高等代数考研复习[矩阵]描述
高等代数中的矩阵分析 基本概念与方法
高等代数中的矩阵分析基本概念与方法高等代数中的矩阵分析: 基本概念与方法矩阵是高等代数中的重要工具和对象，广泛应用于各个领域，包括线性代数、概率论、统计学、物理学等等。
本文将介绍高等代数中相关的矩阵的基本概念和分析方法。
一、矩阵的定义与表示在高等代数中，矩阵是由元素组成的矩形数组，通常用大写字母表示。
一个m×n的矩阵A可以表示为：A = [a_ij] =a_11 a_12 ... a_1na_21 a_22 ... a_2n... ... ...a_m1 a_m2 ... a_mn其中 a_ij 为矩阵A的第i行第j列的元素。
在矩阵中，行数m代表矩阵的行数，列数n代表矩阵的列数。
二、矩阵的基本运算在高等代数中，矩阵的基本运算包括加法、减法、数乘和乘法。
1. 加法与减法：对于两个同型矩阵A和B，它们的加法与减法定义如下：A +B = [a_ij] + [b_ij] = [a_ij + b_ij]A -B = [a_ij] - [b_ij] = [a_ij - b_ij]其中 a_ij 和 b_ij 分别为矩阵A和B的对应元素。
2. 数乘：对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘定义如下：kA = [ka_ij] = [ka_11 ka_12 ... ka_1nka_21 ka_22 ... ka_2n... ... ...ka_m1 ka_m2 ... ka_mn]其中 ka_ij 为k与矩阵A的对应元素的乘积。
3. 矩阵乘法：对于两个矩阵A和B，它们的乘法定义如下：AB = C其中矩阵C的第i行第j列的元素c_ij为：c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj其中 a_ij 是矩阵A的第i行第j列的元素，b_ij 是矩阵B的第i行第j列的元素。
三、矩阵的转置与逆矩阵在高等代数中，矩阵的转置与逆矩阵是两个重要的概念。
1. 矩阵的转置：对于一个矩阵A，它的转置定义如下：A^T = [a_ji] =a_11 a_21 ... a_m1a_12 a_22 ... a_m2... ... ...a_1n a_2n ... a_mn其中 a_ij 是矩阵A的第i行第j列的元素，a_ji 是矩阵A的转置后的第i行第j列的元素。
上海市考研数学复习资料高等代数重点知识点总结
上海市考研数学复习资料高等代数重点知识点总结高等代数是考研数学中的一门重要学科，涉及到矩阵论、线性代数、群论等多个知识点。
掌握高等代数的重点知识点对于考生来说至关重要。
本文将对上海市考研数学复习资料中的高等代数重点知识进行总结和归纳，帮助考生更好地备考。
一、矩阵论1. 矩阵的定义和运算法则2. 矩阵的特殊类型及性质（对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、幂等矩阵等）3. 矩阵的转置、共轭和伴随矩阵4. 矩阵的行列式及性质5. 矩阵的逆和可逆性6. 矩阵的秩、秩-零度定理和齐次线性方程组的解的结构7. 相似矩阵和对角化8. 矩阵的特征值和特征向量二、向量空间1. 向量空间的定义和运算法则2. 向量空间的子空间3. 向量空间的线性相关性和线性无关性4. 向量空间的基和维度5. 向量空间的坐标和坐标变换6. 线性映射和线性变换7. 线性映射的矩阵表示和矩阵的相似性8. 线性映射和线性变换的核和像三、群论1. 群的定义和运算法则2. 子群和正规子群3. 群的同态和同构4. 群的陪集和拉格朗日定理5. 群的正规系列和商群6. 群的中心和中心因子7. 群的直积和直和8. 群的有限性定理四、模论1. 环的定义和运算法则2. 子环、理想和素理想3. 除环和唯一因子分解环4. 有限环和域5. 环的同态和同构6. 环的中心和中心化因子7. 模的定义和运算法则8. 子模和陪模9. 模的同态和同构10. 模的秩和维数定理五、特殊知识点1. 特征多项式和最小多项式2. 标准型和矩阵的合同3. 广义逆和非负逆4. Stirling数和Bell数5. 哈密顿矩阵和酉矩阵6. 生成元和置换群7. 置换矩阵和循环群8. 半单群和李代数以上是上海市考研数学复习资料中的高等代数重点知识点总结。
希望考生能够针对这些知识点进行重点复习，掌握基本概念和性质，并能灵活运用于解题中。
同时，建议考生多做一些真题和模拟题，加深对知识点的理解和记忆。
祝愿每位考生都能在考试中取得理想的成绩！。
考研数学高等代数重点整理
考研数学高等代数重点整理高等代数是考研数学中的一门重要学科，它涉及到矩阵、向量、行列式等内容。
在考研中，高等代数的重要性不言而喻。
为了帮助考生更好地掌握高等代数的重点知识，本文将对高等代数的相关知识进行整理和总结。
一、矩阵矩阵是高等代数中的基础概念之一。
矩阵可以表示为一个矩形数组，其中每个元素都是一个数。
在考研中，我们需要了解矩阵的基本运算，包括加法、减法和乘法。
此外，还需要掌握矩阵的转置、逆矩阵以及特殊矩阵（如对角矩阵、零矩阵等）的性质。
二、向量向量是高等代数中的另一个重要概念。
向量可以表示为一个有方向和大小的量。
在考研中，我们需要了解向量的基本运算，包括加法、减法、数量乘法以及点积和叉积。
此外，还需要了解向量的模、方向角以及向量与矩阵的乘法等相关知识。
三、行列式行列式是高等代数中的重点内容之一。
行列式可以看作是一个数学对象，它可以用来描述一个矩阵的性质。
在考研中，我们需要了解行列式的定义和性质，包括行列式的计算方法、展开定理以及特殊矩阵的行列式。
此外，还需要掌握行列式的变换和性质，比如行列式的性质、克莱姆法则等。
四、特征值与特征向量特征值与特征向量是高等代数中的重要概念。
特征值与特征向量可以用来描述一个矩阵的性质。
在考研中，我们需要了解特征值与特征向量的定义和性质，包括特征方程的求解方法、实对称矩阵的对角化以及相似矩阵的性质等。
五、线性方程组线性方程组是高等代数中的常见问题之一。
在考研中，我们需要学会解线性方程组的方法，包括高斯消元法、克莱姆法则以及矩阵表示法等。
此外，还需要掌握线性方程组的解的性质，比如解的存在唯一性、解的个数等。
六、二次型二次型是高等代数中的重要概念之一。
二次型可以看作是一个二次齐次多项式，它与矩阵有密切的联系。
在考研中，我们需要了解二次型的定义和性质，包括矩阵的标准型、规范型以及二次型的正定性和负定性等。
以上是考研数学高等代数的重点整理。
通过对这些内容的学习和掌握，相信考生能够在考试中取得好成绩。
考研数学高等代数复习指南
考研数学高等代数复习指南高等代数是考研数学中的一门重要课程，涵盖了矩阵、行列式、线性方程组、向量空间等内容。
为了帮助考生更好地进行高等代数的复习，以下是一份简洁明了的复习指南，供广大考生参考。
一、矩阵与行列式1. 矩阵基础知识- 矩阵的定义及基本运算法则- 矩阵的转置、共轭和伴随矩阵2. 行列式的性质- 行列式的定义及基本运算法则- 行列式的性质：行列式与元素之间的关系- 克拉默法则和拉普拉斯展开定理3. 矩阵的特征值与特征向量- 特征值和特征向量的定义- 求解特征值和特征向量的方法- 矩阵的对角化与相似矩阵二、线性方程组1. 线性方程组的基本概念- 线性方程组的定义及基本性质- 矩阵形式的线性方程组与增广矩阵- 齐次线性方程组与非齐次线性方程组2. 线性方程组解的存在唯一性- 线性方程组解的分类：有解、无解、无穷解- 判断线性方程组解的存在唯一性的准则3. 线性方程组的求解方法- 初等变换与线性方程组解的等价性- 高斯消元法、矩阵的初等行变换- 矩阵的秩与线性方程组解的个数三、向量空间1. 向量空间的定义与性质- 向量空间的基本性质：封闭性、加法性质、数乘性质 - 子空间的定义及判定2. 向量空间的线性独立与秩- 向量的线性相关与线性无关- 向量组的秩与最大线性无关组3. 线性变换与矩阵表示- 线性变换的定义与性质- 线性变换的矩阵表示及判定以上是考研数学高等代数的复习指南，希望能对各位考生的备战有所帮助。
复习过程中，建议结合教材进行深入学习，多做相关的习题和真题，加深对知识点的理解和掌握。
祝愿广大考生能够顺利通过高等代数这一重要科目，实现自己考研的梦想！。
高等代数-矩阵
• 列向量 n=1的特殊矩
阵
a1
a2
M
am
• 行向量 m=1的特殊矩阵
a1 a2 L an
特殊矩阵及其元素表示_5
• n维标准单位向量
1 0
0
e1
0
M
,
e2
1
M
,L
, en
0
M
0
0
1
特殊矩阵及其元素表示_6
• n阶基础矩阵Eij
0
O
Eij
0 O
a11 b11 a12 b12 a11 b11 a12 b12 a11 b11
a21 b21 a22 b22
a21
a22
b21
a12 b12 b22
矩阵的加减法2_运算规则
• 运算规则
✓交换律： A+B = B+A ✓结合律： (A+B)+C = A+(B+C) ✓0+A=A+0 = A ✓A+ (－A) = 0 ✓A+(－B) = A－B
产品 产量 产品1
分厂1 20 分厂2 30
产品2
17 20
产品3
12 10
3200
17 20
1102
这里2×3个数排成2行3列，成为一个整体，抛 去它所包含的实际意义，构成了高等代数中的 一个2×3阶矩阵。
关于矩阵_1
• 矩阵这个词是由西尔维斯特（Sylvester, 18141897）于1850年首先提出。他是犹太人，故他 在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成 绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起 他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记 官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍 布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英 格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数 学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达 50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不 渝的作者之一。
高等代数第9章入-矩阵
§3 不变因子
• 一.行列式因子 • 定义 设-矩阵A()的秩为r, 对于正整数 k,1kr,A()中必有非零的k阶子式. A() 中全部k阶子式的首项系数为1的最大公 • 由定义可知, 对于秩为r的-矩阵, 行列式 因子一共有r个. • 行列式因子的意义就在于, 它在初等变换 下是不变的. 因式Dk()称为A()的k级行列式因子.
如此继续,A()便可化成所要求的形式.
• 例 用初等变换化-矩阵为标准形
1 A( ) 1 2
2 3 2 1
2 1
• 解
1 A( ) 1 2
1 1 2 1 1 2 0 0 2 3 2 3 1 1 1 1 1
0 d 1 ( ) 0 d 2 ( ) 0 0 0 0
0 A2 ( )
其中d1()与d2()都是首项系数为1的多
项式(d1()与bs()只差一个常数倍数),而
且d1()d2(). d2()能除尽A2()的全部 元素.
A( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
三. -矩阵的逆矩阵 • 定义 设A()是一个n×n的-矩阵,如果有 一个n×n的 -矩阵B()使 A()B()=B()A()=E 则称A()是可逆的,称B()为A()的逆矩
• 推论 如果A()可逆,则
A*() 其中d=|A()|是数域中P一个非零常数. • 例2 设
d
-1()= 1 A
因为|A()|=0, 所以A()不可逆.
2 1 B ( ) 1 2 2 3 2 2
2 1 A( ) 1 2 2
高等代数-高代矩阵
解法2
1
( AB)T
BT AT
7
4 2 2 2 0 0
1 0 17 3 14 13 .
1 3 1 1 2 3 10
48
四、对称矩阵和反对称矩阵
设 A为n阶方阵
A为对称矩阵
AT A
A为反对称矩阵 AT A
aii 0
aij a ji aij a ji
49
? 注：A, B是对称矩阵，AB是对称矩阵
(A
B)k
Ak
C
1 k
Ak
1
B
Ck2 Ak2B2
...
Bk
AB BA .
35
例5
设
A
0
1
0 1 ,
求 Ak .
0 0
解
A2
0
1
0
10
1
0 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
36
2
A3 A2 A 0
2 2
1 1 2 0
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的 线性替换. 其中aij为常数.
16
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
a12 a22
a1n a2n
ann
a11
a21 a22
.
an1 an2 ann
i j, aij 0
i j, aij 0
14
三、矩阵与线性变换
高等代数教学笔记4：矩阵 I
高等代数教学笔记4：矩阵 I对于一般的线性方程组 (行列式为零或方程与未知量不一样多), Cramer 法则不能 (直接) 应用, 于是需要新的方法, 对方程组的系数进行处理. 代数学处理问题的方式一般是整体考虑, 记为数域上的m×n 矩阵的全体,先研究这个集合的整体性质, 然后再分别考虑特殊的矩阵. 而在代数层面上,集合的整体性质是通过其中的运算关系来展示的, 所以我们需要研究矩阵集合上的运算.矩阵的运算在上有自然定义的加法运算并且满足如下性质.问题4.1(1) 交换律: A + B = B + A;(2) 结合律: (A + B) + C = A + (B + C);(3) 零矩阵: 0 + A = A, 这里的 0 是所有元素都是 0 的矩阵;(4) 负元 (可以定义减法): 存在 B 使得 B + A = 0. (唯一的! 记为 -A.)这些性质的验证非常简单, 不过有必要提醒一下: 从现在开始, 我们会慢慢走进抽象的数学领域, 当然, 这个抽象的过程是一步步实现的, 不能一蹴而就.最自然的抽象过程是在很多数学对象中寻找共性, 提炼出来就是一个抽象的数学概念. 比如, 上述的四个性质是代数学中所讨论的加法的共性, 这一类对象以后会有一个共同的名字——Abel 群; 更一般地, 只满足~(2)-(4), 不满足交换律的对象就是今后需要研究的群.在上可以定义数乘运算◦ (通常省略):数乘运算不再是矩阵内部的运算, 而是常数与矩阵之间的运算. 而上有加法和乘法运算, 上有刚刚定义的加法运算, 因此我们需要考虑所有这些运算之间的关系. 另外, 数域中有一个特殊元素 1, 它在数乘中的地位也是比较特殊的. 这些结合起来就自然有如下问题.问题4.2 (5) 单位 1: 1 ◦ A = A;(6) (结合律) (kl) ◦ A = k ◦ (l ◦ A);(7) (分配律一) k ◦ (A + B) = k ◦ A + k ◦ B;(8) (分配律二) (k + l) ◦ A = k ◦ A +l ◦ A.我们将会发现, 满足加法和数乘运算及如上性质 (1) − (8) 的研究对象越来越多, 比如前面提到的数域、多项式、平面向量、空间向量等, 它们最终融汇成一个抽象的概念——线性空间, 这将把高等代数的研究提到一个新的高度.矩阵中更重要的运算自然是 Cayley 利用变量替换方式引入的矩阵乘法. 按照惯例, 我在上课时让学生们计算了两三个变量时的替换, 并且要求他们在课堂上计算出结果. 这不是一个困难的过程, 学生们基本能得到结果, 如下图所示.由此得到一般矩阵的乘法规则. 不过, 奇怪的是, 即使用上面这个比较直观的图来表示矩阵乘法, 学生们还是能够很快忘掉矩阵乘法怎么作, 其中的原因耐人寻味.定义了矩阵乘法, 首先考虑一下其自身性质.问题 4.3 (1) 矩阵乘法没有交换律, 举例有三个层次的原因: 交换了不能相乘、交换顺序能相乘但结果的阶数不同、方阵相乘也不一定可换.(2) 矩阵乘法满足结合律 (两种观点: 直接验证或从变量替换两次的角度看).(3) 单位矩阵: , 其中.(4) 逆矩阵 (类似于倒数) 不一定存在.问题4.4如果对任意, 都有 BA = A, 是否一定有?矩阵乘积中的每一个元素都是一个求和, 这样的求和用行矩阵与列矩阵相乘更为简洁直观, 应用起来也会方便很多.问题4.5 (1) A,B 的乘积 AB 的第 i 行第 j 列元素是用矩阵乘法表示(实际上, 以后看到求和号都可以转换为矩阵乘法!).(2) A,B,C 的乘积 ABC 的第 i 行第 j 列元素如何用矩阵表示?问题4.6 (1) 矩阵乘法与加法有分配律.(2) 矩阵乘法与数乘有结合律.(3) 矩阵乘法与转置: (AB)′= B′A′.矩阵与线性方程组利用矩阵运算, 我们可以重新理解线性方程组.问题4.7 (1) 方程组的形式:(2) 矩阵乘法: 记 A 为其系数矩阵,则有矩阵乘法形式(3) 列向量的加法与数乘: 记 A 的列向量为则有这里蕴含着列向量之间的关系——线性相关性.(4) 行向量: 记为 A 的行向量, 则第 i 个方程可以简单记为方阵与多项式矩阵中最值得研究的是方阵, 数域上 n 阶方阵的全体记为, 它将成为高等代数课程的主要研究对象. 在深入研究之前, 我们需要与前面学过的多项式和行列式理论联系一下. 中有加法、数乘和乘法等三种运算, 这与多项式理论有相通之处.问题4.8对任意, 我们定义:(1) 证明:(2) 对任意我们记称为A 的多项式. 证明:(3) 对任意, 有. 其中的问题 (3) 是矩阵多项式的既简单又重要的性质. 首先, 矩阵乘法的麻烦之处是交换律的缺失, 而矩阵的多项式却具有交换性; 其次, 我们将会发现,对于给定矩阵 A, 很多与 A 有关的重要矩阵都是 A 的多项式, 这将是矩阵研究中的一个重要突破口! 我们可以用如下问题来表述.问题4.9设, 定义映射证明: 对任意, 有对于上述映射, 如下问题对以后会很有用.问题4.10 (1) 是单射吗? 或者, 集合有什么特点? 这与我们前文研究多项式的因式分解时考虑的一些集合很相似!(2) 的像是什么? 是满射吗?剧透一下: 前面我们多次提到了更一般地, 对于n 阶方阵,是一个神奇的多项式, 因为它满足 f(A) = 0! 不信就去验证 (超级大坑!).最后举一个我们熟悉的例子: Fibonacci 数列这个递推关系可以用矩阵乘法来表达这似乎没什么. 我们再增加一项有问题4.11 证明:由 (1) 或 (2), 求 Fibonacci 数列的通项公式就转化成求矩阵于是就要发展矩阵理论求这样的矩阵的 n 次幂, 这是后话.方阵与行列式前面考虑广义 Laplace 展开的时候, 就得到了所谓的行列式的乘积公式.问题4.12设, 则|AB| = |A||B|.广义 Laplace 展开实际上是把两个 n 阶行列式的乘积转化成一个 2n 阶的行列式. 这个想法非常有用. 我们今后会处理各种矩阵问题, 有时需要同时处理好几个矩阵, 如果能用一种合理的方式把这些矩阵放到同一个大的矩阵里, 我们就只需要处理一个矩阵即可, 这就是分块矩阵的思想. 还有另一个简单粗暴的想法: 把 |AB| 按列展开为很多行列式的和, 仔细观察这些行列式的特点!上述问题其实还可以推广.问题4.13设. 若 m > n, 则 |AB| = 0; 麻烦在于 A,B 都不是方阵, 那就把它们补充成方阵但不能改变它们的乘积, A 要添加一些列, B 要添加一些行, 怎么添加?有了这个结论, 我们就可以计算一些特殊的行列式.问题4.14 计算行列式:这个行列式当然可以用行列式技巧计算 (比如拆项、镶边等), 不过, 用矩阵乘法的观点来看会容易的多. 类似的有问题4.15计算行列式:上式中的矩阵实际上是A′A, 其中不过, 如果换一下顺序就不一样了:问题4.16 (Cauchy 不等式) 设, 证明:Cauchy 不等式可能在中学就遇到过, 证明方法也不难: 配成平方和! 不过, 观察一下这些平方和, 它们与行列式有关系吗? 实际上关系很紧密. 我们有如下更一般的情形.问题 4.14 (Binet-Cauchy 公式) 设证明: 当m < n 时,注意到再用广义Laplace 展开即可. 这样就把A,B 的乘积问题转化成一个矩阵去研究, 这种方法在矩阵理论中是常用的. 特别地, 上式的右边我们有了一个简单的表达式, 把复杂矩阵分解为四块, 这样的形式简单且容易操作, 这是我们今后要经常使用的矩阵分块技巧.特别地, 我们有问题4.18设, 则. 当 m = 2 时就是 Cauchy 不等式.。
高等代数知识体系 矩阵论与线性代数
高等代数知识体系矩阵论与线性代数高等代数知识体系: 矩阵论与线性代数高等代数是数学中的一个重要分支，它涵盖了许多重要的数学概念和工具。
在高等代数的知识体系中，矩阵论与线性代数是其中最为重要的部分之一。
本文将对矩阵论与线性代数的基本概念、性质和应用进行介绍。
一、矩阵论矩阵论是高等代数中的一个重要分支，它研究矩阵的性质和特征。
矩阵是由数个实数或复数按照一定规律排列成的矩形阵列。
矩阵论主要研究矩阵的运算、矩阵方程、矩阵的特征值和特征向量等。
1. 矩阵的基本运算在矩阵论中，矩阵的基本运算包括矩阵的加法、减法和数乘。
矩阵加法和减法的定义非常简单，即对应位置的元素相加或相减。
矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素乘以一个实数或复数。
2. 矩阵方程矩阵方程是指形如AX=B的方程，其中A、X和B都是矩阵。
矩阵方程在科学和工程领域中具有广泛的应用，例如线性方程组的求解、物理学中的力学问题等。
3. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。
特征值是一个数，特征向量是一个非零向量，满足矩阵和其特征向量的乘积等于特征值乘以特征向量。
矩阵的特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用。
二、线性代数线性代数是高等代数中的另一个重要分支，它研究向量空间和线性变换等概念。
线性代数主要研究向量的线性组合、线性方程组的解法、线性变换的性质和特征等。
1. 向量空间向量空间是线性代数中的基本概念，它是由一些向量组成的集合。
向量空间具有加法和数乘两种运算，满足一定的条件，例如闭合性、结合律和分配律等。
向量空间在几何学、物理学和工程学中具有广泛的应用。
2. 线性方程组的解法线性方程组是线性代数中研究的重要内容，它是一组含有未知数的线性方程。
线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵的求逆和克拉默法则等。
线性方程组的求解在科学、工程和经济学中具有重要意义。
3. 线性变换线性变换是线性代数中的重要概念，它是一种保持向量加法和数乘运算的一种特殊变换。
高等代数-矩阵方法
a1 a2 A1 = b1 b2 5c 5c 2 1
4 鞍山师范学院数学系
高等代数方法技巧——小胡糊工作室
E − BD −1 A B E −1 E C D −D C 0
0 A − BD −1C = E 0
0 D
类似地，若 A 可逆， D 是否可逆未知或不可逆，只能得到前者；若 D 可逆， A 是 否可逆未知或不可逆，只能得到后者. 二、连续性理论 例如东北大学 2002 年真题的最后一题中的方法就是连续性理论： 设 A, B, C , D 均为 n 阶方阵，且 AC = CA . 求证： A B = AD − CB . C D 证明：若 A 可逆，则 E −1 −CA
第五步： A4 的第二行加上第一行的 3 倍，得
4b3 5c3 + 2b3 + a3
a3
a1 a2 A5 = 4b1 + 3a1 4b2 + 3a2 5c + 2b + a 5c + 2b + a 1 1 2 2 2 1
第六步： A5 的第一行乘以 2，得
4b3 + 3a3 5c3 + 2b3 + a3
A 0 B D − CA−1 B = A ⋅ D − CA−1 B = A( D − CA−1 B) = AD − ACA−1 B = AD − CAA−1 B = AD − CB
北京大学数学系《高等代数》名校考研真题(矩阵)【圣才出品】
E
AB
E
2E AB
E E
AB AB
2E O
E AB
1
[
E
(
AB)2
]
2
2E
O
O
1
[
E
(
AB)2
]
2
知
r(2E) r[1 (E AB)2] n 2
所以
1 [E ( AB)2 ] O 2
因此有（AB）2＝E 即 ABA＝B－1．
4．求证：A＋UV′＝∣A∣＋V′A·U 其中 A 为 n 阶矩阵，U，V 为 n 维列向量．[浙江大
2．设 A 为非零矩阵，但丌必为方阵，证明 AX＝E 有解当且仅当 CA＝0 必有 C＝0，
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其中 E 为单位矩阵．[上海交通大学研] 证明：设 A 为 m×n 矩阵，则如果 AX＝E 有解 Bn×m，即 AB＝Em，有 m≥r（A）≥r（Em）
3．设 A、B 都是 n 阶方阵，E 为 n 阶单位矩阵．证明：ABA＝B－1 的充要条件是 r（E
＋AB）＋r（E－AB）＝n．[厦门大学研]
证明：由 ABA＝B－1 得（AB）2＝E，所以有：
E－（AB）2＝（E＋AB）（E－AB）＝0
故 r（E－AB）＋r（E＋AB）≤n（1）
又 n＝r（2E）＝r[（E－AB）＋（E＋AB）]≤r（E－AB）＋r（E＋AB）（2）
Q
P
Er O
O O
Q
P)
Er O
O O
Er O
O
O
①
B C
令
QXP
D
F
nm
数学高等代数重点知识点
数学高等代数重点知识点数学高等代数是大学阶段数学学科的重要组成部分，它涵盖了众多的数学概念、理论和技巧。
本文将聚焦于数学高等代数的重点知识点，旨在帮助读者全面理解和掌握这些知识。
一、矩阵和行列式1. 矩阵的基本概念：矩阵是由数个数按一定规律排成的矩形阵列。
介绍矩阵的行、列、元素、维数等概念。
2. 矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法等。
3. 矩阵的转置：介绍矩阵的转置操作及其性质。
4. 行列式的定义和性质：解释行列式的概念，阐述行列式的性质和运算规则。
二、向量空间1. 向量的基本概念：阐述向量的定义、线性运算以及向量的线性相关性。
2. 向量空间的定义和性质：解释向量空间的概念，介绍向量空间的性质和基本运算规则。
3. 子空间：介绍子空间的定义，解释子空间的性质和判定标准。
4. 基和维数：讲解基的概念，介绍线性无关和生成空间的概念，并介绍维数的定义和计算方法。
三、线性方程组1. 线性方程组的基本概念：解释线性方程组的定义和基本性质。
2. 解的存在性与唯一性：介绍线性方程组解的存在性、唯一性和无穷多解的判定条件。
3. 齐次线性方程组和非齐次线性方程组：解释齐次线性方程组和非齐次线性方程组的概念，介绍它们解的性质。
4. 矩阵的秩和可逆性：介绍矩阵的秩的概念，解释矩阵可逆的条件和性质。
四、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义：解释特征值和特征向量的概念，说明与矩阵的关系。
2. 特征方程：介绍特征方程的定义和求解方法。
3. 对角化和相似矩阵：解释相似矩阵和对角矩阵的概念，介绍矩阵相似的判定条件和对角化的步骤。
五、线性映射1. 线性映射的定义和性质：解释线性映射的概念，介绍线性映射的基本性质和运算规则。
2. 核和像：介绍线性映射的核（零空间）和像（值域）的概念。
3. 矩阵的表示和变换：解释线性映射的矩阵表示方法，介绍线性映射的变换和判定条件。
综上所述，数学高等代数的重点知识点包括矩阵和行列式、向量空间、线性方程组、特征值和特征向量以及线性映射等内容。
高等代数核心概念解析 矩阵 向量与线性空间
高等代数核心概念解析矩阵向量与线性空间高等代数核心概念解析：矩阵、向量与线性空间矩阵、向量与线性空间是高等代数中的核心概念，它们在数学和应用领域中具有广泛的应用。
本文将对这些概念进行解析，以便更好地理解它们的性质和用途。
一、矩阵(Matrix)矩阵是高等代数中的基本概念之一，它由一个矩形的数组组成，其中的元素可以是数字或其他数学对象。
矩阵通常用大写字母表示，如A、B、C等。
一个m×n的矩阵包含m行n列的元素，即一个m×n的矩阵A可以表示为：A = [a_ij]_(m×n)其中，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
例如，对于一个2×3的矩阵A，可以表示为：A = [a_11 a_12 a_13][a_21 a_22 a_23]矩阵可以进行加法、乘法和数乘等运算，这些运算的定义和性质使得矩阵在线性代数和应用数学中有着重要的作用。
矩阵的特征值和特征向量等概念也是矩阵的重要属性之一。
二、向量(Vector)向量是另一个在高等代数中常见的概念，它可以看作是一个有向线段或箭头，具有大小和方向。
向量通常用小写字母加上一个箭头表示，如→v。
一个n维向量可以表示为：→v = [v_1 v_2 ... v_n]^T其中，v_i表示向量v的第i个分量。
例如，一个3维向量→v可以表示为：→v = [v_1 v_2 v_3]^T向量可以进行加法、数乘、点乘和叉乘等运算，这些运算的定义和性质使得向量在几何、物理和工程等领域中有着广泛的应用。
向量的线性相关和线性无关等概念也是向量的重要属性之一。
三、线性空间(Linear Space)线性空间是矩阵和向量的抽象描述，它是高等代数中最基本的概念之一。
线性空间是一个集合，其中的元素称为向量，满足一定的性质和运算规则。
线性空间通常用大写字母表示，如V、W等。
一个线性空间V需要满足以下条件：1. 加法封闭性：对于任意的向量→u和→v，它们的和→u + →v仍然属于V。
高等代数北大版第四章矩阵知识点总结
高等代数北大版第四章矩阵知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第四章 矩阵（ * * * ）一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。
在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。
总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。
二、考点精讲：（一） 基本概念及其运算1.基本概念矩阵—形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a aa a a212222111211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。
（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。
（2）对n m ij a A ⨯=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。
（3）称⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11 E 为单位矩阵。
（4）对称矩阵—设n n ij a A ⨯=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij ==，称A 为对称矩阵。
（5）转置矩阵—设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n n m m Ta a a a a a a a a A212221212111，称T A 为矩阵A 的转置矩阵。
（6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。
（7）伴随矩阵—设n n ij a A ⨯=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111，称为矩阵A 的伴随矩阵。
高等代数4.6 初等矩阵
主要内容
一、初等矩阵的定义 二、初等矩阵的性质 三、两个矩阵的等价关系 四、求逆矩阵的初等行变换法
这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法 的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩 阵的方法.
1/ 66 4/33 5/ 66
731///212212.
例 5 用初等行变换法解矩阵方程
AX = B ,
其中
5 1 5
8 5
A 3 3 2 , B 3 9 .
解
1 2 1
0 0
5 1 5 8 5 (A| B) 3 3 2 3 9
在第二章第五节我们看到，用初等变换可以化 简矩阵. 如果同时用行与列的初等变换，那么还可 以进一步化简. 为了方便，我们引入：
三、两个矩阵的等价关系
1. 定义
定义 14 矩阵 A 与 B 称为等价，如果 B 可以
由 A 经过一系列初等变换得到. 记为 A ~ B .
2. 等价关系的性质 (i) 反身性 A ~ A; (ii) 对称性 若 A ~ B, 则 B ~ A; (iii) 传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
的充分必要条件是有初等矩阵 P1 , … , Pl , Q1,…,Qt 使
A = P1 P2 … Pl B Q1 Q2 … Qt .
(1)
n 级可逆矩阵的秩为 n ，所以可逆矩阵的标准 形为单位矩阵；反过来显然也是对的. 由 (1) 即得
定理 6 n 级矩阵 A 为可逆的充分必要条件是
【精品】高等代数北大版教案第8章矩阵
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 【关键字】精品第八章 -矩阵本章主要介绍-矩阵及其性质，并用这些性质证明若当标准形的主要定理。
§1 -矩阵如果一个矩阵的元素是的多项式，即的元素，这个矩阵就称为-矩阵。
为了与-矩阵相区别，我们把以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵。
由于数域中的数也是中的元素，所以在-矩阵中包括以数为元素的矩阵，即数字矩阵为-矩阵的一个特殊情形。
同样可以定义一个-矩阵的行列式，既然有行列式，也就有-矩阵的子式的概念。
利用这个概念。
我们有定义1 如果-矩阵中有一个级子狮不为零。
而所有级子式（如果有的话）全为零，则称的秩为，零矩阵的秩规定为零。
定义2 一个的-矩阵称为可逆的，如果有一个的-矩阵使== （1）这里是级单位矩阵。
适合（1）的矩阵（它是唯一的）称为的逆矩阵，记为关于-矩阵可逆的条件有定理1 一个的-矩阵是可逆的充分必要条件为行列式是一个非零的数。
§2 -矩阵在初等变换下的标准形-矩阵也有初等变换。
定义3 下面的三种变换叫做-矩阵的初等变换：（1）矩阵的两行（列）互换位置；（2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数；（3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，是一个多项式。
初等变换都是可逆的，并且有。
为了写起来方便起见，我们采用以下的记号：代表行（列）互换位置；代表用非零的数去乘行（列）；代表把行（列）的倍加到行（列）。
定义4 -矩阵称为与等价，如果可以经过一系列初等变换将化为。
等价是-矩阵之间的一种关系，这个关系，显然具有下列三个性质：（1）反身性：每一个-矩阵与自己等价。
（2）对称性：若与等价，则与等价。
这是由于初等变换具有可逆性的缘故。
（3）传递性：若与等价，与等价，则与等价，引理设-矩阵的左上角，并且中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与等价的矩阵，它的左上角元素也不为零，但是次数比的次数低。
定理2 任意一个非零的的-矩阵都等价与下列形式的矩阵最后化成的这个矩阵称为的标准形。
高等代数第四章矩阵知识点复习与相关练习
6. 证明关于秩的不等式： 1) r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}, r(A + B) ≤ r(A) + r(B); 2) 设 A, B ∈ P n×n, 且 AB = 0, 证明：r(A) + r(B) ≤ n;
()
(
)
对方程 Y C = B, C −初−等−−列−变−换→
E
.
B
Y = BC−1
4.2 相关练习
一. 填空题
1．设 A ∈ P n×m, B ∈ P m×s，则 r(AB) ≤
。
2
2．对一个 s × n 矩阵 A 作一次初等列变换就相当于在 A 的
边乘上一个相应的
初等矩阵。
3．设 A ∈ P n×n，写出 A 可逆的充要条件：
14. 设 A, B 是 n 级可逆方阵， A 0
=
0A
,
=
.
0 B
B0
k111
15.
设矩阵 A =
1 1
k 1
1 k
1 1
,
且
r(A) = 3，则 k =
.
111k
16. 设 A 为 3 级方阵，若 |A| = 2, 则 |2A| =
.
17. 设 A 是实对称矩阵，若 A2 = 0, 则 A =
7. 证明：若 A, B 分别为 n × m, m × n 矩阵，则 |λEn − AB| = λn−m|λEm − BA|.
矩阵知识点总结大纲
矩阵知识点总结大纲一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义1.2 矩阵的元素1.3 矩阵的维数1.4 矩阵的转置1.5 矩阵的特殊矩阵二、矩阵运算2.1 矩阵的加法2.2 矩阵的数乘2.3 矩阵的乘法2.4 矩阵的转置2.5 矩阵的幂2.6 矩阵的逆2.7 矩阵的行列式2.8 矩阵的秩三、线性方程组与矩阵3.1 矩阵的行简化阶梯形式3.2 矩阵的列简化阶梯形式3.3 矩阵的增广矩阵3.4 矩阵的系数矩阵3.5 矩阵的齐次线性方程组3.6 矩阵的非齐次线性方程组四、矩阵的应用4.1 线性代数4.2 计算机图形学4.3 信号处理4.4 优化问题4.5 统计学4.6 量子力学五、矩阵分析5.1 矩阵的迹5.2 矩阵的本征值与本征向量5.3 矩阵的相似矩阵5.4 矩阵的对角化5.5 矩阵的奇异值分解5.6 矩阵的正交矩阵六、矩阵的特征6.1 矩阵的周期性6.2 矩阵的稀疏性6.3 矩阵的对称性6.4 矩阵的正定性6.5 矩阵的随机性七、矩阵的发展历程7.1 矩阵的起源7.2 矩阵的发展7.3 矩阵的应用八、矩阵的未来发展8.1 矩阵的应用领域拓展8.2 矩阵的理论深化8.3 矩阵的计算方法改进九、矩阵的教学与研究9.1 矩阵的教学模式9.2 矩阵的教学资源9.3 矩阵的研究方向十、矩阵的未来前景10.1 矩阵的应用前景10.2 矩阵的教学前景10.3 矩阵的研究前景十一、矩阵的总结与展望11.1 矩阵的总结11.2 矩阵的展望结语矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方形排列的数表。
其中的元素可以是数字、符号或数学式。
矩阵是线性代数的基本概念，应用非常广泛，涉及几何学、概率论、微分方程以及物理学和工程学等各个学科。
1.2 矩阵的元素矩阵的元素是矩阵中的一个具体数值或符号。
1.3 矩阵的维数一个矩阵的维数是指矩阵的行数与列数。
如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n阶矩阵。
高等代数 矩阵
19
例4计算下列乘积：
1
2 2 1 2 3
2 解 1 2 1 2 3
1 2 2 2 4 2 2 1 2 2 2 4 . 1 3 2 3 6 3
21
２、矩阵乘法的运算规律
1 AB C A BC ; 2 A B C AB AC ,
B C A BA CA;
（其中 为数）;
3 AB AB AB
4 AE EA A;
AO OA O;
(2)行矩阵,列矩阵 只有一行的矩阵
A a1 , a2 ,, an ,
4
称为行矩阵(或行向量).
a1 只有一列的矩阵 B a2 , 称为列矩阵(或列向量). a n (3)零矩阵
元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n零 矩阵记作 omn 或 o . 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的.
11
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A; 2 A B C A B C .
a11 a 21 3 A a m1 a12 a 22 am1 a1 n a2n aij , a mn
0 1 B 3 1
4 2 1 1 1 2 1 3
17
解
A aij 34 , C cij 33 .
B bij 43,
0 1 0 1 2 1 C AB 1 1 3 0 0 5 1 4 3 1
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(4)特殊矩阵
1
(a)对角矩阵 A
2
.
O
n
对角矩阵的和、
差、积、方幂为主对角线上元素的和、差、积、方幂.
它的逆为
1 1
A1
1 2 O
1 n
(b)对称阵与反对称阵
若方阵 A (aij )nn 满足 A A ，即 aij a ji 则称A 为对称矩阵.
(c)基本矩阵
形如
Eij
1
i
的矩阵称为基本矩阵.
j
结论1：任一矩阵都可由基本矩阵线性表出. 结论2：与任意矩阵可换的矩阵一定是数量矩阵.证明 可利用基本矩阵. (d)正交矩阵，幂等矩阵，幂零矩阵，对合矩阵
AA AA E, A2 A, A2 0, A2 E.
时，上述公式应用广泛.
题型分析： 1 0
例1 设
A
0 0
0
1
,求 An .
求矩阵的方幂一般有三种方法：
(1)归纳法， (2) 可换公式法，(3)相似对角化法.
由于矩阵A是特殊矩阵，所以使用可换公式法简单！
例2
设
1
A
2
3 1.
2014年8月
第二章 矩阵
矩阵是高等代数研究的主要对象之一，也是数 学及许多科学领域中最重要的工具.矩阵问题 丰富多彩，技巧性高.在高等代数中扮演着重 要角色. 本章主要复习内容:
(1)矩阵运算与特殊矩阵 (2)初等变换与矩阵
的逆 (3)矩阵的秩 (4)分块矩阵及应用
1.矩阵的运算与特殊矩阵
(1)矩阵的线性运算 (a)矩阵的加法 设 A (aij )sn, B (bij )sn 是数域
f (x) amxm am1xm1 L a1x a0 为任意多项式，
求出 f ( A) 的表达式.
例3 设A、B为n阶方阵，且 AB A B, 证明：AB BA.
分析：证明A、B可换，联想到可逆定义即可获结论.
例4 设 1 0 0
A
0 3
1 1
0 2
若方阵 A (aij )nn 满足A A ，即 aij a ji 则称A 为反对称矩阵.
结论1：任一方阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵
的和即 A 1 ( A A) 1 ( A A).
2
2
结论2：奇数阶反对称矩阵的行列式为零；偶数阶反
对称矩阵的行列式可能为零也可能非零.
阵P使
PAQ
Er 0
0 0
.
等价标准形在处理矩阵问题中有重要应用！
结论2：可逆矩阵的等价标准形是 E.
结论3：矩阵A与B等价的充要条件是 r( A) r(B).
(4)逆矩阵 (a)逆矩阵的定义
对于方阵 A 如果存在方阵 B使得 AB BA E, 则称 矩阵 A 可逆，B 为 A 的逆矩阵，记为 A1.
(e)可换矩阵
若方阵满足 AB BA 则称矩阵A与B可换.
结论1：与对角阵(主对角元互不相等)可换的矩阵
只能是对角矩阵.
a1E
结论2：与
A
a2 E
O
是同型的准对角矩阵.
可换的矩阵只能
an
E
当A与B可换时，下面结论成立.
(A B)n, An Bn 的展开式成立.特别，当 B E
(2)初等矩阵 对单位矩阵E 作一次初等变换得到的矩阵称为初
等矩阵. 初等矩阵有三种形式： P(i, j), P(i(c)), P(i, j(k)).
结论1：初等矩阵都是可逆的，且 P1(i, j) P(i, j), P1(i(c)) P(i(c1)), P1(i, j(k)) P(i, j(k)).
P上的矩阵，和定义为 A B (aij bij )sn . (b)数乘矩阵 设 A (aij )sn, k P ，k 与 A 的乘积
定义为 kA (kaij )sn 矩阵加法与数乘称为矩阵的线性运算，且满足运算 律.
(2)矩阵的乘法 (a)设 A (aij )sn, B (bij )nm 定义 A 与 B 的乘积为： AB (cij )sm, 其中，cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj 注：两个矩阵只有当前面矩阵的列数与后面矩阵的
行数相等时才能相乘. 满足的运算律有：结合律；分配律；数与乘法的结
合律即：(kA)B A(kB) k(AB). 但是，乘法一般不 满足交换律即: AB BA. 有三种原因，你是否知道？
(b)方阵的幂及矩阵多项式
Am 1AA2L3A 称为矩阵的方幂.
m个
矩阵多项式：设 f (x) amxm am1xm1 L a1x a0, A 为方阵，称 f ( A) am Am am1Am1 L a1A a0E, 为矩阵 A 的多项式。 对任意的 f (x), g(x) 都有 f (A)g(A) g(A)f(A).
(3)矩阵的转置
(a)将矩阵 A (aij )sn 的行列互换，所得到的矩 阵称为 A 的转置。记为 A 或 AT .
(b)转置的性质 ( A) A, ( A B) A B,
(kA) kA, ( AB) BA. 特别 (An ) (A)n.
结论2 (变换与矩阵乘积的关系)在矩阵A的左(右)侧 乘初等矩阵，相当于对矩阵A作一次相应的行(列)初 等变换. (3)矩阵的等价
对矩阵A做初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与矩阵 B等价.
结论1：若 r(A) r,
则矩阵ABiblioteka 与矩阵 Er o
o
o
等价，称为 A 的等价标准形.即存在可逆矩
求所有与A可换的矩阵.
提示：先化简，后计算. 例5 设 A, X 均为n阶方阵，其中 A 的元素均为1，证 明方程 X AX XA 仅有零解. 注意：这种元素均为1的矩阵有特殊性质 A2 nA,以 后还会遇到！
2.初等变换与矩阵的逆
(1)初等变换 (a)交换矩阵的两行(列). (b)矩阵的某一行(列)同乘一个非零数. (c)矩阵的某一行(列)的常数倍加到另一行(列).