2019-2020年九年级数学上册提技能·题组训练 23.1

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2019-2020年九年级数学上册提技能·题组训练 23.1

旋转的相关概念

1.在旋转过程中,确定一个三角形旋转的位置所需的条件是( )

①三角形原来的位置; ②旋转中心; ③三角形的形状; ④旋转角.

A.①②④

B.①②③

C.②③④

D.①③④

【解析】选A.一个三角形旋转后的位置与三角形的形状无关.

【知识归纳】准确理解旋转变换中的“三个要素”

1.旋转中心:旋转中心是点而不是直线,比如生活中的开门、关门,虽然门转动了,但它是绕轴旋转一定的角度,所以不属于我们要研究的绕定点旋转.

2.旋转角:因为经过旋转,图形上每一个点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,所以任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,不要把图形中的某些对应角误以为是旋转角.

3.旋转方向:旋转方向通常指顺时针方向或逆时针方向.

2.下列关于旋转的说法不正确的是( )

A.旋转中心在旋转过程中保持不动

B.旋转中心可以是图形上的一点,也可以是图形外的一点

C.旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定

D.旋转由旋转中心所决定

【解析】选D.旋转由旋转中心、旋转角、旋转方向所决定.

【知识归纳】平移、轴对称、旋转的联系

1.共同点:都是一种图形的变换,变换前后的两个图形全等.

2.不同点:见表格.

3.(2013·玉溪中考)如图,点A,B,C,D都在方格纸的格点上,若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置,则旋转的角度为( )

A.30°

B.45°

C.90°

D.135°

【解析】选C.对应点与旋转中心的连线的夹角,就是旋转角,∠BOD,∠AOC都是旋转角.由图可知∠BOD=90°.

4.正方形ABCD又可看成是由正方形FGCE绕点,顺时针旋转得到的.

【解析】观察图形可得,旋转中心为点C,旋转角为180°.

答案:C 180°

5.如图,若△ABD绕A点逆时针方向旋转60°得到△ACE,

则(1)旋转中心是.

(2)图中为60°的角有.

【解题指南】找出旋转图形中的任何一组对应点,连接对应点和旋转中心所组成的角,该角即表示旋转角.

【解析】(1)根据旋转的概念可得旋转中心是点A.

(2)由题意可知旋转的角度为60°,点B和点C是一组对应点,点D和点E是一组对应点,对应点与旋转中心所连线段的夹角有∠BAC,∠DAE,所以∠BAC和∠DAE都表示旋转角,即∠BAC=∠DAE=60°.

答案:(1)点A (2)∠BAC,∠DAE

6.钟表的指针在不停地转动,从2时到6时,时针转动了度.

【解析】从2时到6时,时针转动了4个大格,每个大格30°,即120°.

答案:120

【知识拓展】12点后,时针与分针何时首次重合?

时针、分针转动一周都经过12大格或60小格.因此,每小时时针转动=30°,每分钟时针

转动=0.5°,每分钟分针转动=6°.设x时y分时针与分针重合,则时针转了

×30度,分针转了6y度,∵时针与分针重合其度数差为0°,∴×30-6y=0,∴y=x,当x=1时,得y=,∴时针与分针首次重合为1点分.

旋转的性质

1.在图形旋转中,下列说法错误的是( )

A.连接一组对应点和旋转中心正好组成一个等腰三角形

B.旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上

C.图形中每一个点的位置都要改变

D.图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等

【解析】选C.在旋转的过程中,如果图形上的某一个点是旋转中心,则该点的位置并不改变.

2.(2013·莆田中考)如图,将Rt△ABC(其中∠B=35°,∠C=

90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点

C,A,B1在同一条直线上,那么旋转角等于( )

A.55°

B.70°

C.125°

D.145°

【解析】选C.根据旋转的定义,可以得到旋转角为∠BAB1,因为∠BAB1是△ABC的外角,得到∠BAB1=90°+35°=125°.

3.如图,将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′B′C,若AC⊥A′B′,则

∠BAC等于( )

A.50°

B.60°

C. 70°

D.80°

【解析】选A.∵△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′B′C,∴∠ACA′=

40°,∴∠A′=90°-40°=50°,

∴∠BAC=∠A′=50°.

4.如图所示,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG,EF 交AD于点H,求DH的长.

【解析】连接线段HC,如图所示,

由旋转的性质可以知道∠BCF=∠DCG=30°,∴∠FCD=60°,

∵∠F=∠D=90°,FC=DC,HC是Rt△FHC和Rt△DHC公共的斜边,根据HL公理可以判断Rt△FHC ≌Rt△DHC,

∴∠FCH=∠DCH=30°,∴HC=2DH,

根据勾股定理可得DH2+DC2=HC2,

即DH2+DC2=(2DH)2,∵DC=3,∴DH=.

5.如图,在△ABC中,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角α(0°<α<90°)得到△A1B1C,连接

BB1.设CB1交AB于D,A1B1分别交AB,AC于E,F.在图中不再添加其他任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以证明(△ABC与△A1B1C全等除外).

【解析】由旋转性质,旋转角∠A1CA=α,△ABC≌△A1B1C.

∴∠A1=∠A,A1C=AC.

又∵AC=BC,∠A=∠CBA,∴∠A1=∠CBA,

又∵∠A1CF=∠BCD=α,A1C=BC,∴△A1FC≌△BDC.

【错在哪？】作业错例课堂实拍

如图,将△ABC逆时针旋转得到△ADE,若∠DAC=15°,∠BAE=105°,AB=AD,则旋转角度为多少度?

(1)找错:从第步开始出现错误.

(2)纠错:

.

答案: (1)①

(2)∵∠BAD和∠CAE都表示旋转角,∠BAE=105°,∴∠BAD+∠CAE+

∠DAC=105°,即2∠BAD+15°=105°,得∠BAD=45°,所以旋转角为45°.

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2019-2020年九年级数学上册提技能·题组训练 23.2.1

中心对称的概念及性质

1.下列说法不正确的是( )

A.关于中心对称的两个图形面积相等

B.关于中心对称的两个图形周长相等

C.关于中心对称的两个图形的对称点连线经过对称中心

D.关于中心对称的两个图形一定关于直线对称

【解析】选D.关于中心对称的两个图形是全等图形,所以两个图形的面积相等,周长也相等;根据中心对称的性质可知:对称点连线经过对称中心;关于中心对称的两个图形不一定关于直线对称.

【特别提醒】中心对称的两个图形是全等图形,但是,两个全等图形不一定是中心对称.

2.(2013·梧州中考)如图,△ABC以点O为旋转中心,旋转180°后得到

△A′B′C′.ED是△ABC的中位线,经旋转后为线段E′D′.已知BC=4,则

E′D′=( )

A.2

B.3

C.4

D.1.5

【解析】选A.∵△A′B′C′是△ABC以点O为旋转中心,旋转180°后得到的,∴△A′B′C′≌△ABC,∴B′C′=BC,

∵ED是△ABC的中位线,∴E′D′是△A′B′C′的中位线,

∵BC=4,∴E′D′=B′C′=BC=2.

【互动探究】如果旋转的角度不是180°,而是170°,结果发生变化吗?

【解析】旋转角为170°时,结果不发生变化.

因为△A′B′C′是△ABC以点O为旋转中心,旋转170°后得到的,

∴△A′B′C′≌△ABC,∴B′C′=BC,

∵ED是△ABC的中位线,∴E′D′是△A′B′C′的中位线,

∵BC=4,∴E′D′=B′C′=BC=2.

3.已知A,B,O三点不共线,A,A′关于O对称,B,B′关于O对称,那么线段AB与

A′B′的关系( )

A.平行

B.相等

C.平行且相等

D.所在直线交于点O

【解析】选C.如图,∵A,A′关于O对称, B,B′关于O

对称,∴OA=OA′,OB=OB′,∠AOB=∠A′OB′,∴△ABO

≌△A′B′O,即AB=A′B′.∵△ABO≌△A′B′O,

∴∠A=∠A′,∴AB∥A′B′.

4.在图②③④⑤中,与图①是关于某一点成中心对称的为 .

【解析】根据中心对称的概念可得,把图①绕着某个点旋转180°后,可以和图③重合. 答案:图③

【知识归纳】中心对称与轴对称的区别与联系

5.如图所示的四组图形中,左边图形与右边图形成中心对称的有组.

【解析】根据中心对称的概念可得,成中心对称图形的有(1)(2)(3),共3组.

答案:3

6.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ABC和△AB′C′关于点A成中心对称.

(1)找出图中所有相等的线段.

(2)△ABC绕点A旋转了多少度?

(3)∠BB′C′是多少度?

【解析】(1)AB=AB′,AC=AC′,BC=B′C′. (2)180°.

(3)∠BB′C′=∠CBA=90°-30°=60°.

画一个图形关于某一点的对称图形

1.如图,将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE,则下列作图正确的是( )

【解析】选B.根据题意可知△AOB和△DOE关于点O成中心对称,所以选项B符合.

2.如图所示的图形是由三个半圆组成的图形,点O是大半圆的圆心,且

AC=CD=DB,则画出此图关于点O成中心对称的图形是( )

【解析】选C.根据题意可知:直径以上的半圆和直径以下的半圆是关于点O成中心对称的,所以选项C符合.

3.画出与线段AB关于点O成中心对称的图形.

【解题指南】解答本题的关键是分别画出点A、点B的对称点,然后连接两点的对称点,即可得到答案.

【解析】作法:(1)如图,连接AO,在AO的延长线上截取OA′=OA,即可以求得点A关于点O 的对称点A′.

(2)同理,可以求得点B关于点O的对称点B′.

(3)连接A′B′,就可以得到与AB关于点O对称的A′B′.

4.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,将△ABC绕点O旋转180°得到

△A1B1C1,再将△A1B1C1沿x轴翻折得到△A2B2C2.请依次画出△A1B1C1和△A2B2C2.

【解析】画图如下:

【知识归纳】中心对称的概念与作图方法

作出一个图形关于某一点成中心对称的图形,实质上是运用了中心对称的概念,利用连接并延长使之与已知点到对称中心的距离相等的方法将未知的对称点作出来.

【错在哪？】作业错例课堂实拍

如图,四边形ABCD为平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,E,F在直线BD上,

且BE=DF,写出图中关于点O成中心对称的三角形.

(1)错因:

(2)纠错:

答案：(1)遗漏对称中心在公共边上的情况.

(2)除了上面列举的四组外,还有△ABC与△CDA,△ABD与△CDB,△ADE与△CBF.

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