数学建模案例之多变量无约束最优化

如：价格弹性系数a=0.008，如果我们提高10%，19 英寸彩电的生产量缩小11.8%，21英寸彩电的生产量扩大 3.9%。
2）利润对a的灵敏性分析 19英寸彩电的价格弹性系数的变化会对利润造成什么 影响？ 直接把（1）带入前面的表达式，得
1662000 581700 1662000 − 0.003(8700 − )) 40000a − 49 40000a − 49 40000a − 49 1662000 581700 581700 + (399 − 0.004 − 0.01(8700 − ))(8700 − ) 40000a − 49 40000a − 49 40000a − 49 1662000 581700 −(400000 + 195 + 225(8700 − )) 40000a − 49 40000a − 49 P(a) = （399-a
1）产量对a的灵敏性分析 在模型中我们假设a=0.01美元/台，将其带入前面的公 式中，我们得到：
P ( s, t ) = （339-as − 0.003t ) s + (399 − 0.004 s − 0.01t )t − (400000 + 195s + 225t )
令P关于s，t的偏导数为零，则：
例如：设a=0.01, 但实际的价格弹性系数比它高出了10%. 我们用原来算出的最优生产量(4735,7043),与a=0.011算出的 最优生产量(4251,7212)相比，我们会多生产出11%的19英寸彩 电,而少生产约3%的21英寸彩电.而且利润也会比最优值低4%。 但我们仍采用该模型的结果实际会损失什么呢？采用原来 算出的最优生产量(4735,7043), 会得到利润为531221美元， 而采用现在算出的最优生产量(4251,7212)会得到最优利润为 533514美元。因此，采用我们模型的结果，虽然现在的生产 量与最优生产量有相当的差距，但获得的利润仅仅比可能的最 优利润损失了0.43%。在这意义下，我们的模型显示了非常好 的稳健性。
导数dP/da中的这一部分代表了最优生产量s和t的 变化对利润的影响。其和为零说明了生产量的微小变 化对利润几乎没有什么影响。从几何上看，由于P(s,t) 在极值点是平的，s和t的微小变化对P几乎没有什么影 响。所以19英寸彩电的价格弹性系数10%的提高而导 致的最优利润的下降几乎全部是由售价的改变引起 的。因此我们的模型给出的生产量几乎是最优的。
1）先计算
∂ 2 P ( s, t ) D1 = ∂s 2 ( s ,t
0
0)
D2 =
∂ 2 P ( s, t ) ∂s 2 ( s ∂ 2 P ( s, t ) ∂s∂t ( s
0 ,t 0 )
∂ 2 P ( s, t ) ∂s∂t ( s ,t
0
0)
0 ,t 0 )
∂ 2 P ( s, t ) ∂t 2 ( s ,t
1662000 40000a − 49 581700 t (a ) = 8700 − 40000a − 49 s(a) =
(1)
图1.3，1.4画出了s(a)，t(a)关于a的曲线图。 由图上显示，19英寸彩电的价格弹性系数a的提高，会导致 19英寸彩电的最优生产量s的下降，及21英寸彩电的最优生产 量t的提高。
常量
1.两种彩电的初始定价：339美元和399美元； 2.其对应的成本分别为：195美元和225美元； 3.每种彩电多销售一台，平均售价下降系数a=0.01 美元（称为价格弹性系数），两种彩电之间的销售 相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元； 4.固定成本为400000美元。
变量之间的相互关系确定：
图1.2 彩电问题中关于19英寸彩电的生产量x1和 21英寸彩电的生产量x2的利润函数有的水平集图
灵敏性分析：
由于在模型中我们假设19英寸彩电的价格弹性系数 a=0.01美元/台，所以应该研究它的微小变化对模型结果的 影响。而模型主要求的是生产量以及最大利润，所以我们 只考虑a的微小变化对这两个的影响。
数学建模案例之 多变量无约束最优化
2010.3.22
问题1:
一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸立体声彩色电视 机，制造商建议零售价为339美元。另一种21英寸立体声彩色电视机，零售价 为399美元。公司付出的成本为19英寸彩店每台195美元，21英寸彩电每台225 美元，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩 电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台， 平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销 售，反之也是如此。据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸彩电的平均售价 会下降0.3美分，而每售出一台19英寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4 美分。问题是：每种彩电应该各生产多少台？ 清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？
图形说明
图1.1给出了函数P的3维图象，图象显示，P在内部达到 最大值； 图1.2给出了P的水平集图，从中我们可以估计出P的最 大值出现在s=5000,t=7000附近。函数P是一个抛物面，其 最高点为方程组的唯一解。
图1.1 彩电问题的利润y关于19英寸彩电的生产量x1和 21英寸彩电的生产量x2的3维图象
建立数学模型
由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下：
max P( s, t ) = （339-as − 0.003t ) s + (399 − 0.01t − 0.004s )t − (400000 + 195s + 225t ) s.t s ≥ 0, t ≥ 0
其中a=0.01.
模型求解
1 求解方法： ∂P( s, t ) （1）求出稳定点（s0 , t0）,即解方程组 ∂s = 0 ∂P( s, t ) = 0 ∂t （2）判断是否在稳定点处取极值，方法如下：
假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售 价格会下降1美分。
假设2：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩 电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩 电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。
变量之间的相互关系确定：
因此，19英寸彩电的销售价格为： p=339 - a×s - 0.003×t，此处a=0.01 21英寸彩电的销售价格为： q=399 - 0.01×t - 0.004×s 因此，总的销售收入为： R=p×s + q×t 生产成本为： C=400000 + 195×s + 225×t 净利润为： P = R - C 因此，原问题转化为求s≥0和t≥0，使得P取得最大值。
图1.5 利润关于a的灵敏性
在计算dP/da除了前面直接对(2)式的单变量求导 外，还可以利用多变量函数的链式法则：
dP ∂P ds ∂P dt ∂P = + + da ∂s da ∂t da ∂a (3)
由于在极值点∂P ∂s 与∂P ∂t 都为零，则有
dP ∂P = =−s2 da ∂a
这样可直接得到dP/da，进而求出 S ( P, a ) = −0.40 . (3) 式的中： ∂P ds ∂P dt + =0 ∂s da ∂t da 有其实际意义。
(2)
图1.5画出了P关于a的曲线图。由图上显示，19英寸彩 电的价格弹性系数a的提高，会导致利润的下降。 而当a=0.01时有： dP a
S ( P, a ) = da P ≈ −0.40
说明当19英寸彩电的价格弹性系数a提高10%时，利润 P只减少4%，a的微小变化对模型结果(利润)的影响很小。
步骤：
1．问题分析、假设与符号说明 2．建立数学模型 3．模型求解 4．灵敏性分析
符号说明(变量)
s=19英寸彩电的售出数量（台）； t=21英寸彩电的售出数量（台）； p=19英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； q=21英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； C=生产彩电的成本（美元）； R=彩电销售的收入（美元）； P=彩电销售的利润（美元）。
如果19英寸彩电的价格弹性系数提高10%，则我们应 该将19英寸彩电的生产量缩小11%，21英寸彩电的生产量 扩大2.7%。
a S(s,a) S(t,a)
0.008 -1.18 0.39
0.009 -1.16 0.32
0.01 -1.14 0.27
0.011 -1.12 0.23
wk.baidu.com
0.012 -1.11 0.20
稳定点为:（4735，7043）, D1= -0.02< 0， D2=0.000351 >0， 所以P(s,t)在稳定点处取得 最大值553641. 553641.
其它数据为：p=270.52，q=309.63，C=2907950，利润率=0.190385
3 结果说明
简单来说，这家公司今年可以通过生产4735台19 英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年 获得的净利润为553641美元。 19英寸彩电的每台平均售价为270.52美元；21英 寸彩电的每台平均售价为309.63美元；生产总支出为 2907950美元，相应的利润率为19%。这些数据显示 有利可图，因此建议公司推出新产品。
图1.3 s关于a的灵敏性曲线
图1.4 t关于a的灵敏性曲线
可以用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。s对a 的灵敏性记作 S ( s, a) ,定义为
S ( s, a ) =
da s
ds a da s
当a=0.01时有： S ( s, a ) = ds a ≈ −1.14 同理可得：
S (t , a ) = dt a ≈ 0.268 da t
0
2）判断 若D1 > 0，D2 >0,则（s0 , t0）是极小值点； 若D1 < 0，D2 >0,则（s0 , t0）是极大值点； 若D2 <0,则（s0 , t0）不是极值点； 若D2 =0,则不能肯定（s0 , t0）是不是极 值点，还需进一步判定。
0)
2 计算结果 运用Mathematica计算得出：