3上单调且有零点,则()()0ln30g g <,即()()3132ln3310a a a a -----<,可得210a +<,解得12a <-.此时()e 20xg x a '=-<,所以()g x 在区间()0,ln3上单调递减,所以a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.故选A.13.解析 因为λ-a b 与c 垂直,所以()0λ-⋅=a b c ,即()()()2,01,21,2230λλ-⋅-=--=⎡⎤⎣⎦,解得23λ=-.故填23-. 14.解析 由ππ1sin sin cos 32663αααπ⎡π⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 得22π17cos 22cos 1213639ααπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故填79-.15.解析 ,则可知它一定可以放在棱长为1的正方体内,则该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球, 故该三棱锥外接球的直径即为正方体的体对角线,.16.解析 由题知, 113a S ==,且21n S n n =++,()2211111n S n n n n -=-+-+=-+,以上两式相减,得()*122,n n n a S S n n n -=-=∈N …, 则()11321b =-⨯-=-,()()()*1222,nn b n n n =--∈N …, 所以5012501249698S b b b =+++=-+-+-+=L L ()121234474849-+-+-++-+=L()-+-+=.故填49. 12244949。
高三数学总复习知识点强化提升训练75---独立重复试验与二项分布
高三数学总复习知识点强化提升训练75---独立重复试验与二项分布[基础巩固练]一、选择题1．从1,2,3,4,5中不放回地依次取两个数，事件A ＝{第一次取到的是奇数}，B ＝{第二次取到的是奇数}，则P (B |A )＝( )A.15 B ．310 C ．25D ．12[解析] 解法一：依题意P (A )＝35，P (AB )＝35×24，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35×2435＝12.解法二：第一次取到奇数后，第二次取数时还有四个数可取，其中两个奇数，故在第一次取到奇数的条件下，第二次取到奇数的概率为24＝12.[答案] D2．(2019·内蒙古包头调研)甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是( )A.25 B ．1130 C ．715D ．16[解析] 三人中恰有两人合格的概率P ＝23×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34×25＝715，故选C.[答案] C3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512 B ．12 C ．712D ．34[解析] 用间接法考虑，事件A 、B 一个都不发生概率为 P (A －B －)＝P (A )·P (B )＝12×C 15C 16＝512.则所求概率P ＝1－P (A －B －)＝712. [答案] C4．(2019·广东汕头4月模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A ．0.85B ．0.8192C ．0.8D ．0.75[解析] 因为某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次看做4次独立重复试验，则至少击中3次的概率C 34(0.8)3(1－0.8)＋C 48(0.8)4＝0.8192，故选B.[答案] B5．(2019·河南濮阳模拟)如图，已知电路中4个开头闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为()A.316B．3 4C．1316D．14[解析]灯泡不亮包括4个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴灯泡不亮的概率是12×12×12×12＋12×12×12×12＋12×12×12×12＝316.∵灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是1－316＝1316，故选C.[答案] C二、填空题6．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于________．[解析]由题意可知，n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A33＝6.∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝612＝12. [答案] 127．(2019·扬州一模)在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为__________．[解析] 解法一：不妨设甲先抽奖，设甲中奖记为事件A ，乙中奖记为事件B ，两人都中奖的概率为P ，则P ＝P (AB )＝23×12＝13.解法二：甲乙从三张奖券中抽两张的方法有A 23＝6种，两人都中奖的可能有2种，设两人都中奖的概率为P ，则P ＝26＝13. [答案] 138．(2020·江西抚州一中月考)某射手每次射击击中目标的概率都是23，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________．[解析] 设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件C ，则P (C )＝P (A 1A 2A 3A －4A －5)＋P (A －1A 2A 3A 4A －5)＋P (A －1A －2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881.[答案] 881 三、解答题9．(2019·哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列．[解] 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E －)＝13，P (F )＝35，P (F －)＝25，且事件E 与F ，E 与F －，E －与F ，E －与F －都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H －＝E －F －， 于是P (H －)＝P (E －)P (F －)＝13×25＝215， 故所求的概率为P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220，因为P (X ＝0)＝P (E －F －)＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E －F )＝13×35＝315＝15，P (X ＝120)＝P (E F －)＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25. 故所求的分布列为10.(2019·石家庄模拟)1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维护的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的分布列．[解] (1)1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，∴P (X ＝0)＝C 04·⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681， P (X ＝1)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (X ＝2)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481， P (X ＝3)＝C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＝881， P (X ＝4)＝C 44·⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181. ∴X 的分布列为设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X ≤n ，即X ＝0，X ＝1，X ＝2，…，X ＝n ，这n ＋1个互斥事件的和事件，则∵7281<90%≤8081，∴该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.(2)设该厂每月可获利Y 万元，则Y 的所有可能取值为18,13,8，P (Y ＝18)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝7281，P (Y ＝13)＝P (X ＝3)＝881，P (Y ＝8)＝P (X ＝4)＝181，∴Y 的分布列为11．(2019·郑州模拟)某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X (单位：mm)对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：) A ．0.7 B ．0.5 C ．0.3D ．0.2[解析] 设事件A 为“年降水量X 至少是100”，事件B 为“工期延误小于30天”，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.2＋0.10.2＋0.1＋0.3＝0.5，故选B.[答案] B12．设事件A 在每次试验中发生的概率相同，若在三次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14 B ．34 C ．964D ．2764[解析] 假设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，由题意得，事件A 发生的次数X ～B (3，p )，则有1－(1－p )3＝6364，得p ＝34，所以事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝964. [答案] C13．(2019·浙江模拟)某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．[解析] 第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为24×23＝13.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为24×24＝14.[答案] 13 1414．(2019·洛阳市第二次联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表： 投资股市：购买基金：(1)当p＝14时，求q的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p的取值范围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p＝12，q＝16，求丙投资两种方案的获利金额的分布列．[解](1)∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴p＋13＋q＝1.又p＝14，∴q＝512.(2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C＝A B－∪A－B∪AB，且A，B独立．由题意可知，P(A)＝12，P(B)＝p，∴P(C)＝P(A B－)＋P(A－B)＋P(AB)＝12(1－p)＋12p＋12p＝12＋12p.∵P(C)＝12＋12p>45，∴p>35.又p＋13＋q＝1，q≥0，∴p≤23.∴p 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤35，23.(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，∴随机变量X 的分布列为假设丙选择“购买基金”(单位：万元)，∴随机变量Y 的分布列为[拓展延伸练]15．(2019·河南郑州一模)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱中取出红球的概率是( )A.1127B ．1124C．1627D．38[解析]解法一：记事件A：从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知P(B)＝46＝23，P(B－)＝1－23＝1 3；由条件概率公式知P(A|B)＝49，P(A|B－)＝39＝13.从而P(A)＝P(AB)＋P(A B－)＝P(A|B)·P(B)＋P(A|B－)·P(B－)＝1127.故选A.解法二：根据题意，分两种情况讨论：①从1号箱中取出白球，其概率为26＝13，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2号箱中取出红球的概率为13，则此种情况下的概率为13×13＝19.②从1号箱中取出红球，其概率为23，此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱中取出红球的概率为49，则这种情况下的概率为23×49＝827.故从2号箱中取出红球的概率是19＋827＝1127.故选A.[答案] A16．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入甲袋或乙袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入甲袋中的概率为__________．[解析] 记“小球落入甲袋中”为事件A ，“小球落入乙袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B .若小球落入乙袋中，则小球必须一直向左或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.[答案] 34。
“8+3+3”小题强化训练(28)2024届高三数学二轮复习(新高考九省联考题型)(解析版)
2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(28)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知单位向量1e ，2e 的夹角为120°，则122(2)-⋅=e e e （）A.2-B.0C.1D.2【答案】A【解析】()221221221221222cos1202122e e e e e e e e e ⎛⎫-⋅=⋅-=-=⨯--=- ⎪⎝⎭.故选：A.2．已知样本数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，则（）A.平均数为6 B.方差为6 C.极差为8 D.80百分位数为7【答案】C【解析】A：平均数为123959++++= ，故A错误；B：由方差公式计算可得()()()222152********93-+-++-== ，故B错误；C：极差等于最大值减去最小值，故918-=，故C正确；D：第80百分位数为90.87.2⨯=，为8，故D错误；故选：C.3．在61(2)x x-的展开式中含2x 项的系数是（）A.192-B.160- C.240D.60【答案】C【解析】二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()66621661C 2C 21rr r r rr r r T x x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令622r -=，得2r =，()2242236C 21240T x x =⋅⋅-⋅=即含2x 的系数为240.故选：C4．若函数()()ln e 1xf x ax =++为偶函数，则实数a 的值为（）A.12-B.0C.12D.1【答案】A【解析】()()ln e 1xf x ax =++的定义域为R ，()()()e 1ln e 1ln ln e 1e x xx x f x ax ax x ax -⎛⎫+-=+-=-=+-- ⎪⎝⎭，由于()()ln e 1xf x ax =++为偶函数，故()()()()()()ln e 11ln e 1120x x f x a x ax f x a x -=+-+=++=⇒+=，故120a +=，故12a =-故选：A 5．若()()()131,,1054P AB P A P B ===，则（）A.事件A 与B 互斥B.事件A 与B 相互独立C.()1320P A B += D.1()5P AB =【答案】B【解析】对于AB，()32155P A =-=，从而()()()21105410P A P B P AB =⨯==≠，故A错误B正确；对于C，()()()()12111451020P A B P A P B P AB +=+-=+-=，故C错误；对于D，()()11()410320P AB P B P AB =-=-=，故D错误.故选：B.6．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：()2210,1,2,nn F n =+=⋅⋅⋅是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出56416700417F =⨯，不是质数．现设()2log 1n n a F =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使不等式2311223122220244049++++⋅⋅⋅+<n n n S S S S S S 成立的正整数n 的最大值为（）A.11B.10C.9D.8【答案】B【解析】依题意，222(1)log log 22nnn n F a =-==，2(12)2(21)12-==--n n n S ，则1111122111()4(21)(21)22121n n n n n n n n S S +++++==-----，则23112231222n n n S S S S S S +++++L 223341*********()22121212121212121n n +=-+-+-++---------L 1112024(12214049n +=-<-，即124050n +<，而*N n ∈，解得10n ≤，所以满足条件的正整数n 的最大值为10.故选：B7．已知()()π140,cos ,sin 255βααβαβ<<<+=-=，则tan tan αβ的值为（）A.12B.35C.53D.2【答案】A【解析】()1cos cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，()4sin sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-=，1sin cos cos sin 4cos cos sin sin ααβαβαββ-=-，分子分母同时除以cos cos αβ得：1tan tan 41tan tan αβαβ=--①，由于π02βα<<<，所以0π02π02αββα⎧⎪->⎪⎪-<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，所以π02αβ<-<，所以()3cos 5αβ-==，所以()()sin 4tan cos 3αβαβαβ--==-，即sin cos cos sin 4cos cos sin sin 3αβαβαβαβ-=+，分子分母同时除以cos cos αβ得：即tan tan 444,tan tan tan tan 1tan tan 333αβαβαβαβ-=-=++，代入①得：14441t n a t n ta an tan 33βααβ=+-，解得1tan tan 2αβ=.故选：A.8．已知函数()f x 的定义域为R ，且()22f x +-为奇函数，()31f x +为偶函数，()10f =，则()20241k f k =∑=（）A.4036B.4040C.4044D.4048【答案】D【解析】由题意得()22f x +-为奇函数，所以()()22220f x f x +-+-+-=，即()()224f x f x ++-+=，所以函数()f x 关于点()2,2中心对称，由()31f x +为偶函数，所以可得()1f x +为偶函数，则()()11f x f x +=-+，所以函数()f x 关于直线1x =对称，所以()()()22f x f x f x +=-=--+，从而得()()4f x f x =+，所以函数()f x 为周期为4的函数，因为()10f =，所以()()134f f +=，则()34f =，因为()f x 关于直线1x =对称，所以()()314f f =-=，又因为()f x 关于点()2,2对称，所以()22f =，又因为()()()420f f f =-=-，又因为()()()22422f f f -=-+==，所以()()()()12348f f f f +++=，所以()()()()()202412024123440484k f k f f f f =⎡⎤=⨯+++=⎣⎦∑，故D正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的右焦点为F ，直线:0+=l x by 是C 的一条渐近线，P 是l 上一点，则（）A.C的虚轴长为 B.C的离心率为2e a ==C.PF 的最小值为2 D.直线PF 的斜率不等于2-【答案】ABD【解析】双曲线222:14x y Cb-=的渐近线方程为20bx y ±=，依题意，12b b -=-，解得b =，对于A，C 的虚轴长2b 对于B，C的离心率2e a ==，B正确；对于C，点F 到直线:0l x ==，即PF ，C错误；对于D，直线:0l x =的斜率为22-，而点F 不在l 上，点P 在l 上，则直线PF 的斜率不等于22-，D正确.故选：ABD10．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.()f x 的图象关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B.()f x 在区间7π3π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.()f x 在[]0,a 上有4个零点，则实数a 的取值范围是13π17π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.将()2cos3g x x =的图象向右平移π4个单位长度，可以得到函数()f x 的图象【答案】AD【解析】不妨设0,0A ω>>，则32π5πππ2,412122A ω=⨯=+=，解得3ω=．又π212f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以3⨯ππ2π,122k k ϕ⎛⎫-+=-+∈ ⎪⎝⎭Z ，解得π2π4k ϕ=-+，k ∈Z ，取符合条件的ϕ的一个值，不妨令π4ϕ=-，则()π2sin 34f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．对于A选项，因为πππ2sin 3012124f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以()f x 的图像关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A选项正确；对于B选项，令πππ2π32π,242k x k k -+≤-≤+∈Z ，解得2πππ2π,31243k k x k -≤≤+∈Z ，所以()π2sin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为:2πππ2π,,31243k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，取5k =，得()f x 的一个单调递增区间为13π43π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦．因为13π7π43π3π4212<<<，所以()f x 在7π3π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不具有单调性，故B选项错误；对于C选项，因为[]0,x a ∈，所以πππ33444x a -≤-≤-，所以π3π34π4a ≤-<，解得13π17π1212a ≤<，故C选项错误；对于D选项，将()2cos3g x x =的图象向右平移π4个单位长度得到:ππ3π2cos32cos 3444g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()πππ2cos 32sin 3244x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故D选项正确，故选:AD．11．如图，点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，F 是线段11A B 的中点，则（）A.若点P 满足1AP B ⊥P 的轨迹长度为B.三棱锥1体积的最大值为1111832233C ABD V -=⨯⨯=C.当直线AP 与AB 所成的角为45 时，点P 的轨迹长度为π+D.当P 在底面ABCD 上运动，且满足//PF 平面11B CD 时，线段PF 长度最大值为【答案】BCD【解析】对于A，易知1B C ⊥平面11,ABC D A ∈平面11ABC D ，故动点P 的轨迹为矩形11ABC D ，动点P 的轨迹长度为矩形11ABC D 的周长，即为4，所以A 错误；对于B，因为1111A PD D P AB D V V --=，而等边11AB D 的面积为定值，要使三棱锥11P AB D -的体积最大，当且仅当点P 到平面11AB D 的距离最大，易知点C 是正方体到平面11AB D 距离最大的点，所以()1111maxA PB DC ABD V V --=，此时三棱锥11C AB D -即为棱长是的正四面体，其高为433h ==，所以1111343832233C AB D V -=⨯⨯⨯=，B正确；对于C：连接AC ，1AB ，以B 为圆心，1BB 为半径画弧 1B C，如图1所示，当点P 在线段1,AC AB 和弧 1B C上时，直线AP 与AB 所成的角为45 ，又2222114422,4422AC AB BC AB AB BB =+=+==+=+=，弧 1B C长度21π2π4⨯⨯=，故点P 的轨迹长度为π42+C 正确；对于D，取1111,,,,,A D D D DC CB BB AB 的中点分别为,,,,,Q R N M T H ，连接,,,,,,,,QR QF FT TM MN NR FH HN HM ，如图2所示，因为FT 1,D C FT ⊄平面111,D B C D C ⊂平面11D B C ，故FT 平面11D B C ，TM 1B C ，TM ⊄平面111,D B C B C ⊂平面11D B C ，故TM 平面11D B C ；又,,FT TM T FT TM ⋂=⊂平面FTM ，故平面FTM 平面11D B C ；又QF ,NM QR ,TM RN FT ，故平面FTMNRQ 与平面FTM 是同一个平面.则点P 的轨迹为线段MN ：在三角形FNM 中，22224422;426;2;FN FH HN FM FH HM NM =+=+==+=+==则2228FM MN FN +==，故三角形FNM 是以FMN ∠为直角的直角三角形；故max 22FP FN ==，故FP 长度的最大值为22，故D 正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设R m ∈，i为虚数单位.若集合{1,2(1)i}=+-A m m ，{2i,1,2}=-B ，且A B ⊆，则m ＝________.【答案】1【解析】集合{1,2(1)i}=+-A m m ，{2i,1,2}=-B ，且A B ⊆，则有2(1)i 2i m m +-=-或2(1)i 2m m +-=，解得1m =.故答案为：113.已知抛物线2:4E x y =与圆()22:116C x y +-=的公共点为,A B ，则AB =______；若P 为圆C 的劣弧AB 上不同于,A B 的一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于点,N l 不经过原点，则CPN △周长的取值范围是______．【答案】①.②.()8,10【解析联立方程()2224116x y x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，解得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或3x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩不妨令()(),A B -，可得AB =由题意可知：圆()22:116C x y +-=的圆心为()0,1C ，半径圆4r =，抛物线2:4E x y =的焦点为()0,1C ，准线为1y =-；因为l 不经过原点，设(),P P P x y ，(),P N N x y ，则()3,5P y ∈，所以CPN △周长()()()4158,10P N N P PC PN NC y y y y ++=+-++=+∈；故答案为：()8,10.14.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A-【解析】连接AE ，取AE 的中点G ，可知G 为ADE V 的外心，过G 作平面ABCD 的垂线，可知三棱锥A DEF -外接球的球心O 在该垂线上，设(],0,4GO n CF m ==∈，以D 为坐标原点，1,,DA DCDD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()0,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1,0,2,1,,0,4,D A E G O n F m ，因为OD OF =，即=整理得42m n m =+≥=，当且仅当42m m =，即m =时，等号成立，所以三棱锥A DEF -=.。
河北省普通示范高中2014届高三考前强化模拟训练数学理10
河北省普通示范高中2014届高三考前强化模拟训练数学理10第I 卷 选择题 （共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若集合{}1,12-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y P x y y M ，那么=P M （ ） A.),0(+∞ B.[)),0+∞ C. ),1(+∞ D. [)),1+∞2．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查20000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入)3500,3000[（元）段中抽取了30人，则在这20000人中共抽取的人数为（ ）A .200B 20000. C. 100 D. 403. 若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，369-=S ， 10413-=S ，则5a 与7a 的等比中项为（ ）A.24 B . 24± C . 22± D. 324. 已知)3sin(3)3cos()(ϕϕ+-+=x x x f 为偶函数，则ϕ可以取的一个值为（ ）A ．π6B ．π3C ．－π6D ．－π35．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 （ ） A.2 B.3 C.115D.37166、若6622106)1(x a x a x a a mx ⋅⋅⋅+++=+,且63621=⋅⋅⋅++a a a ，则实数m 的值为（ ）A. 1B. -1C. -3D. 1或-37. 平面α与球O 相交于周长为π2的⊙O ',A 、B 为⊙O '上两点，若∠AOB=4π，且A 、B 的球面距离为π42，则O O '的长度为（ ） A.1 B.2 C.π D.28、已知,x y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的范围为 （ ）A.1a ≥B.1a ≤-C. 11a -≤≤D. 1a ≥或1a ≤- 9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A.283π-B. 83π- C. 82π- D.23π10. 如图，在直角梯形ABCD 中，,1,3AB AD AD DC AB ⊥===， 动点P 在以点C 为圆心，且与 直线BD 相切的圆内运动，设(,)AP AD AB R αβαβ=+∈，则α+β的取值范围是（ ）（A ）40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦（B ）45[,]33（C ）4(1,)3（D ）5(1,)311．如图，A B C ∆的外接圆的圆心为O,2,3,AB AC BC ==则AO BC ⋅等于（ ）A ．32 B ．52C ．2D ．3 12．若双曲线12222=-b y a x 与椭圆12222=+by m x （m>b>0 ）的离心率之积大于1，则以mb a ,,为边长的三角形一定是（ ）A 等腰三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 钝角三角形第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题 （本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 现将10个扶贫款的名额分配给某乡镇不同的四个村，要求一个村1个名额，一个村2个名额，一个村3个名额，一个村4个名额，则不同的分配方案种数为 . 14．如果随机变量ξ～),1(2δ-N ,且,4.0)13(=-≤≤-ξP则=≥)1(ξP .15.执行右边的程序框图，输出的T= .16.如上图，在矩形ABCD 中，O AC AB ,2,1==为AC 中点，抛物线的一部分在矩形内，点O 为抛物线顶点，点D B ,在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为 .三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余12分,共70分） 17．（本小题满分10分）已知向量：(s in co m x x x nωωωω=+=-其中，函数()f x m n =⋅，若()f x 相邻两对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求ω的值，并求)(x f 的最大值及相应x 的集合；（Ⅱ）在△ABC 中，,,a b c 分别是A ，B ，C 所对的边，△ABC 的面积4,()1S b f A ===，求边a 的长。
高三数学答题强化日规范练
高三数学答题强化训练三角问题【题目1】已知△ABC三个内角A，B，C对应三条边长分别是a，b，c，且满足c sin A－3a cos C＝0.(1)求角C的大小；(2)若cos A＝277，c＝14，求sin B和b的值.解(1)由c sin A－3a cos C＝0，得sin C sin A－3sin A cos C＝0，∵A为△ABC的内角∴sin A≠0，∴sin C－3cos C＝0，即tan C＝3，又C∈(0，π)，所以C＝π3.(2)由cos A＝277，且A是△ABC的内角，得sin A＝21 7，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝217×12＋277×32＝32114.在△ABC中，由正弦定理bsin B＝csin C，得b＝c sin Bsin C＝14×3211432＝3 2.立体几何问题【题目2】如图，在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，点E为棱PD的中点.(1)求证：PB∥平面EAC；(2)求证：平面PAD⊥平面ABCD.证明(1)连接BD，与AC相交于点O，连接OE.因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点.因为点E为棱PD的中点，所以PB∥OE.因为PB⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，所以PB∥平面EAC.(2)因为PA⊥平面PDC，CD⊂平面PDC，所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD.因为PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.解析几何问题【题目3】已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论.解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝ 2.故椭圆C的离心率e＝ca ＝22.(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切.证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以OA→·OB→＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2y0 x.当x0＝t时，y0＝－t22，代入椭圆C的方程，得t＝±2，故直线AB的方程为x＝± 2.圆心O到直线AB的距离d＝ 2.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切.当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝y－2x－t(x－t)，即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0. 圆心O到直线AB的距离d＝|2x0－ty0|（y0－2）2＋[－（x0－t）]2.又x20＋2y20＝4，t＝－2y0 x，故d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切.实际应用问题【题目4】 某校为了落实“每天阳光运动一小时”活动，决定将原来的矩形操场ABCD (其中AB ＝60米，AD ＝40米)扩建成一个更大的矩形操场AMPN (如图)，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点，且矩形AMPN 的面积小于15 000平方米.(1)设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试将S 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；(2)当AN 的长为多少米时，矩形AMPN 的面积最小，并求最小面积. 解 (1)由△NDC ∽△NAM ， 可得DN NA ＝DC AM ，∴x －40x ＝60AM， 即AM ＝60x x －40，故S ＝AN ·AM ＝60x 2x －40，由S ＝60x 2x －40＜15 000且x ＞40，可得x 2－250x ＋10 000＜0，解得50＜x ＜200， 故所求函数解析式为S ＝60x 2x －40，定义域为(50，200).(2)令x －40＝t ，则由x ∈(50，200)，可得t ∈(10，160)，故S ＝60x 2x －40＝60（t ＋40）2t ＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1 600t ＋80≥ 60⎝⎛⎭⎪⎫2t ·1 600t＋80＝9 600，当且仅当t ＝1 600t，即t ＝40时S ＝9 600.又40∈(10，160)， 故当t ＝40时，S 取最小值9 600.所以当AN 的长为80米时，矩形AMPN 的面积最小， 最小面积为9 600平方米.函数与导数问题【题目5】已知函数f (x )＝e x⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋（a ＋4）x －2a －4，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，求a 的值； (2)关于x 的不等式f (x )＜－43e x 在(－∞，2)上恒成立，求a 的取值范围；(3)讨论函数f (x )极值点的个数.解 (1)由题意得f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋ax －a ，因为f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＝0垂直， 所以f ′(0)＝1，解得a ＝－1. (2)法一 由f (x )＜－43e x ，得e x⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋（a ＋4）x －2a －4＜－43e x ，即x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＜0对任意x ∈(－∞，2)恒成立， 即(6－3x )a ＞x 3－6x 2＋12x －8对任意x ∈(－∞，2)恒成立，因为x ＜2，所以a ＞x 3－6x 2＋12x －8－3（x －2）＝－13(x －2)2，记g (x )＝－13(x －2)2，因为g (x )在(－∞，2)上单调递增，且g (2)＝0， 所以a ≥0，即a 的取值范围是[0，＋∞). 法二 由f (x )＜－43e x ，得e x⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋（a ＋4）x －2a －4＜－43e x ，即x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＜0在(－∞，2)上恒成立，因为x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＜0等价于(x －2)(x 2－4x ＋3a ＋4)＜0， ① 当a ≥0时，x 2－4x ＋3a ＋4＝(x －2)2＋3a ≥0恒成立， 所以原不等式的解集为(－∞，2)，满足题意.②当a ＜0时，记g (x )＝x 2－4x ＋3a ＋4，有g (2)＝3a ＜0， 所以方程x 2－4x ＋3a ＋4＝0必有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜2＜x 2， 原不等式等价于(x －2)(x －x 1)(x －x 2)＜0， 解集为(－∞，x 1)∪(2，x 2)，与题设矛盾， 所以a ＜0不符合题意.综合①②可知，a 的取值范围是[0，＋∞). (3)由题意得f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋ax －a ，所以f (x )只有一个极值点或有三个极值点. 令g (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ，①若f (x )有且只有一个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且只穿过一次，即g (x )为增函数或者g (x )的极值同号.当g (x )为增函数时，g ′(x )＝x 2－2x ＋a ≥0在R 上恒成立，得a ≥1. 当g (x )极值同号时，设x 1，x 2为极值点， 则g (x 1)·g (x 2) ≥0，由g ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝0有解，得a ＜1，且x 21－2x 1＋a ＝0，x 22－2x 2＋a ＝0，则x 1，x 2为x 2－2x ＋a ＝0的两根， 所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ， 所以g (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a＝13x 1(2x 1－a )－x 21＋ax 1－a ＝－13(2x 1－a )－13ax 1＋ax 1－a＝23[(a －1)x 1－a ]， 同理可得g (x 2)＝23[(a －1)x 2－a ]，所以g (x 1)g (x 2)＝23[(a －1)x 1－a ]·23[(a －1)x 2－a ] ≥0，化简得(a －1)2x 1x 2－a (a －1)(x 1＋x 2)＋a 2≥0， 所以(a －1)2a －2a (a －1)＋a 2≥0， 即a ≥0，所以0≤a ＜1.所以当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点；②若f (x )有三个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且穿过三次， 同理可得a ＜0.综上，当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点， 当a ＜0时，f (x )有三个极值点.数列问题【题目6】正项数列a1，a2，…，a m(m≥4，m∈N*)，满足a1，a2，a3，…，ak－1，a k(k<m，k∈N*)是公差为d的等差数列，a1，a m，a m－1，…，a k＋1，a k是公比为2的等比数列.(1)若a1＝d＝2，k＝8，求数列a1，a2，…，a m的所有项的和S m；(2)若a1＝d＝2，m<2 016，求m的最大值；(3)是否存在正整数k，满足a1＋a2＋…＋a k－1＋a k＝3(a k＋1＋a k＋2＋…＋a m－1＋a m)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.解(1)由已知得k<m，k∈N*，a n＝2n，a k＝a8＝16，故a1，a2，a3，…a k－1，a k(k<m，k∈N*)对应的数为2，4，6，8，10，12，14，16.因为a1，a m，a m－1，…，a k＋1，a k的公比为2，则对应的数为2，4，8，16.从而a1，a2，…，a m即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4，此时m＝10，S m＝8（2＋16）2＋8＋4＝84.(2)因为a1，a2，a3，…，a k－1，a k(k<m，k∈N*)是首项为2，公差为2的等差数列，所以k<m，k∈N*，a n＝2n，从而a k＝2k.又a1，a m，a m－1，…，a k＋1，a k是首项为2，公比为2的等比数列，且a k＝2m－k＋2，故2k＝2m－k＋2，即k＝2m－k＋1，即k必是2的整数幂.又k·2k＝2m＋1，要m最大，k必须最大，因为k<m<2 016，故k的最大值为210，所以210·2210＝210·21 024＝21 034＝2m＋1，即m的最大值为1 033.(3)存在.由数列a1，a2，a3，…，a k－1，a k是公差为d的等差数列知a k＝a1＋(k－1)d，又a1，a m，a m－1，…，a k＋1，a k是公比为2的等比数列，则a k＝a1·2m＋1－k，故a1＋(k－1)d＝a1·2m＋1－k，即(k－1)d＝a1(2m＋1－k－1).又a1＋a2＋…＋a k－1＋a k＝3(a k＋1＋a k＋2＋…＋a m－1＋a m)，a m＝2a1，则ka1＋12k(k－1)d＝3×2a1×1－2m－k1－2，即ka1＋12ka1(2m＋1－k－1)＝3×2a1(2m－k－1)，则12k·2m＋1－k＋12k＝6(2m－k－1)，即k·2m＋1－k＋k＝6×2m＋1－k－12，显然k≠6，则2m＋1－k＝k＋126－k＝－1＋186－k，所以k<6，将k＝1，2，3，4，5一一代入验证，易知当且仅当k＝4时，上式右端为8，等式成立，此时m＝6，综上，当且仅当m＝6时，存在k＝4满足等式.解答题综合练【题目1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝2b.(1)求证：B≤π2；(2)当AB→·BC→＝－2，b＝23时，求△ABC的面积.(1)证明∵cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－12（a＋c）22ac＝12（a－c）22ac≥0，且0＜B＜π.∴B≤π2(当且仅当a＝c时取得等号).(2)解∵AB→·BC→＝－2，∴ac cos B＝2，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12， ∴a 2＋c 2＝16，又a ＋c ＝2b ＝26，∴ac ＝4，∴cos B ＝12，由(1)知0＜B ≤π2，∴sin B ＝32.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝ 3.【题目2】如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，E 是PD 的中点，F 为ED 的中点.(1)求证：平面PAC ⊥平面PCD ； (2)求证：CF ∥平面BAE .证明 (1)因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ， 又AC ⊥CD ，且AC ∩PA ＝A ，AC ，PA ⊂平面PAC ， 所以CD ⊥平面PAC ，又CD ⊂平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD .(2)取AE 中点G ，连接FG ，BG .因为F 为ED 的中点，所以FG ∥AD 且FG ＝12AD .在△ACD 中，AC ⊥CD ， ∠DAC ＝60°，所以AC ＝12AD ，所以BC ＝12AD .在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ， 所以∠ACB ＝60°，从而∠ACB ＝∠DAC ，所以AD ∥BC .综上，FG ∥BC ，FG ＝BC ，四边形FGBC 为平行四边形，所以CF ∥BG .又BG ⊂平面BAE ，CF ⊄平面BAE ， 所以CF ∥平面BAE .【题目3】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.解 (1)由于点P 3，P 4关于y 轴对称， 由题设知C 必过P 3，P 4.又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上.因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2. 如果直线l 的斜率不存在，l 垂直于x 轴. 设l ：x ＝m ，A (m ，y A )，B (m ，－y A )，k P 2A ＋k P 2B ＝y A －1m ＋－y A －1m ＝－2m＝－1，得m ＝2， 此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足. 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1). 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则解上述一元二次方程后得 x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.则k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2 ＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. ∴(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0.解之得m ＝－2k －1，此时Δ＝32(m ＋1)>0有解， ∴当且仅当m >－1时，Δ>0， ∴直线l 的方程为y ＝kx －2k －1， 即y ＋1＝k (x －2).当x ＝2时，y ＝－1，所以l 过定点(2，－1). 【题目4】如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙x (x ＞1)米，离地面高a (1≤a ≤2)米的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1)若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ (2)若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围.解 (1)当a ＝1.5时，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，则BD ＝0.5，且θ＝∠ACD －∠BCD ， 由已知知观察者离墙x 米，且x ＞1， 则tan ∠BCD ＝0.5x，tan ∠ACD ＝2.5x，所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝2.5x－0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x 1＋1.25x2＝2x ＋1.25x≤2254＝255， 当且仅当x ＝52＞1时，等号成立.又因为tan θ在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以当观察者离墙52米时，视角θ最大. (2)由题意得tan ∠BCD ＝2－ax ，tan ∠ACD ＝4－ax，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan ()∠ACD －∠BCD ＝2xx 2＋（a －2）·（a －4）＝12， 所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ， 当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3， 所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎨⎧x 2－4x ≤0，x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4，又因为x ＞1，所以3≤x ≤4， 所以x 的取值范围为[3，4].【题目5】已知函数f (x )＝x 2－(1＋2a )x ＋a ln x (a 为常数). (1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的方程；(2)当a ＞0时，讨论函数y ＝f (x )在区间(0，1)上的单调性，并写出相应的单调区间.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ， 则f ′(x )＝2x ＋1－1x，所以f (1)＝2，且f ′(1)＝2.所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的方程为：y －2＝2(x －1)，即：y ＝2x .(2)由题意得f ′(x )＝2x －(1＋2a )＋a x＝2x 2－（1＋2a ）x ＋ax＝（2x －1）（x －a ）x(x ＞0)，由f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝a ，①当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜a 或12＜x ＜1由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得a ＜x ＜12，所以函数f (x )的单调增区间是(0，a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12.② 当a ＝12时，f ′(x )＝（2x －1）22x ≥0，且仅当x ＝12时，f ′(x )＝0，所以函数f (x )在区间(0，1)上是单调增函数. ③当12＜a ＜1时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12或a ＜x ＜1，由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜a ，所以函数f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(a ，1)，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a .③ 当a ≥1时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12，由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜1，所以函数f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.【题目6】设数列{b n }满足b n ＋2＝－b n ＋1－b n (n ∈N *)，b 2＝2b 1. (1)若b 3＝3，求b 1的值；(2)求证数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列；(3)设数列{T n }满足：T n ＋1＝T n b n ＋1(n ∈N *)，且T 1＝b 1＝－12，若存在实数p ，q ，对任意n ∈N *都有p ≤T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ＜q 成立，试求q －p 的最小值. (1)解∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ，∴b 3＝－b 2－b 1＝－3b 1＝3，∴b 1＝－1.(2)证明 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ①， ∴b n ＋3＝－b n ＋2－b n ＋1②， ②－①得b n ＋3＝b n ，∴(b n ＋1b n ＋2b n ＋3＋n ＋1)－(b n b n ＋1b n ＋2＋n ) ＝b n ＋1b n ＋2(b n ＋3－b n )＋1＝1为常数， ∴数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列.(3)解 ∵T n ＋1＝T n ·b n ＋1＝T n －1b n b n ＋1＝T n －2b n －1b n b n ＋1＝…＝b 1b 2b 3…b n ＋1. 当n ≥2时T n ＝b 1b 2b 3…b n (*)， 当n ＝1时，T 1＝b 1适合(*)式， ∴T n ＝b 1b 2b 3…b n (n ∈N *).∵b 1＝－12，b 2＝2b 1＝－1，b 3＝－3b 1＝32，b n ＋3＝b n ，∴T 1＝b 1＝－12，T 2＝T 1b 2＝12，T 3＝T 2b 3＝34，T 4＝T 3b 4＝T 3b 1＝34T 1，T 5＝T 4b 5＝T 2b 3b 4b 5＝T 2b 1b 2b 3＝34T 2，T 6＝T 5b 6＝T 3b 4b 5b 6＝T 3b 1b 2b 3＝34T 3， ……T 3n ＋1＋T 3n ＋2＋T 3n ＋3＝T 3n －2b 3n －1b 3n b 3n ＋1＋ T 3n －1b 3n b 3n ＋1b 3n ＋2＋T 3n b 3n ＋1b 3n ＋2b 3n ＋3 ＝T 3n －2b 1b 2b 3＋T 3n －1b 1b 2b 3＋T 3n b 1b 2b 3 ＝34(T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n )， ∴数列{T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n }(n ∈N *)是等比数列， 首项T 1＋T 2＋T 3＝34且公比q ＝34，记S n ＝T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ， ①当n ＝3k (k ∈N *)时，S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k ) ＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k 1－34＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ，∴34≤S n ＜3； ②当n ＝3k －1(k ∈N *)时，S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －(b 1b 2b 3)k＝3－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫34k，∴0≤S n ＜3；③当n ＝3k －2(k ∈N *)时，S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k －1－T 3k ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －(b 1b 2b 3)k －1b 1b 2－(b 1b 2b 3)k＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －12⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k＝3－143·⎝ ⎛⎭⎪⎫34k，∴－12≤S n ＜3.综上得－12≤S n ＜3，故p ≤－12且q ≥3，∴q －p 的最小值为72.。
唐山一中高三数学周周清强化训练试4答案
唐山一中高三数学周周清强化训练试卷（三）答案：一，选择题：A C C A B, C A A D D, B C二．填空题： 13. ()lg 2,+∞ 14.61 15.916.)2三．解答题：17.解：若p 真，则f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，∴0<2a －6<1，∴3<a <72，若q 真，令f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－3a )2－4(2a 2＋1)≥0－－3a 2>3f (3)＝9－9a ＋2a 2＋1>0，∴⎩⎨⎧a ≥2或a ≤－2a >2a <2或a >52，故a >52，又由题意应有p 真q 假或p 假q 真．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧3<a <72a ≤52，a 无解．②若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤3或a ≥72a >52，∴52<a ≤3或a ≥72. 故a 的取值范围是{a |52<a ≤3或a ≥72．18.解：解法一：（1）AD BA BAD ⊥∴=∠,90,.,...,,.PA ABC D BA PA PA AD A BA PAD PD PAD PD BA PD AE BA AE A PD BAE ⊥⊥=∴⊥⊂∴⊥⊥=∴⊥ 底面又平面平面又且平面.,PD BE BE PD ⊥⊥∴即（2）延长AB 与DC 相交于G 点，连PG ，则面PAB与面PCD 的交线为PG ，易知CB ⊥平面PAB ，过B 作,,,PG CF CF F PG BF ⊥⊥则连点于1,//,2C F B C P G A C B AD ∴∠-- 为二面角的平面角,30,,2.3130,,tan 2,222G B AB a PD A PA AG a a a PG A BF G B BFC a ∴==∠===∴∠=∴====∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的正切值为2.解法二：（1）如图建立空间直角坐标系，1(0,0,0),(,0,0),(0,,),(,,0),(0,2,0),(0,0,)2231(,),(0,2,),2221()02(0,222A B a E a C a a D a P BE a a PD a BE PD a a a ∴=-=-∴⋅=-⨯+⋅+⋅-= 则PD BE ⊥∴（2）易知，,,PA CB AB CB ⊥⊥， 则PAB BC PAB CB 是平面平面∴⊥.的法向量.(0,,0).(,,),,.(,,),(,,0),0,0.3,0,1,(1,1,3.0.BC a PC D m x y z m PC m C D PC a a C D a a m PC m C D x y ax ay y m z ax ay BC m θ∴==⊥⊥=-=-∴⋅=⋅=⎧=⎧+-=⎪⎪∴=∴=⎨⎨=⎪⎩⎪-+=⎩又设平面的一个法向量为则而由得令设向量与所成角为,cos tan 2.5||||BC m BC m θθ⋅====∴=⋅ 则∴平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的正切值为2.=19.略 20．解：（Ⅰ）设奖励函数模型为y ＝f (x )，则公司对函数模型的基本要求是： 当x ∈[10，1000]时，①f (x )是增函数；②f (x )≤9恒成立；③()5x f x ≤恒成立.（Ⅱ）（1）对于函数模型()2150x f x =+：当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则m ax 100020()(1000)2291503f x f ==+=+<. 所以f (x )≤9恒成立. 因为函数()12150f x xx=+在[10，1000]上是减函数，所以m ax ()111[]15055f x x=+>.从而()1211505f x x x =+≤，即()5x f x ≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.（2）对于函数模型f (x )＝4lg x －3：当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则m ax ()(1000)4lg 100039f x f ==-=. 所以f (x )≤9恒成立. 设g (x )＝4lg x －3－5x ，则4lg 1()5e g x x'=-. 当x ≥10时，24lg 12lg 1lg 1()0555e e e g x x--'=-≤=<，所以g (x )在[10，1000]上是减函数，从而g (x )≤g (10)＝－1＜0.所以4lg x －3－5x ＜0，即4lg x －3＜5x ，所以()5x f x <恒成立.故该函数模型符合公司要求.21. 解：（1）∵222BD BCCD += ∴BD BC ⊥又∵PD ⊥底面ABCD ∴BC PD ⊥ 又∵D BD PD =⋂ ∴⊥BC 平面PBD 而⊂BC 平面PBC∴平面⊥PBC 平面PBD （2）由（1）所证，⊥BC 平面PBD所以∠PBD 即为二面角P-BC-D 的平面角，即∠PBD 6π=而3=BD ，所以1=PD分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系。
2024学年郑州市第一中学高三临门一脚强化训练模拟考试数学试题试卷
2024学年郑州市第一中学高三临门一脚强化训练模拟考试数学试题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（ ）A ．427B ．13C ．127D ．192．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．34．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±= B 30x y ±= C ．30x y ±= D ．30x y ±=5．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}2,3- C ．{}1,2,3-- D ．{}36．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．不充分不必要 7．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ）A ．72B ．5319C ．2319-D ．12- 8．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．32C ．212+D ．312+ 9．已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ）A ．[﹣3，2）B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0） 10．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )A ．16B ．17C ．18D ．19 11．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．94516- B ．18932- C ．2164- D ．2835812．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
“8+3+3”小题强化训练(30)2024届高三数学二轮复习(新高考九省联考题型)(解析版)
2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(30)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.()1,0B.()0,1 C.1,016⎛⎫⎪⎝⎭D.10,16⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】2422y x x ==⨯，即2p =，则其焦点坐标为()1,0，故选：A.2．已知集合{}2A x x =≤，{}0B x x a =-<，若A B ⊆，则a 的取值范围为（）A.(),2-∞- B.(],2-∞- C.()2,+∞ D.[)2,+∞【答案】C【解析】由2x ≤，可得22x -≤≤，故{}22A x x =-≤≤，由0x a -<，可得x a <，故{}B x x a =<，由A B ⊆，则有2a >.故选：C.3．一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（）A.25 B.30 C.35 D.40【答案】B【解析】依题意，新数据组有6个数，其中位数是2535302+=，显然原数据组有7个数，因此删除的数是中位数30.故选：B4．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，且对任意12,x x ，均有()()()1212f x x f x f x =成立，则下列函数中符合条件的是（）A.ln y x =B.3y x = C.2xy = D.y x=【答案】D【解析】对于A，()()()12121212ln ln ln f x x x x x x f x f x ==+=+，故A错误；对于B，()()111f f -=-=-，故3y x =不是偶函数，故B错误；对于C，()()()12121212222xx x x f x f x f x x +===+，故C错误；对于D，()()()12121212f x x x x x x f x f x ===，又()y f x x ==定义域为全体实数，它关于原点对称，且()()f x x x f x -=-==，即函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x >时，()f x x =单调递增，满足题意.故选：D.5．我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为（）A.47B.328C.1112D.356【答案】D【解析】在这8个数中任取3个数共有38C 种取法，能组成勾股定理关系的有()3,4,5，()6,8,10，()5,12,13，共3组，由古典概型，可知这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为3833C 56=．故选：D．6．记正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20100S =，则1011a a ⋅的最大值为（）A.9B.16C.25D.50【答案】C 【解析】∵12020201002a a S +=⨯=，120101112010,10.a a a a a a ∴+=∴+=+=又∵10110,0a a >>，∴210111011+100==2524a a a a ⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1011==5a a 时，取“=”∴1011a a ⋅的最大值为25.故选：C7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos a B c a =-.当26c ab+取最小值时，则A =（）A.π6 B.π4C.π3 D.5π12【答案】B【解析】因为2cos a B c a =-，结合余弦定理得，22222a c b a c a ac +-⋅=-，整理得2=-b c a a，所以2242624b ac a b a a b b a b ++==+≥=，当且仅当24b a a b =，即b =时，等号成立，此时2b c a a a =-=此时222222cos 22b c a A bc +-==，又因为()0,πA ∈，所以π4A =，故选：B.8．过双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线，切点为A ，直线FA 交直线0bx ay -=于点B ．若3BA AF =，则双曲线C 的离心率为（）A.2B.5C.355D.263【答案】D【解析】取右焦点2F ，连接AO 、2BF ，作2F M AB ⊥于点M ，由FA 为圆222x y a +=的切线，故FA AO ⊥，又2F M AB ⊥，O 为2FF 中点，故A 为MF 中点，又3BA AF =，故M 为FB 中点，2222AF OF OA c a b =-=-=，则2FM BM b ==，222F M OA a ==，则()()222222BF a b c =+=，()222239OB a b a b =+=+，由直线0bx ay -=为双曲线的渐近线，故有2tan b BOF a∠=，则2cos aBOF c ∠=，在2BOF 中，由余弦定理可得222222294cos 29a c a b c BOF c c a b++-∠==+，则222222993a a b a b c +=+-，即222284a c b b c +=-，即()()()222222284c b c b b c -+=-，化简得2285b c =，即222885c a c -=，故82633c e a ===.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知向量()()1,2,1,3a b =-=，则下列结论正确的是（）A.b 在a上的投影向量是(1，－2) B.2a b b+=C.a 与b 的夹角为3π4θ= D.()a b a+⊥r r r 【答案】BCD【解析】因为向量()()1,2,1,3a b =-=，选项A：b 在a上的投影向量是()51,25a b a a a a⋅-⋅==-，故A错误；选项B：=b ()23,1a b +=-，所以2a b += 2a b b += ，故B正确；选项C：设a 与b的夹角为θ，则2cos 2a b a b θ⋅===-⋅ ，又0πθ≤≤，所以3π4θ=，故C正确；选项D：因为()()()2,1,12210a b a b a +=+⋅=⨯+-⨯= ，所以()a b a +⊥r r r，故D正确；故选：BCD.10．已知复数z ，下列说法正确的是（）A.若0z z -=，则z 为实数B.若220z z +=，则0z z ==C.若i 1z -=，则||z 的最大值为2D.若|i |||1z z -=+，则z 为纯虚数【答案】AC【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，若0z z -=，即()()i i 2i 0a b a b b +--==，即0b =，则z 为实数，故A正确；若220z z +=，即()()22i i 0a b a b ++-=，化简可得22222i 2i 0a b ab a b ab -++--=，即22a b =，即a b =±，当a b =时，i z a a =+，i z a a =-，此时不一定满足0z z ==，当a b =-时，i z a a =-，i z a a =+，此时不一定满足0z z ==，故B错误；若i 1z -=，即i z -=()111i a b =+-=，所以()2211a b +-=，即z 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆上的点，且z 表示圆上的点到原点的距离，所以||z 的最大值为2，故C正确；若|i |||1z z -=+，即()i 1i z a b -=+-=，11z +=1=，化简可得b =，则0a =且0b ≤，此时z 可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；故选：AC11．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()f x 的图象关于点(2，0)对称，(0)(2)1g g ==，()()()()++-=g x y g x y g x f y ，则（）A.()f x 为偶函数B.()g x 为偶函数C.(1)(1)--=--+g x g xD.(1)(1)g x g x -=+【答案】ACD【解析】令y y =-，则()()()()g x y g x y g x f y -++=-，注意到()g x 不恒为0，故()()f y f y =-，故A正确；因为()f x 的图象关于点(2，0)对称，所以(2)0f =，令0,2x y ==，得(2)(2)(0)(2)0g g g f +-==，故()(2)12g g -=-≠，故B错误；令1x y ==-，得(2)(0)(1)(1)0g g g f -+=--=，令1x y ==，得(2)(0)(1)(1)2g g g f +==，故(1),(1)0g f ≠，从而(1)0f -≠，故(1)0g -=,令=1x -，得(1)(1)0g y g y -++--=，化简得(1)(1)g y g y --=--+，故C正确；令2y =，得(2)(2)0g x g x ++-=，而()(1)(3)1g x g x g x -=--=+，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则ϕ=______．【答案】π3-【解析】由()2ππ0T ωω==>得，2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又()()sin 2f x x ϕ=+的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以4ππ,Z 3k k ϕ+=∈,解得4ππ,Z 3k k ϕ=-+∈，又2πϕ<，所以，π1,3k ϕ==-.故答案为：π3-13.为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果．经整理分析后发现，苹果的重量x (单位：kg )近似服从正态分布()20.4,N σ，已知(0.1)0.1P x <=，(0.5)0.3P x >=．若从该苹果园中随机采摘1个苹果，则该苹果的重量在(]0.5,0.7内的概率为______.【答案】0.2##15【解析】因为0.4μ=，所以()()()()0.10.40.30.40.30.70.1P x P x P x P x <=<-=>+=>=，又(0.5)0.3P x >=，所以若从该苹果园中随机采摘1个苹果，则该苹果的重量在(]0.5,0.7内的概率为()()()0.50.70.50.70.30.10.2P x P x P x <≤=>->=-=.故答案为：0.2.14.已知球O 的表面积为12π，正四面体ABCD 的顶点B ，C ，D 均在球O 的表面上，球心O 为BCD △的外心，棱AB 与球面交于点P ．若A ∈平面1α，B ∈平面2α，C ∈平面3α，D ∈平面4α，1//(1,2,3)i i i αα+=且i α与1(1,2,3)i i α+=之间的距离为同一定值，棱AC ，AD 分别与2α交于点Q ，R ，则PQR 的周长为______.【答案】17+##71+【解析】设i α与1(1,2,3)i i α+=之间的距离为d ，设球O 的半径为R ，则由题意得24π12πR =，解得3R =，所以3OB OP ==，所以33AB BC OB ===，所以226OA AB OB =-=，由A ，P ，B 三点共线，故存在实数λ使得()()101OP OA OB λλλ=+-<<，所以()()22222121OP OA OB OA OB λλλλ=+-+-⋅，所以()223631λλ=+-，即2320λλ-=，解得23λ=，所以2133OP OA OB =+ ，所以12AP PB =，所以113AP AB ==，又1//(1,2,3)i i i αα+=且i α与1(1,2,3)i i α+=之间的距离为d ，则133AR d AD d ==，122AQ d AC d ==，所以1AR =，32AQ =，所以93171214222PQ RQ ==+-⨯⨯⨯=，又113PR BD ==，所以PQR 的周长为712172+⨯=+.故答案为：17+。
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高三数学模拟题强化训练（一）1．〖2019·云川贵百校联考〗某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 用电量/度 120 140 160 180 200户数 2 3 5 8 2则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是( )A ．180，170B ．160，180C ．160，170D ．180，1602．〖2019·武昌调研〗某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均数为91，如图所示，该选手的7个得分的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x 表示，则剩余5个得分的方差为( )A ．1169 B ．367C ．6D ．30 3．〖2019·浙江温州八校联考〗如图所示的是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其中位数为( )A ．12.5B ．13C ．13.5D ．144．〖2019·河北邢台摸底〗样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m .若该样本的平均值为1，则其方差为( )A ．105B ．305C ． 2D ．2 5．〖2019·河北承德实验中学期中〗已知甲、乙两组数据如图中茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则mn＝( )A ．38B ．13C ．29D ．1 6．〖2019·河北石家庄模拟〗已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是( )A ．甲命中个数的极差是29B ．乙命中个数的众数是21C ．甲的命中率比乙高D ．甲命中个数的中位数是257．〖2019·南昌调研〗从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图．(1)直方图中x 的值为____；(2)在这些用户中，月用电量落在区间[100，250)内的户数为____．8．〖2019·湖南长沙一模〗空气质量指数(AirQualityIndex ，简称AQI )是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士从当地某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计当地该年AQI 大于100的天数为____．(该年为365天)9．〖2019·兰州市高三诊断考试〗已知样本数据a 1，a 2，…，a 2018的方差是4，如果有b i ＝a i －2(i ＝1，2，…，2018)，那么数据b 1，b 2，…，b 2018的标准差为____．10．〖2019·合肥市高三二检〗某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的数学成绩如下：甲组：94，69，73，86，74，75，86，88，97，98；乙组：75，92，82，80，95，81，83，91，79，82.(1)画出这两个小组同学的数学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大，并说明理由；(2)从这两个小组的数学成绩在90分以上的同学中，随机选出2位同学在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率．11．〖2019·广州调研〗某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每千克10元处理完．根据以往的销售情况，按[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x (同一组中的数据用该组区间中点值代表)；(2)该经销商某天购进了250千克该种蔬果，假设当天的需求量为x 千克(0≤x ≤500)，利润为y 元．求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的频率．12．〖2019·湖南衡阳联考〗甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 甲 乙 丙 丁r 0.82 0.78 0.69 0.85m 106 115 124 103则哪位同学的试验结果体现A ，B A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁13．〖2019·赣州一模〗以下五个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －)；④在回归直线方程y ^＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；⑤分类变量X 与Y ，对它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中假命题为( )A ．①④B ．①⑤C ．②③D ．③④14．〖2019·湖北七市联考〗在“新零售”模式下，自由职业越来越流行，诸如淘宝网店、微商等等．现调查某自由职业者的收入情况，记x (单位：小时)表示该自由职业者平均每天的工作时间，y (单位：千元)表示平均每天工作x 小时的月收入，得到5组数(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x －＝8，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝1.2x ＋0.6，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＝( )A ．10.2B ．51C ．48.6D ．10215．〖2019·安徽合肥二模〗2018世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选，美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢“自助游”，某调查机构为了了解“自助游”是否 赞成“自助游” 不赞成“自助游” 合计男性 30 15 45女性 45 10 55合计 75 25 100A ．有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别无关”B ．有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别无关”D ．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别有关”参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (K 2≥k 0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816．〖2019使用年数x /年 1 2 3 4 5维修总费用y /万元 0.5 1.2 2.2 3.3 4.5根据上表可得y 关于x 的线性回归方程y ＝b x －0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用(不足1年按1年计算)( )A ．8年B ．9年C ．10年D ．11年17．〖2019·山东日照一模〗某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人．为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中分数低于110分的学生中随机抽取两人，求这两人恰好为一男一女的概率；(2)若规定分数不低于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d a c b d P (K 2≥k 0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k 0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.82818．〖2019(单位：万元)，其中年份代码x ＝年份－2014.年份代码x 1 2 3 4线下销售额y 95 165 230 310(1)已知y 与x 年该百货零售企业的线下销售额；(2)随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客，50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种)，其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人，女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：b ^＝∑n i ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ^＝y －－b ^x －， K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d . P (K 2≥k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 19．〖2019年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4(1)(2)若用y ＝c ＋d x 模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程y ^＝1.63＋0.99x ，经计算线性回归模型和该模型的R 2分别为0.75和0.88，请用R 2说明选择哪个回归模型更好；(3)已知利润z 与x ，y 的关系为z ＝200y －x .根据(2)的结果回答下列问题：①广告费x ＝20时，销售量及利润的预报值是多少？②广告费x 为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01)参考公式：回归直线y ^＝a ^＋b ^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑n i ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x i 2－n x －2＝∑n i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －. 参考数据：5≈2.24.20．〖2019·重庆七校联考〗“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓裂的诗情．每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q 镇2009～2018年梅雨季节的降雨量(单位：mm )的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：(1)“梅实初黄暮雨深”，请用样本平均数估计Q 镇明年梅雨季节的降雨量；(2)“江南梅雨无限愁”，Q 镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大(把握超过八成)，而乙品种杨梅2009～2018年的亩产量(单位：kg )与降雨量的发生频率(年)如2×2列联表所示(部分数据缺失)，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？(完善列联表，并说明理由)降雨量 亩产量[200，400) [100，200)∪[400，500] 合计 <600 2≥600 1合计 10附：K 2＝n （（a ＋b ）（c ＋d ，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d . P (K 2≥k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.70621．〖2019·湖南衡阳模拟〗若a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3，4}，则y＝bax表示不同直线的条数为( )A．8 B．11 C．14 D．1622．〖2019·山东日照模拟〗将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为( )A．6种B．12种C．18种D．24种23．〖2019·衡水中学调研卷〗为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为____．24．〖2019·东北三校联考〗在平面直角坐标系内，点P(a，b)的坐标满足a≠b，且a，b都是集合{1，2，3，4，5，6}中的元素，又点P到原点的距离|OP|≥5，则这样的点P的个数为____．25．〖2019·山东临沂重点中学模拟〗马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有( )A．60种B．20种C．10种D．8种26．〖2019·山东师大附中模拟〗甲、乙、丙三人轮流值日，从周一到周六每人值班两天，若甲不值周一，乙不值周六，则可以排出不同的值日表有( )A．50种B．72种C．48种D．42种27．〖2019·沧州七校联考〗身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有( )A．24 B．28 C．36 D．4828．〖2019·广西柳州高中、南宁二中联考〗在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2个，北京大学2个，浙江大学1个，并且清华大学和北京大学都要求推荐对象中必须有男生，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A．36种B．24种C．22种D．20种29．〖2019·江西八校联考〗若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”的个数为( )A．53 B．59 C．66 D．7130．〖2019·四川成都二诊〗各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有____种．31．〖2019·湖北宜昌一中月考〗从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7的情况共有( )A．18种B．30种C．45种D．84种32．〖2019·广东省实验中学月考〗甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名，1名，1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有( )A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种33．〖2019·西安五校〗某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A．80种B．90种C．120种D．150种34．〖2019·山西大同一模〗从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为( )A．C102A84B．C91A95C．C81A95D．C81A85 35．〖2019·安徽毛坦厂中学阶段测试〗6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有( ) A．40种B．48种C．60种D．68种36．〖2019·河南郑州检测〗从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有( )A．51个B．54个C．12个D．45个37．〖2019·安徽马鞍山模拟〗某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( )A．5400 B．3000 C．150 D．150038．〖2019·河北唐山一中模拟〗中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有( )A ．C 419B ．C 389 C ．C 409D ．C 39939．〖2019·人大附中期末〗在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有____种(用数字作答)．40．〖2019·北京海淀区二模〗某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有____种不同的抽调方法．高三数学模拟题强化训练（二）41．〖2019·山东师大附中月考〗如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，对角线AC ，DB 相交于点O .若AD →＝a ，AB →＝b ，则OC →＝( )A ．－a 3－b 3B ．a 3＋b 6C ．2a 3＋b 3D ．2a 3－b 342．〖2019·江西赣吉抚七校监测〗在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点(靠近点B )，那么EF →＝( )A ．12AB →－13AD → B ．14AB →＋12AD →C ．13AB →＋12AD → D ．12AB →－23AD → 43．〖2019·衡水中学调研〗在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点．若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．444．〖2019·沧州七校联考〗如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC→＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b 45．〖2019·四川成都七中一诊〗已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上46．〖2019·北京东城〗在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是( )A ．[0，1]B ．[0，3]C ．[0，12]D ．[12，2] 47．〖2019·郑州一模〗设向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值是( )A ．0B ．±2C ．2D ．－248．〖2019·河北献县一中月考〗已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(7，4)B ．(7，14)C ．(5，4)D ．(5，14) 49．〖2019·衡水中学调研卷〗设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，则“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的是( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件50．〖2019·河北唐山一模〗在△ABC 中，∠B ＝90°，AB →＝(1，－2)，AC →＝(3，λ)，则λ＝( )A ．－1B ．1C ．32D ．4 51．〖2019·福建泉州模拟〗在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( ) A ．(－72，－2) B ．(－72，2) C ．(－46，－2) D ．(－46，2)52．〖2019·安徽合肥一模〗已知a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝____．53．〖2019·河北联盟二模〗已知点A (1，0)，B (1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC ＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝____．54．〖2019·西安一模〗已知向量a ＝(m －1，2)，b ＝(3，m ＋4)，若a ∥b ，且方向相反，则|b |＝____．55．〖2019·湖南长沙一模〗在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，P 是矩形内部一点(不含边界)，且AP ＝1.若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的取值范围是____．56．〖2019·潍坊二模〗已知向量AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)．(1)若BC →∥DA →，求x 与y 之间的关系式；(2)在(1)的条件下，若AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．57．〖2019·黑龙江大庆第一次质检〗已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则|2a ＋3b |＝( )A ．70B ．4 5C ．3 5D ．2 558．〖2019·保定模拟〗若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，(a ＋b )·b ＝32，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°59．〖2019·江南十校联考〗已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A ．π2 B ．π3 C ．π6 D ．π60．〖2019·人大附中模拟〗已知a ，b 是非零向量，且向量a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a |＋b |b |，则|p |＝( )A ．2＋ 3B ．2＋ 3C ．3D ． 361．〖2019·沧州七校联考〗已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．有最大值为8B ．是定值6C ．有最小值为2D ．与点的位置有关62．〖2019·河南鹤壁高级中学段考〗如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－4963．〖2019·河南豫北名校联盟对抗赛〗已知△ABC 的外接圆的半径为1，圆心为点O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则OC →·AB →＝( )A ．85B ．75C ．－15D ．4564．〖2019·江西上饶一模〗在边长为1的正方形ABCD 中，2AE →＝EB →，BC 的中点为F ，EF →＝2FG →，则EG →·BD →＝____．65．〖2019·潍坊二模〗设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(xa ＋b )·(a －xb )的图像是一条直线，则必有( )A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．|a |＝|b |D ．|a |≠|b |66．〖2019·保定模拟〗若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形67．〖2019·银川调研〗若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形68．〖2019·福州四校联考〗已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1B ．12C ．34D ．3269．〖2019·郑州质检〗在平面直角坐标系中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足向量OP →在向量OA →上的投影为－5，则点P 的轨迹方程是( )A ．x －2y ＋5＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．x ＋2y ＋5＝0D ．x －2y －5＝070．〖2019·河北辛集中学月考〗若复数2－bi 1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 等于( ) A ． 2 B ．23 C ．－23D ．2 71．〖2019·唐山二模〗若复数z ＝1＋i a －i(i 是虚数单位，a ∈R )是纯虚数，则z 的虚部为( ) A ．1 B ．i C ．2 D ．2i72．〖2019·安徽江南十校3月联考题〗若复数z 满足z (1－i )＝|1－i |＋i ，则z 的实部为( )A ．2－12B ．2－1C ．1D ．2＋1273．〖2019·湖北高中联考〗已知复数z ＝1＋i (i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( ) A ．－1＋3i B ．1＋3i C ．1－3i D ．－1－3i74．〖2019·山西四校联考〗i 是虚数单位，若2＋i 1＋i＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则lg (a ＋b )的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1275．〖2019·湖北黄冈期末〗复数z 1，z 2在复平面内分别对应点A ，B ，z 1＝3＋4i ，将点A 绕原点O 逆时针旋转90°得到点B ，则z 2＝( )A ．3－4iB ．－4－3iC ．－4＋3iD ．－3－4i76．〖2019·邯郸二模〗复数z 在复平面内表示的点Z 如图所示，则使得z 2·z 1是纯虚数的一个z 1是( )A ．3－4iB ．4＋3iC ．3＋4iD ．4－3i 77．〖2019·江苏阜宁中学调研〗若复数z ＝i ＋i 2020，则z ＋10z的模等于____． 78．〖2019·河南许昌高中联考〗给出下列四个命题：①满足：z ＝1z的复数有±1，±i ；②若a ，b ∈R 且a ＝b ，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数；③复数z ∈R 的充要条件是z ＝z ；④在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．其中正确的命题是____．高三数学模拟题强化训练（三）79．〖2019·深圳一摸〗已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2019＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．－680．〖2019·辽宁丹东联考〗已知“整数对”按如下规律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第70个“整数对”为( )A ．(3，9)B ．(4，8)C ．(3，10)D ．(4，9)81．〖2019·青岛质检一〗中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是，则8335用算筹可表示为( )82．〖2019·河北冀州中学期末〗如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6*a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 x 5 y 5 x 6 y 6按如此规律下去，则a 2017＝( )A ．502B ．503C ．504D ．505 83．〖2019·皖南八校联考〗对∀a ，b ∈R ，定义运算：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ；a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b ，a ≥b ，b －a ，a <b .则下列判断正确的是____．①2015⊕(2014⊗2015)＝2014；②(a ⊕a )⊗a ＝0；③(a ⊕b )⊗a ＝a ⊕(b ⊗a )．84．〖2019·东北四校联考〗设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不小于2D ．都大于2 85．〖2019·江苏盐城一模〗已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 32x 2＋x 12x 3≥1. 86．〖2019·湖北武汉调研〗已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 8＝64.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：1S n－1＋1S n＋1>2S n(n≥2，n∈N*)．87．〖2019·贵州七校联考〗如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤88．〖2019·衡水中学调研卷〗已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为( )A．2 2 B．6 2 C．1 D． 289．〖2019·湖南株洲质检〗已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )90．〖2019·湖南郴州模拟〗一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )A．①②B．③④C．①③D．②④91．〖2019·衡水调研卷〗如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P－BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )A．1 B． 2 C． 3 D．2 92．〖2019·福建漳州调研〗某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为( )A． 5 B．2 2 C．3 D．2 393．〖2019·惠州第二次调研〗某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为( )A．32 B．327 C．64 D．64794．〖2019·江苏张家港一模〗若将一个圆锥侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为____cm.95．〖2019·成都二诊〗已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个四面体的正视图的面积为____．96．〖2019·河北保定模拟〗某几何体的三视图如图所示，则该几何体的构成上方为____；下方为____．97．〖2019·陕西渭南质检〗如图，一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是( )A．12B．13C．23D．198．〖2019·安徽淮北一模〗如图是某空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为( )A．33B．32C．233D． 399．〖2019·广州检测〗高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( )A．14B．13C．12D．23100．〖2019·重庆荣昌中学期中〗如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，圆心为B，半径为1的圆与AB，BC分别交于点E，F，则阴影部分绕直线BC旋转一周形成几何体的体积等于( )A．πB．6πC．4π3D．4π101．〖2019·山东师大附中模拟〗如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为( )A．153B．3235π27C．1282π81D．833102．〖2019·福建晋江联考〗如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为3的半圆和相同的正三角形，其中正三角形的上顶点是半圆弧的中点，底边在直径上，则该几何体的表面积是( )A．6πB．8πC．10πD．11π103．〖2019·贵州贵阳模拟〗甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积V甲，乙的体积为V乙，则( )A．V甲<V乙B．V甲＝V乙C．V甲>V乙D．V甲，V乙的大小关系不能确定104．〖2019·陕西教学质量检测〗如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．4＋6πB．8＋6πC．4＋12πD．8＋12π105．〖2019·河北衡水二模〗如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是( )A．π＋42＋4 B．2π＋42＋4 C．2π＋42＋2 D．2π＋22＋4 106．〖2019·安徽蚌埠质检〗如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为( )A．π＋43B．π＋2 C．2π＋43D．2π＋2107．〖2019·湘东五校联考〗某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A．16－2π3B．8－4π3C．16－4π3D．16(1－π3)108．〖2019·河北唐山模拟〗一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为( )A．24－πB．24－3πC．24＋πD．24－2π109．〖2019·郑州质量预测〗将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A．π27B．8π27C．π3D．2π9110．〖2019·衡水中学调研卷〗若一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____．111．〖2019·唐山模拟〗正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( )A．64πB．32πC．16πD．8π112．〖2019·河北张家口期末〗体积为8的正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个体积为V的球，则V的最大值为( )A．8πB．4πC．823πD．4π3113．〖2019·武昌调研〗已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且AB＝BC＝AD＝1，BD＝AC＝2，BC⊥AD，则球O的体积为( )A．32πB．3πC．23πD．43π114．〖2019·安徽合肥模拟〗已知球的直径SC＝6，A，B是该球球面上的两点，且AB＝SA＝SB＝3，则三棱锥S－ABC的体积为( )A．324B．924C．322D．922115．〖2019·广东惠州一模〗已知一个水平放置的各棱长均为4的三棱锥形容器内有一小球O(质量忽略不计)，现从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )A．76πB．43πC．23πD．12π116．〖2019·江西宜春模拟〗一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A．36πB．8πC．92πD．278π117．〖2019·唐山五校联考〗把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为( )A．103cm B．10cm C．102cm D．30cm 118．〖2019·郑州质检〗四棱锥P－ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )A．9πB．3πC．22πD．12π119．〖2019·德州模拟〗一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是____；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是____．120．〖2019·福州四校联考〗已知三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为3，BC＝3，BD＝3，∠CBD＝90°，则球O的体积为____．121．〖2019·合肥质量检测二〗已知半径为3cm的球内有一个内接四棱锥S－ABCD，四棱锥S－ABCD的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S－ABCD的体积最大时，它的底面边长等于____cm.。