4 第四章 反馈控制系统的性能及时域分析

第二节 暂态性能指标
暂态性能指标
延迟时间td：响应曲线第一次达到稳态值一半 所需的时间。 上升时间tr：输出响应从零上升，第一次达到 稳态值所需要的时间，它反映了系统的快速 性。（或指从稳态值的10%上升到90%所需 要的时间） 峰值时间tp：输出响应从零上升至第一个过调 峰值（最大峰值）的时间，称为峰值时间。
T
(t 0)
y (t )

响应曲线
一阶系统的单位阶跃响应曲线 是一条由零开始，按指数规律 上升并最终稳定于1的曲线， 响应曲线是单调的非周期过程
1.0 0.950 0.865 0.632
t T 2T 3T
一阶系统的单位阶跃响应（2）

时间常数T是表征一阶系统响应特性的唯一参 数，T越小y(t)的上升速度越快，T越小调整时 间ts就越短，响应过程的快速性也越好。 一阶系统的单位阶跃响应y(t)没有稳态误差， t 即： T
1 T

响应曲线
一阶系统单位脉冲响应是一 条单调下降的指数曲线 。
y(t)
T
2T
3T
t
一阶系统的单位脉冲响应（2）

时间常数T反映系统的快速性，T越小快速性越 好。

一阶系统的单位脉冲响应y(t)没有稳态误差， 即：
e y x lim y t x t 0
Y s + E s _
^
^
H s
E s
G1 s
Y s
ˆ Y s , Y s 分别为系统输出y (t )和希望值y (t )的拉氏变换 R s , D s 分别为参考输入r (t )和扰动输入d (t )的拉氏变换
y () lim y (t ) lim(1 e ) 1
t t t T t t

e() lim e(t ) lim(e ) 0
一阶系统的单位斜坡响应（1）

输入信号 系统输出
x(t ) t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 X (s) 2 s
1 1 1 T T Y (s) G s X s 2 2 Ts 1 s s s s 1 T y t t T T e (t 0)

一阶系统的时域分析

微分方程 传递函数
dy (t ) T y (t ) x(t ) dt
1 – 开环传递函数 G0 ( s ) s Ts

T为系统时间常数 -λ为系统极点值

方框图


G0 ( s ) 1 – 闭环传递函数 G( s) 1 G0 ( s) s Ts 1
(被控对象)
Y s
输出
_
Bs
反馈信号
H s
(反馈)
以单位反馈系统作为研究对象

^ 对外部信号而言，等效变换后的系统为 ˆ E s Y (s) Y (s)
称为系统偏差
ˆ E ( s) H ( s) E s
Ds U s + G2 s 2 +
t
第三节 典型二阶系统的暂 态性能分析
典型二阶系统

典型二阶系统方框图
X (s ) E (s)
n 2
s ( s 2 n ) ζ
Y (s )

典型二阶系统闭环传递函数
n 2 Y ( s) 1 G( s) 2 2 2 2 R( s) s 2n s n T s 2 Ts 1
规定暂态性能指标的目的

对系统的暂态响应有一 个大致的约束，暂态响 应的允许变化区域大体 上就被限定了。
y(t)
Mp 1 ± Δ
0.5

阴影区域是禁区，实现 是准确边界，虚线则不 那么严格。
0
td
tr tp ts
t
规定暂态性能指标的目的
暂态性能指标表示了响应的动态特性，因此这 5个指标也是系统时域动态响应的性能指标。 这些指标并不一定对任何系统都要全部采用。 三个主要指标Mp，tr和ts是相互矛盾的。例如 – 满足快速响应性（ tr 小）的系统往往会有过 高的过调量（Mp 大）； – 不存在过调的系统，往往无法保证具有满意 的快速响应性和调整时间。
2
典型二阶系统的性能,完全由参数 和n所确定。 典型二阶系统的各项性能与阻尼比 的关系尤为密切。
欠阻尼时系统性能分析
0 1 （欠阻尼）
s1,2 n jn 1 2 jd
n ——闭环极点实部 d n 1 2 ——闭环极点虚部，有阻尼临界角频率
^
单位反馈系统

单位反馈系统：反馈环节的传递函数绝大多数是比例 器型的，最简单的情况是其传递函数等于一个单位， 即H(s)=1，这种反馈控制系统，称为单位反馈控制系 统，简称单位反馈系统。
Rs +
E s _
G1 s
Ds U s + G2 s +
Y s
参考输入R s 期望值Y s ,反馈信号B s 系统输出Y s , 作用误差E s 系统偏差 E s

根据拉氏变化中的终值定理，可以直接从上式中求出 稳态响应和稳态误差，即
y lim y t lim sY s e lim e t lim sE s
t s 0 t s 0
反馈控制系统的性能类别




稳定性 – 系统受到任何输入的激励以后，能够恢复或达到一个新的稳 定状态，则系统是稳定的。 暂态性能 – 系统受到某一输入的激励后，整个暂态过程中系统的表现。 稳态性能 – 通过稳态误差的倒数来衡量，稳态误差越小，系统稳态性能 越好。 对参数变化的不敏感性 – 系统结构参数变化时，系统对这种变化的反应，应该具有足 够的不敏感性。 抗噪声能力 – 希望系统具有一定的抗噪声的能力。

为了减小误差，应分别减少由R(s)和由D(s)所引起的 两个分量；但同时又要保证系统响应还能很好地跟踪 R(s)的变化。从这两个方面来考虑，首先应尽量减少 扰动D(s)对系统响应和误差的影响，是十分必要的。
稳态响应和稳态误差
Y s 1 G1 s G2 s G1 s G2 s Rs 1 G1 s G2 s G2 s Ds G2 s 1 E s Rs Ds 1 G1 s G2 s 1 G1 s G2 s
典型二阶系统闭环传递函数
n 2 Y ( s) 1 G( s) 2 2 2 2 R( s) s 2n s n T s 2 Ts 1
式中： 为阻尼比（反映系统的阻尼程度，与振荡系统超调量有关，
用于划分过渡过程类型： 0 1为欠阻尼， 1为临界阻尼，
1 Ts
Y (s )
X (s )
X (s )
1 Ts 1
Y (s )
一阶系统的单位阶跃响应（1）

输入信号 x(t ) 1(t ) 系统输出
1 X ( s) s
1 1 1 s (Ts 1) s s 1 T
Y ( s ) R( s)G ( s)
t
y (t ) 1 e
1为过阻尼）；
1 为无阻尼自然振荡频率（角频率）； T T 是系统的时间常数。
n
典型二阶系统的传递函数分析
闭环传递函数的零、极点，称为闭环零、极点 开环传递函数的零、极点，称为开环零、极点 对于典型二阶系统，闭环极点也是系统的特征 根。

特征方程：s 2 2n s n 2 0 特征根：s1,2 n n 1
第四章 反馈控制系统的性 能及时域分析
第四章 反馈控制系统的性能及时域分析
第一节 第二节 第三节 第四节

反馈控制系统性能概述 暂态性能指标 典型二阶系统的暂态性能分析 高阶系统的暂态性能与闭环零点、极 点配置的关系 第五节 参考输入作用下的稳态误差分析 第六节 扰动对稳态误差的影响及补偿措施 第七节 参数敏感度分析

稳态误差与输入的关系

利用Mason公式可知：
Y s 1 G1 s G2 s G1 s G2 s Rs 1 G1 s G2 s G2 s Ds
G2 s 1 E s Rs Ds 1 G1 s G2 s 1 G1 s G2 s
^
^
性能与误差的关系
性能： – 系统的响应（输出）应能迅速而准确的跟踪 给定的系统响应的希望值的变化 – 当出现外界扰动或内部参数发生变化时，应 能尽量减少系统响应所受到的影响 亦即，尽量使系统在任何时间（t≥0）的误差 均为最小：e(t)→0，t ≥0

系统变化过程
当系统受到参考输入r(t)或外界扰动输入d(t)的 激励之后（t≥0），系统的响应及误差都将出 现一个变化的过程，这个过程称为暂态过程。 当t→∞时，响应与误差均可能趋向于某种稳定 状态， t→∞时的响应，称为稳态响应，t→∞ 时的误差，称为稳态误差。

暂态性能指标
调整时间ts：输出响应到达并停留在误差带内 所需的最小时间，它反映系统过渡过程的快 慢。输出的误差带范围一般规定为其稳态值 的2%或5%。响应曲线开始进入并保持在上 述误差范围内所需要的时间为ts。 超调量σ%（Mp%)：若输出峰值为y(tp)，稳 态值为y(∞)，则定义：

% M p %
td t r
tp
ts
延迟 时间
上升 时间
峰值 时间
调整 时间
暂态性能指标


一般认为，系统在[0，ts]时间区间上的过程，属于暂 态过程；当t≥ ts以后，便可认为系统已进入了实际上 的稳定状态。而理论上是以t→∞时的极限状态作为稳 定状态。 上述五个指标中 – 时间指标td（延迟时间）、tr（上升时间）、tp（峰 值时间）代表暂态响应的快速性； – 超调量σ% (Mp%)代表暂态响应振荡的严重程度； – ts是综合指标，代表暂态过程的时间尺度（表示系 统过渡过程持续的时间）。
y (t p ) y () y ( )
100%
暂态性能指标
输出峰值
y (t )
y(t p )
超调量
超调量 % 误差带（2%或5%） 稳态误差
设定输出 y r (t )
ess
y ( )
实际输出
输出稳态值
0.5 y r (t )
阶跃输入 r (t )
y (t )
y s y ( )
x(t) y(t) x(t) y(t) 2T T T 2T 3T t
t T

响应曲线
一阶系统在斜坡输入下的输出，与 输入信号的斜率相等，事实延迟一 个时间常数T，或说存在一个跟踪 误差，数值与时间常数T相等。
一阶系统的单位斜坡响应（2）

时间常数T越小，响应越快，稳态误差越小。

一阶系统的单位斜坡响应y(t) 稳态误差等于时 间常数T，即：
本章第七节不讲
第一节 反馈系统性能概述
反馈系统性能概述

对于如下的反馈控制系统
E s R( s ) B( s ) 称为作用误差，简称误差
Y s
^
扰动
希望值
H s
Rs +
参考 输入
E s
误差 信号
G1 s
(控制器)
Ds U s + G2 s +
e y x lim y t x t T
t
一阶系统的单位脉冲响应（1）

输入信号 系统输出
x(t ) t X (s) 1
Y s 1 1 1 Ts 1 Ts 1 t 1 T y t e t 0 T

由于σ<0，s1,2落在s平面的左半平面，对应的 系统称为欠阻尼系统，其暂态响应是衰减的正 弦振荡。
欠阻尼的单位阶跃响应

01 σ<0，s1,2落在s平面的左半平面 复数极点离虚轴越远，即 n 越大，衰减 越快；复数极点离实轴越远，即 d n 1 2 越大，振荡越烈，过调量也随之增加。