上海市华二附中2021届高三数学国庆作业2(含答案)
2024-2025学年上海华二附中高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1华二附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知i 为虚数单位，复数12iz i+=，则z 的实部为________． 2．若函数()133x xf x a =⋅+为偶函数，则实a =________． 3．若事件A 、B 发生的概率分别为1()2P A =，2()3P B =，且相互独立，则()P A B =________．4．已知集合(){}2|log 1A y y x ==−，{}3|27B x x =≤，则A B =________．5．设{}n a 是等比数列，且13a =，2318a a +=，则n a =________．6．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V 与直径d 的关系式为36d V π=，当2d =时，气球体积的瞬时变化率为________． 7．已知随机变量X 的分布为123111236⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且3Y aX =+，若[]2E Y =−，则实数a =________． 8．记函数()()()cos 0,0f x x =ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为________．9．若6(0)b ⎛> ⎝的展开式中含x 项的系数为60，则2a b +的最小值为________．10．顶点为S 的圆锥的母线长为60cm ，底面半径为25cm ，A ，B 是底面圆周上的两点，O 为底面中心，且35AOB π∠=，则在圆锥侧面上由点A 到点B 的最短路线长为____cm ．（精确到0.1cm ）11．已知△ABC 中，22AB BC ==，AB 边上的高与AC 边上的中线相等，则tan B =2________．12．给定公差为d 的无穷等差数列{}n a ，若存在无穷数列{}n b 满足： ①对任意正整数n ，都有1n n b a −≤②在21b b −，32b b −，…，20252024b b −中至少有1012个为正数，则d 的取值范围是________． 二、单选题（本大题共4小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 13．“1a b +>”是“33a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ） A ．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B ．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C ．两种证券的收益有同向变动的倾向 D ．两种证券的收益有反向变动的倾向15．设0k >，若向量a 、b 、c 满足::1::3a b c k =，且2()b a c b −=−，则满足条件的k 的取值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．设1A ，1B ，1C ，1D 分别是四棱锥P ABCD −侧棱PA ，PB ，PC ，PD 上的点．给出以下两个命题，①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111A B C D 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111A B C D 可能是平行四边形．（ ） A ．①真②真 B ．①真②假 C ．①假②真 D ．①假②假三、解答题（本大题共5小题，共78.0分．）17．（本小题14.0分）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周⊥，F是垂足．（1）求证：AF DB⊥；（2）若圆柱与三棱锥D ABE−的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABD所成角的大小．3418．（本小题14.0分）李先生是一名上班旋，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：（1）求出这40个通勤记录的中们数M ，并完成下列22⨯列联表：（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d −χ=++++，()2 3.8410.05P χ≥≈．519．（本小题14.0分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放，已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE ∠=θ，总造价为W 元。
2021年上海市浦东新区高考数学二模试卷(解析版)
2021年上海市浦东新区高考数学二模试卷一、填空题（满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝．2．已知1+i是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根（i为虚数单位），则2a+b＝．3．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则xy＝．4．已知球的主视图的面积为，则该球的体积为．5．若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为．6．已知实数x、y满足条件，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为．7．方程（log3x）2+log93x＝2的解集为．8．某校高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：高一6 6.577.58高二6789101112高三3 4.567.5910.51213.5则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为．9．已知A（1，0）、B（0，﹣1），若曲线C：y＝上存在两个不同的点P满足条件•＝t，则t的取值范围为．10．将函数f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的y＝g（x）图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个零点，则b的最小值为．11．已知a、b、m、n均为正实数，且满足2021a+2020b﹣ab＝0，m+n＝8（），则（m+）•（n+）的取值范围为．12．已知a、b、c为正整数，方程ax2+bx+c＝0的两实根为x1，x2，且|x1|＜1，|x2|＜1，则a+b+c的最小值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知实数a≠0，则“a＜1”是“＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．以圆x2+y2+4x+3＝0的圆心为焦点的抛物线标准方程为（）A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝﹣8x D．y2＝8x15．已知函数f（x）（x∈D），若对任意的x∈D，都存在t∈D，使f（t）＝﹣f（x）成立，称f（x）是“拟奇函数”，下列函数是“拟奇函数”的个数是（）①f（x）＝x2；②f（x）＝lnx；③f（x）＝x+；④f（x）＝cos x．A．1个B．2个C．3个D．4个16．数列{a n}的前n项和为S n，a1＝m，且对任意的n∈N*都有a n+a n+1＝2n+1，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（）①存在实数m，使得{a n}为等差数列；②在实数m，使得{a n}为等比数列；③若存在k∈N*使得S k＝S k+1＝55，则实数m唯一．A．①B．①②C．①③D．①②③三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，已知圆锥SO底面圆的半径r＝1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为．（1）求圆锥SO的侧面积；（2）若E为母线SA的中点，求二面角E﹣CD﹣B的大小（结果用反三角函数值表示）．18．已知函数f（x）＝sin x，x∈R．（1）设g（x）＝f（2x）+2f2（x+），求函数g（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．若f（A）＝，b＝1，△ABC 的面积为，求sin C的值．19．在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x吨需另外投入可变成本h（x）万元，已知h（x）＝．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完，设基地种植该中药材年利润为y万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．（1）求a的值；（2）求年利润y的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．20．（16分）已知椭圆C：+y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点A（0，2）的直线l交椭圆C于不同的两点P、Q．（1）若直线l经过F2，求△F1PQ的周长；（2）若以线段PQ为直径的圆过点F2，求直线l的方程；（3）若＝λ，求实数λ的取值范围．21．（18分）已知无穷实数列{a n}，n∈N*，若存在M＞0，使得对任意n∈N*，|a n|≤M恒成立，则称{a n}为有界数列；记b i＝|a i+1﹣a i|，（i＝1，2，3，…，n﹣1），若存在T＞0，使得对任意n≥2，n∈N*，b1+b2+b3+…+b n﹣1≤T恒成立，则称{a n}为有界变差数列．（1）已知无穷数列{a n}的通项公式为a n＝，n∈N*，判断{a n}是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；（2）已知首项为c1＝1，公比为实数q的等比数列{c n}为有界变差数列，求q的取值范围；（3）已知两个单调递增的无穷数列{d n}和{e n}都为有界数列，记f n＝d n•e n，n∈N*，证明：数列{f n}为有界变差数列．参考答案一、填空题（满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝{﹣1，0，1}．解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．2．已知1+i是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根（i为虚数单位），则2a+b＝﹣2．解：因为1+i是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根，所以1﹣i也是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根，故，解得a＝﹣2，b＝2，所以2a+b＝﹣2．故答案为：﹣2．3．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则xy＝2．解：二元一次方程组的增广矩阵为，则二元一次方程组为：，解得，则xy＝2．故答案为：2．4．已知球的主视图的面积为，则该球的体积为．解：πR2＝，R＝，V＝πR3＝．故答案为：．5．若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为20．解：展开式的二项式系数和为2n∴2n＝64解得n＝6∴展开式的通项为T r+1＝C6r x6﹣2r令6﹣2r＝0得r＝3故展开式的常数项为C63＝20故答案为206．已知实数x、y满足条件，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为2．解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（1，0），由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故答案为：2．7．方程（log3x）2+log93x＝2的解集为．解：将原方程变成，解得log3x＝1或，∴x＝3或，∴原方程的解集为．故答案为：．8．某校高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：高一6 6.577.58高二6789101112高三3 4.567.5910.51213.5则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为140．解：样本数据中该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为20﹣6＝14（人），估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为200×＝140（人）．故答案为：140．9．已知A（1，0）、B（0，﹣1），若曲线C：y＝上存在两个不同的点P满足条件•＝t，则t的取值范围为[2，+1）．解：由题意，可知t＝•＝||||cos∠PBA，当||cos∠PBA，是向量在上的投影，曲线C：y＝上存在两个不同的点P满足条件•＝t，如图中的红色直线与半个圆有两个交点，红色直线的斜率为﹣1，直线方程设为：y＝﹣x+b，直线与圆x2+y2＝1（y≥0）有2个交点，可知b≥1，，解得＜b，此时t＝•∈[，），即t＝•∈[2，+1）．故答案为：[2，+1）．10．将函数f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的y＝g（x）图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个零点，则b的最小值为．解：将函数f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的y＝g（x）＝2sin（2x+）﹣1图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个零点，即方程sin（2x+）＝在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个解．则当b最小时，满足2b+＝+2020π，求得b＝，故答案为：π．11．已知a、b、m、n均为正实数，且满足2021a+2020b﹣ab＝0，m+n＝8（），则（m+）•（n+）的取值范围为[2﹣2，+∞）．解：（m+）•（n+）＝mn+＝mn+＝mn+＝mn+﹣2，因为2021a+2020b﹣ab＝0，所以＝1，∴m+n＝8（）＝8，则（m+）（n+）＝mn+﹣2，设t＝mn＝m（8﹣m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16，∵0＜m＜8，∴t∈（0，16），∴（m+）（n+）＝mn+﹣2＝t﹣2≥2﹣2，当且仅当t＝，即t＝时取等号，∴（m+）（n+）≥2﹣2，∴（m+）（n+）的取值范围为[2﹣2，+∞）．故答案为：[2﹣2，+∞）．12．已知a、b、c为正整数，方程ax2+bx+c＝0的两实根为x1，x2，且|x1|＜1，|x2|＜1，则a+b+c的最小值为9．解：依题意，可知，从而可知x1，x2∈（﹣1，0），所以有，故，又a，b，c为正整数，取c＝1，则a+1＞b⇒a≥b，所以a2≥b2≥4ac＝4a⇒a≥4，所以b2≥4ac≥16．又b＜4+1＝5，所以b＝4，因此a+b+c有最小值为9．故答案为：9．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13．已知实数a≠0，则“a＜1”是“＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：实数a≠0，则“a＜1”，“＞1”不一定成立，如a＜0，＜0，所以充分性不成立；＞1时，﹣1＞0，化为＜0，解得0＜a＜1，所以a＜1，必要性成立；是必要非充分条件．故选：B．14．以圆x2+y2+4x+3＝0的圆心为焦点的抛物线标准方程为（）A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝﹣8x D．y2＝8x解：x2+y2+4x+3＝0的圆心（﹣2，0），圆心为焦点的抛物线标准方程为y2＝﹣8x．故选：C．15．已知函数f（x）（x∈D），若对任意的x∈D，都存在t∈D，使f（t）＝﹣f（x）成立，称f（x）是“拟奇函数”，下列函数是“拟奇函数”的个数是（）①f（x）＝x2；②f（x）＝lnx；③f（x）＝x+；④f（x）＝cos x．A．1个B．2个C．3个D．4个解：根据题意，依次分析4个函数，①f（x）＝x2，有f（x）≥0，一定不满足f（t）＝﹣f（x），不是“拟奇函数”；②f（x）＝lnx，设D＝（0，+∞），若对任意的x∈D，都存在t＝∈D，满足f（t）＝﹣f（x），则f（x）＝lnx是“拟奇函数”；③f（x）＝x+，定义域为{x|x≠0}，设其定义域为D，若对任意的x∈D，都存在t＝﹣x∈D，满足f（t）＝﹣f（x），则f（x）＝x+是“拟奇函数”；④f（x）＝cos x，设D＝（0，π），若对任意的x∈D，都存在t＝π﹣x∈D，满足f（t）＝﹣f（x），在f（x）＝cos x是“拟奇函数”；故选：C．16．数列{a n}的前n项和为S n，a1＝m，且对任意的n∈N*都有a n+a n+1＝2n+1，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（）①存在实数m，使得{a n}为等差数列；②在实数m，使得{a n}为等比数列；③若存在k∈N*使得S k＝S k+1＝55，则实数m唯一．A．①B．①②C．①③D．①②③解：∵a n+a n+1＝2n+1，∴，则a n+2﹣a n＝2，由a1+a2＝3，a1＝m得，a2＝3﹣m，故，①当m＝1时，{a n}为等差数列，①对；②{a n}不可能为等比数列，②错；③当n为偶数时，，当n为奇数时，，∵S k＝S k+1＝55，∴S k＝55，且a k+1＝0，（i）当k为偶数时，，解得；（ii）当k为奇数时，，解得，∴m不唯一，③错．故选：A．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，已知圆锥SO底面圆的半径r＝1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为．（1）求圆锥SO的侧面积；（2）若E为母线SA的中点，求二面角E﹣CD﹣B的大小（结果用反三角函数值表示）．解：（1）∵圆锥SO底面圆的半径r＝1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为．∴SA＝2，∴圆锥SO的侧面积S侧＝πrl＝2π．（2）∵E为母线SA的中点，EA＝1，SO垂直圆O所在的平面，CD⊂圆O所在的平面，∴CD⊥SO，∵CD⊥AB，SO∩AB＝O，SO、AB⊂平面SOA，∴CD⊥平面SOA，∵OE⊂平面SOA，∴OE⊥CD，∵AB⊥CD，∴∠EOB是二面角E﹣CD﹣B的平面角，在△BOE中，OB＝OE＝1，BE＝，∴cos∠EOB＝﹣，∴二面角E﹣CD﹣B的大小为．18．已知函数f（x）＝sin x，x∈R．（1）设g（x）＝f（2x）+2f2（x+），求函数g（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．若f（A）＝，b＝1，△ABC 的面积为，求sin C的值．解：（1）g（x）＝f（2x）+2f2（x+）＝sin2x+2sin2（x+），＝sin2x+2cos2x＝sin2x+cos2x﹣1＝2sin（2x+）+1，因为﹣1≤sin（2x+）≤1，所以﹣1≤f（x）≤3，故函数的值域[﹣1，3]；（2）f（A）＝sin A＝，所以A＝或A＝，因为S△ABC＝＝＝，所以c＝4，当A＝时，a2＝b2+c2﹣bc＝16+1﹣4＝13，所以b＝，所以sin C＝＝；当A＝时，a2＝b2+c2+bc＝16+1+4＝21，故b＝，所以sin C＝＝，故sin C＝或sin C＝．19．在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x吨需另外投入可变成本h（x）万元，已知h（x）＝．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完，设基地种植该中药材年利润为y万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．（1）求a的值；（2）求年利润y的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．解：（1）当基地产出该中药材40吨时，年成本为1600a+49×40+250万元，利润为50×40﹣（1600a+49×40+250）＝190，解得a＝﹣；（2）当x∈（0，50]时，y＝50x﹣（）＝，∵对称轴方程为x＝﹣2＜0，则函数在（0，50]上为增函数，∴当x＝50时，y max＝425万元；当x∈（50，100]时，y＝50x﹣（51x+﹣860+250）＝610﹣（x+）＝610.5﹣（）≤610.5﹣2≈445.4．当且仅当，即x＝≈82.1时取等号．即当年产量约为82.1吨时，年利润最大约为445.5万元．20．（16分）已知椭圆C：+y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点A（0，2）的直线l交椭圆C于不同的两点P、Q．（1）若直线l经过F2，求△F1PQ的周长；（2）若以线段PQ为直径的圆过点F2，求直线l的方程；（3）若＝λ，求实数λ的取值范围．解：（1）因为椭圆C：+y2＝1，所以椭圆C的长半轴长为，由椭圆的定义可得，，所以△F1PQ的周长为；（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，此时Q（0，1），P（0，﹣1），又F2（1，0），所以，所以符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与，则有（1+2k2）x2+8kx+6＝0，所以，△＝64k2﹣4（1+2k2）×6＞0，解得，因为，＝（x1﹣1）（x2﹣1）+（kx1+2）（kx2+2）＝0，所以（k2+1）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5＝0，故，解得，故直线l的方程为11x+8y﹣16＝0，综上所述，直线l的方程为x＝0或11x+8y﹣16＝0；（3）①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，若Q（0，1），P（0，﹣1），则，所以，此时；若Q（0，﹣1），P（0，1），则，所以，此时λ＝3；②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），又A（0，2），所以，因为＝λ，所以，故，由（1）可知，，所以，则，即，因为，故3（1+2k2）＞12，，所以，因为，由，可得，即，所以，综上所述，实数λ的取值范围为．21．（18分）已知无穷实数列{a n}，n∈N*，若存在M＞0，使得对任意n∈N*，|a n|≤M恒成立，则称{a n}为有界数列；记b i＝|a i+1﹣a i|，（i＝1，2，3，…，n﹣1），若存在T＞0，使得对任意n≥2，n∈N*，b1+b2+b3+…+b n﹣1≤T恒成立，则称{a n}为有界变差数列．（1）已知无穷数列{a n}的通项公式为a n＝，n∈N*，判断{a n}是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；（2）已知首项为c1＝1，公比为实数q的等比数列{c n}为有界变差数列，求q的取值范围；（3）已知两个单调递增的无穷数列{d n}和{e n}都为有界数列，记f n＝d n•e n，n∈N*，证明：数列{f n}为有界变差数列．解：（1）∵，∴若使数列{a n}为有界数列，则需使M≥1，由知，a n＞a n+1，则b i＝|a i+1﹣a i|＝a i﹣a i+1，（i＝1，2，3，4……，n﹣1），∴b1+b2+b3+……+b n﹣1＝a1﹣a n＜a1＝1，则T≥1即可，则数列{a n}为有界变差数列．（2），则b i＝|a i+1﹣a i|＝|q i﹣q i﹣1|＝|q﹣1|•|q|i﹣1，当q＝1时，则b i＝0，显然满足题意．当q＝﹣1时，则b i＝2，则b1+b2+b3+…+b n﹣1＝2（n﹣1），若2（n﹣1）≤T，则n≤，舍去．当q≠1时，则{b n}是首项为|q﹣1|，公比为|q|的等比数列，则b1+b2+b3+…+b n﹣1＝，若0＜|q|＜1时，，则符合题意．若|q|＞1时，趋向于无穷大，与题意矛盾，舍去．综上可得，q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，1]．（3）证明：因为{d n}和{e n}为有界数列，则存在M1＞0，使得对任意的n∈N*，|d n|≤M1恒成立，则存在M2＞0，使得对任意的n∈N*，|e n|≤M2恒成立，b i＝|d i+1e i+1|﹣|d i e i|＝|d i+1e i+1﹣d i e i+1+d i e i+1﹣d i e i|＝|（d i+1﹣d i）e i+1+（e i+1﹣e i）d i|≤|（d i+1﹣d i）e i+1|+|（e i+1﹣e i）d i|，又因为{d n}和{e n}为单调递增的有界数列，b i＝|d i+1e i+1﹣d i e i|≤|d i+1﹣d i|•|e i+1|+|e i+1﹣e i|•|d i|≤M1（d i+1﹣d i）+M2（e i+1﹣e i），则b i≤M2（d i+1﹣d i）+M1（e i+1﹣e i），则b1+b2+b3+…+b n﹣1≤M2（d n﹣d1）+M1（e n﹣e1）≤M2（|d n|+|d1|）+M1（|e n|﹣|e1|）≤M2•2M1+M1•2M2＝4M1M2，所以存在T≥4M1M2即可，则数列{f n}为有界变差数列．。
2023-2024学年上海华二附中高二上学期期中数学试卷及答案(2023.11)
1华二附中2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16~题每题4分,第7-12题每题5分）1．直线3310x y +-=的倾斜角为______．2．抛物线2y x =的准线方程为______．3．已知12,F F 是椭圆22:132x y C +=的两个焦点，椭圆C 上的两个动点P 、Q 与1F 满足三点共线，则2PQF △的周长是______．4．平行直线210x y +-=与2430x y ++=的距离为______．5．已知双曲线2221(0)4x y m m -=>的一条渐近线方程是520x y -=，则m =______．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点12,F F 是两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得12120F PF ∠=︒，则该椭圆的离心率的取值范围是______．7．斜率为1的直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，若l 与圆22(5)8x y -+=相切，则P 等于______．8．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为______．9．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为170米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为202米，则该双曲线的离心率为______．210．已知,x y 为实数，代数式22221(2)9(3)y x x y +-++-++的最小值是______．11．如图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点,P T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=______．12．已知,P Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则2||||2PQ PO +的最小值为______．二、选择题（共4题，共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）13．椭圆22152x y +=的长轴长为（）A ．25B ．5C ．4D ．214．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若,A B 两点的横坐标之和为3，则||AB =（）A ．5B ．143C ．133D ．415．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为3,ABE △，,BEC ECD △△均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB BP ⋅的最大值为（）A ．43B ．12C ．123D ．3316．把方程||||194x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的是（）①()f x 在R 上单调递减；②()y f x =的图像关于原点对称；③函数()3()2g x f x x =+不存在零点；④()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④三、解答题（共5题，共78分）17．（14分）直线1:2110l x y +-=与直线2:2100l x y +-=相交于点P ，直线l 经过点P （1）若直线2l l ⊥，求直线l 的方程：（2）若直线l 在坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．18．（14分）已知抛物线2:2C y px =（p 为常数，0p >）的焦点F 与椭圆22195y x +=的右焦点重合，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若直线AB 的斜率为1，求||AB ．419．（14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区，已知tan 3,6MON OA ∠=-=（百米），Q 到直线ON ，ON 的距离分别为3（百米）（百米）．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区．（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，2r=（百米）(09,01)t a ≤<<<，当喷泉表演开始时，一观光车s （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA（百米/分钟）的速度开往休息区A ．问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．20．（18分）设双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一个焦点坐标为，离心率,e A B=是双曲线上的两点，AB的中点(1,2)M．（1）求双曲线C的方程：（2）求直线AB方程：（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，问A、B、C、D四点是否共圆?若共圆求之，若不共圆给予充分理由．5621．（18分）如图，D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 并延长至点W ，使得||1WA =，点W 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若过点(2,0)K -的两条直线12,l l 分别交曲线C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点：（3）若曲线C 交y 轴正半轴于点S ，直线0x x =与曲线C 交于不同的两点,G H ，直线SH ，SG 分别交x 轴于,P Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得2ORP ORQ π∠+∠=?若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．7参考答案一、填空题1.120;2.14x =-;3.;4.52; 5.5;6.,12⎫⎪⎪⎣⎭;7.218或;8.3;；11．如图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点,P T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=______．-【解析】设双曲线的右焦点为1F ,因为O 为1FF 中点,M 为PF 中点,所以MO 为三角形1PFF 的中位线,11,2MO PF =又1122MT PT PM PF FT PF PF FT=-=--=-所以()112MO MT PF PF FT FT a-=-+=-a FT ===又所以MO MT -=.-.12．已知,P Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则2||||2PQ PO +的最小值为______．【解析】由()2248x y -+=得22880x x y -++=,于是22222828,x x y x y -++=+从而()22221442x x y x y -++=+,=8等于点P 到点()2,0M 的距离.所以PQ PQ PM MQ =+ ,而min ||MQ =-=所以PQ +二、选择题13.A14.A 15.A 16.C15．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，,BEC ECD △△均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB BP ⋅的最大值为（）A．B ．12C．D ．3【答案】A【解析】以D 为坐标原点，AD 为x 轴，过D 做AD 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()((8,0,,A B C ---.圆D 的方程为223x y +=，可设)Pαα，所以(,AB BP αα==+- .故126sin 126AB BP πααα⎛⎫⋅=++-=+≤ ⎪⎝⎭故选:A.16．把方程||||194x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的是（）9①()f x 在R 上单调递减；②()y f x =的图像关于原点对称；③函数()3()2g x f x x =+不存在零点；④()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】C【解析】由方程方程1x x y y +=-,当0x ,0y 时不成立;当0,0x y ><时,22149y x -=；当0,0x y <>时,22194x y -=;当0,0x y 时,22194x y +=;如下图示:由图判断函数在R 上单调递减,故(1)正确,(2)错误;当()320f x x +=,即()23f x x =-,函数()()32g x f x x =+的零点,就是函数()y f x =和23y x =-的交点,而23y x =-是曲线221,049y x x -=>,0y <和221,0,094x y x y -=<>的渐近线,所以没有交点.由图知,23y x =-和221,094x y x += ,0y 没有交点,所以函数()()32g x f x x =+不存在零点,故(3)正确;由图,()y f x =上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y 的图象上,即满足22194x y +=,设(),P x y,PO ===,当0x =时取最小值2,故(4)正确.故选:C .三．解答题1017.（1）250x y -+=（2）43070x y x y -=+-=或18.（1）28y x =（2）16AB =19.（1）AB =(2)不会，理由略20．（18分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为，离心率,e A B =是双曲线上的两点，AB 的中点(1,2)M ．（1）求双曲线C 的方程：（2）求直线AB 方程：（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，问A 、B 、C 、D 四点是否共圆?若共圆求之，若不共圆给予充分理由．【答案】（1）2212y x -=（2）1y x =+（3）略【解析】(1)依题意得c ce a ⎧=⎪⎨==⎪⎩,解得1a =.所以222312b c a =-=-=,故双曲线C 的方程为2212y x -=.(2)设()()1122,,,A x y B x y ,则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.两式相减得:()()()()1212121212x x x x y y y y -+=-+,由题意得121212,2,4x x x x y y ≠+=+=,所以()1212121221x x y y x x y y +-==-+,即 1.AB k =故直线AB 的方程为1y x =+.11(3)假设A B C D 、、、四点共圆,且圆心为P .AB 为圆P 的弦,所以圆心P 在AB 垂直平分线CD 上,又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ,圆心P 为CD 中点M .下面只需证CD 的中点M 满足MA MB MC MD ===即可.由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得:()1,0A -,()3,4B .由(1)得直线CD 方程:3y x =-+,由22312y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得:(3C -+(63D ---+,()3,6CD M ∴-⋅的中点2,MA MB MC MD MA MB MC MD ======∴=== 即A B C D 、、、四点在以点()3,6M -为圆心,为半径的圆上.21．（18分）如图，D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 并延长至点W ，使得||1WA =，点W 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若过点(2,0)K -的两条直线12,l l 分别交曲线C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点：（3）若曲线C 交y 轴正半轴于点S ，直线0x x =与曲线C 交于不同的两点,G H ，直线SH ，SG 分别交x 轴于,P Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得2ORP ORQ π∠+∠=若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．12【答案】（1）2214x y +=（2）见解析（3）存在，理由见解析【解析】(1)设()()00,,,W x y D x y ,则()()00,0,0,A x B y ,由题意知1AB =,所以WA AB = ,得()()000,,x x y x y --=-,所以00,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩因为22001x y +=,得2214x y +=,故曲线C 的方程为2214x y +=.(2)由题意可知,直线12,l l 不平行坐标轴,则可设1l 的方程为:2x my =-,此时直线2l 的方程为12x y m=--.由22214x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得:()22440m y my +-=,解得:244m y m =+或0y =(舍去),所以222428244m m x m m m -=⋅-=++,所以222284,44m m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,同理可得:222284,4141m m N m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.①当1m ≠±时,直线MN 的斜率存在,13()222224222244455556441,:,2828161644445441MN MN m m m m m m m m k l y x m m m m m m m ++⎛⎫++====+ ⎪-----⎝⎭-++所以直线MN 过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.②当1m =±时,直线MN 斜率不存在,此时直线MN 方程为:65x =-,也过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭,综上所述:直线MN 过定点6,05⎛⎫-⎪⎝⎭.(3)存在点。
2021年上海市高考数学试卷(学生版+解析版).docx
2021年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分，满分54分）1.（4 分）已知 zi = l+z', Z2=2+3Z',求 zi+z2=.2.（4 分）已知 A={x|2xWl}, B={-1, 0, 1},贝i| .3.（4分）若^+y2 -2x~ 4y=0,求圆心坐标为 .4.（4分）如图正方形ABCD,求百.5.（4 分）已知f（x）+2,则广1 （1） =.x6.（4分）已知二项式（x+a） 5展开式中，x2的系数为80,则a=.x<37.（5分）已矢小2x-y-2》o, z=x-y,则z的最大值为 .3x+y-8》08.（5分）已知{a”}为无穷等比数列，671=3, S的各项和为9, bn=ain,则数列化”}的各项和为.9.（5分）己知圆柱的底面圆半径为1,高为2, AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则ABC的面积的取值范围为 .10.（5分）已知花博会有四个不同的场馆A, B, C, D,甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为.11.（5分）已知抛物线y2=2px（p>0）,若第一象限的A, B在抛物线上，焦点为F, |时| =2,|BF|=4, |AB|=3,求直线AB的斜率为.12.（5 分）已知 a庭N* （z=l, 2,…，9）对任意的k€N* （2WZW8）, ak=ak-l+]或破=ak+i - 1中有且仅有一个成立，ai—6, <29=9,则ai+---+a9的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13.（5分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）A.y= - 3xB. j=x3C. y=log3xD. y=3xx=3t~4t314.（5分）已知参数方程< * 二_, re[-i, 1],以下哪个图符合该方程（）.y=2tVl-t2三、解答题17. （14 分）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，已知 AB=BC=2, 441=3.(1) 若F 是棱A L D I 上的动点，求三棱锥C-PAD 的体积;(2) 求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小.18. （14 分）在△ABC 中，已知 Q =3, b=2c.（1）若 A = 求 S/VlBC.(2) 若 2sinB - sinC= 1,求 C MBC .19. (14分)已知一企业一年营业额1.1亿元，每年增加0.05亿元，利润0.16亿元，每年增 长4%.A. C. 15. （5 分） 已知 f （x ） =3sinx+2,对任意的 xi£[O,=2/-(x+0) +2成立，则下列选项中，。
2021年上海市高考数学试题及答案解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(上海卷)一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 以下哪个函数既是奇函数，又是减函数A. y =−3xB. y =x 3C. y =log 3xD. y =3x2. 已知参数方程，，，以下哪个图符合该方程A.B.C.D.3. 已知f(x)=3sinx +2，存在任意的x 1∈[ 0,π2]，都存在x 2∈[ 0,π2]，使得f(x)=2f(x +θ)+2成立，则下列选项可行 θ的值是A. 3π5B. 4π5C. 6π5D. 7π54. 已知x 1、y 1、x 2、y 2、x 3、y 3为6个不同的实数，满足 ①x 1<y 1，x 2<y 2，x 3<y 3， ②x 1+y 1=x 2+y 2=+， ③x 1y 1+x 3y 3=2x 2y 2，以下选项值恒成立的是A. ．2x 2<x 1+x 3B. 2x 2>x 1+x 3C. x 22<x 1x 3D. x 22>x 1x 3二、单空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 已知z 1=1+i ，z 2=2+3i ，则z 1+z 2=_____． 6. 已知A ={x|2x ≥1}，B ={ −1,0，1 }，则A B =_____． 7. 已知圆x 2+y 2+2 x −4y =0，则该圆的圆心坐标为_____． 8. 如图，正方形A B C D 的边长为3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =_____． 9. 已知f(x)=3x +2，则f −1(1)=_____．10. 已知二项式(x +a)5展开式中，的系数为80，则a =_____． 11. 已知实数 x , y 满足{x ≤32x −y −2≥03x +y −8≥0，则z =x −y 的最大值为_____．12. 已知无穷等比数列 {a n } 和 {b n }，满足a 1=3，b n =a 2n ，若a 2n 的各项和为9，则数列{b n }的各项和为_____．13. 在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB ，C 是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则△ABC 的面积的取值范围为_____．14.有四个不同的馆，甲、乙2人每人选2个馆去参观，恰有一个馆相同的概率为_____．15.已知抛物线y2=2px(p>0)，若第一象限的 A ,B在抛物线上，焦点为F，|AF|=2，|BF|=4，|AB|=3，求直线 AB的斜率为_____．16.已知a i∈N∗(i=1,2，⋯，9)，对a k=a k−1+1或a k=a k+1 −1(2≤k≤8)中有且仅有一个成立，且a1=6，a9=9，则a1+a2+⋯+a9的最小值为_____．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3．(1)点P是棱A1D1上的动点，求棱锥C−PAD的体积；(2)求直线AB1与平面ACC1A1所成的角．18.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2c．(1)若A=2π，求△ABC的面积；3(2)若2sinB−sinC=1，求△ABC的周长．19.已知某企业今年(2021年)第一季度营业额为1亿元，以后的每个季度营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿元，以后每季度比上一个季度增加4%．(1)求2021年起前20个季度营业额的总和；(2)哪一个季度的利润第一次超过营业额的18%．20. 已知椭圆 Τ：x 22+y 2=1，F 1，F 2是左右焦点，直线且 l 过点P(m,0) (m <−√2)交椭圆 Τ于A ，B 两点，点A ，B 在 x 轴上方，点A 在线段BP 上 (1)若P 为上顶点，|BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，求m 的值；(2)若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13，原点O 到直线l 的距离为4√1515，求直线 l 的方程； (3)对于任意点P ，是否存在唯一的直线 l ，使得F 1⃗⃗⃗ A//F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若存在，求出直线 l 的斜率，若不存在，请说明理由．21. 对于定义域为R 的函数f(x)以及非空数S ：若对任意x 1，x 1∈R ，当x 1−x 2∈R 时，都有f(x 1)−f(x 2)∈S ，则称f(x)是S 关联的． (1)若f(x)=2 x +1，则f(x)是否是关联的，f(x)是否是 [0,1] 关联的； (2)设f(x)是 { 3 } 关联的，当x ∈[0,3]， f(x)=x 2−2x ，解不等式：2≤f(x)≤3； (3)证明：f(x)既是 { 1 } 关联的，又是关联的，当且仅f(x)是 [1,2] 关联的．答案解析一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1.以下哪个函数既是奇函数，又是减函数A. y =−3xB. y =x 3C. y =log 3xD. y =3x【答案】A【解析】幂函数y =x 3在R 上单调递增，对数函数y =log 3x 与指数函数y =3x ，既不是奇函数也不是偶函数，所以选项 B ，C ，D 都不符合题意，故选：A ． 2.已知参数方程，，，以下哪个图符合该方程A.B.C.D.【答案】B 【解析】当t =0，x =0，y =0，所以过原点，排除A ， 当t =1时，x =−1，y =0，排除C 和D ， 当x =3t −4t 3=0，t 1=0，t 2=−√32，t 3=√32，则y 1=0，y 2=−√32，y 3=√32，故选：B ．3.已知f(x)=3sinx +2，存在任意的x 1∈[ 0,π2]，都存在x 2∈[ 0,π2]，使得f(x)=2f(x +θ)+2成立，则下列选项可行 θ的值是A. 3π5B. 4π5C. 6π5D. 7π5【答案】B【解析】【解析】由题意知，x 1是任意性，x 2是存在性，设f(x)=3sinx +2 的值域为A ，f(x)=2f(x +θ)+2的值域为B ，则A ⊆B ，A =[2,5]，对于选项A ，f(x)=2f(x +θ)+2=6sin(x +35π)+6，B ≈[4.14,11.70]，不符合A ⊆B ，排除A ，对于选项B ，f(x)=2f(x +θ)+2=6sin(x +45π)+6，B ≈[1.14,9.52]，符合A ⊆B ，B 项正确，对于选项C ，f(x)=2f(x +θ)+2=6sin(x +65π)+6，B ≈[1.1,2.5]，不符合A ⊆B ，排除C ，对于选项D，f(x)=2f(x+θ)+2=6sin(x+75π)+6，不符合A⊆B，故选：B．4.已知x1、y1、x2、y2、x3、y3为6个不同的实数，满足 ①x1<y1，x2<y2，x3<y3， ②x 1+y1=x2+y2=+， ③x1y1+x3y3=2x2y2，以下选项值恒成立的是A. ．2x2<x1+x3B. 2x2>x1+x3C. x22<x1x3D. x22>x1x3【答案】A【解析】【解析】方法：利用凹凸性构造函数由题设x1+y1=x2+y2=x3+y3=k，并令f(x)=x(k−x)=−x2+kx，则x1y1=x1(k−x1)=f(x1)，同理x2y2=f(x2)，x3y3=f(x3)，条件 ③转化为f(x1)+f(x3)2=f(x2)，考虑到函数f(x)为开口向下的二次函数，它在定义域内整体为上凸函数，因此f(x1)+f(x3)2=f(x2)，由条件 ①可得，x i<x1+y i2=k2(i=1,2，3)，且函数f(x)在(−∞,k2)上单调递增，因此f(x2)<x2<x1+x32，即2x2<x1+x3恒成立，故选：A．方法2：特殊值排除法由题设x1+y1=x2+y2=x3+y3=9，并令x1=1，x2=2，x3=4，满足条件，显然选项B，C，D均错误，故选：A．二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知z1=1+i，z2=2+3i，则z1+z2=_____．【答案】3+4i．【解析】【解析】+=1+2+(1+3)i=3+4i，故答案为：3+4i．6.已知A={x|2x≥1}，B={−1,0，1}，则A B=_____．【答案】{−1,0}．【解析】【解析】A ={x |x ≤12}，则 A ∩B = { −1,0 }，故答案为：{ −1,0 }． 7.已知圆x 2+y 2+2 x −4y =0，则该圆的圆心坐标为_____． 【答案】( 1,2 )．【解析】【解析】x 2+y 2+2 x −4y =0，配方化简得(x −1)2+(y −2)2= 5，故答案为：(1,2 )．8.如图，正方形A B C D 的边长为3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =_____． 【答案】9.【解析】【解析】AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3√2×3×√22=9，故答案为：9． 9.已知f(x)=3x +2，则f −1(1)=_____． 【答案】−3．【解析】【解析】令3x +2=1，解得x =−3，故答案为：−3． 10.已知二项式(x +a)5展开式中，的系数为80，则a =_____． 【答案】2.【解析】【解析】由题意可知，二项展开式的通项为T k+1=C 5k x 5−k a k，所以C 53a 3=80，所以a =2，故答案为：2．11.已知实数 x , y 满足{x ≤32x −y −2≥03x +y −8≥0，则z =x −y 的最大值为_____．【答案】4.【解析】【解析】由题意作出可行域，如图所示：当直线y =x −z 经过点A(3,−1)时，z =x −y 的最大值为4， 故答案为：4．12.已知无穷等比数列 {a n } 和 {b n }，满足a 1=3，b n =a 2n ，若a 2n 的各项和为9，则数列{b n }的各项和为_____． 【答案】185．【解析】【解析】由题意可知，设等比数列的公比为q ，则a 11−q =31−q =9，解得q =23，所以等比数列{b n }的各项和T n =b11−q 2=a21−q 2=a 1q1−q 2=185，故答案为：185．13.在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB ，C 是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则△ABC 的面积的取值范围为_____． 【答案】[2,√5].【解析】【解析】过C 作CD ⊥AB ，过点C 作CE ⊥⊙O ， 由三垂线定理可知DE ⊥AB ，CD =√CE 2+DE 2， 因为0≤DE ≤1，所以2≤CD ≤√5， 故S △ABC =CD ∈[ 2,√5 ]， 故答案为：[ 2,√5 ].14.有四个不同的馆，甲、乙2人每人选2个馆去参观，恰有一个馆相同的概率为_____． 【答案】23．【解析】P =C 41⋅A 32C 42⋅C 42=23，故答案为：23．15.已知抛物线y 2=2px ( p >0 )，若第一象限的 A ,B 在抛物线上，焦点为 F ，|AF|=2，|BF|=4，|AB|=3，求直线 AB 的斜率为_____． 【答案】√52．【解析】由焦半径公式得，|AF|=x 1+p 2=2，|AF|=x 2+p2= 4，|AB|= 3，可知x 2−x 1= 2，又因为|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√22+(y 2−y 1)2= 3，所以y 2−y 1=√5， 因为x 2−x 1=y 22−y 122p= 2，(y 2−y 1)(y 2+y 1)2p = 2， 解得y 2+y 12p=√5，所以k AB =y 2−y1x 2−x 1=y 2−y 1y 22−y 122p=2py2+y 1=√52，故答案为：√52．16.已知a i ∈N ∗(i =1,2，⋯，9)，对a k =a k−1+1或a k =a k+1 −1( 2≤k ≤8 )中有且仅有一个成立，且a 1=6，a 9=9，则a 1+a 2+⋯+a 9的最小值为_____．【答案】31．【解析】若a1=6，a2=1，a3=2，a4=1，a5=2，a6=1，a7=2，a8=8，a9=9，此时a1+a2+⋯+a9=32，若a1=6，a2=7，a3=1，a4=2，a5=1，a6=2，a7=1，a8=2，=9，此时a1+a2+⋯+a9=31，故a1+a2+⋯+a9的最小值为31，故答案为：31．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3．(1)点P是棱A1D1上的动点，求棱锥C−PAD的体积；(2)求直线AB1与平面ACC1A1所成的角．【答案】(1)2；(2)arcsin√2613．【解析】(1)V C−PAD=V P−ADC13×S△ADC×ℎ=13×2×3=2；(2)解法1：因为O1B1⊥A1C1，O1B1⊥AA1，A1C1∩A1A A1，所以O 1B1⊥平面ACC1A1，所以θ=B1AO1为AB1与平面ACC1A1所成的角，在△B1AO1中，O1B1=√2，AB1=√13，sinθB1O1AB1√2√13√2613，θ=arcsin√2613，直线AB1与平面ACC1A1所成角的大小为arcsin√2613．解法2：建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标A( 2,0，0 )，B 1( 2,2，3 )，D( 0,0，0 )，B( 2,2，0 )，A 1(2,0，3 )，C ( 0,2，0 )， 所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,2，3)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 2,2，0 )，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,0，3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( −2,2，0 )， 设n⃗ =(u,v ，w)为平面ACC 1A 1的一个法向量， 则n ⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3w =0，n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2u +2v =0， 解得w =0，u =v ，取 u =1，n (1,1，0)， 设直线AB 1与平面ACC 1A 1所成的角为θ，sinθ=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=2√13×√2=√2613，θ=arcsin√2613，故直线AB 1与平面ACC 1A 1所成角的大小为arcsin √2613．18.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =3，b =2c ． (1)若A =2π3，求△ABC 的面积；(2)若2sinB −sinC =1，求△ABC 的周长． 【答案】 (1)9√314；(2)3+4√2+√5． 【解析】(1)由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2 b c cosA ，解得c 297，故S ΔABC 12bcsinA12×2 c 2×√329√314∵b sinBc sinC，b =2c ，∴ sinB =2sinC ，∵2sinB −2sinC =1，保存编辑 ∴sinC13，sinB 23， ∴cosC =2√23，cosB =√53， ∴sinA =sin(B +C)=4√29±√59， ∵0<sinA ≤1， ∴sinA =4√2−√59，∴a⋅sinC sinA 4√2+√53， ∴△ABC 的周长为：a +b +c =3+4√2+√5．19.已知某企业今年(2021年)第一季度营业额为1亿元，以后的每个季度营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿元，以后每季度比上一个季度增加4%．(1)求2021年起前20个季度营业额的总和；(2) 哪一个季度的利润第一次超过营业额的18%． 【答案】 (1)31.5亿元； (2)2027． 【解析】前20个季度的营业额为等差数列，首项为1.1，公差为0.05，所以营业额的总和为：(1.1+1.1+0.05×19)×202=31.5亿元；设第n 个季度的营业额为a n ，a n =a 1+(n −1)d =0.05n +1.05， 设第n 个季度的利润为b n ，则b n b 1⋅q n−1 0.16 1.04n−1，则有a n 18%< b n ，解得n ≥26， 故在2027年第二季度可超过．20.已知椭圆 Τ：x 22+y 2=1，F 1，F 2是左右焦点，直线且 l 过点P(m,0) (m <−√2)交椭圆 Τ于A ，B 两点，点A ，B 在 x 轴上方，点A 在线段BP 上 (1)若P 为上顶点，|BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，求m 的值； (2)若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13，原点O 到直线l 的距离为4√1515，求直线 l 的方程； (3)对于任意点P ，是否存在唯一的直线 l ，使得F 1⃗⃗⃗ A//F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若存在，求出直线 l 的斜率，若不存在，请说明理由．【答案】(1)m =−1−√2(2)y =13(x +4√63)； (3)存在唯一的k =√12m 2−4．【解析】(1)利用椭圆几何性质∵|BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a =√2， ∴|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+c =√2+1， ∴m =−1−√2 (2)利用方程思想设直线l 方程为y =k (x −m)，设A(x 1,y 1)(x 1<0)，则F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1)(x 1−1)+y 12=x 12−1 +y 12=13， ∵x 22+y 2=1，∴y 12=1−x 122，代入得F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 12−1+y 12=x 12+1−x 122−1=13，解得：x 1=−√63，y 1=√63，即直线l ：√63=k (−√63−m) ①，由点到直线距离得：d =|km|√1+k2=4√1515 ②， 联立 ①和 ②得{m =−4√63k =13，l 的方程为：y =13(x +4√63)；(3)联立方程消元法设直线l 方程为y =k(x −m)(斜率必存在，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则F 1A =(x 1−1,y 1)，F 2B =(x 2−1,y 2)， ∵F 1A//F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(x 1+1)⋅y 2=(x 2+1)⋅y 1， ∴(x 1+1)k (x 2−m)=(x 2−1)k(x 1−m)， 化简得x 2+x 1+m(x 2−x 1)−2m =0 ①， 联立得{y =k(x −m)x 2+2y 2=2，∴(1+2k2)x2−4mk2x+2k2m2−2=0，∴{x1+x2=4mk21+2k2x1x2=2k2m2−21+2k2，代入①得，4mk21+2k2+m(x2−x1)−2m=0，∴x2−x1=21+2k2 ②，∴(x2−x1)2=−4x1x2=16k2−8k2m2+8(1+2k2)2，代入②得：4k2+2k2m2+1=0，故k2=12m2−4，对于任意一个m<−√2，存在唯一的k=√12m2−4，即直线有且只有一条．21.对于定义域为R的函数f(x)以及非空数S：若对任意x1，x1∈R，当x1−x2∈R时，都有f(x1)−f(x2)∈S，则称f(x)是S关联的．(1)若f(x)=2 x+1，则f(x)是否是关联的，f(x)是否是[0,1]关联的；(2)设f(x)是{3}关联的，当x∈[0,3]，f(x)=x2−2x，解不等式：2≤f(x)≤3；(3)证明：f(x)既是{1}关联的，又是关联的，当且仅f(x)是[1,2]关联的．【答案】(1)关联，不关联；(2)[1+√3,5]；(3)见解析．【解析】(1)一方面，而则另一方面，x1−x2∈[0,1]，f(x1)−f(x2)=2(x1−x2)∈[0,2]，f(x1)−f(x2)∉[0,1]，故f(x)=2 x+1是关联的，[0,1]不关联；(2)f(x)是{3}关联的，则x1−x2=3，f(x1)−f(x2)=3，故，则当，=(x−3)2+(x−3)+3=x2−8x+18，结合图像可知，2≤f(x)≤3分别在[0,3]，[3,6]有解， ①x∈[0,3]，2≤x2−2 x≤3，则1+√3≤x<3， ②x∈[3,6]，2≤x2−8 x+18≤3，则3≤x≤5，综上可知：不等式2≤f(x)≤3的解集为[1+√3,5]．(3)一方面，若f(x)是{1}关联的，且是关联的，则f(x+1)=f(x)+1，并且f(x)为递增函数，所以对于x1−x2∈[1,2]，1=f(x2+1)−f(x2)≤f(x1)−f(x2)≤f(x2+2)−f(x2)= 2，即f(x)是[0,3]关联的，另一方面，若f(x)是[1,2]关联的，则x1−x2∈[1,2]，，则，，故，可得，故f(x)是{1}关联的，再证f(x)是关联的， ①当，则，此时， ②当，，n∈N∗，则有，，则．综合 ①和 ②可知，f(x)是关联的．。
2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期5月高考模拟测试数学试卷含详解
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021年高三下学期5月高考模拟测试数学试卷（最后一卷）2021.5.31一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}12,A x x x R =-<∈，则A Z = _________.2.方程33log 1log (2)x x =-+的解集为_________.3.已知a R ∈，复数()(1)a i i z i-+=，若z 的虚部为1，则a =_________.4.已知cos 5cos(2),sin 32θππθθθ=-<，则sin 2θ=_________.5.若二项式21()n x x-的展开式共有6项，则此展开式中含4x 的项的系数是_________.6.若抛物线228x y =上一点00(,)x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =______.7.袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回的随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是_________.8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，若254a a +=，则8a 的值为_________.9.已知球O 的半径是1，,,A B C 三点都在球面上，若A 和B 的球面距离、A 和C 的球面距离都是4π，B 和C 的球面距离是3π，则二面角B OA C --的大小是_________.10.已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数(10)z y ax a =+-<<最大值为8，则a 的值为_________.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)A ，,E F 为圆22:(1)(1)4C x y -+-=上的两动点，且EF =，若圆C 上存在点P ，使得,0AE AF mCP m +=>，则m 的取值范围为_________.12.已知0,0a b ≠>，若222()2f x b ax b a x b b =+-+-有两零点12,x x ，且120x x +<，则ab的取值范围上_________.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.关于“若4a b +=，则,a b 至少有一个等于2”及其逆命题的说法正确的是（）A.原命题为真，逆命题为假B.原命题为假，逆命题为真C.原命题为真，逆命题为真D.原命题为假，逆命题为假14.设34:02x xp x-≤，22:(21)0q x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A.[]2,1- B.[]31-， C.[)(]2,00,1- D.[)(]2,10,1-- 15.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（）A.甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲的环数的中位数比乙的大C.甲的环数的众数比乙的大D.甲打靶的成绩比乙的更稳定16.已知梯形CEPD 如图(1)所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图(2)所示的几何体．已知当AB 上一点F 满足(01)AF AB λλ=<<时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为（）A.12B.23C.35D.45三、解答题（本题共5小题，满分76分）17.（7分+7分）已知关于x 得二次方程：2(2)4(2)0(,)x i x ab a b i a b R ++++-=∈.（1）当方程有实数根时，求点(,)a b 的轨迹方程；（2）求方程实数根的取值范围.18.（7分+7分）已知函数23()sin 3sin cos (,,0)2f x a x a x x a b a b a =+-+<,（1）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[]5,1-，求实数,a b 的值；（2）在（1）条件下，求函数()f x 图像的对称中心和单调区间.19.（3分+4分+7分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()P x (单位：元)与时间x （单位：天）（130,x x N *≤≤∈）的函数关系满足()10kP x x=+（k 为常数，且>0k ），日销售量()Q x （单位：件）与时间x 的部分数据如下表所示：x15202530()Q x 55605550设该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），且第20天的日销售收入为603元.（1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()Q x ax b =+；②()||Q x a x m b =-+；③()xQ x ab =；④()log b Q x a x =.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Q x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）利用问题（2）中的函数()Q x ，求()f x 的最小值.20.（4分+6分+6分）如图，已知双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0a b >>），两条渐近线的夹角为3arccos5，焦点到渐近线的距离为1．M 、N 两动点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P 是直线MN 与双曲线右支的一个公共点，MP PN λ= .（1）求双曲线C 的方程；（2）当=1λ时，求PM PN ⋅的取值范围；（3）试用λ表示MON △的面积S ，设双曲线C 上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω，若5λ∈Ω，求S 的取值范围.21.已知数列{}n a ：1，2-，2-，3，3，3，4-，4-，4-，4-，⋅⋅⋅，11(1),,(1)k k k k k ---⋅⋅⋅-个，即当1)(122k k k k n -+<≤（）（*k ∈N ）时，1(1)k n a k -=-，记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+（*n ∈N ）.（1）求2020S 的值；（2）求当(1)(1)(2)22k k k k n +++<≤（*k ∈N ），试用n 、k 的代数式表示n S （*n ∈N ）；（3）对于*t ∈N ，定义集合{|t n P n S =是n a 的整数倍，*n ∈N ，且1}n t ≤≤，求集合2020P 中元素的个数.上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021年高三下学期5月高考模拟测试数学试卷（最后一卷）2021.5.31一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}12,A x x x R =-<∈，则A Z = _________.【答案】{0,1,2}【解析】:13A x -<<，{}0,1,2A Z ∴= 。
上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高二上学期数学期末考带讲解
【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.
13.在正方体 中，P，Q两点分别从点B和点 出发，以相同的速度在棱BA和 上运动至点A和点 ，在运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角 的变化范围为
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】先过点 作 于点 ，连接 ，根据题意，得到 即为直线 与平面 所成的角 ，设正方体棱长为 ，设 ，推出 ，进而可求出结果.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求出异面直线 与 的方向向量，再求出两向量的夹角，进而可得异面直线 与 所成角的大小．
【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系：
在长方体 中，
， ，
， ， ， ，
， ，
，
异面直线 与 所成角的大小是 ．
故答案为： ．
6.如图所示，在平行六面体 中， ，若 ，则 ___________.
15.如图，已知圆锥SO底面圆的半径r=1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为 .
（1）求圆锥SO的侧面积；
（2）若E为母线SA的中点，求二面角E-CD-B的大小.（结果用反三角函数值表示）
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先根据母线与底面的夹角求出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式即可
【答案】
【分析】设球半径为 ，由球 表面积求出 ，然后可得球的体积．
【详解】设球半径为 ，
∵球的表面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴该球的体积为 ．
故答案为 ．
【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果．
5.已知长方体 的棱 ，则异面直线 与 所成角的大小是________________.（结果用反三角函数值表示）
2021-2021年上海市高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2021-2021年上海市高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设集合M={x|x2=x}，N={x|log2x≤0}，则M∪N=．2．已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=．3．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为（结果用数值表示）4．已知复数z在复平面内对应的点在曲线y=上运动，则|z|的最小值为．5．已知函数f（x）的对应关系如表：x ﹣2 ﹣1 0 1 2f（x） 3 ﹣2 1 5 m若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为．6．在正项等比数列{a n}中，a1a3=1，a2+a3=，则（a1+a2+…+a n）=．7．已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．8．若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数x的取值集合为．9．二项式（2x﹣）n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为．10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为．11．如图，A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，若AB∥OC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为．12．若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则直线l的方程为．13．设函数f（x）=（其中a＞0，a≠1），若不等式f（x）≤3的解集为（﹣∞，3]，则实数a的取值范围为．14．在直角坐标平面，已知两定点A（1，0）、B（1，1）和一动点M（x，y）满足，则点P（x+y，x﹣y）构成的区域的面积为．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．“a=3“是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．3π+4 D．2π+417．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC=（其中S △ABC表示△ABC的面积），且（+）•=0，则△ABC的形状是（）A．有一个角是30°的等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形18．已知抛物线y=x2﹣7上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A．5 B． C．6 D．三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．在锐角△ABC中，sinA=sin2B+sin（+B）sin（﹣B）．（1）求角A的值；（2）若=12，求△ABC的面积．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．求：（1）异面直线PC与AD所成角的大小；（2）四棱锥P﹣ABCD的体积与侧面积．21．已知函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，其中a为实常数．（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．22．已知直线y=2x是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，点A（1，0），M（m，n）（n≠0）都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O．（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m，n表示）；（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得TP⊥TQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若过点D（0，2）的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|+|=||，试求直线l的方程．23．已知数列{a n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4=S3，a9=a3+a4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a k a k+1=a k+2，求正整数k的值；（3）是否存在正整数k，使得恰好为数列{a n}的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数k；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设集合M={x|x2=x}，N={x|log2x≤0}，则M∪N= [0，1] ．【考点】并集及其运算．【分析】求出M中方程的解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出两集合的并集即可．【解答】解：由M中方程变形得：x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，即M={0，1}，由N中不等式变形得：log2x≤0=log21，即0＜x≤1，∴N=（0，1]，则M∪N=[0，1]，故答案为：[0，1]2．已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0（a，b∈R）的一个根，则a+b= 3 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据实系数的一元二次方程x2+ax+b=0的两个虚数根互为共轭复数，再利用根与系数的关系，即可求出a、b的值．【解答】解：虚数1+2i是方程x2+ax+b=0的一个根，∴共轭虚数1﹣2i也是此方程的一个根，∴a=﹣（x1+x2）=﹣（1+2i+1﹣2i）=﹣2；b=x1x2=（1+2i）（1﹣2i）=5；∴a+b=﹣2+5=3．故答案为：3．3．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为125 （结果用数值表示）【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名中选取5人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的5名男生和4名女生，共9名学生，在9名中选取5人，参加志愿者服务，有C95=126种；其中只有男生C55=1种情况；则男、女生都有的选取方式的种数为126﹣1=125种；故答案为：125．4．已知复数z在复平面内对应的点在曲线y=上运动，则|z|的最小值为 2 ．【考点】复数求模．【分析】设z=x+i（x∈R，x≠0），利用复数模的计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设z=x+i（x∈R，x≠0），则|z|=≥=2，当且仅当x=时取等号，故答案为：2．5．已知函数f（x）的对应关系如表：x ﹣2 ﹣1 0 1 2f（x） 3 ﹣2 1 5 m若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为{﹣2，1，3，5} ．【考点】反函数．【分析】由已知可得：f（﹣2）=3，f（﹣1）=﹣2，f（0）=1，f（1）=5，f（2）=m，利用反函数的定义及其性质即可得出．【解答】解：由已知可得：f（﹣2）=3，f（﹣1）=﹣2，f（0）=1，f（1）=5，f（2）=m，∵函数f（x）不存在反函数，则m的值只可以为：﹣2，1，3，5，否则存在反函数．∴实数m的取值集合为{﹣2，1，3，5}．故答案为：{﹣2，1，3，5}．6．在正项等比数列{a n}中，a1a3=1，a2+a3=，则（a1+a2+…+a n）=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式、等比数列前n项和的极限性质即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1a3=1，a2+a3=，∴=1，=．解得a1=3，q=．则（a1+a2+…+a n）===．故答案为：．7．已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得ω•≤，由此求得实数ω的最大值．【解答】解：∵f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，∴ω•≤，求得ω≤，则实数ω的最大值为，故答案为：．8．若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数x的取值集合为．【考点】三阶矩阵．【分析】根据余子式的定义求出元素4的代数余子式的表达式，列出关于x的方程化简，利用余弦函数的性质求出实数x的取值集合．【解答】解：由题意得，f（x）==cos（π+x）×1﹣2×（﹣1）=﹣cosx+2=，解得cosx=，则，所以实数x的取值集合是，故答案为：．9．二项式（2x﹣）n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为64 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】T5==2n﹣4x n﹣6，令n﹣6=0，解得n．再利用展开式中各项的二项式系数之和为2n，即可得出．【解答】解：T5==2n﹣4x n﹣6，令n﹣6=0，解得n=6．∴展开式中各项的二项式系数之和为26=64．故答案为：64．10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为64π．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===，故R=4，则球O的表面积为4πR2=64π，故答案为：64π．11．如图，A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，若AB∥OC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知得C（c，），A（﹣a，0），B（0，b），从而得到，即b=c，由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：∵A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，AB∥OC（O为坐标原点），∴C（c，），A（﹣a，0），B（0，b），∴，∴bc=b2，∴b=c，∴a2=b2+c2=2c2，∴a==，∴直线AB的斜率k==．故答案为：．12．若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则直线l的方程为y=±．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出l的点斜式方程，利用切线的性质列方程解出k．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），设直线l的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，∴=2，解得k=±．∴直线l的方程为：y=±（x﹣1）．故答案为：y=±（x﹣1）．13．设函数f（x）=（其中a＞0，a≠1），若不等式f（x）≤3的解集为（﹣∞，3]，则实数a的取值范围为（1，3] ．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【解答】解：a＞0，且a≠1，设函数f（x）=，若不等式f（x）≤3的解集是（﹣∞，3]，当x≥1时，|x2﹣2x|≤3，可得﹣3≤x2﹣2x≤3，解得1≤x≤3；当x＜1，即x∈（﹣∞，1）时，a x≤3，不等式恒成立可得1＜a≤3．综上可得1＜a≤3．∴实数a的取值范围为：（1，3]．故答案为：（1，3]．14．在直角坐标平面，已知两定点A（1，0）、B（1，1）和一动点M（x，y）满足，则点P（x+y，x﹣y）构成的区域的面积为 4 ．【考点】简单线性规划的应用；二元一次不等式（组）与平面区域；数量积的坐标表达式．【分析】利用数量的数量积将不等式组进行化简，设M（s，t），将条件进行中转化，即可得到结论．【解答】解：由，得设M（s，t），则，解得，由，得．作出不等式组对应的平面区域，则对应平行四边形OABC，则A（0，2），B（2，0），C（2，﹣2），则四边形的面积S=2×，故答案为：4．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．“a=3“是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及直线平行的充要条件，我们可以先判断“a=3”⇒“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”的真假，再判断“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”⇒“a=3”的真假，进而根据兖要条件的定义，得到结论．【解答】解：当“a=3”时，直线（a2﹣2a）x+y=0的方程可化为3x+y=0，此时“直线（a2﹣a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”即“a=3”⇒“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”为真命题；而当“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”时，a2﹣2a﹣3=0，即a=3或a=﹣1，此时“a=3”不一定成立，即“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”⇒“a=3”为假命题；故“a=3”是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”的充分不必要条件故选：A．16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．3π+4 D．2π+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个半圆柱．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个半圆柱．∴该几何体的表面积=π×12+π×1×2+2×2=4+3π．故选：C．17．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC=（其中S △ABC表示△ABC的面积），且（+）•=0，则△ABC的形状是（）A．有一个角是30°的等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作，从而可作出平行四边形ADFE，并且该四边形为菱形，且有，根据条件即可得出AF⊥BC，进而便可得出AB=AC，即b=c，这样即可求得，而根据条件可得，从而有，进一步即可得到a2=2c2=b2+c2，这样便可得出△ABC的形状．【解答】解：如图，在边AB，AC上分别取点D，E，使，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则：四边形ADFE为菱形，连接AF，DE，AF⊥DE，且；∵；∴；∴AF⊥BC；又DE⊥AF；∴DE∥BC，且AD=AE；∴AB=AC，即b=c；∴延长AF交BC的中点于O，则：，b=c；∴；∴；∴4c2﹣a2=a2；∴a2=2c2=b2+c2；∴∠BAC=90°，且b=c；∴△ABC的形状为等腰直角三角形．故选：D．18．已知抛物线y=x2﹣7上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A．5 B． C．6 D．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】先设出直线AB的方程，代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，由中点坐标公式求得AB中点M的坐标，代入直线x+y=0中求得b，进而由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由题意可得，可设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=x2﹣7化简可得x2﹣x﹣b﹣7=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣b﹣7，y1+y2=x12﹣7+x22﹣7=（x1+x2）2﹣2x1•x2﹣14=1+2b+14﹣14=1+2b，故AB 的中点为M（，b+），由点M在x+y=0上，即+b+=0，解得：b=﹣1，∴x1•x2=﹣6，∴由弦长公式可求出丨AB丨=•=•=5，故答案选：B．三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．在锐角△ABC中，sinA=sin2B+sin（+B）sin（﹣B）．（1）求角A的值；（2）若=12，求△ABC的面积．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据两角和差的正弦公式便可以得出=，从而可由得出，这样即可得到A=；（2）可由及便可得出的值，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，====；又A为锐角；∴；（2）；∴；∴=．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．求：（1）异面直线PC与AD所成角的大小；（2）四棱锥P﹣ABCD的体积与侧面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）BC与PC所成的角∠PCB等于AD与PC所成的角，且BC⊥PB，即可求出异面直线PC与AD所成角的大小；（2）利用体积、侧面积公式求出四棱锥P﹣ABCD的体积与侧面积．【解答】解：（1）由已知，有BC∥AD，AD⊥面PAB，故BC与PC所成的角∠PCB等于AD与PC所成的角，且BC⊥PB．…因BC=1，易知，故．故异面直线BC与PC所成角的大小为．…求得：，故由余弦定理，得；从而．…又，因此．…21．已知函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，其中a为实常数．（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）根据f（﹣2）=1，构造方程，可得a的值，结合奇偶性的宝义，可判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，则t＜log（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，构造函数求出最值，可得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，∴log（）=1，∴=，解得：a=﹣1，∴f（x）=log（）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称；又∵f（﹣x）=log（）=log（）=﹣log（）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，则t＜log（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，设g（x）=log（）﹣（）x，则g（x）在[2，3]上是增函数．∴g（x）＞t对x∈[2，3]恒成立，∴t＜g（2）=﹣．22．已知直线y=2x是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，点A（1，0），M（m，n）（n≠0）都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O．（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m，n表示）；（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得TP⊥TQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若过点D（0，2）的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|+|=||，试求直线l的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程，可得b=2a，由题意可得a=1，b=2，可得双曲线的方程，求出直线AM的方程，可令x=0，求得P的坐标；（2）求得对称点N的坐标，直线AN方程，令x=0，可得N的坐标，假设存在T，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合M在双曲线上，化简整理，即可得到定点T；（3）设出直线l的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理，由向量数量积的性质，可得向量OR，OS的数量积为0，化简整理，解方程可得k的值，检验判别式大于0成立，进而得到直线l的方程．【解答】解：（1）双曲线C：﹣=1的渐近线为y=±x，由题意可得=2，a=1，可得b=2，即有双曲线的方程为x2﹣=1，又AM的方程为y=（x﹣1），令x=0，可得P（0，）；（2）点M关于y轴的对称点为N（﹣m，n），直线AN的方程为y=（x﹣1），令x=0，可得Q（0，），假设x轴存在点T（t，0），使得TP⊥TQ．即有k TP•k TQ=﹣1，即为•=﹣1，可得t2=，由（m，n）满足双曲线的方程，可得m2﹣=1，即有=4，可得t2=4，解得t=±2，故存在点T（±2，0），使得TP⊥TQ；（3）可设过点D（0，2）的直线l：y=kx+2，代入双曲线的方程可得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8=0，即有△=16k2+32（4﹣k2）＞0，即k2＜8，设R（x1，y1），S（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=﹣，由|+|=||=|﹣|，两边平方可得•=0，即有x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，即为（1+k2）•（﹣）+2k（）+4=0，化简可得k2=2，检验判别式大于0成立，即有k=±，则所求直线的方程为y=±x+2．23．已知数列{a n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4=S3，a9=a3+a4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a k a k+1=a k+2，求正整数k的值；（3）是否存在正整数k，使得恰好为数列{a n}的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数k；若不存在，请说明理由．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设{a n}的奇数项构成的等差数列的公差为d，偶数项构成的等比数列的公比为q，运用通项公式，解方程可得d=2，q=3，即可得到所求通项公式；（2）当k为奇数时，当k为偶数时，运用通项公式，解方程可得k的值；（3）求得S2k，S2k﹣1，若为数列{a n}中的一项，整理化简求得k，m的值，再由数学归纳法证明，即可得到结论．【解答】解：（1）设{a n}的奇数项构成的等差数列的公差为d，偶数项构成的等比数列的公比为q，则．由已知，得故数列{a n}的通项公式为：．（2）当k为奇数时，由a k a k+1=a k+2，得．由于当k为偶数时，由a k a k+1=a k+2，得．综上，得k=2．（3）由（1）可求得，．若为数列{a n}中的一项，则．（i）若，则．当k=1时，m=3，结论成立；当k≠1时，，由，由于m为正奇数，故此时满足条件的正整数k不存在．（ii）若，显然k≠1，．由k＞1得．，因此，从而．当k=2时，3k﹣1=k2﹣1；下面用数学归纳法证明：当k≥3时，3k﹣1＞k2﹣1．①当k=3时，显然3k﹣1＞k2﹣1；②假设当k=l≥3时，有3l﹣1＞l2﹣1；当k=l+1时，由l≥3得3（l2﹣1）﹣[（l+1）2﹣1]=（l﹣1）2+（l2﹣4）＞0，故3（l+1）﹣1=3•3l﹣1＞3（l2﹣1）＞（l+1）2﹣1，即当k=l+1时，结论成立．由①，②知：当k≥3时，3k﹣1＞k2﹣1．综合（i），（ii）得：存在两个正整数k，k=1或2，使为数列{a n}中的项．。
2021年数学二真题及答案解析
(3)设函数 具备2阶导数， ，则在区间 上 （ ）
(A) 当 时， (B) 当 时，
(C) 当 时， (D) 当 时，
(4)曲线 上相应于 点处曲率半径是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(5)设函数 ，若 ，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(6)设函数 在有界闭区域 上持续，在 内部具备2阶持续偏导数，且满足 及 ，则 （ ）
(12)曲线 极坐标方程是 ，则 在点 处切线直角坐标方程是__________.
(13)一根长为1细棒位于 轴区间 上,若其线密度 ,则该细棒质心坐标 __________.
(14)设二次型 负惯性指数为1，则 取值范畴为_______.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.
【答案】A
【解析】 .
记 ， ， .若 线性无关，则 ，故 线性无关.
举反例.令 ，则 线性无关，但此时 却线性有关.
综上所述，对任意常数 ，向量 线性无关是向量 线性无关必要非充分条件.
故选A
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) __________.
(A) 最大值和最小值都在 边界上获得
(B) 最大值和最小值都在 内部上获得
(C) 最大值在 内部获得，最小值在 边界上获得
(D) 最小值在 内部获得，最大值在 边界上获得
(7)行列式 （ ）
(A) (B)
(C) (D)
(8)设 均为3维向量，则对任意常数 ，向量组 线性无关是向量组
线性无关 （ ）
【解析】由于 ，因此
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共16.0分） 1.已知函数ℎ(x)=f(x)−x 2是奇函数，且f(1)=−2，函数g(x)=f(x)+1x ，则g(−1)=( )A. 3B. 2C. 1D. −22.函数y =2x −12x +1⋅sinx 的图象大致为( )A.B.C.D.3. 若集合A ={1,2,3,4}，B ={x|x 2−x −6≤0}，则A ∩B =( )A. {1}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2,3}4.已知函数f(x)={lnx, 1≤x ≤4−2lnx, 14≤x ≤1，若函数F(x)=f(x)−kx 在区间[14,4]上恰好有一个零点，则k 的取值范围为( )A. (1e ,16ln2]∪{0} B. (1e ,+∞)∪{0} C. [ln22,16ln2)∪{0} D. (ln22,16ln2]∪{0}二、单空题（本大题共10小题，共40.0分） 5.设曲线y =x n+1(n ∈N +)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2015x 1+log 2015x 2+⋯+log 2015x 2014的值为______ ． 6. 函数y =2−sinθ1−cosθ的最小值为______ ． 7. 不等式4x −5⋅2x +4<0的解集为______ ．8.半径为100mm 的圆上，有一段弧长为300mm ，此弧所对的圆心角的弧度数为______ ．9.若幂函数f(x)=x a 经过点(3,9)，则α=______．10. 设常数a >0且a ≠1，函数f(x)=log a x ，若f(x)的反函数图象经过点(1,2)，则a =______． 11. 已知下列四下命题：①函数f(x)=2x 满足：对任意x 1,x 2∈R,有f(x 1+x 22)≥12[f(x 1)+f(x 2)]；②函数f(x)=log 2(x +√1+x 2),g(x)=1+22x −1均是奇函数； ③函数f(x)=e −2−e x 切线斜率的最大值是−2； ④函数f(x)=x 12−(14)x 的在区间(14,13)上有零点．其中正确命题的序号是______ ． 12. 定义在上的函数，若关于的方程有5个不同的实根，则=___________13. 已知x >1，函数y =x 2x−1的最小值为______ ．14. 设f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若 f(1)>1，f(2015)=2a−3a+1，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15. 已知函数f(x)=log 4(4x +1)+kx(k ∈R)与g(x)=log 4(a ⋅2x −43a)，其中f(x)是偶函数． (1)求实数k 的值及f(x)的值域； (2)求函数g(x)的定义域；(3)若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．16. 二次函数y =ax 2+x +1,(a >0)的图象与x 轴两个交点的横坐标分别为x 1,x 2． (1)证明：(x 1+1)(x 2+1)=1； (2)证明：x 1<−1,x 2<−1；(3)若x 1,x 2满足不等式|lg x1x 2|≤1，试求a 的取值范围．17. 张家界某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x(x ≥10)万元之间满足：y =f(x)=ax 2+10150x −bln x，a，b为常数．当x=10万元时，y=19.2万元；当x=20万元时，y=35.7万元．(参考10数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6)(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润=旅游增加值−投入)18.已知函数f(x)=lnx−ax−3(a≠0)．(1)讨论函数f(x)的零点个数；(2)若∀x∈[1,2]，函数g(x)=x3+x2[m−2f′(x)]在区间(a,3)有最值，求实数m的取值范围．2参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性，利用奇偶性求解函数值，题目有一定的难度． 由已知ℎ(−1)=−ℎ(1)是解题的关键．解：因为函数 ℎ(x)=f(x)−x 2 是奇函数，且 f(1)=−2 ，函数 g(x)=f(x)+1x , 所以g(−1)=f(−1)−1，且ℎ(−1)=f(−1)−1， 又因为ℎ(−1)=−ℎ(1)， 所以f(−1)−1=−[f(1)−1]， 得到f(−1)−1=−(−2−1)， 解得f(−1)=4，g(−1)=4−1=3． 故选A ．2.答案：D解析：解：根据题意，设y =f(x)=2x −12x +1⋅sinx ，当x =0时，有f(0)=20−120+1sin0=0，排除B 、C ；当x =π时，sinπ=0，有f(π)=0，排除A ； 故选：D ．根据题意，用排除法分析：令x =0和x =π，求出函数的值，由排除法分析选项即可得答案． 本题考查函数的图象分析，注意特殊值法的运用，属于基础题．3.答案：D解析：解：由B 中不等式变形得：(x +2)(x −3)≤0， 解得：−2≤x ≤3，即B =[−2,3]， ∵A ={1,2,3,4}， ∴A ∩B ={1,2,3}， 故选：D求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4.答案：A解析：解：由题意可得函数y=f(x)的图象和直线y=kx在区间[14,4]上恰好有一个交点，如图所示：显然，当k=0时，满足条件．当y=kx和y=lnx相切时，设切点为A(x0,lnx0)，由导数的几何意义可得1x0=lnx0−0x0−0，解得x0=e，故切线的斜率为1e．当y=kx经过点B(14,4ln2)时，k=4ln214=16ln2．故k的范围为(1e,16ln2]∪{0}，故选：A．由题意可得函数y=f(x)的图象和直线y=kx在区间[14,4]上恰好有一个交点，数形结合求得k的范围．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于基础题．5.答案：−1解析：解：对y=x n+1(n∈N∗)求导，得y′=(n+1)x n，令x=1得在点(1,1)处的切线的斜率k=n+1，在点(1,1)处的切线方程为y−1=k(x n−1)=(n+1)(x n−1)，不妨设y=0，x n=nn+1，则x1⋅x2⋅x3…⋅x n=12×23×34×…×nn+1=1n+1，从而log2015x1+log2015x2+⋯+log2015x2014=log2015(x1⋅x2…x2014)=log201512015=−1．故答案为：−1．要求log2015x1+log2015x2+⋯+log2015x2014，需求x1⋅x2⋅…⋅x2014的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．6.答案：34解析：解：y=2−sinθ1−cosθ=2sin2θ2+2cos2θ2−2sinθ2cosθ21−(1−2cos2θ2)=tan2θ2+1−tanθ2tan2θ2=cot2θ2−cotθ2+1=(cotθ2−12)2+34，故当cotθ2=12时，函数y取得最小值为34，故答案为：34．由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，把函数的解析式化为y=2sin2θ2+2cos2θ2−2sinθ2cosθ21−(1−2cos2θ2)=(cotθ2−12)2+34，再利用二次函数的性质求得它的最小值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，二次函数的性质的应用，属于中档题．7.答案：{x|0<x<2}解析：解：设t=2x，原不等式可转化为：t2−5t+4<0，即(t−1)(t−4)<0，∴1<t<4，∴1<2x<4，∴0<x<2∴原不等式的解集为{x|0<x<2}．故答案为{x|0<x<2}．本题先进行换元，将原不等式转化为一元二次不等式，解出一元二次不等式后，再解相应的指数不等式，得到本题结论．本题考查的是解不等式，解题的方法是换元法，利用换元可以化难为易，本题难度不大，属于基础题．8.答案：3解析：解：半径为100mm的圆上，有一段弧长为300mm，则由弧长公式可得：α=lr =300100=3，故答案为：3．由已知利用弧长公式即可计算得解．本题考查了弧长公式的应用，属于基础题．9.答案：2解析：解：设幂函数为y =x α， 幂函数y =f(x)的图象经过点(3,9)， 所以9=3α，α=2， 故答案为：2．设出f(x)的解析式，把(3,9)点代入求出α即可．考查求幂函数的解析式，指数与对数简单运算，基础题．10.答案：2解析：解：∵常数a >0且a ≠1，函数f(x)=log a x ，f(x)的反函数的图象经过点(1,2)， ∴函数f(x)=log a x 的图象经过点(2,1)， ∴log a 2=1， 解得a =2． 故答案为：2．由反函数的性质得函数f(x)=log a x 的图象经过点(2,1)，由此能求出a ．本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.答案：②解析：解：对于①，函数f(x)=2x ，令x 1=0，x 2=2，则x 1+x 22=1，显然f(x 1+x 22)=f(1)=2；12[f(x 1)+f(x 2)]=12[f(0)+f(2)]=52，f(x 1+x 22)<12[f(x 1)+f(x 2)]，故①错误；对于②，函数f(x)=log 2(x +√1+x 2)的定义域为R ，且f(−x)+f(x)=log 2(−x +√1+(−x)2)+log 2(x +√1+x 2)=log 21=0，所以，f(−x)=−f(x)，即f(x)=log 2(x +√1+x 2)为奇函数； 同理可得，g(−x)+g(x)=0，即g(x)=1+22x −1是奇函数，故②正确； 对于③，函数f(x)=e −2−e x 的导函数f′(x)=−e x <0， 函数f(x)=e −2−e x 切线斜率无最大值，故③错误对于④，函数f(x)=x 12−(14)x ，f′(x)=2√x −(14)x ln 14=2√x +(14)x ln4>0，所以，f(x)=x 12−(14)x 为R 上的增函数，又f(14)=(14)12−(14)14<0，f(13)=(13)12−(14)13=(127)16−(116)12<0，所以，f(x)=x 12−(14)x 在区间(14,13)上无零点，故④错误．故答案为：②．①，函数f(x)=2x 中，足：令x 1=0，x 2=2，可得f(x 1+x 22)=f(1)=2；12[f(x 1)+f(x 2)]=12[f(0)+f(2)]=52，可判断①；②，利用奇偶函的概念可判断函数f(x)=log 2(x +√1+x 2),g(x)=1+22x −1均是奇函数从而可判断②；③，利用导数的几何意义可求得函数f(x)=e −2−e x 切线斜率，从而可判断③；④，利用零点存在定理可判断函数f(x)=x 12−(14)x 在区间(14,13)上无零点．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的“凹凸”性、奇偶性，考查导数的几何意义、函数的零点等，考查分析与运算求解能力，属于中档题．12.答案：解析：试题分析：因为有5个不同的根，必有对应有三个不同的根，还有一个对应有两个不同的根．对应的根分别是4，14，−6，不妨设为．对应有两个不同的跟关于对称，所以，故，=考点：方程的零点分布13.答案：4解析：解：∵x >1，∴x −1>0． 函数y =x 2x−1=x 2−1+1x−1=x +1+1x−1=x −1+1x−1+2≥2√(x −1)⋅1x−1+2=4，当且仅当x =2时取等号． ∴函数y =x 2x−1的最小值为4．故答案为：4．变形利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．14.答案：(−1,23)解析：解：由f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数， 则f(x +3)=f(x)，f(−x)=−f(x)，∴f(2015)=f(3×671+2)=f(2)=f(2−3)=f(−1) =−f(1)，又f(1)>1，∴f(2015)<−1， 即2a−3a+1<−1，即为3a−2a+1<0，即有(3a −2)(a +1)<0，解得，−1<a <23． 故答案为：(−1,23).先根据周期性和奇函数，将f(2015)化成f(−1)=−f(1)，然后根据已知条件建立关系式，解分式不等式即可求出实数a 的取值范围．本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，周期性和奇偶性都是函数的整体性质，同时考查了分式不等式的求解，属于中档题．15.答案：解：(1)由函数f(x)是偶函数可知f(x)=f(−x)，∴log 4(4x +1)+kx =log 4(4−x +1)−kx ， ∴log 44x +14−x +1=−2kx ，即x =−2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k =−12．f(x)=log 4(4x +1)−12x =log 4(2−x +1)≥log 41=0∴f(x)的值域是[0,+∞)--------------------------------------------------------------(4分) (2)当a ⋅2x −43a >0时，函数解析式有意义 当a >0时，2x >43，得x >log 243；当a <0时，2x <43，得x <log 243.----------------------------------------(5分) 综上，当a >0时，定义域为{x|x >log 243}；当a <0时，定义域为{x|x <log 243}；---------------------------------(6分) (3)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x +1)−12x =log 4(a ⋅2x −43a)有且只有一个实根，即方程2x+12x =a⋅2x−43a，有且只有一个实根，------------------------------------(7分)令t=2x>0，则方程(a−1)t2−43a−1=0有且只有一个正根，①当a=1时，t=−34，不合题意；②当a≠1时，由△=0得a=34或−3，若a=34，则t=−2不合题意；若a=−3，则t=12满足要求；----------------------------------------(8分)若△>0，则此时方程应有一个正根与一个负根，∴−1a−1<0，∴a>1，又△>0得a<−3或a>34，∴a>1.-----------------------(9分)综上，实数a的取值范围是{−3}∪(1,+∞).----------------------------------------(10分)解析：(1)根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值，化简函数，即可求出f(x)的值域；(2)当a⋅2x−43a>0时，函数解析式有意义，分类讨论，即可求函数g(x)的定义域；(3)根据函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．16.答案：(1)证明：由题意得：x1+x2=−1a ，x1⋅x2=1a，∴(1+x1)(1+x2)=x1x2+(x1+x2)+1=1；(2)证明：由△=1−4a>0，解得：a<14，∵(1+x1)(1+x2)=1>0，而(1+x1)(1+x2)=x1+x2+2=−1a+2<−4+2<0，∴1+x1<0，1+x2<0，故x1<−1，x2<−1；(3)解：x2=−x11+x1，|lg x1x2|≤1，∵110≤x1x2≤10，∴110≤−(1+x1)≤10，∴−11≤x1≤−1110，a=1x1x2=−(1x12+1x1)=−(1x1+12)2+14，当1x1=−12时，a的最大值是14，当1x1=−111时，a的最小值是10121，故a的范围是[10121,1 4 ].解析：本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．(1)根据韦达定理求出x1+x2，x1⋅x2的值，证明即可；(2)由△>0，求出a的范围，从而证出结论；(3)求出x2=−x11+x1，由110≤x1x2≤10，得到110≤−(1+x1)≤10，求出a的范围即可．17.答案：解：(1)由条件{a×202+10150×20−bln2=35.7a×102+10150×10−bln1=19.2(2分)解得a=−1100,b=1(4分)则f(x)=−x2100+10150x−ln x10(x≥10).(6分)(2)由T(x)=f(x)−x=−x2100+5150x−ln x10(x≥10)则T′(x)=−x50+5150−1x=−(x−1)(x−50)50x(10分)令T′(x)=0，则x=1(舍)或x=50当x∈(10,50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x∈(50,+∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50,+∞)上是减函数，∴x=50为T(x)的极大值点(12分)即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为T(50)=24.4万元．(13分)解析：(1)由条件：“当x=10万元时，y=19.2万元；当x=20万元时，y=35.7万元”列出关于a，b的方程，解得a，b的值即得则求f(x)的解析式；(2)先写出函数T(x)的解析式，再利用导数研究其单调性，进而得出其最大值，从而解决问题．本小题主要考查函数模型的选择与应用、应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．解决实际问题通常有四个步骤：(1)阅读理解，认真审题；(2)引进数学符号，建立数学模型；(3)利用数学的方法，得到数学结果；(4)转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．18.答案：解：(1)∵x >0，∴f′(x)=1x −a ，若a <0，∴f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(e 3)=−ae 3>0，x →0时，f(x)→−∞，此时，f(x)存在唯一零点；若a >0，f′(x)=1−ax x =0，x =1a ， 所以x ∈(0,1a )，f(x)单调递增，x ∈(1a ,+∞)，f(x)单调递减，∴f(x)max =f(1a )=−lna −4，当−lna −4<0，即a >e −4时，f(x)无零点；当−lna −4=0，即a =e −4时，f(x)有一个零点；当−lna −4>0，即0<a <e −4时，f(x)有两个零点；综上：a <0或a =e −4时，f(x)有一个零点；0<a <e −4时，f(x)有两个零点；a >e −4时，f(x)无零点．(2)g(x)=x 3+x 22[m −2f′(x)]，g′(x)=3x 2+(m +2a)x −1．∵g(x)在(a,3)上有最值，∴g(x)在(a,3)上不单调，而g′(0)=−1<0，∴{g′(3)>0g′(a)<0恒成立． 又a ∈[1,2]，由g′(a)<0，即m <1a −5a ，所以m <−192，又g′(3)>0，所以3m +26+6a >0，解得m >−323，故−323<m <−192． 解析：(1)求出f(x)的导数，分类讨论a 的取值得到函数f(x)的零点个数；(2)根据条件判断出g(x)在(a,3)上有最值，则{g′(3)>0g′(a)<0恒成立．结合a 的取值范围可得m 取值范围． 本题考查利用函数导数求函数零点个数，利用分类讨论思想是关键，属于中档题．。
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高三模拟(三模)数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高三模拟（三模）数学试题一、单选题1．若集合{}2|540,{|1}A x x x B xx a =-+<=-<‖则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】化简A ，B ，根据B A ⊆，列出不等式，解得a ，然后根据充要条件的定义判断即可 【详解】{}()2|540=1,4A x x x =-+<，(){|1}1,1B x x a a a =-<=-+‖，要使B A ⊆，∴1411a a +≤⎧⎨-≥⎩，解得23a ，(2,3)a B A ∴∈⇒⊆，B A ∴⊆⇒(2,3)a ∈，所以“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分不必要条件，故选C 【点睛】本题考查充要条件的判定，正确把握充要条件的判定是解题的关键，属于基础题2．实数a ，b 满足a •b ＞0且a ≠b ，由a 、b 、2a b+按一定顺序构成的数列（ ）A.可能是等差数列，也可能是等比数列B.可能是等差数列，但不可能是等比数列C.不可能是等差数列，但可能是等比数列D.不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【答案】B【解析】由实数a ，b 满足a•b ＞0且a≠b ，分a ，b ＞0和a ，b ＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a 、b 、2a b+数列时，是否有满足条件的a ，b 的值，最后综合讨论结果，可得答案． 【详解】 （1）若a ＞b ＞0则有a ＞2a b+ b若能构成等差数列，则a+b=2a b +2a b+， 解得a=b （舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b=2a b +2a b += 解得a=b （舍），即此时无法构成等比数列 （2）若b ＜a ＜0，2a ba b +>>>2a bb a +=+，得于是b ＜3a 4ab=9a 2-6ab+b 2 得b=9a ，或b=a （舍）当b=9a 时这四个数为-3a ，a ，5a ，9a ，成等差数列． 于是b=9a ＜0，满足题意•b ＜0，a•2a b+＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列 故选B 【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．3．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线与抛物线22y px =（0p >）的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若223b a =，△AOB ，则p =（ ）A.1B.32C.2D.3【答案】C【解析】求出双曲线的渐近线，利用三角形面积建立方程即可求解 【详解】由222233b bb a a a=⇒=⇒=y =，与抛物线的准线交于22p p A ,B ,⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭，所以AOB ∆的面积为()1022p p ⨯=>， 解得2p = 故选：C 【点睛】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，属于基础题型4．若函数f （x ）满足：f （|x |）＝|f （x ）|，则称f （x ）为“对等函数”，给出以下三个命题：①定义域为R 的“对等函数”，其图象一定过原点； ②两个定义域相同的“对等函数”的乘积一定是“对等函数”；③若定义域是D 的函数y ＝f （x ）是“对等函数”，则{y |y ＝f （x ），x ∈D }⊆{y |y ≥0}； 在上述命题中，真命题的个数是（ ） A.0 B.1C.2D.3【答案】B【解析】由对等函数的定义可判断①②，举反例说明③错误 【详解】①定义域为R 的“对等函数”，可令x ＝0，即f （0）＝|f （0）|， 解得f （0）＝0，或f （0）＝1，故①错误；②两个定义域相同的“对等函数”，设y ＝f （x ）和y ＝g （x ）均为“对等函数”， 可得f （|x |）＝|f （x ）|，g （|x |）＝|g （x ）|，设F （x ）＝f （x ）g （x ），即有F （|x |）＝f （|x |）g （|x |）＝|f （x ）g （x ）|＝|F （x ）|， 则乘积一定是“对等函数，故②正确”；③若定义域是D 的函数y ＝f （x ）是“对等函数”，可得f （|x |）＝|f （x ）|，可取f （x ）＝x |x |，x ∈R ，可得x ≥0时，f （x ）≥0；x ＜0时，f （x ）＜0，故③错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的新定义问题，理解题意是关键，是基础题二、填空题 5．若复数z 满足1z i i=--1+2i ，则z 等于_____．【答案】1+i【解析】由题得iz +i ＝﹣1+2i ，利用复数的乘除运算化简即可 【详解】 ∵1z i i=-iz +i ∴iz +i ＝﹣1+2i ∴z ＝1+i 故答案为：1+i ． 【点睛】本题考查行列式，复数的运算，准确计算是关键，是基础题6．计算：3381nn C lim n →∞=+_____【答案】148【解析】由二项式定理得()()323123266n n n n n n nC ---+==，再求极限即可 【详解】()()323123266n n n n n n nC ---+==； ∴33223333213216814864848nn n n C n n n n n lim lim lim n n n→∞→∞→∞-+-+===+++． 故答案为：148．【点睛】本题考查极限，考查二项式定理，是基础题7．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10,11,9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则22x y +的值为 .【答案】208 【解析】【详解】因为这组数据的平均数为10，方差为2， 所以x +y ＝20，（x ﹣10）2+（y ﹣10）2＝8， 解得则x 2+y 2＝208， 故答案为：208．8．关于x ，y 的二元一次方程的增广矩阵为32111m ⎛⎫⎪⎝⎭．若D x ＝5，则实数m ＝_____．【答案】-2【解析】由题意，D x 1232m-==-5，即可求出m 的值． 【详解】 由题意，D x 1232m-==-5，∴m ＝-2， 故答案为-2． 【点睛】本题考查x ，y 的二元一次方程的增广矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．9．已知实数x 、y 满足不等式组22000x y x y y --≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则11y w x -=+的取值范围是_____【答案】1,12⎡-⎫⎪⎢⎣⎭【解析】画出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用w 的几何意义即可得到结论． 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．11y w x -=+的几何意义为阴影部分的动点（x ，y ）到定点P （﹣1，1）连线的斜率的取值范围．由图象可知当点与OB 平行时，直线的斜率最大，当点位于A 时，直线的斜率最小，由A （1，0），∴AP 的斜率k 12=- 又OB 的斜率k ＝1 ∴12-≤w <1． 则11y w x -=+的取值范围是：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，． 故答案为：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 10．在101()2x x-展开式中，含x 的负整数指数幂的项共有_____项． 【答案】4【解析】先写出展开式的通项：103211012rrr r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭由0≤r ≤10及532r -为负整数，可求r 的值，即可求解 【详解】1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为103211012rrr r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中r ＝0，1，2…10 要使x 的指数为负整数有r ＝4，6，8，10 故含x 的负整数指数幂的项共有4项 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是根据通项及r 的范围确定r 的值11．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_____． 【答案】【解析】试题分析：设圆柱的高为2，由题意圆柱的侧面积为2×2π=4π，圆柱的体积为2122ππ⋅⋅=，则球的表面积为4π，故球的半径为1；球的体积为43π，∴这个圆柱的体积与这个球的体积之比为23423ππ=，故填【考点】本题考查了球与圆柱的体积、表面积公式点评：此类问题主要考查学生的计算能力，正确利用题目条件，面积相等关系，挖掘题设中的条件，解题才能得心应手12．连续投骰子两次得到的点数分别为m ，n ，作向量a =（m ，n ），则a 与b =（1，﹣1）的夹角成为直角三角形内角的概率是_____． 【答案】712【解析】根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数通过列举得到即可求解 【详解】由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的所有事件数6×6， ∵m ＞0，n ＞0，∴a =（m ，n ）与b =（1，﹣1）不可能同向． ∴夹角θ≠0． ∵θ∈（0，2π] a •b ≥0，∴m ﹣n ≥0， 即m ≥n ．当m ＝6时，n ＝6，5，4，3，2，1； 当m ＝5时，n ＝5，4，3，2，1； 当m ＝4时，n ＝4，3，2，1； 当m ＝3时，n ＝3，2，1； 当m ＝2时，n ＝2，1； 当m ＝1时，n ＝1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P 65432176612+++++==⨯．故答案为：712【点睛】本题考查古典概型，考查向量数量积，考查分类讨论思想，准确计算是关键13．已知集合A ＝{（x ，y ）||x ﹣a |+|y ﹣1|≤1}，B ＝{（x ，y ）|（x ﹣1）2+（y ﹣1）2≤1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为_____． 【答案】[﹣1，3]【解析】先分别画出集合A ＝{（x ，y ）||x ﹣a |+|y ﹣1|≤1}，B ＝{（x ，y ）|（x ﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，表示的平面图形，集合A 表示是一个正方形，集合B 表示一个圆．再结合题设条件，欲使得A ∩B ≠∅，只须A 或B 点在圆内即可，将点的坐标代入圆的方程建立不等式求解即可． 【详解】分别画出集合A ＝{（x ，y ）||x ﹣a |+|y ﹣1|≤1}，B ＝{（x ，y ）|（x ﹣1）2+（y ﹣1）2≤1}，表示的平面图形，集合A 表示是一个正方形，集合B 表示一个圆．如图所示． 其中A （a +1，1），B （a ﹣1，1），欲使得A ∩B ≠∅，只须A 或B 点在圆内即可，∴（a +1﹣1）2+（1﹣1）2≤1或（a ﹣1﹣1）2+（1﹣1）2≤1， 解得：﹣1≤a ≤1或1≤a ≤3， 即﹣1≤a ≤3．故答案为：[﹣1，3]．【点睛】本小题主要考查二元一次不等式（组）与平面区域、集合关系中的参数取值问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14．在ABC ∆中，2,1BC AC ==，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C D 、两点在直线AB 的两侧），当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为__________． 【答案】3 【解析】【详解】设CBA α∠=，AB BD a ==，则在三角形BCD 中，由余弦定理可知22222CD a α=++，在三角形ABC 中，由余弦定理可知2cos 22aα=4261sin 22a a aα-+-=，所以2242261CD a a a =++-+-，令22t a =+，则()22221017(5)8151(5)8CD t t t t t t t =+-+-=+--+=⨯-+⨯--+222(5)[(5)8]59t t ≤⋅-+--++=，所以，线段CD 长的最大值为3.15．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且()OP xOA yOB x y R =+∈，．有以下结论： ①当x ＝0时，y ∈[2，3]；②当P 是线段CE 的中点时，1522x y =-=，； ③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段； ④x ﹣y 的最大值为﹣1；其中你认为正确的所有结论的序号为_____．【答案】②③④【解析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②对,利用三点共线解得④对 【详解】对于①当OP yOB =，据共线向量的充要条件得到P 在线段BE 上，故1≤y ≤3，故①错 对于②当P 是线段CE 的中点时，()132OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11532222OB OB AB OA OB =+-+=-+故②对 对于③x +y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对对④，()OP xOA yOB xOA y OB =+=--，令OB OF -=，则()xOA y OF OP =-，当,,P A F 共线，则1x y -=，当AF 平移到过B 时，x ﹣y 的最大值为﹣1，故④对故答案为②③④ 【点睛】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件,考查推理能力，是中档题 16．对任意x 和[0,]2πθ∈，恒有221(32sin cos )(sin cos )8x x a a θθθθ+++++≥，则实数a 的取值范围是________. 【答案】6a ≤72a ≥【解析】利用()()2222a ba b +≥-的形式进行放缩，最终化简为1322sin cos a sin cos θθθθ+-≤+或1322sin cos a sin cos θθθθ++≥+，利用函数单调性，基本不等式即可求得最值 【详解】先给出公式：()()2222a ba b +≥-，证明如下，()()()()22222222222222=+20a b a b a b a b ab a b ab a b +--=+-+-+=+≥即()()2222a b a b -+≥则原式221(32sin cos )(sin cos )8x x a a θθθθ+++++≥可变形为 []22211(32sin cos )(sin cos )(32sin cos )(sin cos )28x x a a x x a a θθθθθθθθ⎡⎤+++++≥++-++≥⎣⎦即[]21(32sin cos )(sin cos )4x x a a θθθθ++-++≥，[]2132sin cos (sin cos )4a θθθθ+-+≥()1322sin cos a sin cos θθθθ∴+-+≥或()1322sin cos a sin cos θθθθ+-+≤-，[0,]2πθ∈①，12sin cos θθ⎡+∈⎣由①得1322sin cos a sin cos θθθθ+-≤+②或1322sin cos a sin cos θθθθ++≥+③()1332123222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ+-++==++≥+++当且仅当2sin cos θθ+=时取等号，所以1322sin cos sin cos θθθθ+-+，a ≤()132522sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++=++++，显然当()512x ,f x x x⎡∈=+⎣为减函数（由对勾函数性质可得），()()5711122max x ,f x f ⎡∈==+=⎣，由此可得132722sin cos sin cos θθθθ++≤+，即72a ≥综上所述：a ≤72a ≥【点睛】本题考查函数恒成立问题，恒成立问题转化为最值问题是常规处理方式，本题解题关键在于通过对不等式的等价变形去掉x ，变形为关于θ的恒等式进行处理三、解答题17．在ABC 中，角A B C ，，对应的三边长分别为a b c ，，，若4b =，8BA BC ⋅=．（1）求22a c +的值；（2）求函数()2cos cos f B B B B =+的值域．【答案】（1）32；（2）312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积的运算，化简8BA BC ⋅=，再利用余弦定理列出关系式，将化简结果及b 的值代入计算即可求出22a c +的值；（2）由基本不等式求出ac 的范围，根据cos 8ac B =，得出1cos 2B ≥，进而利用余弦函数的性质求出角B 的范围，再化简()1sin 262f B B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可求出()f B 的值域．试题解析：（1）因为8BA BC ⋅=，所以cos 8ac B =， 由余弦定理得222222cos 16b a c ac B a c =+-=+-． 因为4b =，所以2232a c +=．（2）因为222a c ac +≥，所以16ac ≤， 所以81cos 2B ac =≥， 因为()0B π∈，，所以3x B π<≤，因为()()23113sin cos cos sin 21cos 2sin 2262f B B B B B B B π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 由于52666B πππ<+≤，所以1sin 2162B π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，． 所以()f B 的值域为312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【考点】正弦定理；余弦定理．18．如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝AC ＝2，AB ＝BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ．（1）求证：AB ⊥平面PCB ；（2）求二面角C ﹣PA ﹣B 的大小的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）33. 【解析】（ 1）由题设条件，易证得PC ⊥AB ，CD ⊥AB ，故可由线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面PCB ；（2）由图形知，取AP 的中点O ，连接CO 、DO ，可证得∠COD 为二面角C﹣P A﹣B的平面角，在△CDO中求∠COD即可．【详解】（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB．∵CD⊥平面P AB，AB⊂平面P AB，∴CD⊥AB．又PC∩CD＝C，∴AB⊥平面PCB．（2）取AP的中点O，连接CO、DO．∵PC＝AC＝2，∴CO⊥P A，CO2=，∵CD⊥平面P AB，由三垂线定理的逆定理，得DO⊥P A．∴∠COD为二面角C﹣P A﹣B的平面角．由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，又∵AB＝BC，AC＝2，求得BC2=PB6=，CD23 =∴63CDsin CODCO∠==cos∠COD3 =．【点睛】本题考查用线面垂直的判定定理证明线面垂直，求二面角，空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角，是求角的关键．19．某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）．（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时．现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？【答案】（1）20千米/小时；（2）内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车. 【解析】（1）设内环线列车的平均速度为v 千米/小时，根据内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得3060109v⨯≤，从而可求内环线列车的最小平均速度；（2）设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入（18﹣x ）列列车运行，分别求出内、外环线乘客最长候车时间130726025t x x =⨯=，()2306060301818t x x =⨯=--，根据127260118t t x x-=-≤-，解不等式，即可求得结论． 【详解】（1）设内环线列车的平均速度为v 千米/小时，则要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得3060109v⨯≤ ∴v ≥20∴要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，内环线列车的最小平均速度是20千米/小时；（2）设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入（18﹣x ）列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t 1，t 2分钟， 则130726025t x x=⨯=，()2306060301818t x x =⨯=-- ∴127260118t t x x-=-≤- ∴221501296011412960x x x x ⎧-+≤⎨+-≤⎩∴15011422x --+≤≤∵x ∈N +，∴x ＝10∴当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟． 【点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用数学模型解决实际问题，解题的关键是正确求出乘客最长候车时间．20．已知抛物线Γ的顶点在原点，焦点在y 轴正半轴上，点(),4P m 到其准线的距离等于5．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）如图，过抛物线Γ的焦点的直线从左到右依次与抛物线Γ及圆()2211x y +-=交于A 、C 、D 、B 四点，试证明AC BD ⋅为定值.（Ⅲ）过A 、B 分别作抛物Γ的切线1l 、2l ，且1l 、2l 交于点M ，求ACM ∆与BDM ∆面积之和的最小值．【答案】（Ⅰ）24x y =；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）2.【解析】（Ⅰ）设抛物线Γ的方程为()220x py p =>，根据已知条件得出p 的值，可得出抛物线Γ的方程；（Ⅱ）解法一：求出抛物线Γ的焦点E 的坐标，设直线AB 的方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线Γ的方程联立，并列出韦达定理，利用抛物线的定义并结合韦达定理证明出AC BD ⋅是定值；解法二：设直线AB 的方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线Γ的方程联立，并列出韦达定理，并利用弦长公式并结合韦达定理证明AC BD ⋅是定值；（Ⅲ）利用导数求出切线1l 、2l 的方程，并将两切线方程联立得出交点M 的坐标，并计算出点M 到直线AB 的距离d ，可计算出ABM ∆和CDM ∆的面积和，换元211t k =+，利用导数法求出ACM ∆和BDM ∆的面积和的最小值.【详解】（Ⅰ）设抛物线方程为()220x py p =>，由题意得452p+=，得2p =， 所以抛物线C 的方程为24x y =；（Ⅱ） 解法一：抛物线Γ的焦点与()2211x y +-=的圆心重合，即为()0,1E .设过抛物线焦点的直线方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 将直线AB 的方程与抛物线Γ的方程联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得2440x kx --=，()21610k ∆=+>，由韦达定理得124x x k +=，124x x =-.由抛物线的定义可知11AE y =+，21BE y =+，10x <，20x >.()()()222121241111616x x AC BD AE BE y y -∴⋅=-⋅-====，即AC BD ⋅为定值1；解法二：设过抛物线焦点的直线方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 不妨设10x <，20x >.将直线AB 的方程与抛物线Γ的方程联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得2440x kx --=，()21610k ∆=+>，由韦达定理得124x x k +=，124x x =-.221111AE k k x ∴=+=-+，222211BE k k x =+=+， ())())22221212121111111AC BD k x k x k x x k x x ∴⋅=-+-⋅+-=-++-+()24111k =+=， 即AC BD ⋅为定值1；（Ⅲ）214y x =，12y x '∴=， 所以切线AM 的方程为()2111142x y x x x -=-，即21124x x x y =-，同理可得，切线BM 的方程为22224x x x y =-，联立两切线方程2112222424x x x y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12122214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点()2,1M k ， 所以点M 到直线AB的距离为d =．设()()212211122ACM BDMk y S S AC BD d y y ∆∆+=+=+⋅=+()(2212242k x x k =++=+⎡⎤⎣⎦1t =≥，则342y t t =-，21220y t '∴=->，所以342y t t =-在[)1,+∞上是增函数，当1t =时，即当0k =时，min 2y =，即ACM ∆和BDM ∆面积之和的最小值为2. 【点睛】本题考查抛物线的方程的求解、抛物线中弦长的计算以及三角形面积和的最值问题，常用的方程就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，在求最值时，则需建立某个变量的函数来求解，难点在于计算量大，容易出错.21．已知数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，数列{}n b 是以q 为公比的等比数列. （1）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，且112a b d ===，31003252010S a b <+-，求整数q 的值；（2）若*,p q ∈N ，3p ≥，2q ≥，试问数列{}n b 中是否存在一项k b ，使得k b 恰好可以表示为该数列中连续p 项的和？请说明理由；（3）若1r b a =，2s r b a a =≠，3t b a =（其中t s r >>，且()s r -是()t r -的约数），求证：数列{}n b 中每一项都是数列{}n a 中的项. 【答案】（1）2q；（2）不存在，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）由等差等比数列的表达式a n =2n ，b n =2•q n -1，代入S 3<a 1003+5b 2-2010直接求解即得到答案．（2）可以先假设数列{b n }中存在一项b k ，满足b k =b m +b m +1+b m +2++b m +p -1，再根据已知的条件去验证，看是否能找出矛盾．如果没有矛盾即存在，否则这样的项b k 不存在； （3）由已知条件b 1=a r ，得b 2=b 1q =a r q =a s =a r +(s -r )d ，结合等差等比数列的性质，可证数列{}n b 中每一项是否都是数列{}n a 中的项． 【详解】(1)由题意知，a n =2n ，b n =2•q n -1， ∴由S 3<a 1003+5b 2-2010，可得到b 1+b 2+b 3<a 1003+5b 2-2010⇒b 1-4b 2+b 3<2006-2010⇒q 2-4q +3<0． 解得1<q <3， 又q 为整数， ∴q =2(2)假设数列{b n }中存在一项b k ，满足b k =b m +b m +1+b m +2+…+b m +p -1， ∵b n =2n ，∴b k >b m +p -1⇒2k >2m +p -1⇒k >m +p -1⇒k ≥m +p ①又()11121221222221m p k m m n p k m m m m p b b b b b ++-+++--==+++⋯+=++⋯+=-=2m +p -2m <2m +p ，∴k <m +p ，此与①式矛盾． ∴这样的项b k 不存在；(3)由b 1=a r ，得b 2=b 1q =a r q =a s =a r +(s -r )d ， 则()1r a q d s r-=-又22231(1)()()r r t r r r a q b b q a q a a t r d a q a t r s r-====+-⇒-=-⋅-，从而(1)(1)(1)r r t ra q q a q s r-+-=-⋅-， ∵a s ≠a r ⇒b 1≠b 2，∴q ≠1，又a r ≠0， 故1t rq s r-=--． 又t >s >r ，且(s -r )是(t -r )的约数， ∵q 是整数，且q ≥2，对于数列中任一项b i (这里只要讨论i >3的情形)， 有b i =a r q i -1=a r +a r (q i -1-1) =a r +a r (q -1)(1+q +q 2+…+q i -2) =a r +d (s -r )(1+q +q 2+…+q i -2)=a r +[((s -r )(1+q +q 2+…+q i -2)+1)-1]•d ， 由于(s -r )(1+q +q 2+…+q i -2)+1是正整数， ∴b i 一定是数列的项． 故得证． 【点睛】本题考查等差等比数列的性质的应用，反证法的应用，题目信息量大，需要一步一步的分析求解，计算量要求较高，属于难题。
上海市华东师范大学第二附属中学2024届高三上学期期中数学试题
上海市华东师范大学第二附属中学2024届高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}∣，则B=（）A B x x A x A=--=Î-ÏA．{0,1,7}B．{1,7}C．{0,2,3}D．{0,1,2,3,7} 14．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）17．甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若六、解答题所以222PB BC PC +=，则PBC V 为直角三角形，故BC PB ^，又因为BC PA ^，PA PB P =I ，所以BC ^平面PAB .（2）由（1）BC ^平面PAB ，又AB Ì平面PAB ，则BC AB ^，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B ，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-uuu r uuu r uuu r uuu r，设平面PAC的法向量为()111,,m x y z =u r，则00m AP m AC ì×=ïí×=ïîuuu r uuu r ，即1110,0,z x y =ìí+=î令11x =，则11y =-，所以(1,1,0)m =-u r，设平面PBC的法向量为()222,,x n y z =r，则00n BC n PC ì×=ïí×=ïîuuu r uuu r ，即222200y x y z =ìí+-=î，令21x =，则21z =，所以(1,0,1)n =r，。
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含解析)
2025届华二附中高三10月月考数学试卷一、填空题1．若集合，则__________．2．已知复数，则__________．3．展开式中的系数为60，则实数__________．4．己知是单调递增的等比数列，，则公比q 的值是__________．5．已知，则_________．6．已知函数，若在定义域内为增函数，则实数p 的最小值为__________．7．己知双曲线，左，右焦点分别为，关于C 的一条渐近线的对称点为P ．若，则的面积为__________．8．己知，则的最小值为__________．9．已知函数是上的奇函数，则__________．10．对平面直角坐标系中两个点和，记，称，为点与点之间的“距离”，其中表示p ，q 中较大者．设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以r 为半径的“圆”．以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的面积为__________．11．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：{23},{(4)(2)0}A xx B x x x =<<=+->∣∣A B = 1i z =+|2i |z -=5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x a ={}n a 453824,128a a a a +==π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2ln p f x px x x=--()f x 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12F F 2F 12PF =12PF F △0,0,23x y x y >>+=23x y xy+tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+ππ,20242024⎡⎤-⎢⎥⎣⎦tan θ=()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11x x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12PP 1P 2P t -max{,}p q ()000,P x y 0r >0P t -0P t -12t -100=⨯水库实际蓄水里水库总蓄水里（i ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ii ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（iii ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变记x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y 关于x 的函数解析式：①；②；③；④．则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．12．将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为__________．二、单选题13．“”是“对任意的正整数x ，均有的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件14．己知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.315．已知函数不是常数函数，且满足对于任意的，，则（ ）A ．B ．一定为周期函数C ．不可能为奇函数D ．存在16．如图，将线段AB ，CD 用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B ，C ，并且在点B ，C 处的切线分别为直线AB ，CD ，那么下列说法正确的是（ ）命题甲：存在曲线满足要求命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求[0,100]21620y x x =-+y =5010x y =π100sin 200y x =1111ABCD A B C D -1111A B C D 45︒ABCD EFGH -1a =2a x x+≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(24)P ξ<≤()f x ,R a b ∈()()2()()f a b f a b f a f b ++-=(0)0f =()f x ()f x ()00R,2x f x ∈=-()y f x =()y f x =sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1()y f x =2()y f x =,λμ1λμ+=12()()y f x f x λμ=+A ．甲命题正确，乙命题正确B ．甲命题错误，乙命题正确C ．甲命题正确，乙命题错误D ．甲命题错误，乙命题错误三、解答题17．如图，在正三棱柱中，分别是的中点，的边长为2．（1）求证：平面；（2）若三棱柱的高为1，求二面角的正弦值．18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．己知2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区（不包含A ，B 两地）航班放行准点率的估计值分别为和、2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区的航班比例分别为0.2，0.2和0.6试解决一下问题：（1）现在从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（2）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．19．在中，，内有一点M ，且．（1）若，求的面积；（2）若，求BM 的长．20．己知圆，直线过点且与圆交于点B ，C ，BC 中点为D ，过中点E 且平行于的直线交于点P ，记P 的轨迹为（1）当到直线时，求直线方程；（2）求的方程；（3）坐标原点O 关于的对称点分别为，点关于直线的对称点分别为，过的直线与交于点M ，N ，直线相交于点Q ，求的面积．111ABC A B C -1,,D D F 1111,,BC B C A B 4,BC BE ABC = △EF ∥11ADD A 1B EF C --84%80%，75%84%，ABC △π10,3BC ABC =∠=ABC △2,π3BM CM AMB ⊥∠=BM =ABC △14AC =221:(1)16A x y ++=1l 2(1,0)A 1A 2A C 1A D 1AC Γ1A 1l 1l Γ12,A A 12,B B 12,A A y x =12,C C 1A 2l Γ12,B M B N 12QC C △21．对于函数，定义域R ，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．己知．（1）如果对成立．求证：为周期函数；（2为“关于倒数点”，且只有两个不同的解，求函数m 的值；（3）设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求a 的取值范围．()f x 0x ()()001f x f x λ+=0λ≠()f x 0x ()f x λ()e ,()(0)x g x h x x a a ==+>()(1)1f x f x +=x R ∈()h x 2-2()()m h x g x =(),0()1,0()g x x x x h x ω>⎧⎪=⎨<⎪⎩()x ω2025届华二附中高三10月月考数学试卷参考答案一、填空题1．【答案】2．3．【答案】12【解析】展开式的通项为，令，则，所以展开式中的系数为，解得．4．【答案】2【解析】由等比数列性质知，联立，解得或，因为是单调递增的等比数列，所以，即．5．【答案】6．【答案】1【解析】函数．要使在定义域内为增函数，只需在上恒成立即可，即在上恒成立，即在上恒成立．，当且仅当，即时等号成立，，即实数p 的最小值为1．7．【答案】4{23}xx <<∣5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭552155C C kk k k k k k a T x a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭523k -=1k =5ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 15C 60a =12a =3645a a a a =454524128a a a a +=⎧⎨=⎩45816a a =⎧⎨=⎩45168a a =⎧⎨=⎩{}n a 45816a a =⎧⎨=⎩542a q a ==725- 22222()2ln ,(0,),()p p px x p f x px x x f x p x x x x-+'=--∈+∞=+-=()f x (0,)+∞()0f x '≥(0,)+∞220px x p -+≥(0,)+∞221x p x ≥+(0,)+∞222111x x x x =≤=++ 1x x =1x =1p ∴≥【解析】设与渐近线交于M ，则，所以，由O ，M 分别与的中点，知且，即，由，所以．8．【答案】【解析】9．【答案】【解析】2PF b y x a=222,tan ,sin b b F M OM MOF MOF a c⊥∠=∠=222sin ,F M OF MOF b OM a =⋅∠===12F F 2PF 1OM PF ∥1112OM PF ==1a =e =2c b ==1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯=△△1+223(2)211x y x x y y x y xy xy y x+++==++≥+2-tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+tan tan tan 1tan tan tan tan 121tan tan x x x x θθθθθ+--=+-⨯-tan (1tan tan )(tan tan )1tan tan 2(tan tan )x x x x θθθθθ--+=--+()2tan 1tan 12tan (tan 2)tan xxθθθ-+=--+上的奇函数，又上的奇函数．10．【答案】4【解析】设是以原点O为圆心，以为半径的圆上任一点，则．若，则；若，则有．由此可知，以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的图形如下所示：则“圆”的面积为．11．【答案】②④【解析】①，该函数在时函数值为180，超过了范围，不合题意；②为严格增函数，且，则，符合题意；③，当时，不合题意④，当时，，故该函数在上严格递增，又ππ(),20242024f x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()2tan 1tan y x θ=-+⋅tan 20,tan 2θθ∴+=∴=-(,)P x y 12t -||||1max ,1||1||2x y x y ⎧⎫=⎨⎬++⎩⎭||||11||1||2y x y x ≤=++||1||1x y =⎧⎨≤⎩||||11||1||2x y x y ≤=++||1||1y x =⎧⎨≤⎩12t -t -224⨯=()2221116120(60)180202020y x x x x x =-+=--=--+60x =y =[0,100],[0,100]x y ∈∈10≤x ≤5010xy =50x =50101050x=<π100sin 200y x =[0,100]x ∈ππ0,2002x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[0,100]π100sin[0,100]200y x =∈设即即，易知在上为严格减函数令，则存在，有当；当；故在严格递增，在严格递减．故上即上，故④符合题意12．【解析】如图作出原正方体，与HE ，EF 的交点分别为M ，N ，HE 与的交点为P ，上底面非重叠部分是8个全等的等腰直角三角形，设每个等腰直角三角形的边长为a ，则，所以，π()100sin ,[0,100]200g x x xx =-∈ππ()100cos 1,[0,100]200200g x x x '=⋅⋅-∈ππ()cos 12200g x x '=⋅-ππ()cos 12200g x x =⋅-[0,100]()0g x '=0[0,100]x ∈()0g x '=[]00,,()0x x g x '∈>[]0,100,()0x x g x '∈<()g x []00,x []0,100x (0)0,(100)0g g ==[0,100]()0g x ≥[0,100]π100sin 200x x ≥1111ABCD A B C D -11A B 11A D 21a =a =所以，设该十面体的体积为V ，二、单选题13．【答案】A【解析】对任意的正整数x ，均有，所以，当时，取最大值1，所以．因为时，一定成立；时，不一定成立．所以“”是“对任意的正整数x ，均有”的充分不必要条件．14．【答案】B【解析】因为服从正态分布，且，所以，所以15．【答案】C【解析】由题意，函数满足对于任意的，令，解得或．若，令，则，故，与题设不为常数函数矛盾，所以A 错误；所以，此时令，得，即，所以必然为偶函数，所以C 正确；||1MN ==-1111144ABCD A B D A MP E ABNMC V V V V --=-+11111144||332A MP ABNM S A A S MN =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯△四边形211114141323=-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2a x x +≥222,2x a x a x x +≥∴≥-+1x =22x x -+1a ≥1a =1a ≥1a ≥1a =1a =2a x x +≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(4)0.2P ξ>=11(24)[12(0)](120.2)0.322P P ξξ<≤=-≤=⨯-⨯=()f x ,R,()()2()()a b f a b f a b f a f b ∈++-=0a b ==(0)0f =(0)1f =(0)0f =,0a x b ==()()0f x f x +=R,()0x f x ∀∈=(0)1f =0,a b x ==()()2()f x f x f x +-=()()f x f x -=()f x再令，则，所以D 错误；例如，函数符合题意，此时函数在上严格递增，且不为周期函数，所以B 错误．故选：C ．16．【答案】B【解析】由图知点，所以直线AB 的方程为，直线CD 的方程为，所以，对于命题甲：曲线的导函数为，当时，，当时，，代入得，即，又由，得，方程组中a ，b 不可解，故命题甲不正确；对于命题乙：当时，有，即，故当时，曲线满足要求，故命题乙正确，综上，故选B三、解答题17．【答案】（1）见解析；（2）2x a b ==2()2112x f x f ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭e e ()2x xf x -+=()f x (0,)+∞(0,4),(1,3),(2,1),(4,0)A B C D 4y x =-+122y x =-+11,2AB CD k k =-=-sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1(cos sin )2y a ax b bx '=-1x =1y =-2x =12y =-1(cos sin )2y a ax b bx '=-1( c o s s i n )1211( c o s 2 s i n 2)22a ab b a a b b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩cos sin 2cos 2sin 21a a b b a a b b -=-⎧⎨-=-⎩sin cos 32sin 2cos 212a b c a b c +⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩(sin cos )(sin 2cos 2)4a b a b +-+=1λμ+=121122(1)(1)()11111(2)(2)()2222x x y f f y f f λμλμλμλμλμλμ=='''⎧=+=--=-+=-⎪⎨'''=+=--=-+=-⎪⎩12112x x y y =='⎧=-⎪⎨'=-⎪⎩1λμ+=12()()y f x f x λμ=+25【解析】（1）证明：取的中点G ，连接FG ，DG ，根据题意可得，且，由三棱柱得性质知，所以，则四边形DGEF 是平行四边形，所以，因为面，面，所以面．（2）因为是等边三角形，且边长为2，所以，因为三棱柱的高为1，以D 为坐标原点，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系：所以，所以，设平面BEF的法向量11A D 11FG B D ∥1111,22FG B D DE BD ==11BD B D ∥FG BD ∥EF DG ∥EF ⊄11ADD A DG ⊂11ADD A EF ∥11ADD A ABC △AD BC ⊥1,,DB AD DD111,0,0,,,(1,0,0),(1,0,1)22E F B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113,0,0,0,,,0,122BE EF EC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111,,m x y z =则，令，所以，设平面的一个法向量为，所以，令，则，所以，设二面角为，所以，所以，所以二面角的正弦值为．18．【解析】（1）设"该航班飞往A 地"， "该航班飞往B 地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，则，由全概率公式得，，所以该航班准点放行的概率为0.778（2）（2），11111110020x m BE x z y m EF y z ⎧=⋅=-=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⋅=+=⎩⎪⎩ 1y =113,02z x ==32m ⎛⎫= ⎪⎝⎭1C EF ()222,,n x y z =122222222330220n EC x z z x n EF y z z y ⎧⎧⋅=-+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⋅=+==⎪⎪⎩⎩22y =22x z ==n = 1B EF C --([0,π])θθ∈|||cos |||||m n m n θ⋅= 2sin 5θ==1B EF C --251A =2A =3A =C =()()()1230.2,0.2,0.6P A P A P A ===()()()1230.84,0.8,0.75P C A P C A P C A ===∣∣∣()()()()()()112232()P C P A P C A P A P C A P A P C A =++∣∣∣0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=()()()()11110.20.84()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣因为，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大．19．【答案】（1；（2【解析】（1）在直角中，，可得，因为，则在中，，则，所以，解得，则（2）在中，，即，即，解得或（舍去），设，则，()()()()22220.20.8()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣()()()()33330.60.75()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯BMC △BM =ππ,63MBC BCM ∠=∠=10BC =BM =ABM △π2π,63ABM AMB ∠=∠=π6BAM ∠=2ππsin sin 36AB BM ==15AB =11sin 151022ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯=△ABC △222π2cos 3AC AB BC AB BC =+-⋅211961002102AB AB =+-⋅⨯210960AB AB --=16AB =6AB =-CBM θ∠=π2ππ,π333ABM BAM θθθ⎛⎫∠=-∠=---= ⎪⎝⎭在中，可得，可得，即，则，则20．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】（1）（2）由题意得，．因为D 为BC 中点，所以，即，又，所以，又E 为的中点，所以，所以，所以点P 的轨迹是以为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．设，其中．则故．（3）思路一：由题意得，，且直线的斜率不为0，ABM △10cos 2πsin sin sin 3AB BM θθθ==10cos sin θθ=16sin θθ=tan θ=cos θ==cos BM BC θ=⋅=1)y x =-22:1(2)43x y x Γ+=≠±1)y x =-12(1,0),(1,0)A A -1A D BC ⊥12A D A C ⊥1PE A D ∥2PE A C ⊥2A C 2||PA PC =121112||4PA PA PA PC AC A A +=+==>Γ12,A A 2222:1()x y x a a bΓ+=≠±2220,a b a b c >>-=24,2,1,a a c b =====22:1(2)43x y x Γ+=≠±1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l可设直线，且．由，得，所以，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路二：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以，()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()21122222y x x x y x ++=--()()()()12212211221212112112331112223933333222y y y y y y my my y y y my my y y y y y y y -++--++=====---+---4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路三：由题意得，，且直线的斜率不为0．()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()21121221211221132322133y my y my my y y y y my y my y y ⎡⎤++-⎛⎫+-==⎢⎥ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦()()121221212323243my y y y y y y y ++-+⎡⎤==-⎢⎥+⎣⎦4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l（i ）当直线垂直于x 轴时，，由得或．不妨设，则直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，所以，故Q 到的距离，此时的面积是．（ii ）当直线不垂直于x 轴时，设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得．下证：．即证，即证，2l 2:1l x =-221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1B M 3(2)2y x =+2B N 1(2)2y x =-3(2)21(2)2y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩43x y =-⎧⎨=-⎩(4,3)Q --12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=2l ()()21122:(1),,,,l y k x M x y N x y =+122,2x x ≠±≠±22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()22224384120k x k x k +++-=221212228412,4343k k x x x x k k --+==++1MB 11(2)2y y x x =++2MB 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()()()()()2112121221121212124262121234k x x k x x x x x x k x x k x x x x ⎡⎤++++--+==⎢⎥++-+-++⎣⎦121212426434x x x x x x -+=-++()121212426434x x x x x x -+=-++()121241016x x x x =-+-即证，即证，上式显然成立，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，此时的面积是定值，为．由（i ）（ii ）可知，的面积为定值．思路四：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，因为，所以，故直线的方程为：22224128410164343k k k k ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22244121081643k k k -=---+4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=12QC C △1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,x my M x y N x l y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--2222143x y +=22222324y x x y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭2B N 2223(2)4x y x y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭由，得，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．21．【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）；（3）．【解析】（1）对成立，得，所以2为函数的周期．（2为"关于倒数点"，得，即，即，得，设的定义域为R，求导得，当时，严格递增；时，严格递减；时，严格递增，所以的单调递增区间为，递减区间为，成立，（舍）（3）依题意，，1122(2)223(2)4y y x x x y x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎛⎫+⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩()()1212422322y y x x x x -=-+++()()()()12122222121212444933113139634y y y y mx my m y y m y y m m m ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥=-=-=-=⎢⎥+++++-+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=(,3),(1,)-∞--+∞(3,1)--34e -(2,e)()(1)1f x f x +=x R ∈1()(2)(1)f x f x f x ==++()f x ()h x 2-2)1h h =22)1,2)10a a a a ++=+-+-=(1)(1)0a a +--=1a =2()e (1)x x x ϕ=+2()e (1)2e (1)e (1)(3)x x x x x x x x ϕ'=+++=++(,3)x ∈-∞-()0,()x x ϕϕ'>(3,1)x ∈--()0,()x x ϕϕ'<(1,)x ∈-+∞()0,()x x ϕϕ'>()x ϕ(,3),(1,)-∞--+∞3(3,1).(3)4m e ϕ---=-=(1)0m ϕ=-=e ,0()1,0x x x x x a ω⎧>⎪=⎨<⎪+⎩由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根，①当时，，方程可化为，解得，这与不符，因此在内没有实数根；②当时，，方程可化为，该方程又可化为．设，则，因为当时，，所以在内严格递增，又因为，所以当时，，因此，当时，方程在内恰有一个实数根；当时，方程在内没有实数根．③当时，没有意义，所以不是的实数根．④当时，，方程可化为，化为，于是此方程在内恰有两个实数根，则有，解得因此当时，方程在内恰有两个实数根，当在内至多有一个实数根，综上，a 的取值范围为．()x ϕ()(1)1x x ωω+=0x >10x +>()(1)1x x ωω+=21e 1x +=12x =-0x >(0,)+∞()(1)0x x ωω+=10x -<<10x +>()(1)1x x ωω+=11x e x a+=+1ex a x +=-1()e x k x x +=-1()e 1x k x +'=-(1,0)x ∈-()0k x '>()k x (1,0)-(1)2,(0)e k k -==(1,0)x ∈-()(2,e)k x ∈(2,e)a ∈()(1)1x x ωω+=(1,0)-(0,2][e,)a ∈+∞ ()(1)1x x ωω+=(1,0)-1x =-10,(1)x x ω+=+1x =-()(1)1x x ωω+=1x <-10x +<()(1)1x x ωω+=1111x a x a ⋅=+++22(21)10x a x a a ++++-=(,1)-∞-()222(21)41021121(21)10a a a a a a a ⎧+-+->⎪+⎪-<-⎨⎪-+++->⎪⎩a >a >()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-0a <≤()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-(2,e)(2,e)⎫+∞=⎪⎪⎭。
2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期数学期末考试卷(含详解)
华二附中高一期末数学试卷一、填空题（本大题满分40分，本大题共有10题）1.34i +的虚部是______．2.已知世界上倾斜度最高的摩天大厦坐落于阿联酋的阿布扎比，其倾斜度达到18°，请用弧度表示倾斜度______．3.与向量()3,4--反向的单位向量是______．4.直线y a =与函数()tan f x x ω=（0>ω，ω为常数）的两个相邻交点的距离是______．5.函数()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R 的单调递减区间是______．6.在等差数列{}n a 中，12a a <，7116a a =，4145+=a a ，则该数列公差d =______．7.用数学归纳法证明“当*N n ∈时，1()5231n n f n -=+⨯+能被8整除”时，第二步“假设当()*Nn k k =∈时，1()5231kk f k -=+⨯+能被8整除，证明当1n k =+时(1)f k +也能被8整除”的过程中，得到1(1)1(1)5231()k k f k f k A ++-+=+⨯+=+，则A 的表达式为________.8.如图，在边长为1的正三角形ABC 中，112B C AB = ，112A B CA = ，112C A BC =，可得正三角形111A B C ，以此类推可得正三角形222A B C 、…、正三角形n n n A B C ，记111222n n n n ABC A B C A B C A B C S S S S S =+++⋅⋅⋅+△△△△，则lim n n S →∞=______．9.以下四个命题中所有真命题的序号是______．（1）若1z 、2z ∈C ，则1221z z z z +∈R ；（2）若1z 、2z ∈C ，则2221211222z z z z z z +=+⋅+；（3）若1z 、2z ∈C ，2212z z -∉R ，则21z ∉R ，22z ∉R ；（4）若1z 、2z ∈C ，21z ∉R ，22z ∉R ，则2212z z -∉R ．10.已知数列{}n a 、{}n b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+-，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2022项之和为______．二、选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）11.20222021i i i 1++⋅⋅⋅++=（）A .1B.i 1+ C.i D.012.“G =”是“G 是a 、b 的等比中项”的（）条件A.既不充分也不必要B.充分不必要C.必要不充分D.充要13.一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k （k ≥2，k *∈N ）时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则（）A.该命题对于2n >的自然数n 都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k 取值无关D.以上答案都不对14.正三角形OAB 的边长为1，动点C 满足OC OA OB λμ=+，且221λλμμ++=，则点C 的轨迹是（）A.线段B.直线C.射线D.圆三、解答题（本大题满分44分，本大题共有4题）15.在ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin B b A =.（1）求cos B ；（2）若c ＝3，AC 边上的中线BD ，求a .16.已知虚数14cos 3sin i z θθ=+⋅，223sin i z θ=-⋅，其中i 为虚数单位，R θ∈，1z 、2z 是实系数一元二次方程20z mz n ++=的两根．（1）求实数m 、n 的值；（2）若12z z z z -+-=z 的取值范围．17.在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，2AB DB = ，2EC AE = ，3BE BC ⋅=．（1）求角A 和DE 的长；（2）若M 是线段BC 上的一个动点（包括端点），求DM EM ⋅的最值．18.记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，已知3453a a S +=，154a a S =，数列{}n b 满足()11322n n n b b n --=+≥，且111b a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明数列12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n b 的通项公式；（3）求证：对于任意正整数n ，121117760n b b b ++⋅⋅⋅+<．华二附中高一期末数学试卷一、填空题（本大题满分40分，本大题共有10题）1.34i +的虚部是______．【答案】4【分析】由复数的定义即可得出答案.【详解】由复数的定义知，34i +的虚部是4.故答案为：4.2.已知世界上倾斜度最高的摩天大厦坐落于阿联酋的阿布扎比，其倾斜度达到18°，请用弧度表示倾斜度______．【答案】10π【分析】利用1180rad π︒=化简即可得出答案.【详解】181818010rad rad ππ︒=⨯=.故答案为：10π.3.与向量()3,4--反向的单位向量是______．【答案】34,55⎛⎫⎪⎝⎭【分析】先求出向量()3,4--的相反向量，再计算出模长，即可求解.【详解】向量()3,4--的相反向量为()3,4，又向量()3,45=，则与向量()3,4--反向的单位向量是34,55⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫⎪⎝⎭.4.直线y a =与函数()tan f x x ω=（0>ω，ω为常数）的两个相邻交点的距离是______．【答案】πω【分析】求出函数的周期即可得．【详解】函数()f x 的最小正周期是T πω=，所以直线y a =与函数()tan f x x ω=（0>ω，ω为常数）的两个相邻交点的距离是πω．故答案为：πω．5.函数()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R 的单调递减区间是______．【答案】()5,84k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【分析】由条件利用正弦函数的单调性，结合整体思想求得3sin(24y x π=+，x ∈R 的单调递减区间．【详解】解：对于函数3sin(24y x π=+，x ∈R ，令3222242k x k πππππ+++ ，k ∈Z ，求得588k x k ππππ++ ，k ∈Z ，可得函数的减区间为()5,84k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．故答案为：()5,84k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .6.在等差数列{}n a 中，12a a <，7116a a =，4145+=a a ，则该数列公差d =______．【答案】14##0.25【分析】由12a a <，可得0d >，再利用等差数列的性质可得4147115a a a a =++=，即可与7116a a =解出711a a 、的值，再结合等差数列通项公式即可求出1174a a d -=【详解】由题， {}n a 是等差数列，12a a <，∴210d a a =->，4147115a a a a =++=，结合7116a a =，11740a a d -=>可解得7112,3a a ==，∴117144a a d -==，故答案为：147.用数学归纳法证明“当*N n ∈时，1()5231n n f n -=+⨯+能被8整除”时，第二步“假设当()*Nn k k =∈时，1()5231kk f k -=+⨯+能被8整除，证明当1n k =+时(1)f k +也能被8整除”的过程中，得到1(1)1(1)5231()k k f k f k A ++-+=+⨯+=+，则A 的表达式为________.【答案】()1453kk -+【分析】根据数学归纳法的证明步骤，结合题意中的()f k 以及()1f k +即可容易求解.【详解】因为1()5231k k f k -=+⨯+，1(1)1(1)5231k k f k ++-+=+⨯+55231k k =⨯+⨯+1152314543k k k k --=+⨯++⨯+⨯()f k =+()1453k k -+.故A =()1453kk -+.故答案为：()1453kk -+.【点睛】本题考查数学归纳法，属基础题.8.如图，在边长为1的正三角形ABC 中，112B C AB = ，112A B CA = ，112C A BC =，可得正三角形111A B C ，以此类推可得正三角形222A B C 、…、正三角形n n n A B C ，记111222n n n n ABC A B C A B C A B C S S S S S =+++⋅⋅⋅+△△△△，则lim n n S →∞=______．【答案】338【分析】先判断出111222,,n n n ABC A B C A B C A B C S S S S ⋅⋅⋅△△△△构成一个首项为34，公比为13的等比数列，再求和，求极限.【详解】因为正三角形ABC 的边长为1，所以1311sin 6024ABC S =⨯⨯⨯︒=.在边长为1的正三角形ABC 中，112B C AB = ，112A B CA = ，112C A BC =，所以1112,33AB AC ==，由余弦定理得：113B C =同理可求：11113A B C A ==.所以111ABC A B C ～，相似比为33,所以11113A B C ABC S S = .同理可求：21121213A B C A B C S S =,……，11113n n n n n n A B C A B C S S ---= .所以111222,,n n n ABC A B C A B C A B C S S S S ⋅⋅⋅△△△△构成一个首项为4，公比为13的等比数列，所以lim n n S →∞=8113lim111133343343nn →∞⎛⎫⎛⎫- ⎪⎝⎭⎪=- ⎝=⎪⎭-.故答案为：8.9.以下四个命题中所有真命题的序号是______．（1）若1z 、2z ∈C ，则1221z z z z +∈R ；（2）若1z 、2z ∈C ，则2221211222z z z z z z +=+⋅+；（3）若1z 、2z ∈C ，2212z z -∉R ，则21z ∉R ，22z ∉R ；（4）若1z 、2z ∈C ，21z ∉R ，22z ∉R ，则2212z z -∉R ．【答案】（1）【分析】设出复数1z 、2z ，由共轭复数及复数的运算即可判断（1）、（2）；取特殊的复数1z 、2z ，由复数的运算即可判断（3）、（4）.【详解】设()12i,i,,,,z a b z c d a b c d =+=+∈R ，对于（1），12i,i z a b z c d =-=-，则()()()()1221i i i i z z z z a b c d c d a b +=++-+-()()i++i 22ac bd bc ad ac bd ad bc ac bd =++-+-=+∈R ，（1）正确；对于（2），()()()()2222222212i 22z d z b d ac b +++=++++=++++=+，22222211222z z z a b c d z =+++++⋅，则2221211222z z z z z z +≠+⋅+，（2）错误；对于（3），取12i,1i z z ==+，显然满足1z 、2z ∈C ，又()221222i 1i 12i z z =-+=---∉R ，但211z =-∈R ，故（3）错误；对于（4），取1212i,2i z z =+=+，显然满足1z 、2z ∈C ，又221234i ,34i z z =-+∉=+∉R R ，但22126z z =--∈R ，故（4）错误.故答案为：（1）.10.已知数列{}n a 、{}n b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+-，设113nn n n c a b ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2022项之和为______．【答案】202333-【分析】由已知等式可证得数列{}n n a b +、{}n n a b 为等比数列，结合等比数列通项公式可推导得到n c ，可知{}n c 为等比数列，利用等比数列求和公式可求得结果.【详解】()112n n n n a b a b +++=+ ，又112a b +=，∴数列{}n n a b +是以2为首项，2为公比的等比数列，2n n n a b ∴+=；()()222112n n n n n n n n a b a b a b a b ++=+-+= ，又111a b =，∴数列{}n n a b 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n n a b -∴=；1112333232n nn n n n n n n n n n n a b c a b a b -⎛⎫+∴=+=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，∴数列{}n c 是以16c =为首项，3为公比的等比数列，∴数列{}n c 的前2022项之和为()202220236133313-=--.故答案为：202333-.二、选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）11.20222021i i i 1++⋅⋅⋅++=（）A.1B.i 1+ C.iD.0【答案】B【分析】利用复数乘方运算的周期性计算即可【详解】因为4414243i i i i 0n n n n ++++++=，202250542=⨯+，所以20222021i i i 15050(1i)1i ++⋅⋅⋅++=⨯++=+，故选：B 12.“G =”是“G 是a 、b 的等比中项”的（）条件A.既不充分也不必要B.充分不必要C.必要不充分D.充要【答案】A【分析】分别举反例判断充分与必要条件是否满足即可【详解】当0G a b ===时，满足G =，不满足G 是a 、b 的等比中项；当G 是a 、b的等比中项，如1,4,2a b G ===-，但不满足G =，故“G =”是“G 是a 、b 的等比中项”的既不充分也不必要条件故选：A13.一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k （k ≥2，k *∈N ）时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则（）A.该命题对于2n >的自然数n 都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k 取值无关D.以上答案都不对【答案】B【分析】当n 为偶数时，可以利用数学归纳法判断命题对所有正偶数成立.当n 为奇数时，则不能作出任何判断.【详解】令P （k ）为该与正整数n 有关的命题在n =2k ，k *∈N 时的情形.则(1)P （1）成立，即归纳奠基成立；(2)P （k ）成立能得到P （k +1）成立，即归纳递推成立.根据数学归纳法，该命题对所有正偶数成立.而n 为奇数时，则没有任何关于该命题的信息,所以不能作出判断.故选：B.14.正三角形OAB 的边长为1，动点C 满足OC OA OB λμ=+，且221λλμμ++=，则点C 的轨迹是（）A.线段B.直线C.射线D.圆【答案】D【分析】可以利用平面向量数量积的运算性质得2221OC λλμμ=++= ，即1OC = ，来确定动点C 的轨迹；或者可以利用三角形的特点合理建系，结合向量的坐标运算，设动点C 的坐标，利用已知条件计算轨迹方程，来确定C 的轨迹.【详解】解：方法一：由题可知：==OA OB AB，60AOB ∠=︒111cos 602OA OB ∴⋅=⨯⨯︒=又OC OA OBλμ=+()2222222OC OA OBOA OA OB OBλμλλμμ∴=+=+⋅+221λλμμ=++=所以21OC = ，即1OC = 所以点C 的轨迹是圆.方法二：由题可知：==OA OB AB，60AOB ∠=︒如图，以O 为原点OB 为x 轴，过O 点与OB 垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，所以13(,),(1,0)22A B 设(,)C x y ，1313(,(1,0)(,)2222OC OA OB λμλμλμλ∴=+=+=+12332323x x y y y λμμλλ⎧⎧=+=-⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩又221λλμμ++=所以2233133y y x y x y ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭整理得：221x y +=所以点C 的轨迹是圆.故选：D .三、解答题（本大题满分44分，本大题共有4题）15.在ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，cos sin B b A =.（1）求cos B ；（2）若c ＝3，AC 边上的中线BD，求a .【答案】（1）1cos 3B =；（2）a ＝1.【分析】（1）首先根据正弦定理边化角公式得到cos sin sin A B B A =，从而得到sin B B =，再利用同角三角函数关系求解即可.（2）首先根据平面向量的加法运算得到()12BD BA BC =+ ，两边平方得到2230a a +-=，再解方程即可.【详解】cos sin B b A =由正弦定理可得：cos sin sin A B B A =，因为sin 0A ≠，所以sin B B =，即cos 0B >.因为22sin cos 1B B +=，所以cos cos 228B B 1+=，即1cos 3B =.（2）在ABC 中，()12BD BA BC =+ ，所以()222124BD BA BC BA BC =++⋅ ，即211392343a a ⎛⎫=++⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭.整理得：2230a a +-=，解得3a =-（舍去）或1a =.16.已知虚数14cos 3sin i z θθ=+⋅，223sin i z θ=-⋅，其中i 为虚数单位，R θ∈，1z 、2z 是实系数一元二次方程20z mz n ++=的两根．（1）求实数m 、n 的值；（2）若12z z z z -+-=z 的取值范围．【答案】（1）m ＝－4，434n =；（2）432,2⎡⎢⎣⎦【分析】（1）根据1z 、2z 是实系数一元二次方程20z mz n ++=的两根可得12z z =，求出cos θ的值，进而求得1z 、2z ，再根据根与系数的关系求出m 、n 的值即可；（2）根据复平面内12z z z z -+-=(),z a b 在线段12z z 上，进而求得z 的取值范围即可【小问1详解】由题意，12z z =，即4cos 3sin i 23sin i θθθ+⋅=+⋅，故1cos 2θ=，根据韦达定理有()()1223sin i 23si 4n i m z z θθ=-++⋅+-⋅=-=-，()()212214349sin 23sin 4912i 23sin i 4n z z θθθ⎛⎫===+=+-= ⎪⎝⎭+⋅⋅-⋅，即4m =-，434n =【小问2详解】由（1）3sin 2θ==±，故不妨设122i,2i 22z z =+=-，设i z a b =+，则12z z z z -+-=(),z a b 到122,,2,22z z ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的距离之和为因为1z 到2z 的距离为333322⎛--= ⎝⎭(),z a b 在线段12z z 上.故当()2,0z 时z 取得最小值2，当z 在1z 或2z 时，z 2=，故z 的取值范围为2⎡⎢⎣⎦17.在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，2AB DB = ，2EC AE = ，3BE BC ⋅= ．（1）求角A 和DE 的长；（2）若M 是线段BC 上的一个动点（包括端点），求DM EM ⋅ 的最值．【答案】（1）π3A =，DE ＝1；（2）最小值1716；最大值5【分析】（1）由()()3BE BC AE AB AC AB ⋅=-⋅-= ，根据数量积的运算律和数量积定义可求得cos A ，知ADE 为等边三角形，可得||1DE = ；设(01)BM BC λλ= ，由向量线性运算可将所求数量积化为11(())()(1)23AC AB AC AB λλλλ⎡⎤+-⋅-+-⎢⎥⎣⎦ ，从而将所求数量积化为关于λ的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得结果．【小问1详解】由2,2AB DB EC AE == ，知：D 为AB 中点，E 为AC 靠近A 的三等分点； 22144()()73333BE BC AE AB AC AB AC AB AC AB AB AC ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅= ，∴||||cos 6cos 3AB AC AB AC A A ⋅=⋅== ，解得：1cos 2A =，()0,πA ∈ ∴π3A =；又1AD AE ==，ADE ∴V 为等边三角形，∴||1DE = ；【小问2详解】设()(01)BM BC AC AB λλλ==- ， 11()()22DM BM BD AC AB AB AC AB λλλ=-=-+=+- ，11()()()()()(1)33EM BM BE AC AB AE AB AC AB AC AB AC AB λλλλ=-=---=---=-+- ，∴11(())()(1)23DM EM AC AB AC AB λλλλ⎡⎤⋅=+-⋅-+-⎢⎥⎣⎦22222213111173()()(273226622AC AB AB AC λλλλλλλλ=-+-+--+⋅=-+ ，对称轴为712144λ-=-=，当10,4λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，273722λλ-+单调递减，当1,14λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，273722λλ-+单调递增则当14λ=时，DM EM ⋅ 取得最小值1716，当1λ=时，DM EM ⋅ 取最大值518.记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，已知3453a a S +=，154a a S =，数列{}n b 满足()11322n n n b b n --=+≥，且111b a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明数列12n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n b 的通项公式；（3）求证：对于任意正整数n ，121117760n b b b ++⋅⋅⋅+<．【答案】（1）2n a n=（2）证明见解析，32n nn b =-（3）证明见解析【分析】（1）设公差为()0d d ≠，结合等差数列通项和求和公式可构造方程组求得1,a d ，进而得到n a ；（2）由已知递推关系式可得11311222n n n n b b --⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由此可得证得数列12n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；结合等比数列通项公式推导可得n b ；（3）分别验证1,2,3n =时，不等式成立；当3n ≥时，采用放缩法可得332193n n n --≥⋅，依此对不等式进行放缩，结合等比数列求和公式可证得当4n ≥时不等式成立，由此可得结论.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由3451543a a S a a S +=⎧⎨=⎩得：()()111111542335243442a d a d a d a a d a d ⨯⎧+++=+⎪⎪⎨⨯⎪+=+⎪⎩，解得：122a d =⎧⎨=⎩，()2212n a n n ∴=+-=.【小问2详解】由（1）知：1111b a =-=，则113122b +=，由()11322n n n b b n --=+≥得：11312222n n n n b b --=⋅+，11311222n n n n b b --⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭，∴数列12n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，32为公比的等比数列，3122n n n b ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，32n n n b ∴=-.【小问3详解】当1n =时，1177160b =<；当2n =时，1211167715560b b +=+=<；当3n =时，123111111197715199560b b b ++=++=<；当3n ≥时，33333322738227383193n n n n n n n ------=⋅-⋅≥⋅-⋅=⋅（当且仅当3n =时取等号），∴当3n ≥时，3111132193n n n n b -=≤⨯-（当且仅当3n =时取等号）；∴当4n ≥时，22121111111631633111519538353813n n n b b b ---⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⨯=+-< ⎪⎝⎭-2437719060=<；综上所述：对于任意正整数n ，121117760n b b b ++⋅⋅⋅+<.【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列的综合应用；证明不等式的关键是能够通过对数列通项公式进行放缩，将无法求和的数列转化为可以利用等比数列求和公式进行求和运算的形式，进而证得结论.。
数学一轮复习第十一章11.2数系的扩充与复数的引入课时作业理含解析
课时作业67 数系的扩充与复数的引入［基础达标]一、选择题1．[2021·黄冈中学，华师附中等八校联考]设i是虚数单位，若复数a＋5i1＋2i(a∈R）是纯虚数，则a＝(）A．－1B．1C．－2D．22．［2021·湖南省长沙市高三调研试题]复数错误!＝（) A.错误!－iB。
错误!－错误!iC．－1D．－i3．[2021·大同市高三学情调研测试试题］设z＝错误!2，则z 的共轭复数为（)A．－1B．1C．iD．－i4．[2021·南昌市高三年级摸底测试卷］复数z满足错误!＝1－i，则｜z｜＝()A．2iB．2C．iD．15．[2021·合肥市高三调研性检测］已知i是虚数单位，复数z＝错误!在复平面内对应的点位于（)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限6．[2021·安徽省示范高中名校高三联考]已知i为虚数单位，z＝错误!，则z的虚部为（）A．1B．－3C．iD．－3i7．[2021·惠州市高三调研考试试题]已知复数z满足（1－i）z＝2＋i(其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．－错误!－错误!iB.错误!＋错误!iC．－错误!＋错误!iD.错误!－错误!i8．［2021·长沙市四校高三年级模拟考试］已知复数z＝错误!，则下列结论正确的是（)A．z的虚部为iB．|z|＝2C．z的共轭复数错误!＝－1＋iD．z2为纯虚数9．［2021·广东省七校联合体高三第一次联考试题]已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,若z1＝1－2i，则错误!＝(）A.35－错误!iB．－错误!＋错误!iC．－错误!－错误!iD.错误!＋错误!i10．［2021·唐山市高三年级摸底考试］已知p，q∈R,1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，其中i为虚数单位，则p·q＝()A．－4B．0C．2D．4二、填空题11．[2020·江苏卷］已知i是虚数单位，则复数z＝（1＋i)·（2－i)的实部是________．12．［2021·重庆学业质量抽测］已知复数z1＝1＋2i，z1＋z2＝2＋i，则z1·z2＝________。
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)月考数学试卷(10月份)
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）月考数学试卷（10月份）试题数：21，总分：01.（填空题，0分）已知0＜a＜b，则ab ___ a+1b+1（填“＞”或“＜”）．2.（填空题，0分）已知集合A={1，-m}，B={1，m2}，且A=B，则m的值为___ ．3.（填空题，0分）不等式x2-5|x|-6＜0的解集是___ ．4.（填空题，0分）已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是___ ．5.（填空题，0分）已知x为实数，且x2+ 1x2 =3，则x3+ 1x3的值是___ ．6.（填空题，0分）设A={x|x= √5k+1，k∈N}，B={x|x≤5，x∈Q}，则A∩B=___ ．7.（填空题，0分）已知关于x的不等式-1＜ax+1x−1＜1的解集是{x|-2＜x＜0}，则所有满足条件的实数a组成的集合是___ ．8.（填空题，0分）对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A、B都不赞成的学生各有人数是___ ．9.（填空题，0分）若关于x的不等式ax2+x-1≥0只有一个解，则满足条件的实数a组成的集合是___ ．10.（填空题，0分）已知全集U=R，集合A={x|x2+（x-1）|x+1|=1}，则A =___ ．11.（填空题，0分）已知集合A={x|x2+2x-8≥0}，B={x|x2-2ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B∩N 中恰有2个元素，则a的取值范围为___ ．12.（填空题，0分）在整数集Z中，被整数t除所得余数为k（t＞k≥0）的所有整数组成一个“类”，记为[k]t={at+k|a∈Z}，k=0，1，2，…，t-1，如[3]5={5a+3|a∈Z}，则下列结论正确的为___ ．① [1]2=[1]4∪[3]4；② Z=[0]2∪[0]3；③ 整数a、b满足a∈[1]5且b∈[2]5的充要条件是a+b∈[3]5；④ [0]3∩[1]2=[3]6．13.（单选题，0分）已知命题A成立可推出命题B不成立，那么下列说法一定正确的是（）A.命题A成立可推出命题B成立B.命题A不成立可推出命题B不成立C.命题B成立可推出命题A不成立D.命题B不成立可推出命题A成立14.（单选题，0分）已知a、b、c∈R，则下列四个命题正确的个数是（）① 若ac2＞bc2，则a＞b；② 若|a-2|＞|b-2|，则（a-2）2＞（b-2）2；③ 若a＞b＞c＞0，则1a ＜1b＜1c；④ 若a＞0，b＞0，a+b＞4，ab＞4，则a＞2，b＞2．A.1B.2C.3D.415.（单选题，0分）定义A-B={x|x∈A且x∉B}，设A、B、C是某集合的三个子集，且满足（A-B）∪（B-A）⊆C，则A⊆（C-B）∪（B-C）是A∩B∩C=∅的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件16.（单选题，0分）使得5x+12 √xy≤a（x+y）对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为（）A.8B.9C.10D.前三个答案都不对17.（问答题，0分）已知关于x的不等式：a(x−1)x−2＞1（a∈R）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）当a＜1时，求此不等式的解集．18.（问答题，0分）已知集合A={x||3x-1|≤x ，x∈R}，集合B={x| x 1−2x ≥1，x∈R}．（1）用区间表示集合A 与集合B ；（2）若定义集合A 为全集，求集合B 在集合A 中的补集 B ．19.（问答题，0分）命题甲：关于x 的方程x 2+x+m=0有两个相异负根；命题乙：不等式m 2+pm ＞4m+p-3对p∈[0，1]恒成立．（1）若这两个命题至少有一个成立，求实数m 的取值范围；（2）若这两个命题有且仅有一个成立，求实数m 的取值范围．20.（问答题，0分）定义区间（m ，n ）、[m ，n]、（m ，n]、[m ，n ）的长度均为n-m ，其中n ＞m ．（1）不等式组 {1≤71+x ≤7x 2+3tx −4＜0解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t 的范围； （2）已知实数a ＞b ，求满足不等式 1x−a + 1x−b ≥1的解集的各区间长度之和．21.（问答题，0分）记有理数集Q 的非空子集S 具有以下性质： ① 0∉S ； ② 若s 1∈S ，s 2∈S ，则 s1s 2 ∈S ； ③ 存在非零有理数q ，q∉S 且每一个不在S 中的非零有理数都可写成qs 的形式，其中s∈S ．（1）若s∈S ，t∈S ，求证：st∈S ；（2）若u 是非零有理数，且u∉S ，求证：u 2∈S ；（3）求证：x∈S ，则存在y 、z∈S ，使x=y+z ．2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）已知0＜a＜b，则ab ___ a+1b+1（填“＞”或“＜”）．【正确答案】：[1]＜【解析】：利用作差法，结合条件，即可得结论．【解答】：解：ab - a+1b+1= a(b+1)−b(a+1)b(b+1)= a−bb(b+1)，∵0＜a＜b，∴a-b＜0，b+1＞0，∴ a−b b(b+1)＜0，∴ ab＜a+1b+1．故答案为：＜．【点评】：本题考查不等式的基本性质，不等式比较大小，以及作差法的应用，属于基础题．2.（填空题，0分）已知集合A={1，-m}，B={1，m2}，且A=B，则m的值为___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：由A={1，-m}，B={1，m2}，且A=B，知m2=-m，由此能求出实数m的值，m=-1不满足集合中元素的互异性，舍去．【解答】：解：∵A={1，-m}，B={1，m2}，且A=B，∴m2=-m，解得m=-1，或m=0．m=-1不满足集合中元素的互异性，舍去．∴m=0符合题意．故答案是：0．【点评】：本题考查实数m的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意集合相等的概念的灵活运用．3.（填空题，0分）不等式x2-5|x|-6＜0的解集是___ ．【正确答案】：[1]（-6，6）【解析】：把原不等式中的x2变为|x|2，则不等式变为关于|x|的一元二次不等式，求出解集得到关于x的绝对值不等式，解出绝对值不等式即可得到x的解集．【解答】：解：∵x2-5|x|-6＜0，∴（|x|-6）（|x|+1|＜0，∴|x|＜6，解得：-6＜x＜6，故不等式的解集是（-6，6），故答案为：（-6，6）．【点评】：本题考查一元二次不等式的解法，解题的突破点是把原不等式中的x2变为|x|2，是一道基础题．4.（填空题，0分）已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，1）【解析】：p是q的必要不充分条件，所以q要真包含于p，可判断1与a的大小．【解答】：解：∵p是q的必要不充分条件，所以q要真包含于p，通过数轴可判断1位于a的右侧，∴a＜1，即a的取值范围为（-∞，1）．故答案为：（-∞，1）．【点评】：本题是简易逻辑推理，通过数轴解决，属于基础题．5.（填空题，0分）已知x为实数，且x2+ 1x2 =3，则x3+ 1x3的值是___ ．【正确答案】：[1] ±2√5【解析】：先利用已知条件结合完全平方公式求出x+ 1x的值，再利用立方和公式即可算出结果．【解答】：解：∵x2+ 1x2 = (x+1x)2−2 =3，∴ x+1x=±√5，又∵x3+ 1x3 = (x+1x)(x2−1+1x2) =2（x+ 1x），∴x3+ 1x3= ±2√5，故答案为：±2√5．【点评】：本题主要考查了有理数指数幂及根式的计算，考查了完全平方公式和立方和公式，是基础题．6.（填空题，0分）设A={x|x= √5k+1，k∈N}，B={x|x≤5，x∈Q}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{1，4}【解析】：利用交集性质求解即可．【解答】：解：∵A={x|x= √5k+1，k∈N}={1，√6，√11，4，√21，√26，√31，6，…}，B={x|x≤5，x∈Q}，∴A∩B={1，4}．故答案为：{1，4}．【点评】：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．7.（填空题，0分）已知关于x的不等式-1＜ax+1x−1＜1的解集是{x|-2＜x＜0}，则所有满足条件的实数a组成的集合是___ ．【正确答案】：[1]{2}【解析】：先把不等式-1＜ax+1x−1＜1转化为二次不等式（a2-1）x2+2（a+1）x＜0，再利用其解集为{x|-2＜x＜0}求出a的值即可．【解答】：解：不等式-1＜ax+1x−1＜1等价于| ax+1x−1|＜1，等价于|ax+1|＜|x-1|，等价于（ax+1）2＜（x-1）2，等价于（a2-1）x2+2（a+1）x＜0，∵其解集是{x|-2＜x＜0}，∴a2＞1且方程（a2-1）x2+2（a+1）x=0的两根为-2与0，∴ {a 2＞14(a 2−1)−4(a +1)=0， 解得：a=2，∴满足条件的实数a 组成的集合为{2}．故答案为：{2}．【点评】：本题主要考查不等式的解集和其对应方程的根之间的关系，属于中档题．8.（填空题，0分）对班级40名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A 、B 都不赞成的学生各有人数是___ ．【正确答案】：[1]7【解析】：赞成A 的人数24，赞成B 的人数为27，设对A 、B 都赞成的学生数为x ，则对A 、B 都不赞成的学生数 13 x+1，结合韦恩图求解即可【解答】：解：由题意：赞成A 的人数24，赞成B 的人数为27，设对A 、B 都赞成的学生数为x ，则对A 、B 都不赞成的学生数 13 x+1，如图可得x+24-x+27-x+ 13 x+1=40所以x=18， 13 x+1=7．故答案为：7【点评】：本题考查集合的交集并集中的元素个数问题，是中档题．解题时要认真审题，注意韦恩图在解题中的灵活运用9.（填空题，0分）若关于x 的不等式ax 2+x-1≥0只有一个解，则满足条件的实数a 组成的集合是___ ．【正确答案】：[1]{- 14 }【解析】：结合二次函数的图象求出满足题意的a 的集合．【解答】：解：设f （x ）=ax 2+x-1，由其图象可知：关于x 的不等式ax 2+x-1≥0只有一个解，等价于 {a ＜0△=1+4a =0， 解得：a=- 14 ，∴满足条件的实数a 组成的集合是{- 14 }，故答案为：{- 14 }．【点评】：本题主要考查二次函数的图象与二次不等式解集之间的联系，属于基础题．10.（填空题，0分）已知全集U=R ，集合A={x|x 2+（x-1）|x+1|=1}，则 A =___ ．【正确答案】：[1]{x|-1＜x ＜1或x ＞1}【解析】：对x+1的正负分情况讨论，分别求出x 的范围，得到集合A ，再利用补集的定义即可算出结果．【解答】：解： ① 当x≥-1时，方程化为x 2+（x-1）（x+1）=1，解得x=±1，符合题意；② 当x ＜-1时，方程化为x 2+（x-1）[-（x+1）]=1，即1=1，方程恒成立，综上所述，集合A={x|x≤-1或x=1}， ∴ A ={x|-1＜x ＜1或x ＞1}，故答案为：{x|-1＜x ＜1或x ＞1}．【点评】：本题主要考查了补集的运算，是基础题．11.（填空题，0分）已知集合A={x|x 2+2x-8≥0}，B={x|x 2-2ax+4≤0}，若a ＞0，且A∩B∩N 中恰有2个元素，则a 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][ 136 ， 52 ]【解析】：求出A 中不等式的解集确定出A ，设f （x ）=x 2-2ax+4，则f （x ）的轴对称x=a ＞0，对应方程的根x 1，x 2满足 {x 1x 2=4x 1+x 2＞0，从而0＜x 1≤2≤x 2（取x 1≤x 2），A∩B∩N 中恰有的整数为2，3，进而 {f (3)=9−6a +4≤0f (4)=16−8a +4＞0 ，由此能求出a 的取值范围．【解答】：解：由A 中不等式变形得：（x-2）（x+4）≥0，解得：x≤-4或x≥2，即A=（-∞，-4]∪[2，+∞），设f （x ）=x 2-2ax+4，则f （x ）的轴对称x=a ＞0，且对应方程的根x 1，x 2满足 {x 1x 2=4x 1+x 2＞0， ∴0＜x 1≤2≤x 2（取x 1≤x 2）， ∴A∩B∩N 中恰有的整数为2，3，∴ {f (3)=9−6a +4≤0f (4)=16−8a +4＞0， 解得 136≤a ＜52 ，∴a 的取值范围为[ 136 ， 52 ]．故答案为：[ 136 ， 52 ]．【点评】：本题考查交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于中档题．12.（填空题，0分）在整数集Z 中，被整数t 除所得余数为k （t ＞k≥0）的所有整数组成一个“类”，记为[k]t ={at+k|a∈Z}，k=0，1，2，…，t-1，如[3]5={5a+3|a∈Z}，则下列结论正确的为___ ．① [1]2=[1]4∪[3]4；② Z=[0]2∪[0]3；③ 整数a 、b 满足a∈[1]5且b∈[2]5的充要条件是a+b∈[3]5；④ [0]3∩[1]2=[3]6．【正确答案】：[1] ① ④【解析】：根据集合相等的定义判断 ① ，举反例判断 ② ③ ，根据集合的交集的定义判断 ④ ．【解答】：解：对于 ① ，若m∈[1]2，则m=2k+1，k∈Z ，若k=2n ，则m=4n+1，故m∈[1]4，若k=2n+1，则m=4n+3，故m∈[3]4，∴[1]2=是[1]4∪[3]4的子集，若m∈[1]4∪[3]4，则m=4k+1或m=4k+3，若m=4k+1，则m=2（2k ）+1，若m=4k+3，则m=2（2k+1）+1，∴m∈[1]2，故[1]4∪[3]4是[1]2的子集，∴[1]2=[1]4∪[3]4，故 ① 正确；对于 ② ，∵1∈Z ，而1∉[0]2且1∉[0]3，∴Z≠[0]2∪[0]3，故 ② 错误；对于 ③ ，∵3+5=8，8∈[3]5，而3∉[1]5，5∉[2]5，∴整数a 、b 满足a∈[1]5且b∈[2]5不是a+b∈[3]5的必要条件，故 ③ 错误；对于 ④ ，若m∈[3]6，则m=6k+3=3（2k+1）=2（3k+1）+1，∴m∈[0]3，且m∈[1]2，∴[0]3∩[1]2=[3]6，1故④ 正确．故答案为：① ④【点评】：本题考查集合与集合的关系判断，考查充分必要条件，属于基础题．13.（单选题，0分）已知命题A成立可推出命题B不成立，那么下列说法一定正确的是（）A.命题A成立可推出命题B成立B.命题A不成立可推出命题B不成立C.命题B成立可推出命题A不成立D.命题B不成立可推出命题A成立【正确答案】：C【解析】：直接根据原命题与逆否命题是等价的，则真假性一致，从而可判定选项的真假．【解答】：解：逻辑学认为命题与逆否命题是等价的，也就是命题真，则逆否命题也真．“命题A成立可推出命题B不成立”的逆否命题为“命题B成立可推出命题A不成立”∴命题B成立可推出命题A不成立一定正确故选：C．【点评】：本题主要考查了四种命题的真假关系，解题的关键是原命题与逆否命题是等价的，属于基础题．14.（单选题，0分）已知a、b、c∈R，则下列四个命题正确的个数是（）① 若ac2＞bc2，则a＞b；② 若|a-2|＞|b-2|，则（a-2）2＞（b-2）2；③ 若a＞b＞c＞0，则1a ＜1b＜1c；④ 若a＞0，b＞0，a+b＞4，ab＞4，则a＞2，b＞2．A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：利用不等式的基本性质判断命题的真假即可．【解答】：解：① 若ac2＞bc2，可知c2＞0，则a＞b；所以① 正确；② 若|a-2|＞|b-2|，则（a-2）2＞（b-2）2；满足不等式的基本性质，所以② 正确；③ 若a＞b＞c＞0，则1a ＜1b＜1c；满足不等式的基本性质，所以③ 正确；④ 若a＞0，b＞0，a+b＞4，ab＞4，则a＞2，b＞2．反例a=10，b=0.5，满足条件，推不出结论，所以④ 不正确；故选：C．【点评】：本题考查命题的真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，是基础题．15.（单选题，0分）定义A-B={x|x∈A且x∉B}，设A、B、C是某集合的三个子集，且满足（A-B）∪（B-A）⊆C，则A⊆（C-B）∪（B-C）是A∩B∩C=∅的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件【正确答案】：A【解析】：作出示意图，由于（A-B）∪（B-A）⊆C，可知两个阴影部分均为∅，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可．【解答】：解：如图由于（A-B）∪（B-A）⊆C，可知两个阴影部分均为∅，于是A=Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ，B=Ⅲ∪Ⅳ∪Ⅴ，C=Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅲ∪Ⅴ，（1）若A∩B∩C=∅，则Ⅴ=∅，所以A=Ⅰ∪Ⅳ，而（C-B）∪（B-C）=Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ，所以A⊆（C-B）∪（B-C）成立，（2）反之，若A⊆（C-B）∪（B-C），则由于（C-B）∪（B-C）=Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ，A=Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ，所以（Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ）⊆（Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ），所以Ⅴ=∅，所以A∩B∩C=∅，故A⊆（C-B）∪（B-C）是A∩B∩C=∅的充要条件，故选：A．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．16.（单选题，0分）使得5x+12 √xy≤a（x+y）对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为（）A.8B.9C.10D.前三个答案都不对【正确答案】：B【解析】：由已知分离参数可得，a ≥5x+12√xyx+y = 5x+12√xyx+y=5+12√yx1+yx，换元t= √yx，（t＞0），然后导数与单调性关系及恒成立与最值的相互转化可求．【解答】：解：∵5x+12 √xy≤a（x+y）对所有正实数x，y都成立，∴a ≥5x+12√xyx+y = 5x+12√xyx+y=5+12√yx1+yx，令t= √yx，（t＞0），a≥ 5+12t1+t2，令f（t）= 5+12t1+t2，t＞0，则f′(t)=−2(6t 2+5t−6)(1+t2)2 =- 2(2t+3)(3t−2)(1+t2)2，易得f（t）在（23，+∞）上单调递减，（0，23）上单调递增，故f（t）＜f（23）=9，∴a≥9即最小值为9故选：B．【点评】：本题主要考查了不等式恒成立与最值的相互转化关系的转化，还考查了利用导数研究函数的最值，体现了转化思想的应用．17.（问答题，0分）已知关于x的不等式：a(x−1)x−2＞1（a∈R）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）当a＜1时，求此不等式的解集．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，当a=1时，不等式即x−1x−2＞1，变形可得1x−2＞0，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，原不等式变形可以转化为（x- a−2a−1）（x-2）＜0，对a的值分3种情况进行讨论，求出不等式的解集，即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意，当a=1时，不等式即x−1x−2＞1，变形可得1x−2＞0，解可得x＞2，即该不等式的解集为（2，+∞）；（2）根据题意，不等式：a(x−1)x−2＞1即(a−1)x−(a−2)x−2＞0，则有[（a-1）x-（a-2）]（x-2）＞0，又由a＜1，不等式可以变形为（x- a−2a−1）（x-2）＜0分3种情况讨论：① ，a＜0时，不等式的解集为（a−2a−1，2）；② ，当a=0时，不等式为0＞1，解集为空集；③ ，当0＜a＜1时，不等式的解集为（2，a−2a−1）．【点评】：本题考查分时不等式的解法，注意将分式不等式转化为整式不等式，属于基础题．18.（问答题，0分）已知集合A={x||3x-1|≤x，x∈R}，集合B={x| x1−2x≥1，x∈R}．（1）用区间表示集合A与集合B；（2）若定义集合A为全集，求集合B在集合A中的补集B．【正确答案】：【解析】：（1）根据不等式的解法分别求出集合A和B，再用区间表示即可；（2）利用补集的运算即可求解．【解答】：解：（1）解不等式|3x-1|≤x，可得8x2-6x+1≤0，解得14≤x≤ 12，∴集合A={x||3x-1|≤x，x∈R}={x| 14≤x≤ 12}，用区间表示为A=[ 14，12]．解不等式x1−2x ≥1，即3x−11−2x≥0，即3x−12x−1≤0，解得13≤x＜12，∴集合B={x| x1−2x ≥1，x∈R}={x| 13≤x＜12}．用区间表示为B=[ 13，12）．（2）集合A=[ 14，12]为全集，则集合B=[ 13，12）在集合A中的补集B =[ 14，13）∪{ 12}．【点评】：本题主要考查不等式的解法，集合的表示法和补集及其运算，属于中档题．19.（问答题，0分）命题甲：关于x的方程x2+x+m=0有两个相异负根；命题乙：不等式m2+pm＞4m+p-3对p∈[0，1]恒成立．（1）若这两个命题至少有一个成立，求实数m的取值范围；（2）若这两个命题有且仅有一个成立，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：分别求出甲，乙为真时的m 的范围；（1）取并集即可；（2）问题转化为甲假乙真或甲真乙假，得到关于m 的不等式组，解出即可．【解答】：解：命题甲：关于x 的方程x 2+x+m=0有两个相异负根；若命题甲为真命题时，只需 {x 1•x 2=m ＞0x 1+x 2=−1＜0△=1−4m ＞0，解得：0＜m ＜ 14 ；命题乙：不等式m 2+pm ＞4m+p-3对p∈[0，1]恒成立．若命题乙为真命题时，则p （1-m ）＜（m-1）（m-3）在p∈[0，1]恒成立，1-m ＞0即m ＜1时，p ＜3-m ，即m ＜（3-p ）min ，故m ＜2，从而m ＜1，m=1时，显然不成立，1-m ＜0即m ＞1时，p ＞3-m ，即m ＞（3-p ）max ，故m ＞3，故命题乙是真命题时，m ＜1或m ＞3；（1）若这两个命题至少有一个成立，则甲∪乙为m∈（-∞，1）∪（3，+∞）；（2）若这两个命题有且仅有一个成立，则甲假乙真或甲真乙假，故 {m ≥14或m ≤0m ＞3或m ＜1 或 {0＜m ＜141≤m ≤3 ， 故m∈（-∞，0]∪[ 14 ，1）∪（3，+∞）．【点评】：本题考查了二次函数的性质以及函数恒成立问题，考查复合命题的判断，是一道常规题．20.（问答题，0分）定义区间（m ，n ）、[m ，n]、（m ，n]、[m ，n ）的长度均为n-m ，其中n ＞m ．（1）不等式组 {1≤71+x ≤7x 2+3tx −4＜0解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t 的范围； （2）已知实数a ＞b ，求满足不等式 1x−a + 1x−b ≥1的解集的各区间长度之和．【正确答案】：【解析】：（1）先求得不等式1≤ 71+x ≤7的解集，然后根据题设得到：不等式x 2+3tx-4＜0在x∈（0，6）恒成立，再求出t 的取值范围即可；（2）先对x 分成 ① 当x ＞a 或x ＜b 时， ② 当b ＜x ＜a 两类，然后构造函数f （x ）=x 2-（a+b+2）x+（a+b+ab ），结合其图象分别求出原不等式的解集，最后求出原不等式的解集的各区间长度之和即可．【解答】：解：（1）由1≤ 71+x ≤7可得： {x +1＞0x +1≤7≤7(x +1) 或 {x +1＜0x +1≥7≥7(x +1) ，解得：0≤x≤6，∵不等式组 {1≤71+x ≤7x 2+3tx −4＜0解集构成的各区间的长度和等于6， ∴不等式x 2+3tx-4＜0在x∈（0，6）恒成立，令g （x ）=x 2+3tx-4，x∈（0，6），则 {g (0)=−4≤0g (6)=36+18t −4≤0，解得：t≤- 169 ， ∴实数t 的范围为（-∞，- 169 ]；（2） ① 当x ＞a 或x ＜b 时，原不等式等价于x-b+x-a≥（x-a ）（x-b ），整理得：x 2-（a+b+2）x+（a+b+ab ）≤0，令f （x ）=x 2-（a+b+2）x+（a+b+ab ），∵f （a ）=b-a ＜0，f （b ）=a-b ＞0，设f （x ）=0的两根为x 1，x 2（x 1＜x 2），∴结合f （x ）的图象，易知此时原不等式的解集为（a ，x 2]，解集的区间长度为x 2-a ； ② 当b ＜x ＜a 时，同理可得原不等式的解集为（b ，x 1]，此时解集的区间长度为x 1-b ． 综合 ① ② 知：原不等式的解集的区间长度之和为x 2+x 1-a-b ，又由韦达定理可知：x 1+x 2=a+b+2，∴原不等式的解集的区间长度之和为2．【点评】：本题主要考查不等式、不等式组的解法、不等式的解集的区间长度之和的计算、韦达定理的应用及不等式恒成立涉及的参数的范围的求法，综合性比较强，属于难题．21.（问答题，0分）记有理数集Q 的非空子集S 具有以下性质： ① 0∉S ； ② 若s 1∈S ，s 2∈S ，则 s1s 2 ∈S ； ③ 存在非零有理数q ，q∉S 且每一个不在S 中的非零有理数都可写成qs 的形式，其中s∈S ．（1）若s∈S，t∈S，求证：st∈S；（2）若u是非零有理数，且u∉S，求证：u2∈S；（3）求证：x∈S，则存在y、z∈S，使x=y+z．【正确答案】：【解析】：（1）分别s∈S，令s1=s2，令s1=1，s2=s，若t∈S，令s1=t，s2= 1s，证明即可；（2）由题意可得于是u2=q2s2，利用反证法，假设q2∉S，即可证明；（3）假设x∈S，则由（35）2，（45）2，为平方数可知，即可证明．【解答】：证明：（1）若s∈S，令s1=s2，则s1s2=1∈S，令s1=1，s2=s，则1s∈S，若t∈S，令s1=t，s2= 1s ，则s1s2= t1s=st∈S；（2）u∉S，则存在q1∉S且q1≠0使得u=qs，其中s∈S，于是u2=q2s2，假设q2∉S，则可设q2=qt，t∈S，则q=t∈S，矛盾，所以q2∈S，由q2∈S，s2∈S，可得u2=q2s2∈S．（3）假设x∈S，则由（35）2，（45）2，为平方数可知，x（35）2∈S，x（45）2∈S，但x=x（35）2+x（45）2，故x=y+z．【点评】：本题考查了推理论证能力，考查了综合法反证法，属于中档题．。