高数导数的应用习题及答案

一、是非题：

１． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点

()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ．

错误 ∵不满足罗尔定理的条件。

２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得

极值．

错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3

x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴

的切线．

错误 ∵曲线3

x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值．

正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹．

正确

二、填空：

１．设()x bx x a x f ++=2

ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a

（ 23-

），=b （ 16

- ）． ∵()12++='bx x

a

x f ，当2,121==x x 时，

012=++b a ，0142=++b a ，解之得6

1

,32-=-=b a

２．函数()()

1ln 2

+=x x f 的极值点是（ 0=x ）．

∵()x x

x f 211

2

⋅+=

'，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0

1ln 2

+=x x f 在0=x 取得极小值。

３．曲线()x x x f -=3

的拐点是（

()0,0

）．

∵()122

-='x x f ，()x x f 4=''，令()0=''x f ，得0=x 。

又0>x ，()0>''x f ；0

的拐点是()0,0。

４．曲线()x x f ln =的凸区间是（ ()+∞,0 ）．

∵()x x f 1=

'，()21

x

x f -=''，使()x f ''无意义的点为0=x 。 当0>x 时，()0<''x f ，∴曲线()x x f ln =的凸区间是()+∞,0。

５．若21

2sin lim 0=-→x b e ax x ，则=a （ 1 ），=b （ 1 ）．

∵x b e ax x 2sin lim

0-→=-=→x b e ax x 2lim 021lim 210=-→x b e ax x ，即1lim 0=-→x

b

e ax x 又当0→x 时，1-x

e ～x ，∴1,1==b a 。

三、选择填空：

１．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ c ． ） a ．()x

e x

f = b ．()x x

g ln =

c ．()2

1x x h -= d ．()⎪⎩⎪⎨⎧

=≠=0

01sin

x x x

x x k

∵()x

e x

f =在端点的值不相等；()x x

g ln =在区间[]1,1-上不连续；

对()⎪⎩⎪⎨⎧

=≠=0

01sin

x x x

x x k 在0=x 不可导；

()2

1x x h -=在区间[]1,1-上满足罗尔定理的条件。∴c 是正确的。

２．罗尔定理的条件是其结论的（ a ． ）

a ．充分条件

b ．必要条件

c ．充要条件

３．函数()⎪⎩⎪

⎨⎧+∞

<<≤≤-=x x

x x x f 11102

32在区间[]2,0上（ a ． ）

a ．满足拉格朗日定理条件

b ．不满足拉格朗日定理条件

∵12

3lim

201=--→x x ，11

lim 01=+→x x ，()()11lim 1f x f x ==→ ∴函数()x f 在1=x 连续，函数()x f 在[]2,0上连续。

∵()()12311

1

2-=-='

⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛-='==-x x x x f ，()11111

21

-=⎪⎭⎫

⎝⎛-='

⎪

⎭

⎫

⎝⎛='==+x x x x f ∴函数()x f 在1=x 可导，函数()x f 在[]2,0上可导。

∴函数()x f 在[]2,0上满足拉格朗日定理条件，因而a 是正确的。

４．设()x f 在0x 有二阶导数，()00='x f ， ()00=''x f ，则()x f 在0x 处( a ． ) a ．不能确定有无极值 b ．有极大值 c ．有极小值 ５．设函数()x f 在()a ,0具有二阶导数，且()()0>'-''x f x f x ，则()x

x f '在()a ,0内是（a ．）

a ．单调增加的

b ．单调减少的

∵()()()02>'-''='

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡'x x f x f x x x f （∵()()0>'-''x f x f x ） ∴()x

x f '在()a ,0内是单调增加的，因而a ．是正确的。 ６．函数()x f 的连续但不可导的点（ d ． ）

a ．一定不是极值点

b ．一定是极值点

c ．一定不是拐点

d ．一定不是驻点

四、计算题： １．0

sin lim

tan x x x

x x

→--

解 22

2220000sin 1cos 122lim lim lim lim tan 1sec tan 2

x x x x x x x x x x x x x x →→→→--====----- 2．()

x

x e x x

--→1cos 1lim 20

解 ()()()2220001cos sin lim lim lim 11x x x x x x x x x x x x e →→→-===-⋅-⋅--

３．⎪⎭

⎫

⎝⎛--→111

lim 0x x e x 解

()2000001

11111lim lim lim lim lim 12221x x x x x x x x x x e x e x e x x e x x x x e →→→→→-----⎛⎫-===== ⎪--⎝

⎭