2017年吉林省东北师大附中高考数学三模试卷(文科)

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2017年吉林省东北师大附中高考数学三模试卷(文科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)复数的共轭复数是()
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
2.(5分)已知集合A={x∈R||x|≥2},B={x∈R|x2﹣x﹣2<0},则下列结论正确的是()
A.A∪B=R B.A∩B≠∅C.A∪B=∅D.A∩B=∅
3.(5分)平面向量与的夹角为60°,=(2,0),||=1,则|+2|=()A.B.C.12 D.
4.(5分)阅读如图的程序框图.若输入n=5,则输出k的值为()
A.2 B.3 C.4 D.5
5.(5分)已知α是第二象限角,且的值为()A.B.C.D.
6.(5分)“a=﹣1”是“直线ax+(2a﹣1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直”的()
A.充分不必要的条件B.必要不充分的条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
7.(5分)为了解本市居民的生活成本,甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示),甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为x1,x2,x3,则它们的大小关系为()
A.s1>s2>s3B.s1>s3>s2C.s3>s2>s1D.s3>s1>s2
8.(5分)如图,格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是()
A.B. C.D.
9.(5分)已知函数f(x)=sin2ωx+sinωxsi n(ωx+),(ω>0)的最小正周期为π,
则f(x)在区间[0,]上的值域为()
A.[0,]B.[﹣,]C.[﹣,1]D.[﹣,]
10.(5分)《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P﹣ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O 的球面上,则球O的表面积为()
A.8πB.12πC.20πD.24π
11.(5分)已知F是椭圆C:的右焦点,点P在椭圆C上,线段
PF与圆相切于点Q,且PQ=2QF,则椭圆C的离心率等于()A.B.C.D.
12.(5分)已知定义域为的函数f(x)满足:当时,,且当x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间内,函数g(x)=f(x)﹣ax的图象与x轴有3个不同的交点,则实数a的取值范围是()
A. B.C.D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)在△ABC中,若∠A=60°,边AB=2,S△ABC=,则BC边的长为.14.(5分)已知实数x,y满足则z=2x+y的最大值是.
15.(5分)双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的
弦长为2,则双曲线的离心率为.
16.(5分)设函数y=f(x)图象上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)处的切线的斜率分别是k A,k B,规定φ(A,B)=(|AB|为线段AB的长度)叫做曲线y=f(x)在点A与点B之间的“弯曲度”,给出以下命题:
①函数y=x3图象上两点A与B的横坐标分别为1和﹣1,则φ(A,B)=0;
②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
③设点A,B是抛物线y=x2+1上不同的两点,则φ(A,B)≤2;
④设曲线y=e x(e是自然对数的底数)上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),则φ(A,B)<1.
其中真命题的序为.(将所有真命题的序都填上)
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,S n=2a n﹣3.
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{na n}的前n项和T n.
18.(12分)学校为了了解A、B两个班级学生在本学期前两个月内观看电视节目的时长,分别从这两个班级中随机抽取10名学生进行调查,得到他们观看电视节目的时长分别为(单位:小时):A班:5、5、7、8、9、11、14、20、22、31;B班:3、9、11、12、21、25、26、30、31、35.
将上述数据作为样本.
(Ⅰ)绘制茎叶图,并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息(至少写出2条);(Ⅱ)分别求样本中A、B两个班级学生的平均观看时长,并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长;
(Ⅲ)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为a,从B班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为b,求a>b的概率.
19.(12分)如图1,已知长方形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点,将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM如图2,设点E是线段DB上的一动点(不与D,B重合).
(Ⅰ)当AB=2时,求三棱锥M﹣BCD的体积;
(Ⅱ)求证:AE不可能与BM垂直.
20.(12分)设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(a∈R),已知当a=1时,动圆N过点M且与直线x=﹣1相切,记动圆N的圆心N的轨迹为C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)当a>2时,若直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)(y0>0),且l与以定点M 为圆心的动圆M也相切,当动圆M的面积最小时,证明:M、P两点的横坐标之差为定值.
21.(12分)函数f(x)=lnx+,g(x)=e x﹣(e是自然对数的底数,a∈R).
(Ⅰ)求证:|f(x)|≥﹣(x﹣1)2+;
(Ⅱ)已知[x]表示不超过x的最大整数,如[1.9]=1,[﹣2.1]=﹣3,若对任意x1≥0,都存在x2>0,使得g(x1)≥[f(x2)]成立,求实数a的取值范围.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)经过点M(﹣2,﹣4)且倾斜角为45°的直线l与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A、B两点,|MA|、|AB|、|BM|成等比数列.
(Ⅰ)写出直线l的参数方程;
(Ⅱ)求p的值.
[选修4-5:不等式选讲]
23.设函数f(x)=|x﹣a|,a<0.
(Ⅰ)证明f(x)+f(﹣)≥2;
(Ⅱ)若不等式f(x)+f(2x)<的解集非空,求a的取值范围.
2017年吉林省东北师大附中高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)复数的共轭复数是()
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
【解答】解:=,
则复数的共轭复数是:1+i.
故选:A.
2.(5分)已知集合A={x∈R||x|≥2},B={x∈R|x2﹣x﹣2<0},则下列结论正确的是()
A.A∪B=R B.A∩B≠∅C.A∪B=∅D.A∩B=∅
【解答】解:集合A={x∈R||x|≥2}={x|x≥2或x≤﹣2}
B={x∈R|x2﹣x﹣2<0}={x|(x﹣2)(x+1)<0}={x|﹣1<x<2},
则A∩B=∅,A∪B={x|x>﹣1或x≤﹣2},
对照选项,可得A,B,C均错,D正确.
故选:D.
3.(5分)平面向量与的夹角为60°,=(2,0),||=1,则|+2|=()A.B.C.12 D.
【解答】解:∵平面向量与的夹角为60°,=(2,0),||=1,
∴|+2|=====2,
故选:B.
4.(5分)阅读如图的程序框图.若输入n=5,则输出k的值为()
A.2 B.3 C.4 D.5
【解答】解:第一次执行循环体,n=16,不满足退出循环的条件,k=1;
第二次执行循环体,n=49,不满足退出循环的条件,k=2;
第三次执行循环体,n=148,不满足退出循环的条件,k=3;
第四次执行循环体,n=445,满足退出循环的条件,
故输出k值为3,
故选:B
5.(5分)已知α是第二象限角,且的值为()A.B.C.D.
【解答】解:由sin(π+α)=﹣sinα=﹣,得到sinα=,又α是第二象限角,所以cosα=﹣=﹣,tanα=﹣,
则ta n2α===﹣.
故选C
6.(5分)“a=﹣1”是“直线ax+(2a﹣1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直”的()A.充分不必要的条件B.必要不充分的条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
【解答】解:当a=﹣1时直线ax+(2a﹣1)y+1=0的斜率是,直线3x+ay+3=0的斜率是3,
∴满足k1•k2=﹣1
a=0时,直线ax+(2a﹣1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直,
∴a=﹣1是直线ax+(2a﹣1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直的充分条件.
故选A.
7.(5分)为了解本市居民的生活成本,甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示),甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为x1,x2,x3,则它们的大小关系为()
A.s1>s2>s3B.s1>s3>s2C.s3>s2>s1D.s3>s1>s2
【解答】解:根据三个频率分步直方图知,
第一组数据的两端数字较多,绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远,最分散,其方差、标准差最大;
第三组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小,数字分布均匀,数据不如第一组偏离平均数大,方差比第一组中数据中的方差、标准差小,
而第二组数据绝大部分数字都在平均数左右,数据最集中,故其方差、标准差最小,总上可知s1>s3>s2,
故选:B.
8.(5分)如图,格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰
直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是()
A.B. C.D.
【解答】解:该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD,如图所示,
该几何体的俯视图为D.
故选:D.
9.(5分)已知函数f(x)=sin2ωx+sinωxsin(ωx+),(ω>0)的最小正周期为π,
则f(x)在区间[0,]上的值域为()
A.[0,]B.[﹣,]C.[﹣,1]D.[﹣,]
【解答】解:化简可得f(x)=sin2ωx+)+sinωxsin(ωx
=+sinωxcosωx=+sin2ωx cos2ωx
=sin(2ωx﹣)+,
∵函数的最小正周期为π,
∴=π,解得ω=1,
∴f(x)=sin(2x﹣)+,
∵x∈[0,],
∴2x﹣∈[,],
∴sin(2x﹣)∈[,1],
∴f(x)=sin(2x﹣)+的值域为[0,]
故选:A
10.(5分)《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P﹣ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O 的球面上,则球O的表面积为()
A.8πB.12πC.20πD.24π
【解答】解:由题意,PC为球O的直径,PC==2,
∴球O的半径为,
∴球O的表面积为4π•5=20π,
故选C.
11.(5分)已知F是椭圆C:的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆相切于点Q,且PQ=2QF,则椭圆C的离心率等于()A.B.C.D.
【解答】解:设椭圆的左焦点为F1,连接F1,设圆心为C,则
∵,则圆心坐标为(,0),半径为r=,
∴|F1F|=3|FC|
∵PQ=2QF,∴PF1∥QC,|PF1|=b
∴|PF|=2a﹣b
∵线段PF与圆(其中c2=a2﹣b2)相切于点Q,
∴CQ⊥PF
∴PF1⊥PF
∴b2+(2a﹣b)2=4c2
∴b2+(2a﹣b)2=4(a2﹣b2)
∴a=b,则=,
∴e===,
故选A.
12.(5分)已知定义域为的函数f(x)满足:当时,,且当x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间内,函数g(x)=f(x)﹣ax的图象与x轴有3个不同的交点,则实数a的取值范围是()
A. B.C.D.
【解答】解:当x∈[,1]时,∈[1,3],
∴f(x)=2f()=2ln=﹣2lnx,
∴f(x)=,
作出f(x)的函数图象如图所示:
∵函数g(x)=f(x)﹣ax的图象与x轴有3个不同的交点,
∴y=f(x)与直线y=ax在[,3]上有3个交点.
当直线y=ax经过点(3,ln3)时,a=,
当直线y=ax与y=lnx相切时,设切点为(x0,y0),
则,解得x0=e,y0=1,a=.
∴≤a<.
故选C.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)在△ABC中,若∠A=60°,边AB=2,S△ABC=,则BC边的长为.
=,
【解答】解:∵∠A=60°,边AB=2,S
△ABC
=AB•AC•si nA,即=×2AC×,
∴S
△ABC
解得:AC=1,
由余弦定理得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=4+1﹣2=3,
则BC=.
故答案为:
14.(5分)已知实数x,y满足则z=2x+y的最大值是10.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
联立,解得A(4,2),
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z,由图可知,当直线y=﹣2x+z过A时,
直线在y轴上的截距最大,z有最大值为10.
故答案为:10.
15.(5分)双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的
弦长为2,则双曲线的离心率为.
【解答】解:双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,
圆x2+y2﹣6x+5=0即为(x﹣3)2+y2=4,
圆心为(3,0),半径为2,
圆心到渐近线的距离为d=,
由弦长公式可得2=2,
化简可得a2=2b2,
即有c2=a2+b2=a2,
则e==.
故答案为:.
16.(5分)设函数y=f(x)图象上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)处的切线的斜率分别是k A,k B,规定φ(A,B)=(|AB|为线段AB的长度)叫做曲线y=f(x)在点A与点B之间的“弯曲度”,给出以下命题:
①函数y=x3图象上两点A与B的横坐标分别为1和﹣1,则φ(A,B)=0;
②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
③设点A,B是抛物线y=x2+1上不同的两点,则φ(A,B)≤2;
④设曲线y=e x(e是自然对数的底数)上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),则φ(A,B)<1.
其中真命题的序为①②③④.(将所有真命题的序都填上)
【解答】解:对于①,由y=x3,得y′=3x2,
则k A=3,k B=3,则|k A﹣k B|=0,则φ(A,B)=0,故①正确;
对于②,如y=1时,y′=0,则φ(A,B)=0,故②正确;
对于③,抛物线y=x2+1的导数为y′=2x,y A=x A2+1,y B=x B2+1,
y A﹣y B=x A2﹣x B2=(x A﹣x B)(x A+x B),
则φ(A,B)===≤2,故③正确;对于④,由y=e x,得y′=e x,φ(A,B)=,
由不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),可得φ(A,B)<=1,
故④正确.
故答案为:①②③④
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,S n=2a n﹣3.
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{na n}的前n项和T n.
【解答】解:(Ⅰ)由S n=2a n﹣3,①得a1=3,S n﹣1=2a n﹣1﹣3(n≥2),②
①﹣②,得a n=2a n﹣2a n﹣1,即a n=2a n﹣1(n≥2,n∈N),
所以数列{a n}是以3为首项,2为公比的等比数列,
所以(n∈N*).
(Ⅱ),

作差得,
∴(n∈N*).
18.(12分)学校为了了解A、B两个班级学生在本学期前两个月内观看电视节目的时
长,分别从这两个班级中随机抽取10名学生进行调查,得到他们观看电视节目的时长分别为(单位:小时):A班:5、5、7、8、9、11、14、20、22、31;B班:3、9、11、12、21、25、26、30、31、35.
将上述数据作为样本.
(Ⅰ)绘制茎叶图,并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息(至少写出2条);(Ⅱ)分别求样本中A、B两个班级学生的平均观看时长,并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长;
(Ⅲ)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为a,从B班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为b,求a>b的概率.
【解答】解:(Ⅰ)茎叶图如下(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字):
从茎叶图中可看出:
①A班数据有集中在茎0、1、2上,B班数据有集中在茎1、2、3上;
②A班叶的分布是单峰的,B班叶的分布基本上是对称的;
③A班数据的中位数是10,B班数据的中位数是23.
(Ⅱ)A班样本数据的平均值为小时;
B班样本数据的平均值为小时.
因为,所以由此估计B班学生平均观看时间较长.
(Ⅲ)A班的样本数据中不超过11的数据a有6个,分别为5,5,7,8,9,11;B 班的样本数据中不超过11的数据b有3个,分别为3,9,11.
从上述A班和B班的数据中各随机抽取一个,记为(a,b),分别为:(5,3),(5,9),(5,11),(5,3),(5,9),(5,11),(7,3),(7,9),(7,11),(8,3),(8,9),(8,11)(9,3),(9,9),(9,11),(11,3),(11,9),(11,11)共18种,
其中a>b的有:(5,3),(5,3),(7,3),(8,3),(9,3),(11,3),(11,9),共7种.
故a>b的概率为.
19.(12分)如图1,已知长方形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点,将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM如图2,设点E是线段DB上的一动点(不与D,B重合).
(Ⅰ)当AB=2时,求三棱锥M﹣BCD的体积;
(Ⅱ)求证:AE不可能与BM垂直.
【解答】(Ⅰ)解:取AM的中点N,连接DN.
∵AB=2AD,∴DM=AD,又N为AM的中点,
∴DN⊥AM,
∵平面ADM⊥平面ABCM,又平面ADM∩ABCM=AM,DN⊂平面ADM,
∴DN⊥平面ABCM.
∵AB=2,∴AD=1,AM=,则,
又,
=V D﹣BCM=;
∴V M
﹣BCD
(Ⅱ)证明:假设AE⊥BM.
由(Ⅰ)可知,DN⊥平面ABCM,∴BM⊥DN.
在长方形ABCD中,AB=2AD,
∴△ADM、△BCM都是等腰直角三角形,∴BM⊥AM.
而DN、AM⊂平面ADM,DN∩AM=N,
∴BM⊥平面ADM.
而AD⊂平面ADM,
∴BM⊥AD.
由假设AE⊥BM,AD、AE⊂平面ABD,AD∩AE=A,
∴BM⊥平面ABD,
而AB⊂平面ABD,∴BM⊥AB,
这与已知ABCD是长方形矛盾,
故AE不可能与BM垂直.
20.(12分)设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(a∈R),已知当a=1时,动圆N过点M且与直线x=﹣1相切,记动圆N的圆心N的轨迹为C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)当a>2时,若直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)(y0>0),且l与以定点M 为圆心的动圆M也相切,当动圆M的面积最小时,证明:M、P两点的横坐标之差为定值.
【解答】解:(Ⅰ)因为圆N与直线x=﹣1相切,所以点N到直线x=﹣1的距离等于圆N的半径,
所以,点N到点M(1,0)的距离与到直线x=﹣1的距离相等.
所以,点N的轨迹为以点M(1,0)为焦点,直线x=﹣1为准线的抛物线,
所以圆心N的轨迹方程,即曲线C的方程为y2=4x.
(Ⅱ)由题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y﹣y0=k(x﹣x0),
由得,
又,所以,
因为直线l与曲线C相切,所以,解得.
所以,直线l的方程为.
动圆M的半径即为点M(a,0)到直线l的距离.
当动圆M的面积最小时,即d最小,而当a>2时;
==.
当且仅当,即x0=a﹣2时取等,
所以当动圆M的面积最小时,a﹣x0=2,
即当动圆M的面积最小时,M、P两点的横坐标之差为定值.
21.(12分)函数f(x)=lnx+,g(x)=e x﹣(e是自然对数的底数,a∈R).
(Ⅰ)求证:|f(x)|≥﹣(x﹣1)2+;
(Ⅱ)已知[x]表示不超过x的最大整数,如[1.9]=1,[﹣2.1]=﹣3,若对任意x1≥0,都存在x2>0,使得g(x1)≥[f(x2)]成立,求实数a的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)(x>0).
当x>1时,f'(x)>0,当0<x<1时,f'(x)<0,
即f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以,当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为,
所以,
又,且当x=1时等成立,
所以,.
(Ⅱ)记当x≥0时,g(x)的最小值为g(x)min,当x>0时,[f(x)]的最小值为[f (x)]min,
依题意有g(x)min≥[f(x)]min,
由(Ⅰ)知,所以[f(x)]min=0,则有g(x)min≥0,g'(x)=e x﹣x﹣a.
令h(x)=e x﹣x﹣a,h'(x)=e x﹣1,
而当x≥0时,e x≥1,所以h'(x)≥0,
所以h(x)在[0,+∞)上是增函数,所以h(x)min=h(0)=1﹣a.
①当1﹣a≥0,即a≤1时,h(x)≥0恒成立,即g'(x)≥0,
所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,所以,
依题意有,解得,
所以.
②当1﹣a<0,即a>1时,因为h(x)在[0,+∞)上是增函数,且h(0)=1﹣a<0,若a+2<e2,即1<a<e2﹣2,则h(ln(a+2))=a+2﹣ln(a+2)﹣a=2﹣ln(a+2)>0,所以∃x0∈(0,ln(a+2)),使得h(x0)=0,即,
且当x∈(0,x0)时,h(x)<0,即g'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,即g'(x)>0,
所以,g(x)在(0,x0)上是减函数,在(x0,+∞)上是增函数,
所以,
又,所以,
所以,所以0<x0≤ln2.
由,可令t(x)=e x﹣x,t'(x)=e x﹣1,当x∈(0,ln2]时,e x>1,所以t (x)在(0,ln2]上是增函数,
所以当x∈(0,ln2]时,t(0)<t(x)≤t(ln2),即1<t(x)≤2﹣ln2,
所以1<a≤2﹣ln2.
综上,所求实数a的取值范围是.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)经过点M(﹣2,﹣4)且倾斜角为45°的直线l与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A、B两点,|MA|、|AB|、|BM|成等比数列.
(Ⅰ)写出直线l的参数方程;
(Ⅱ)求p的值.
【解答】解:(Ⅰ)过点M(﹣2,﹣4)且倾斜角为45°,设参数为t,则直线l的参数方程为(t为参数).
(Ⅱ)把参数方程代入y2=2px,得,,t1t2=32+8p,
根据直线参数的几何意义,可得|MA||MB|=|t1t2|=32+8p,
那么:,
∵|MA|、|AB|、|BM|成等比数列,
∴|AB|2=|MA||MB|,8p(p+4)=32+8p,p>0.
故得p=1.
[选修4-5:不等式选讲]
23.设函数f(x)=|x﹣a|,a<0.
(Ⅰ)证明f(x)+f(﹣)≥2;
(Ⅱ)若不等式f(x)+f(2x)<的解集非空,求a的取值范围.
【解答】(Ⅰ)证明:函数f(x)=|x﹣a|,a<0,
则f(x)+f(﹣)=|x﹣a|+|﹣﹣a|
=|x﹣a|+|+a|≥|(x﹣a)+(+a)|
=|x+|=|x|+≥2=2.
(Ⅱ)解:f(x)+f(2x)=|x﹣a|+|2x﹣a|,a<0.
当x≤a时,f(x)=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x,则f(x)≥﹣a;
当a<x<时,f(x)=x﹣a+a﹣2x=﹣x,则﹣<f(x)<﹣a;
当x时,f(x)=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a,则f(x)≥﹣.
则f(x)的值域为[﹣,+∞),
不等式f(x)+f(2x)<的解集非空,即为
>﹣,解得,a>﹣1,由于a<0,
则a的取值范围是(﹣1,0).。

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