分数阶混沌系统的延迟同步
分数阶Newton-Leipnik混沌系统的同步
分数阶Newton-Leipnik混沌系统的同步
于红霞;杨利;黄硕;迟新利
【期刊名称】《沈阳工程学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(012)001
【摘要】对分数阶Newton-Leipnik混沌同步问题进行研究,为响应系统设计了适当的控制器以达到驱动系统和响应系统同步的目的.研究了一种新型的分数阶稳定性判定方法,并基于此完成了对直接控制器的设计方法的证明.分别对单吸引子和双吸引子的分数阶Newton-Leionik混沌系统问题进行仿真,结果证明了所提出方法的有效性.
【总页数】5页(P69-73)
【作者】于红霞;杨利;黄硕;迟新利
【作者单位】沈阳工程学院国际教育学院,辽宁沈阳110136;沈阳工程学院国际教育学院,辽宁沈阳110136;沈阳工程学院国际教育学院,辽宁沈阳110136;沈阳工程学院自动化学院,辽宁沈阳110136
【正文语种】中文
【中图分类】O415
【相关文献】
1.分数阶与整数阶混沌（超混沌）系统自适应广义矩阵同步 [J], 魏倩茹;裴东
2.分数阶混沌系统与整数阶混沌系统的投影同步 [J], 于思远
3.分数阶Newton-Leipnik混沌系统r滑模同步的两种方法 [J], 毛北行
4.基于分数阶积分器的分数阶混沌系统状态观测器同步研究 [J], 贾雅琼;蒋国平;俞斌
5.不确定分数阶超混沌Chen系统和分数阶Rössler系统的自适应异结构同步 [J], 杜永霞;李珊珊;高雅
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于混合反馈控制的分数阶混沌系统多延时完全同步
基于混合反馈控制的分数阶混沌系统多延时完全同步
李睿;张广军;姚宏;朱涛
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】2015(32)2
【摘要】为提高保密通信的安全性,本文首次将完全同步和延时投影同步的思想相结合提出了多延时完全同步。
针对Lorenz、金融分数阶两个不同的混沌系统,基于分数阶稳定性理论以及混合反馈控制方法,通过设计能够自动调节反馈增益系数的混合反馈控制器,实现了分数阶多延时完全同步。
根据前人提出的修正的预估校正算法对混沌系统进行数值仿真,结果表明由驱动系统与响应系统构建的多延时完全同步误差系统将最终稳定于零点,从而验证了混合反馈控制器的有效性和可行性。
【总页数】5页(P239-243)
【作者】李睿;张广军;姚宏;朱涛
【作者单位】空军工程大学理学院710051西安;西安交通大学生命科学与技术学院710049西安
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.5
【相关文献】
1.分数阶异结构超混沌系统完全同步与反相同步控制
2.基于线性反馈控制的分数阶混沌系统的Q-S同步研究
3.新分数阶混沌系统的线性反馈控制及投影同步分析
4.
基于分数阶积分器的分数阶混沌系统状态观测器同步研究5.分数阶Chen混沌系统的完全同步与反相同步
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
混沌系统的控制与同步
混沌系统的控制与同步一、《混沌系统的基本概念及研究现状》本文首先介绍混沌系统的基本概念，包括混沌现象的定义、混沌系统的特点和混沌系统的分类等。
在此基础上，进一步分析了混沌系统的研究现状，包括混沌系统的数学模型和研究方法等。
同时，对于混沌系统的控制与同步问题，提出了重要的研究意义和应用前景。
混沌系统是现代非线性科学的重要研究对象之一，具有很多独特的特性。
混沌现象的定义就是指混沌系统的演化过程具有不可预测的性质，而混沌系统的特点则包括灵敏依赖于初始条件、复杂的周期轨道结构和高维的状态空间等。
混沌系统的分类包括：一维映射系统、连续动力系统、时变动力系统和离散时间系统，每种系统都有其独特的研究方法和应用场景。
混沌系统的控制与同步问题是混沌系统研究的重要方向之一，也是当前热门的研究领域。
在工程应用中，混沌系统的控制与同步问题具有广泛的应用前景，尤其是在通信、图像处理、密码学等领域有着很大的应用潜力。
因此，深入研究混沌系统的控制与同步问题，对于推动混沌系统原理的深入发展，实现混沌应用的工业化具有积极的意义。
总而言之，对于混沌系统的基本概念及研究现状的探讨，有助于了解混沌现象的本质以及混沌系统的一些基本特征，从而为混沌系统的控制与同步问题的研究奠定了基础。
二、《混沌系统的数学模型及控制方法》本文针对混沌系统的数学模型和控制方法进行了详细的分析，包括混沌系统数学模型的建立、混沌系统的各种控制方法以及混沌系统的控制效果评价等。
同时，本文还对混沌系统控制中常用的反馈控制、开环控制，混沌控制理论及其应用等相关内容进行了介绍。
混沌系统的数学模型建立对于混沌系统研究具有至关重要的作用，数学模型不仅是混沌系统研究的基础，而且也是设计混沌控制系统的核心。
混沌系统的控制方法包括：开环控制、反馈控制、预测控制等，其中反馈控制是最为常见和有效的一种控制方法。
混沌控制理论及其应用可以用于传统的混沌系统，也可以应用于更为复杂的混沌网络系统、混沌系统的外部控制和混沌系统的同步问题等。
混沌系统的时间延迟同步误差分析!-物理学报
这一方面的研究工作 2 在物理学报等刊物上也发表 大多数 2 到目前为止， 论文都是在理想的情况下进行研究， 其中一些论文 只是将混沌信号简单替代现代通信中的载波信号或 替代加密体制中的密码序列 2 由于离散混沌系统在 有限精度的计算机上迭代可等效为一个有限自动 机， 迭代出来的时间序列仍然是一个周期序列 2 这 样的混沌时间序列与利用线性反馈移位寄存器进行 非线性组合前馈和步控或钟控而产生的伪随机序列 的主要差别在于前者是十进制的伪随机序列， 而后 者是二进制的伪随机序列 2 而用连续混沌系统所产 了有关这一方面的论文
［"#—$%］ 研究 由于恒等同步是在理想 ! 比如同步问题：
（没有噪声和延迟） 的情况下， 在驱动混沌系统和响 应混沌系统参数空间的相同点上才发生 ! 因此， 恒 等同步的方案不能作为实际混沌通信的同步方案 ! 对于现实的物理世界， 信道具有噪声， 混沌同步信号 在传输过程中必然叠加上其他信号 （包括直流、 正弦 信号、 语音信号、 白噪声和高斯噪声） ， 要保证混沌系 统之间的恒等同步是不可能的， 因此对混沌同步信 号上叠加其他信号对同步造成的影响必须有一个定 量的分析 （此研究将在 &’() ! *’+, ! 杂志上发表） ! 在 现代通信中， 为了保证接收系统所产生的正弦信号 与发射系统的正弦信号同步， 不但要调频， 而且还要
混沌系统的两个重要物理特性是它产生的信号 具有宽带功率谱和对初值极端敏感， 使得混沌信号 具有高度的随机性， 从而可用混沌信号伪装有用信 息 2 自从 !’’& 年美国海军研究室的 *+,-./ 和 0/..-1 ［!—#］ 提出混沌自同步方案 以来， 在国际上出现了利 用混沌伪装或加密有用信息的研究热潮， 在众多杂 志上以及各种会议都发表了有关混沌同步、 混沌伪
基于线性分离实现分数阶超混沌系统的投影同步
投影同步：一种控 制方法，通过将一 个系统的状态投影 到另一个系统的状 态空间中，实现两 个系统的同步。
分数阶超混沌系统的特性
分数阶导数：与整数阶导数相比，分数阶导数具有更为复杂的动态行为
超混沌性：分数阶超混沌系统具有多个正的Lyapunov指数，表现出更为复杂的动力学 行为
投影同步：通过线性分离方法实现分数阶超混沌系统的投影同步，能够有效地控制系统 的动态行为
原理实现：通过线性分离方法，将分数阶超混沌系统的状态空间划分为两个子空间，然后通过 投影同步技术实现两个系统状态的同步。
数值模拟与实验验证
数值模拟方法：采用合适的数值方法对分数阶超混沌系统进行模拟，以验 证投影同步的有效性。
实验验证：通过搭建实际硬件平台，对分数阶超混沌系统进行实验验证， 以检验投影同步在实际系统中的表现。
结果分析：对数值模拟和实验验证的结果进行分析，比较不同参数下的投 影同步效果。
结论：总结基于线性分离的分数阶超混沌系统投影同步的优缺点，为后续 研究提供参考。
基于线性分离的分数阶超混沌系统投影同步的优势与局限性
优势：能够实 现更高效的同 步，提高系统 的稳定性和鲁
棒性
优势：具有更 广泛的应用场 景，可用于控 制、信号处理
分数阶超混沌系统的应用前景
分数阶超混沌系统在控制领域的应 用
分数阶超混沌系统在优化和机器学 习领域的应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
分数阶超混沌系统在信号处理和通 信领域的应用
分数阶超混沌系统在电力系统领域 的应用
04 投影同步原理
投影同步的基本概念
定义：投影同步 是一种通过比较 两个或多个系统 的状态变量，实 现系统间同步的
应用价值：分数阶超混沌系统在信号处理、图像处理、保密通信等领域具有广泛的应用 前景
分数阶系统有限时间稳定性理论及分数阶超混沌Lorenz系统有限时间同步
2011 中国物理学会 Chinese Physical Society 100507-1
http ： / / wulixb． iphy． ac． cn
物 理 学 报
Acta Phys10 （ 2011 ）
100507
求这 些 初 始 条 件 具 有 相 同 的 意 义 或 者 性 质， 而 Caputo 分数阶微分允许 非 同 质 的 初 始 条 件 ． 本 文 采 用 Caputo 定义研究 ． 首先 介 绍 与 本 文 相 关 的 Caputo 分数阶微分相关性质及理论 ． 性质 1
a
t
－ α + n － 1 （ n）
f
（ τ） dτ （ 2）
n － 1 ＜ α ＜ n， n∈N．
R-L 分数阶微分需要预先给定初始条件并且 要
* 国家自然科学基金（ 批准号： 50875132 ） 和南通大学自然科学基金（ 批准号： 10Z021 ） 资助的课题 ． 通讯联系人 ． E-mail ： hjb2008 @ 163. com
(
(
) )
1 α
3. 分数阶系统有限时间稳定性理论
定理 1
C a α t
4. 有限时间同步分数阶超混沌 Lorenz 系统
分数阶超混沌 Lorenz 可以表示为 dα x1 = a（ x2 － x1 ） + x4 ， dtα （ 7） dα x 2 = cx 1 － x 1 x 3 － x 2 ， dtα dα x 3 = x 1 x 2 － bx 3 ， dtα dα x 4 = － x 2 x 3 + rx 4 ， dtα b = 8 /3， c = 28 ， r = － 1 ． 以分数阶系统 其中 a = 10 ， （ 14 ） 为驱动系统， 设响应系统为
不同阶分数阶混沌系统的同步与参数辨识李安平
246
2013， 49 （4）
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
A( x t ) + A( x t )T ， 若 AH (t ) 2 所有元素连续有界， 且存在一个正常数 σ ( > 0) ， 使得 AH (t )
在实际工作中混沌系统的参数由于干扰或各种其他因素 的影响经常是未知的， 因此研究参数未知的不确定混沌系 统 同 步 与 辨 识 有 重 要 意 义 [12-14]。 在 有 未 知 参 数 存 在 情 形 下， 文 [11]的方法不再适用， 而且关于不同阶分数阶混沌系 统之间的参数辨识尚未见报道。 本文讨论参数不确定分数阶混沌系统用不同阶同结 构系统来同步和参数辨识， 利用分数阶非线性时变系统稳 定性理论， 给出分数阶系统用不同阶的分数阶系统来同步 和参数辨识的方法， 实例实现了不确定分数阶 Chen 通过不 同阶的分数阶 Chen 系统来同步和参数辨识。理论和实验 仿真说明了方法的有效性。
2
分数阶微积分
分数阶微积分有 300 多年的历史， 其定义有很多种， 常
1in
使 得 AH 所 有 的 特 征 值 都 满 足 λ i (t ) = a ii min (- a ii )( > 0) ，
-σ < 0 ， 因此由定理 2 可得， 系统渐近稳定。
用的有 Grunwald_Letnikov （GL） ， Riemann_Lionville （RL） ， Caputo’ s 定义。分数阶微分方程的计算方法有两大类： 一 种是频域算法， 一种时域算法。本文中采用 Caputo’ s 定义 和预测 -校正 （predictor-correctors） 时域数值算法。 Caputo’ s 分数阶微分定义为：
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步就是利用滑模控制技术
来对金融系统中出现的混沌进行同步。
它主要使用了分数阶微积分方
法来精确描述时滞存在的金融系统。
借助滑模控制，可以用一个适当
的控制功能来改变金融系统中混沌特性的各个阶段，从而有效地实现
混沌同步。
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步技术中，首先需要对金
融系统建立一个时滞分数阶微积分模型。
然后，构建一个合适的控制器，在不同的时期调整金融系统中的混沌特性。
分数阶微积分相比传
统的积分微分数学模型，具有更好的精确度，能够更好地反映时滞存
在的金融系统的变化趋势。
在滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步技术中，控制器的设
计非常重要，因此，控制器的设计通常结合了Lyapunov技术、鲁棒滑
模技术、Fuzzy技术等一系列技术方法，将复杂的金融系统变成一个简
单的可控制系统。
利用这种技术，可以用一系列精心设计的控制器来
调整金融系统中混沌特性，从而实现混沌同步。
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步技术在金融系统中的应
用非常广泛，能够有效的解决复杂的金融系统问题，提高金融系统的
可靠性和可靠性。
这一技术可以为复杂的金融系统设计提供新的思路，为金融系统的高效运营提供支持。
分数阶神经网络的混沌特性及其同步研究
摘要分数阶微积分是一个与整数阶微积分有同样长历史的课题，但直到近几十年，因其在物理和工程中的应用，才又重新引起了人们的重视。
它将常见的微分和积分运算推广到任意实数阶，非常适合用来描述那些有记忆和遗传特性的材料和过程。
混沌是非线性动力学系统中特有的一种运动形式，因其局部不稳定、非周期、伪随机、遍历等特性，被广泛应用于密码学、保密通讯、图像数据压缩、高速检索、模式识别等领域。
如今，分数阶非线性系统的复杂动力学研究已经成为一个热门话题，大量研究专注于分数阶系统中混沌的产生，控制与同步。
本文主要研究了分数阶Hopfield型延时神经网络和分数阶细胞神经网络中的复杂动力学行为，利用分数阶微分方程稳定性理论和Matlab数值仿真工具对这两类系统中的混沌现象的产生做了定性和定量分析。
同时针对这两类神经网络分别设计了合适的控制器,实现了混沌同步，通过数值仿真验证了控制方法的有效性。
具体研究内容如下：第一章，详细介绍了分数阶微积分的定义及其数值方法，混沌的定义、基本特征及分析方法，阐述了混沌同步的概念和同步方法。
第二章，提出了一类分数阶Hopfield型延时神经网络并研究了该系统的复杂动力学特性。
分岔分析与相图的一致性验证了系统中混沌现象的存在。
确定了系统随阶数增大的倍周期分岔通往混沌的道路。
分别设计控制器，实现了两个具有相同或不同阶次的驱动—响应系统的同步。
第三章，提出了一类分数阶四细胞神经网络并发现了该系统中的超混沌现象。
分别确定了系统出现超混沌、混沌、周期轨道的参数范围。
提出了一种基于滑模控制技术(Sliding Mode Control) 的分数阶系统同步方法，并针对分数阶四细胞神经网络超混沌系统讨论了驱动—响应系统的完全同步，异结构同步和广义同步三种不同的同步情况。
关键词：分数阶，混沌，超混沌，神经网络，混沌同步，滑模控制ABSTRACTFractional calculus, an old mathematical topic, has the same long history as integer order calculus. In recent decades, it has been attracted researchers' attention due to its applications to physics and engineering. Fractional calculus is a generalization of integration and differentiation to an arbitrary real number order. Nowadays, it has been realized that many systems can be elegantly described with the help of fractional-order systems, especially in the case of description of memory and hereditary properties of various materials and processes. Chaos, a particular behavior of nonlinear dynamical system, is widely used in cryptography, secret communications, image data compression, retrieval and pattern recognition fields, because of its characteristics such as local instability, non-periodicity, pseudo-randomness and ergodicity. Today, the study on fractional-order nonlinear system dynamics has become a hot topic, and plenty of research focus on the generation, control and synchronization of chaotic systems.This paper investigates the complex dynamics behaviors in fractional-order Hopfield delayed neural networks and cellular neural networks. With the help of fractional differential equation stability theory and Matlab, these two kinds of systems are analyzed both qualitatively and quantificationally. Then, different controllers especially for these two kinds of neural networks are designed to achieve the chaos synchronization. Numerical simulation of the synchronization confirms the effectiveness of the control methods. Concrete contents are as follows:In chapter 1, the definition and numerical methods of fractional-order differentiation are introduced in detail. The definition, essential feature and analysis methods of chaos are recommended. The concept and methods of chaos synchronization are described briefly.In chapter 2, a kind of fractional-order Hopfield delayed neural networks is put forward and its complex dynamic behavior is discussed. The consistency between bifurcation analysis and phase portraits proves the existence of chaos. Two different period-doubling bifurcation roads, which lead to chaos with the increase of the system order, are determined. Thecontrollers are designed respectively for the drive-response systems, which have the same order or different orders, to achieve chaos synchronization.In chapter 3, a kind of fractional-order cellular neural networks which contains four cells is put forward, and its hyperchaos behavior is discovered. The ranges of system parameters,for which the system can exhibit hyperchaos attractor, chaos attractor or periodic orbit, are determined. Then, a kind of control method based on the sliding mode control theory is proposed to achieve the hyperchao synchronization. The controllers for drive-response system identical, nonidentical and generalized synchronization are presented respectively.Keywords: Fractional order, Chaos, Hyperchaos, Neural networks, Synchronization, SMC目录1 绪论 (1)1.1引言 (1)1.2三种分数阶微分定义及其数值解法 (3)1.3 混沌定义与混沌同步概述 (5)1.4 几种常用的混沌系统分析方法 (7)1.5 本文的主要工作和研究意义 (8)2 分数阶延时神经网络中的混沌及其同步 (10)2.1 背景介绍 (10)2.2 模型与算法描述 (11)2.3 分数阶延时神经网络中的混沌与分岔 (13)2.4 分数阶延时神经网络的同步 (17)2.5 本章小结 (20)3 分数阶细胞神经网络中的超混沌及其同步 (21)3.1 背景介绍 (21)3.2 模型描述与稳定性分析 (22)3.3 分数阶细胞神经网络中的超混沌与分岔 (25)3.4 分数阶细胞神经网络的同步 (31)3.5 本章小节 (41)4 结论与展望 (42)致 谢 (43)攻读硕士学位期间主要成果 (45)参考文献 (46)Contents1 Introduction (1)1.1 Introduction (1)1.2 Definitions of Fractional Derivatives and Its Numerical Methods (3)1.3 Definitions of Chaos and Overview of Chaos Synchronization (5)1.4 Some Common on Chaos System Analysis Methods (7)1.5 Main Research Contents and Significance (8)2 Chaos and Its Synchronization of Fractional Delayed Neural Networks (10)2.1 Background Information (10)2.2 Description of Model and Algorithm (11)2.3 Chaos and Bifurcation of Fractional Delay Neural Networks (13)2.4 Chaos Synchronization of Fractional Delay Neural Networks (17)2.5 Conclusions (20)3 Hyperchaos and Its Synchronization of Fractional Cellular Neural Network (21)3.1 Background Information (21)3.2 Description of Model and Stability Analysis (22)3.3 Hyperchaos and Bifurcation of Fractional Cellular Neural Network (25)3.4 Chaos Synchronization of Fractional Cellular Neural Network (31)3.5 Conclusions (41)4 Summary and Prospects (42)Acknowledgments (43)Main Achievements during the Study for a Master's Degree (45)References (46)1 绪论本章简要介绍了分数阶微积分及混沌的发展历史和研究现状，说明了分数阶非线性系统复杂动力学分析中应注意的问题，概述并比较了现有的三种最常用的分数阶微分定义，详细介绍了一类本文用于求解分数阶微分方程的数值解法，介绍了混沌及混沌同步的定义与性质，对后文中用到的几种混沌系统分析方法作了说明，最后对本文的主要工作和研究意义作了阐述。
分数阶Victor-Carmen混沌系统的新型滑模同步方法
2021年5月 第28卷第5期控制工程Control Engineering of ChinaMay . 2021Vol .28, No .5文章编号：1671-7848(2021)05-0856-04DOI: 10.14107/j .cnki .kzgc .20180249分数阶Victor-Carmen 混沌系统的新型滑模同步方法毛北行(郑州航空工业管理学院数学学院，河南郑州450015)^ |摘要：Victor-Carmen 混洸系统引起了控制界的高度关注，利用新型滑模方法研究分数阶、 Victor-Carmen 混洸系统同步的方法尚未被系统地研究过。
基于一种新型滑糢面研究了分数-阶Victor-Carmen 不确定混洸系统的同步，并依据滑模方法和分数阶微分相关理论得到分数阶Victor-Carmen 不确定系统滑模同步的充分条件。
结论表明，分数阶Victor-Carmen 没先 祕在适当紐T 是賴同步的，最后借助MATLAB 仿真软件雜健S 进行验证。
关键词：新型滑模；分数阶；Victor-Carmen 混先系统 中图分类号：0482.4文献标识码：ANew Sliding Mode Synchronization Methods For Fractional-orderVictor-Carmen Chaotic SystemsMAO Bei-xing(School of Mathematics , Zhengzhou University of A eronautics , Zhengzhou 450015,China )Abstract:Victor-Carmen chaotic systems have attracted much attention from the control community . Themethod of studying the synchronization of fractional-order Victor-Carmen chaotic systems using the new sliding mode method has not been systematically studied . The synchronization of fractional-order Victor-Carmen uncertain chaotic systems is studied based on a new type sliding mode surface method in this paper . Sufficient conditions are acquired for sliding mode synchronization of fractional-order Victor-Carmen uncertain systems based on sliding mode method and fractional-order differential theory . The results demonstrate that fractional-order Victor-Carmen chaotic systems are of sliding mode synchronization under certain conditions . Finally , the numerical results are verified by MATLAB simulation software .K ey words: New sliding mode ; fractional -order ; Victor-Carmen chaotic systemi 引言近年来，分数阶混沌系统的同步问题成为研究 的热点[14]，如何利用滑模方法解决同步问题被科学 界广泛研宄，并取得了丰硕的成果^-91。
分数阶混沌系统的控制与同步研究
分数阶混沌系统的控制与同步研究分数阶混沌系统的控制与同步研究摘要：分数阶系统具有很好的非线性特性和长记忆能力，在混沌系统的研究中得到广泛应用。
本文主要探讨了分数阶混沌系统的控制与同步问题。
首先介绍了分数阶系统和混沌现象的基本概念，随后分别探讨了分数阶系统的控制方法和同步方法。
通过模拟实验验证了这些方法的有效性。
最后，总结了研究结果并指出了未来的发展方向。
1.引言随着现代科学技术的发展，混沌系统的研究引起了广泛的关注。
混沌系统是一类非线性动力学系统，具有高度复杂的行为和随机性，表现出的熵较高。
分数阶系统是近年来探讨的热点之一，其具有更广泛的记忆特性和非线性特性，能够更好地描述实际系统的动力学行为。
因此，分数阶混沌系统的控制和同步问题成为了研究的重点。
2.分数阶系统的基本概念分数阶系统是指微分与积分阶数不仅仅为整数，而是介于0和1之间的实数。
分数阶微分方程是描述分数阶系统的基本工具。
混沌系统是一类具有无法预测的行为和极其敏感的初始条件的系统。
分数阶混沌系统介于分数阶系统和混沌系统之间，兼具了两者的特性。
3.分数阶混沌系统的控制方法针对分数阶混沌系统的控制问题，研究者提出了多种方法。
其中一种常用的方法是基于反馈控制理论的方法。
通过在系统中引入适当的反馈控制项，可以有效地控制系统的混沌行为。
另一种方法是基于最优控制理论的方法，通过求解最优控制问题，可以获得使系统行为稳定或特定性能指标最优的控制策略。
4.分数阶混沌系统的同步方法分数阶混沌系统的同步问题是指如何使两个或多个分数阶混沌系统的状态变量在某种意义上达到一致。
同步方法可以分为无控制同步和有控制同步两种。
无控制同步是指系统自身通过耦合作用实现同步，而有控制同步是利用外部控制手段实现同步。
常用的同步方法有时间延迟复杂网络同步、自适应控制同步和非线性控制同步等。
5.模拟实验与结果分析为验证分数阶混沌系统的控制和同步方法的有效性，进行了一系列模拟实验。
通过对分数阶混沌系统进行控制和同步，分析了系统的动力学行为和性能指标。
分数阶混沌系统的延迟同步
乎 与整数 阶微积分 同步． 但将 其应用 到物理 学 和工 程 学的研究 热潮 还 是最 近 几十 年 兴起 的． 年来 ， 近
越来越 多的科 技工 作 者对 分 数 阶 混沌 系统 产 生 了
性 ． 用分数 阶微 分方程 的 预估． 利 校正 算法 ， 以分 数
阶 Ｃｅ ｈ ｎ系统为 例 的数值 模拟验 证 了该 方法 的可 行
江苏 省 教 育 厅 资助 项 目（ ８ Ｊ Ｉ００ ） ０ Ｋ Ｄ ２ ０２
为 了， 我们 首
第 ４期
王 德 金 等 ： 数 阶 混 沌 系 统 的 延 迟 同 步 分
先 给出下 面 的引理． 引理 １１ 对 于分数 阶线性 系统 ： ［
延 迟 同步 的 一种 新 方 法 ． 方 案 通 过设 计 合 适 的 控 制器 将 分 数 阶 混 沌 系 统 的延 迟 同步 问题 转 化 为 分 数 阶 线 该
性误差系统在原点的渐近稳定性 问题． 分数阶 Ｃ ｅ ｈｎ系统的数值模拟结果验证了该方案 的有效性 ．
关键词 分数 阶 ， 反 馈 控 制 ， 延 迟 同步 ， Ｃ ｅ ｈｎ系统
义 Ｈ ｍ ｌ ｎ系统 理 论 的 Ｍ ｌｉ ｖ方 法 ， 格 分 析 ａ ｉｏ ｔ ｅｎ ｏ ｋ 严
（ ）＝（ ） （ ， ， （ ） （ ） … 厂 ） ∈Ｒ ｎ 为 系统 的非
线性项． 假设 系统 （ ） 驱 动 系统 ， １为 响应 系 统 设计
为：
ｄ ｙ ｄ Ａ Ｆ（ ）＋Ｕ ／ ｔ ： ｙ＋ Ｙ （） ２
＝
（ ，， ， ） … ∈Ｒ 为 系 统 （ ） “ １ 的状 态 向量 ， Ｆ
馈 同步方 法 ， 合 同步 法 ， 耦 自适 应 同步 法 ， 驱动参量 同步 法 等． 这些 同步 方 法 大 多也 适 应 于分数 阶混沌 系统 之 间 的 同步 ． 文献 ［ ２ 利 用 广 １］
不确定分数阶时滞混沌系统自适应神经网络同步控制
不确定分数阶时滞混沌系统自适应神经网络同步控制林飞飞;曾喆昭【摘要】Time delay frequently appears in many phenomena of real life and the presence of time delay in a chaotic system leads to its complexity. It is of great practical significance to study the synchronization control of fractional-order chaotic systems with time delay. This is because it is closer to the real life and its dynamical behavior is more complex. However, the chaotic system is usually uncertain or unknown, and may also be affected by external disturbances, which cannot make the ideal model accurately describe the actual system. Moreover, in most of existing researches, they are difficult to realize the synchronization control of fractional-order time delay chaotic systems with unknown terms. In this paper, for the synchronization problems of the different structural fractional-order time delay chaotic systems with completely unknown nonlinear uncertain terms and external disturbances, based on Lyapunov stability theory, an adaptive radial basis function (RBF) neural network controller, which is accompanied by integer-order adaptive laws of parameters, is established. The controller combines RBF neural network and adaptive control technology, the RBF neural network is employed to approximate the unknown nonlinear functions, and the adaptive laws are used to adjust corresponding parameters of the controller. The system stability is analyzed by constructing a quadratic Lyapunov function. This method not only avoids the fractional derivative of the quadratic Lyapunov function, but alsoensures that the adaptive laws are integer-order. Based on Barbalat lemma, it is proved that the synchronization error tends to zero asymptotically. In the numerical simulation, the uncertain fractional-order Liu chaotic system with time delay is chosen as the driving system, and the uncertain fractional-order Chen chaotic system with time delay is used as the response system. The simulation results show that the controller can realize the synchronization control of the different structural fractional-order chaotic systems with time delay, and has the advantages of fast response speed, good control effect, and strong anti-interference ability. From the perspective of long-term application, the synchronization of different structures has greater research significance and more development prospect than self synchronization. Therefore, the results of this study have great theoretical significance, and have a great application value in the field of secure communication.%针对带有完全未知的非线性不确定项和外界扰动的异结构分数阶时滞混沌系统的同步问题,基于Lyapunov稳定性理论,设计了自适应径向基函数(radial basis function,RBF)神经网络控制器以及整数阶的参数自适应律.该控制器结合了RBF神经网络和自适应控制技术,RBF神经网络用来逼近未知非线性函数,自适应律用于调整控制器中相应的参数.构造平方Lyapunov函数进行稳定性分析,基于Barbalat引理证明了同步误差渐近趋于零.数值仿真结果表明了该控制器的有效性.【期刊名称】《物理学报》【年(卷),期】2017(066)009【总页数】11页(P35-45)【关键词】分数阶时滞混沌系统;Barbalat引理;自适应RBF神经网络控制【作者】林飞飞;曾喆昭【作者单位】长沙理工大学电气与信息工程学院, 长沙 410076;长沙理工大学电气与信息工程学院, 长沙 410076【正文语种】中文针对带有完全未知的非线性不确定项和外界扰动的异结构分数阶时滞混沌系统的同步问题,基于Lyapunov稳定性理论,设计了自适应径向基函数(radial basis function,RBF)神经网络控制器以及整数阶的参数自适应律.该控制器结合了RBF神经网络和自适应控制技术,RBF神经网络用来逼近未知非线性函数,自适应律用于调整控制器中相应的参数.构造平方Lyapunov函数进行稳定性分析,基于Barbalat 引理证明了同步误差渐近趋于零.数值仿真结果表明了该控制器的有效性.分数阶微积分起源于17世纪,但是由于缺乏有效的计算手段对其研究一直处于纯数学领域而发展缓慢.随着计算机技术的不断发展,分数阶微积分在工程实际和物理学中的应用已成为热点［1−4].在对分数阶微积分不断深入研究的过程中,人们普遍认为分数阶微积分是整数阶微积分的自然推广,整数阶微积分是分数阶微积分的一种特殊情况［5].关于复杂系统的建模问题,分数阶微积分模型比整数阶微积分模型更加准确,同时还能包含系统的遗传和记忆效应［6].因此,研究分数阶系统更加具有普遍意义.随着研究分数阶微积分的热潮兴起,分数阶微积分被推广到混沌系统中.人们发现分数阶混沌系统具有整数阶混沌系统几乎所有的特点,并且由于其具有历史记忆特性,分数阶混沌系统往往比整数阶混沌系统具有更加复杂的动力学行为,在图像加密［7]、保密通信［8]和生物医学［9]等领域具有广阔的应用前景.混沌同步是非线性科学中的重要分支之一,其应用范围包括安全通信、生物网络和物理系统等领域,从而引起了人们的广泛研究,并提出了大量的同步控制方法.主要有自适应脉冲同步［10]、修正投影同步［11]、滑模控制同步［12]、自适应同步［13]、自适应模糊控制同步［14]、自适应滑模控制同步［15]等,以上方法都是关于分数阶混沌系统的同步控制,是否适用于分数阶时滞混沌系统还有待研究.时滞是自然界中普遍存在的现象［16],由于摩擦、机械等实际因素的影响,实际系统总是存在时滞现象,如物理、机械、经济、生物和工程学等,另外时滞对系统的动态特性有重要影响.当系统的变化不仅依赖于当前的状态,还依赖于过去的状态时,则该系统称为时滞系统.从理论上讲,时滞的存在使得系统更为复杂,所以研究时滞混沌系统的同步控制是一项更具挑战意义的课题［17];从实际角度而言,由于分数阶时滞混沌系统更接近现实生活且动力学行为更加复杂,因此,研究分数阶时滞混沌系统的动力学行为及其同步控制具有重要的实际意义.人们分别对分数阶时滞Duffing混沌系统［18]、分数阶时滞金融混沌系统［19]、分数阶时滞Liu混沌系统［20]、分数阶时滞Chen混沌系统［21]进行了数值仿真实验,研究了不同时滞量的情况下系统的动力学行为,以上研究为分数阶时滞混沌系统的同步控制提供了一定的理论基础.其中,文献[22]针对分数阶时滞金融混沌系统在含不确定项的情况下的同步控制问题,设计了一种滑模控制器,该控制器实现了分数阶时滞金融混沌系统的自同步控制,但该控制器要求不确定项有界且没有考虑外界扰动,另外该控制器无法实现异结构分数阶时滞混沌系统的同步控制.文献[23,24]采用主动控制的思想对非线性项进行了直接消除,使得系统的系数矩阵成为定常矩阵,实现了分数阶时滞混沌系统的混合投影同步,但其控制代价较大,而且当系统存在未知不确定项时,该方法无法达到预期的控制效果.文献[25]实现了分数阶时滞混沌系统脉冲同步,但该控制器需要知道驱动系统和响应系统线性部分的系数矩阵,对系统模型具有很强的依赖性,当系统存在不确定项或外界扰动时,该方法难以实现同步控制.另外,以上所有的控制方法都只适用于驱动系统和响应系统时滞量相同情况下的同步控制.在实际的物理系统中,混沌系统一般是不确定的或未知的,还可能受到外界扰动的影响,另外系统在运行过程中存在元器件老化和衰退的情况,以上因素使得理想模型无法精确地描述实际系统.一方面,径向基函数(RBF)神经网络作为一种局部逼近网络已经被证明能以任意精度逼近任意连续函数［26,27],所以可以用RBF神经网络来估计未知系统模型.另一方面,自适应控制能够通过自动调节控制器的相关参数消除不确定性和复杂因素的影响,从而使控制器与被控对象和环境相适应.基于以上考虑,本文主要研究了基于自适应RBF神经网络的不确定分数阶时滞混沌系统的同步控制问题.RBF神经网络用来估计未知非线性函数,自适应律用于调整控制器中的相应参数,在所设计的同步控制器的作用下,同步误差渐近趋于零.本文的主要工作如下:1)基于Barbalat引理和Lyapunov稳定性理论,设计了一种自适应RBF神经网络控制器以及参数自适应律,该控制器是在完全未知混沌系统非线性函数模型、非线性不确定项和外界扰动的情况下实现了分数阶时滞混沌系统同步控制;2)在稳定性分析中构造了相应的平方Lyapunov函数,并直接对其进行整数阶求导,结合Barbalat 引理和引理6证明了同步误差渐近趋于零,运用该方法避免了对平方Lyapunov函数进行分数阶求导,同时保证了自适应律为整数阶;3)数值仿真实现了以不确定分数阶时滞Liu混沌系统为驱动系统,不确定分数阶时滞Chen混沌系统为响应系统,在含随机扰动情况下的同步控制,理论证明和仿真结果表明了该控制器的有效性. 2.1 分数阶微积分概述分数阶微积分在其发展过程中产生了多种定义,其中常用的有Riemann-Liouville(R-L)定义、Caputo定义.本文选取Caputo定义进行研究.Caputo分数阶积分定义为Caputo分数阶微分定义为其中n为大于α的最小整数,n−1＜α＜n;Γ(.)为伽马函数,分数阶微分(2)式的Laplace变换定义为［24]下面给出一些将要用到的性质和结论.性质1［28] 分数阶微积分的线性性质其中,α∈R,a和b为常数.引理1［29] 若x(t)∈C1[0,T](T＞0),则下面等式成立:引理2［29] 若x(t)∈C1[0,T](T＞ 0),其中α,β∈R+,且α+β=1则下面等式成立: 为了表示方便,下文中Caputo算子简写为另外,在下文中始终设0＜α＜1.2.2 RBF神经网络描述RBF神经网络是一种两层局部收敛的神经网络,因而具有很快的收敛速度.理论上已经证明它能以任意精度逼近任意连续函数.第一层为非线性输入层,即高斯基函数,其输出为第二层为线性输出层,即其中,X=[X1,X2,...,Xn]T为RBF神经网络的输入向量;n×m个中心值构成矩阵C=[c1,c2,...,cj,...,cm];cj=[c1j,c2j,...,cij,...,cnj]T和bj分别为RBF神经网络隐含层第j个结点的中心向量和宽度;Wi=[wi1,wi2,...,wim]T为网络的权值向量;H=[h1,h2,...,hm]T为高斯基函数向量.3.1 同步控制问题描述考虑n维分数阶时滞混沌系统,设驱动系统和响应系统分别为式中x=[x1(t),x2(t),...,xn(t)]T∈ Rn,y=[y1(t),y2(t),...,yn(t)]T∈ Rn分别为驱动系统和响应系统可测的状态变量;为含时滞状态变量; Δf1(x)=[Δf11,Δf12,...,Δf1n]T∈Rn,Δf2(y)=[Δf21,Δf22,...,Δf2n]T∈Rn为非线性不确定项;d1(t)=[d11(t),d12(t),...,d1n(t)]T和d2(t)=[d21(t),d22(t),...,d2n(t)]T为外界扰动项,其中Δf1(x),Δf2(y),d1(t),d2(t)是完全未知的;f,g:Rn→Rn为未知的非线性函数;U(t)=[u1(t),u2(t),...un(t)]T为待设计控制器.定义响应系统(10)和驱动系统(9)的同步误差为e(t)=y(t)−x(t);误差向量为e(t)=[e1(t),e2(t),...,en(t)]T. 当时,即同步误差渐近趋于零时,驱动系统(9)和响应系统(10)实现同步.3.2 基于RBF神经网络控制器设计由响应系统(10)式减去驱动系统(9)式得到同步误差系统为其中H高斯基函数向量,Wi为RBF神经网络权值向量.令RBF神经网络最优估计参数为W∗i,则最优估计为设RBF神经网络的参数误差和最优估计误差分别为其中,RBF神经网络的估计误差是有界的［27],即为最优估计误差的上界. 未知非线性函数的估计误差为根据上面的讨论,同步控制器可设计为式中,ki是最优逼近误差上界的估计值,li为反馈增益为常数)的估计值.RBF神经网络权值、最优逼近误差上界的估计值ki和反馈增益的估计值li的整数阶自适应律分别为式中λi＞0,γi＞0,ξi＞0(i=1,2,...,n)为自适应律的调节参数.3.3 系统稳定性分析本节首先给出稳定性证明过程中所需的相关引理,然后分析控制器作用下同步误差系统的稳定性.引理3 若x(t)∈C1[0,T](T＞0),则下面等式成立:证明设由引理1可得根据引理2可知将(25)式代入(26)式有所以引理4 设x(t)∈ R,则且证明由(1)式可以得到由Gamma函数的定义易知,Γ(1−α)＞ 0.又τ∈ [0,t−],因此,(t− τ)−α|x(τ)|≥ 0.所以,同理由(1)式可得即引理5［30] (Barbalat引理)设即x(t)∈L2;同时当x(t)∈L∞,如果(t),t∈[0,∞)存在且有界,即(t)∈L∞,那么引理6 如果渐近稳定,即证明由引理1可知对(32)式进行Laplace变换,根据终值定理有同理,由终值定理有,即,当s→0时,sX(s)为无穷小量.显然,当s→0时,s1−α为无穷小量.因此,所以,定理1 给定初始条件,在设计的自适应RBF神经网络控制器(20)和自适应律(21),(22)和(23)的作用下可实现驱动系统(9)和响应系统(10)的同步控制,同步误差渐近趋于零.证明将同步控制器(20)代入(14)式可得由(15)和(19)式进一步有构造Lyapunov函数其中为常数.对(37)式两边同时求导并结合引理3可得又将(36)式和自适应律(21),(22),(23)代入(38)式得出因为,且根据引理4有所以其中,由(40)式可知,V(t)为单调不增函数,所以,0≤V(t)≤V(0),即V(t)有界.根据(37)式可得因此故有界;同理可得˜Wi,ki和li分别都有界.对˙V(t)≤进行积分有根据(41)式可得,由(36)式可知根据(7)式易知,高斯基函数‖H‖是有界的,因此有界. 综合可得,且根据引理5(Barbalat引理)可知,由引理6可得所以,同步误差渐近趋于零.定理1证毕.为了验证本文所设计的控制器的有效性,应用改进型预估-校正方法［31]对不确定分数阶Liu时滞混沌系统和不确定分数阶Chen时滞混沌系统进行同步控制数值仿真.本文的控制器是在混沌系统非线性函数模型、非线性不确定项和外界扰动完全未知的情况下的同步控制,以下给出了仿真需要的相关模型.分数阶时滞Liu混沌系统［20]为根据文献[20]可知α=0.97,0＜τ1≤0.005时,系统处于混沌状态.所以,选取α=0.97,τ1=0.005.状态初值为x(0)=[2.2,2.4,3.8]T.当t∈[−τ1,0)时,x1(t)=2.2,x2(t)=2.4,x3(t)=3.8.系统表现为混沌状态,如图1所示.分数阶Chen时滞混沌系统［21]为根据文献[21]可知α=0.97,τ2=0.009时,系统处于混沌状态.所以,选取α=0.97,τ2=0.009.状态初值为y(0)=[0.2,0,0.5]T. 当t∈ [−τ2,0)时,y1(t)=0.2,y2(t)=0,y3(t)=0.5.系统表现为混沌状态,如图2所示.分数阶时滞Liu混沌系统加入非线性不确定项和随机扰动后,作为驱动系统,分数阶时滞Chen混沌系统加入非线性不确定项和随机扰动后,作为响应系统,其中,参数自适应律为RBF神经网络系统的输入变量为可测状态变量x和y.在数值仿真中用同步误差变量e代替x和y,以减少RBF神经网络系统的运算量.隐层神经元个数为9,中心值矩阵为宽度值bj=3(j=1,2,...,9).自适应律的调节参数λi=3×104,γi=3.5,ξi=5(i=1,2,3);RBF神经网络权值的初值W1(0),W2(0)和W3(0)均为9维的零向量.自适应律初值k1(0)=0.01,k2(0)=0.01,k3(0)=0.01;l1(0)=5,l2(0)=5,l3(0)=5;时间步长h=0.001,进行数值仿真,仿真结果如图3和图4所示.由图3(a)可以看出同步误差收敛较快,说明设计的RBF神经网络具有良好的逼近效果;从图3(b)—(d)可以看到各状态同步效果较好.由图4可以看出RBF神经网络权值振幅不大,变化较平稳.从以上仿真结果可知本文所设计的同步控制器的控制效果较好.本文针对异结构分数阶时滞混沌系统,在含非线性不确定项和随机扰动情况下的同步问题,基于Lyapunov稳定性理论设计了一种自适应RBF神经网络控制器.在稳定性分析中直接对相应的平方Lyapunov函数进行整数阶求导,避免对其进行分数阶求导,结合相关引理证明了误差系统渐近趋于零.与目前关于分数阶时滞混沌系统的同步控制方法［22−25]相比,本文所设计的控制器不依赖于系统模型且能够实现在非线性不确定项和外界扰动完全未知情况下的同步控制.仿真结果表明该控制器不仅实现了异结构分数阶时滞混沌系统的同步控制,而且响应速度较快、控制效果良好、抗干扰能力较强.从长远的应用角度来看,异结构同步比自同步具有更大的研究价值和发展前景.因此,本文的研究结果既具有重要的理论意义,同时在保密通信领域也具有较大的应用价值.[1]Hermann R 2010Physica A389 4613[2]Li C L,Yu S M,Luo X S 2012Chin.Phys.B21 100506[3]Peterson M R,Nayak C 2014Phys.Rev.Lett.113 086401[4]Maione G 2013IEEE Trans.Autom.Control58 1579[5]Hu J B,Zhao L D 2013Acta Phys.Sin.62 240504(in Chinese)[胡建兵,赵灵冬2013物理学报 62 240504][6]Chen D Y,Zhang R F,Liu X Z,Ma X Y 2014Commun.NonlinearSci.Numer.Simulat.19 4105[7]Balasubramaniam P,Muthukumar P,Ratnavelu K 2015Nonlinear Dyn.80 249[8]Muthukumar P,Balasubramaniam P,Ratnavelu K 2015Nonlinear Dyn.80 1883[9]Gao F,Li T,Tong H Q,Ou Z L 2016Acta Phys.Sin.65 230502(in Chinese)[高飞,李腾,童恒庆,欧卓玲2016物理学报65 230502][10]Andrew L Y T,Li X F,Chu Y D,Zhang H 2015Chin.Phys.B24 010502[11]Gao Y,Liang C H,Wu Q Q,Yuan H Y 2015Chaos Soliton.Fract.76 190[12]Khanzadeh A,Pourgholi M 2016Chaos Soliton.Fract.91 69[13]Maheri M,Ari fi n N M 2016Nonlinear Dyn.85 825[14]Chen Y,Li S G,Liu H 2016Acta Phys.Sin.65 170501(in Chinese)[陈晔,李生刚,刘恒 2016物理学报 65 170501][15]Pan G,Wei J 2015Acta Phys.Sin.64 040505(in Chinese)[潘光,魏静 2015物理学报 64 040505][16]Wen S F,Shen Y J,Yang S P 2016Acta Phys.Sin.65 094502(in Chinese)[温少芳,申永军,杨绍普2016物理学报65 094502][17]Zhang H G,Ma T D,Huang G B,Wang Z L 2010IEEE Trans.Syst.Man Cybern.B:Cybern.40 831[18]Deng W H,Li C P,Lü J H 2007Nonlinear Dyn.48 409[19]Wang Z,Huang X,Shi G D 2011Comput.Math.Appl.62 1531[20]Bhalekar S,Daftardar-Gejji V 2010Commun.NonlinearSci.Numer.Simulat.15 2178[21]Daftardar-Gejji V,Bhalekar S,Gade P 2012Pramana79 61[22]Liu H R,Yang J 2015Entropy17 4202[23]Wang S,Yu Y G,Wen G G 2014Nonlinear Anal.Hybrid Syst.11 129[24]Velmurugan G,Rakkiyappan R 2016ASME put.Nonlinear Dyn.11 031016[25]Li D,Zhang X P 2016Neurocomputing216 39[26]Zeng Z Z 2013Acta Phys.Sin.62 030504(in Chinese)[曾喆昭 2013物理学报62 030504][27]Yan X M,Liu D,Guo H J 2010Control Theory Appl.27 344(in Chinese)[阎晓妹,刘丁,郭会军2010控制理论与应用27 344][28]Deng L W 2014Ph.D.Dissertation(Harbin:Harbin Institute of Technology)(in Chinese)[邓立为 2014博士学位论文(哈尔滨:哈尔滨工业大学)][29]Li C P,Deng W H put.187 777[30]Tao G 1997IEEE Trans.Automat.Control42 698[31]Bhalekar S,Daftardar-Gejji V 2011J.Fract.Calc.Appl.1 1PACS:05.45.Pq,05.45.Xt DOI:10.7498/aps.66.090504Time delay frequently appears in many phenomena of real life and the presence of time delay in a chaotic system leads to its complexity.It is of great practical signi fi cance to study the synchronization control of fractional-order chaotic systems with time delay.This is because it is closer to the real life and its dynamical behavior is more complex.However,the chaotic system is usually uncertain or unknown,and may also be a ff ected by external disturbances,which cannot make the ideal model accurately describe the actual system.Moreover,in most of existing researches,they are difficult to realize the synchronization control of fractional-order timedelay chaotic systems with unknown terms.In this paper,for the synchronization problems of the di ff erent structural fractional-order time delay chaotic systems with completely unknown nonlinear uncertain terms and external disturbances,based on Lyapunov stability theory,an adaptive radial basis function(RBF)neural network controller,which is accompanied by integer-order adaptive laws of parameters,is established.The controller combines RBF neural network and adaptive control technology,the RBF neural network is employed to approximate the unknown nonlinear functions,and the adaptive laws are used to adjust corresponding parameters of the controller.The system stability is analyzed by constructing a quadratic Lyapunov function.This method not only avoids the fractional derivative of the quadratic Lyapunov function,but also ensures that the adaptive laws are integer-order.Based on Barbalat lemma,it is proved that the synchronization error tends to zero asymptotically.In the numerical simulation,the uncertain fractional-order Liu chaotic system with time delay is chosen as the driving system,and the uncertain fractional-order Chen chaotic system with time delay is used as the response system.The simulation results show that the controller can realize the synchronization control of the di ff erent structural fractional-order chaotic systems with time delay,and has the advantages of fast response speed,good control e ff ect,and strong anti-interference ability.From the perspective of long-term application,the synchronization of di ff erent structures has greater research signi fi cance and more development prospect than self synchronization.Therefore,the results ofthis study have great theoretical signi fi cance,and have a great application value in the fi eld of secure communication.。
时滞的具有两个神经元的分数阶神经网络系统的混沌与同步
第 ４期
龙伟 ， ： 等 时滞 的具有两个神 经元 的分数阶神经 网络 系统 的混沌 与同步
。 ３‘ ３
龙伟 胡华 虞继敏 ， ，
（ ． 庆 邮 电大 学 自动化 学 院 ， １重 重庆 ４ ０６ ；． 西师 范 学 院 数 学科 学 学院 ， 西 南宁 ５ ０２ ） ０ ０ ５２ 广 广 ３ ０ ３
摘 要 ： 了研究具有 时滞的神经 网络系统 中复杂 的动力 学 的特性 ， 为 该文 对一个 明确 的时 滞的具 有两 个神 经
Ｄ ｃ２ １ ｅ ．０ １
Ｖｏ． ８ Ｎｏ． １２ ４
第 ２ ８卷 第 ４期
文章 编 号 ：０ ２ ７ ３ ２ １ ）４ ０ ２ ５ １ ０ —８ ４ （ ０ １ ０ —０ ３ —０
时 滞 的 具 有 两 个 神 经 元 的 分 数 阶 神 经 网 络 系 统 的 混 沌 与 同 步
２１ ０ １年 １ ２月
广西师范 学院学报 ： 自然 科 学 版
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＧｕ ｎ ｘ ｅ ｃ ｅｓＥ ｕ ａ ｉｎ Ｕｎｖ ｒｉ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ａ ｇ ｉ ａ ｈ ｒ ｄ ｃ ｔ ｉｅｓｔ ｏ Ｔ ｏ ｙ： ｔｒ ｌ ｉｎ ｅＥｄｔ Ｓ ｏ
其 中 ａ ａ （ ＜ａ ， ＜ １是 阶次 ， （ ） ， ０ ： ） ￡ ＞Ｏ是关 于 的 函数 ， 示 延迟 时间 ，（ ） 激励 函数 ， ｂ ， 表 ￡ ・是 ａ ， ａ ｂ 为 常数 ． 文第 一 部 分 ， 据 Ｇｒｎ ｌ—ｅｎｋｖ分 数 阶定 义 ， 出 了一 个 求解 具 有 两 个 神 经 ， 均 本 根 ｔｗａ Ｌ ｔｉｏ ｉ ｄ 给 元 的时滞 分数 阶神经 网络系 统数 值解 的数 值 算法 ， 且 讨 论 了该 系 统 的混 沌 现 象 ； 二 部 分 ， 用 拉 普 并 第 利 拉 斯 变换 理论 证 明两 个 神经元 分 数 阶系统 的可 同步性 ， 用数 值 仿真 检验 同步 的有效 性 ． 并
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步近年来，混沌同步技术在金融系统中的广泛应用得到了广泛关注。
特别是时滞分数阶系统，利用滑动模态控制可以降低时间延迟对系统同步性能的影响。
本文以滑动模态控制的时滞分数阶金融系统混沌同步为研究对象，探讨了系统混沌同步的机理及控制策略。
首先，我们探讨了混沌同步的概念和原理。
混沌同步是指两个混沌系统的状态相互接近，这就意味着两个系统的动力学行为是相似的。
通过将混沌系统通过输出信号连接在一起，可以使两个系统产生调制信号，从而形成混沌同步。
其次，我们讨论了滑模控制的时滞分数阶金融系统的结构和特性。
时滞分数阶系统的特殊特性是时滞的存在。
为了降低时间延迟对系统同步性能的影响，我们提出了一种滑模控制器，目的在于改善系统的性能。
接着，我们对滑模控制器及时滞分数阶金融系统混沌同步过程进行了详细分析。
首先，我们设计了一种基于复杂系统理论的滑动模态控制器，并进行了系统辨识，以确定滑动模态控制器的参数，以实现改善系统性能的目的。
然后，我们采用Lyapunov理论对滑动模态控制器的时滞分数阶金融系统混沌同步问题进行了分析，并推导出滑动模态控制的同步解。
最终，我们在MATLAB中进行了仿真实验，并得出了滑动模态控制可以有效降低时间延迟对系统同步性能的影响结论。
本文研究了一种滑动模态控制的时滞分数阶金融系统混沌同步问题。
我们设计了一种基于复杂系统理论的滑动模态控制器，并进行了Lyapunov理论分析，推导出滑动模态控制的同步解。
仿真实验表明，滑动模态控制可以有效改善时滞分数阶金融系统的混沌同步特性。
本文的研究对混沌同步技术在金融系统中的应用具有重要的意义，能够提供一种新的时滞分数阶金融系统混沌同步技术改善系统性能的有效方法。
今后，我们将继续深入研究滑动模态控制的时滞分数阶金融系统混沌同步问题，以探索更加有效的控制策略，改善系统性能。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
d x2 ( t) /d t= ( c- a ) x1 ( t) ( 5)
x 1 ( t) x3 ( t ) + cx2 ( t)
d x3 ( t ) /d t= x1 ( t )x2 ( t) - bx3 ( t) 当参数 a = 35, b = 3, c= 28, = 0. 9 时系统处 于混沌状态, 图 1给出了上述参数条件下混沌吸引 子在各个平面上的投影.
另一方面, 自 1990年 P ecora等人 [ 6] 提出混沌 的同步原理并在电路中实现以来, 混沌同步的研究 得到了蓬勃的发展. 人们提出了多种混沌的控制方 法, 如驱动 响应混沌同步方法 [ 7] , 线性和非线性反 馈同步方法 [ 8 ] , 耦合同步法 [ 9] , 自适应同步法 [ 10] , 驱动参量同步法 [ 11] 等. 这些同步方法大多也适应 于分数阶混沌系统之间的同步. 文献 [ 12] 利用广 义 H am ilton系统理论的 M elnikov方 法, 严格分析 了延迟反馈方法控制混沌 Lorenz系统到周期解的 机理, 揭示 了延 迟时 间与 控制 混沌 的关 系. 文献 [ 13]针对分数阶混沌系统 的投影同步问题, 提出 了一种基于主动滑模原理的控制器实现了对分数 阶混沌系统的投影同步. 基于拉普拉斯变换和分数 阶线性稳定性理论, 文 献 [ 14] 运用单向耦合同步 法, 驱动 响应同步法, 反馈线性化控制方法研究了 一个分数阶新超混沌系统的同 步问题. 文献 [ 15] 基于 Lyapunov稳定性理论, 运用 主动控制方法选
常数矩阵, 若矩阵 C 的特征值 满足 | arg ( 1 ) | >
!/2, = m ax ( 1, 2, !, n ), i = 1, 2, !, n, 则分
数阶线性系统 ( 4)在原点是渐近稳定.
定理 1: 假设控制器 U 设计为 U = F (x ( t- ) ) -
F ( y ( t) ) - ke( t), 且 k 可使 (A - kI )的特征值 i 满 足 | arg( i ) | > !/2, 则分数阶误差系统 ( 3)在原 点是渐近稳定的, 即系统 ( 1)和 ( 2)达到延迟同步.
图 3 分数阶线性误差系统 ( 10)的时间序列曲线 F ig. 3 Th e t im e series of fract ional order linear error system ( 10)
3 结论
本文基于分数阶线性系统的稳定性理论, 结合 反馈控制和主动控制方法, 提出了一种实现分数阶 混沌系统延迟同步控制的新方法, 并给出了控制器 的解析表达式. 该方法通过非线性反馈使得分数阶 混沌系统的延迟同步误差系统转化为分数阶线性 系统, 简化了分数阶混 沌系统延迟同 步问题的研 究. 通过对分数阶 Chen混沌系统的延迟同步进行 数值模拟, 数值模拟结果验证了该方法的有效性和
和 ( 2)达到了延迟同步.
2 分数阶混沌系统延迟同步的数值模拟
下面我们以分数阶 Chen系统作为例子来阐明 上一节理论结果的正确性, 作为驱动系统的分数阶 C h en 混沌 系统 由下 面的 数学 模型 描述 :
d x1 ( t ) /d t= - a( x1 ( t) - x2 ( t ) )
1 分数阶混沌系统的延迟同步控制器设计
考虑由下面的数学模型描述的分数阶混沌系
统
d x /dt = A x + F ( x )
( 1)
其中 0< < 1, A 是关于系统参数的 n n 阶矩阵, x
= ( x1, x2, !, xn )T ∀ Rn 为系统 ( 1 )的状态向量, F (x ) = ( f1 (x ), f 2 ( x ), !, fn ( x ) )T ∀ Rn 为系统的非 线性项. 假设系统 ( 1) 为驱动系统, 响应系 统设计
第 8卷第 4期 2010年 12月 1672 6553 /2010 /08 /338 4
动力学与控制学报
JOU RNAL OF DYNAM ICS AND CONTROL
V o.l 8 N o. 4 D ec. 2010
分数阶混沌系统的延迟同步*
王德金 郑永爱
( 扬州大学信息工程学院, 扬州 225009 )
( 3) 为了研究系统 ( 1)和 ( 2)的延迟同步, 我们首
第 4期
王德金等: 分数阶混沌 系统的延迟同步
339
先给出下面的引理. 引理 1[ 16 ] 对于分数阶线性系统:
d x /dt = Cx
( 4)
其中 0< < 1, x = (x 1, x2, !, xn )T ∀ Rn, C ∀ Rn n为
响应系统为如下的受控的分数阶 Chen系统:
d y1 ( t ) /d t= - a( y1 ( t) - y2 ( t ) ) + u1
d y2 ( t) /d t= ( c- a ) y1 ( t) ( 6)
y1 ( t) y3 ( t ) + cy2 ( t) + u2
d y3 ( t ) /d t= y1 ( t )y2 ( t) - by3 ( t) + u3 把驱动系统 ( 5)写成 ( 1)的形式, 有
引言
分数阶微积分已有 300多年的历史, 其发展几 乎与整数阶微积分同步. 但将其应用到物理学和工 程学的研究热潮还是最近几十年兴起的. 近年来, 越来越多的科技工作者对分数阶混沌系统产生了 兴趣, 并利用分数阶方程描述动力系统, 从而出现 了一些分数阶混沌系统. 例如: 分数阶 Chen混沌系 统 [ 1] , 分数阶 Jerk混沌系统 [ 2] , 分数阶 L iu 混沌系 统 [ 3] , 分数阶 L 混沌系统 [ 4] , 分数阶统一混沌系 统 [ 5] 等.
d x /dt = A x + F ( x )
( 7)
-a a 0 其中 A = c- a c 0 , x = ( x 1, x 2, x3 )T, F ( x )
0 0 -b
图 1 分数阶 Chen 系统的相图 F ig. 1 Ph ase d iagram s for the fract ional order Ch en system
证明: 将 U = F ( x ( t - ) ) - F ( y ( t) ) - K e( t)
代入 ( 3)得
d e( t ) /dt = (A - kI) e( t)
因为存在合适的 k 可使 (A - kI )的特征值 i 满足 | arg( i ) | > !/ 2, 而由引理 1知, 分数阶误差系统 ( 3)在原点是渐近稳定的, 即分数阶混沌系统 ( 1)
3 王发强, 刘崇新. 分 数阶临 界混沌 系统 及电路 实验 的研 究. 物理 学 报, 2006, 55 ( 8): 3922 ~ 3927 ( W ang F Q, L iu C X. Study on the cr itica l chaotic system w ith fractiona l o rder and circu it exper iment. A cta Phy sica S inica, 2006, 55( 8): 3922 ~ 3927 ( in Ch inese) )
到延迟同步. 其中 x ( t), y ( t )分别是系统 ( 1)和 ( 2)
对应的解. 设 e( t) = y ( t ) - x ( t - ), 由 ( 1)和 ( 2)
可得误差系统
d e( t) /dt = Ae( t) + F (y ( t) ) - F (x ( t- ) ) + U
= ( 0, - x1x 3, x 1x2 )T. 把响应系统 ( 6)写成 ( 2)的形式, 有
d y /dt = A y + F ( y ) + U
( 8)
将定理 1中设计的控制器 U代入式 ( 8)得
d y ( t ) /d t = Ay ( t) + F ( x ( t - ) ) - ke( t) ( 9) 其中 y = ( y1, y2, y3 )T, F (x ( t - ) ) = ( 0, - x 1 ( t -
可行性.
参考文献
1 L i C P, P eng G J. Chaos in chen& s system w ith a fractiona l o rder. Chao s, So litons& F ractals, 2004, 22( 2): 443~ 450
2 A hm ad W, Sprott J C. Chaos in fractional order autono m ous non linear system s. Chaos, So litons& Fractals, 2003, 16( 2): 339~ 351
)x3 ( t- ), x1 ( t- ) x2 ( t- ) )T, e( t) = ( e1 ( t ), e2 ( t), e3 ( t ) )T, U = ( u1, u2, u3 )T, k 为常数.
由 ( 7)式和 ( 8)式得分数阶线性误差系统为:
d e( t) /dt = (A - kI) e( t)