直线与圆的方程典型例题(优选.)
直线与圆的方程典型例题
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∴所求圆的方程为 (x 1)2 ( y 3)2 5 或 ( x 5) 2 ( y 15)2 125.
说明: 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标得到 圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.
例 4、 设圆满足: (1)截 y 轴所得弦长为 2; (2) 被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为 3 :1 ,在满足条件
例 2 求半径为 4,与圆 x2 y 2 4x 2 y 4 0 相切,且和直线 y 0相切的圆的方程.
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分析: 根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解.
解: 则题意,设所求圆的方程为圆 C:( x a) 2 ( y b) 2 r 2 . 圆 C 与直线 y 0相切,且半径为 4,则圆心 C 的坐标为 C1( a , 4) 或 C2( a , 4) . 又已知圆 x2 y 2 4x 2 y 4 0 的圆心 A 的坐标为 (2 , 1) ,半径为 3.
又∵圆过点 A(0 , 5) ,
∴圆心 C 只能在直线 3x y 0 上.
设圆心 C (t , 3t )
∵ C 到直线 2x y 0 的距离等于 AC ,
2t 3t
∴
5
t 2 (3t 5) 2 .
化简整理得 t 2 6t 5 0 . 解得: t 1或 t 5 ∴圆心是 (1 , 3) ,半径为 5 或圆心是 (5 ,15) ,半径为 5 5 .
a 2b d
5
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∴ 5d 2
2
a 2b
a 2 4b 2 4ab a 2 4b2 2(a2 b2)
2b2 a2 1
当且仅当 a b 时取“ =”号,此时 d min ab
直线和圆的方程精选练习题
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直线和圆的方程精选练习题1.直线x+3y-3=的倾斜角是多少?答:倾斜角为π/6.2.若圆C与圆(x+2)+(y-1)=1关于原点对称,则圆C的方程是什么?答:圆C的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=1.3.直线ax+by+c同时要经过第一、第二、第四象限,则a、b、c应满足什么条件?答:ab0.4.直线3x-4y-9=与圆x+y=4的位置关系是什么?答:相交但不过圆心。
5.已知直线ax+by+c=(abc≠0)与圆x+y=1相切,则三条边长分别为a、b、c的三角形是什么类型的?答:是锐角三角形。
6.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是多少?答:截距为2/5.7.点(2,5)到直线y=2x的距离是多少?答:距离为1/√5.8.由点P(1,3)引圆x+y=9的切线的长度是多少?答:长度为2.9.如果直线ax+2y+1=与直线x+y-2=互相垂直,那么a的值等于多少?答:a的值等于-1/3.10.若直线ax+2y+2=与直线3x-y-2=平行,那么系数a等于多少?答:a的值等于-3/2.11.直线y=3x绕原点按逆时针方向旋转30度后所得直线与圆(x-2)^2+y^2=33的位置关系是什么?答:直线与圆相交,但不过圆心。
12.若直线ax+y+1=与圆x^2+y^2-2x=相切,则a的值为多少?答:a的值为-1.13.圆O1:x^2+y^2-4x+6y=0和圆O2:x^2+y^2-6x=0交于A、B两点,则AB的垂直平分线的方程是什么?答:垂直平分线的方程为2x-y-5=0.14.以点(1,3)和(5,-1)为端点的线段的中垂线的方程是什么?答:中垂线的方程为2x+y=7.15.过点(3,4)且与直线3x-y+2平行的直线的方程是什么?答:由于两条直线平行,所以它们的斜率相同。
直线3x-y+2的斜率为3,所以过点(3,4)且与直线3x-y+2平行的直线的斜率也是3.带入点(3,4)和斜率3,可以得到直线的方程为y-4=3(x-3),即y=3x-5.16.直线3x-2y+6在x、y轴上的截距分别是多少?答:当x=0时,直线3x-2y+6的方程化为-2y+6=0,解得y=3,所以直线在y轴上的截距是3.当y=0时,直线3x-2y+6的方程化为3x+6=0,解得x=-2,所以直线在x轴上的截距是-2.17.三点(2,-3)、(4,3)和(5,k)在同一条直线上,求k的值。
直线与圆的方程典型例题
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解析几何中,直 线与圆方程的应 用可以帮助我们 研究几何图形的 性质和特征
解析几何中,直 线与圆方程的应 用可以用于解决 实际生活中的问 题,如测量、绘 图和计算等
实际生活中的应用
交通路径规划:利用直线与圆的方程,可以计算出最短或最安全的行驶路 径。
建筑设计:在建筑设计时,可以利用直线与圆的方程来计算出最佳的设计 方案,以满足建筑的功能和美观要求。
范围。
直线的一般式 方程:通过已 知直线的一般 式方程,推导 出直线的斜截 式方程,并说 明其应用范围。
圆的方程的变形与拓展
圆的一般方程:x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆的标准方程:x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆的一般方程的变形:通过移项、合并同类项等操作,将一般方程转化为标准方程或参数方 程
圆的参数方程:通过引入参数t,将圆的方程转化为参数方程,方便进行参数化处理和求解相 关问题
直线与圆相离的 条件:圆心到直 线的距离大于圆 的半径
直线与圆交点求解的变形与拓展
变形:将直线方程代入圆方程,得到一元二次方程,解得交点坐标 拓展:利用韦达定理,求出交点坐标之间的关系,进而得到弦长、面积等几何量Leabharlann 感谢观看汇报人:XX
直线与圆的交点求解
联立方程法:通过 将直线方程与圆方 程联立,消元求解 交点坐标
几何法:利用圆心 到直线的距离等于 半径,判断交点个 数,并求解交点坐 标
参数方程法:利用 参数方程表示直线 和圆的方程,通过 消参法求解交点坐 标
代数法:通过代入 法求解交点坐标
03
直线与圆方程的应 用
几何图形中的应用
点斜式方程:知道直线上的一点 (x1, y1)和直线的斜率k,则直线 方程为y-y1=k(x-x1)
第二讲直线与圆方程含答案
![第二讲直线与圆方程含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/d462029ed1d233d4b14e852458fb770bf68a3b5c.png)
第二讲第二讲 直线与圆的方程含答案直线与圆的方程含答案一、知识要点一、知识要点二、典型例题二、典型例题例1(1)、求与x 轴相交于A (1,0)和B (5,0)两点且半径为5的圆的标准方程.标准方程.解:法一:设圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=5. ∵点A ,B 在圆上,所以可得到方程组:îïíïì(1-a )2+(0-b )2=5(5-a )2+(0-b )2=5,解得a =3,b =±1. ∴圆的标准方程是(x -3)2+(y -1)2=5或(x -3)2+(y +1)2=5. 法二:由A 、B 两点在圆上可知线段AB 是圆的一条弦,是圆的一条弦,根据平面根据平面几何知识:这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x =3上,于是可设圆心为C (3,b ),又|AC |=5,即(3-1)2+b 2=5,解得b =1或b =-1. 因此,所求圆的标准方程为(x -3)2+(y -1)2=5或(x -3)2+(y +1)2 (2)、圆C 通过不同的三点P (k,0)、Q (2,0)、R (0,1),已知圆C 在点P 处的切线斜率为1,试求圆C 的方程.的方程.解:设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,则k 、2为x 2+Dx +F =0的两根,∴k +2=-D,2k =F ,即D =-(k +2),F =2k ,又圆过R (0,1),故1+E +F =0. ∴E =-2k -1. 故所求圆的方程为x 2+y 2-(k +2)x -(2k +1)y +2k =0,圆心坐标为(k +22,2k +12).∵圆C 在点P 处的切线斜率为1,∴k CP =-1=2k +12-k,∴k =-3.∴D =1,E =5,F =-6. ∴所求圆C 的方程为x 2+y 2+x +5y -6=0. 变式练习1:1.过点A (1,-1),B (-1,1),且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是( ) A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4 C .(x -1)2+(y -1)2=4 D .(x +1)2+(y +1)2=4 解析:选C.设圆心C 的坐标为(a ,b ),半径为r . ∵圆心C 在直线x +y -2=0上,∴b =2-a . 由|CA |2=|CB |2得(a -1)2+(b +1)2=(a +1)2+(b -1)2,即(a -1)2+(2-a +1)2=(a +1)2+(2-a -1)2,解得a =1,b =1,∴r =|CA |=(1-1)2+(1+1)2=2. 即所求圆的方程为(x -1)2+(y -1)2=4. 2.(2009年高考辽宁卷)已知圆C 与直线x -y =0及x -y -4=0都相切,圆心在直线x +y =0上,则圆C 的方程为( ) A .(x +1)2+(y -1)2=2 B .(x -1)2+(y +1)2=2 C .(x -1)2+(y -1)2=2 D .(x +1)2+(y +1)2=2 解析:选B.由题意可设圆心坐标为(a ,-a ),则|a +a |2=|a +a -4|2,解得a =1,故圆心坐标为(1,-1),半径r =|1+1|2=2,所以圆的方程为(x -1)2+(y +1)2=2. 3.(2008年高考山东卷)若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x -3y =0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是( ) A .(x -3)2+(y -73)2=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1 C .(x -1)2+(y -3)2=1 D .(x -32)2+(y -1)2=1 解析:选B.设圆心坐标为(a ,b ),则îíì|b |=1|4a -3b |5=1,又b >0,故b =1,由|4a -3|=5得a =2或a =-12,又a >0,故a =2,所求圆的标准方程是(x -2)2+(y -1)2=1.(采用检验的方法也可以) 4.圆心在原点且圆周被直线3x +4y +15=0分成1∶2两部分的圆的方程为________.解析:如图,因为圆周被直线3x +4y+15=0分成1∶2两部分,所以∠AOB =120°而圆心到直线3x +4y +15=0的距离d =1532+42=3,在△AOB 中,可求得OA =6.所以所求圆的方程为x 2+y 2=36. 答案:x 2+y 2=36 )(,=-,4,4)1|1·|·||41,=,解得2)43k 3(3)3(-3方程①②联立得圆心坐标为(0,78)或(0,-78), 半径为(0-3)2+(±78-0)2=258, 所求圆的方程为x 2+(y +78)2=62564或x 2+(y -78)2=62564. 答案:x 2+(y +78)2=62564或x 2+(y -78)2=62564=5. 3.(2010重庆理数)(8) 直线y=323x +与圆心为D 的圆33cos ,13sin x y q q ì=+ïí=+ïî())0,2q p éÎë交与A 、B 两点,则直线AD 与BD 的倾斜角之和为的倾斜角之和为 A. 76p B. 54p C. 43p D. 53p 解析:数形结合解析:数形结合301-=Ða b p -+=Ð 302由圆的性质可知21Ð=Ðbp a -+=-\ 3030 故=+b a 43p4.(2010全国卷1理数)(1111)已知圆)已知圆O 的半径为1,PA PA、、PB 为该圆的两条切线,为该圆的两条切线,A A 、B 为两切点,那么P A P B ·的最小值为的最小值为(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+例3、已知圆x 2+y 2=4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点.圆上的动点.(1)求线段AP 中点的轨迹方程;中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ =90°,求线段PQ 中点的轨迹方程.中点的轨迹方程.解:(1)设AP 中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x -2,2y ).∵P 点在圆x 2+y 2=4上, ∴(2x -2)2+(2y )2=4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x -1)2+y 2=1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ),在Rt △PBQ 中,|PN |=|BN |,设O 为坐标原点,则ON ⊥PQ ,所以|OP |2=|ON |2+|PN |2=|ON |2+|BN |2,所以x 2+y 2+(x -1)2+(y -1)2=4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2-x -y -1=0. 变式练习3:1.若曲线x 2+y 2+a 2x +(1-a 2)y -4=0关于直线y -x =0对称的曲线仍是其本身,则实数a 为( ) A .±12B .±22 C.12或-22 D .-12或22解析:选B.由题意知,圆心C (-a 22,a 2-12)在直线y -x =0上,∴a 2-12+a 22=0,∴a 2=12,∴a =±22.故选B. (注:F =-4<0,不需验D 2+E 2-4F >0) 2.(2009年高考上海卷)点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y +1)2=4 C .(x +4)2+(y -2)2=1 D .(x +2)2+(y -1)2=1 解析:选A.设圆上任意一点为(x 1,y 1),中点为(x ,y ),则îíì x =x 1+42,y =y 1-22,îïíïì x 1=2x -4,y 1=2y +2,代入x 2+y 2=4得 (2x -4)2+(2y +2)2=4,化简得(x -2)2+(y +1)2=1. 3.一束光线从点A (-1,1)出发经x 轴反射到圆C :(x -2)2+(y -3)2=1上的最短路程是( ) A .4 B .5 C .32-1 D .26 解析:选A.圆C 的圆心C 的坐标为(2,3),半径r =1.点A (-1,1)关于x 轴的对称点A ′的坐标为(-1,-1).因A ′在反射线上,所以最短距离为|A ′C |-r ,即[2-(-1)]2+[3-(-1)]2-1=4. 例4、已知圆O: 122=+y x ,圆C: 1)4()2(22=-+-y x ,由两圆外一点),(b a P 引两圆切线P A 、PB ,切点分别为A 、B ,满足|PA|=|PB|. (1)求实数a 、b 间满足的等量关系;间满足的等量关系;(2)求切线长|PA|的最小值;的最小值;(3)是否存在以P 为圆心的圆,使它与圆O 相内切并且与圆C 相外切?若存在,求出圆P 的方程;若不存在,说明理由. (1)连结PO 、PC ,∵|PA|=|PB|,|OA|=|CB|=1 ∴|PO|2=|PC|2,从而2222)4()2(-+-=+b a b a化简得实数a 、b 间满足的等量关系为: 052=-+b a . (2)由052=-+b a ,得52+-=b a1||||||2222-+=-=b a OA PO PA 1)52(22-++-=b b 4)2(52420522+-=+-=b b b∴当2=b 时,2||min=PA (3) ∵圆O 和圆C 的半径均为1,若存在半径为R 圆P ,与圆O 相内切并且与圆C 相外切,则有1||-=R PO 且1||+=R PC 于是有: 2||||=-PO PC 即2||||+=PO PC从而得从而得2)4()2(2222++=-+-b a b a 两边平方,整理得)2(422b a b a +-=+将52=+b a 代入上式得:0122<-=+b a 故满足条件的实数a 、b 不存在,∴不存在符合题设条件的圆P . 三、规律与方法三、规律与方法四、过关检测四、过关检测1.圆(x +2)2+y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A .(x -2)2+y 2=5 B .x 2+(y -2)2=5 C .(x +2)2+(y +2)2=5 D .x 2+(y +2)2=5 答案:A 2.已知⊙C :x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,则F =E =0且D <0是⊙C 与y 轴相切于原点的( ) A .充分不必要条件.充分不必要条件B .必要不充分条件.必要不充分条件C .充要条件.充要条件D .既不充分也不必要条件.既不充分也不必要条件解析:选A.由题意可知,要求圆心坐标为(-D 2,0),而D 可以大于0,故选A. 3.已知两定点A (-2,0),B (1,0),如果动点P 满足|PA |=2|PB |,则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A .πB .4πC .8π D .9π解析:选B.设P (x ,y ),由题知有:(x +2)2+y 2=4[(x -1)2+y 2],整理得x 2-4x +y 2=0,配方得(x -2)2+y 2=4.可知圆的面积为4π,故选B. 4.(2009年高考广东卷)以点(2,-1)为圆心且与直线x +y =6相切的圆的方程是________.解析:将直线x +y =6化为x +y -6=0,圆的半径r =|2-1-6|1+1=52,所以圆的方程为(x -2)2+(y +1)2=252. 答案:(x -2)2+(y +1)2=252 5.(原创题)已知圆x 2+y 2+2x -4y +a =0关于直线y =2x +b 成轴对称,则a -b 的取值范围是________. 解析:圆的方程变为(x +1)2+(y -2)2=5-a ,∴其圆心为(-1,2),且5-a >0,即a <5. 又圆关于直线y =2x +b 成轴对称,∴2=-2+b ,∴b =4.∴a -b =a -4<1. 答案:(-∞,1) 6.若直线x a +y b =1与圆x 2+y 2=1有公共点,则( ) A .a 2+b 2≤1 B .a 2+b 2≥1 C.1a 2+1b 2≤1 D.1a 2+1b 2≥1 解析:选D.由题意知直线与圆相交或相切,故有11a 2+1b 2≤1⇒1a 2+1b 2≥1,故选D. 7.过点(0,1)的直线与圆x 2+y 2=4相交于A ,B 两点,则|AB |的最小值为( ) A .2 B .23 C .3 D .25 解析:选B.据由弦长一半及圆的半径和圆心到直线的距离所组成的直角三角形可知,当圆心到直线距离最大时,弦长最短,易知当圆心与定点G (0,1)的连线与直线AB 垂直时,圆心到直线AB 的距离取得最大值,即d ≤|OG |=1,此时弦长最短,即|AB |2≥R 2-d 2=4-1⇒|AB |≥23,故选B. 8.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线3x +4y +4=0与圆C 相切,则圆C 的方程为( ) A .x 2+y 2-2x -3=0 B .x 2+y 2+4x =0 C .x 2+y 2+2x -3=0 D .x 2+y 2-4x =0 解析:选D.设圆心为(a,0),且a >0,则(a,0)到直线3x +4y +4=0的距离为2,即|3×a +4×0+4|32+42=2⇒3a +4=±10⇒a =2或a =-143(舍去),则圆的方程为:(x -2)2+(y -0)2=22,即x 2+y 2-4x =0. 9.设O 为坐标原点,C 为圆(x -2)2+y 2=3的圆心,且圆上有一点M (x ,y )满足OM →·CM →=0,则y x =( ) A.33B.33或-33C.3 D.3或-3 解析:选D.∵OM→·CM →=0, ∴OM ⊥CM ,∴OM 是圆的切线.设OM 的方程为y =kx , 由|2k |k 2+1=3,得k =±3,即y x =± 3. 10.(2008年高考山东卷)已知圆的方程为x 2+y 2-6x -8y =0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为( ) A .106 B .206 C .306 D .406 解析:选 B.圆的标准方程为(x -3)2+(y -4)2=52,由题意得|AC |=2×5=10,|BD |=252-12=46,且AC ⊥BD ,四边形ABCD 的面积S =12|AC |·|·||BD |=12×10×46=20 6.故选B. 11.已知圆C :x 2+y 2-8y +12=0,直线l :ax +y +2a =0. (1)当a 为何值时,直线l 与圆C 相切;相切;(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点,且AB =22时,求直线l 的方程.的方程.解:将圆C 的方程x 2+y 2-8y +12=0配方得标准方程为x 2+(y -4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2. (1)若直线l 与圆C 相切,则有|4+2a |a 2+1=2.解得a =-34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ,则根据题意和圆的性质,得îïíïìCD =|4+2a |a 2+1,CD 2+DA 2=AC 2=22,DA =12AB = 2. 解得a =-7,或a =-1. 故所求直线方程为7x -y +14=0或x -y +2=0. 12.如右图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 分别为切点),使得PM =2PN ,试建立适当的坐标系,并求动点P 的轨迹方程.迹方程.解:以O 1O 2的中点O 为原点, O 1O 2所在直线为x 轴,建立如图所示的坐标系,则O 1(-2,0),O 2(2,0).由已知|PM |=2|PN |,∴|PM |2=2|PN |2. 又∵两圆的半径均为1,所以|PO 1|2-1=2(|PO 2|2-1).设P (x ,y ),即(x +2)2+y 2-1=2[(x -2)2+y 2-1],即(x -6)2+y 2=33. ∴所求动点P 的轨迹方程为(x-6)2+y2=33(或x2+y2-12x+3=0).。
直线与圆的方程综合题、典型题[1]
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直线与圆的方程综合题、典型题、高考题1、已知m ∈R ,直线l :2(1)4mx m y m -+=和圆C :2284160x y x y +-++=.(1)求直线l 斜率的取值范围;(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧?为什么? 解析:(1)直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++,直线l 的斜率21mk m =+,因为21(1)2m m +≤,所以2112m k m =+≤,当且仅当1m =时等号成立.所以,斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,.(2)不能.由(1)知l 的方程为(4)y k x =-,其中12k ≤. 圆C 的圆心为(42)C -,,半径2r =.圆心C 到直线l的距离d =.由12k ≤,得1d >,即2r d >.从而,若l 与圆C 相交,则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π.所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧. 2、已知圆C :044222=-+-+y x y x ,是否存在斜率为1的直线l ,使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线l 的方程,若不存在说明理由。
解析:圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ,圆心M 的坐标为(a由于CM ⊥l ,∴k CM ⋅k l = -1 ∴k CM =112-=-+a b , 即a +b +1=0,得b = -a -1 ① 直线l 的方程为y -b =x -a , 即x -y +b -a =0CM=23+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点,∴OM MB MA ==2)3(92222+--=-=a b CMCB MB ,222b a OM += ∴2222)3(9b a a b +=+-- ②把①代入②得 0322=--a a ,∴123-==a a 或 当25,23-==b a 时此时直线l 的方程为x -y -4=0; 当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x -y +1=0故这样的直线l 是存在的,方程为x -y -4=0 或x -y +1=0评析:此题用0OA OB =,联立方程组,根与系数关系代入得到关于b 的方程比较简单3、已知点A(-2,-1)和B(2,3),圆C :x 2+y 2= m 2,当圆C 与线段..AB 没有公共点时,求m 的取值范围.解:∵过点A 、B 的直线方程为在l :x -y +1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ,连结OB.由图象得:|m|<OP 或|m|>OB 时,线段AB 与圆x 2+y 2= m 2无交点.(I )当|m|<OP 时,由点到直线的距离公式得:22|m |2|1||m |<⇒<,即22m 22<<-. (II )当m >OB 时,||||m m 即 13m 13m >-<或. ∴当22m 22<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时,圆x 2+y 2= m 2与线段AB 无交点.4、.已知动圆Q 与x 轴相切,且过点()0,2A .⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程;⑵设B 、C 为曲线M 上两点,()2,2P ,PB BC ⊥,求点C 横坐标的取值范围. 解: ⑴设(),P x y 为轨迹上任一点,则0y =≠ (4分)化简得:2114y x =+ 为求。
直线与圆的方程培优试题
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直线与圆的方程培优试题题目一给定一个圆的方程为:(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2,求出过点(x0, y0)且与该圆相切的直线的方程。
解析我们知道,直线与圆相切的条件是:直线上的一点到圆心的距离等于圆的半径。
因此,我们需要找到一条直线,使得直线上的某个点(x, y)到圆心(a, b)的距离等于半径r。
设直线的方程为y = kx + c,将其代入圆的方程中,得到:(x - a)^2 + (kx + c - b)^2 = r^2展开并整理得到:(x^2 - 2ax + a^2) + (k^2x^2 + c^2 + b^2 - 2kcx - 2kb)x + (2bkc - 2bc) = r^2由于直线与圆相切,所以该方程有唯一解。
根据相等斜率定理,我们知道,直线与圆相切意味着两者的切点处的斜率相等。
因此,我们可以通过解方程组来求解该问题。
将上述方程与圆的方程联立,可得到一个二元一次方程组:2bk - 2a = 02bkc - 2bc - r^2 + a^2 + b^2 - c^2 = 0解方程组得到:k = (a - c) / bc = r^2 / (b - k)因此,过点(x0, y0)且与给定圆相切的直线的方程为:y = ((x0 - a) / b) * x + (r^2 / (b - ((x0 - a) / b)))题目二给定一个直线的方程为:y = kx + c,求该直线与圆(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2的交点坐标。
解析我们需要找到直线与圆的交点,也就是说,找到直线和圆的方程组的解。
将直线的方程代入圆的方程中,得到:(x - a)^2 + (kx + c - b)^2 = r^2展开并整理得到:(x^2 - 2ax + a^2) + (k^2x^2 + c^2 + b^2 - 2kcx - 2kb)x + (2bkc - 2bc) = r^2合并同类项得到:(1 + k^2)x^2 + (-2a - 2ck - 2kb)x + (a^2 + c^2 + b^2 - 2kcx - 2bc -r^2) = 0这是一个二次方程,我们可以使用二次方程的求根公式来求解。
直线和圆的方程的典型例题
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问题,利用数形结合法求最值.
[例5]已知直线l:y=k(x-a)及圆O:x2+y2=r2(a>r>0),直线l与圆O
相交于A、B两点,求当k变动时,弦AB的中点的轨迹方程.
【解法一】设轨迹上任一点为M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).
由得(1+k2)x2-2ak2x+a2k2-r2=0,
(4+2sinθ)2=60+32sinθ+24cosθ=60+40sin(θ+).(其中tan=), 当sin(θ+)=-1时, (|AP|2+|BP|2)min=20, 此时60+24cosθ+32sinθ=20,即3cosθ+4sinθ=-5. 由得
∴P点的坐标为(). 【解法二】设P点的坐标为(x,y). ∵A(-1,0)、B(1,0), ∴|AP|2+|BP|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2)+2=2|OP|2+2. 要使|AP|2+|BP|2取得最小值,需使|OP|2最小. 又点P为圆C:(x-3)2+(y-4)2=4上的点, ∴(|OP|)min=|OC|-r(r为半径). 由(x-3)2+(y-4)2=4知:C(3,4),r=2. ∴|OC|-r=-2=5-2=3, 即(|OP|)min=3,∴(|AP|2+|BP|2)min=2×32+2=20. 此时,OC:y=x 由得 或 (舍) ∴点P的坐标为(). 【点评】解法一是利用了圆的参数方程的形式设出了点P的坐标, 使所求的式子转化为三角函数式,利用三角函数法求最值;解法二设出 的是P点的普通坐标(x,y),使要求的式子转化为求圆上的点到坐标满足(x-)2+y2=.
直线与圆的方程试题及答案大题
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直线与圆的方程试题及答案大题一、选择题1.设直线过点A(1, 2),斜率为-2,则直线方程是()– A. y = 2x + 3– B. y = -2x + 3– C. 2y = x + 3– D. -2y = x + 3答案:B2.设点A(-1,3)和B(2,-4),则直线AB的斜率为()– A. -1– B. 1– C. 2– D. -2答案:D二、填空题1.过点A(2,1)且与直线y = 2x + 3平行的直线的方程是y = ___________。
答案:2x - 12.过点A(1,-2)且与直线2y = 4x - 3垂直的直线的方程是y = ___________。
答案:-0.5x - 13.过点A(-3,4),斜率为2的直线方程是 y = ___________。
答案:2x + 10三、解答题1.求过点A(2,3)和B(-1,5)的直线方程。
解:直线AB的斜率 m = (5 - 3)/ (-1 - 2) = 2 / -3 = -2/3直线方程的一般形式为y = mx + c,其中c为常数。
将坐标A(2,3)代入直线方程,得到3 = (-2/3) * 2 + c => 3 = -4/3 + c。
解得c = 3 + 4/3 = 13/3,所以直线方程为y = -2/3x + 13/3。
2.已知直线的斜率为-1/2,过点A(3,4),求直线的方程。
解:直线方程的斜率为-1/2,过点A(3,4),所以直线方程可以表示为y = (-1/2)x + c。
将点A(3,4)代入直线方程,得到4 = (-1/2) * 3 + c => 4 = -3/2 + c。
解得c = 4 +3/2 = 11/2,所以直线方程为y = (-1/2)x + 11/2。
四、应用题1.在直角坐标系中,过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C,求点C的坐标。
解:由题意可知,过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C,所以C的横坐标为0。
直线与圆的关系典型例题
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高中数学必修2直线与圆的位置关系(典例)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线L:Ax+By+C=01.位置关系的判定:判定方法1:联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交;(2)△=0相切;(3)△<0相离。
判定方法2:若圆心(a,b)到直线L的距离为d(1)d<r相交;(2)d=r相切;(3)d>r相离。
例1、判断直线L:(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O:x2+y2=9的位置关系。
法一:直线L:m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点,∵点P在圆O内,∴直线L与圆O相交。
法二:圆心O到直线L的距离为当d<3时,(2m-1)2<9(2m2+2),∴14m2+4m+17>0∴m∈R所以直线L与直线O相交。
法三:联立方程,消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)当m≠1时,△>0,直线与圆相交;当m=1时,直线L:,此时直线L与圆O相交综上得直线L与圆O恒相交。
[评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法,但计算量偏大;而法一是先观察直线的特点再结合图,避免了大量计算,因此体现了数形结合的优点。
例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值法一:设P(cosα,sinα)为圆上一点,则点P到直线的距离为=∴当时,dmin=4.法二:如图,直线L过圆心,且与直线3x+4y=25垂直于点M,此时,l 与圆有两个交点A、B,∵原点到直线3x+4y=25的距离|OM|=5,∴圆上的点到直线3x+4y=25的距离的最大值为:|AM|=|OM|+r=5+1=6最小值为:|BM|=|OM|-r=5-1=4[评]法二是几何做法,充分体现了它计算量小的优势。
2.切线问题:例3:(1)已知点P(x0,y)是圆C:x2+y2=r2上一点,求过点P的圆C的切线方程;(x0x+yy=r2)法一:∵点P(x,y)是圆C:x2+y2=r2上一点,∴当x≠0且y≠0时,∴切线方程为当P为(0,r)时,切线方程为y=r,满足方程(1);当P为(0,-r)时,切线方程为t=-r,满足方程(1);当P为(r,0)时,切线方程为x=r,满足方程(1);当P为(-r,0)时,切线方程为x=-r,满足方程(1);综上,所求切线方程为x0x+yy=r2法二:设M(x,y)为所求切线上除P点外的任一点,则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2,即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y)2∴x0x+yy=r2且P(x,y)满足上面的方程。
直线和圆的方程测试题
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直线和圆的方程测试题题目一:直线的方程1. 给定两个点A(2, 3)和B(4, 1),求过这两个点的直线方程。
解析:首先计算两点的斜率k\[k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{1-3}{4-2} = -1\]进一步,我们可以使用点斜式方程:\[y-y_1 = k(x-x_1)\]\[y-3 = -1(x-2)\]\[y-3 = -x+2\]\[x+y = 5\]所以,过点A(2, 3)和B(4, 1)的直线方程为 \(x+y = 5\)。
题目二:圆的方程2. 以点C(5, 3)为圆心,半径为r = 2的圆,求圆的方程。
解析:对于以点C(x, y)为圆心,半径为r的圆,圆的方程可以表示为:\[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\]将圆心C(5, 3)和半径r=2代入,得到:\[(x-5)^2 + (y-3)^2 = 4\]所以,以点C(5, 3)为圆心,半径为r = 2的圆的方程为 \((x-5)^2 + (y-3)^2 = 4\)。
题目三:直线和圆的交点3. 已知直线方程为 \(3x-y = 2\),以点D(1, 0)为圆心,半径为r = 1的圆。
求直线和圆的交点坐标。
解析:我们可以使用联立方程的方法来求解直线和圆的交点。
首先,将直线方程转换为一般式方程:\[3x-y-2 = 0\]然后,将直线方程带入圆的方程:\[(x-1)^2 + (y-0)^2 = 1\]通过联立这两个方程,我们可以得到交点的坐标。
将直线方程改写为 \(y = 3x-2\),然后代入圆的方程:\[(x-1)^2 + (3x-2-0)^2 = 1\]展开并整理方程,得到二次方程:\[10x^2 - 22x + 11 = 0\]解这个二次方程,可以得到两个解x1和x2:\[x_1 = \frac{11}{10}, \quad x_2 = 1\]将x值代入直线方程,可以得到对应的y值:\[y_1 = 3\left(\frac{11}{10}\right)-2 = \frac{13}{10}, \quad y_2 = 3(1)-2 = 1\]所以,直线 \(3x-y = 2\) 和圆 \((x-1)^2 + (y-0)^2 = 1\) 的交点坐标为\(\left(\frac{11}{10}, \frac{13}{10}\right)\) 和 (1, 1)。
直线和圆的位置关系练习题附答案
![直线和圆的位置关系练习题附答案](https://img.taocdn.com/s3/m/2c106b98d05abe23482fb4daa58da0116c171f80.png)
直线和圆的位置关系练习题(附答案问题1:已知直线方程为2x+3y-6=0,圆心坐标为(1,-2),半径为3,求直线和圆的位置关系。
解:首先,我们可以将直线方程转换为一般方程的形式:2x+3y-6=0,即3y=-2x+6,最后得到y=(-2/3)x+2。
接下来,我们可以计算直线与圆心的距离,使用点到直线的距离公式:d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)其中A、B、C分别代表直线方程的系数,而(x0, y0)是圆心的坐标。
代入直线的方程,我们得到:d = |2(1) + 3(-2) - 6| / √(2^2 + 3^2)= |-1| / √(4 + 9)= 1 / √13= √13 / 13根据圆的半径和直线与圆心的距离,我们可以得出以下结论:1.如果直线与圆心的距离大于圆的半径,即√13 / 13 > 3,则直线与圆没有交点,且直线与圆外部没有公共点。
2.如果直线与圆心的距离等于圆的半径,即√13 / 13 = 3,则直线与圆相切于一个点。
3.如果直线与圆心的距离小于圆的半径,即√13 / 13 < 3,则直线与圆有两个交点,且直线与圆内部有两个公共点。
综上所述,直线2x+3y-6=0和圆心坐标为(1,-2),半径为3的圆的位置关系为:直线与圆有两个交点,且直线与圆内部有两个公共点。
问题2:已知直线方程为x-2y+3=0,圆心坐标为(2,1),半径为2,求直线和圆的位置关系。
解:将直线方程转换为一般方程的形式:x-2y+3=0。
计算直线与圆心的距离:d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)代入直线的方程,我们得到:d = |1(2) + (-2)(1) + 3| / √(1^2 + (-2)^2)= |2 - 2 + 3| / √(1 + 4)= |3| / √5= 3 / √5根据圆的半径和直线与圆心的距离,我们可以得出以下结论:1.如果直线与圆心的距离大于圆的半径,即 3 / √5 > 2,则直线与圆没有交点,且直线与圆外部没有公共点。
直线与圆方程例题
![直线与圆方程例题](https://img.taocdn.com/s3/m/20029e3ca517866fb84ae45c3b3567ec102ddc28.png)
直线与圆方程例题直线与圆方程是数学中的重要内容,对研究平面几何关系非常关键。
下面我们将通过几个例题来探讨直线和圆的方程。
例题1:求直线与圆的交点已知直线L的方程为ax + by + c = 0,圆C的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。
要求求出直线L与圆C的交点坐标。
解法:首先,我们需要将直线L的方程代入圆C的方程。
将直线L的方程代入圆C的方程,得到: (ax + by + c - h)² + (y - k)² = r²展开并整理得: a²x² + 2abxy + b²y² + 2acx + 2bcy + c² - 2ahx - 2bhy - h² - 2hk +k² = r²移项并合并同类项得: (a² + b²)x² + (2abx + 2bcy - 2ahx - 2bhy) + (c² + k² - 2hk - r²) = 0这是一个二次方程,我们可以通过解二次方程的方法求出交点坐标。
例题2:判断直线与圆的位置关系已知直线L的方程为y = mx + n,圆C的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。
要求判断直线L与圆C的位置关系。
解法:我们知道,直线与圆的位置关系有三种情况:相离、相切或相交。
首先,我们需要将直线L的方程代入圆C的方程。
将直线L的方程代入圆C的方程,得到: (x - h)² + (mx + n - k)² = r²展开并整理得: x² - 2hx + h² + m²x² + 2mnx + n² - 2mkx - 2nhx + k² = r²移项并合并同类项得: (1 + m²)x² + (2mn - 2nh - 2hx)x + (h² + n² - 2mk - r²) = 0根据二次方程的判别式可以判断直线L与圆C的位置关系:若判别式大于0,则直线与圆相交;若判别式等于0,则直线与圆相切;若判别式小于0,则直线与圆相离。
直线与圆的方程典型例题
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高中数学圆的方程典型例题类型一:圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系.分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.解法一:(待定系数法)设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为222)(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得:1-=a ,202=r .所以所求圆的方程为20)1(22=++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为13124-=--=AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x .又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r .故所求圆的方程为20)1(22=++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22.∴点P 在圆外.例2 求半径为4,与圆042422=---+y x y x 相切,且和直线0=y 相切的圆的方程.分析:根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解.解:则题意,设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-:. 圆C 与直线0=y 相切,且半径为4,则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C . 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(,半径为3. 若两圆相切,则734=+=CA 或134=-=CA .(1)当)4,(1a C 时,2227)14()2(=-+-a ,或2221)14()2(=-+-a (无解),故可得1022±=a .∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ,或2224)4()1022(=-++-y x .(2)当)4,(2-a C 时,2227)14()2(=--+-a ,或2221)14()2(=--+-a (无解),故622±=a .∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ,或2224)4()622(=+++-y x .说明:对本题,易发生以下误解:由题意,所求圆与直线0=y 相切且半径为4,则圆心坐标为)4,(a C ,且方程形如2224)4()(=-+-y a x .又圆042422=---+y x y x ,即2223)1()2(=-+-y x ,其圆心为)1,2(A ,半径为3.若两圆相切,则34+=CA .故2227)14()2(=-+-a ,解之得1022±=a .所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ,或2224)4()1022(=-++-y x .上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形,而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形.另外,误解中没有考虑两圆内切的情况.也是不全面的.例3 求经过点)5,0(A ,且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.分析:欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点A ,故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上.解:∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切, ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上,又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等.∴5252y x y x +=-.∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x .又∵圆过点)5,0(A ,∴圆心C 只能在直线03=-y x 上. 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ,∴22)53(532-+=+t t t t .化简整理得0562=+-t t . 解得:1=t 或5=t∴圆心是)3,1(,半径为5或圆心是)15,5(,半径为55. ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x .说明:本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标得到圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.例4、 设圆满足:(1)截y 轴所得弦长为2;(2)被x 轴分成两段弧,其弧长的比为1:3,在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线02=-y x l :的距离最小的圆的方程.分析:要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,便可求得圆的标准方程.满足两个条件的圆有无数个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,若能求出这轨迹的方程,便可利用点到直线的距离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,进而确定圆的半径,求出圆的方程.解法一:设圆心为),(b a P ,半径为r . 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a .由题设知:圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90,故圆截x 轴所得弦长为r 2. ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2. ∴122+=a r .又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号,此时55min =d . 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二:同解法一,得52b a d -=.∴d b a 52±=-.∴2225544d bd b a +±=. 将1222-=b a 代入上式得:01554222=++±d bd b .上述方程有实根,故0)15(82≥-=∆d ,∴55≥d . 将55=d 代入方程得1±=b . 又1222+=a b ∴1±=a . 由12=-b a 知a 、b 同号.故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x . 说明:本题是求点到直线距离最小时的圆的方程,若变换为求面积最小呢?类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O :,求过点()42,P 与圆O 相切的切线. 解:∵点()42,P 不在圆O 上, ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为2=x .说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解.本题还有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于0解决(也要注意漏解).还可以运用200r y y x x =+,求出切点坐标0x 、0y 的值来解决,此时没有漏解.例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C :与0222222=++++F y E x D y x C :相交于A 、B 两点,求它们的公共弦AB 所在直线的方程.分析:首先求A 、B 两点的坐标,再用两点式求直线AB 的方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了避免求交点,可以采用“设而不求”的技巧.解:设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ,则有:0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①-②得:0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D .∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D . ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程. 又过A 、B 两点的直线是唯一的.∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D .说明:上述解法中,巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标,虽然设出了它们的坐标,但并没有去求它,而是利用曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度上说,这是一种“设而不求”的技巧,从知识内容的角度上说,还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识.它的应用很广泛.例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ,作这个圆的两条切线MA 、MB ,切点分别是A 、B ,求直线AB 的方程。
直线与圆的方程典型例题
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3
例10、求两圆x2y2xy20和x2y25的公共弦长
类型四:直线与圆的位置关系
例11、已知直线3x y 2 3
0和圆x2
y2
4,判断此直线与已知圆的位置关系.
例12、若直线y
x
m与曲线y
4
x2
有且只有一个公共点,求实数
m的取值范围.
解:∵曲线y
4
x2
表示半圆x2
y2
4( y
5
或圆心是(5 ,15),半径为5
5.
∴所求圆的方程为
(x 1)2
( y 3)2
5或( x 5)2
( y
15)2
125.
说明: 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标得到圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.
例4、 设圆满足:(1)截y轴所得弦长为2;(2)被x轴分成两段弧,其弧长的比为3 :1,在满足条件
.
设圆心O1到直线3x
4y
11
3
3
4
3
11
3.
0的距离为d,则d
32
42
2
如图, 在圆心O1同侧,与直线3x
4 y
11
0平行且距离为
1的直线l1与圆有两个交点,这两
个交点符合题意.
又r d 3 2 1.
∴与直线3x4 y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.
∴符合题意的点共有3个.
解法二: 符合题意的点是平行于直线3x4 y110,且与之距离为1的直线和圆的交点.设
0的距离为
2的点共有(
).
(A)1个
直线与圆的位置关系例题
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直线与圆的位置关系例题例题一:给定直线的方程为:y = 2x + 3,圆的方程为:(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9,判断该直线与圆的位置关系。
解答一:首先,我们可以观察到圆的圆心坐标为(1, 2),半径为3。
我们可以计算直线在x轴上的截距为3/2,也就是说直线与x轴的交点为(0, 3/2)。
接下来,我们可以将直线代入圆的方程来判断它们的位置关系:(0 - 1)^2 + (3/2 - 2)^2 = 91 + (−1/2)^2 = 91 + 1/4 = 95/4 = 9由于等式左边不等于右边,因此直线和圆没有交点,它们是相离的。
例题二:给定直线的方程为:x + y = 4,圆的方程为:(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4,判断该直线与圆的位置关系。
解答二:首先,我们观察到圆的圆心坐标为(2, 2),半径为2。
然后,我们可以令x = 0,来计算直线与y轴的截距,即直线与y轴的交点为(0, 4)。
接下来,我们将直线代入圆的方程来判断它们的位置关系:(0 - 2)^2 + (4 - 2)^2 = 44 + 4 = 4由于等式左边等于右边,因此直线和圆有交点,它们是相交的。
例题三:给定直线的方程为:y = -3x + 2,圆的方程为:(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4,判断该直线与圆的位置关系。
解答三:首先,我们观察到圆的圆心坐标为(1, -1),半径为2。
然后,我们可以计算直线在x轴上的截距为2/3,也就是说直线与x轴的交点为(0, 2/3)。
接下来,我们将直线代入圆的方程来判断它们的位置关系:(0 - 1)^2 + (2/3 + 1)^2 = 41 + (5/3)^2 = 41 + 25/9 = 49/9 + 25/9 = 434/9 = 4.由于等式左边不等于右边,因此直线和圆没有交点,它们是相离的。
例题四:给定直线的方程为:x - 2y = 6,圆的方程为:(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 9,判断该直线与圆的位置关系。
高二数学圆与直线的典型练习题
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高二数学圆与直线的典型练习题1. 已知直线L:2x + y – 5 = 0与圆C:x^2 + y^2 – 6x – 2y – 7 = 0,求它们的交点坐标。
解析:将直线L的方程代入圆C的方程,得到:(2x + y – 5)^2 + (x^2 + y^2 – 6x – 2y – 7) = 0化简得:5x^2 + 5xy – 15x + y^2 – 12y + 11 = 0再配方得:(x + y)^2 + 5(x + y) – (3x + 4y + 6) = 0设:m = x + y,n = 3x + 4y + 6代入上式:m^2 + 5m – n = 0此为一元二次方程,求解可得m和n的值得到x和y的值后,即可求得交点坐标。
2. 已知圆C1的圆心为A(3, –4),与直线L:3x – 4y + 5 = 0相切于点P,直线L的斜率为2,求直线AP的方程。
解析:直线L与圆C1相切于点P,说明PA⊥L,即斜率乘积为-1,即直线AP的斜率为-1/2。
已知点A(3, –4)和斜率-1/2,可得直线AP的方程为:y + 4 = (-1/2)(x – 3)3. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 + 4x – 6y – 12 = 0,求该圆的圆心坐标及半径长度。
解析:将方程变换为标准形式,得到:(x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 25圆心坐标为(-2, 3),半径长度为5。
4. 已知圆C的方程为(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 16,直线L的方程为2x – 3y + 5 = 0,求直线L与圆C的交点坐标。
解析:将直线L的方程代入圆C的方程,得到:(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 16化简得:4x^2 – 12xy + 4y^2 – 8x + 12y + 4 = 0再配方得:(2x – 3y + 2)^2 + 3(x – y + 2) – 16 = 0设:m = 2x – 3y + 2,n = x – y + 2代入上式:m^2 + 3n – 16 = 0此为一元二次方程,求解可得m和n的值得到x和y的值后,即可求得交点坐标。
直线与圆的方程例题
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1、已知直线方程为3x - 4y + 5 = 0,圆方程为x2 + y2 = 16,判断直线与圆的位置关系。
A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定(答案)C2、直线l过点P(2,3)且与圆x2 + y2 - 4x = 0相交于A、B两点,若弦AB的长度为2√3,则直线l的斜率可能为?A. 1B. -1C. 1或-1/7D. -1或7(答案)D3、给定圆方程(x - 1)2 + (y - 2)2 = 9和直线方程y = 2x + 1,求圆心到直线的距离。
A. √5B. 2√5C. 3√5D. 4√5(答案)A4、直线x - y + 1 = 0与圆x2 + y2 + 2x - 2y - 2 = 0相交,则交点个数为?A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个(答案)C5、已知直线方程2x - y - 3 = 0与圆方程x2 + y2 - 2x = 0,求直线被圆截得的弦长。
A. √6B. 2√6C. 3√6D. 4√6(答案)B6、圆x2 + y2 = 1与直线y = kx + b相切,若b = √2/2,则k的值为?A. 1B. -1C. ±1D. 0(答案)C7、直线l过原点且与圆x2 + y2 - 2y = 0相交,若交点构成的弦长为2,则直线l的方程为?A. y = xB. y = -xC. y = x 或 y = -xD. 无法确定(答案)C8、给定直线方程x + y - 1 = 0和圆方程(x - 2)2 + (y - 3)2 = 4,判断直线是否穿过圆。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对(答案)A9、圆x2 + y2 = 4与直线y = x + b相交,若交点构成的弦长为2√2,则b的值为?A. ±2B. ±√2C. 2D. -2(答案)A10、已知直线方程3x - 4y + 12 = 0与圆方程x2 + y2 - 6x = 0,求直线被圆截得的弦所在的直线方程。
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分析:要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,便可求得圆的标准方程.满足两个条件的圆有无数个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,若能求出这轨迹的方程,便可利用点到直线的距离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,进而确定圆的半径,求出圆的方程.
(2)当 时, ,或 (无解),故 .
∴所求圆的方程为 ,或 .
说明:对本题,易发生以下误解:
由题意,所求圆与直线 相切且半径为4,则圆心坐标为 ,且方程形如 .又圆 ,即 ,其圆心为 ,半径为3.若两圆相切,则 .故 ,解之得 .所以欲求圆的方程为 ,或 .
上述误解只考虑了圆心在直线 上方的情形,而疏漏了圆心在直线 下方的情形.另外,误解中没有考虑两圆内切的情况.也是不全面的.
解:依题意得,弦心距 ,故弦长 ,从而△OAB是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为 .
例10、求两圆 和 的公共弦长
类型四:直线与圆的位置关系
例11、已知直线 和圆 ,判断此直线与已知圆的位置关系.
例12、若直线 与曲线 有且只有一个公共点,求实数 的取值范围.
解:∵曲线 表示半圆 ,∴利用数形结合法,可得实数 的取值范围是 或 .
练习1:直线 与圆 没有公共点,则 的取值范围是
解:依题意有 ,解得 .∵ ,∴ .
练习2:若直线 与圆 有两个不同的交点,则 的取值范围是.
解:依题意有 ,解得 ,∴ 的取值范围是 .
3、圆 上到直线 的距离为 的点共有().
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
分析:把 化为 ,圆心为 ,半径为 ,圆心到直线的距离为 ,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 ,所以选C.
∴
解得: .
另外,直线 与圆 的公共点还可以这样来处理:
由 消去 后得: ,
此方程有实根,故 ,
解之得: .
说明:这里将圆上的点用它的参数式表示出来,从而将求变量 的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解.或者是利用其几何意义转化成斜率来求解,使问题变得简捷方便.
∴
解之得: , .
所以所求圆的方程为 .
解法二:(直接求出圆心坐标和半径)
因为圆过 、 两点,所以圆心 必在线段 的垂直平分线 上,又因为 ,故 的斜率为1,又 的中点为 ,故 的垂直平分线 的方程为: 即 .
又知圆心在直线 上,故圆心坐标为
∴半径 .
故所求圆的方程为 .
又点 到圆心 的距离为
.
∴点 在圆外.
2设点 是圆 是任一点,求 的取值范围.
分析一:利用圆上任一点的参数坐标代替 、 ,转化为三角问题来解决.
解法一:设圆 上任一点
则有 ,
∴ ,∴
∴ .
即 ( )
∴ .
又∵
∴
解之得: .
分析二: 的几何意义是过圆 上一动点和定点 的连线的斜率,利用此直线与圆 有公共点,可确定出 的取值范围.
解法二:由 得: ,此直线与圆 有公共点,故点 到直线的距离 .
4、过点 作直线 ,当斜率为何值时,直线 与圆 有公共点,如图所示.
分析:观察动画演示,分析思路.
解:设直线 的方程为
即
根据 有
整理得
解得
.
类型五:圆与圆的位置关系
问题导学四:圆与圆位置关系如何确定?
例14、判断圆 与圆 的位置关系,
例15:圆 和圆 的公切线共有条。
解:∵圆 的圆心为 ,半径 ,圆 的圆心为 ,半径 ,∴ .∵ ,∴两圆相交.共有2条公切线。
分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点 与圆的位置关系,只须看点 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.
解法一:(待定系数法)
设圆的标准方程为 .
∵圆心在 上,故 .
∴圆的方程为 .
又∵该圆过 、 两点.
例13圆 上到直线 的距离为1的点有几个?
分析:借助图形直观求解.或先求出直线 、 的方程,从代数计算中寻找解答.
解法一:圆 的圆心为 ,半径 .
设圆心 到直线 的距离为 ,则 .
如图,在圆心 同侧,与直线 平行且距离为1的直线 与圆有两个交点,这两个交点符合题意.
又 .
∴与直线 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.
练习:
1.求过点 ,且与圆 相切的直线 的方程.
解:设切线方程为 ,即 ,
∵圆心 到切线 的距离等于半径 ,
∴ ,解得 ,
∴切线方程为 ,即 ,
当过点 的直线的斜率不存在时,其方程为 ,圆心 到此直线的距离等于半径 ,
故直线 也适合题意。
所以,所求的直线 的方程是 或 .
2、过坐标原点且与圆 相切的直线的方程为
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赠人玫瑰,手留余香。
高中数学圆的方程典型例题
类型一:圆的方程
例1求过两点 、 且圆心在直线 上的圆的标准方程并判断点 与圆的关系.
分析:首先求 、 两点的坐标,再用两点式求直线 的方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了避免求交点,可以采用“设而不求”的技巧.
解:设两圆 、 的任一交点坐标为 ,则有:
①
②
①-②得两点的直线方程.
又过 、 两点的直线是唯一的.
∴两圆 、 的公共弦 所在直线的方程为 .
说明:上述解法中,巧妙地避开了求 、 两点的坐标,虽然设出了它们的坐标,但并没有去求它,而是利用曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度上说,这是一种“设而不求”的技巧,从知识内容的角度上说,还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识.它的应用很广泛.
例7、过圆 外一点 ,作这个圆的两条切线 、 ,切点分别是 、 ,求直线 的方程。
练习:
1:已知点 在圆 上运动.
(1)求 的最大值与最小值;(2)求 的最大值与最小值.
解:(1)设 ,则 表示点 与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时, 取得最大值与最小值.由 ,解得 ,∴ 的最大值为 ,最小值为 .
(2)设 ,则 表示直线 在 轴上的截距.当该直线与圆相切时, 取得最大值与最小值.由 ,解得 ,∴ 的最大值为 ,最小值为 .
例3求经过点 ,且与直线 和 都相切的圆的方程.
分析:欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点 ,故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上.
解:∵圆和直线 与 相切,
∴圆心 在这两条直线的交角平分线上,
又圆心到两直线 和 的距离相等.
∴ .
∴两直线交角的平分线方程是 或 .
根据 ,即求出圆 的切线的斜率为
或
进一步求出反射光线所在的直线的方程为
或
最后根据入射光与反射光关于 轴对称,求出入射光所在直线方程为
或
光路的距离为 ,可由勾股定理求得 .
说明:本题亦可把圆对称到 轴下方,再求解.
类型七:圆中的最值问题
例18:圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是
解:∵圆 的圆心为(2,2),半径 ,∴圆心到直线的距离 ,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 .
练习
1:若圆 与圆 相切,则实数 的取值集合是.
解:∵圆 的圆心为 ,半径 ,圆 的圆心为 ,半径 ,且两圆相切,∴ 或 ,∴ 或 ,解得 或 ,或 或 ,∴实数 的取值集合是 .
2:求与圆 外切于点 ,且半径为 的圆的方程.
解:设所求圆的圆心为 ,则所求圆的方程为 .∵两圆外切于点 ,∴ ,∴ ,∴ ,∴所求圆的方程为 .
.
上述方程有实根,故
,
∴ .
将 代入方程得 .
又 ∴ .
由 知 、 同号.
故所求圆的方程为 或 .
说明:本题是求点到直线距离最小时的圆的方程,若变换为求面积最小呢?
类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例5已知圆 ,求过点 与圆 相切的切线.
解:∵点 不在圆 上,
∴切线 的直线方程可设为
根据
∴
解得
又∵圆过点 ,
∴圆心 只能在直线 上.
设圆心
∵ 到直线 的距离等于 ,
∴ .
化简整理得 .
解得: 或
∴圆心是 ,半径为 或圆心是 ,半径为 .
∴所求圆的方程为 或 .
说明:本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标得到圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.
所以
即
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为 .
说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解.
本题还有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于0解决(也要注意漏解).还可以运用 ,求出切点坐标 、 的值来解决,此时没有漏解.
例6两圆 与 相交于 、 两点,求它们的公共弦 所在直线的方程.
解法一:设圆心为 ,半径为 .
则 到 轴、 轴的距离分别为 和 .
由题设知:圆截 轴所得劣弧所对的圆心角为 ,故圆截 轴所得弦长为 .
∴
又圆截 轴所得弦长为2.
∴ .
又∵ 到直线 的距离为
∴
当且仅当 时取“=”号,此时 .
这时有
∴ 或
又
故所求圆的方程为 或
解法二:同解法一,得