《数学建模》选题.

《数学建模》选题(一)

1、选址问题研究

在社会经济发展过程中, 经常需要在系统中设置一个或多个集散物质、传输信息或执行某种服务的“中心”。在设计和规划商业中心、自来水厂、消防站、医院、飞机场、停车场、通讯系统中的交换台站等的时候,经常需要考虑将场址选在什么位置才能使得系统的运行效能最佳。选址问题, 是指在指定的范围内, 根据所要求的某些指标,选择最满意的场址。在实际问题中,也就是关于为需要设置的“设施”选择最优位置的问题。选址问题是一个特殊类型的最优化问题,它属于非线性规划和组合最优化的研究范围。由于它本身所具有的特点,存在着单独研究的必要性和重要性。

1.1“中心”为点的情形

如图1，有一条河，两个工厂P 和Q位于河岸L（直线）的同一侧，工厂 P 和 Q 距离河岸L分别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米，现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个水泵站，向两工厂P、Q 输水，请你给出一个经济合理的设计方案。

图1 图2

（即找一点 R ，使 R 到P、Q及直线l的距离之和为最小。）

要求和给分标准：

提出合理方案，建立坐标系，分情况定出点R的位置，0分——70分。

将问题引申：

（１）、若将直线 L缩成一个点（如向水库取水），则问题就是在三角形内求一点R，使R到三角形三顶点的距离之和为最小（此点即为费尔马点）。

（２）、若取水的河道不是直线，是一段圆弧（如图2），该如何选点？

对引申问题给出给出模型和讨论30分——50分。

抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无模型优缺点讨论扣10分。

1.2“中心”为线的情形

在油田管网和公路干线的设计中提出干线网络的选址问题： 问题A ：在平面上给定n 个点n P P P ,,,21 ，求一条直线L ，使得

∑=n

i i

i

L P d w 1

),( （1）

为最小，其中i w 表示点i P 的权，),(L P d i 表示点i P 到第直线L 的距离。 问题B ：平面上给定n 条直线n L L L ,,,21 , 求一点X , 使

∑=n

i i

i

L X d w 1

),( （2）

为最小，其中i w 表示直线i L 的权，),(i L X d 表示点X 到第直线i L 的距离。 问题C ：在平面上给定n 个点n P P P ,,,21 ，求一条直线L ，使得

),(max 1L P d w i i n

i ≤≤ （1）

为最小，其中i w 表示点i P 的权，),(L P d i 表示点i P 到第直线L 的距离。 问题D ：平面上给定n 条直线n L L L ,,,21 , 求一点X , 使

),(max 1i i n

i L X d w ≤≤ （2）

为最小，其中i w 表示直线i L 的权，),(i L X d 表示点X 到第直线i L 的距离。

参考文献

【1】林诒勋, 尚松蒲. 平面上的点—线选址问题[J]. 运筹学学报,2002,6(3):61—68.

【2】尚松蒲, 林诒勋. 平面上的min-max 型点—线选址问题[J]. 运筹学学报,2003,7(3):83—91. 要求和给分标准：

选择问题A 和B(或者C 和D)进行研究：根据文献重述模型（10分），提出自己的算法(30分)，计算机仿真验证算法的正确性（40分，含如何在平面上随机产生n 个点，对每个点随机赋权，按照算法编程实现求干线的程序，并将寻得的干线和点在平面上图示，建议用MATLAB 编程）。 将问题引申：

如果同时确定两条、三条干线，应该如何讨论？其他情形的讨论？

对引申问题给出给出模型和讨论20分——30分。

抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无模型优缺

点讨论扣10分。

2 Hsieh 模型的参数估计方法研究

(本题目可三人共同完成，但工作量要基本相同，每个人的工作要写清楚)

Hsieh 模型为由（1）和（2）构成的如下非线性方程组：

()

1/2

22

A E F -=+ （1）

()1tan F E η-=- （2）

其中，

E =1-ωr c 2Kei(α)/(2T ),

F =ωr c 2Ker(α)/(2T ), α=r w (ωS /T )1/2

A 为井水位与不排水条件下含水层孔压的潮汐响应振幅比，称为相对振幅。η为井水位与孔压之间的相位差，取决于含水层的导水（渗透）性能；Ker 和Kei 分别为开尔文函数(在Matlab 中用besselk( )来表示)的实部和虚部；S 为储水系数，无量纲；T 为导水系数；ω为井水位某潮汐分波频率；r w =0.028m 为揭露含水层处井孔半径，或滤水管半径；r c = 0.0445m 为井水位波动范围处的井孔套管半径。A 和η对S 不敏感，但是对T 在一定取值区域内敏感。

问题：已知A 和η反推S 和T 及其两者的误差，即求解二元非线性方程组并由A 和η的误差估计S 和T 的误差。

振幅比A 和相位差η值(角度值，计算时要转化成弧度值)是通过实际数据求算出来的，存在一定的误差，它们的值及误差见如下数据。 相位移η 误差

振幅比A

误差 -6.485 0.201 0.964629451 0.014

-7.746 0.2 0.973051011 0.014

-8.702 0.18

0.969201155 0.013

-8.24 0.192 0.969682387 0.013 -8.606 0.208 0.978825794 0.015 -7.011 0.219 0.967276227 0.015 -6.66 0.158 0.990615977 0.011 -4.945 0.144 0.986525505 0.01 -6.047 0.158 0.983638114 0.011 -4.503 0.153 0.987247353 0.011 -5.603 0.215 0.985563041 0.015 -5.925 0.161 0.968960539 0.011 -4.702 0.206 0.981713186

0.015

-4.37 0.186 0.98147257 0.013

要求和给分标准：