数学思维导引-六年级-数论综合三(21)
小升初六年级全册数学思维训练PDF版
小升初六年级全册数学思维训练PDF版目录第1讲图解法解题（一） (1)第2讲图解法解题（二） (4)第3讲长方体和正方体（一） (8)第4讲长方体和正方体（二） (12)第5讲分数简便运算（一） (15)第6讲分数简便运算（二） (19)第7讲分数简便运算（三） (22)第8讲分数简便运算（四） (26)第9讲巧用比解应用题（一） (29)第10讲巧用比解应用题（二） (33)第11讲巧用比解应用题（三） (37)第12讲对应法解题 (41)第13讲转化单位一（一） (44)第14讲转化单位一（二） (49)第15讲倒推法解题（一） (53)第16讲分数百分数应用题 (57)第17讲假设法解题（一） (60)第18讲假设法解题（二） (63)第19讲设数代入法（一） (66)第20讲设数代入法（二） (70)第21讲工程问题（一） (73)第22讲工程问题（二） (77)第23讲较复杂的百分数应用题 (81)第24讲成本和利润 (84)第25讲浓度问题 (87)第26讲假设法解题练习 (90)第27讲较复杂的行程问题 (94)第28讲圆柱和圆锥 (97)第29讲用比例解题 (105)第30讲不定方程 (109)应用题综合练习 (112)综合练习（一） (120)综合练习（二） (124)综合练习（三） (127)六年级数学思维训练第1讲图解法解题（一）例1：有甲乙两个车间，如果从甲车间调10人到乙车间，则两个车间的人数正好相等；如果从乙车间调20人到甲车间，则甲车间的人数恰好是乙车间的3倍，原来两个车间各有多少人？例2：甲乙两数的和是52，甲数的3倍与乙数的5倍的和是202。
求甲乙两数各是多少？例3：某学校运来两堆煤，第一堆比第二堆多40吨，两堆各用去30吨后，剩下的第一堆煤是第二堆煤的3倍。
求两堆煤原来各多少吨？-1-关注每一个孩子的成长让每一位学生都有进步例4：甲油库原存油是乙油库的6倍，若两油库各增加60吨后，则甲库的存量是乙库的3倍。
高思奥数导引小学六年级含详解答案第03讲 方程解应用题
第
兴趣篇
1.图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米。已知 厘米， 厘米， 厘米，求图形的面积。
【分析】
2. 如图所示， 等于多少度？
【分析】将这六个角用中心六边形的六个内角代换，利用六边形内角和为 ，列方程得
，
所以
3. 如图，平行四边形 的周长为75厘米。以 为底时高是14厘米，以 为底时高是16厘米。求平行四边形 的面积。
【分析】 ,根据面积相等，底的比与高的比成反比例，所以 ,因此 ,平行四边形 的面积是 平方厘米
4. 如图所示，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是 平方米、 平方米、 平方米和 平方米。已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？
【分析】 ,因此 , , ,所以 , ,因此 ,那么它的面积是 平方米
【分析】
从A点向BC做垂线交BC于F点，交BD于H点。
三角形ABH面积等于三角形CDE的面积，又四边形AEDH为平行四边形。
所以三角形AED的面积=75-45=30。
7. 在长方形 中， 、 、 、 分别是边 、 、 、 上的点，将长方形的四个角分别沿着 、 、 、 对折后， 点与 点重合， 点与 点重合。已知 =3， =4，求线段 与 的长度比。
2. 如图， 是正五边形， 是正三角形， 等于多少度？
【分析】 ,因为 ,所以 ,因此
3. 一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，如图所示。问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？
【分析】设 ，有 ，解得 ，所以 平方厘米
4. 图中大长方形被分成四个小长方形，面积分别为12、24、36、48。请问：图中阴影部分的面积是多少？
《仁华学校数学思维训练导引》解析(六年级)
仁华学校数学思维训练导引》解析（六年级）仁华思维导引解析１讲：计算综合仁华思维导引解析２讲：比例与百分数仁华思维导引解析３讲：工程问题仁华思维导引解析４讲：不定方程与整数分拆仁华思维导引解析５讲：数论综合之一仁华思维导引解析６讲：立体图形仁华思维导引解析７讲：几何综合之一仁华思维导引解析８讲：数字谜综合之三仁华思维导引解析９讲：计数综合之二仁华思维导引解析１０讲：逻辑推理之二仁华思维导引解析１１讲：方程与方程组仁华思维导引解析１２讲：行程与工程仁华思维导引解析１３讲：应用题综合之二仁华思维导引解析１４讲：数论综合之二仁华思维导引解析１５讲：数论综合之三仁华思维导引解析１６讲：几何综合之二仁华思维导引解析１７讲：计数综合之三仁华思维导引解析１８讲：最值问题仁华思维导引解析１９讲：构造与论证之二仁华思维导引解析２０讲：构造与论证之三仁华思维导引解析１讲：计算综合仁华思维导引解析２讲：比例与百分数仁华思维导引解析３讲：工程问题仁华思维导引解析４讲：不定方程与整数分拆仁华思维导引解析５讲：数论综合之一仁华思维导引解析６讲：立体图形仁华思维导引解析７讲：几何综合之一［分新与解I以下用E tS惡示E部舒播向的扶度・E菱表示EsE分竖向的长胆其曲下嫌富义粪饥耳f⅛%=E A tS B fl(T2.i^⅛+⅛=D fi+⅛,翩育吋D fll A m B fli="412∙HT1 A∣j+B橈+C1懂=E懂+州|对应为5+1 ~6＜那么C.对应⅛⅛3.而积CE积=1:2X 所以 A fi=B fi-C fi-^+c S対应肉岔所以桂=C整对应为3・那么快;⅛形的竖边渝^C S对应知，∙K方形笹也拘Eβ+!5*D fll对应天只6+4F5. 所以檢右形的妖导宽陆比丸5 9=5 3.第54页共179页仁华思维导引解析８讲：数字谜综合之三。
六年级思维导引1-3讲答案
22
第三讲 递推计数
提高巩固 1. 一个楼梯共有 10 级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这 10 级台阶，一共可以有 多少种不同的走法？
2. 小悦买了 10 块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃 3 块，直到吃完，共有多少种吃法？
将来的你，一定会感激现在拼搏的自己！
23
3. 用 l×2 的小方格覆盖 2×7 的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？
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3. 10 名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次，已知胜一场得 2 分，平一场得 1 分，负一 场不得分．比赛结果：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名 多 20 分，第四名得分与后四名所得总分相等，问：前六名的分数各为多少？
2
5．定义运算符号“△”满足： ab
ab 计算下列各式： ab
(3) (1 2)3 1(23)
(1) 100△102;
(2) (3△4) △5
6．已知 333
111 54 55 56 57 58 :□ 37 : ，那么方框所代表的数是什么？ 112 4567 8
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6
超常挑战
6 9 11 6 3 17 4 2 3 13 13 12 1. 1 (2 ) 7 3 2 33 4 17 3 4 3 2 1 7 11 21
2. 定义运算“Ω”满足： ①a1 a, ②an 2 [a(n 1)] a. 已知m4 30 。问： (1)m 等于多少？ (2)m Ω 8 等于多少？
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26
2. 用 10 个 1×3 的长方形纸片覆盖一个 10×3 的方格表，共有多少种覆盖方法？
华数思维导引六年级第十五讲：数论综合3
第28讲数论综合3内容概述具有相当难度，需要灵活运用各种整数知识，或与其他方面内容相综合的数论同题．典型问题2.有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除．那么这样的3个自然数的和的最小值是多少?【分析与解】设这三个自然数为A，B，C，且A=a×b，B=b×c,C=c×a，当a、b、c均是质数时显然满足题意，为了使A，B，C的和最小，则质数a、b、c应尽可能的取较小值，显然当a、b、c为2、3、5时最小，有A=2×3=6, B=3×5=15，C=5×2=10．于是，满足这样的3个自然数的和的最小值是6+15+10=31．4.对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30．那么在1，2，…，16这16个整数中，有“好数”多少对?【分析与解】设这两个数为a、b，且a<b，有a b=k×(a+b)，即111a b k +=.当k=2时，有1112a b+=，即(a-2)×(b-2)=22=4，有34,64a ab b==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，但是要求a≠b．所以只有36ab=⎧⎨=⎩满足；当k=3时，有1113a b+=，即(a-3)×(b-3)=32=9，有46,126a ab b==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，但是要求a≠b．所以只有412ab=⎧⎨=⎩满足；……逐个验证k的值，“好数”对有3与6，4与12，6与12，10与15．所以“好数”对有4个.6．甲、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然数N，然后由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的一个填入图28-1的某个方格中，每一方格只能填一个数字，但各方格所填的数字可以重复．当6个方格都填有数字后，就形成一个六位数．如果这个六位数能被N整除，那么乙获胜；如果这个六位数不能被N整除，那么甲获胜．设N小于15，问当N取哪几个数时．乙能取胜?【分析与解】当N取2，4，6，8，10，12，14这7个偶数时，当甲将某个奇数放到最右边的方格中，则这个六位数一定是奇数，奇数显然不能被偶数整除，所以此时乙无法取胜；而当N取5时，当甲在最右边的方格内填人一个非0非5的数字时，则这个六位数一定不能被5整除，所以此时乙无法获胜：此时还剩下1，3，7，9，11，13这6个数，显然当N取l时，乙一定获胜；当N取3或9时，只要数字对应是3或9的倍数时，这个六位数就能被对应的3或9整除，显然乙可以做到；当N取7，1l或13时，只要前三位数字和与后三位数字和的差对应是7，11，13的倍数时，这个六位数就对应是7，11，13的倍数，乙可以做到．于是，当N取1，3，7，9，11，13时，乙适当的操作能保证自己一定获胜．8.已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300．那么满足上述条件的自然数a，b，c共有多少组?【分析与解】300=12×25，是a、b的倍数，而12是a、b的最大公约数，所以a、b有5种可能，即a12 12×5 12×25 12 12b 12 12 12 12×5 12×25由于a、b中总有一个为12，则c=2x×3y×5z，其中x可以取0、1、2中的任意一个，y可以取0、1中的任意一个，这样满足条件的自然数a、b、c共有5×3×2=30组．10．圆周上放有N枚棋子，如图28-2所示，B点的那枚棋子紧邻A点的棋子．小洪首先拿走B点处的1枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A．当将要第10次越过A处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若N是14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子?【分析与解】设圆周上余a枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，小洪拿了2a枚棋子，所以在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子．．依次类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有32a枚棋子，…，在第1次将要越过A处棋子时，圆周上有39a枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之间，小洪拿走了2(39a-1)+枚棋子，所以N=2(39a-1)+1+39a=310a-1．N=310a-1=59049a-l是14的倍数，N是2和7的公倍数，所以a必须是奇数；又N=(7×8435+4) a-1=7×8435a+4a-1，所以4a-1必须是7的倍数．当a=21，25，27，29时，4a-1不是7的倍数，当a=23时，4a-1=91=7×13,是7的倍数．所以．圆周上还有23枚棋子．12．是否存在一个六位数A，使得A，2A，3A，…，500000A中任意一个数的末尾6个数码不全相同?【分析与解】显然A的个位数字不能为偶数，不然500,000A的后6位为000,000；而A的个位数字也不能为5，不然200，000A的后6位为000，000．于是A的个位数字只能为1，3，7，9．=，使得t×A≡111,111(mod 对于任何一个六位数A(个位数字为1，3，7，9)，均存在六位数t abcdef1,000,000).=>500,000,使得t×A≡111,111 (mod 1,000,000),那么那个A即为题中所求的如果存在t abcdef值.(说明见评注)当t=999,999,有A=888,889时,t A=888,888,111,111,显然满足上面的条件.所以888,889即为所求的A.= >500，000，使得t×A≡111，111(mod 1，000，000)，那么那个A即评注：如果存在t abcdef为题中所求的值．这是因为如果对于上面的A，还存在一个六位数B，使得B×A=111，111(mod 1,000，000)，那么有(t×A-B ×A)=0(mod 1，000，000)，即(t-B)×A≡0(mod 1，000，000)．因为A不含有质因数2、5，所以(t-B)为1，000，000的倍数，t-B≥1，000，000，那么t>1，000，000，与t为六位数矛盾．也就是说不存在小于等于500，000的t，使得t A的后六位为111，111，那么也不可能使得t A的后6位相同．14.已知m，n，k为自然数，m ≥ n ≥k，n2m+2n-2k是100的倍数,求m + n - k后的最小值．【分析与解】方法一：首先注意到100=22×52．如果n=k，那么2m是100的倍数，因而是5的倍数，这是不可能的．所以n-k≥1.m n k k m-k n-k2+2-2=2(2+2+1)被22整除,所以k≥2.设a=m-k，b=n-k，则a≥b，且都是整数．2a+2b-1被52整除，要求a+b+k=m+n-k的最小值．不难看出210+21-1=1025，能被25整除，所以a+b+k的最小值小于10+l+2=13．而且在a=10，b=1，k=2时，上式等号成立．还需证明在a+b≤10时，2a+2b-l不可能被25整除．有下表a≤3时，2a+2b-1<8+8=16不能被52整除．其他表中情况，不难逐一检验，均不满足a b2+2-1被25整除的要求．因此a+b-k即m+n-k的最小值是13．(2+2-2)．方法二：注意到有100=2×2×5×5，4∣m n km n k k m-k n-k m-k n-k因为所以k最小为2．2+2-2=2(2+2-1)2+2-l,(2+2-1)，令m-k=x, n-k=y还有25∣m-k n-k2+2≡l(mod 25)则有x y因为5去除2，22，23，24，25余数分别为2，4，3，1，2；余数是4个一周期.于是，x=4p+2，y=4q+1；或者是x=4P+3，y=4Q+3．(1)x=4p+2，y=4q+1时2+2-2=24+23-22=20不是100的倍数；当x=2，y=1，于是m n k2+2-2=28+23-22=260不是100的倍数；当x=6，y=l，于是m n k2+2-2=212+23-22=4100是 l00的倍数；当x=10，y=l，于是m n k(2)x=4P+3，y=4Q+32+2-2=25+25-22=60不是l00的倍数；当x=3，y=3，于是m n k2+2-2=29+25-22=540不是l00的倍数：当x=7，y=3，于是m n k其余的将超过(1)种情况，所以，最小为m+n-k=12+3-2=13．。
六年级奥数讲义-数论综合(含答案)
学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。
请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。
【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。
已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。
如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。
【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。
六年级数学专题思维训练—数论综合(含答案及解析)
六年级数学专题思维训练—数论综合1 公元前后，居住在墨西哥东部尤卡坦半岛的玛雅人的记数法是二十进制，他们基本的数字符号仅有两个：“．”和“一”，“．”来自玉米、豆子或卵石的形状，表示1；“一”是豆荚的形状，表示5．用这两个符号的上、下排列，组成了1～19各个数字（如下图所示）．2 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是——．3 (1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？4 如下图所示，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棒；摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棒．小明用1300根火柴棒，恰好摆放成一个m×m的“m-宫格”，问m =？4宫格 9宫格5 二十多位小朋友围成一圈做游戏，他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有——人．6 从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出种不同的挑法来（六个数字相同、排列次序不同的都算同一种）．7 能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有 个8 不大于2009的自然数中，被3整除且恰有一个数码是6的有 个9 试说明，将1+21+31+。
+401的和写成一个最简分数nm 时，m 不会是5的倍数10 数89之数码和为17．请问1、2、3、…、2008这2008个数之数码和的总和为多少？11 21ab 是一个四位数，由四个阿拉伯数字a 、b ，1，2组成的其他23个四位数的和等于 90669，求a 和6的值．12 N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N的最大值是13 在3和5之间插入6、30、20这三个数，得到3、6、30、20、5这样一串数．其中每相邻两个数的和可以整除它们的积（例如，3_』-6=9，9可以整除3×6；再如，6__-30=36，36可以整除6×30）．请你在4与3这两数之间的三个空中各填入一个非零的整数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积．4、_ ___、____、____、314 N为自然数，且N+l、N+2、…、N+9与690都有大于1的公因数.N的最小值为15 写一个首位数字比末位数字大2的n位数（n大于或等于3）A，交换首位数字和末尾数字，得n位数B，A、B相减（大数减小数），所得的差为n位数C，把C的首位数字和末尾数字互换得D，C和D的和是S，不论写怎样的符合要求的数A，所得S都是一个常数K的倍数，则K的最大值是参考答案及解析1 公元前后，居住在墨西哥东部尤卡坦半岛的玛雅人的记数法是二十进制，他们基本的数字符号仅有两个：“．”和“一”，“．”来自玉米、豆子或卵石的形状，表示1；“一”是豆荚的形状，表示5．用这两个符号的上、下排列，组成了1～19各个数字（如下图所示）．【答案】68097【分析】17+4×20+10×202+8×203=680972 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是——．【答案】36126或54189【分析】这个五位数为abcde，由题意abcde= 2007 (a+b+c+d +e）由于9¦ 2007，可得9¦abcde，则有9¦(a+b+c+d+e)， 2007×9=18063，这个五位数是18063的倍数，只可能为：18063,36126,54189,7225290315.经检验，36126和54189符合题意．3 (1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？【答案】 (1)999个，(2)999个．【分析】(l)由于每连续4个自然数中必有一个能被4整除，3998÷4=999……2．因此从1到3998这3998个自然数中能被4整除的一共有999个‘(2)为了方便，将0到3999这4000个整数都看成四位数abcd（不是四位则在前面补零，如12=0012）．由于b.c，d各有10种数字可任意选择，而且当b.c.d选定后．为满足a+b+c+d 能被4整除，千位数字“必唯一确定．事实上，若b+c+d=4K时，则a=o；若b+c+d=4K+l 时．则a=3 ：若b+c+d=4K+2时，则a=2；若b+C+d=4K+3，则a=1．（K为整数）综上所述，在o到3999这4000个整数中有1×10 ×10×10=1000（个）数的各位数字之和能被4整除．因此，从1到3998这3998个自然数中有1ooo-1=999(个）数的各位数字之和能被4整除，4 如下图所示，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棒；摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棒．小明用1300根火柴棒，恰好摆放成一个m×m的“m-宫格”，问m =？76田4宫格 9宫格【答案】25【分析】m2向的火柴棒有m+1列，每列有m根，也共有m(m+1)根．所以，摆放”，m2宫格”共用了2m( m+1) 根火柴棒．由2m(m+ l) =1300，得到m(m+1)=650=2×52×13=25×26．因此m=25 ．5 二十多位小朋友围成一圈做游戏，他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有——人．【答案】24【分析】情况一：．．跳过去不报”指一个小朋友报了6，下一个小朋友不报数而是拍手．再下一个小朋友报8．此时，每个人应当轮到的数和上一次轮到的数（报出来或者拍手跳过）之间的差等于总人数．小明本次应当拍手，而不是报出91．所以”总人数是91—19=72的约数．有72．36．24，18，……，其中是“二十多”的只有24．情况二：，．跳过去不报”指一个小朋友报了6，下一个小朋友直接报8．此时．把所有i 的倍数和带有数字7的数去掉之后，剩余的数排成一列，每个人应当轮到的数和上一次轮到的数在这个数列中的位置号之差等于总人数．从19到90这72个数中，含有数字7的有27,37,47,57,67,70到79.87．共16个．是i 的倍数且不含有数字7的有21,28,35,42,49,56,63,84共8令，所以排除掉之后剩下48个．总人数应当是48的约数，有48,24,16，……，其中是“二十多”的也只有24。
小学教育ppt课件教案数论思维训练的概念扩展与举一反三
创新问题设计
01
结合生活实际和数学知识，设计具有挑战性和创新性的问题，
激发学生的探索欲望。
问题பைடு நூலகம்战
02
鼓励学生独立思考、尝试解决问题，培养学生的挑战精神和解
决问题的能力。
应对策略
03
针对学生在解决问题过程中遇到的困难和挑战，提供有效的指
导和帮助，引导学生寻找解决问题的突破口。
跨学科综合应用案例分析
演绎证明过程展示及启示
演绎证明过程
演绎证明是一种从已知的事实和规则出 发，通过逻辑推理得出新结论的证明方 法。在数论中，演绎证明常用于证明定 理和推论。
VS
启示
演绎证明过程展示了数学思维的严谨性和 逻辑性。它告诉我们，在数学中，任何一 个结论都必须经过严格的证明才能被接受 。同时，演绎证明也启示我们在解决数学 问题时，要善于运用已知的知识和方法， 通过逻辑推理得出新的结论。
分数、小数和百分数的定义
分数表示部分与整体的关系，小数表示十进制分数，百分数表示 百分比。
相互转化
探讨分数、小数和百分数之间的相互转化方法，如分数与小数的互 化、百分数与小数或分数的互化等。
应用举例
通过举例说明分数、小数和百分数在日常生活和数学中的应用，如 折扣计算、比例分配等。
代数表达式及方程解法示例
归纳分类思想在数论中体现
归纳分类思想
归纳分类是一种重要的数学思维方法，它通过对问题的分析和归纳，将问题分类并找出各类问题的共 性和规律，从而简化问题的解决过程。
在数论中体现
在数论中，归纳分类思想常用于对整数性质的研究。例如，通过对整数的归纳分类，可以得出整数的 奇偶性、整除性等性质。同时，归纳分类思想也常用于解决数论中的计数问题，如通过分类讨论来求 解某些特定条件下的整数个数等。
数学思维训练导引(六年级答案部分)
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数学思维训练导引（六年级答案部分）
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高思导引六年级第12讲 计数综合三完整版
第12讲计数综合三内容概述建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会现察和发现递推关系；利用树形图、列表等方法处理某些递推关系．另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题．兴趣篇1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？答案：89种。
解析：将台阶数和走台阶的方法数列成一张表格，如下所示：走1、2级台阶的方法数可以枚举得到．走3级台方法数可以分两类得到：如果第一步走1级台阶，那么参考数表可得，剩下2级有2种走法；如果第一步走2级台阶，同样参考数表可得，剩下1级有1种走法；因此3级合阶的走法总数为1+2=3，如上表箭头所示．以此类推便可填满整张表格．2．卡莉娅买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？答案：274种解析：将巧克力的数量与吃法数列成一张表格，如下所示：吃1、2、3块巧克力的方法数可以枚举得到，吃4块巧克力的方法数可以分三类得到：如果第一天吃1块，那么参考数表可得，剩下3块有4种吃法；如果第一天吃2块，同样参考数表可得，剩下2块有2种吃法；如果第一天吃3块，那么剩下1块还有1种吃法，因此4块巧克力的吃法总数为1+2+4=7，如上表箭头所示．以此类推便可填满整张表格．3．用1×2的小方格覆盖7×2的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？答案：21种解析：找到左上角的方格，按照该方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两类讨论即可得递推规则，从而得到如下所示的一张表格．4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条线，最多可以分成几个部分？答案：11个；211个解析：由于新增直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分，所以可以将情况写为如下的一张数表：所以20条直线的时候最多把平面分成2+2+3+4+…+20=211个部分．5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中，请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？答案：22种解析：采用“传球法”，甲拿球，所以最开始甲标1，乙、丙都标o，接着甲必须由乙、丙传球给他，所以他下方的数也必须由乙、两累加给他；其余两人同理——这就是传球规则决定累加规则，依据这一累加规则，我们不停地将数表向下累加，每传一次球就多累加一行，最后得到第“6”行．这一行的三个数分别为22、21和21.他们分别表示6次传球后，由甲、乙、丙拿球的传球方法数．由于题目要求最后球回到甲手中，因此答案为22种．6．如图12—1，用红、黄、蓝三种颜色给一个五边形的各个顶点染色，同一条边的两端点不能同色，且顶点A必须染红色，请问：有多少种不同的染色方式？图12—1答案：10种解析：采用“传球法”，A染红色，所以在红色的下方标1，黄色和蓝色下方标0．B 不能再染红色，所以红色下面的标O，黄色和蓝色下方标1．后面的C、D、E 按照传球规则进行累加，注意到E不能染红色，所以有5+5=10种染法．7．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？答案：54个解析：首先要审清题，题目中说“有相邻两个数字的和为16”，并不是说所有相邻两个数字之和都是16.相邻两个数字之和为16有三种可能：79，97或88.(1)若百位和十位的数字之和为16，个位可以填O ～9，共3×10一30种填法．(2)若十位和个位的数字之和为16，百位可以填1～9，共3×9—27种填法，两种情况共计57种填法，考虑到797、979和888被算了两次，因此这样的三位数有57-3=54个．8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？答案：360个解析：满足条件的情况只有以下三种：1+2+4+5+6=18, l+2+3+4+8=18, 1+2+3+5+7=18，共计55A ×3=360个．9．一个十位数只含有数字1或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？答案：144个解析：十位数中不含有1，有1种，十位数中含有一个1，有110C =10种．十位数中含有两个l ，有29C = 36种．十位数中含有三个l ，有38C = 56种．十位数中含有四个1，有47C =35种．十位数中含有五个1，有56C =6种．共计144种，10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是1，这样的六位数有多少个？答案：72个解析：采用“传球法”，十万位可以填1、2、3、4、5，因此在下方分别填1．要求任意相邻两个数位之差都是1，因此万位1、2、3、4、5的下方分别填1、2、2、2、1．后面的数位同理，因此这咩的六位数共有9+18+18+18+9=72个，拓展篇1．老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇．如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？答案：927种解析：将作文数量与完成作文的方法数列成一张表格，如下所示：下面解释一下这张数表是如何累加得到的，写1、2、3篇作文的方法数可以枚举得到．写4篇作文的完成方法数可以分三类去数：如果第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下3篇有4种完成方法；如果第一天写2篇，同样参考数表可得，剩下2篇有2种完成方法；如果第一天写3篇，那么剩下1篇还有1种完成方法，因此4篇作文的完成方法总数为1+2+4=7，如上表箭头所示．接着分析5篇作文的完成方法数，仍然分三类：第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下4篇还有7种完成方法；第一天写2篇．那么剩下3篇还有4种完成方法：第一天写3篇，那么剩下2篇还有2种完成方法，因此5篇作文的完成方法数等于2+4+7=13……以此类推便可填满整张表格．2．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表．共有多少种覆盖方法？2.答案：28种解析：我们可以列出一个递推数表，将其表示如下：下面详细说明该问题的递推规律．覆盖1×3、2×3和3×3方格表的方法数可以枚举得到．接着分析覆盖4×3的表格有几种覆盖方法，如下匿所示，左上角的阴影方格在覆盖的时候有两种方法：竖着覆盖或横着覆盖．当竖着覆盖时，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2；当横着覆盖时，其下方的方格只能被横放的纸片盖住，因此只剩下一个1×3的方格表需要覆盖，方法数为1．由此可得4×3的表格的覆盖方法数为2+1=3．用同样的方法分析5×3的方格表，可得其覆盖方法数等于4×3的方法数加上2×3的方法数，因此等于3+1=4．接着以此类推即可，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2。
小学数学思维拓展(六年级)电子文档
第一讲分数的巧算（1）例：计算：练习1：计算：练习2：计算：第二讲分数的巧算（2）例：计算：练习1：计算：练习2：计算：第三讲分数的巧算（3）例：计算：练习1：计算：练习2：计算：第四讲分数的巧算（4）例：计算：练习1：计算：练习2：计算：第五讲比较分数大小（1）例：比较和的大小。
练习1：比较的大小。
练习2：比较的大小。
第六讲比较分数大小（2）例：比较的大小。
练习1：比较的大小。
练习2：比较的大小。
第七讲比较分数大小（3）例：比较的大小。
练习1：比较的大小。
练习2：比较的大小。
第八讲比较分数大小（4）例：比较的大小。
练习1：比较的大小。
练习2：比较的大小。
第九讲按比例分配问题（1）例：两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是3:1，而另一个瓶子中酒精与水的体积比是4:1，若把两瓶酒精溶液混合，求混合液中酒精与水的体积之比？练习1：有两瓶同样重的盐水，甲瓶盐水中盐与水重量的比是1:8，乙瓶盐水中盐与水重量的比是1:5。
现将两瓶盐水并在一起，求混合后的盐水中盐与水重量的比是多少？练习2：一块合金内铜和锌的比是2:3，现在再加入8克锌，共得新合金58克，求新合金内铜和锌的比？第十讲按比例分配问题（2）例：一个长方体的棱长总和是252厘米，它的长、宽、高之比是4:3:2，长方体的表面积是多少平方厘米？练习1：一个长方形的长与宽之比是18:5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加338平方厘米，原长方形面积是多少平方厘米？练习2：等腰三角形的一个顶角与一个底角的比是5:2，它的顶角和底角各是多少度？第十一讲按比例分配问题（3）例：甲、乙、丙三箱苹果共重60千克，如果从甲、乙两箱中各取出3千克苹果放入丙箱中，则甲、乙、丙三箱苹果的重量比是1:2:3，甲、乙、丙三箱苹果原来各重多少千克？练习1：大、小两桶油共重270千克，大桶里的油被用去20千克后，剩下的油与小桶里的油重量比是3:2，求大桶里原来装有多少千克油？练习2：一条路全长120千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1:2:3，某人骑自行车走各段路程所用时间之比依次是4:5:6，已知此人骑自行车上坡的速度是每小时10千米，求此人骑自行车走完全程需用多少小时？第十二讲按比例分配问题（4）例：六年级有140名同学被分成三组进行植树活动，已知第一组和第二组人数的比是2:3，第二组和第三组人数的比是4:5，这三个小组各有多少人？练习1：光明小学六年级学生人数与五年级学生人数的比是9:10，五年级学生人数与四年级学生人数的比是5:7，已知这三个学年共有学生330人，六年级有学生多少人？练习2：六(1)班去年男女生人数的比是3:4，今年又转来3名男生，这时男女生人数的比是5:6，六(1)班今年有学生多少人？第十三讲按比例分配问题（5）例：甲、乙、丙三人的水果糖比例是9:4:2，甲给了丙30块水果糖，乙也给了丙一些水果糖，比例变为2:1:1，问乙给了丙几块水果糖？练习1：将一堆玻璃球全部分给甲、乙、丙三个小朋友。
数学思维导引-六年级-构造论证二 (20)
第21讲构造论证二兴趣篇1、如图所示，在66⨯的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格。
现在已经建了两个哨所。
请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。
【分析】第二行第三列2、（1）把1,2,3，…，8,9按合适的顺序填在图1第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数。
（2）能否将1,2,3，…，10,11按合适的顺序填在图2第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数？【分析】（1）考虑到9只能和7配，先填入9和7；剩下的6只能和3配，4只能和5配，依次填好；所以从左至右填入的数依次是8，2，6，5，4，3，9，1，7；（2）考虑11只能和5配，那么没有数和4配，不能3、今有长度为1,2,3，…，198,199的金属杆各一根。
请问：能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成：（1）一个正方体框架；（2）一个长方体框架？【分析】（1）总长(1199)199219900+⨯÷=，不是12的倍数，不能；（2）能，此时长方体框架的长、宽、高之和为19925⨯，可以分别为4577、199、1994、老师对六位同学的三门功课语文、数学、体育进行了一次测验，六位同学的体育得分是1分或者2分，数学得分是1分、2分或者3分，语文得分是1分、2分、3分或者4分。
如果一位同学的三门功课成绩都不低于另一个同学的三门功课成绩，就说这个同学比另一个同学优秀。
测验完成后老师发现这六位同学谁也不比别人优秀，请问：这六位同学三科得分分别为多少？【分析】这6位同学在三门课上的得分分别是（1分，1分，4分），（1分，2分，3分），（1分，3分，2分），（2分，1分，3分），（2分，2分，2分），（2分，3分，1分）5、把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
问：能否使得每一条直线上的红圈个数都是奇数？【分析】如果每边红色圈数目都是奇数，那么5条边总红色圈个数就是奇数；而实际上每个红圈被计算了2次，总红色圈数目是2的倍数，是偶数，矛盾，所以不能6、（1）能否在44⨯的方格表的各个小方格内分别填入数1,2，…，15,16，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？（2）能否在55⨯方格表的各个小方格内分别填入数1,2，…，24,25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？【分析】（1）能，构造一个满足条件的表格12151634131456111278910（2）如果可以的话，每行数字和都是偶数，那么总数字和是偶数，而1~16的数字和是奇数，矛盾，所以不能7、如图是把一张66⨯的方格纸去掉两个角所得的图形。
高思导引六年级第12讲 计数综合三完整版
第12讲计数综合三内容概述建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会现察和发现递推关系；利用树形图、列表等方法处理某些递推关系．另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题．兴趣篇1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？答案：89种。
解析：将台阶数和走台阶的方法数列成一张表格，如下所示：走1、2级台阶的方法数可以枚举得到．走3级台方法数可以分两类得到：如果第一步走1级台阶，那么参考数表可得，剩下2级有2种走法；如果第一步走2级台阶，同样参考数表可得，剩下1级有1种走法；因此3级合阶的走法总数为1+2=3，如上表箭头所示．以此类推便可填满整张表格．2．卡莉娅买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？答案：274种解析：将巧克力的数量与吃法数列成一张表格，如下所示：吃1、2、3块巧克力的方法数可以枚举得到，吃4块巧克力的方法数可以分三类得到：如果第一天吃1块，那么参考数表可得，剩下3块有4种吃法；如果第一天吃2块，同样参考数表可得，剩下2块有2种吃法；如果第一天吃3块，那么剩下1块还有1种吃法，因此4块巧克力的吃法总数为1+2+4=7，如上表箭头所示．以此类推便可填满整张表格．3．用1×2的小方格覆盖7×2的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？答案：21种解析：找到左上角的方格，按照该方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两类讨论即可得递推规则，从而得到如下所示的一张表格．4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条线，最多可以分成几个部分？答案：11个；211个解析：由于新增直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分，所以可以将情况写为如下的一张数表：所以20条直线的时候最多把平面分成2+2+3+4+…+20=211个部分．5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中，请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？答案：22种解析：采用“传球法”，甲拿球，所以最开始甲标1，乙、丙都标o，接着甲必须由乙、丙传球给他，所以他下方的数也必须由乙、两累加给他；其余两人同理——这就是传球规则决定累加规则，依据这一累加规则，我们不停地将数表向下累加，每传一次球就多累加一行，最后得到第“6”行．这一行的三个数分别为22、21和21.他们分别表示6次传球后，由甲、乙、丙拿球的传球方法数．由于题目要求最后球回到甲手中，因此答案为22种．6．如图12—1，用红、黄、蓝三种颜色给一个五边形的各个顶点染色，同一条边的两端点不能同色，且顶点A必须染红色，请问：有多少种不同的染色方式？图12—1答案：10种解析：采用“传球法”，A染红色，所以在红色的下方标1，黄色和蓝色下方标0．B 不能再染红色，所以红色下面的标O，黄色和蓝色下方标1．后面的C、D、E 按照传球规则进行累加，注意到E不能染红色，所以有5+5=10种染法．7．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？答案：54个解析：首先要审清题，题目中说“有相邻两个数字的和为16”，并不是说所有相邻两个数字之和都是16.相邻两个数字之和为16有三种可能：79，97或88.(1)若百位和十位的数字之和为16，个位可以填O ～9，共3×10一30种填法．(2)若十位和个位的数字之和为16，百位可以填1～9，共3×9—27种填法，两种情况共计57种填法，考虑到797、979和888被算了两次，因此这样的三位数有57-3=54个．8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？答案：360个解析：满足条件的情况只有以下三种：1+2+4+5+6=18, l+2+3+4+8=18, 1+2+3+5+7=18，共计55A ×3=360个．9．一个十位数只含有数字1或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？答案：144个解析：十位数中不含有1，有1种，十位数中含有一个1，有110C =10种．十位数中含有两个l ，有29C = 36种．十位数中含有三个l ，有38C = 56种．十位数中含有四个1，有47C =35种．十位数中含有五个1，有56C =6种．共计144种，10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是1，这样的六位数有多少个？答案：72个解析：采用“传球法”，十万位可以填1、2、3、4、5，因此在下方分别填1．要求任意相邻两个数位之差都是1，因此万位1、2、3、4、5的下方分别填1、2、2、2、1．后面的数位同理，因此这咩的六位数共有9+18+18+18+9=72个，拓展篇1．老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇．如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？答案：927种解析：将作文数量与完成作文的方法数列成一张表格，如下所示：下面解释一下这张数表是如何累加得到的，写1、2、3篇作文的方法数可以枚举得到．写4篇作文的完成方法数可以分三类去数：如果第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下3篇有4种完成方法；如果第一天写2篇，同样参考数表可得，剩下2篇有2种完成方法；如果第一天写3篇，那么剩下1篇还有1种完成方法，因此4篇作文的完成方法总数为1+2+4=7，如上表箭头所示．接着分析5篇作文的完成方法数，仍然分三类：第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下4篇还有7种完成方法；第一天写2篇．那么剩下3篇还有4种完成方法：第一天写3篇，那么剩下2篇还有2种完成方法，因此5篇作文的完成方法数等于2+4+7=13……以此类推便可填满整张表格．2．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表．共有多少种覆盖方法？2.答案：28种解析：我们可以列出一个递推数表，将其表示如下：下面详细说明该问题的递推规律．覆盖1×3、2×3和3×3方格表的方法数可以枚举得到．接着分析覆盖4×3的表格有几种覆盖方法，如下匿所示，左上角的阴影方格在覆盖的时候有两种方法：竖着覆盖或横着覆盖．当竖着覆盖时，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2；当横着覆盖时，其下方的方格只能被横放的纸片盖住，因此只剩下一个1×3的方格表需要覆盖，方法数为1．由此可得4×3的表格的覆盖方法数为2+1=3．用同样的方法分析5×3的方格表，可得其覆盖方法数等于4×3的方法数加上2×3的方法数，因此等于3+1=4．接着以此类推即可，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2。
高思导引六年级第21讲 数论综合三完整版
第21讲 数论综合兴趣篇1．（1）求所有满足条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数．(2)求满足条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数． 答案：(1) 401、804 (2) 656解析：（1）枚举得，40开头的五位完全平方数是2012 =40401和2022 =40804，故这个三位数为401或者804.(2)口算就可以知道□80肯定不是完全平方数；因为892=7921，902=8100，所以80□□肯定不是完全平方数；因为2832=80089，2842=80656，所以三位数656是符合题意的最小的三位数．2．已知n!+3是一个完全平方数，试确定自然数行的值．（n!=1×2×3×…×n ）答案：0、1或3解析：枚举验证n 为0、1、2、3、4、…，得到n 为0、1或3时满足，因为当n ≥4时，n ！+3除以4余3，根据完全平方数除以4只能余0或余1，可知当n ≥4时，n ！+3不可能是完全平方数．3．一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7．如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．答案：1156解析：设变化前后的两个数为a 2和b 2（a 、b 均为两位数），根据题目有b 2-a 2=3333，利用平方差公式得(b+a)(b-a)=3333=3×11×101，因为a 、b 均为两位数，所以b+a<199，b-a< 100，所以只能是⎩⎨⎧==+，，33a -b 101a b 得a=34, b= 67，故原来的四位数是342=1156.4．请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除，答案：135、315、175、735解析：依题意，组成这个三位奇数的数字是1、3、5、7、9中的三个木同的数字．因为除9以外的任意2个奇数之和都不是9的倍数，所以9不能在这个3位数中出现，那么，只有可能是135、137、157、357这4种数字组合，分别尝试得到四个满足题意的数为135、315、175、735．5．在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除．请问：所有满足条件的两位数之和是多少？答案：528解析：设满足条件的两位数为ab，则按题意插入一个数字0后的三位数是b0a.依题意有ab|b0a，按位值原理展开得10a+b|100a+b，整理得10a+b| 90a+(10a+b)，推出10a+b|90a;或者整理得10a+b|10(10a+b)-9b，推出10a+b|9b.因为9b比90a相对较小，所以考虑10a+b| 9b，但发现也不好分析，所以变为ab|9b.若b取0时，ab取10，20，…，90均可；若b取1时，ab没有符合的情况；……依次讨论得到ab可以为10，20，30，…，90，15，45，18，和为528.6．用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数．要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大，请问：这两个三位数应该分别是多少？答案：324，756或432，756解析：先将540分解质因数540=22×33×5．很明显这两数的个位数字最多只有一个为5，所以这两个三位数不可能同时是5的倍数，那么这两个三位数的最大公约数最大可能是22×33=4×27或2×33 =2×27或22×32 =4×9等．可以看出为使得最大公约数尽可能大，肯定要让这两个数有公约数9.因为2+3+4+5+6+7=27，所以要想有公约数9，这两个三位数的数字和只能分别是9和18，那么只能是一个数由2、3、4组成，一个数由5、6、7组成．接着考虑到肯定要有公约数2，那么2、3、4的组合只能是234=2×32×13，324=22×34，342=2×32×19，432=24×33，5、6、7的组合只能是576=26×32和756=22×33×7，比较后发现有两组的最大公约数最大，一组是324和756，另一组是432和756．7．一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小自然数．答案：2312解析：积是99的倍数，所以积的数字和是9的倍数，且注意到积的数字和是偶数，奇位和是偶数，偶位和也是偶数，那么积的数字和最小是36，奇位和与偶位和都是18.为使乘积小，乘积的位数应该尽可能少，所以要尽可能多的用8，18=2+8+8，所以乘积最小是228888，那么所以乘数的最小值为228888÷99=2312.8．有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除．请问：满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？答案：31解析：先证明这3个数每个都至少含有2种质因数．证法一：假设这三个数为A、B、C，其中A只有一种质因数p，那么B不可能只有质因数p，否则B和A必定是倍数关系，同理，C也不可能只有质因数p．根据C|AB，假设C有除p外其他质因数q，可以得到q|B，同理，C所有除了p以外的质因数都是B的质因数；再根据B|CA，同理得，B所有除了p以外的质因数也是C的质因数，那么B_C必定是倍数关系，与题意矛盾，所以这3个数中不可能出现只含1种质因数的数，即每个都至少含有2种质因数．证法二：假设这三个数为A、B、C，其中A只有一种质因数p，设A=p a.因为A|BC，所以乘积BC中一定含有质因数p；但A不能整除B，也不能整除C，说明B、C中都含有p，且次数都低于a；又B不能整除A，C也不能整除A，所以B、C中都含有除了p以外的质因数，设B=□b×p b，C=□c×p c，其中□b表示B分解质因数后不包含p的部分，□c同理.因为B|AC，所以□b|□c；同理，因为C|AB，所以□c|□b，说明□c=□b，那么B 和C是倍数关系，与题意矛盾．所以这3个数中不可能出现只含1种质因数的数，即每个都至少含有2种质因数，若这三个数里一共恰有2种质因数，最小为2和3，最小符合题意的情况是22×32、2×33、23×3，和为36+54+24=114；若这三个数里一共恰有3种质因数，最小为2、3、5，最小符合题意的情况是2×3、2×5、3×5，和为6+10+15=31；若这三个数里一共恰有4种质因数，最小为2、3、5、7，在不考虑题意的情况下，3个不同的各含两种质因数的数最小是2×3、2×5、2×7，和为30，但这组不符合题意，很明显如果要符合题意，和肯定大于31；若这三个数里一共恰有5种质因数，最小为2、3、5、7、11，在不考虑题意的情况下，3个不同的各含两种质因数的数最小是2×7、2×11、3×5，和为51，大于31；很明显，当含有的质因数种类再增多时，三个数的和肯定都大于31．综上，满足上述条件的3个自然数之和最小是31．9．小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的小朋友保持分数不变．最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍数，那么他们至少玩了多少局？答案：9局解析：设小明和小华最后的分数分别为3a和3b，其中a>b，所以99|3a-36=3b[3(a-b)-1].因为[3(a-b)-1]和3互质，所以6最小为2且有11|3(a-b)-1，经尝试，a-b最小为5的时候符合，所以小华最少玩了2局，小明7局，一共9局．10.对于一个自然数N，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+l整除，那么在l至9这9个自然数中有多少个“破坏数”？答案：6个解析：很明显奇数一定是“破坏数”，4也是“破坏数”．0、2、6、8都不是“破坏数”，其中0添加到任何一个自然数的右端都能被1整除，2添加到自然数1的右端能被3整除，6添加到自然数5的右端能被7整除，8添加到自然数1的右端能被9整除．所以所求“破坏数”只有1、3、4、5、7、9这6个。
通用版小学6年级全册数学知识点汇总小六数学第21讲数论综合(教师版)
第二十一讲数论综合数论是历年小升初的考试难点,各学校都把数论当压轴题处理。
由于行程题的类型较多,题型多样,变化众多,所以对学生来说处理起来很头疼。
数论内容包括：整数的整除性,同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。
作为一个理论性比较强的专题,数论在各种杯赛中都会占不小的比重,而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。
基本公式1.已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地,若(a,b)=1,则有ab|c。
2.已知c|ab,(b,c)=1,则c|a。
3.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即n= p11a× p22a×...×p k k a(#)其中p1<p2<...<p k为质数,a1,a2,....a k为自然数,并且这种表示是唯一的。
该式称为n的质因子分解式。
4.约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如(#)那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(a k+1)所有约数和：(1+P1+P12+…p11a)(1+P2+P22+…p22a)…(1+P k+P k2+…p k k a)5.用[a,b]表示a和b的最小公倍数,(a,b)表示a和b的最大公约数,那么有ab=[a,b]×(a,b)。
6.自然数是否能被3,4,25,8,125,5,7,9,11,13等数整除的判别方法。
7.平方数的总结：①平方差：A2-B2=(A+B)(A-B),其中我们还得注意A+B, A-B同奇偶性。
②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分答案：把数字分答案,使他满足积是平方数。
④立方和：A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)。
8.十进制自然数表示法,十进制和二进制,八进制,五进制等的相互转化。
9.周期性数字：abab=ab×1011.全面掌握数论的几大知识点,能否在考试中取得高分,解出数论的压轴大题是关键。
六年级数学思维训练导引(第13讲至第24讲
六年级数学思维训练导引第13讲-----------第24讲第13讲应用题综合一内容概述与生话相关的形式多样的应用题，需要结合实际情形具体分析；条件比较隐藏，数量关系较为复杂的应用题；具有不肯定性，需要进行简单判断的应用题．典型问题兴趣篇1．一个骗子到商店买了5元的东西，他付给店员50元钱，然后店员把剩下的钱找给了他；这时他又说自己有零钱，于是给店员5元的零钱，而且要回了开始给出的50元，请问：那个骗子一共骗了多少钱？2．在水平地面上匀速行驶的拖沓机速度是每秒5米，已知拖沓机前轮直径0.8米，后轮直径1.25米．设某一时刻两轮上与地面的接触点为A 和B ，那么通过量少秒后，A 和B 再次同时与地面接触？（圆周率取近似值3）3．一个容器装了43的水，现有大、中、小三种小球，第一次把1个中球沉入水中；第二次将中球掏出，再把3个小球沉入水中；第三次掏出所有的小球，再把1个大球沉入水中．最后将大球从水中掏出，现在容器内剩下的水是最开始的92．已知每次从容器中溢出的水量情形是：第一次是第三次的一半；第三次是第二次的一半．求大、中、小三球的体积比，4．礼拜天早晨，冬冬发觉闹钟因电池能量耗尽停了．他换上新电池，估量了一下时刻，把闹钟的时刻调到8:00.然后冬冬离家前去天文馆．他抵达天文馆时，看到天文馆的标准时钟显示的时刻是9:15.一个半小时后，冬冬从天文馆动身以一样的速度回家，抵家时看到闹钟显示的时刻是11:20，这时冬冬应该把闹钟调到几点几分时刻才是准确的？5．从甲地到乙地有两种方式：①当即步行前去；②等待公共汽车坐车前去．表13-1中列出了从甲地到乙地所用的最短时刻随两地之间距离的转变情形，已知步行速度、汽车速度和等待公车的时刻都是固定的．请问：当两地相距24千米的时候，从甲地抵达乙地的最短时刻是多少分钟？6．某种商品由于实行入口限制，在生意时会征收高达40%的税．比如甲以100元的价钱卖出该商品，在收到买方100元货款以后，需要付给国家40元的税；乙以100元的价钱买人该商品时，则在付给卖方100元货款后，还需要再付给国家40元的税．此刻甲以45万元的总价买入一批该商品，然后再转手卖给乙，在整个生意交易进程中，甲还自己出钱支付了30000元的运费（该费用不征税）．为了让这笔生意不赔本，甲至少应以多少万元的价钱卖给乙？若是以此价钱成交，那么从头至尾国家从甲、乙身上收取了多少万元的税？7．一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7千米．从早晨7时开始，有18列货车由第11站按序发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第1站，速度都是每小时60千米．早晨8时，由第1站发出一列客车，向第11站驶去，时速是100千米．在抵达终点站前，货车与客车都不断靠任何一站，问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车前后相遇？8．有一只小蚂蚁在一根弹性充分好的橡皮筋上的A点，以每秒1厘米的速度向前爬行，从小蚂蚁开始爬行的时候算起，橡皮筋在2秒后、4秒后、6秒后、8秒后、10秒后……都均匀地伸长为原来的2倍．那么在开始爬行9秒后，这只小蚂蚁离A点多少厘米？9．有一座塔，从地面到塔顶要通过塔内部的螺旋形通道上去，如图13-1，通道的长度是420米，共转了三圈半．小明从P点以每分钟60米的速度下塔，小亮从Q点以每分钟40米的速度上塔，若是两人同时动身，那么恰好形成正上方与正下方的关系共有多少次？别离是动身以后几分钟？（两人相遇不算）10．阿奇读一本故事书，若是他第一天读25页，以后天天都比前一天多读5页，那么到最后一天时，还剩下47页；若是他第一天读40页，以后天天都比前一天多读5页，那么到最后一天时，还剩下37页．请问：这本故事书最少共有多少页？拓展篇1．甲、乙、丙、丁四个人去餐馆大吃了一顿，因为甲的钱包落在宿舍，所以饭钱就由乙、丙、丁三个人出．回到宿舍以后，甲找到了钱包，想要把钱还给其他三人，结果乙摆摆手说：“不用了，我终归还欠你4块钱，正好抵了．”丙说：“你把我那份给丁吧，我正好欠他9块钱．”于是甲只付钱给丁，给了31元．那么在餐馆付饭钱的时候，乙、丙、丁别离付了多少元？2．2008年3月1日起，我国实行新的税率标准，费用扣除标准调高为2000元／月．表13-2是工资、薪金所得项目税率表：表中“全月应纳税所得额”是指从月工资、薪金收入中减去2000元后的余额，它与相应税率的乘积就是应交的税款数．则在这种税率实行期间：(1)王先生某个月的工资、薪金收入为4480元，该月份他交纳的税款是多少元？(2)张先生某月份交纳了1165元个人所得税，该月份张先生工资、薪金收入是多少元？3．有大小一样，张数相同的黑白两种颜色的正方形纸片，阿奇先用白色纸片拼成中间没有裂缝的长方形，然后用黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形，以后又用白色纸片拼下去，……，如此重复拼．当阿奇用黑色纸片拼过5次以后，、黑、白纸片正好用完．请问：黑色纸片至少有多少张？4．有一辆杂技自行车，前轮的半径是1114分米，后轮的半径是313分米，那么当后轮转的圈数比前轮多10圈的时候，这辆车前进了多少米？（圆周率取近似值3.14.）5．两个农妇共带100个鸡蛋到市场上去卖，第一个农妇带的鸡蛋比第二个农妇少，但两人所卖的总钱数相同．第一个农妇对第二个农妇说：“我要有你那么多鸡蛋，按我的价钱卖就可以把它们卖180元，”第二个农妇回答说：“我要有你那么多的鸡蛋，按我的价钱卖只能把它们卖80元．”请问：两个农妇各有多少个鸡蛋？6．张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件．张先生对商店领导说：“若是你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件，”领导算了一下，若减价1%，由于张先生多订购，取得的利润反而比原来多52元．那么按张先生的要求，商店最多能够取得多少元利润？7．比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，而且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等．缝制的方式是：每块黑色皮子的5条边别离与5块白色皮子的边缝在一路；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一路，另3条边则与其他白色皮子的边缝在一路．若是一个足球表面上共有12块黑色正五边形皮子，那么，那个足球应有白色正六边形皮子多少块?8．如图13 – 2所示，相距15厘米的两条平行线a和b之间，有直角三角形A和长方形B．直角三角形A沿着直线a以每秒1厘米的速度向右运动，长方形B沿着直线b以每秒2厘米的速度向左运动．请问：A与B有重叠部份的时刻持续多久?其中重叠部份的面积维持不变的时刻有多长?9．如图13 – 3所示，A、B两点把一个周长为1米的圆周等分成两部份．蓝精灵从B点动身在那个圆周上沿逆时针方向作跳跃运动，它每跳一步的步长是詈米，若是它跳到A点，就会通过特别通道A曰滑向曰点，并从B点继续起跳，当它通过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍．已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米?10．汽车轮胎若是放在前轮能够行驶50000千米，若是放在后轮能够行驶30000千米．现有一辆汽车，允许在适当的时候将前轮和后轮互换，那么最多能够行驶多少千米而不需要购买新的轮胎?若是在行驶进程中只允许前、后轮对调一次，那么应当在行驶多少千米的时候将前、后轮对调?11．在A、B之问有一段笔直的公路，在其两个三等分点处各有一棵树．早上9：30时有一辆汽车从A动身，以固定的速度沿公路行驶，于当天早上10：00抵达B．一辆摩托车在当天早上9：25从B动身，以转变的速度开往A地．摩托车手记得他和汽车在某棵树处相遇，但记不清是哪棵树了，他只明白以摩托车的最快速度从B到A恰好要15分钟．若是摩托车手能够按照上述信息推断出自己是在哪棵树处碰到汽车的，那么摩托车最晚什么时问之前抵达A地?12．如图13—4所示，在一个大圆周上均匀散布着200个小球，沿顺时针方向依次编号为1，2，3，…，200．每一个小球均以各自编号的速度沿顺时针方向绕圆周运动(单位是米／秒)，当在某一个时刻有若干小球相遇在一路时，这些小球就会归并成一个小球，并以原来这些小球速度的平均值继续沿顺时针方向运动．通过充分长的时刻以后，圆周上最终剩下几个球在运动?速度等于多少?超越篇1．小军驾驶的轿车被警察拦了下来，原因是在高速路上超速驾驶，仪器记录上显示小军的平均速度达到了110千米／时．为了免于惩罚，小军辩白道：“适才我花了两个半小时通过这段高速路，我敢保证在每一个小时的时刻距离内，我开的距离都不超过100千米，因此我开车的平均速度不可能是110千米/时．你的记录仪器必然有问题．”于是警察又查询了电子记录，发觉小军所说属实，虽然总感觉有些不对劲，却又不知如何反驳小军，于足就放过了他．请问：小军的辫解错在哪里?2．甲、乙、丙三个人一路买一件古玩，他们三个人出钱的比是2：2：1．第一次三个人只付了总钱数的50％，乙比丙多付了2750元，可是这些钱中包括乙替甲垫付的550元．几天以后甲又单独向丙借了2000元，向乙借了500元、几天以后这三人发觉古玩的价钱提高了20％，并日由于甲缺钱。
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第22讲数论综合三典型问题◇◇兴趣篇◇◇1.（1）求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数。
（2）求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数。
【分析】（1）设这个三位数为abc 根据题意有240abc n =，即240000abc n +=，22200(200)(200)abc n n n =-=+-当201n =时，401abc =，五位数是220140401=当202n =时，804abc =，五位数是220240804=当203n =时，abc 不是三位数（舍去）所以满足条件的三位数是401，804（2）当这个自然数是一位数时，有280a n =，229841=，228784=，因此一位数不存在，同理两位数不存在当这个自然数是三位数时，有280abc n =，280000abc n =-，228480656=，所以最小自然数是6562.已知!n 3 是一个完全平方数，试确定自然数n 的值。
（n n !123 ）【分析】当6n ≥时，!()n m 3331 ，不可能是完全平方数，因此n 只能取1到5间的数，经试验1n =或33.一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7。
如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数。
求原来的四位数。
【分析】根据题意有2abcd m =，2(3)(3)(3)(3)a b c d n ++++=，因此223333n m -=，即()()311101n m n m +-=⨯⨯，且,n m 都是两位数，因此()()33101n m n m +-=⨯，所以67,34n m ==，原来的四位数是2341156=4.请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除。
【分析】根据题意是三位奇数，因此各位数字不能取偶数，当有一个数字是9时，必然另外两个数字有一个是偶数，因此三个数字只能是1,3,5,7，所以满足条件的三位奇数为135，315，175，7355.在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除。
请问：所有满足条件的两位数之和是多少？【分析】设满足条件的两位数为ab ，依题意有0a b mab =，即10010a b ma mb +=+，m 最大只能取10，最小取6，当10m =时，有10010010a b a b +=+，因此0b =这样的两位数有10,20,30,,90 ，同理当9m =时，有100909a b a b +=+，这样的两位数有45；同理当8m =时，有100808a b a b +=+，这样的两位数不存在；同理当7m =时，有100707a b a b +=+，这样的两位数有15；同理当6m =时，有100606a b a b +=+，这样的两位数有18；满足条件的两位数之和是102090154518528++++++= 6.用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大，这两个三位数应该分别是多少？【分析】23540235=⨯⨯，因此可以让这两个三位数尽可能都是4的倍数和9的倍数，所以只能是324，756或432，7567.一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数。
求满足要求的最小值。
【分析】当这个自然数为一位数a 时，9910000a a a a a ⨯=-=-，因此十位数字是9不成立；当这个自然数为两位数ab 时，9910000ab ab ab ab ab ⨯=-=-，因此个位数字是偶数，这样百位数字为奇数，不成立；当这个自然数为三位数abc 时，99100000abc abc abc abc abc ⨯=-=-，因此个位数字是偶数，这样千位数字为奇数，不成立；当这个自然数为四位数abcd 时，9910000abcd abcd abcd abcd abcd ⨯=-=-，因此个位数字、千位数字是偶数，百位、十位数字是奇数；且a c >，b d >，所以满足要求的最小值是23128.有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被被三个数整除。
满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？【分析】要求和最小，这三个数应尽量小，因此这三个数分别含质因数2,3,5，再根据题意只能是任意两个因数的积，即23⨯，35⨯，52⨯，所以满足上述条件的3个自然数之和最小是1015631++=9.小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的小朋友保持分数不变。
最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍数，那么他们至少玩了多少局？【分析】根据题意每人得的分数只能是3n 的形式，设小明得的分数为3n ，小华得的分数为3m ，所以有233311n m p -=⨯（,,m n p 都是整数，n m >），即23(31)311m n m p --=⨯，只需让31n m --是11的倍数，最小的是531242-=是11的倍数，所以最小7n =，2m =，因此至少玩729+=局10.对于一个自然数N ，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被1N +整除。
那么在1至10这10个自然数中有多少个“破坏数”？【分析】首先，奇数肯定是破坏数.因为任何一个自然数右端添上一个奇数，得到的新数必然还是奇数，不可能被偶数整除.4也是破坏数，因为末位是4的自然数肯定不是5的倍数.因此破坏数有6个备注：题目有问题，应将2008改为10◇◇拓展篇◇◇1.（1）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20；（2）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的后两位是04；（3）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20，后两位是04。
【分析】（1）设最小的自然数为一位数，有220a n =，即2200a n =-，经试验这样的一位数不存在；设最小的自然数为两，有位数有220ab n =，即22000ab n =-，当45n =时，满足条件，所以满足条件（1）的最小自然数是45；（2）同样的方法得到，满足条件（2）的最小自然数是48；（3）同样的方法得到，满足条件（3）的最小自然数是448；2.已知!n 4 等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数n 的值。
（n n !123 ）【分析】当4n ≥时，!!44(1)4n n +=⨯+，!14n +是奇数，不可能是3或5，所以4n <，经试验2n =3.找出三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，但是两两均不相质。
请写出所有可能的情况。
【分析】这三个数应该是,,a b b c c a ⨯⨯⨯的形式，其中,,a b c 都为质数，但不能有7，因为732120⨯=>，所以,,a b c 只能是2,3,5；因此有23,35,52⨯⨯⨯；223,35,52⨯⨯⨯；223,35,52⨯⨯⨯；即6，15，10；12，15，10；18，15，104.三个两位奇数，它们的最大公约数是1，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18个约数。
求所有满足要求的情况。
【分析】这三个数应该是,,a b b c c a ⨯⨯⨯的形式，其中,,a b c 都为质数，由于是奇数，所以不能有2，又因为三个数的最小公倍数共有18个约数，18233=⨯⨯，因此这三个数为2235,37,57⨯⨯⨯；2235,311,511⨯⨯⨯，即75,63,35;75,99,555.147102008⨯⨯⨯⨯⨯ 的末尾有多少个连续的零？【分析】只要看里面5的因子个数，因为2的因子个数一定足够多．1到2008里面共有(20081)31670-÷+=个数．其中，这里面的后625个一定含有125个5的倍数，25个25的倍数，5个125的倍数和1个625的倍数；前45个中，10、25、40、55、 130共含有11个因子5．所以，含有5的因子个数为125255111167++++=．6.一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数。
如果它后两位数字组成的两位数是质数，那么原来的四位数是多少？【分析】设这个四位数是abcd ，根据题意有abcd cd m ab ÷= ，即abcd cd m ab =⨯+，即100ab cd cd m ab +=⨯+，99(1)ab cd m =⨯-，所以cd 是11的倍数，且cd 是质数11cd =，cd ab >，所以10ab =，原来的四位数是10117.任意一些末两位是25的数相乘，它们的乘积末两位数仍是25，我们称25是“变不掉的两位数尾巴”。
显然000是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”。
【分析】设变不掉的三位数尾巴为x ，则有2x x -是1000的倍数，即33(1)25x x n -=⨯⨯（n为整数），等式左边是一个奇数乘以一个偶数，因此等式右边其中一个是125的奇数倍数，另一个是8的倍数，且是连续的自然数，因此这两个数分别为375、376或625、624，即“变不掉的三位数尾巴”只能是376，625，还有000，0018.在3和5之间插入6、30、20三个数，可以得到3、6、30、20、5这样一串数，其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积。
请你在4与3之间插入三个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积。
【分析】设满足条件的两个数为,a b ，因此有ab m a b =+（m 为整数）即111a b m+=，111a m b =-，令4a =，有111424=-，1114312=-，这样插入的第二个数为4或12，同理再考虑右边的3，而111326=-，这样第三个数只能是6,又因为两个相同的偶数必满足条件，所以答案有4，4，12，6，3或4，12，6，6，3或4，12，12，6，39.M 、N 是互位反序的两个三位数，且M N >。
请问：（1）如果M 和N 的最大公约数是7，求M ；（2）如果M 和N 的最大公约数是21，求M 。
【分析】（1）设这个三位数为abc ，逆序数为cba ，M 和N 的最大公约数是7，所以abc cba -，abc cba +应是7的倍数，即99()a c -，101()20a c b ++是7的倍数，满足条件的只有9,2,5a c b ===；8,6,1a b c ===，但861是3的倍数（舍去）,因此M 是952（2）通过第一问得知，M 和N 的最大公约数是21时，861M =10.用1、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数A 和B ，那么A 、B 、540这三个数的最大公约数最大可能是多少？【分析】因为23540235=⨯⨯，而用1、2、3、4、5、6组成两个三位数，最多有一个是5的倍数，最多有一个是9的倍数，可以组成两个是3,4倍数的三位数，即312,456，A 、B 、540这三个数的最大公约数最大可能是1211.请将1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行，使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数。