2019-2020学年天津市英华中学高一上学期期末考试数学试题

2019~2020学年度第一学期期末考试高一数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.下列函数中与函数2y x =相同的函数是( )A. 22x y x =B. y =C. 2y =D.2log 4x y =【答案】D 【解析】 【分析】可用相等函数两个重要判断依据逐项判断 【详解】A 项定义域0x ≠，定义域不同，A 错B 项2y x ==，对应关系不同，B 错C 项2y =定义域[)0,x ∈+∞，定义域不同，C 错D 项222log 4l 22og x xx y ===，定义域和对应关系都相同，D 对故选D【点睛】本题考查相等函数的判断方法，抓住两点：定义域相同，对应关系相同（化简之后的表达式一致）2.已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ） A. {﹣2，﹣1，0} B. {﹣1，0，1，2}C. {﹣1，0，1}D.{0，1，2} 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合B ,再由集合的交集运算可得选项.【详解】因为集合{2,1,0,1,2},{|(5)(1)0}{|15}A B x x x x x =--=-+<=-<<{}{}{}2,1,0,1,2|150,1,2A B x x ∴⋂=--⋂-<<=，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.3.()f x x x =，若()()2110f m f m ++->，则m 的取值范围（ ） A. (,1)-∞- B. (,2)-∞-C. (1,)-+∞D. (2,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】先去绝对值，求出函数()f x 分段函数，再根据函数的增减性解不等式即可 【详解】当0x ≥时，()2f x x =，当0x <时，()2f x x =-，则()22x x f x xx ⎧≥=⎨-<⎩，画出函数图像，如图：函数为增函数，()f x x x =，()f x x x x x -=--=-，()()0f x f x +-=，故函数为奇函数，()()()()()21102111f m f m f m f m f m >--++>⇔+--=，即()()211f m f m +->，因为函数在R 上单调递增，所以2112m m m +>-⇒>- 故选D【点睛】本题考查根据函数的增减性和奇偶性解不等式，属于中档题 4.已知1x >，则函数11y x x =+-的最小值是 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】分析：根据配凑法结合基本不等式求解即可. 详解：由题可知：110,1111311x x y x x x x >⇒->=+=-++≥-- 当x=2时取得最小值，故最小值为3 故选C.点睛：考查基本不等式求最值的简单应用，属于基础题. 5.不等式12x x +≥-0的解集（ ） A. {x |x ≤﹣1或x ≥2} B. {x |x ≤﹣1或x ＞2}C. {x |﹣1≤x ≤2}D. {x |﹣1≤x＜2} 【答案】B 【解析】 【分析】不等式102x x +≥-等价于(1)(2)0x x +-≥且2x ≠，解之可得选项. 【详解】不等式102x x +≥-等价于(1)(2)0x x +-≥且2x ≠，解得1x ≤-或2x >， 故选：B.【点睛】本题考查分式不等式的解法，将分式不等式转化为一元二次不等式是分式不等式常用的求解方法，但需注意分式中的分母不为零这个条件，属于基础题. 6.已知函数()f x 为偶函数，且对于任意的()12,0,x x ∈+∞，都有1212()()f x f x x x --()120x x >≠,设(2)a f =，3(log 7)b f =，0.1(2)c f -=-则（） A. b a c << B. c a b <<C. c b a <<D. a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数在()0,∞+的单调性，然后根据偶函数化简()()0.10.122f f ---=，然后比较2，3log 7，0.12-的大小，比较,,a b c 的大小关系.【详解】若()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则函数在()0,∞+是单调递增函数， 并且函数是偶函数满足()()f x f x -=， 即()()0.10.122f f ---=，0.1021-<<，31log 72<<()f x Q 在()0,∞+单调递增，()()()0.132log 72f f f -∴<<，即c b a <<. 故选C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型.7.已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()R A B =I ð（ ） A. ()1,3 B. (]1,3 C. [)3,+∞ D. ()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R ð的范围,最后根据交集的含义计算()R A B ⋂ð的结果.【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,R A =-∞-⋃+∞ð, 又因为()1,B =+∞,所以()[)3,R A B =+∞I ð. 故选C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解.8.已知函数321,3,()21,3,3x x f x x x x -⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩满足()3f a =，则a 的值是（ ）A. 4B. 8C. 10D. 4或10【答案】C 【解析】 【分析】分情况3x ≤和3x >解出a值,并注意判断是否满足分段的标准即可. 【详解】当3a ≤时,令32134a a -+=⇒=,不满足3a ≤； 当3a >时,令2132139103a a a a a +=⇒+=-⇒=-,满足3a >.所以10a =.故选C.【点睛】分段函数求等式时,需要注意分情况讨论,解出的值要检验是否满足定义域.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当0x <时，()1f x =，则当0x >时，()f x = ______．1 【解析】 【分析】根据()y f x =是奇函数，并且x ＜0时，()1f x =，可设x ＞0，从而得出()()1f x f x -==-，从而得出x ＞0时f （x ）的解析式．【详解】∵y =f （x ）是R 上的奇函数,且x ＜0时,()1f x =，∴设x ＞0，0x -<,则：()()1f x f x -==-， ∴()1f x =．1．【点睛】考查奇函数的定义，考查了求奇函数在对称区间上的函数解析式的方法．10.已知f （x ）是R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣5x ，则f （x ﹣1）＞f （x ）的解集为_____． 【答案】{23}x x -<< 【解析】 【分析】根据函数f （x ）是R 上的奇函数和已知条件得出函数()f x 和()1f x -的解析式，在同一坐标系中做出()f x 和()1f x -的图像，求出交点的坐标，根据不等式(1)()f x f x ->的解集可以理解为将()f x 的图象向右平移一个单位长度后所得函数()1f x -的图象在函数()f x 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由图示可得出解集.【详解】当0x <时， 0x ->，所以 ()()22()55f x x x x x -=--⨯-=+，又f （x ）是R 上的奇函数，所以 2()()5f x f x x x =--=--，所以225,0()5,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，所以()()()()22151,1(1)151,1x x x f x x x x ⎧---≥⎪-=⎨----<⎪⎩，即2276,1(1)34,1x x x f x x x x ⎧-+≥-=⎨--+<⎩， 做出()f x 和()1f x -的图像如下图所示，不等式(1)()f x f x ->的解集可以理解为将()f x 的图象向右平移一个单位长度后所得函数()1f x -的图象在函数()f x 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由22576,x x x x -=-+得3,x =所以()3,6A -，由22534x x x x --=--+得2x =-，所以()2,6B -， 所以不等式(1)()f x f x ->的解集为{23}x x -<<. 故答案为：{23}x x -<<.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求得对称区间上的解析式，图像的平移，以及运用数形结合的思想求解不等式，关键在于综合熟练地运用函数的奇偶性，解析式的求法，图像的平移，以及如何在图像上求出不等式的解集等一些基本能力，属于中档题.11.若函数()()log 12a f x x =++（0a >且1a ≠）,图象恒过定点()P m n ,,则m n +=_____；函数()2xnxg x e +=的单调递增区间为____________．【答案】 (1). 2 (2). (1,)-+∞ 【解析】 【分析】根据对数的运算性质可以直接求出点()P m n ,的坐标,这样可以计算出m n +的值；再根据复合函数的单调性的性质可以求出函数()2xnxg x e +=的单调递增区间.【详解】由函数()()log 12a f x x =++（0a >且1a ≠）的解析式可知：当0x =时, 2y =,因此有0,22m n m n ==⇒+=；因此()22222(1)1xxx xx g x e ee+++-===,由复合函数的单调性的性质可知：函数()2xnxg x e +=的单调递增区间为：(1,)-+∞.故答案为2；(1,)-+∞【点睛】本题考查了对数型函数过定点问题,考查了复合函数的单调性问题,掌握对数的运算特性是解题的关键. 12.若2312a b ==，则21a b+= ． 【答案】1 【解析】试题分析：由题意得23log 12,log 12a b ==，则121211log 2,log 3a b==， 所以()2121212212log 2log 3log 231a b+=+=⨯=. 考点：对数运算及其应用.【方法点晴】此题主要考查指数与对数互化，以及对数运算性质等有关方面的知识与技能，属于中低档题型.在此题的解决过程中，由条件中指数式转化为对数式，即232312log 12,log 12a b a b ==⇒==，利用对数运算的换底公式得121211log 2,log 3a b ==，代入式子得1212212log 2log 3a b+=+，再利用对数的运算性质，从而问题可得解.13.已知函数f （x ）＝a x ﹣2﹣4（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，则A 的坐标为_____． 【答案】(2,3)- 【解析】 【分析】根据指数函数的图像恒过点()0,1 ，令20x -=可得22,1x x a -==,可得()143f x =-=-,从而得恒过点的坐标. 【详解】∵函数2()4x f x a -=-，其中0,1a a >≠，令20x -=可得22,1x x a -==,∴()143f x =-=-, ∴点A 的坐标为(2,3)-， 故答案为: (2,3)-．【点睛】本题主要考查指数函数的图像性质：图像恒过定点()0,1，运用整体代换值的方法是本题的关键，属于基础题．14.13tan α=-，则sin 2α+2sinαcosα﹣3cos 2α＝_____．【答案】165-. 【解析】 【分析】根据sin 1tan cos 3a a a ==-，所以cos 3sin a a =-，再代入22sin cos 1a a +=，得出21sin 10a =，29cos 10a =，23sin cos sin (3sin )3sin 10a a a a a =-=-=-，代入所求的表达式可得值.【详解】因为sin 1tan cos 3a a a ==-，所以cos 3sin a a =-， 代入22sin cos 1a a +=，则21sin 10a =，29cos 10a =，23sin cos sin (3sin )3sin 10a a a a a =-=-=-，所以原式22sin 2sin cos 3cos αααα+-1627161010105=--=-， 故答案为：165-. 【点睛】本题考查同角三角函数的关系，灵活运用其商数关系和平方关系是解决本题的关键，属于基础题.三、解答题（本大题共5个小题，共50分）15.计算下列各式的值：（1）(10115352443--⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）57log 4322loglog 205log 53+--．【答案】(1)【解析】 【分析】代入指数运算法则和根式和分数指数幂的公式转化求解；（2）代入对数运算法则求解. 【详解】（1）原式11215533442255⎛⎫⎛⎫=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(21332222+=-=-=.（2）原式3322217log 27log 32log 2log 5log 544=-++-- 3712044=-+-=. 【点睛】本题考查分数指数幂和对数的运算法则，意在考查转化和计算能力，属于基础题型.16.已知602x A xx ⎧⎫-=>⎨⎬-⎩⎭，{}(1)(1)0B x x a x a =---+≤．（Ⅰ）当2a =时，求A B I ；（Ⅱ）当0a >时，若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{}23A B x x ⋂=<≤；（Ⅱ）5a ≥. 【解析】 【分析】（Ⅰ）解集合中对应不等式，化简集合，再由交集的概念，即可得出结果；（Ⅱ）根据A B B ⋃=得到A B ⊆，由0a >，得到{}11B x a x a =-≤≤+，根据集合包含关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】（Ⅰ）由602xx ->-，得到26x <<，则{}26A x x =<<； 当2a =时，由(1)(1)0---+≤x a x a 得(3)(1)0x x -+≤，则{}13B x x =-≤≤； 则{}23A B x x ⋂=<≤；（Ⅱ）若A B B ⋃=，则A B ⊆，而{}(1)(1)0B x x a x a =---+≤当0a >时，{}11B x a x a =-≤≤+ ，则1216a a -≤⎧⎨+≥⎩，得到5a ≥，所以5a ≥．【点睛】本题主考查集合的交集运算，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记交集的概念，集合间的基本关系，以及一元二次不等式的解法即可，属于常考题型. 17.（1）求关于x 的不等式()210x a x a -++>的解集；（2）已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为{1|3x x <或12x ⎫>⎬⎭，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.【答案】（1）详见解析；（2）()3,2--. 【解析】 【分析】（1）采用十字相乘法分解因式，对a 进行讨论即可 （2）由二次不等式20ax bx c ++<的解集为{1|3x x <或12x ⎫>⎬⎭分析可知2110,=023a ax bx c <++且和是方程的两根，1123和代入2=0ax bx c ++解出a,b 与a,c 的关系，再进行求解即可【详解】（1）2(1)01)()0x a x a x x a -++>-->不等式可化为（，①当1);a =∞∞U 时，不等式的解集为（-,1）(1,+ ②1-,);a a >∞+∞U 当时，不等式的解集为（，1）（ ③1-,);a a <∞+∞U 当时，不等式的解集为（，）（1 （2）由不等式20ax bx c ++<的解集为11{|}32x x x <>或可知2110,=023a ax bx c <++且和是方程的两根，由韦达定理得5-616b ac a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得51,66b a c a =-=，2221500,60,66cx bx a ax ax a x x ∴-+>+>+<可化为+得+5不等式所以，所求不等式的解集为（-3，-2）.【点睛】二次不等式与相对应的方程及二次函数对应的图像密不可分，结合图像性质理解方程和不等式也是我们常采用的方法，本题体现了不等式与方程，不等式与函数的转化思想 18.已知函数()121xaf x =++为奇函数． （1）求a 的值，并证明()f x 是R 上的增函数；（2）若关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）2a =-，证明见解析（2）13k >- 【解析】 【分析】(1)由奇函数在0处有定义时(0)0f =计算可得.证明()f x 在R 上为增函数时,设12x x <,再计算12()()f x f x -,化简证明12())0(f x f x -<即可.(2)先根据奇偶性化简为22(2)(2)f t t f k t -<-,因为函数单调递增,所以若解集非空,则2222t t k t -<-有解.再根据二次不等式恒成立的问题求解即可.【详解】（1）因为()f x 定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =,得2a =-.此时,221()12121x x x f x -=-=++, 2112()()2112x x x xf x f x -----===-++,所以()f x 是奇函数, 所以2a =-．任取12,x x ∈R ,且12x x <,则1222x x <,因为 122112211222()()(1)(1)21212221212(22)0,(21)(21)x x x x x x x x f x f x -=---++=-++-=<++所以12()()f x f x <, 所以()f x 是R 上的增函数.（2）因为()f x 为奇函数,f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空, 所以22(2)(2)f t t f k t -<-的解集非空,又()f x 在R 上单调递增, 所以2222t t k t -<-的解集非空, 即2320t t k--<在R 上有解,所以>0∆得13k >-. 【点睛】(1)单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量12x x >,再计算()()12f x f x -, 若()()120f x f x ->,则()f x 为增函数；若()()120f x f x -<,则()f x 为减函数.计算化简到最后需要判断每项的正负,从而判断()()12f x f x -的正负.(2) 利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成12()()f x f x <的形式,若()f x 在区间(),a a -上是增函数,则1212x x a x a a x a<⎧⎪-<<⎨⎪-<<⎩,求解出交集即可.若()f x 在区间(),a a -上是减函数,则1212x x a x a a x a>⎧⎪-<<⎨⎪-<<⎩,求解出交集即可.19.已知函数()222cos 1f x x x =+-．（1）求512f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调增区间．【答案】（1）0（2）最小正周期π，()f x 的单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k Z -∈ 【解析】 【分析】（1）直接代入数据计算得到答案.（2）化简得到()2sin(2)6f x x π=+，再计算周期和单调增区间. 【详解】（1）()222cos 1f x x x =+-2555)2cos ()1121212f πππ⎛⎫=⨯+- ⎪⎝⎭55)cos(2)1212ππ=⨯+⨯55)cos()66ππ=+0= （2）()222cos 12cos 2sin(2)62f x x x x x x π==++-=+ 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. 令ππ2π22π+262k x k π-≤+≤，解得ππππ+()36k x k k Z -≤≤∈ 所以()f x 单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k Z -∈【点睛】本题考查了三角函数求值，三角函数的周期和单调区间，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用.。