含三角函数的导数问题复习整理

1．已知函数f(x)＝－cos x＋ln x，则f′(1)的值为( ) A ．sin1－1 B．1－sin1

C．1＋sin1 D ．－1－sin1

答案 C

解析∵f(x)＝－cos x＋ln x，∴f′(x)＝1

x

＋sin x，∴f

′(1)＝1＋sin1.

2．曲线y ＝tan x在x＝－

π

4

处的切线方程为______ 答案

y＝2x＋

π

2

－1

解析y′＝(

sin x

cos x

)′＝

cos2x＋sin2x

cos2x

＝

1

cos2x

，所以在x＝－

π

4

处的斜率为2，曲线y＝tan x在x＝－

π

4

处的切线方程为y＝2x＋

π

2

－1.

3．函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的单调增区间为________．答案(

π

3

，

5π

3

)

∴函数y＝x－2sin x在(0,2

π)内的增区间为(

π

3

，

5π

3

)．

4. 函数()2sin

f x x x

=+的部分图象可能是

O

y

x O

y

x O

y

x O

y

x

A B C D

5．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，f (－4)，f (4π3)，f (－5π4

)的大小关系为______(用“<”连接)．

答案 f (4π3)

)． 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈[5π4，4π3

]时，sin x <0，cos x <0，

∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在x ∈[5π4，4π3

]时为减函数，

∴f (4π3)

)，又函数f (x )为偶函数， ∴f (4π3)

)． 6．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与极值．

解析 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，

知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1，

于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4

)． 令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π

4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π2

.

因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(2

，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2

，极大值为f (π)＝π＋2.

7． 已知函数2()sin cos f x x x x x =++

（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。

（2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围。 解：（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x =+=+

因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线为y b =

所以'()0()f a f a b =⎧⎨=⎩，即22cos 0

sin cos a a a a a a a b +=⎧⎨++=⎩，解得0

1a b =⎧⎨=⎩

（2）因为2cos 0x +>

所以当0x >时'()0f x >，()f x 单调递增

当0x <时'()0f x <，()f x 单调递减

所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =，

所以b 的取值范围是(1,)+∞

8.已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数值域；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间.

解：（Ⅰ）当时，

--------------------------------1分

由得

--------------------------------------2分

的情况如下

()()sin cos ,(0,)f x x a x x x π=-+∈π

2a =()f x π

2a >()f x π2a =π

()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈π

'()()cos 2f x x x

=-'()0f x =π2x =(),'()f x f x

--------------------------------------------------4分

因为，，

所以函数的值域为. ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ），

①当时，的情况如下

-------------------------------------------------9分 所以函数的单调增区间为，单调减区间为和

②当时，的情况如下

(0)1f =(π)1f =-()f x (1,1)-'()()cos f x x a x =-π

πa <<(),'()f x f x ()f x π(,)2a π

(0,)2(,π)a πa ≥(),'()f x f x