含三角函数的导数问题复习整理
三角函数的导数解析与归纳
三角函数的导数解析与归纳在微积分中，研究导数是一个重要的课题。
导数给出了函数在每个点上的变化率，而对于三角函数，其导数的求解是十分常见且重要的。
本文将解析地探讨三角函数的导数，并对其进行归纳总结。
一、正弦函数的导数我们首先来看正弦函数的导数。
设函数y = sin(x)，则按照导数的定义：y' = lim(h->0) [sin(x+h) - sin(x)] / h利用三角函数的和差公式sin(a+b) = sin a*cos b + cos a*sin b，我们可以将上式展开得到：y' = lim(h->0) [sin x*cos h + cos x*sin h - sin x] / h= lim(h->0) [cos h*sin x + sin h*cos x - sin x] / h= lim(h->0) [2*sin(h/2)*cos(h/2)*sin x + sin h*cos x - sin x] / h根据极限的性质，lim(h->0) sin(h/2)/h = 1 和 lim(h->0) sin h/h = 1，于是上式变为：y' = lim(h->0) [2*sin(x/2)*cos(x/2)*sin x + sin x*cos x - sin x] / h= lim(h->0) [sin x*(2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1)] / h由于lim(h->0) 2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1 = 0，所以上式化简为： y' = lim(h->0) sin x*(2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1) / h= sin x * lim(h->0) [2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1] / h= sin x * 0= 0因此，我们得出结论：正弦函数的导数为零，即 d(sin(x))/dx = 0。
高中数学知识点总结三角函数的导数与极限
高中数学知识点总结三角函数的导数与极限高中数学知识点总结：三角函数的导数与极限一、三角函数的极限在高中数学中，我们经常遇到三角函数的极限问题。
三角函数的极限计算是求取无穷小量与无穷大量之间的关系，下面就来总结一些三角函数的极限。
1. 正弦函数的极限lim (x→0) sin(x) / x = 1这个极限可以通过泰勒级数展开或用几何图形说明来证明。
因为sin(x)的图像在x=0处有一条切线，斜率为1，所以极限值为1。
2. 余弦函数的极限lim (x→0) (cos(x) - 1) / x = 0余弦函数的图像在x=0处有一条切线，斜率为0，所以极限值为0。
3. 正切函数的极限lim (x→0) tan(x) / x = 1正切函数在x=0时，正切线斜率为1，因此极限值为1。
4. 余切函数的极限lim (x→0) csc(x) = ∞余切函数在x=0时趋于无穷大。
5. sec(x)与cot(x)的极限lim (x→0) sec(x) = 1lim (x→0) cot(x) = ∞在x=0处，sec(x)为1，cot(x)为无穷大。
二、三角函数的导数导数是函数在某一点上的变化率，下面我们来总结一下常见三角函数的导数。
1. 正弦函数的导数d/dx sin(x) = cos(x)2. 余弦函数的导数d/dx cos(x) = -sin(x)3. 正切函数的导数d/dx tan(x) = sec^2(x)4. 余切函数的导数d/dx cot(x) = -csc^2(x)5. 正割函数的导数d/dx sec(x) = sec(x) * tan(x)6. 余割函数的导数d/dx csc(x) = -csc(x) * cot(x)三、三角函数的导数与极限的应用三角函数的导数与极限在物理、工程、计算机科学等领域有广泛的应用。
下面举几个例子说明其应用。
1. 物理学中的振动问题物理学中很多振动问题涉及到角度的变化，而角度变化与三角函数有密切关系，通过计算三角函数的导数和极限，可以得到振动过程中的速度和加速度等相关信息。
高中数学导数带有三角函数的题型
高中数学导数带有三角函数的题型高中数学中，导数是一个非常重要的概念。
在实际应用中，我们常常会遇到一些带有三角函数的导数题目。
下面，我们将为大家介绍一些常见的带有三角函数的导数题型。
1. y = sin x这是最简单的带有三角函数的导数题型。
根据导数的定义，我们可以将其求导得到：y' = cos x2. y = cos x同样地，我们可以根据导数的定义求出 y = cos x 的导数：y' = -sin x3. y = tan xy = tan x 的导数需要用到求商法则。
我们可以将其写成：y = sin x / cos x然后求导：y' = (cos x * cos x + sin x * (-sin x)) / cos^2 xy' = 1 / cos^2 x4. y = cot xy = cot x 的导数同样需要用到求商法则。
我们可以将其写成： y = cos x / sin x然后求导：y' = (-sin x * sin x + cos x * cos x) / sin^2 xy' = -1 / sin^2 x5. y = sec xy = sec x 的导数也需要用到求商法则。
我们可以将其写成： y = 1 / cos x然后求导：y' = sin x / cos^2 x6. y = csc x同样地，y = csc x 的导数也需要用到求商法则。
我们可以将其写成：y = 1 / sin x然后求导：y' = -cos x / sin^2 x以上就是常见的带有三角函数的导数题型。
当然，还有其他一些比较复杂的题型，需要用到三角函数的求导公式。
在学习数学的过程中，我们应该多加练习，掌握各种题型的求导方法，以便更好地应用于实际问题的解决。
三角函数的导数与微分归纳
三角函数的导数与微分归纳三角函数是数学中常见的函数类型，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在微积分中，我们常常需要求解三角函数的导数，并且可以通过归纳法来推导出相应的微分公式。
本文将着重介绍三角函数的导数以及微分归纳的方法。
一、正弦函数的导数与微分1.1 正弦函数的定义与性质正弦函数是以周期性变化为特点的三角函数，通常表示为sin(x)，其中x为自变量。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，具有奇对称性和周期性。
1.2 正弦函数的导数求解正弦函数的导数需要使用极限的概念。
根据导数的定义，我们可以得到正弦函数的导数公式：d(sin(x))/dx = cos(x)即正弦函数的导数等于余弦函数。
1.3 正弦函数的微分归纳通过对正弦函数的导数进行积分，我们可以得到微分归纳的结果：∫cos(x)dx = sin(x) + C其中，C为常数。
这一结果被称为正弦函数的微分归纳公式。
二、余弦函数的导数与微分2.1 余弦函数的定义与性质余弦函数是另一种常见的三角函数，通常表示为cos(x)，其中x为自变量。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
余弦函数的图像是一条连续的波浪线，具有偶对称性和周期性。
2.2 余弦函数的导数同样地，求解余弦函数的导数需要使用极限的概念。
根据导数的定义，我们可以得到余弦函数的导数公式：d(cos(x))/dx = -sin(x)即余弦函数的导数等于负的正弦函数。
2.3 余弦函数的微分归纳通过对余弦函数的导数进行积分，我们可以得到余弦函数的微分归纳公式：∫-sin(x)dx = cos(x) + C其中，C为常数。
这一结果被称为余弦函数的微分归纳公式。
三、正切函数的导数与微分3.1 正切函数的定义与性质正切函数是另一种常见的三角函数，通常表示为tan(x)，其中x为自变量。
正切函数的定义域为实数集，值域为整个实数集。
正切函数的图像是一条连续的曲线，具有奇对称性和周期性。
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版导数与三角函数的问题在近几年的高考数学试题中频繁出现，主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数围、隐零点问题及零点存在性赋值理论。
这些问题的形式逐渐多样化、综合化。
一、零点存在定理例1.【2019全国Ⅰ理20】函数$f(x)=\sin x-\ln(1+x)$，$f'(x)$为$f(x)$的导数。
证明：1）$f'(x)$在区间$(-1,)$存在唯一极大值点；2）$f(x)$有且仅有2个零点。
解析】（1）设$g(x)=f'(x)$，则$g(x)=\cos x-\frac{1}{1+x}$，$g'(x)=-\sin x+\frac{1}{(1+x)^2}$。
当$x\in(-1,\frac{\pi}{2})$时，$g'(x)$单调递减，而$g'(0)>0$，$g'(\frac{\pi}{2})<0$，可得$g'(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$有唯一零点，设为$\alpha$。
则当$x\in(-1,\alpha)$时，$g'(x)>0$；当$x\in(\alpha,\frac{\pi}{2})$时，$g'(x)<0$。
所以$g(x)$在$(-1,\alpha)$单调递增，在$(\alpha,\frac{\pi}{2})$单调递减，故$g(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$存在唯一极大值点，即$f'(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$存在唯一极大值点。
2）$f(x)$的定义域为$(-1,+\infty)$。
i) 由(1)知，$f'(x)$在$(-1,0)$单调递增，而$f'(0)=0$，所以当$x\in(-1,0)$时，$f'(x)<0$，故$f(x)$在$(-1,0)$单调递减，又$f(0)=0$，从而$x=0$是$f(x)$在$(-1,0]$的唯一零点。
导数带三角函数大题
导数带三角函数大题一、导数与三角函数的关系1.1 导数的定义导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点处的变化率。
对于一个函数f(x)，在某一点x=a处的导数表示为f’(a)，可以通过极限的方式定义为：f’(a) = lim(delta x->0) (f(a+delta x) - f(a)) / (delta x)其中，delta x表示自变量的一个极小增量。
1.2 三角函数的基本性质三角函数包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。
它们具有以下基本性质：•正弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]，是一个奇函数；•余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]，是一个偶函数；•正切函数的定义域为除去所有整数倍的pi的点，值域为全体实数。
二、三角函数的导数公式2.1 正弦函数的导数根据导数的定义，可以求得正弦函数sin(x)的导数：d/dx sin(x) = lim(delta x->0) (sin(x+delta x) - sin(x)) / (delta x)利用三角函数的和差化积公式，可将上式拆分为：d/dx sin(x) = cos(x)因此，正弦函数的导数等于它的余弦函数。
2.2 余弦函数的导数类似地，可以求得余弦函数cos(x)的导数：d/dx cos(x) = lim(delta x->0) (cos(x+delta x) - cos(x)) / (delta x)同样利用三角函数的和差化积公式，可得：d/dx cos(x) = -sin(x)因此，余弦函数的导数等于它的负正弦函数。
2.3 正切函数的导数与之前类似，可求得正切函数tan(x)的导数：d/dx tan(x) = lim(delta x->0) (tan(x+delta x) - tan(x)) / (delta x)将tan(x)表示为sin(x)/cos(x)，可得：d/dx tan(x) = (d/dx sin(x) * cos(x) - d/dx cos(x) * sin(x)) / (cos(x))^2利用之前的导数结果，可得：d/dx tan(x) = 1 / (cos(x))^2 = sec^2(x)因此，正切函数的导数等于它的平方函数sec^2(x)。
导数与三角函数的综合的解题技巧
导数与三角函数的综合的解题技巧
1.使用导数公式：对于三角函数，有 sin'x=cosx, cos'x=-sinx, tan'x=sec^2x, cot'x=-csc^2x。
根据公式，可以快速求导数。
2.化简式子：如果要求导数的式子比较复杂，可以先把式子化简，再使用导数公式。
3.注意多项式函数：如果式子包含多项式函数，可以先对多项式函数求导，再根据导数公式求出整个式子的导数。
二、解题技巧
1.化简式子：对于一些比较复杂的题目，可以先把式子化简，减少计算难度。
2.注意特殊点：三角函数的周期性很强，要注意特殊点，如0度、90度、180度、270度、360度等，这些点的函数值会有特殊的表现。
3.使用变形公式：有些题目可以使用三角函数的变形公式，如和角公式、差角公式、倍角公式等，将原式化简成已知的函数形式，再进行计算。
4.备选法：如果在计算中出现不确定的式子，可以先把各种可能的取值列出来，再逐一验证。
综上所述，求导数和解题技巧是解决导数与三角函数综合题目的关键。
在解题过程中，要善于化简式子，注意特殊点，灵活运用三角函数的变形公式和备选法，从而提高解题的效率和准确性。
三角函数导数解题思想总结
三角函数导数解题思想总结三角函数的导数是求导中的一类特殊函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
求解三角函数的导数需要掌握一些基本的求导规则和公式，下面总结一下三角函数导数解题的思想。
1. 正弦函数的导数：根据求导的定义，可以得到正弦函数的导数公式：(sinx)' = cosx。
根据此公式，可以将正弦函数的求导转化为求余弦函数的导数，将求导的难度降低。
2. 余弦函数的导数：根据求导的定义，可以得到余弦函数的导数公式：(cosx)' = -sinx。
根据此公式，可以将余弦函数的求导转化为求负的正弦函数的导数，将求导的难度降低。
3. 正切函数的导数：根据求导的定义，可以得到正切函数的导数公式：(tanx)' = sec^2x。
根据此公式，可以将正切函数的求导转化为求其它三角函数的导数，将求导的难度降低。
4. 其它常见三角函数的导数：对于其他常见的三角函数，如反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等，可以利用链式法则求导。
链式法则：设y = f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
在应用链式法则求导时，需要将三角函数复合函数的内外函数分别找出，并分别求导。
5. 常见的三角函数导数公式：- 正弦函数的导数：(sinx)' = cosx- 余弦函数的导数：(cosx)' = -sinx- 正切函数的导数：(tanx)' = sec^2x- 反正弦函数的导数：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)- 反余弦函数的导数：(arccosx)' = -1/√(1-x^2)- 反正切函数的导数：(arctanx)' = 1/(1+x^2)在解题时，首先要确定所求函数是否为三角函数，并根据函数的特点选择相应的求导公式。
如果遇到复合函数求导，可以利用链式法则。
另外，注意在应用求导公式时，要注意变量的取值范围，避免出现定义域之外的情况。
导数与函数的三角函数关系归纳
导数与函数的三角函数关系归纳在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。
而三角函数则是数学中常见的一类函数，它们在解决角度相关问题时具有重要作用。
在本文中，我们将探讨导数与函数的三角函数关系，并对相关归纳结果进行总结。
一、正弦函数与导数的关系在微积分中，正弦函数常被记作sin(x)，其中x为自变量。
下面我们来探讨正弦函数与其导数之间的关系。
1. 导数定义导数可以用以下公式定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]2. 正弦函数的导数对于正弦函数sin(x)，我们可以通过求导的方法得到其导数。
根据导数的定义，我们有：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin(x+h) - sin(x)}{h}\]利用三角函数的加法公式sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)，我们可以将上式改写为：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x)}{h}\]再利用极限的性质和三角函数的性质，我们可以简化上式，并得到正弦函数的导数公式：\[f'(x) = cos(x)\]综上所述，正弦函数的导数为cos(x)。
二、余弦函数与导数的关系与正弦函数类似，余弦函数也是一种常见的三角函数。
下面我们来讨论余弦函数与导数之间的关系。
1. 导数定义依然使用导数的定义，我们有：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]2. 余弦函数的导数对于余弦函数cos(x)，我们可以通过求导的方法得到其导数。
根据导数的定义，我们有：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x+h) - cos(x)}{h}\]同样利用三角函数的加法公式cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)，我们可以将上式改写为：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x)cos(h) - sin(x)sin(h) - cos(x)}{h}\]再利用极限的性质和三角函数的性质，我们可以简化上式，并得到余弦函数的导数公式：\[f'(x) = -sin(x)\]综上所述，余弦函数的导数为-sin(x)。
三角函数的导数与变化率知识点总结
三角函数的导数与变化率知识点总结三角函数是数学中常见的函数类型之一，在微积分中，了解三角函数的导数和变化率是非常重要的。
本文将对三角函数的导数和变化率进行总结，帮助读者更好地理解和应用相关知识。
一、正弦函数的导数与变化率1. 正弦函数的导数:正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，其导数能够帮助我们研究函数的变化趋势。
根据导数的定义，我们可以得到正弦函数的导数公式：f'(x) = cos(x)2. 正弦函数的变化率:正弦函数的变化率描述了函数在不同点上的斜率，也可以理解为函数在某一点处的瞬时速度。
对于正弦函数，其变化率的取值范围在-1到1之间。
二、余弦函数的导数与变化率1. 余弦函数的导数:余弦函数是另一个常见的三角函数，在微积分中同样需要掌握其导数表达式。
根据导数的定义，我们可以得到余弦函数的导数公式：f'(x) = -sin(x)2. 余弦函数的变化率:余弦函数的变化率同样描述了函数在不同点上的斜率，也可以理解为函数在某一点处的瞬时速度。
对于余弦函数，其变化率的取值范围同样在-1到1之间。
三、其他三角函数的导数与变化率1. 正切函数的导数:正切函数是通过正弦函数和余弦函数的比值得到的，因此其导数的计算需要运用到商规则和链式法则。
正切函数的导数公式为：f'(x) = 1/cos^2(x) = sec^2(x)2. 正切函数的变化率:正切函数的变化率同样描述了函数在不同点上的斜率，也可以理解为函数在某一点处的瞬时速度。
对于正切函数，其变化率在不同点上没有上下限。
四、总结与应用三角函数的导数和变化率是微积分中的基础知识，对于理解和应用微积分概念和方法具有重要意义。
在实际问题中，我们常常需要利用三角函数的导数来求解相关的最值、极值点和变化趋势等。
掌握了三角函数的导数和变化率，我们可以更好地理解和分析函数的行为，为解决实际问题提供有力的数学工具。
三角函数的导数与变化率知识点总结至此。
导数跟三角函数结合高考总结
一、利用洛必达法则或导数的定义含参数的导数问题的一大常见方法是分离参数，然后转化为不含参数的函数的最值问题的求解.对有些与三角函数进行交汇的导数问题，也是一大处理策略.但有些试题，在分离参数后，得出函数的单调性后，最值不存在，上界或下界却存在，但却难于直接求解处理，此时，洛必达法则可派上用场。
比如例1二、利用函数的有界性有界性是很多函数的一大特性，在导数问题中，含参数的不等式恒成立问题是一大热点，除了分离参数外，分类讨论思想是这类问题的一大利器，但如何进行分类讨论是问题的难点.在与三角函数进行交汇的这类导数问题中，若能有效地利用三角函数的有界性，则能实现快速找到分类讨论的依据，从而实现问题的求解。
比如例2三、利用隔离直线对于较为复杂的函数，如果直接构造一个函数可能很难甚或无法解决.此时，如能通过等价转化，并进行适当的变形，转化为两个函数来处理，问题可能大大简化.我们经常会遇到这种情形：两个函数的图像分别被某条直线隔离，这种现象实际上与不等式恒成立问题有着非常密切的联系.如果我们能够找到这条直线，然后再构造两个差函数，问题往往能迎刃而解。
比如例3四、利用设而不求在高中数学中，“设而不求”是非常重要的一种数学思想，这种思想方法是在解题过程中，由于要使用到某个方程的根，但由于这个根无法求出，或虽可求出但却不直接求出，而是通过设出未知数，并借助一定的手段进行消元或代换的种思想方法.这个设出的未知数起到非常重要的桥梁作用.笔者在教学过程中发现，这种思想方法主要应用在导数与解析几何中。
比如例4五、利用不等式的性质导数问题与不等式相结合是近几年高考的常态，与三角函数交汇的导数不等式问题的有一定的挑战性.因此，如何利用不等式的性质是关键对涉及绝对值的不等式问题，三角不等式是解题的利器.比如例5。
导数与三角函数的综合的解题技巧
导数与三角函数的综合的解题技巧
导数与三角函数的综合问题在高中数学中是比较常见的，掌握相关的解题技巧可以提高解题效率。
以下是一些解题技巧：
1. 对于导数问题，首先要掌握导数的定义和求导法则，特别是常见函数的导数。
2. 对于三角函数问题，需要了解各种三角函数的定义、性质和公式，以及它们与圆的关系。
3. 对于综合问题，需要根据题目中的信息建立函数关系式，并利用已知条件求解未知量。
4. 注意变量的定义域和值域，避免出现无解或多解的情况。
5. 利用图像、几何等方法辅助解题，特别是对于三角函数问题，画出对应的三角函数图像可以更好地理解和解决问题。
6. 注意符号的使用，特别是导数的正负号和三角函数的周期性等特点。
综合运用上述技巧，可以较为高效地解决导数与三角函数的综合问题。
但需要注意的是，这些技巧只是解题中的辅助手段，关键还是要理解数学概念和方法，熟练掌握解题技巧才能更好地应对各种高中数学考试题目。
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专题25 导数中的三角函数问题(解析版)
专题25导数中的三角函数问题1．已知函数()e (sin cos )x f x x x kx =++，R k ∈，()(),()().g x f x h x g x ''==(1)已知(0)(0)f h =，求k 的值；(2)是否存在k ，使得对任意R x ∈，恒有()2()2()0h x g x f x -+=成立？说明理由.【解析】(1)因为()()()e 2cos x g x f x x kx k '==++，()()()e 2cos 2sin 2xh x g x x x kx k '==-++，所以()022h k =+，而()01f =，由221k +=解得12k =-．(2)对任意R x ∈，()2()2()0h x g x f x -+=恒成立，即()()e 2cos 2sin 22e 2cos 2e (sin cos )0x x x x x kx k x kx k x x kx -++-+++++=，化简可得，0kx =，所以0k =时，可使得对任意R x ∈，恒有()2()2()0h x g x f x -+=成立．2．设函数()sin x f x e a x b =++.（1）若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求,a b 的值；（2）当[)1,0,a x =∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围.【解析】（1）由()sin x f x e a x b =++得：()cos x f x e a x =+'，且()01f b =+.由题意得：()001f e a '=+=，即0a =，又()0,1b +在切线10x y --=上.∴0110b ---=，得2b =-.（2）当1a =时，()sin x f x e x b =++，得()cos xf x e x '=+，当[)0,x ∈+∞时，[]1,cos 1,1xe x ≥∈-，当cos 1x =-时，2,x k k N ππ=+∈，此时e 1x >.∴()0f x ¢>，即()f x 在[)0,+∞上单调递増，则()()min 01f x f b ==+，要使()0f x ≥恒成立，即10b +≥，∴1b ≥-.3．设函数()2cos ,x f x e a x a =+∈R ．（1）若()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，求实数a 的取值范围；（2）证明：当[]1,2,0,2a x π⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭时，()23f x x +．【解析】（1）设()2,()cos x g x e h x a x ==，因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()g x 为增函数，当0a ≥时，0()h x a ≤≤，22()2g x e π<<，所以()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒大于零，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不存在零点，当0a <时，()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，根据增函数的和为增函数，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上若有零点，则仅有1个，所以(0)()02f f π<，即2(2)20a e π+⋅<，解得2a <-，所以实数a 的取值范围(,2)-∞-（2）证明：设()()232cos 23x G x f x x e a x x =--=+--，则'()2sin 2x G x e a x =--，则'0(0)2sin 020G e a =--=，所以''()2cos xG x e a x ⎡⎤=-⎣⎦，因为[1,2]a ∈，所以''()0G x ⎡⎤≥⎣⎦，所以'()G x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，'()0G x >在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()G x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，而(0)231G a a =+-=-，因为[1,2]a ∈，所以(0)0G ≥，所以()0G x ≥恒成立，所以当[1,2]a ∈时，()23f x x +4．已知函数()sin ,[0,],0x f x ae x x x a π=++∈<.（1）证明：当1a =-时，函数()f x 有唯一的极大值；（2）当()21f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）证明：()e cos 1x f x a x '=++，因为[]0,x π∈，所以1cos 0x +≥，当1a =-时，()cos 1x f x e x '=-++，令()e cos 1,()e sin 0x x g x x g x x '=-++=--<，()g x 在区间[]0,π上单调递减；(0)121,()e 0g g ππ=-+==-<，存在()00,π∈x ，使得()00f x '=，所以函数()f x 递增区间是[]00,x ，递减区间是[]0,x π.所以函数()f x 存在唯一的极大值()0f x .（2）由()21f x x <-，即令()e sin 10,0,()e cos 10'=+-+<<∴=+-<x x h x a x x a h x a x ，()h x ∴在区间[]0,π上单调减函数，()(0)1≤=+h x h a ，只要10a +<即可，即1a <-.5．已知函数()cos x f x e x ax =--．（1）当a=2时，证明：()f x 在(),0-∞上单调递减．（2）若对任意x≥0，()cos f x x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）证明：当a=2时，函数()cos 2x f x e x x =--，()sin 2x f x e x '=+-，若0x <，则1x e <，．因为sin 1x <，所以()sin 20x f x e x '=+-<，故()f x 在(),0-∞上单调递减．（2）解：当0x =时，()01f x =≥-，对a ∈R 恒成立；当x>0时，由()cos f x x x >-，整理得1xea x≤-．设()1xe g x x=-，则2(1)()x e x g x x -'=．令()0g x '>，得1x >，则()g x 在()1,+∞上单调递增令()0g x '<，得01x <<，则()g x 在(0，1)上单调递减．所以min ()(1)1g x g e ==-，1a e -≤．综上，实数a 的取值范围是(],1e -∞-．6．已知函数()()e cos xf x a x x a R =--∈(1)若2a =，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在()0,π上有两个极值点，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当2a =时，()2e cos xf x x x =--，()2e sin 1x f x x '∴=+-，()002e sin 011f '∴=+-=，()02e cos0010f --== ，∴()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为()110y x -=⨯-，即10x y -+=；（2）()f x 在()0,π上有两个极值点等价于()e sin 10xf x a x '=+-=在()0,π上有两个不同的实数根，即1sin e x x a -=在()0,π上有两个不同的实数根，令()1sin e xxh x -=，()0,πx ∈，()π1sin cos 14ee xxx x x h x ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭'∴==令()0h x '=，解得π2x =，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增；又()01sin 001e h -==，π2π1sin π202e h -⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()πππ1sin π1πe 0,1e e h --===∈，∴当()π0,e a -∈时，方程1sin exx a -=在()0,π上有两个不同的实数根，∴实数a 的取值范围为()π0,e -.7．已知函数()e sin xf x x ax=+(1)若1a =，判断f （x ）在（2π-，0）的单调性；(2)()f x 在[0，2π]上有且只有2个零点，求a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，()e sin ,(,0)2xf x x ax x π=+∈-()e sin e cos 1sin 14x x x f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭'.当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以sin 112424x x ππ⎛⎫⎛⎫-<+<-<+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0e 1x <<，sin 14xx π⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，从而()0f x '>，所以，f （x ）在（2π-，0）上单调递增；（2）由函数()e sin 0,2xf x x axx π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，，可知()00f =，则f （x ）在0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上有且只有1个零点.()e sin e cos x x f x x x a +'=+，令()e sin e cos x x h x x x a =++，则()2e cos 0xh x x '=≥在[0.2π]上恒成立.即()f x '在[0，2π]上单调递，()201e 2f a f aππ⎛'⎫=+=⎪⎭'+ ⎝，当1a ≥-时，()()00f x f '≥'≥，f （x ）在[0.2π]上单调递增.则f （x ）在（0，2π]上无零点，不合题意，舍去，当π2e a ≤-时，()02f x f π⎛⎫'≤'≤ ⎪⎝⎭，()f x 在[0，2π]上单调递减，则()f x 在（0，2π]上无零点，不合题意，舍去，当2e 1a π-<<-时，2(0)10,()e 02f a f a ππ'=+<'=+≥则()f x '在（0，2π）上只有1个零点，设为0x .且当0(0,)x x ∈时，()0f x <′；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >′所以当()00x x ∈，时，()f x 在（0，0x ）上单调递减，在（0x ，2π）上单调递增，又()200e 22f f a πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，，因此只需2e 022f a ππ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭即可，即22e 1a ππ-≤<-综上所述：22e 1παπ-≤<-8．已知函数()sin cos f x x ax x =-，a ∈R(1)若()f x 在0x =处的切线为y x =，求实数a 的值；(2)当13a ≥，[0,)x ∈+∞时，求证：()2.f x ax ≤【解析】(1)∵()cos cos sin f x x a x ax x '=-+，∴(0)11f a '=-=，∴0a =(2)要证()2f x ax ≤，即证sin cos 2x ax x ax -≤，只需证sin (2cos )x ax x ≤+，因为2cos 0x +>，也就是要证sin 02cos x ax x -≤+，令sin ()2cos xg x ax x =-+，22cos (2cos )sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x g x a a x x +--+'=-=-++∵13a ≥，∴2222cos 11(cos 1)()0(2cos )33(2cos )x x g x x x +--'≤-=≤++∴()g x 在[0,)+∞为减函数，∴()(0)0g x g ≤=，∴sin cos 2x ax x ax -≤，得证9．已知函数()ln f x x x =.(1)求()f x 的图象在点()()1,1A f 处的切线方程，并证明()f x 的图象上除点A 以外的所有点都在这条切线的上方；(2)若函数()()()ln 1sin cos g x x x f x x =+-，1π,e 2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，证明：()11cos e e g x ≥.（其中e 为自然对数的底数）【解析】(1)()ln f x x x = ，则()1ln f x x '=+，()()11,10f f '∴==.()f x ∴的图象在点()()1,1A f 处的切线方程为1y x =-.设()ln 1h x x x x =-+，则()ln h x x '=，令()0h x '<，得()0,1x ∈；令()0h x '>，得()1,x ∈+∞.()h x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴当0x >且1x ≠时，()()10h x h >=，()f x ∴的图象上除点A 以外的所有点都在这条切线的上方；(2)由题可知，()()ln 1sin ln cos g x x x x x x =+-，1π,e 2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.()()sin 1ln 1cos ln cos cos ln sin ln sin ,xg x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫'∴=++--+=+ ⎪⎝⎭1π,e 2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，sin 0x ∴>，由（1）知ln 1x x x ≥-，当且仅当1x =时，等号成立，11ln 1110x x x x x ∴+≥+-≥-=>.()0g x '∴>，函数()g x 在区间1π,e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数。
第29讲 带三角函数的导数题(解析版)
第二十九讲带三角函数的导数题知识与方法带有三角函数的导数题，处理方法与指数、对数、多项式函数有类似的地方，也有不同之处.在研究带三角部分的函数的零点、单调性时，除了常规的那些方法之外，还要适时运用下面的几个技巧：1.sin x 和cos x 的有界性：例如当x →+∞时，x ，x e ，ln x 这些部分都会不断增大，趋于+∞，而sin x ，cos x 则始终在[]1,1-内震荡，利用这一特征，我们可以抓住函数的各个部分之中影响函数值的主要部分，放缩掉次要部分，进而分区间进行讨论.这是三角类导数题相比其它导数题最主要的独特特征.2．取点技巧：在论证函数零点时，往往需要取点，而三角函数的取点，很多时候可以考虑取一些特殊的角，如2π、π、π-等.3．三角不等式：sin tan x x x <<02x π⎛⎫<< ⎪⎝⎭，熟悉这一不等式及其图形背景，解决问题时可用于适度放缩.典型例题【例1】已知函数()()12sin 0f x x x x =+->，()()sin 0g x x x x =-≥（1）求()f x 和()g x 的最小值；（2）证明：()2xf x e ->【解析】解：（1）由题意，()12cos f x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在()0,π上的最小值为133f ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又当x π≥时，()12sin 123f x x x f ππ⎛⎫=+-≥+-> ⎪⎝⎭，所以()f x的最小值为13π+-，另一方面，()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增．故()()min 00g x g ==.（2）要证()2x f x e ->，只需证212sin x x x e -+->，即证()212sin 1x x x e +->，设()()212sin x h x x x e =+-()0x >，则()()()22324sin 2cos 22sin 32sin 2cos x x h x x x x e x x x x e '=+--=-+--，由（1）知当0x >时，sin x x >，所以22sin 0x x ->，而32sin 2cos 304x x x π⎛⎫--=-+> ⎪⎝⎭，所以()0h x '>在()0,+∞上恒成立，故()h x 在()0,+∞上单调递增，结合()01h =知()1h x >，所以()212sin 1x x x e +->，故不等式()2x f x e ->成立.【例2】已知函数()ln 2sin f x x x x =-+，()f x '为()f x 的导函数.（1）证明：()f x '在()0,π上存在唯一的零点；（2）判断()f x 的零点个数，并给出证明.【解析】解法1：（1）由题意，()f x 的定义域为()0,+∞，()112cos f x x x'=-+，()212sin f x x x ''=--，当()0,x π∈时，()0f x ''<，所以()f x '在()0,π上单调递减，又()12cos10f '=>，2102f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以()f x '在()0,π上存在唯一的零点.（2）设()f x '在()0,π上的零点为0x 012x π⎛⎫<< ⎪⎝⎭，由（1）可得当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x x π∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，111111ln 2sin ln 22sin 222222f ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，因为126π<，所以1sin sin 262ππ<=，故12sin12<，而1ln 212--<-，所以102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又ln 20222f πππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以()f x 在1,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点，又()ln 0f πππ=-<，所以()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，另一方面，当3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()112cos 0f x x x '=-+<，所以()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎣⎦上没有零点，当32x π>时，易证ln 2x x x e ≤<,，所以()ln 2sin 2sin 2sin 22x xf x x x x x x x =-+<-+=-，而2sin 2x ≤，1132222x π>⨯>，所以()0f x <，故()f x 在3,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上没有零点，综上所述，()f x 在定义域()0,+∞上有且仅有2个零点.解法2：（1）由题意，()f x 的定义域为()0,+∞，()112cos f x x x '=-+，()212sin f x x x''=--，当()0,x π∈时，()0f x ''<，所以()f x '在()0,π上单调递减，又303f ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，2102f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以()f x '在()0,π上存在唯一的零点.（2）设()f x '在()0,π上的零点为0x 032x ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，由（1）可得当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x x π∈时，()0f x '<，()f x单调递减，22211122sin 0f e e e ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭，()0ln 0333f x f πππ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在021,x e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，又()ln 0f πππ=-<，所以()f x 在()0,x π上有一个零点，当[],2x ππ∈时，()ln 2sin ln f x x x x x x =-+≤-，易证ln 1x x ≤-，所以ln 110x x x x -≤--=-<，从而()0f x <恒成立，故()f x 在[],2ππ上没有零点，当()2,x π∈+∞时，()ln 2sin ln 2f x x x x x x =-+≤-+，设()()ln 22g x x x x π=-+>，则()110g x x'=-<，所以()g x 在()2,π+∞上单调递减，结合()()2ln 2220g πππ=-+<知()0g x <，所以()0f x <，故()f x 在()2,π+∞上没有零点，综上所述，()f x 在定义域()0,+∞上有且仅有2个零点.【例3】已知函数()ln sin f x a x x x =-+，其中a 为非零常数.（1）若函数()f x 在()0,+∞上单调递增，求a 的取值范围；（2）设3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 1sin θθθ=+，证明：当2sin 0a θθ<<时，()f x 在()0,2π上恰有两个极值点.【解析】（1）由题意，()cos 1af x x x'=-+，因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以()0f x ''≥恒成立，即cos 10ax x-+≥，所以()cos 1a x x ≥-，因为0x >，cos 10x -≤，所以()cos 10x x -≤,又当2x π=时，()cos 10x x -=，所以()cos 1x x -的最大值是0，因为()cos 1a x x ≥-，所以0a ≥，故实数a 的取值范围是[)0,+∞.（2）由（1）知()()1cos 1cos a f x x a x x x x x'=-+=-+设()cos g x a x x x =-+()02x π<<，则()cos sin 1g x x x x '=-++，()2sin cos g x x x x ''=+，当0x π<≤时，cos 10x -+>，sin 0x x ≥，所以()0g x '>；当32x ππ<<时，()0g x ''<，所以()g x '在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又()20g π'=>，331022g ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以()g x '在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点，又3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且cos 1sin θθθ=+，所以()cos sin 10g θθθθ'=-++=，从而()g x '在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的零点就是θ，且当x πθ<<时，()0g x '>，当302x π<<时，()0g x '<；当322x ππ≤<时，易得()3cos sin 0g x x x x '''=->，所以()g x ''在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为3202g π⎛⎫''=-<⎪⎝⎭，()220g ππ''=>所以()g x ''在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，记作0x ，且当032x x π≤<时，()0g x ''<；当02x x π<<时，()0g x ''>，所以()g x '在03,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在()0,2x π上单调递增，又331022g ππ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，()20g π'=，所以()0g x '<在3,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立；综上所述，当0x θ<<时，()0g x '>；当02x π<<时，()0g x '<，所以()g x 在()0,θ上单调递增，在(),2θπ上单调递减，()()02g g a π==，()cos g a θθθθ=-+，又2sin 0a θθ<<，且cos 1sin θθθ=+，所以()00g <，()20g π<，()()2cos 1sin sin 0g a a a θθθθθθθθθθ=-+=-++=->，从而()g x 在()0,θ和(),2θπ上各有一个零点，分别记作1x 和2x ，则()()1200f x g x x x x '>⇔>⇔<<，()()1000f x g x x x '<⇔<⇔<<或22x x π<<，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()12,x x 上单调递增，在()2,2x π上单调递减，故()f x 在()0,2π上恰有两个极值点.强化训练1.已知函数()ln f x x x ax =-()a ∈R （1）讨论()f x 在()1,+∞上的单调性；（2）当1a =时，判断()()3cos 22F x f x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的零点个数，并说明理由.【解析】（1）由题意，()ln 1f x x a '=+-，且当1x >时，ln 0x >，当1a ≤时，10a -≥，所以()0f x '>，从而()f x 在()1,+∞上单调递增；当1a >时，()10a f x x e -'>⇔>，()101a f x x e -'<⇔<<，所以()f x 在()11,a e -上单调递减，在()1,a e -+∞上单调递增.（2）当1a =时，()ln f x x x x =-，()3ln cos 22F x x x x x x ππ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，所以()ln sin F x x x '=-，()1cos 0F x x x ''=->，从而()F x '在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又ln 1022F ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，33ln 1022F ππ⎛⎫'=+>⎪⎝⎭，所以()F x '在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点，记作0x ，且()0302F x x x π'>⇔<<，()002F x x x π'<⇔<<，故()F x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在03,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，因为ln 02222F ππππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，3333ln 02222F ππππ⎛⎫=->⎪⎝⎭，所以()F x 有且仅有1个零点.2．已知函数()3sin 2f x ax x =-，其中a ∈R ，且()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值为32π-.（1）求a 的值；（2）判断()f x 在()0,π上的零点个数，并给出证明.【解析】（1）()()sin cos f x a x x x '=+，显然sin cos 0x x x +≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以当0a >时，()0f x '≥，故()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而()max 332222f x f a πππ-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，解得：1a =，符合题意，当0a <时，()0f x '≤，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()()max 33022f x f π-==-≠，不合题意，当0a =时，()32f x =-，不合题意，综上所述，实数a 的值为1.（2）由（1）知()3sin 2f x x x =-，且()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()3002f =-<，3022f ππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，而()f x '在,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，又102f π⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()0f ππ'=-<，所以()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点1x ，当1,2x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>，当()1,x x π∈时，()0f x '<，故()f x 在1,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在()1,x π上单调递减，又3022f ππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()302f π=-<，所以()f x 在,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上有一个零点，综上所述，()f x 在()0,π上有且仅有2个零点.3．已知函数()sin x f x e x =（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，()f x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）由题意，()()sin cos sin 4x x f x e x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭所以()30sin 022224444f x x k x k k x k πππππππππ⎛⎫'>⇔+>⇔<+<+⇔-<<+⎪⎝⎭()370sin 022*******f x x k x k k x k ππππππππππ⎛⎫'<⇔+<⇔+<+<+⇔+<<+⎪⎝⎭，故()f x 的单调递增区间是32,244k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，单调递减区间是372,244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，其中k ∈Z .（2）()()0sin 0x f x ax f x ax e x ax ≥⇔-≥⇔-≥，设()sin 02x g x e x ax x π⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，则()()sin cos x g x e x x a '=+-，()2cos 0x g x e x ''=≥，所以()g x '在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，且()01g a '=-，22g e aππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭当1a ≤时，()00g '≥，所以()0g x '≥恒成立，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，又()00g =，所以()0g x ≥恒成立，即sin 0x e x ax -≥，满足题意；当2a e π≥时，02g π⎛⎫'≤ ⎪⎝⎭，所以()0g x '≤恒成立，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，又()00g =，所以当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x <，sin 0x e x ax -<，不合题意；当21a e π<<时，()00g '<，02g π⎛⎫'> ⎪⎝⎭，所以()g x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点，记作0x ，且()000g x x x '<⇔≤<，()002g x x x π'>⇔<≤，所以()g x 在[)00,x 上单调递减，结合()00g =可得当()00,x x ∈时，()0g x <，即sin 0x e x ax -<，不合题意；综上所述，实数a 的取值范围是(],1-∞.4．已知函数()()sin 1x f x e ax x a =-+-∈R .（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）当12a ≤<时，证明：()f x 有且仅有2个零点.【解析】（1）当2a =时，()2sin 1x f x e x x =-+-，()2cos x f x e x '=-+，()sin x f x e x ''=-，当0x ≥时，1x e ≥，sin 1x ≤，所以()0f x ''≥，故()f x '在[)0,+∞上单调递增，结合()00f '=知()0f x '≥，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，当0x <时，1x e <，cos 1x ≤，所以()2cos 0x f x e x '=-+<，从而()f x 在(),0-∞上单调递减，综上所述，()f x 的单调递增区间为[)0,+∞，单调递减区间为(),0-∞.（2）由题意，()cos x f x e a x '=-+，()sin x f x e x ''=-，当0x ≥时，()0f x ''≥，所以()f x '在[)0,+∞上单调递增，又12a ≤<，所以()020f a '=->，故()0f x '>恒成立，从而()f x 在[)0,+∞上单调递增，结合()00f =知()f x 在[)0,+∞上有且仅有一个零点，当时0x π-≤<，0x e >，0sinx ≤，所以()0f x ''>，从而()f x '在[),0π-上单调递增，又()10f e a ππ-'-=--<，()020f a '=->，所以()f x '在(),0π-上有一个零点0x ，且当[)0,x x π∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,0x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()10f e a πππ--=+->，()00f =，所以()f x 在(),0π-上有一个零点，当x π<-时，()sin 1sin 120x x f x e ax x e a x a ππ=-+->++->->，所以()f x 无零点，综上所述，()f x 有且仅有2个零点.5.已知函数()ln cos 02f x x ax x x x π⎛⎫=+-<≤ ⎪⎝⎭（1）当1a =-时，设()()f x g x x=，证明：()0g x <；（2）若()f x 恰有2个零点，求a 的最小整数值.【解析】（1）当1a =-时，()ln cos 02f x x x x x x π⎛⎫=--<≤ ⎪⎝⎭，()ln cos 1x g x x x =--，()21ln sin 0x g x x x -'=+>，所以()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，又2ln 1022g πππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以()0g x <恒成立.（2）当1a ≤时，()ln cos ln cos f x x ax x x x x x x =+-≤+-，当01x <≤时，ln 0x ≤，()cos cos 10x x x x x -=-<，所以ln cos 0x x x x +-<，从而()0f x <，当12x π<≤时，设()ln cos h x x x x x =+-12x π⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，则()1cos sin 1h x x x x x '=+--，()212sin cos 0h x x x x x ''=---<，所以()h x '在1,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又()1 cos1sin10h '=-<，所以()0h x '<，从而()h x 在1,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，因为()1cos110h =-<，所以()0h x <，即ln cos 0x x x x +-<，故()0f x <，所以当1a ≤时，()0f x <恒成立，从而()f x 没有零点；当2a =时，()ln 2cos f x x x x x =+-，()12cos 2sin 1f x x x x x'=+--，()214sin 2cos 0f x x x x x ''=---<，所以()f x '在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又11112cos sin 0222f ⎛⎫'=+-> ⎪⎝⎭，()12cos12sin10f '=-<，所以()f x '在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有1个零点，记作0x ，则()000f x x x '>⇔<<，()002f x x x π'<⇔<≤，从而()f x 在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，因为111111ln cos cos ln 20222222f ⎛⎫=+-=--< ⎪⎝⎭，()12cos112cos103f π=->-=，ln 0222f πππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以()f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2π⎛⎫⎪⎝⎭上各有1个零点，从而()f x 共有2个零点，故a 的最小整数值为2.6.已知函数()sin x x xf x e a=-（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x b =+，求a ，b 的值；（2）若03a <<，讨论()f x 在()0,π上的零点个数.（参考数据：24.8e π≈）【解析】（1）由题意，()sin x x x f x e a =-，()1cos x x x f x e a -'=-，所以()00f =，()101f a'=-，一方面，()1012f a'=-=，所以1a =-，另一方面，切点()0,0在切线2y x b =+上，所以0b =.（2）由（1）可得()()1cos 1cos xx xa x e xx x f x e a ae ---'=-=，设()()1cos x g x a x e x =--()0x π<<，则()()cos sin x g x a e x x '=---，()()()cos sin sin cos 2sin 0x x xg x e x x e x x e x ''⎡⎤=--+--=>⎣⎦，所以()g x '在()0,π上单调递增，由于03a <<，所以()010g a '=--<，()0g a e ππ'=-+>，从而()g x '在()0,π上有唯一的零点，记作0x ，且()000g x x x '<⇔<<，()00g x x x π'>⇔<<，故()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x π上单调递增，()01g a =-，()()10x g a e ππ=-+>，当01a <≤时，()00g ≤，所以()g x 在()0,π上有唯一的零点，记作1x ，且当10x x <<时，()0g x <，所以()0f x '<，当1x x π<<时，()0g x >，所以()0f x '>，从而()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x π上单调递增，又()00f =，()0f e πππ=>，所以()f x 有且仅有1个零点，当13a <<时，()00g >，又1022g a ππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 在()0,π上有2个零点，记作2x ，3x ()23x x <，且当20x x <<或3x x π<<时，()0g x >，所以()0f x '>，当23x x x <<时，()0g x <，所以()0f x '<，从而()f x 在()20,x 上单调递增，在()23,x x 上单调递减，在()3,x π上单调递增，又()00f =，222120222a e f a e ae ππππππ-⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，()0f e πππ=>，所以()f x 共有2个零点.。
学霸专题：含三角函数的导数压轴题(答案版)
论参数的范围，构造恰当的函数讨论单调性，考查学生的计算能力和转化能力.
3．（1）在
3
,
0
或
3
,
上单调递减，在
,
3
或
0,
3
上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；
（2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为 f (x) 在 (0, ) 有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性
2
4a
1
0
，
∴ x ln 1 2a
28a2 4a
4a
1
时，
g(x)
g
ln
1
2a
28a 2 4a
4a
1
0
，
2
从而，由零点存在定理知，存在
x0
0,
ln
1
2
a
28a 4a
2
4a
1
，使得
gx0ຫໍສະໝຸດ 0.当 x 0, x0 时， g(x) 0 ，此时， g(x) g 0 0 ，不合题意.
学霸专题：含三角函数的导数压轴题答案 1．（Ⅰ） f x 在 , 0 单调递减，在 0, 单调递增；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）代入 a 的值，求出函数的导数，确定导数的符号，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）x 0 是 f x 的一个零点，通过讨论 x 的范围，结合 a 的取值范围，求出 f x 的单调性，得到 f x 在 , 0 上有 1 个零点，从而证明结论. 【解析】（Ⅰ）当 a 2 时， f x ex 2x sin x 1，则 f x ex 2 cos x ，可得 f x ex sin x . 当 x 0, 时，ex 1， f x 1 sin x 0 ， f x 在 0, 单调递增， f x f 0 0 ， f x 在 0, 单调递增. 当 x , 0 时，可得 ex 1， f x ex 2 cos x 1 cos x 0 ， f x 在 , 0 单调递减； 综上， f x 在 , 0 单调递减，在 0, 单调递增. （Ⅱ）当 x 0 时， f 0 e0 0 1 sin 0 0 ， x 0 是 f x 的一个零点， 由 f x ex a cos x ，可得 f x ex sin x .
2025高考数学一轮复习导数与三角函数问题
(2)若 x∈0，π2，求证：当 a≤3 时.f(x)＋12x3＋3≥0.
令 h(x)＝f(x)＋12x3＋3， 则 h′(x)＝f′(x)＋32x2＝3sin x－ax＋23x2， ∵a≤3，∴h′(x)≥3sin x－3x＋32x2， 令 p(x)＝3sin x－3x＋32x2，则 p′(x)＝3cos x－3＋3x， 令 m(x)＝3cos x－3＋3x，则 m′(x)＝－3sin x＋3≥0， ∴m(x)在0，π2上单调递增，即 m(x)≥m(0)＝0，∴p′(x)≥0，
∴∃x0∈(0，π) ，使h′(x0)＝0，且x∈(0，x0)时，h′(x)>0，h(x)>h(0)＝0， g′(x)>0，∴g(x)在(0，x0)上单调递增，∴g(x)>g(0)＝0，不符合题意； 综上，a 的取值范围是13，＋∞.
规律方法
导数与三角函数问题的解法 (1)利用三角函数的有界性：在含参数的问题中，往往需要分类讨论， 若能有效地利用三角函数的有界性，则能快速找到分类讨论的依据， 从而实现问题的求解. (2)利用三角函数的周期性：涉及零点问题时，可根据三角函数的周期 性分段来研究. (3)利用分隔直线法：常见的一些不等式如：当 x∈0，π2时，sin x<x<tan x， ln(x＋1)≤x 等，可利用这些不等式放缩再解决问题.
②当 3a≥1，即 a≥31时，h′(x)≤0，h(x)在[0，＋∞)上单调递减， ∴h(x)≤h(0)＝0，∴g′(x)≤0，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递减，
∴g(x)≤g(0)＝0，符合题意； ③当－1<3a<1，即－31<a<13时， 由h′(0)＝1－3a>0，h′(π)＝－1－3a<0，
初中数学知识归纳三角函数的积分与导数
初中数学知识归纳三角函数的积分与导数初中数学知识归纳：三角函数的积分与导数三角函数是数学中一个重要的概念，它在初中数学中占据了很大的篇幅。
在学习三角函数的过程中，我们不仅需要掌握它的定义和性质，还需要了解三角函数的导数与积分。
本文将对初中数学中三角函数的积分与导数进行归纳总结。
一、三角函数的导数1. 正弦函数的导数我们知道，正弦函数的定义是：\[y = \sin(x)\]正弦函数的导数可以通过求导法则来计算。
根据求导法则，我们可以得到：\[\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)\]这个导数的结果告诉我们，正弦函数在任意一点的导数值都等于该点处的余弦函数值。
这是由于正弦函数的图像在每一个点处的斜率都等于该点处的余弦函数值。
2. 余弦函数的导数与正弦函数类似，余弦函数的导数也可以通过求导法则来计算。
根据求导法则，我们可以得到：\[\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)\]这个导数的结果告诉我们，余弦函数在任意一点的导数值等于该点处的正弦函数值的相反数。
这是由于余弦函数的图像在每一个点处的斜率都等于该点处的负正弦函数值。
3. 正切函数的导数正切函数的定义是：\[y = \tan(x)\]正切函数的导数可以通过求导法则来计算。
根据求导法则，我们可以得到：\[\frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x)\]这个导数的结果告诉我们，正切函数在任意一点的导数值等于该点处的正割函数的平方。
这是由于正切函数的图像在每一个点处的斜率都等于该点处的正割函数的平方。
二、三角函数的积分1. 正弦函数的积分我们知道，正弦函数的定义是：\[y = \sin(x)\]正弦函数的积分可以通过反求导法则来计算。
根据反求导法则，我们可以得到：\[\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C\]其中，\(C\) 是常数。
这个积分的结果告诉我们，对于正弦函数的积分，我们得到的是余弦函数加上一个常数。
三角函数的导数计算与最值问题解答
三角函数的导数计算与最值问题解答三角函数是数学中重要的函数之一，涉及到其导数计算和最值问题的解答也是数学学习中的重点内容。
本文将介绍三角函数的导数计算方法和最值问题的解答策略。
1. 正弦函数的导数计算正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，其导数计算如下：设函数$f(x) = \sin(x)$，则$f'(x) = \cos(x)$。
2. 余弦函数的导数计算余弦函数是三角函数中另一个常见的函数，其导数计算如下：设函数$g(x) = \cos(x)$，则$g'(x) = -\sin(x)$。
3. 同时涉及正弦函数和余弦函数的导数计算当函数中同时涉及正弦函数和余弦函数时，可以利用导数的运算法则进行计算，例如：设函数$h(x) = \sin(x) + \cos(x)$，则$h'(x) = \cos(x) - \sin(x)$。
4. 导数相关的最值问题解答在解答最值问题时，通常需要利用导数的性质进行分析。
以下是两种常见的最值问题解答策略：(1) 寻找函数的驻点首先，寻找函数的导数零点或不存在的点，即所谓的驻点。
通过求解导数的零点方程或导数不存在的点，可以确定函数的驻点。
然后，对驻点进行分析，确定最值点的位置。
例如，设函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续可导，并且在$(a,b)$的内部存在驻点$x_0$，则在$(a,b)$上，$f(x)$的最值要么出现在$x_0$处，要么出现在函数的端点$a$和$b$上。
(2) 利用导数的符号变化确定最值点在函数连续可导的情况下, 导数的正负性可以帮助我们确定函数的增减趋势。
通过分析导数的符号变化，可以确定函数在各个区间上的单调性，从而得出函数的最值点。
例如，设函数$g(x)$在区间$(c,d)$上连续可导，且在$(c,d)$的内部，导数$g'(x)>0$在一段区间上，$g'(x)<0$在另一段区间上，则在$(c,d)$上，$g(x)$在单调递增区间上取得最小值，而在单调递减区间上取得最大值。
含三角函数的导数问题复习整理
1．已知函数f(x)＝－cos x＋ln x，则f′(1)的值为( ) A ．sin1－1 B．1－sin1C．1＋sin1 D ．－1－sin1答案 C解析∵f(x)＝－cos x＋ln x，∴f′(x)＝1x＋sin x，∴f′(1)＝1＋sin1.2．曲线y ＝tan x在x＝－π4处的切线方程为______ 答案y＝2x＋π2－1解析y′＝(sin xcos x)′＝cos2x＋sin2xcos2x＝1cos2x，所以在x＝－π4处的斜率为2，曲线y＝tan x在x＝－π4处的切线方程为y＝2x＋π2－1.3．函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的单调增区间为________．答案(π3，5π3)∴函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的增区间为(π3，5π3)．4. 函数()2sinf x x x=+的部分图象可能是Oyx Oyx Oyx OyxA B C D5．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，f (－4)，f (4π3)，f (－5π4)的大小关系为______(用“<”连接)．答案 f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)． 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈[5π4，4π3]时，sin x <0，cos x <0，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在x ∈[5π4，4π3]时为减函数，∴f (4π3)<f (4)<f (5π4)，又函数f (x )为偶函数， ∴f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)． 6．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与极值．解析 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1，于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)． 令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π2.因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.7． 已知函数2()sin cos f x x x x x =++（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。
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1．已知函数f(x)＝－cos x＋ln x，则f′(1)的值为( ) A ．sin1－1 B．1－sin1
C．1＋sin1 D ．－1－sin1
答案 C
解析∵f(x)＝－cos x＋ln x，∴f′(x)＝1
x
＋sin x，∴f
′(1)＝1＋sin1.
2．曲线y ＝tan x在x＝－
π
4
处的切线方程为______ 答案
y＝2x＋
π
2
－1
解析y′＝(
sin x
cos x
)′＝
cos2x＋sin2x
cos2x
＝
1
cos2x
，所以在x＝－
π
4
处的斜率为2，曲线y＝tan x在x＝－
π
4
处的切线方程为y＝2x＋
π
2
－1.
3．函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的单调增区间为________．答案(
π
3
，
5π
3
)
∴函数y＝x－2sin x在(0,2
π)内的增区间为(
π
3
，
5π
3
)．
4. 函数()2sin
f x x x
=+的部分图象可能是
O
y
x O
y
x O
y
x O
y
x
A B C D
5．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，f (－4)，f (4π3)，f (－5π4
)的大小关系为______(用“<”连接)．
答案 f (4π3)<f (－4)<f (－5π4
)． 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈[5π4，4π3
]时，sin x <0，cos x <0，
∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在x ∈[5π4，4π3
]时为减函数，
∴f (4π3)<f (4)<f (5π4
)，又函数f (x )为偶函数， ∴f (4π3)<f (－4)<f (－5π4
)． 6．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与极值．
解析 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，
知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1，
于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4
)． 令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π
4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π2
.
因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(2
，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2
，极大值为f (π)＝π＋2.
7． 已知函数2()sin cos f x x x x x =++
（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。
（2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围。
解：（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x =+=+
因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线为y b =
所以'()0()f a f a b =⎧⎨=⎩，即22cos 0
sin cos a a a a a a a b +=⎧⎨++=⎩，解得0
1a b =⎧⎨=⎩
（2）因为2cos 0x +>
所以当0x >时'()0f x >，()f x 单调递增
当0x <时'()0f x <，()f x 单调递减
所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =，
所以b 的取值范围是(1,)+∞
8.已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数值域；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间.
解：（Ⅰ）当时，
--------------------------------1分
由得
--------------------------------------2分
的情况如下
()()sin cos ,(0,)f x x a x x x π=-+∈π
2a =()f x π
2a >()f x π2a =π
()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈π
'()()cos 2f x x x
=-'()0f x =π2x =(),'()f x f x
--------------------------------------------------4分
因为，，
所以函数的值域为. ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ），
①当时，的情况如下
-------------------------------------------------9分 所以函数的单调增区间为，单调减区间为和
②当时，的情况如下
(0)1f =(π)1f =-()f x (1,1)-'()()cos f x x a x =-π
πa <<(),'()f x f x ()f x π(,)2a π
(0,)2(,π)a πa ≥(),'()f x f x。