上海市上海中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题 答案和解析
上海市2020-2021年高一下学期数学期末考试卷
高一下期末考试卷一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分） 1．方程组{2x +y −1=03x −2y =0对应的增广矩阵为 ．2．若在行列式|3a 50−41−213|中，元素a 的代数余子式的值是 ．3．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝ ． 4．函数f （x ）＝2cos （x +π3）﹣1的对称轴为 ，最小值为 ． 5．方程3sin x ＝1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为 ． 6．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为 ．7．用数学归纳法证明（n +1）（n +2）…（n +n ）＝2n •1•3…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从“n ＝k ”到“n ＝k +1”的证明，左边需增添的代数式是 ． 8．若无穷等比数列{a n }的各项和等于a 12，则a 1的取值范围是 ．9．已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝2a n +1+3•2n +1，数列{an2n }的前n 项和为 ．10．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n ＝2011，则n ＝ ．11．对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n +1，记数列{a n ﹣kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n （n ∈N *）恒成立，则实数k 的取值范围为 ．12．数列{a n }满足a n +1+（﹣1）n a n ＝2n ﹣1，则{a n }的前60项和为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．将函数y ＝sin （x −π3）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．y=sin12x B．y=sin(12x−π2)C．y=sin(12x−π6)D．y=sin(2x−π6)14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏15．若S n＝sinπ7+sin2π7+⋯+sin nπ7（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．10016．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，a99−1a100−1＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．已知：f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期（2）若f（x）在[−π6，π4]上最大值与最小值之和为3，求a的值．18．如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？19．已知集合C＝{（x，y）|xy﹣3x+y+1＝0}，数列{a n}的首项a1＝3，且当n≥2时，点（a n﹣1，a n）∈C，数列{b n}满足b n=11−a n．（1）试判断数列{b n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若limn→∞(sa n+tb n)=1（s，t∈R），求s t的值．20．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列{√b n}是等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅰ）设S n=1a1+1a2+⋯+1a n，如果对任意正整数n，不等式2aS n＜2−b na n恒成立，求实数a的取值范围．21．定义：如果数列{a n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n}为三角形”数列对于“三角形”数列{a n}，如果函数y＝f（x）使得b n＝f（a n）仍为一个三角形”数列，则称y＝f（x）是数列{a n}的“保三角形函数，”（n∈N*）（1）已知{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（k）＝k2，（k＞1）是数列{a n}的保三角形函数”，求k的取值范围；（2）已知数列{c n}的首项为2019，S n是数列{c n}的前n项和，且满足4S n﹣3S n ﹣1＝8076，证明{c n}是“三角形”数列（3）求证：函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55．一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分）1．[2113−20]．2．2．3．15√344．x=kπ−π3(k∈Z)；﹣3．5．π6或5π6．6．[−π3，π4]．7．2（2k+1）．8．(12，1)∪(1，+∞)．9．3n2﹣2n．10．102811．73≤k≤125．12．∵a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a9+a11＝2，a12+a10＝40，a13+a11＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+15×142×16）＝1830二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．C14．B15．C16．B三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）=√3sin2x+cos2x+1+a＝2sin（2x+π6）+1+a，（1）∴f（x）的最小正周期T=2πω=2π2=π；（2）∵x∈[−π6，π4]，∴2x+π6∈[−π6，2π3]；当2x+π6=−π6时，即x=−π6，f（x）取得最小值为2sin（−π6）+1+a＝a当2x+π6=π2时，即x=π6，f（x）取得最大值为2sin（π2）+1+a＝a+3∵最大值与最小值之和为3，∴a+3＝3，∴a＝0故a的值为0．18．在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，∴A＝15°，由正弦定理知：BCsinA =ACsinB，∴30sin15°=ACsin30°，∴AC=30sin30°sin15°=60cos15°=15√6+15√2，…（6分）∴A到B B C所在直线的距离为AC⋅sin45°=(15√6+15√2)⋅√22=15(√3+ 1)≈40.98＞38（海里），∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．…19．（1）∵当n≥2时，点（a n﹣1，a n）恒在曲线C上，∴a n﹣1a n﹣3a n﹣1+a n+1＝0 （1分）由b n=11−a n得当n≥2时，b n﹣b n﹣1=11−a n −11−a n−1=a n−a n−11−a n−a n−1+a n a n−1=a n−a n−1−2a n+2a n−1=−12∴数列{b n }是公差为−12的等差数列． （2）∵a 1＝3，∴b 1=11−a 1=−12，∴b n =−12+（n ﹣1）•（−12）=−12n ，（6分） ∴−12n =11−a n，则a n ＝1+2n∴s a n+tb n=−s 2n+t−(1+2n)−12n(1+2n)=−sn 22+tn+2t −12n 2−n ，由lim n→∞(sa n+t b n)=1（s ，t ∈R ），可得s ＝1，s t ＝1．20．（Ⅰ）由已知，得2b n ＝a n +a n +1①，a n +12＝b n •b n +1②．由②得a n+1=√b n b n+1③．将③代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2b n =√b n−1b n +√b n b n+1． 即2√n =√b n−1+√b n+1． ∴{√b n }是等差数列．（Ⅰ）设数列{√b n }的公差为d ， 由a 1＝10，a 2＝15．经计算，得b 1=252，b 2=18．∴√b 1=52√2，d =√b 2−√b 1=3√2−52√2=√22． ∴√b n =52√2+(n −1)⋅√22=√22(n +4)．∴b n =(n+4)22，a n =(n+3)(n+4)2．（9分） （Ⅰ）由（1）得1a n =2(n+3)(n+4)=2(1n+3−1n+4)．∴S n =2[(14−15)+(15−16)++(1n+3−1n+4)]=2(14−1n+4)．不等式2aS n ＜2−b n a n化为4a(14−1n+4)＜2−n+4n+3．即（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8＜0．设f （n ）＝（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8，则f （n ）＜0对任意正整数n 恒成立． 当a ﹣1＞0，即a ＞1时，不满足条件；当a ﹣1＝0，即a ＝1时，满足条件；当a ﹣1＜0，即a ＜1时，f （n ）的对称轴为x =−3(a−2)2(a−1)＜0，f （n ）关于n 递减，因此，只需f （1）＝4a ﹣15＜0．解得a ＜154，∴a ＜1． 综上，a ≤1．21．（1）显然a n ＝n +1，a n +a n +1＞a n +2对任意正整数都成立，即{a n }是三角形数列．（2分）因为k ＞1，显然有f （a n ）＜f （a n +1）＜f （a n +2）， 由f （a n ）+f （a n +1）＞f （a n +2）得k n +k n +1＞k n +2，解得k ＜1+√52．所以当k ∈（1，1+√52）时，f （x ）＝k x 是数列{a n }的“保三角形函数”．（2）由4S n +1﹣3S n ＝8076，①当n ≥2时，4S n ﹣3S n ﹣1＝8076，②，①﹣②得4c n +1﹣3c n ＝0，则 所以c n+1c n=34当n ＝1时，即4（a 1+a 2）﹣3a 1＝8076，解得：a 2=60574，所以a 2a 1=34所以数列{c n }是以2019为首项，以34为公比的等比数列， 所以，c n ＝2019（34）n ﹣1，（7分）显然c n ＞c n +1＞c n +2，因为c n +1+c n +2＝2019 （34）n +2019（34）n +1=2116•2019（ 34）n ﹣1＞c n ，所以{c n }是“三角形”数列．（3）证明：函数h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是数列1，1+d ，1+2d （d ＞0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d ，1+2d （d ＞0）是三角形数列，所以1+1+d ＞1+2d ，即0＜d ＜1． ②数列中的各项必须在定义域内，即1+2d ≤A ． ③h （1），h （1+d ），h （1+2d ）是三角形数列．由于h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是单调递减函数，所以h （1+d ）+h （1+2d ）＞h （1），解得0＜d ＜√55．所以函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三．角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55。
上海市高一下学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知、，且，（其中为虚数单位），则____________． 1z 2C z ∈12i z =+234z i =-i 12z z -=【答案】##15i -+5i 1-【分析】利用复数的减法化简可得结果. 【详解】. 122i 34i 15i z z -=+-+=-+故答案为：.15i -+2．已知，,且、的夹角为，则______． 2= a 3b = a bπ3a b -=【分析】根据求出，根据即可求出.cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ a b ⋅a ab - 【详解】因为，，且、的夹角为，2= a 3b = a bπ3∴，1cos ,2332a b a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=∴. a ==. 3．已知复数满足（其中为虚数单位），则=___________． z 13i2i z+=i z【分析】根据复数的除法法则及复数的摸公式即可求解.【详解】由，得， 13i2i z+=()()()i i 2i 213i 13i 3i 1222i 3i z ⨯-⨯-++-====-=4．在中，，则_______ABC A 60,6,5B AB BC ∠=== AB BC ⋅=【答案】15-【分析】利用平面向量的数量积的运算即可得到答案. 【详解】因为，60,6,5B AB BC ∠=== 所以.()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故答案为：.15-5．正方体中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则直线MN 与D 1C 的位置关系1111ABCD A B C D -是______. 【答案】异面【分析】由异面直线的定义即可判断.【详解】正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点， ∵平面，平面DCC 1D 1，， MN 11DCC D N =1D C ⊂1N D C ∉∴直线MN 与D 1C 的位置关系是异面．故答案为：异面．6．已知关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，则实数的取值为x 2220x kx k k ++-=k ______.【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合根与系数关系、复数与其共轭复数乘积的关系，可以求出实数的取值为k 【详解】因为关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以方程x 2220x kx k k ++-=的判别式小于零，即，2220x kx k k ++-=22(2)4()00k k k k --<⇒<关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以两根是互为共轭的虚x 2220x kx k k ++-=根，设为，而由题意可知：，由根与系数的关系可得：，而，,z z 1z z ==2z z k k ⋅=-1z z z ⋅==因此有210z z k k k k k ⋅=-=⇒=<∴=【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚根的条件，考查了实系数一元二次方程有虚根的性质，考查了互为共轭的两个复数乘积的性质，考查了数学运算能力.7．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角1111ABCD A B C D -4AB BC ==12AA =1BC 11BB D D 的正弦值为__________.【分析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得1C 111C H B D ⊥H 1C H⊥11BB D D 1C BH ∠结果.【详解】依题意，画出图形，如图，过作，垂足为， 1C 111C H B D ⊥H 可知点H 为中点，4,AB BC ==由平面，1BB ⊥11A C 可得，又 11C H BB ⊥1111D B BB B ⋂=所以平面， 1C H ⊥11BB D D 则即为所求角， 1C BH ∠因为，， 4AB BC ==12AA=所以，111sin CH C BH BC ∠===8．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB ＝4，，以斜边AB 为一边向外作矩形,63ABC ππ∠⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABMN ，且BM ＝2（其中点M 、N 与C 在直线AB 两侧），则的取值范围是________．CM CN ⋅【答案】4,12]【分析】设，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角坐标,63ABC ππθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭C CB CA x y 系，把表示为关于的三角函数可解决此题．CM CN ⋅θ【详解】解：设，，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角(6ABC πθ∠=∈3πC CB CA x y 坐标系，如图所示：则，，，(4cos 2sin ,2cos )M θθθ+(2sin ,4sin 2cos )N θθθ+(0,0)C∴()()4cos 2sin 2sin 2cos 4sin 2cos CM CN θθθθθθ⋅=+⋅++． 228sin cos 4sin 8sin cos 4cos 8sin 24θθθθθθθ=+++=+，，，，， (6πθ∈ )3π2(3πθ∴∈2)3πsin 2θ∴∈⎤⎥⎦． 8sin 24θ∴+∈(4,12⎤⎦故答案为：．(4,12⎤+⎦【点睛】本题考查平面向量的数量积的取值范围问题，对于较为复杂的一些问题，建立坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积的取值范围是行之有效的方法．二、单选题9．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，ABCD E F AB BC AB a =AD b =则等于（ ）EFA ．B ．C ．D ．()12a b + ()12a b - ()12b a - 12a b + 【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】连结，则为的中位线，AC AC ABC A ，∴111222EF AC a b ==+故选：A10．设复数z =a +b i(a ，b ∈R )，若与互为共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于i a -2i b +（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据共轭复数的概念求出即可判断.,a b 【详解】因为与互为共轭复数，所以， i a -2i b +2,1a b ==则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. ()2,1故选：A.11．以下数都在复数范围内（1）如果，则，； i 12i a b +=-1a =2b =-（2）1z +（3）；()()221212z z zz ⋅=⋅（4）若，则. ()()22120z z z z -+-=12z z z ==其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用复数的运算性质逐项分析即可 【详解】（1）错误,因为可以是复数,a b （2）错误,设,其中.111222i,i z x y z x y =+=+1212,,,R x x y y ∈()()()()22221212121212i .z z x x y y x x y y +=+++=+++()()()()()()()222212121212121212i 2i z z x x y y x x y y x x y y ⎡⎤+=+++=+-++++⎣⎦显然,从而()221212z z z z +≠+12z z +≠（3）正确,()()()2222221212121212z z z z z z z z z z ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅（4）错误,,则与互为相反数,复数范围内允许为负数,如()()22120z z z z -+-=()21z z -()22z z - 12i,0,1i z z z ===+故选：B12．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂 足为点H ．则以下命题中，错误的命题是A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45° 【答案】D【详解】因为三棱锥A －A 1BD 是正三棱锥，故顶点A 在底面的射影是底面的中心，A 正确；平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，而AH 垂直于平面A 1BD ，所以AH 垂直于平面CB 1D 1，B 正确；根据对称性知C 正确，故选D.三、解答题13．已知.(1,0),(2,1)a b ==(1)若,且、、三点共线,求的值. 2,AB a b BC a mb =-=+A B C m (2)当实数为何值时,与垂直? k ka b - 2a b +【答案】(1)12-(2) 125【分析】（1）根据题意，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；A B C ABBC m （2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，， ()()0,1,12,AB BC m m =-=+且、、三点共线，则可得，A B C AB BC λ=即，解得()0121m mλλ⎧=+⎨-=⎩12m =-（2）由题意可得，， ()()2,1,25,2ka b k a b -=--+=因为与垂直，则可得ka b - 2a b +()()52210k -+⨯-=解得 125k =14．已知复数． ()121i,z m m m R =-++∈(1)求||的最小值；1z (2)若复数为纯虚数，复数满足，，求． 1z 2z 24=z12||5z z +=12z z 【答案】(2)3i 4±【分析】（1）由复数模的公式，求得1z ==质，即可求解；（2）根据复数的分类，列出方程组求得，设，结合题意，得到13i z =2z a bi =+()123iz z a b +=++，列出方程组，求得的值，即可求解.,a b 【详解】（1）解：由复数，()121i,z m m m R =-++∈可得1z==≥=故当时，的最小值为 12m =1z （2）解：因复数是纯虚数，所以，解得，故()121i z m m =-++2010m m -=⎧⎨+≠⎩2m =13i z =设，则，2i,,)(z a b a b R =+∈()123i z z a b +=++由题意得，解之得或，所以或， ()222216325a b a b ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩40a b =⎧⎨=⎩40a b =-⎧⎨=⎩24z =24z =-所以. 123i 4z z =±15．如图，已知在长方体中，，，点是的中点．1111ABCD A B C D -3DA DC ==15DD =E 1D C(1)求证：平面；1AD ∥EBD (2)求异面直线与所成角的余弦值． 1AD DE 【答案】(1)证明见解析； (2). 2534【分析】(1)如图，根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明； 1//OE AD (2)由(1)可知为异面直线与所成角的平面角，利用勾股定理分别求出DEO ∠1AD DE DO OE DE 、、的值，结合余弦定理计算即可.【详解】（1）连接AC ，交BD 于点O ，则O 为AC 的中点，又因为E 为的中点，连接，则， 1CD OE 1//OE AD ∵平面EBD ，平面EBD ，1AD ⊄OE ⊂平面EBD ；∴1AD ∥（2）由(1)知，，1//OE AD 所以为异面直线与所成角的平面角， DEO ∠1AD DE 在中，DEO A 11122DO DB OE AD ====， DE ==由余弦定理，得，22225cos 234DE OE OD DEO DE OE +-∠===⋅故异面直线与所成角的余弦值为. 1AD DE 2534。
2020-2021学年上海市上海中学高一下学期数学期末考试卷(含详解)
上海市上海中学2020-2021学年第二学期高一数学期末试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1.与()4,3a =-平行的单位向量的坐标为__________．2.在空间，与边长均为3cm 的ABC ∆的三个顶点距离均为1cm 的平面共有.3.若1i z =+，则1zzz =-__________．4.关于z 的实系数一元二次方程220z bz c ++=的一根为1+，则c =__________．5.设复数()i ,z a b a b R =+∈，1+zz是实数，则a ，b 满足条件___________．6.已知向量a ，b不共线，实数x ，y 满足()()2452x y a b a x y b -+=+- ，则x y +的值为__________．7.已知(0,2))z απ=∈，则z 的取值范围是__________．8.已知z C ∈，方程3i 13i z z z ⋅-=+的解为___________．9.已知直线a ，b 垂直，直线c 与a 所成的角为6π，则c 与b 所成角的范围是___________．10.平行六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=︒，且1AA ⊥底面ABCD ，则对角线1A C 与侧面11DCC D 所成角的正弦值为___________．11.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，125634AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小值与最大值的和______.12.空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，则该角度可能取值有__________种．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列说法正确的有（）（1）空间四边形的对角线一定不相交；（2）四个角都是直角的四边形一定是平面图形；（3）在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面．A.0B.1C.2D.314.四面体的四个面中，直角三角形最多可有（）A.1B.2C.3D.415.动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（）A.内心B.垂心C.重心D.外心16.在四面体ABCD 中，1AB BC CA ===，DA 与直线AB ，CA 均垂直，且D A ，一只蚂蚁从ABC 的中心沿表面爬至点D ，则其爬过的路程最小值为（） A.393B.15326+ C.433 D.373三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.在平面直角坐标系中，向量,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()sin ,cos n x x = ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．若m n ⊥，求tan x 的值．18.空间四边形ABCD 中，AB AC ≠，AE 是ABC 的边BC 上的高，DF 是BCD △的边BC 上的中线，求证：AE 和DF 是异面直线．19.在OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使得:1:5OM OA =，:1:4ON OB =，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA a = ，OB b = ，用a ，b表示向量OP ．20.如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 是线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A F CD ⊥，如图2．（1）证明：1A F BE ⊥；（2）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？若存在，求出11A QA B的值；若不存在，说明理由．21.设复平面中向量OP对应的复数为P z ，给定某个非零实数z ，称向量()()()()Re ,Im P P z OP z z z z =⋅⋅ 为OP的z -向量．（1）已知()11,OA x y = ，()22,OB x y =，求()()z OA z OB ⋅ ；（2）对于复平面中不共线的三点A ，B ，C ，设()'OA z OA = ，()'OB z OB =，()'OC z OC =，求''':A B C ABCS S △△；（3）设()(),,0v x y x y => ，()i 1,0= ，()0,1j = 的z 向量分别为'OV ，OE ，OF ，已知()',OV u v = ，1'OV E S S =△，2'OV F S S =△，求v的坐标（结果用1S ，2S ，z 表示）．上海市上海中学2020-2021学年第二学期高一数学期末试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1.与()4,3a =-平行的单位向量的坐标为__________．【答案】4343,,5555⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【解析】【分析】根据单位向量的求法，即可得答案.【详解】由题意得：与a 平行的单位向量为()4,343,555aa -⎛⎫±=±=±- ⎪⎝⎭.故答案为：4343,,5555⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，2.在空间，与边长均为3cm 的ABC ∆的三个顶点距离均为1cm 的平面共有.【答案】8【解析】【分析】分别从平面在三角形的同侧和异侧确定平面的位置.与个数【详解】若三角形在平面的同侧,此时到ABC 的三个顶点距离均为1cm 的平面的平面有两个.因为正三角形的边长为3,所以三角形的高为22>,所以当平面经过中位线EF 时,根据线面平行的性质可知,此时有两个平面到ABC 的三个顶点距离均为1cm .同理过两外两个边的中位线的平面也各有2个.所以满足条件的平面共有8个.故答案为8.【点睛】本题主要考查线面平行的性质以及平面之间的距离问题，考查了空间想象能力，属于中档题.3.若1i z =+，则1zzz =-__________．【答案】1i -【解析】【分析】根据复数的运算法则计算．【详解】由已知1i 1i1i (1i)(1i)1211z zz --===-+----．故答案为：1i -．4.关于z 的实系数一元二次方程220z bz c ++=的一根为1+，则c =__________．【答案】8【解析】【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对定理，得220z bz c ++=的另一根为1，再由韦达定理可得(1)(1)2=c，即可求出c 的值.【详解】由题意得实系数一元二次方程220z bz c ++=的另一根为1-，再由韦达定理可得(1)(1)2+-=c，得8c =.故答案为：85.设复数()i ,z a b a b R =+∈，1+zz是实数，则a ，b 满足条件___________．【答案】0b =且1a ≠-【解析】【分析】化简1+z z ，再由1+z z是实数，虚部为0，分母不为0化简，即可得答案.【详解】由题意，1+z z 是实数，即2222(1))(1(1)(1)(1)+-+++==++++++-+++a bi a a b bia bi a bi a bi a a i a bib b 为实数，可得0b =且22(1)0++≠a b ，即0b =且1a ≠-.故答案为：0b =且1a ≠-.6.已知向量a ，b不共线，实数x ，y 满足()()2452x y a b a x y b -+=+- ，则x y +的值为__________．【答案】1【解析】【分析】根据题意，列出方程组，求得x ，y ，即可得答案.【详解】因为()()2452x y a b a x y b -+=+- ，且向量a ，b不共线，所以2542x y x y-=⎧⎨=-⎩，解得2,1x y ==-，所以1x y +=.故答案为：17.已知(0,2))zαπ=∈，则z的取值范围是__________．【答案】2 2⎣【解析】【分析】根据复数模的性质求出模，然后结合三角函数性质得取值范围．【详解】由题意z=====，20sin1α≤≤，233321sinα≤≤+，所以22z≤≤．故答案为：2⎣．8.已知z C∈，方程3i13iz z z⋅-=+的解为___________．【答案】1z=-或13iz=-+【解析】【分析】两边取共轭复数后可得方程组，得到2z z+=-，再将2z z=--代入方程得到关于复数z的方程，因式分解从而求得复数z.【详解】两边取共轭复数后可得方程组：3i13i3i13izz zzz z-=+⎧⎨+=-⎩①②，②-①得2z z+=-，把2z z=--代入②得：2(23i)(13i)0z z+-+-=，即(1)(13i)0z z++-=，∴1z=-或13iz=-+.故答案为：1z=-或13iz=-+.9.已知直线a，b垂直，直线c与a所成的角为6π，则c与b所成角的范围是___________．【答案】,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】考虑到直线c与a所成的角为6π，把,,a b c平移到一个圆锥上，a为圆锥PO的轴所在直线，b 为一个轴截面的底边AB 所在直线，c 为圆锥的母线所在直线，由母线PC 到底面直径AB 所成角可得结论．【详解】不妨平移,,a b c 为：a 为圆锥PO 的轴所在直线，b 为一个轴截面的底边AB 所在直线，c 为圆锥的母线所在直线，如图，对于任意一条母线PC ，当C 是半圆弧 AB 中点时，PC 与AB 所成角为2π，当C 不是半圆弧 AB 中点时，作//CD AB 交底面圆于D ，PC 与AB 所成角为PCD ∠（此角为锐角），cos PCD ∠12CDPC=，而0CD AB<≤，所以0cos OA PCD PA <∠≤，即2PAO PCD π∠≤∠<，3PAO π∠=，所以32PCD ππ≤∠<，综上32PCD ππ≤∠≤，故答案为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10.平行六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=︒，且1AA ⊥底面ABCD ，则对角线1A C 与侧面11DCC D 所成角的正弦值为___________．【答案】4【解析】【分析】在平面1111D C B A 中，过点1A 做111A E C D ⊥，交11C D 的延长线于E ，根据线面垂直的判定定理，可证1A E ⊥平面11CDD C ，所以1A CE ∠即为所求，分别求得各个边的长度，根据三角函数的定义，即可得答案.【详解】延长11C D ，在平面1111D C B A 中，过点1A 做111A E C D ⊥，交11C D 的延长线于E ，连接1A C 、CE ，如图所示因为1AA ⊥底面ABCD ，则1AA ⊥平面1111D C B A ，又1A E ⊂平面1111D C B A ，所以11AA A E ⊥，因为11AA DD ∕∕，所以11A E DD ⊥，所以1A E ⊥平面11CDD C ，所以1A CE ∠即为直线1A C 与侧面11DCC D 所成角，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，所以23AC =在1Rt A AC △中，2114AC A A AC =+=，在11Rt A D E △中，12sin 603A E =︒=，所以在1Rt A CE 中，1113sin 4A E A CE A C ∠==.所以对角线1A C 与侧面11DCC D 所成角的正弦值为34.故答案为：3411.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，125634AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小值与最大值的和______.【答案】5【解析】【分析】由题意可得AB AD AC += ，BD AD AB =- ，0AB AD =，化简123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++，由于(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍±1，由完全平方数的最值，可得最值．【详解】解：正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC += ，BD AD AB =- ，则0AB AD =，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++- 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++=，由于(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍±1，可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=，可取561λλ==，131λλ==，21λ=-，41λ=，可得所求最小值为0；由1356λλλλ-+-，2456λλλλ-++的最大值为4，可取21λ=，41λ=-，561λλ==，11λ=，31λ=-，可得所求最大值为所以最小值与最大值的和为故答案为：【点睛】本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力．12.空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，则该角度可能取值有__________种．【答案】2【解析】【分析】根据空间中，直线的位置关系，分析即可得答案.【详解】空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，只有2种情况：正四面体模型，各个夹角为60︒，且满足异面，甲烷模型，各个夹角为10928'︒，且满足异面，故答案为：2二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列说法正确的有（）（1）空间四边形的对角线一定不相交；（2）四个角都是直角的四边形一定是平面图形；（3）在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面．A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据平面的基本性质判断（1）（3），（2）结合线面垂直的判定定理和性质定理判断．【详解】（1）空间四边形的对角线一定不相交，否则变成平面四边形，正确；（2）如图四边形ABCD 的四个角都是直角，若ABCD 不是平面四边形，则,AB CD 不共面，显然不平行，过C 作//CE AB ，任取一点E ，连接DE ，则AD CE ⊥，又AD CD ⊥，而CD CE C = ，,CD CE ⊂平面CDE ，所以AD ⊥平面CDE ，同理BC ⊥平面CDE ，所以//AD BC ，即,AD BC 共面，则ABCD 是平面四边形，矛盾．所以假设不成立，ABCD 是平面四边形，正确．（3）平行四边形的四个顶点中无三点共线，但它们共面，错误．正确的命题有2个．故选：C ．14.四面体的四个面中，直角三角形最多可有（）A.1 B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】结合正方体可得正确的选项.【详解】如图在正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1A ABC -的四个侧面都是直角三角形，故选：D .【点睛】根据题意,可将此四棱锥放到正方体中,即取正方体的一个上顶点,四个下顶点,然后结合正方体的特征,利用线面垂直的判定与性质进行分析即可得到侧面直角三角形的个数,这是立体几何中常用到的方法,即补体法,把问题转化到熟知的几何体中处理即可.属于基础题15.动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（）A.内心B.垂心C.重心D.外心【答案】C 【解析】【分析】取AB 中点D ，做出简图，由2OA OB OD +=化简得2(1)1233OP OD OC λλ-+=+ ，根据2(1)12133λλ-++=得P 、C 、D 三点共线，所以点P 一定会通过ABC 重心.【详解】取AB 中点D ，做出示意图如下图所示：由图可知2OA OB OD +=，故12(1)12(1)(1)(12)333OP OA OB OC OD OC λλλλλ-+⎡⎤=-+-++=+⎣⎦ ，因为2(1)12133λλ-++=，所以P 、C 、D 三点共线，即点P 在AB 的中线CD 所在直线上，所以点P 一定会过ABC 的重心。
上海市高一数学下学期期末考试试题(含解析)22
当 时，若后添入的数 ，则一定不适合题意，从而 必是数列 中的某一项 ，
则
.
整理得 ，等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以无解。
综上：符合题意的正整数 .
【点睛】本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，考察了函数单调性的证明，属于中档题．
的值域为A， .
(1)当 的为偶函数时，求 的值；
（3）因为 ， ， ，检验知 ，3，4不合题意， 适合题意．当 时，若后添入的数 则一定不适合题意，从而 必定是数列 中的某一项，设 则 误解，即有 都不合题意．故满足题意的正整数只有 ．
【详解】解（1）因为 ，所以 ，
解得 或 （舍），则
又 ，所以
（2）由 ，得 ，
所以 ， ， ，
则由 ，得
而当 时， ，由 （常数）知此时数列 为等差数列
【详解】当 时，左边为 ，故选C.
【点睛】本小题主要考查数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题.
的图象分别向左平移m(m>0)个单位，向右平移n(n>0>个单位，所得到的两个图象都与函数 的图象重合 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数 的图象分别向左平移 个单位，向右平移 个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数 的图象重合，可分别得最新 ， 的方程，解之即可．
（3）由条件得 ，再由 ， ，可得 ．由 的图象最新点 ， 对称求得 ，可得 ．再由 的图象最新直线 成轴对称，所以 ，可得 ， ，由此求得 满足的条件．
【详解】解：（1）因为函数 为偶函数，所以 ，
得 对 恒成立，即 ，
所以 .
（2）
高一下学期期末考试数学试卷含答案(上海市)
高一数学下学期期末考试试卷（沪教版2020）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 考试范围：必修二一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x =______．2．化简：()()cos cot 2sin tan 22παπαππαα-+⋅=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 3．已知一扇形的弧所对的圆心角为60，半径20r cm =，则扇形的周长为_________cm ．4．若()()21z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），m R ∈，则z =__________． 5．已知向量(),1a x =，()2,3b =-，若//a b ，则实数x 的值是______． 6．计算2021i =______．（i 为虚数单位)7．已知[]0,x π∈，向量()sin ,1a x =，()2,cos b x =，当a b ⋅取到最大值时，x 的值是______． 8．在△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状是______三角形． 9．已知tan 4,α=则sin 2cos sin 3cos αααα+=-_____________．10．已知a 、b 满足4a =，b 在a 方向上的数量投影为2-，则3a b -的最小值为______．11．如图，O 是线段AB 外一点，3OA =，2OB =，P 是线段AB 的垂直平分线l 上的动点，则OP AB ⋅的值为______．12．已知函数()4sin(2)6f x x π=-，[0x ∈，13]3π，若()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，且123n x x x x <<<⋯<，则1231222n n x x x x x -+++⋯++=___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．在中，若20AB BC AB ⋅+=，则的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形14．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且．若ES AP BQ λ-=（λ∈R ），则λ＝（ ）A 51+ B 51- C ．51+D 15-15．13i -的三角形式是（ ） A ．ππ2cos isin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．7π7π2cos isin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 16．设1z ､2z 为复数，则22120z z +=是120z z ==的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．已知复数z 满足4z +为纯虚数，且2iz -为实数；若复数()2i z m +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.18．若在复数范围内，关于x 的方程2220x ax a a -+-=至少有一个模为2的根，求实数a 的值.19．如图，平行四边形ABCD 中，23BM BC =.（1）若34AN AB =，E 为AM 中点，求证：点D ，E ，N 共线； （2）若60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，求AM 的最小值，及此时AD 的值.20．已知向量()1,2a =，()1,0b =-； （1）求a ，b 的夹角,a b ；（2）若()()32a b ka b -⊥+，求实数k 的值.21．已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，定义非零向量(),a M b O =的“相伴函数”为()sin cos y a x b x x R =+∈，向量(),a M b O =称为函数sin cos y a x b x =+的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .（1）已知α∈R ，()()cos 2cos h x x x α=++，若函数()y h x =为集合S 中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；（2）已知点(),M a b 满足条件：3a =，0b <≤OM 的“相伴函数”()y f x =在0x x =处取得最大值，当b 在区间(变化时，求0tan 2x 的取值范围.高一数学下学期期末（沪教版）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：4． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．5． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．6． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 考试范围：必修二二、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x =______．【答案】2sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据函数的最值、最小正周期、特殊点进行求解即可. 【详解】由函数的图象可知函数的最大值为2，所以2A =， 由函数的图象可知函数的最小正周期为8，而0>ω，所以有284ππωω=⇒=，又因为函数过原点，所以()02sin 0f ϕ==，而2πϕ≤，所以0ϕ=，所以()2sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：2sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭2．化简：()()cos cot 2sin tan 22παπαππαα-+⋅=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】1【分析】直接利用诱导公式化简即可 【详解】解：()()cos cot 2sin tan 22παπαππαα-+⋅⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos cot tan 2ααπαα-=⋅⎛⎫-- ⎪⎝⎭cos cot cos 1cot αααα-=⋅=- 故答案为：13．已知一扇形的弧所对的圆心角为60，半径20r cm =，则扇形的周长为_________cm ． 【答案】20403π+【分析】根据弧长公式：l r α=求出扇形的弧长，即可求出扇形的周长． 【详解】由题意，扇形的弧长为202033ππ⨯=，所以扇形的周长为202024033r ππ+=+故答案为20403π+【点睛】本题考查扇形的弧长公式，属于基础题．4．若()()21z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），m R ∈，则z =__________． 【答案】3【分析】由题可知，复数z 的实部为0，虚部不为0，求出实数m 即可，然后再求复数的模． 【详解】解：若复数z 满足(2)(1)(z m m i i =-++为虚数单位）为纯虚数，其中m R ∈，则2010m m -=⎧⎨+≠⎩，解得：则2m =，得3z i =，所以||3z =． 故答案为：3.【点睛】本题考查复数的模以及对纯虚数的定义的理解．5．已知向量(),1a x =，()2,3b =-，若//a b ，则实数x 的值是______． 【答案】23-【分析】应用向量共线的坐标表示得230x +=，即可求x . 【详解】由题意知：230x +=，解得23x =-.故答案为：23-6．计算2021i =______．（i 为虚数单位) 【答案】i【分析】根据虚数单位i 的幂运算的周期性进行求解即可.【详解】450521120i i i ⨯+==， 故答案为：i7．已知[]0,x π∈，向量()sin ,1a x =，()2,cos b x =，当a b ⋅取到最大值时，x 的值是______．【答案】1arctan 22π-（或 2π-2π-） 【分析】由向量数量积的坐标表示、辅助角公式得5sin()a b x ϕ⋅=+且1tan 2ϕ=，由a b ⋅取到最大值有22x k ππϕ=+-，k Z ∈，结合x 的范围即可求x 的值.【详解】由2sin cos )a b x x x ϕ⋅=+=+，且1tan 2ϕ=， ∴当a b ⋅取到最大值时，有sin()1x ϕ+=，即22x k ππϕ=+-，k Z ∈.∵[]0,x π∈， ∴0k =时，1arctan22x π=-.故答案为：1arctan 22π-（或 2π-2π-） 8．在△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状是______三角形． 【答案】等腰【分析】由已知，结合正弦定理边角关系及两角和差的正弦公式可得in 0()s A B -=，即可判断△ABC 的形状.【详解】由题设知：sin 2sin cos C A B =，又()C A B π=-+，∴sin[()]sin()2sin cos A B A B A B π-+=+=，即sin cos cos sin sin()0A B A B A B -=-=， ∴在△ABC 中A B =，即△ABC 是等腰三角形. 故答案为：等腰 9．已知tan 4,α=则sin 2cos sin 3cos αααα+=-_____________．【答案】6【分析】分子分母除以cos α，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tan α的值代入计算即可求出值． 【详解】tan 4α=， ∴tan 266tan 31sin 2cos sin 3cos αααααα+==-=-=+．故答案为：610．已知a 、b 满足4a =，b 在a 方向上的数量投影为2-，则3a b -的最小值为______．【答案】10【分析】根据数量投影的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】设a 、b 的夹角为([0,])θθπ∈，因为b 在a 方向上的数量投影为2-，所以cos 2b θ⋅=-，因此(,]2πθπ∈，因此cos [1,0)θ∈-，所以2b ≥，22223(3)961696cos a b a b a b a b b a b θ-=-=+-⋅=+-⋅⋅⋅，因此有23649a b b -=+，因为2b ≥，所以当2b =时，3a b -有最小值，最小值为2649210+⨯=， 故答案为：1011．如图，O 是线段AB 外一点，3OA =，2OB =，P 是线段AB 的垂直平分线l 上的动点，则OP AB ⋅的值为______．【答案】52-【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】设线段AB 的中点为C ，()OP AB OC CP AB OC AB CP AB ⋅=+⋅=⋅+⋅，因为P 是线段AB 的垂直平分线l 上的动点，所以0CP AB CP AB ⊥⇒⋅=，所以22221115()()()(23)2222OP AB OC AB OA OB AO OB OB OA ⋅=⋅=+⋅+=-=-=-，故答案为：52-12．已知函数()4sin(2)6f x x π=-，[0x ∈，13]3π，若()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，且123n x x x x <<<⋯<，则1231222n n x x x x x -+++⋯++=___________. 【答案】1003π【分析】根据函数解析式求解函数零点分布 ，再化简计算求解代数式的值. 【详解】解：令2()62x k k Z πππ-=+∈，可得1()23x k k Z ππ=+∈， ∴函数的对称轴为1()23x k k Z ππ=+∈， 又()f x 的周期为222T πππω===， ∴令113233k πππ+=，解得8k ，∴函数在[0x ∈，13]3π上有9条对称轴， 由正弦函数的性质可知，1223x x π+=⨯，231ππππ12,,723232n n x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+⨯⨯⋅⋅⋅+=+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将以上各式相加可得:12312523100222()26663n n x x x x x ππππ-+++⋯++=++⋅⋅⋅+⨯=. 故答案为：1003π. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．在中，若20AB BC AB ⋅+=，则的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】先利用数量积运算化简得到2cos ac B c =，再利用余弦定理化简得解. 【详解】因为20AB BC AB ⋅+=，所以2cos()0ac B c π-+=， 所以2cos ac B c =，所以22222a c b ac c ac+-⨯=， 所以222b c a +=，所以三角形是直角三角形. 故选：B14．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且．若ES AP BQ λ-=（λ∈R ），则λ＝（ ）A 51+ B 51- C ．51+D 15-【答案】D【分析】根据图象的对称性和向量的运算法则，化简得到512RQ QB -=，即可求解. 【详解】根据图形的对称性，可得ES RC =，AP QC =， 由和向量的运算法则，可得ES AP RC QC RC CQ RQ -=-=+=， 又由RQ PT =，||||BQ AT =，故512RQ QB -=，所以15λ-=故选：D.15．13i -的三角形式是（ ） A ．ππ2cos isin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．7π7π2cos isin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式． 【详解】解：132213i 22cos isin 233ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭． 故选：B ．16．设1z ､2z 为复数，则22120z z +=是120z z ==的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据题意，分别判断充分性与必要性即可. 【详解】若11z =，2i z =，则22120z z +=成立且120z z ==不成立， 而若120z z ==，则22120z z +=成立， 故22120z z +=是120z z ==的必要不充分条件. 故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．已知复数z 满足4z +为纯虚数，且2iz -为实数；若复数()2i z m +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 【答案】(2,2)-【分析】设i(,)z x y x y =+∈R ，则4(4)i z x y +=++，由实部为0求得x 值，再把2iz-利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得y 值，则z 可求，把2(i)z m +变形为复数的代数形式，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组即可求解m 的范围．【详解】设i(,)z x y x y =+∈R ，则4(4)i z x y +=++，4z +为纯虚数，40x ∴+=且0y ≠，即4x =-，0y ≠．又4i (4i)(2i)824i 2i 2i (2i)(2i)55z y y y y R -+-++---===+∈---+， 240y ∴-=，即2y =．42i z ∴=-+，m 为实数，且222(i)[4(2)i](124)8(2)i z m m m m m +=-++=---+，由题意，212408(2)0m m m ⎧-->⎨-+<⎩，解得22m -<<．∴实数m 的取值范围为(2,2)-．18．若在复数范围内，关于x 的方程2220x ax a a -+-=至少有一个模为2的根，求实数a 的值.【答案】a =4a =，或1a =． 【分析】若两根为实根时，由条件求得a 的值；②若两根为虚根时，由条件求得a 的值，综合可得结论． 【详解】①若两根为实根时，不妨设12x =，则12x =±，当12x =时，则2540a a -+=，解得1a =或4a =；当12x =-时，则2340a a ++=，由于△91670=-=-<，可得a 无解．②若两根为虚根时，则12x x =，2121||4x x x ⋅==，即24a a -=，求得1172a -±=．再根据此时△222(2)4()(117)16a a a =---=±-，△0<时，1712a -=． 综上可得，1712a -=，或4a =，或1a =． 19．如图，平行四边形ABCD 中，23BM BC =.（1）若34AN AB =，E 为AM 中点，求证：点D ，E ，N 共线； （2）若60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，求AM 的最小值，及此时AD 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）||AM 2||AD 6 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到2133AE AN AD =+，即可证明点D ，E ，N 共线； （2）设||0AB x =>，||0AD y =>，根据60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，可得1xy =，22||()AM AB BM =+转化为关于x 、y 的不等式，利用基本不等式可解决此问题． 【详解】解：（1）平行四边形ABCD 中，23BM BC =，34AN AB =，E 为AM 中点， ∴1114221()()2223333AE AM AB BM AN BC AN AD ==+=+=+，所以32AE AN AD =+，22AE AN AD AE -=-，即2NE ED =，所以//NE EDD ∴，E ，N 共线；（2）设||||0DC AB x ==>，||||0BC AD y ==>，根据60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，可得1xy =，222222224144242||()()233299333AM AB BM AB BC x xy y x y xy =+=+=+⨯+=+++=，||2AM ∴，当且仅当23x y =且1xy =，即6x =，6y =||AM 2，此时||AD 620．已知向量()1,2a =，()1,0b =-； （1）求a ，b 的夹角,a b ；（2）若()()32a b ka b -⊥+，求实数k 的值.【答案】（1）π-（2）517k =.【分析】（1）由cos a b a bθ⋅=⋅，再由向量坐标求解数量积和模长代入求解即可；（2）由()()32a b ka b -⊥+，可得()()320a b ka b -⋅+=，进而由坐标运算可得解. 【详解】（1）设a 与b 的夹角为θ，因为向量()1,2a =，()1,0b =-，所以2121a b =+=，1(1)1a b ⋅=⨯-=-，1cos 51a b a bθ⋅-∴===⨯⋅(0,)θπ∈，所以θπ=-.所以a ，b 的夹角,a b 为π-（2）因为+(1,2)ka b k k =-，()3256a b -=，，又()()32a b ka b -⊥+，所以()()320a b ka b -⋅+=， 所以()()()()3251+620a b ka b k k -⋅+=-⨯=，解得517k =. 21．已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，定义非零向量(),a M b O =的“相伴函数”为()sin cos y a x b x x R =+∈，向量(),a M b O =称为函数sin cos y a x b x =+的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .（1）已知α∈R ，()()cos 2cos h x x x α=++，若函数()y h x =为集合S 中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；（2）已知点(),M a b 满足条件：3a =，0b <≤OM 的“相伴函数”()y f x =在0x x =处取得最大值，当b 在区间(变化时，求0tan 2x 的取值范围.【答案】（1）[]1,3；（2）[.【分析】（1）只要将()y h x =化为sin cos a x b x 即可，再利用向量的模的计算公式以及三角函数值域的求法即可解出；（2）利用三角函数求()f x 取最大值时的x 值，结合倍角公式以及换元bm a=即可求出0tan 2x 的范围． 【详解】(1) 证明: ()cos()2cos sin sin (2cos )cos h x x x x x ααα=++=-⋅++, ∴函数()h x 的相伴向量(sin ,2cos ),().OM h x S αα=-+∴∈(sin OM =cos 1α∴=时, max ||3,cos 1OM α===-时,min ||1OM ==.OM ∴的模的取值范围为[]1,3.(2)OM的相伴函数()sin cos )f x a x b x x ϕ=++, 其中cos ϕϕ==当2,2x k k Z πϕπ+=+∈, 即02,2x k k Z ππϕ=+-∈时, ()f x 取得最大值,01tan tan 22tan a x k bππϕϕ⎛⎫∴=+-== ⎪⎝⎭0022022tan 2tan 21tan 1ax b x b a x a a bb ⨯∴===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 令b m a =, 则02tan 2,1x m m m⎛=∈⎝⎦-,当m ⎛∈ ⎝⎦时, 1,m m ⎛-∈-∞ ⎝⎦, 0tan 2[x ∴∈.。
上海市2020〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷数学试卷参考答案与试题解析
上海市2020年〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷数学试卷参考答案与试题解析创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1．（5分）﹣75°是第（）象限角．A．一B．二C．三D．四考点：象限角、轴线角．专题：计算题．分析：由于角﹣75°的终边落在第四象限，可得﹣75°是第四象限角．解答：解：由于角﹣75°的终边落在第四象限，故﹣75°是第四象限角，故选D．点评：本题主要考查象限角、象限界角的定义，属于基础题．2．（5分）的余弦值是（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式把要求的式子化为cos，从而得到结果．解答：解：cos=cos（﹣2π+）=cos（﹣）=cos=，故选B．点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．3．（5分）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由两角和的正弦公式对解析式化简，再由周期公式求出函数的周期．解答：解：由题意得，f（x）=sinx+cosx=f（x）=sin（x+），则函数的最小正周期是T==2π，故选B．点评：本题考查了两角和的正弦公式，以及三角函数的周期公式应用，属于基础题．4．（5分）在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=45，则S9=（）A．18 B．45 C．63 D．81考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列的性质得，a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45⇒a5=9，而S9=9a5，从而可得答案．解答：解：∵等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45，∴a5=9；∴S9===9a5=81．故选D．点评：本题考查等差数列的性质，考查熟练掌握等差数列的性质进行应用的能力，属于中档题．5．（5分）为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：由于=，故只需将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．解答：解：∵=所以只需将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．故选C．本题考查了三角函数图象的平移，属于基础题型．点评：6．（5分）在△ABC中，则B=（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°考正弦定理．点：计算题．专题：分利用正弦定理=及a＜b即可求得B的值．析：解解：∵在△ABC中，a=，b=6，答：∴由正弦定理=得：sinB===，又a＜b，∴A＜B，∴B=60°或B=120°．故选C．本题考查正弦定理，考查△ABC中“大边对大角”的应用，属于基础题．点评：7．（5分）函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．复合三角函数的单调性．考点：专计算题；三角函数的图像与性质．题：分由2kπ﹣≤+≤2kπ+（k∈Z）与x∈[﹣2π，2π]即可求得答案．析：解解：y=sin（+）的单调递增区间由2kπ﹣≤+≤2kπ+（k∈Z）得：答：4kπ﹣≤x≤4kπ+（k∈Z），∵x∈[﹣2π，2π]，∴﹣≤x≤．即y=sin（+）的单调递增区间为[﹣，]．故选A．点本题考查复合三角函数的单调性，求得y=sin（+）的单调递增区间是关键，属评：于中档题．8．（5分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，圆，则两圆的位置关系是（）A．相交B．外离C．外切D．内切考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，由d=R+r得到两圆的位置关系为外切．解答：解：由圆C1：（x+1）2+（y+4）2=25，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=10，得到圆心C1（﹣1，﹣4），圆心C2（2，2），且R=5，r=，∴两圆心间的距离d==3，∵5﹣＜3＜5+，即r﹣R＜d＜R+r，∴圆C1和圆C2的位置关系是相交．故选A．点评：此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定方法为：0≤d＜R﹣r，两圆内含；d=R﹣r，两圆内切；R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；d=R+r时，两圆外切；d＞R+r时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）．9．（5分）已知，则tanα的值为（）A．﹣或﹣B．或C．﹣D．﹣考点：三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：通过sinα+cosα=，求出sinαcosα的值，再给式子添上一个分母1，把1变成角的正弦与余弦的平方和，分子和分母同除以余弦的平方，得到关于正切的方程，根据判断的角的范围求出结果．解答：解：∵sinα+cosα=，所以2sinαcosα=﹣，∴=﹣，∴∴12tan2α+25tanα+12=0根据得到的角的范围得到tan故选C点评：本题考查三角函数的化简求值，正弦、余弦函数化为正切，即同角三角函数的基本关系式的应用，本题解题的关键是弦化切，本题是一个基础题．10．（5分）已知，若，则实数对（λ1，λ2）为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．无数对考点：平面向量的正交分解及坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量线性运算法则和向量相等即可得出．解答：解：∵=（2λ1+λ2，λ1+3λ2），，∴，解得．∴实数对（λ1，λ2）=（﹣1，1）．故选B．点评：熟练掌握向量线性运算法则和向量相等是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分11．（5分）（•绵阳一模）已知∥，则x= ﹣4 ．考点：平行向量与共线向量．分析：用两向量共线坐标形式的充要条件公式：坐标交叉相乘相等．解答：解：∵，∴2×（﹣6）=3x∴x=﹣4故答案为﹣4点评：考查两向量共线坐标形式的充要条件公式．12．（5分）在空间直角坐标系中，已知A（2，3，5），B（3，1，3），则|AB|= 3 ．考点：空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：利用空间向量模的计算公式即可得出．解答：解：∵，∴==3．故答案为3．点熟练掌握空间向量模的计算公式是解题的关键．评：13．（5分）已知，则cos（α﹣β）= ﹣．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：已知两等式两边分别平方，利用同角三角函数间的基本关系化简得到关系式，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．解答：解：已知等式平方得：（cosα+cosβ）2=cos2α+2cosαcosβ+cos2β=①，（sinα+sinβ）2=sin2α+2sinαsinβ+sin2β=②，①+②得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，即cosαcosβ+sinαsinβ=﹣，则cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）如图，已知一艘货轮以20海里/小时的速度沿着方位角（从指北针方向顺时针转到目标方向线的水平角）148°的方向航行．为了确定船位，在B点观察灯塔A的方位角是118°，航行半小时后到达C点，观察灯塔A的方位角是88°，则货轮与灯塔A的最近距离是8.7海里（精确到0.1海里，其中）．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：确定△ABC中，∠B=∠A=30°，∠C=120°，BC=10海里，过A作BC所在直线的垂线，垂足为D，则AD为所求．解答：解：由题意，在△ABC中，∠B=∠A=30°，∠C=120°，BC=10海里，∴AC=10海里，过A作BC所在直线的垂线，垂足为D，则AD为所求．在Rt△ACD中，AD=ACsin60°=10•≈8.7海里故答案为：8.7海里点评：本题考查正弦定理在实际问题中的运用，关键是构建三角形，寻找边角关系，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）化简．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用诱导公式化简要求的式子，从而得出结论．解答：解：=﹣tanα．点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点．16．（12分）已知，且．（1）求与的夹角；（2）求．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：（1）利用向量的数量积公式，可求向量的夹角．（2）通过向量的模的平方等于向量的数量积即可求解向量的模．解答：解：因为，且．，所以cosθ=，所以θ=1200，与的夹角120°．（2）因为，=9﹣12+16=13所以=．点评：本题考查向量的数量积公式的应用，向量模的求法，是一道基础题．17．（14分）在等比数列{a n}中，a1=﹣1，a4=64（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）求和S n=a1+2a2+3a3+…+na n．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的性质和题意求出q，代入通项公式化简；（2）由（1）求出na n代入S n，根据式子的特点利用错位相减法求出S n．解答：解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由题意得，=﹣64，解得q=﹣4，∴数列{a n}的通项公式a n=﹣（﹣4）n﹣1，（2）由（1）得，na n=﹣n（﹣4）n﹣1，∴S n=﹣1﹣2×（﹣4）﹣3×（﹣4）2﹣…﹣n（﹣4）n﹣1①，﹣4S n=4﹣2×（﹣4）2﹣3×（﹣4）3﹣…﹣（n﹣1）（﹣4）n﹣1﹣n（﹣4）n②，①﹣②得，5S n=﹣1﹣[（﹣4）+（﹣4）2+（﹣4）3+…+（﹣4）n﹣1]+n（﹣4）n=﹣1﹣+n（﹣4）n=，∴S n=﹣．点评：本题本题考查等比数列的通项公式和性质，以及错位相减法求数列的和，考查了计算能力．18．（14分）设圆C的圆心在直线3x+y﹣7=0上，且圆经过原点和点（3，﹣1）．（1）求圆C的方程；（2）若点P是圆C上的动点，点Q是直线3x+4y﹣25=0上的动点，求|PQ|的最小值．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（1）设圆心C坐标为（a，7﹣3a），则由圆经过原点和点（3，﹣1）可得 a2+（7﹣3a）2=（a﹣3）2+（7﹣3a+1）2=r2．解得a的值，可得圆心的坐标和半径r，从而求得所求的圆的方程．（2）求得圆心C（2，1）到直线3x+4y﹣25=0的距离为 d=3＞r，可得|PQ|的最小值为 d﹣r，运算求得结果．解答：解：（1）设圆心C坐标为（a，7﹣3a），则由圆经过原点和点（3，﹣1）可得 a2+（7﹣3a）2=（a﹣3）2+（7﹣3a+1）2=r2．解得a=2，故圆心的坐标为（2，1），半径r=，故所求的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）由于圆心C（2，1）到直线3x+4y﹣25=0的距离为 d==3＞r，故|PQ|的最小值为 d﹣r=3﹣．点评：本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．19．（14分）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的扇形，∠POQ的平分线交弧PQ于点E，扇形POQ的内接矩形ABCD关于OE对称；设∠POB=α，矩形ABCD的面积为S．（1）求S与α的函数关系f（α）；（2）求S=f（α）的最大值．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意可得△AOD为等边三角形，求得BC=2sin（﹣α）=cosα﹣sinα．再求得∠ABO=﹣α，△OAB中，利用正弦定理求得AB=2sinα．可得矩形ABCD的面积S=f（α）=AB•BC=．（2）由（1）可得S=f（α）=2sin（2α+）﹣．再由 0＜α＜，根据正弦函数的定义域和值域求得S=f（α）的最大值．解答：解：（1）由题意可得AB∥OE∥CD，∴∠POE=∠PAB=，∴∠OAD==∠ADO，∠BOC=﹣2α，△AOD 为等边三角形．故BC=2sin （﹣α）=2（cos α﹣sin α）=cos α﹣sin α．再由∠ABO=π﹣∠AOB ﹣∠OAD ﹣∠BAD=π﹣α﹣﹣=﹣α，△OAB 中，利用正弦定理可得，即=，化简可得AB=2sin α．故矩形ABCD 的面积S=f （α）=AB •BC=．（2）由（1）可得S=f （α）=2sin αcos α﹣2sin 2α=sin2α+cos2α﹣=2（sin2α+cos2α）﹣=2sin （2α+）﹣． 再由 0＜α＜可得＜2α+＜，故当 2α+=，即当时，S=f（α）取得最大值为． 点评： 本题主要考查直角三角形中的边角关系、两角和差的三角公式、正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于中档题．20．（14分）一数列{a n }的前n 项的平均数为n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设，证明数列{b n }是递增数列；（3）设，是否存在最大的数M ？当x ≤M时，对于一切非零自然数n ，都有f （x ）≤0．考点：数列的函数特性；数列的概念及简单表示法． 专题：函数的性质及应用． 分析： （1）利用平均数的意义和当n=1时，a 1=S 1=1；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1即可得出； （2）作差b n+1﹣b n ，证明其大于0即可；（3）利用（2）递增，因此有最小值．解出，即可知道是否存在最大的数M ．解答：解：（1）由题意可得，∴，当n=1时，a 1=S 1=1；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2﹣（n ﹣1）2=2n ﹣1． 当n=1时也成立．故a n =2n ﹣1．创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 （2）作差b n+1﹣b n ====， ∴b n+1＞b n 对于任意正整数n 都成立，因此数列{b n }是递增数列．（3）∵递增，∴有最小值， ∴，解得x 2﹣4x+1≥0，．所以M=．存在最大的数M=，当x ≤M 时，对于一切非零自然数n ，都有f （x ）≤0．点评： 熟练掌握数列的通项公式与其前n 项和之间的关系、作差法比较数的大小、一元二次不等式的解法及其转化法等是解题的关键．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会 创作单位： 明德智语学校。
上海市2020-2021年高一下学期数学期末考试卷
高一下期末考试卷一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分） 1．方程组{2x +y −1=03x −2y =0对应的增广矩阵为 ．2．若在行列式|3a 50−41−213|中，元素a 的代数余子式的值是 ．3．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝ ． 4．函数f （x ）＝2cos （x +π3）﹣1的对称轴为 ，最小值为 ． 5．方程3sin x ＝1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为 ． 6．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为 ．7．用数学归纳法证明（n +1）（n +2）…（n +n ）＝2n •1•3…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从“n ＝k ”到“n ＝k +1”的证明，左边需增添的代数式是 ． 8．若无穷等比数列{a n }的各项和等于a 12，则a 1的取值范围是 ．9．已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝2a n +1+3•2n +1，数列{an2}的前n 项和为 ．10．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n ＝2011，则n ＝ ．11．对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n +1，记数列{a n ﹣kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n （n ∈N *）恒成立，则实数k 的取值范围为 ．12．数列{a n }满足a n +1+（﹣1）n a n ＝2n ﹣1，则{a n }的前60项和为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．将函数y ＝sin （x −π3）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．y=sin12x B．y=sin(12x−π2)C．y=sin(12x−π6)D．y=sin(2x−π6)14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏15．若S n＝sinπ7+sin2π7+⋯+sin nπ7（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．10016．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，a99−1a100−1＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．已知：f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期（2）若f（x）在[−π6，π4]上最大值与最小值之和为3，求a的值．18．如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？19．已知集合C＝{（x，y）|xy﹣3x+y+1＝0}，数列{a n}的首项a1＝3，且当n≥2时，点（a n﹣1，a n）∈C，数列{b n}满足b n=11−a n．（1）试判断数列{b n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若limn→∞(sa n+tb n)=1（s，t∈R），求s t的值．20．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列{√b n}是等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅰ）设S n=1a1+1a2+⋯+1a n，如果对任意正整数n，不等式2aS n＜2−b na n恒成立，求实数a的取值范围．21．定义：如果数列{a n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n}为三角形”数列对于“三角形”数列{a n}，如果函数y＝f（x）使得b n＝f（a n）仍为一个三角形”数列，则称y＝f（x）是数列{a n}的“保三角形函数，”（n∈N*）（1）已知{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（k）＝k2，（k＞1）是数列{a n}的保三角形函数”，求k的取值范围；（2）已知数列{c n}的首项为2019，S n是数列{c n}的前n项和，且满足4S n﹣3S n ﹣1＝8076，证明{c n}是“三角形”数列（3）求证：函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55．一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分）1．[2113−20]．2．2．3．15√344．x=kπ−π3(k∈Z)；﹣3．5．π6或5π6．6．[−π3，π4]．7．2（2k+1）．8．(12，1)∪(1，+∞)．9．3n2﹣2n．10．102811．73≤k≤125．12．∵a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a9+a11＝2，a12+a10＝40，a13+a11＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+15×142×16）＝1830二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．C14．B15．C16．B三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）=√3sin2x+cos2x+1+a＝2sin（2x+π6）+1+a，（1）∴f（x）的最小正周期T=2πω=2π2=π；（2）∵x∈[−π6，π4]，∴2x+π6∈[−π6，2π3]；当2x+π6=−π6时，即x=−π6，f（x）取得最小值为2sin（−π6）+1+a＝a当2x+π6=π2时，即x=π6，f（x）取得最大值为2sin（π2）+1+a＝a+3∵最大值与最小值之和为3，∴a+3＝3，∴a＝0故a的值为0．18．在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，∴A＝15°，由正弦定理知：BCsinA =ACsinB，∴30sin15°=ACsin30°，∴AC=30sin30°sin15°=60cos15°=15√6+15√2，…（6分）∴A到B B C所在直线的距离为AC⋅sin45°=(15√6+15√2)⋅√22=15(√3+ 1)≈40.98＞38（海里），∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．…19．（1）∵当n≥2时，点（a n﹣1，a n）恒在曲线C上，∴a n﹣1a n﹣3a n﹣1+a n+1＝0 （1分）由b n=11−a n得当n≥2时，b n﹣b n﹣1=11−a n −11−a n−1=a n−a n−11−a n−a n−1+a n a n−1=a n−a n−1−2a n+2a n−1=−12∴数列{b n }是公差为−12的等差数列． （2）∵a 1＝3，∴b 1=11−a 1=−12，∴b n =−12+（n ﹣1）•（−12）=−12n ，（6分） ∴−12n =11−a n，则a n ＝1+2n∴s a n+tb n=−s 2n+t−(1+2n)−12n(1+2n)=−sn 22+tn+2t −12n 2−n ，由lim n→∞(sa n+t b n)=1（s ，t ∈R ），可得s ＝1，s t ＝1．20．（Ⅰ）由已知，得2b n ＝a n +a n +1①，a n +12＝b n •b n +1②．由②得a n+1=√b n b n+1③．将③代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2b n =√b n−1b n +√b n b n+1． 即2√n =√b n−1+√b n+1． ∴{√b n }是等差数列．（Ⅰ）设数列{√b n }的公差为d ， 由a 1＝10，a 2＝15．经计算，得b 1=252，b 2=18．∴√b 1=52√2，d =√b 2−√b 1=3√2−52√2=√22． ∴√b n =52√2+(n −1)⋅√22=√22(n +4)．∴b n =(n+4)22，a n =(n+3)(n+4)2．（9分） （Ⅰ）由（1）得1a n =2(n+3)(n+4)=2(1n+3−1n+4)．∴S n =2[(14−15)+(15−16)++(1n+3−1n+4)]=2(14−1n+4)．不等式2aS n ＜2−b n a n化为4a(14−1n+4)＜2−n+4n+3．即（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8＜0．设f （n ）＝（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8，则f （n ）＜0对任意正整数n 恒成立． 当a ﹣1＞0，即a ＞1时，不满足条件；当a ﹣1＝0，即a ＝1时，满足条件；当a ﹣1＜0，即a ＜1时，f （n ）的对称轴为x =−3(a−2)2(a−1)＜0，f （n ）关于n 递减，因此，只需f （1）＝4a ﹣15＜0．解得a ＜154，∴a ＜1． 综上，a ≤1．21．（1）显然a n ＝n +1，a n +a n +1＞a n +2对任意正整数都成立，即{a n }是三角形数列．（2分）因为k ＞1，显然有f （a n ）＜f （a n +1）＜f （a n +2）， 由f （a n ）+f （a n +1）＞f （a n +2）得k n +k n +1＞k n +2，解得k ＜1+√52．所以当k ∈（1，1+√52）时，f （x ）＝k x 是数列{a n }的“保三角形函数”．（2）由4S n +1﹣3S n ＝8076，①当n ≥2时，4S n ﹣3S n ﹣1＝8076，②，①﹣②得4c n +1﹣3c n ＝0，则 所以c n+1c n=34当n ＝1时，即4（a 1+a 2）﹣3a 1＝8076，解得：a 2=60574，所以a 2a 1=34所以数列{c n }是以2019为首项，以34为公比的等比数列， 所以，c n ＝2019（34）n ﹣1，（7分）显然c n ＞c n +1＞c n +2，因为c n +1+c n +2＝2019 （34）n +2019（34）n +1=2116•2019（ 34）n ﹣1＞c n ，所以{c n }是“三角形”数列．（3）证明：函数h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是数列1，1+d ，1+2d （d ＞0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d ，1+2d （d ＞0）是三角形数列，所以1+1+d ＞1+2d ，即0＜d ＜1． ②数列中的各项必须在定义域内，即1+2d ≤A ． ③h （1），h （1+d ），h （1+2d ）是三角形数列．由于h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是单调递减函数，所以h （1+d ）+h （1+2d ）＞h （1），解得0＜d ＜√55．所以函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三．角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55。
上海市高一数学下学期期末试卷含答案(共5套)
上海市嘉定区高中第二学期期末考试高一年级数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、学号等在答题卷密封线内相应位置填写清楚； 3．本试卷共21道试题，满分100分，考试时间90分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．已知角α满足sin 0α<且cos 0α<，则角α是第 象限的角． 2．在数列}{n a 中，若4,311+==+n n a a a ，则=5a _______________． 3．方程0224=--xx 的解是_____________．4．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期是_____________．5．若2tan =x （),0(π∈x ），则x = （结果用反三角函数值表示）． 6．函数x x y cos sin +=的最大值是 ．7．函数)2(log 22x x y -=的单调增区间是________________．8．若等比数列}{n a 满足：531=+a a ，且公比2=q ，则=+53a a ____________． 9．在ABC ∆中,︒=∠60ABC ,且7,5==AC AB ,则=BC ． 10．若不等式01sin )1(<--x a 对于任意R ∈x 都成立， 则实数a 的取值范围是____________．11．已知函数||1|log |)(-=x x f a （0>a ，1≠a ），若4321x x x x <<<， 且)()()()(4321x f x f x f x f ===，则=+++43211111x x x x ____________． 12．已知递增数列}{n a 共有2017项，且各项均不为零，12017=a ，若从}{n a 中任取两项j i a a ,，当j i <时，i j a a -仍是数列}{n a 中的项，则数列}{n a 的各项和=2017S ___________．二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分． 13．“2πϕ=”是“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知函数)2lg(ax y-=在)1,1(-上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)2,0(B ．),0(+∞C ．]2,0(D ．]2,(-∞15．若数列}{n a 对任意2≥n （*N ∈n ）满足：0)2)(2(11=-----n n n n a a a a ，下面给出关于数列}{n a 的四个命题：（1）}{n a 可以是等差数列； （2）}{n a 可以是等比数列；（3）}{n a 可以既是等差数列又是等比数列 （4）}{n a 可以既不是等差数列又不是等比 数列．则上述命题中，正确的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．设函数)cos()cos()(βα+++=x n x m x f ，其中βα,,,n m 为已知实常数，R ∈x ， 则下列命题中错误的是 ( )A ．若0)2()0(==πf f ，则0)(=x f 对任意实数x 恒成立；B ．若0)0(=f ，则函数)(x f 为奇函数；C ．若0)2(=πf ，则函数)(x f 为偶函数；D ．当0)2()0(22≠+πf f 时，若0)()(21==x f x f ，则πk x x 221=- （Z ∈k ）．三．解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分8分)已知71)tan(,2tan =+-=βαα，求)2cot(βπ-的值．18．（本题满分8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ,,所对的边，若ABC ∆的面积是153，2=-c b ，41cos -=A ．求BC 的长．19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分．已知公差不为零的等差数列}{n a 满足：821=+a a ，且521,,a a a 成等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式．（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得80060+>n S n ？若存 在，请求出n 的最小值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数23)cos 3(sin cos )(-+=x x x x f ，R ∈x ． （1）求函数)(x f 的单调减区间； （2）若存在]2,0[π∈x ，使等式0)()]([2=++m x f x f 成立，求实数m 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数，对于任意的M x ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“互换函数”．（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“互换函数”，求集合M ；（2）若函数xa x f =)( （0>a 且1≠a ）与1)(+=x x g 在集合M 上互为“互换函数”， 求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且},32*N ∈-≠k k x 上互 为“互换函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g 在集合M 上的解析式．嘉定区第二学期期末考试高一年级数学试卷参考答案与评分意见说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分意见酌情给分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误,就不给分．3．解答题右端所注分数,表示正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．一．填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．三 2．19 3．1=x (填“1”也对) 4．π 5．2arctan 6．2 7．),2(+∞ 8．20 9．8 10．)2,0(（填“20<<a ”也对） 解：令x t sin =，R ∈x ，则 ]1,1[-∈t ．由已知得，不等式01)1(<--t a 对于任意]1,1[-∈t 都成立．又令 1)1()(--=t a t f ，则 ⎩⎨⎧<<-0)1(0)1(f f ，即 ⎩⎨⎧<-⋅-<--⋅-011)1(01)1()1(a a ，解得 20<<a ．所以所求实数a 的取值范围是20<<a ． 11．2解法一：设|||log |)(x x g a = （0>a ，1≠a ），则)(x g 为偶函数，其图像关于y 轴对称， 而函数||1|log |)(-=x x f a （0>a ，1≠a ）的 图像是由)(x g 的图像向右平移一个单位得到的， 所以)(x f 的图像关于直线1=x 对称，)(x f 的大致 图像如图所示．由已知及)(x f 的图像特征可得43211x x x x <<<<，且|)1(log ||)1(log ||)1(log ||)1(log |4321-=-=-=-x x x x a a a a ．由|)1(log ||)1(log |21x x a a -=-得)1(log )1(log 21x x a a -=-或)1(log )1(log 21x x a a --=-即)1(log )1(log 21x x a a -=-或2111log )1(log x x aa -=-则有 2111x x -=-或21111x x -=-，所以21x x =（舍）或 1)1)(1(21=--x x ． 由1)1)(1(21=--x x 得 2121x x x x +=．由|)1(log ||)1(log ||)1(log ||)1(log |4321-=-=-=-x x x x a a a a 同理得 4343x x x x +=， 所以2111111434321214321=+=+++=+++x x x x x x x x x x x x ． 解法二：（特殊值法）令1||1|log |=-x a ，解得 a x 11-=或a x -=1或ax 11+= 或a x +=1．则a a a a x x x x ++++-+-=+++111111111111114321 )11111()11111(a a a a ++++-+-=211)111()111(=+=++++-+-=a a a a a a ． 12．1009解：由题意知，2017321a a a a <⋅⋅⋅<<<，则 1201713120a a a a a a -<⋅⋅⋅<-<-<，且1a a j - （2017,,3,2⋅⋅⋅=j ）都是数列}{n a 中的项．所以112201512016201612017,,,a a a a a a a a a =-⋅⋅⋅=-=-，即1122015201620162017a a a a a a a =-=⋅⋅⋅=-=-，因此数列}{n a 是以1a 为首项，以1a 为公差的一个等差数列， 则 120172016112017==+=a d a a ，可得 201711==d a ， 因此1009220162017201712017=⨯⨯+=d a S ，即10092017=S ．二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分． 13．A 14．C 15．C 16．D解：由题意得 x k k x k k x f sin )sin sin (cos )cos cos ()(22112211αααα+-+=．若0)0(=f ，则得 0cos cos 2211=+ααk k ；若0)2(=πf ，则得0sin sin 2211=+ααk k ．于是当0)2()0(==πf f 时，0)(=x f 对任意实数x 恒成立，即命题A 是真命题；当0)0(=f 时，x k k x f sin )sin sin ()(2211αα+-=，它为奇函数，即即命题B 是真命题； 当0)2(=πf 时，x k k x f cos )cos cos ()(2211αα+=，它为偶函数，即命题C 是真命题；当0)2()0(22≠+πf f 时，令0)(=x f ，则0sin )sin sin (cos )cos cos (22112211=+-+x k k x k k αααα，上述方程中，若0cos =x ，则0sin =x ，这与1sin cos 22=+x x 矛盾，所以0cos ≠x ． 将该方程的两边同除以x cos 得22112211sin sin cos cos tan ααααk k k k x ++=，令m k k k k =++22112211sin sin cos cos αααα （0≠m ），则 m x =tan ，解得 m k x arctan +=π （Z ∈k ）．不妨取 m k x arctan 11+=π，m k x arctan 22+=π （Z ∈1k 且Z ∈2k ）， 则π)(2121k k x x -=-，即πn x x =-21 （Z ∈n ），所以命题D 是假命题．三．解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分8分) 解法一：由71)tan(=+βα得71tan tan 1tan tan =⋅-+βαβα．…………………………………4分 将2tan -=α代入上式，得71tan 212tan =+-ββ，…………………………………………6分解得 3tan =β． …………………………………………………………………………7分 于是 3tan )2cot(==-ββπ，所以 3)2cot(=-βπ．………………………………8分 解法二：因为ββπtan )2cot(=-，………………………………………………………2分又 αβααβααβαβtan )tan(1tan )tan(])tan[(tan ⋅++-+=-+= …………………………………5分35771575715)2(711)2(71=⋅==-⋅+--=，…………………………………………………………7分所以3)2cot(=-βπ． ………………………………………………………………………8分18．（本题满分8分） 解：（1）由41cos -=A （π<<A 0）得415cos 1sin 2=-=A A ．………………2分因为ABC ∆的面积是153，则153sin 21=A bc ，所以 24=bc ． ………………4分 由⎩⎨⎧==-242bc c b 解得⎩⎨⎧==46c b ． ………………………………………………………………6分 由余弦定理得 8)41(46246cos 22222=-⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b BC ，即BC 的长是8．………………………………………………………………………………8分19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分． 解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d （0d ≠），由题意得 ⎩⎨⎧+⋅=+=++)4()(8112111d a a d a d a a化简，得 ⎩⎨⎧==+da d d a 121282．……………………………………………………………………2分因为0≠d ，所以⎩⎨⎧==+11282a d d a ，解得 ⎩⎨⎧==421d a …………………………………………4分所以 24)1(1-=-+=n d n a a n ，即数列}{n a 的通项公式是24-=n a n （*N ∈n ）． ……………………………………5分（2）由（1）可得 2122)1(n d n n na S n =⨯-+=．……………………………………7分 假设存在正整数n ，使得80060+>n S n ，即 8006022+>n n ，即2304000n n -->，解得40n >或10n <- (舍) ．…………………………………9分 所以所求n 的最小值是41． ………………………………………………………………10分 20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分． 解：（1）23)cos 3(sin cos )(-+=x x x x f 23cos 3cos sin 2-+=x x x 2322cos 132sin 21-+⨯+=x x x x 2cos 232sin 21+= )32sin(π+=x………………………………………………………………3分由2323222πππππ+≤+≤+k x k （Z ∈k ） 解得 12712ππππ+≤≤+k x k （Z ∈k ）．………………………………………………5分 所以所求函数)(x f 的单调减区间是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k ，Z ∈k ．……………6分 （2）当]2,0[π∈x 时，34323πππ≤+≤x ，1)32sin(23≤+≤-πx ， 即1)(23≤≤-x f ． ………………………………………………………………………8分 令t x f =)( （]1,23[-∈t ），则关于t 的方程02=++m t t 在]1,23[-上有解， 即关于t 的方程t t m +=-2在]1,23[-上有解． 当]1,23[-∈t 时，]2,41[2-∈+t t ．…………………………………………………10分 所以]2,41[-∈-m ，解得 ]41,2[-∈m ． 因此所求实数m 的取值范围是 ]41,2[-．………………………………………………12分21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 解：（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，所以0sin =x 或1cos =x ．……………………………1分 由0sin =x 解得πk x 2=或ππ+=k x 2，Z ∈k ，即πk x 2=或π)12(+=k x ，Z ∈k ．……………………………………………………2分 又由1cos =x 解得 πk x 2=，Z ∈k ．……………………………………………………3分 所以集合πk x x M 2|{==，或},)12(Z ∈+=k k x π，即集合},|{Z ∈==k k x x M π．……………………………………………………………4分 （2）证明：由题意得，11+=+x x a a（0>a 且1≠a ）．………………………………5分变形得 1)1(=-a a x，所以11-=a a x． ………………………………………………6分因为0>xa ，则011>-a ，所以 1>a ．………………………………………………8分 （3）当01<<-x ，则10<-<x ，所以)1(log )()(2x x g x g -=-=． 因为函数)(x g 在)1,1(-上是偶函数，则 )()(x g x g -=． 所以 )1(log )(2x x g -=，因此当11<<-x 时，|)|1(log )(2x x g +=．……………………………………………10分 由于2)(+=x x f 与函数)(x g 在集合M 上“互换函数”， 所以当M x ∈，))(()((x f g x g f =恒成立． 即)2(2)(+=+x g x g 对于任意的M x ∈恒成立．即2)()2(=-+x g x g ．……………………………………………………………………11分 于是有2)]1(2[)2(=-+-+n x g n x g ，2)]2(2[)]1(2[=-+--+n x g n x g ，……2)()2(=-+x g x g ．上述等式相加得 n x g n x g 2)()2(=-+，即n x g n x g 2)()2(+=+．………………13分 当)12,12(+-∈n n x （N ∈n ）时,)1,1(2-∈-n x ， 所以 |)2|1(log )2(2n x n x g -+=-．而⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅-= )12,12()5,3()3,1()1,1(n n M ，N ∈n ， 所以当M x ∈时，n n x n n x g n n x g x g 2|)2|1(log 2)2()2)2(()(2+-+=+-=+-=．…………………14分金山中学高一年级第二学期数学学科期末考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1． 已知向量)1,1(),,2(-==→→b m a ，若向量→a 与b 垂直，则m 等于_______．2． 不等式2101x x -<+的解为 ___ ． 3． 已知tan 2θ=，θ是第三象限角，则sec θ= ．4．方程1)21(log 2-=-x的解=x __________．5．函数1()arccos (1)2f x x x =<<的值域是 . 6．若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .7. 数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8．若数列{}n a 满足220n n a a ++=（n *∈N ）,且11a =，212a =，()12lim n n a a a →∞+++=__.9．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知(0,1)x ∈，()()12log 1f x x =-，则函数()f x 在(1,2)上的解析式是=)(x f ．10．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，下列命题正确的是_____________． ①总存在某个内角α，使得21cos ≥α； ②存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ③若02=⋅+⋅+⋅AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于6π． 11．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ,2,AB =1,AD DC ==P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，,DQ DC λ=(1),CP CB λ=-则AQ AP ⋅的最大值为________．12．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n+=-∈满足：对于任意的实数)1,0[∈m ，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a = ．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.13．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ． 充要条件D ．既非充分也非必要条件14．将函数()cos f x x ω=（其中0ω>）的图象向右平移3π个单位，若所得图象与原图象重合，则()24f π不可能等于 （ ）A ．0B ．1C ．22D ．2315．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，n ∈*N ． 下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列16．函数x x x f arctan )(3+=的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若11009-=a ，=m )()()()()(20172016321a f a f a f a f a f +++++ ，则 （ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0>d 时，m 恒为正数；当0<d 时，m 恒为负数D ．当0>d 时，m 恒为负数；当0<d 时，m 恒为正数三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分. 已知3||=a ，4||=b ，且a 与b 的夹角为0120． （1）求b 在a 上的投影； （2）求|32|b a +． 解：18．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知向量)sin ,)62(sin(x x m π+=，)sin ,1(x n =，n m x f ⋅=)(.（1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间；（2）记△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若212)2(+=Bf ， 3,5==c b ，求a 的值．解：19．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==． （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围． 解：20．（本题满分16分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分8分.如图，在四边形ABCD 中，已知23ABC π∠=，3ACD π∠=，2π=∠BAD ，24AD =，设BAC θ∠=)612(πθπ≤≤．（1）求AB （用θ表示）；（2）求BC AB +的最小值.（结果精确到01.0米） 解：21．（本题满分18分）本题有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分, 第二小题满分8分. 给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+．数列1a ，2a ，3a ，…满足1(),*n n a f a n N +=∈． （1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*n N ∈，1n n a a c +-≥；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 解：ABCD金山中学第二学期高一年级数学学科期末考试试卷答案一、填空题4． 2 2．112x -<<3．5- 4． 1- 5．(0 )3π， 6． 2x （0≥x ）7. 7 8．1 9．()1log 21-x 10．①③ 11． 2 12．2)1(π-n n 二、选择题13．C 14．D 15．A 16．A三、解答题17． 解： （1）2- （2）3618． 解：（1）212sin 23)(+=x x f ， 最小正周期为π，单调递减区间为Z k k k ∈π+ππ+π],43,4[； （2）31+=a 或31+-=a ．19． 解：（1）由121n n a S +=+----①得当2n ≥时121n n a S -=+----②，①-②得112()n n n n a a S S +--=-，13,n n a a +∴=；当1n =时2112133a a a =+==， 13n n a -∴=5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-；（2）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--，311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即3623n n k -∴≥对*n N ∈恒成立，令3623n n n c -=，11363927333n n n n nn n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，max 32()9n c c ∴==，29k ≥．20． 解：（1）三角形ACD 中，6CDA πθ∠=+，由sin sin AD AC ACD CDA =∠∠ ，得sin 163sin()sin 6AD CDA AC ACD πθ⋅∠==+∠ 三角形ABC 中，3ACB πθ∠=-由sin sin AB ACACB ABC =∠∠ ，得 )612)(3sin()6sin(32πθπθππθ≤≤-+=AB （2）三角形ABC 中， 由sin sin BC ACBAC ABC=∠∠ ，得 sin 32sin()sin sin 6AC BAC BC ABC πθθ⋅∠==+∠所以32sin()sin()32sin()sin 636AB BC πππθθθθ+=+-++16sin 283θ=+因为126ππθ≤≤，所以263ππθ≤≤所以当12πθ=时，AB BC +取得最小值88321.86+≈最小值约为86.21米.21． 解：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++， 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--。
上海市2020年高一下学期数学期末试卷(附答案)
上海市高一下学期数学期末试卷一、解答题（本大题共有12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴，且终边经过点（1，2），则sinα的值为_________．2．函数y=2x（x≥1）的反函数为_________．3．已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为_________．4．若log23=m，用含m的式子表示log281，则log281=_________．5．方程sinx﹣cosx=0（x∈[0，2π]）的所有解之和为_________．6．函数y=3cos2x的单调递减区间为_________．7．不等式log（x2+1）＜﹣1的解集为_________．8．若将函数y=sin（2x+）的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个长度单位，则所得的函数图象对应的解析式为_________．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=2，cos（A+B）=，则c的值为_________．10．已知函数f（x）=．下列命题：①f（x）为奇函数；②函数f（x）的图象关于直线x=对称；③当x=时，函数f（x）取最大值；④函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点；其中正确命题的序号是_________．11．在△ABC中，已知3cscA=cscB•cscC，3sesA=secB•sesC，则cotA的值为_________．12．如果函数g（x）满足：对任意实数m，n均有g（mn+1）﹣g（m）g（n）=2﹣g（n）﹣m成立，那么称g（x）是“次线性”函数．若“次线性”函数f（x）满足f（0）=1，且两正数x，y使得点（x2﹣1，3﹣2xy）在f（x）的图象上，则log（x+y）﹣log4x的最大值为_________．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．“x=2kπ+（k∈Z）”是“|sinx|=1”的（）A．充分非必要条件B．必要分充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件14．给出命题：①y=sinx是增函数；②y=arcsinx﹣arctanx是奇函数；③y=arccos|x|为增函数；④y=﹣arccosx为奇函数．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图，则ω，φ的值分别是（）A．ω=1，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ=﹣D．ω=2，φ=﹣16．学习“三角”时，小明同学在参考书上看到求sin18°精确值的一种方法，具体如下：设等腰△ABC 的顶角∠A=36°．底角∠B的平分线交腰AC于D，且BC=1（如图），则AD=BD=1，于是，在△BCD中，可得CD=2sin18°．由△BAC∽△CBD得=，即=，整理得4sin218°+2sin18°﹣1=0，又sin18°（0，1），故解得sin18°=．现设α，β，α+β均属于区间（0，），若cos（﹣2β）•sin（2α+β）=cos（+2α）•sin（α+2β），则下列命题正确的是（）A．关于x的方程α•4x+β•2x+α=0有实数解B．关于x的方程α•（log4x）2+β•log4x﹣α=0无实数解C．关于x的方程sinx=有实数解D．关于x的方程cosx=无实数解三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（8分）已知cosα=，α∈（0，），sinβ=﹣，β∈（π，），求cos（α﹣β）的值．18．（8分）设函数f（x）=log2（9x﹣5）．（1）求使得f（x）＞2成立的x的集合；（2）解方程f（x）=log2（3x﹣2）+2．19．（10分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣．（1）求f（x）的最小正周期；（2）设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（+）=1，且a=2，求b+c的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=log3（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）设函数g（x）=f﹣1（x）+log t存在零点，求实数t的取值范围；（3）若不等式f（x）﹣m≥3x在x∈[2，3]上恒成立，求实数m最大值．21．（14分）已知函数f（x）的定义域为[0，1]．若函数f（x）满足：对于给定的T（0＜T＜1），存在t∈[0，1﹣T]．使得f（t+T）=f（t）成立，那么称f（x）具有性质P（T）．（1）函数f（x）=sin（x∈[0，1]）是否具有性质P（）？说明理由；（2）已知函数f（x）=具有性质P（T），求T的最大值；（3）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，满足f（0）=f（1），且f（x）的图象是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n，使得函数f（x）具有性质P（），若存在，求出这样的n的取值集合；若不存在，请说明理由．。
上海市最新学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分. 1.1和4的等差中项为__________． 【答案】52【解析】 【分析】设1和4的等差中项为x ，利用等差中项公式可得出x 的值. 【详解】设1和4的等差中项为x ，由等差中项公式可得14522x +==，故答案为：52. 【点睛】本题考查等差中项的求解，解题时要充分利用等差中项公式来求解，考查计算能力，属于基础题.2.已知()1,2a =，(),4b x =，若//a b ，则实数x 的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用共线向量等价条件列等式求出实数x 的值. 【详解】()1,2a =，(),4b x =，且//a b ，214x ∴=⨯，因此，2x =，故答案为：2.【点睛】本题考查利用共线向量来求参数，解题时要充分利用共线向量坐标表示列等式求解，考查计算能力，属于基础题.3.设函数()arctan f x x =，则()1f -值为__________．【答案】4π- 【解析】 【分析】根据反正切函数的值域，结合条件得出()1f -的值.【详解】arctan 22x ππ-<<，且tan tan 144ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此，()()1arctan 14f π-=-=-，故答案为：4π-. 【点睛】本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解，考查计算能力，属于基础题.4.已知数列{}n a 为等比数列，21a =，58a =，则数列{}n a 的公比为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由352a q a =可求出q 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则35281a q a ==，2q ∴=，因此，数列{}n a 的公比为2，故答案为：2.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，在等比数列的问题中，通常将数列中的项用首项和公比表示，建立方程组来求解，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知3sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为__________． 【答案】35【解析】 【分析】利用诱导公式将等式3sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭化简，可求出cos α的值.【详解】由诱导公式可得3sin cos25παα⎛⎫+==⎪⎝⎭，故答案为：35.【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，在利用诱导公式处理化简求值的问题时，要充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查运算求解能力，属于基础题.6.已知无穷等比数列{}n a的首项为1，公比为12-，则其各项的和为__________．【答案】2 3【解析】【分析】根据无穷等比数列求和公式求出等比数列{}n a的各项和.【详解】由题意可知，等比数列{}n a的各项和为121312S==⎛⎫--⎪⎝⎭，故答案为：23.【点睛】本题考查等比数列各项和的求解，解题的关键就是利用无穷等比数列求和公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.7.311lim312nn nn→∞⎛⎫++=⎪-⎝⎭__________．【答案】1【解析】【分析】在分式3131nn+-的分子和分母上同时除以3n，然后利用极限的性质来进行计算.【详解】113111103lim lim lim01131221013n nn n nn n nn→∞→∞→∞⎛⎫+⎪⎛⎫+++=+=+=⎪⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭，故答案为：1.【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见的极限，并充分利用极限的性质来进行计算，考查计算能力，属于基础题.8.已知[)0,2ϕπ∈，若方程()sin 2sin x x x ϕ=-的解集为R ，则ϕ=__________． 【答案】3π【解析】 【分析】将sin x x -利用辅助角公式化简，可得出ϕ的值. 【详解】()()1sin 32sin 2sin cos cos sin2sin 2x x x x x x x ϕϕϕ⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1cos 2sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩02ϕπ≤<，因此，3πϕ=，故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.9.在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若ABC ∆的面积为12，且1b =，2c =，则A ∠的弧度为__________．【答案】6π 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求出sin A 的值，结合角A 为锐角，可得出角A 的弧度数. 【详解】由三角形的面积公式可知，ABC ∆的面积为111sin 12sin 222ABC S bc A A ∆==⨯⨯⨯=，得1sin 2A =，A 为锐角，因此，A ∠的弧度数为6π，故答案为：6π.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.10.数列{}n a 满足()()11112231n a n N n n *=+++∈⨯⨯+，设n S 为数列{}1n n a a +-的前n 项和，则10S =__________． 【答案】512- 【解析】 【分析】先利用裂项求和法将数列{}n a 的通项化简，并求出1n n a a +-，由此可得出10S 的值. 【详解】()11111n n n n =-++，1111111122311n a n n n ∴=-+-++-=-++. 11111111212n n a a n n n n +-=--+=-+++++， 因此，101111111152334111212212S =-+-+--+=-=-，故答案为：512-. 【点睛】本题考查裂项法求和，要理解裂项求和法对数列通项结构的要求，并熟悉裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.11.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()8,1=4,2n nn S n N n *=⎧∈⎨≥⎩，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________．【答案】18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩，n *∈N 【解析】 【分析】令3n ≥时，求出1n n n a S S -=-，再令1n =时，求出1a 的值，再检验1a 的值是否符合()2n a n ≥，由此得出数列{}n a 的通项公式.【详解】当3n ≥时，1114434n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，当1n =时，118a S ==，18a =不合适上式，当2n =时，2211688a S a =-=-=，28a =不合适上式，因此，18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩，n *∈N . 故答案为：18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩,n *∈N . 【点睛】本题考查利用前n 项和求数列的通项，考查计算能力，属于中等题.12.已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足()10,1a ∈，()31,2a ∈，()42,4a ∈，则6a 的取值范围为__________．【答案】()【解析】 【分析】设等比数列1a 、2a 、3a 、4a 的公比为q ，由43a q a =和341a q a =计算出q 的取值范围，再由264a a q =可得出6a 的取值范围.【详解】设等比数列1a 、2a 、3a 、4a 的公比为q ，()10,1a ∈，()31,2a ∈，()42,4a ∈，所以，()431,4a q a =∈，3412a q a =>，)q ∴∈.所以，()264a a q =∈，故答案为：().【点睛】本题考查等比数列通项公式及其性质，解题的关键就是利用已知条件求出公比的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.第Ⅱ卷（共90分）二、选择题（每题3分，满分36分，将答案填在答题纸上） 13.已知基本单位向量()1,0i =，()0,1f =，则34i f -的值为（） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25【答案】B 【解析】 【分析】计算出向量34i f -的坐标，再利用向量的求模公式计算出34i f -的值.【详解】由题意可得()()()3431,040,13,4i f -=-=-，因此，(23435i f -=+=， 故选：B.【点睛】本题考查向量模的计算，解题的关键就是求出向量的坐标，并利用坐标求出向量的模，考查运算求解能力，属于基础题.14.在学习等差数列时，我们由110a a d =+，21a a d =+，312a a d =+，⋯⋯，得到等差数列{}n a 的通项公式是()11n a a n d +-=，象这样由特殊到一般的推理方法叫做（） A. 不完全归纳法 B. 数学归纳法C. 综合法D. 分析法【答案】A 【解析】 【分析】根据题干中的推理由特殊到一般的推理属于归纳推理，但又不是数学归纳法，从而可得出结果.【详解】本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于归纳法，但本题并不是数学归纳法，因此，本题中的推理方法是不完全归纳法，故选：A.【点睛】本题考查归纳法的特点，判断时要区别数学归纳法与不完全归纳法，考查对概念的理解，属于基础题.15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()4n n a S n N *+=∈，则4S的值为（ ）A. 3B.72C.154D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =求出1a 值，再令2n ≥时，由4n n a S +=得出114n n a S --+=，两式相减可推出数列{}n a 是等比数列，求出该数列的公比，再利用等比数列求和公式可求出4S 的值. 【详解】当1n =时，11124a S a +==，得12a =；当2n≥时，由4n na S+=得出114n na S--+=，两式相减得120n na a--=，可得112nnaa-=. 所以，数列{}n a是以2为首项，以12为公比的等比数列，因此，441211152414412S⎛⎫-⎪⎝⎭==-=-.故选：C.【点睛】本题考查利用前n项和求数列通项，同时也考查了等比数列求和，在递推公式中涉及na与nS时，可利用公式11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩求解出n a，也可以转化为n S来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16.小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少次数为（）A. 126B. 127C. 128D. 129【答案】B【解析】【分析】假设A桩上有1n+个圆环，将1n+个圆环从A木桩全部套到B木桩上，需要最少的次数为1na+，根据题意求出数列{}n a的递推公式，利用递推公式求出数列{}n a的通项公式，从而得出7a 的值，可得出结果.【详解】假设A 桩上有1n +个圆环，将1n +个圆环从A 木桩全部套到B 木桩上，需要最少的次数为1n a +，可这样操作，先将n 个圆环从A 木桩全部套到C 木桩上，至少需要的次数为n a ，然后将最大的圆环从A 木桩套在B 木桩上，需要1次，在将C 木桩上n 个圆环从C 木桩套到B 木桩上，至少需要的次数为n a ，所以，121n n a a +=+，易知11a =. 设()12n n a x a x ++=+，得12n n a a x +=+，对比121n n a a +=+得1x =，()1121n n a a +∴+=+，1121n n a a ++∴=+且112a +=，所以，数列{}1n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列，67122128a ∴+=⨯=，因此，7127a =，故选：B.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，解题的关键就是利用题意得出数列的递推公式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知点G 是ABC ∆重心，2AD DC =. （1）用AB 和AC 表示AG ； （2）用AB 和AC 表示DG . 【答案】（1）()13AG AB AC =+（2）()13DG AB AC =-. 【解析】 【分析】（1）设BC 的中点为M ，可得出()12AM AB AC =+，利用重心性质得出23AG AM =，由此可得出AG 关于AB 、AC 的表达式； （2）由2AD DC =，得出23AD AC =，再由DG AG AD =-，可得出DG 关于AB 、AC 的表达式.【详解】（1）设BC 的中点为M ，则2AM AB AC =+，()12AM AB AC ∴=+，G 为ABC ∆的重心，因此，()()22113323AG AM AB AC AB AC ==⨯+=+； （2）2AD DC =，23AD AC =， 因此，()()121333DG AG AD AB AC AC AB AC =-=+-=-. 【点睛】本题考查利基底表示向量，应充分利用平面几何中一些性质，将问题中所涉及的向量利用基底表示，并结合平面向量的线性运算法则进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =++，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最小值和取得最小值时x 的取值. 【答案】（1）π；（2）当()4x k k Z ππ=-+∈时，()min 0f x =.【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式将函数()y f x =的解析式化简得()1sin 2f x x =+，再利用周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期； （2）由()222x k k Z ππ=-+∈可得出函数()y f x =的最小值和对应的x 的值.【详解】（1）()22sin 2sin cos cos 1sin 2f x x x x x x =++=+，因此，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=； （2）由（1）知，当()22x k k Z ππ=-+∈，即当()4x k k Z ππ=-+∈时，函数()y f x =取到最小值()min 110f x =-=.【点睛】本题考查利用二倍角公式化简，同时也考查了正弦型函数的周期和最值的求解，考查学生的化简运算能力，属于基础题.19.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.【答案】（13cos 1A C -=；（2）14. 【解析】 【分析】（1）在ABD ∆和BCD ∆中分别对BD 使用余弦定理，可推出A 与C 的关系，即可得出3cos A C -是一个定值；（2）求出2212S S +表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出2212S S +的最大值.【详解】（1）在ABD ∆中，由余弦定理得2412831683BD A A =+-=-， 在BCD ∆中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，168388cos A C -=-， 则)83cos 8A C -=，3cos 1A C -=；（2）1122S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=，则()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C AC +=+=-+， 由（11cosA C =+，代入上式得：)22222121612cos 4124cos 12S S A A A A +=---=-++，配方得：2221224cos 14S S A ⎛+=--+ ⎝⎭， ∴当arccos 6A =时，2212S S +取到最大值14.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.已知()()1,n n A A n n n N*+=∈.（1）求122334A A A A A A ++的坐标； （2）设()11n n b A A n N*+=∈，求数列{}nb 的通项公式；（3）设111,22n n a a B B +--⎛⎫=⎪⎝⎭，()21122n n a C C n N *+⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，其中a 为常数，1a ≥，求()112111lim 1n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++⋅++的值.【答案】（1）()1223346,6A A A A A A ++=；（2）22,22n n n n n b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭； （3）当1a =-时，()112111lim 21n n n n n n n n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++=-⋅++；当1a =或1a >时，()112111lim 01n n n n n nn n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++=⋅++.【解析】【分析】（1）利用题中定义结合平面向量加法的坐标运算可得出结果；（2）利用等差数列的求和公式和平面向量加法的坐标运算可得出数列{}n b 的通项公式；（3）先计算出()1121111n n n n n n n n A A B B a A AC C n ++++⋅++⋅++的表达式，然后分1a =、1a =-、1a >三种情况计算出()112111lim1n n n n n nn n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++⋅++的值.【详解】（1）由题意得()()122334123,1236,6A A A A A A ++=++++=； （2）()112231=123,123n n n n n b A A A A A A A A n n ++==+++++++++++22,22n n n n ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（3）()112111111n n n n n n n n n a a A A B B a A A C C n ++++-++⋅++=⋅++①当1a =时，()1121112limlim011n n n n n n nn n n A A B B a n A AC C n ++→∞→∞++⋅++==+⋅++； ②当1a =-时，()112111222limlimlim 2111011n n n n n n n nn n n A A B B a n n A AC C n n++→∞→∞→∞++⋅++---====-++⋅+++； ③当1a >时，()()211211211111limlim0111n n n n n n n n n n n a a n a a A A B B a n n A A C C n n n++→∞→∞++-++-++⋅++===⋅++++.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查等差数列求和以及数列极限的运算，计算时要充分利用数列极限的运算法则进行求解，综合性较强，属于中等题.21.无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a 、2a 、、n a 中等于n a 的项的个数.（1）若12019a =，求2a 和4a 的值； （2）已知命题:P 存在正整数m ，使得12m ma a +=，判断命题P 的真假并说明理由； （3）若对任意正整数n ，都有2n n a a +≥恒成立，求1039a 的值.【答案】（1）21a =，42a =；（2）真命题，证明见解析；（3）1039520a =. 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出2a 、3a 、4a 的值，可得出结果； （2）分11a =和11a >两种情况讨论，找出使得等式12m ma a +=成立的正整数m ，可得知命题P 为真命题；（3）先证明出“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件，由此可得出11a =，然后利用定义得出()21n a n n N *-=∈，由此可得出1039a 的值.【详解】（1）根据题意知，对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a 、2a 、、n a 中等于n a 的项的个数，因此，21a =，31a =，42a =； （2）真命题，证明如下：①当11a =时，则21a =，32a =，41a =，此时，当2m =时，1322m m a a a a +==； ②当11a >时，设()12,a k k k N *=≥∈，则21a =，31a =，42a =，此时，当3n =时，1432m m a a a a +==. 综上所述，命题P 为真命题；（3）先证明：“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件. 假设存在()11,a k k k N*=>∈，使得“存在m N*∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”.则数列{}n a 的前21k -项为k ，211,1,2,1,3,1,4,,1,2,1,1,1,k k k k---项，212,2,3,2,4,2,5,,2,2,2,1,2,k k k k---项…，213,3,4,3,5,3,6,,3,2,3,1,3,,,k k k k ---项……，2,2,1,2,k k k k k k----项，1,1,,k k k k k--项，后面的项顺次为21,1,1,2,1,3,,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k++---+--项…，22,1,2,2,2,3,,2,2,2,1,2,k k k k k k k k k k+-+--+-+项…，23,1,3,2,3,3,,3,2,3,1,3,k k k k k k k k k k+--+-+-+项…，21,1,1,2,1,3,,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k++++-+--项…，故对任意的1,2,3,,2,1,s k k k =--…，t N *∈2212(1)2112(1)2k t k t k t k ta k ta s ++-+-+--+=÷⎧⎪⎨=⎪⎩， 对任意的m ，取12m t k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则2kt m >，令212n k kt =++，则n m >，此时n a k =，21n a += 有2n n a a +>，这与2n n a a +≤矛盾，故若存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立，必有11a =；从而得证. 另外：当11a =时，数列{}n a 为1,1,2,1,3,1,4,,1,1,1,,k k -……， 故()21n a n n N*-=∈，则1039520a=.【点睛】本题考查数列知识的应用，涉及到命题真假的判断，同时也考查了数列新定义问题，解题时要充分从题中数列的定义出发，充分利用分类讨论思想，综合性强，属于难题.。
2021-2022学年上海市上海中学东校高一年级下册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市上海中学东校高一下学期期末数学试题一、填空题1．已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则______．α(,4)P x -α3cos 5α=x =【答案】3【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】解：由题意可得，且，解得.0x >3cos 5α==3x =故答案为：3.2．在等差数列中，，公差，则_______．{}n a 11a =2d =7a =【答案】13【分析】根据等差数列的通项即可得解.【详解】解：因为，公差，11a =2d =所以.17613a a d =+=故答案为：13.3．函数的最小正周期为___________.()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】π【分析】直接应用正弦型最小正周期公式进行求解即可.【详解】函数的最小正周期.()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22T ππ==故答案为：π4．已知，则在方向上的数量投影为_______．(1,3),(4,8)a b ==- b a【答案】【分析】根据投影的定义求解即可.【详解】解：由，(1,3),(4,8)a b ==-，20a b ⋅=所以在方向上的数量投影为.b aa ba⋅=故答案为：.5．若﹣1，x ，y ，z ，﹣9（x ､y ､）是等比数列，则实数___________.R z ∈y =【答案】-3【分析】由等比数列的性质直接计算即可得出结果.【详解】﹣1，x ，y ，z ，﹣9（x ､y ､）是等比数列， R z ∈.解得：.()()219xz y ∴-⨯-==3=±y 又，，则.2x y =-0y ∴<=3y -故答案为：3-6．已知数列是公比为的无穷等比数列，且，则___．{}n a q ()121lim 2n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=12a q +=【答案】1【分析】由无穷等比数列极限的求法可直接构造等式，整理即可得到结果.【详解】，，即.()1121lim 12n n a a a a q →∞++⋅⋅⋅+==- 121a q ∴=-121a q +=故答案为：.17．已知平面向量，，满足，，且，的夹角为，则________．a b 1a = 1= b a b π32a b +=【分析】首先根据数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得；a b ⋅ 2a 【详解】解：因为，，且，的夹角为，1a = 1= b a b π3所以， 11cos 11322a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=所以2a ====8．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到1111()2321n f n ++++<- 2n ≥*n ∈N n k =时，左边增加了________项；1n k =+【答案】2k【分析】根据数学归纳法的知识，判断出增加的项数.【详解】当时，不等式左边为；n k =11112321k ++++- 当时，不等式坐标为；1n k =+11111111232122121k k k k +++++++++-+- 故增加的项数为.()121212222k k k k k+---=⨯-=故答案为：2k【点睛】本小题主要考查数学归纳法的知识，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.9．在中，“”是“”的_____条件．ABC A B =sin 2sin 2A B =【答案】充分不必要【分析】在中，先化简，再根据充分、必要条件的定义判断即可.ABC sin 2sin 2A B =【详解】在中，由，可得或，ABC sin 2sin 2A B =22A B =22A B π+=即或，A B =2A B π+=所以“”是“”的充分不必要条件.A B =sin 2sin 2A B =故答案为：充分不必要.10．已知和均为等差数列，若，则的值是____．{}n a {}n b 23456,9a b a b =+=+67a b +【答案】12【分析】设数列和的公差分别为，根据题意可求得，再根据等差数列的通项即{}n a {}n b 12,d d 12d d +可得解.【详解】解：设数列和的公差分别为，{}n a {}n b 12,d d 由，23456,9a b a b =+=+得，12223d d +=所以.6147251222b a b a d d +=++=+故答案为：12.11．已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于、两点，且G ABC G ,AB AC M N ，则的最小值是_____．,,0,0AM mAB AN nAC m n ==>>35m n +【分析】延长交于点，则点为的中点，且，将用表示，再AG BC D D BC 23AG AD =AG ,AM AN 根据三点共线，可得的等量关系，再利用等量代换结合基本不等式即可得解.,,M N G ,m n 【详解】解：延长交于点，AG BC D 则点为的中点，且，D BC 23AG AD=故，()()22113323AG AD AB AC AB AC==⨯+=+ 又因为，,,0,0AM mAB AN nAC m n ==>>所以，111333AM AN AG AM AN m n m n⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为三点共线，,,M N G 所以，11313m n +=则()85835353331133n m m n m n m n m n ⎛⎫+=+=++≥+=+⎪⎝⎭当且仅当，即53n mm n =n m ==所以35m n+12．已知数列满足，是数列的前项和，则______．{}n a 11(1)31n n n a a n +++-=-n S {}n a n 20251a a -=【答案】6072【分析】分为奇数和偶数两种情况讨论，即当时，有，n *2,N n k k =∈21261k k a a k +-=-，当时，有，，从而可得232265k k a a k ++-=+*21,N n k k =-∈22164k k a a k -+=-222162k k a a k +++=+，即可得出答案.232112k k a a +--=【详解】解：由，11(1)31n n n a a n +++-=-当时，有，，*2,N n k k =∈21261k k a a k +-=-232265k k a a k ++-=+当时，有，，*21,N n k k =-∈22164kk a a k -+=-222162k k a a k +++=+所以，2223k k a a ++=，2121125k k a a k +-=+-，2321127k k a a k +++=+作差可得，232112k k a a +--=所以，()()()20252025202120212017201720131112506a a a a a a a a a =+++=⨯---++ 所以.202516072a a -=故答案为：6072.二、单选题13．下列结论中，正确的是（ ）A ．零向量只有大小没有方向B ．||||AB BA = C ．对任一向量，总是成立的D ．与线段的长度不相等a||0a > ||ABBA 【答案】B【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A 错误；由于与方向相反，长度相等，故B 正确；AB BA 因为零向量的模为0，故C 错误；与线段的长度相等，故D 错误．||ABBA 故选：B ．14．函数，（其中，，） 其图象如图所示，为了得到()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>2πϕ<的图象，可以将的图象（ ）()cos g x A xω=-()f xA ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度12π512πC ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度12π512π【答案】B【分析】根据函数所过的特殊点和正弦最小正周期公式，结合诱导公式和正弦型函数的变换性质进行判断即可.【详解】由函数图象可知：，函数过两点，设的最小正周1A =7(,0),(,1)312ππ-()()sin f x A x =+ωϕ期为，因为，所以有，而，因此，T 0ω>2T πω=741234T T ππππ=-=⇒=2ω=即，因为，()()sin 2f x x ϕ=+03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭所以，因为，()22sin 0()33f x k k Z ππϕϕπ⎛⎫=+=⇒+=∈ ⎪⎝⎭2πϕ<所以，即，因此，1k =3πϕ=()sin 2sin[2(36f x x x ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭而，()cos cos 2sin(2sin[2()]24g x A x x x x ππω=-=-=-=-而，因此该函数向右平移个单位长度得到函数的图()5sin 2sin[2()]3124f x x x πππ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭512π()g x 象，故选：B15．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ）A ．2806万元B ．2906万元C ．3106万元D ．3206万元【答案】A【分析】设每个实验室的装修费用为，设备费为，依据题意可得，联立求解可得x n a 527428112a a a a -=⎧⎨-=⎩的值，根据每个实验室的改建费用不能超过1100万元，可求解取值范围，再利用等比数列1,a q x 的求和公式可求解总费用，即得解.【详解】设每个实验室的装修费用为x 万元，设备费为万元，则，且n a (1,2,3,,10)n = 5228a a -=，解得，故.依题意，，即，所以，总费用为：74112a a -=12a q ==101024a =10241100x + 76x .()1012102121010102046280612x a a a x x ⋅-++++=+=+- 故选：A.16．数列满足，，，则的整数部分是（ ）{}n a 154a =211n n n a a a +=-+*n ∈N 122022111a a a +++ A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先根据数列的递推公式，利用裂项相消法求和即可得到，1220222023111141a a a a +++=-- 再先判断，通过计算可判断出，即可求出结果.111n n a a a -≥≥≥> 20232a >【详解】因为数列满足，，{}n a 154a =211n n n a a a +=-+所以，即，()111n n n a a a +-=-()11111111n n n n na a a a a +==----所以，111111n n n a a a +=---所以，1220221223202220232023111111111141111111a a a a a a a a a a ++⋯+=-+-+⋯+-=--------又因为，即，()2212101n n n n n a a a a a +-+=-=≥-1n n a a +≥所以，所以，111n n a a a -≥≥≥> 111110111n n a a a -<≤≤≤--- ，，，，，，154a =22116a =3361256a =410344165536a =5 1.91a ≈6 2.742a ≈>，即，，202362a a ∴>>202311a ->20231011a <<-，()2023143,41a ∴-∈-因此的整数部分是.122022111a a a ++⋯+3故选：C.三、解答题17．已知，求下列各式的值：1tan 2α=-(1)；cos sin sin 3cos αααα+-(2)．2sin sin 212cos cos2αααα+++【答案】(1)17-(2)12-【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系求解即可；（2）先利用二倍角公式化简，然后计算即可.【详解】（1）11cos sin 1tan 121sin 3cos tan 3732αααααα-++===-----（2）22sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )1tan 12cos cos212cos 2cos 12cos (1cos )2αααααααααααααα+++====-++++-+18．已知向量，．()1,2a =()3,2b =- (1)求；a b ⋅(2)若向量与互相垂直，求的值．a b +- a kb k 【答案】(1)1(2)37【分析】（1）根据平面向量数量积的定义计算即可；（2）根据平面向量垂直的性质可得到，计算即可求解.()()0a b a kb +⋅-=【详解】（1）由，，()1,2a =()3,2b =-.()1322341a b ∴⋅=⨯-+⨯=-+=（2）若向量与互相垂直，a b +- a kb 则，22()()(1)51310a b a kb a kb k a b k k +⋅-=-+-⋅=-+-=所以．37k =19．已知数列{}1221,2,5,43.++===-n n n n a a a a a a (1)令，求证：数列是等比数列；1n n n b a a +=-{}n b (2)若，求数列的前项和．n n c nb ={}n c n n S 【答案】(1)见解析(2)11133244n n S n +⎛⎫=-+⎪⎝⎭【分析】（1）根据递推公式证明为定值即可；2113n n n n a a a a +++--（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）证明：因为，所以，即，2143n n n a a a ++=-2113(3)n n n n a a a a +++-=-13n n b b +=又，1213b a a -==所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；{}n b （2）解：由（1）得，11333n n n na a +--=⋅=，3nn n c nb n =⋅=则，23323333n n S n =+⨯+⨯++⋅ ，23413323333n n S n +=+⨯+⨯++⋅ 两式相减得，()2311131313233333331322n nn n n n S n n n +++-⎛⎫-=++++-⋅=-⋅=--⎪-⎝⎭所以．11133244n n S n +⎛⎫=-+⎪⎝⎭20．如图，现要在一块半径为，圆心角为的扇形白铁片上剪出一个平行四边形，1m π3AOB MNPQ使点在圆弧上，点在上，点在上，设，平行四边形的面积为P AB Q OA ,M N OB BOP θ∠=MNPQ .S(1)求关于的函数关系式；S θ(2)求的最大值及相应的角．S θ【答案】(1)1πsin 22,(0,)23S θθθ=+∈(2)，此时S 26πθ=【分析】（1）分别过作于，于，则四边形为矩形,则,P Q PD OB ⊥D QE OB ⊥E QEDP ,直接利用平行四边形的面积公式求解即可.MN QP ED ==（2）利用辅助角公式恒等变形求其最值即可.【详解】（1）分别过作于，于，则四边形为矩形．,P Q PD OB ⊥D QE OB ⊥E QEDP由扇形半径为1m ，得，.sin PD θ=cos OD θ=在△中，Rt OEQ,OE =,cos MN QP ED OD OE θθ===-=2(cos )sin sin cos S MN PD θθθθθθ=⋅==，.1sin 222θθ=π(0,)3θ∈（2）由（1）得1πsin 2226S θθθ=+=+∵，∴，∴π(0,)3θ∈ππ5π2(,)666θ+∈π1sin(2)(,1]62θ+∈当时，.π6θ=2max S =21．已知数列的前项和为．{}n a n 21122n S n n =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，为数列的前项和．试问：是否存在关于的整式，使得1n n b a =n T {}n b n n ()g n 恒成立（其中且），若存在，写出的解析式，并加以证121(1)()n n T T T T g n ++++=-⋅ N n ∈1n ≥()g n 明；若不存在，说明理由．【答案】(1)n a n=(2)答案见解析【分析】（1）由时，，时，即可求得；1n =111a S ==2n ≥1n n n a S S -=-n a （2）由题意可得，则，可得，然后111123n T n =++++ 11(1)1n n T T n n +-=≥+1(1)1n n n n T nT T ++-=+用累加法求得，即可得出答案．1231(1)(1)n n T T T T n T +++++=+- 【详解】（1）当时，，1n =111a S ==当时，，2n ≥2211111[(1)(1)]2222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=当时，也适合上式，1n =所以；n a n =（2），，其中1n b n =111123n T n =++++ 11T =则，即，所以，11(1)1n n T T n n +-=≥+1(1)(1)1n n n T n T ++-+=1(1)1n n n n T nT T ++-=+由，，，，1(1)1n n n n T nT T ++-=+11(1)1n n n nT n T T ----=+ 21121T T T -=+累加得，11123(1)n n n T T T T T T n ++-=+++++ 所以，12311(1)(1)(1)(1)n n n T T T T n T n n T ++++++=+-+=+- 则，故存在关于的整式满足题意．()1g n n =+n ()1g x n =+。
2020-2021学年上海市上海师范大学附属中学高一下学期期末考试数学试卷及解析
2020-2021学年上海市上海师范大学附属中学高一下学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、填空题（共12小题）.1．＝．解：＝＝．故答案为：．2．若1+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的根，则pq＝﹣4 ．解：若1+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的根，则1﹣i也是该方程的根，所以（1+i）+（1﹣i）＝﹣p，解得p＝﹣2；（1+i）（1﹣i）＝q，解得q＝2；所以pq＝﹣4．故答案为：﹣4．3．＝ 3 ．解：＝＝＝3．故答案为：3．4．已知等差数列{a n}的各项不为零，且a3、a13、a63成等比数列，则公比是1或5 ．解：等差数列{a n}的各项不为零，公差设为d，由a3、a13、a63成等比数列，可得a3a63＝a132，即（a1+2d）（a1+62d）＝（a1+12d）2，化为d2＝2a1d，即d＝0或d＝2a1，可得等比数列的公比为1或＝＝＝5，故答案为：1或5．5．已知向量，，若向量∥，则实数m＝．解：向量，，则﹣2＝（1﹣2m，8），又∥，则﹣3（1﹣2m）﹣8m＝0，解得m＝﹣．故答案为：﹣．6．某天，一个班级只有四门学科教师都布置了晚自习作业，晚自习上，在同一时刻3名学生都做作业的可能情形有64 种（用数字作答）．解：每一名学生做作业的情况有4种，故在同一时刻3名学生都做作业的可能情形43＝64种，故答案为：64．7．（1+++……+）＝ 2 ．解：＝＝2（），∴（1+++……+）＝2（1﹣+…）＝（2﹣）＝2．故答案为：2．8．2010年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有36 种．解：由题意知本题需要分类，若小张或小赵入选，则有选法C21C21A33＝24；若小张、小赵都入选，则有选法A22A33＝12，根据分类计数原理知共有选法24+12＝36种故答案为：369．在无穷等比数列{a n}中，若，则a1的取值范围是．解：在无穷等比数列{a n}中，，可知|q|＜1，﹣1＜q＜0或0＜q＜1则＝，a＝（1﹣q）∈（0，）∪（，）．1故答案为：（0，）∪（，）．10．市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有480 种．（用数字作答）解：把四位乘客当作4个元素作全排列有A44种排法，将一个空位和余下的5个空位作为一个元素插空有A52种排法，∴A44•A52＝480；故答案为480．11．5名奥运火矩手分别到香港、澳门、台湾进行奥运知识宣传，每个地方至少去一名火矩手，则不同的分派方法共有150 种（用数字作答）．解：根据题意，分2步进行分析：①将5人分为3组，若分为3、1、1的三组，有C53＝10种分组方法，若分为2、2、1的三组，有＝15种分组方法，则有10+15＝25种分组方法，②将分好的三组全排列，安排到三个地区，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种分派方法，故答案为：150．12．我们把一系列向量（i＝1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足＝（1，1），，设θn表示向量与的夹角，若b n＝对任意正整数n，不等式（1﹣2a）恒成立，则实数a的取值范围是（0，）．解：由题意，计算cosθn＝，把代入，可求得cosθn＝，所以θn＝；所以b n＝θn＝；记cn＝++…+＝++…+；则c n+1＝++…+++；所以c n+1﹣c n＝+﹣＝﹣＞0；所以数列{cn }是单调递增数列，且loga（1﹣2a）＜（c n）min＝c1＝1；由于1﹣2a＞0，解得a＜，所以，解得0＜a＜，所以a的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．二、选择题13．在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•2•3•…•（2n﹣1）（n∈N*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（）A．2k+1 B．2（2k+1）C．D．解：当n＝k+1时，左端＝（k+1）（k+2）（k+k）（k+k+1）（k+1+k+1），所以左端增加的代数式为（k+k+1）（k+1+k+1）＝2（2k+1），故选：B．14．从7人中选派5人到10个不同岗位的5个中参加工作，则不同的选派方法有（）A．种B．种C．种D．种解：第一步，选出5人，共有c75种不同选法，第二步，选出5个岗位，共有c105种不同选法，第三步，将5人分配到5个岗位，共有A55种不同选法，依分步计数原理，知不同的选派方法有C75C105A55＝C75A105种．故选：D．15．复数z满足|z﹣3i|＝2（i为虚数单位），则复数z﹣4模的取值范围是（）A．[3，7] B．[0，5] C．[0，9] D．以上都不对解：由|z﹣3i|＝2，可知复数z对应点的轨迹为以B（0，3）为圆心，以2为半径的圆上，如图：则复数z﹣4模的最小值为|AB|﹣2＝5﹣2＝3，最大值为|AB|+2＝5+2＝7．∴复数z﹣4模的取值范围是[3，7]．故选：A．16．设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的周长（i＝1，2，…），则“数列{A n}为等差数列”的充要条件是（）A．{a n}是等差数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等差数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同解：A i＝2（a i+a i+1），A﹣A i＝2（a i+2+a i+1）﹣2（a i+a i+1）＝2（a i+2﹣a i），i+1若数列{A n}为等差数列，则a i+2﹣a i为常数，可得：a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同．反之也成立．∴“数列{A n}为等差数列”的充要条件是：a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同．故选：D．三、解答题17．已知O为直角坐标系原点，与垂直，与平行．（1）求向量在向量上的投影；（2）求的坐标．解：（1）因为＝（3，1），＝（﹣1，2），所以＝﹣＝（﹣4，1），计算•＝﹣12+1＝﹣11，||＝＝，所以向量在向量上的投影为：||cosθ＝＝＝﹣；（2）设＝（x，y），因为与垂直，所以•＝﹣x+2y＝0，又＝﹣＝（x+1，y﹣2），且与平行，所以3（y﹣2）﹣（x+1）＝0，即x﹣3y+7＝0，由，解得，所以＝（14，7）；所以的坐标为（14，7）．18．已知f（z）＝﹣1，且f（z1﹣z2）＝4+4i，若z1＝2﹣2i．（1）求复数z1＝2﹣2i的三角形式，并且复数z1的辐角主值arg z1；（2）求|．解：（1）z1＝2﹣2i＝＝，则arg z1＝；（2）设z2＝x+yi（x，y∈R），∵z1＝2﹣2i，∴z1﹣z2＝（2﹣x）﹣（y+2）i，∵f（z）＝﹣1，∴f（z1﹣z2）＝（1﹣x）+（y+2）i＝4+4i，∴，则x＝﹣3，y＝2，∴z2＝﹣3+2i，则＝，则|＝|﹣5+4i|＝．19．据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个．（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个．（精确到0.1万个）；（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）解：（1）每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项为3万个．则计划2020年新建基站数为．故2020年全国共有基站13+49.2＝62.2万个；（2）由题意，每年新建的数量构成等比数列，设公比为q（q＞0）．由60+60q+60q2＝800﹣13，得．解得：q≈3（q＞0）．∴2021年至少建60×3＝180万个，2022年至少建60×9＝540万个才能完成计划．20．已知数列{a n}的首项为x（x∈R），前n顶和为S n．（1）若S n＝na n﹣，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，是否存在x（x∈R），使得对任意n∈N，n≥1，恒有＝k（其中k是与正整数n无关的常数），若存在，求出x与k的值，若不存在，说明理由；（3）若{a n}是无穷等比数列，且公比q≠﹣1，计算．解：（1）由，得，两式作差可得a n+1＝na n+1+a n+1﹣na n﹣n，即a n+1﹣a n＝1，∴数列{a n}是首项为x，公差为1的等差数列，则a n＝x+（n﹣1）×1＝n+x﹣1；（2）由＝k，得S n＝kS2n，即nx+＝k[2nx+n（2n﹣1）]，整理得：（1﹣4k）n﹣（2k﹣1）（2x﹣1）＝0，当x＝，k＝时，该等式恒成立，即当x＝时，＝；（3）若{a n}是无穷等比数列，且公比q≠﹣1，当q＝1时，S n＝nx，S2n＝2nx，，则＝；当q≠1时，，，，＝＝．∴＝．21．设数列{a n}（n∈N*）中前两项a1，a2给定，若对于每个正整数n≥3，均存在正整数k（1≤k≤n﹣1）使得a n＝，则称数列{a n}为“Ω数列”．（1）若数列{a n}（n∈N*）为a1＝1，a2＝﹣的等比数列，当n≥3时，试问：a n与是否相等，并说明数列{a n}（n∈N*）是否为“Ω数列”；（2）讨论首项为a1、公差为d的等差数列{a n}是否为“Ω数列”，并说明理由；（3）已知数列{a n}为“Ω数列”，且a1＝0，a2＝1，记S（n，k）＝a n﹣1+a n﹣2+…+a n﹣k，（n ≥2，n∈N*），其中正整数k≤n﹣1，对于每个正整数n≥3，当正整数k分别取1、2、…、n﹣1时的最大值记为M、最小值记为m n．设b n＝n•（M n﹣m n），当正整数n满足3n≤n≤2020时，比较b n与b n+1的大小，并求出b n的最大值．解：（1）∵数列{a n}（n∈N*）为a1＝1，a2＝﹣的等比数列，∴a n＝（﹣）n﹣1．由于当n≥3时，均有＝＝•（﹣）n﹣3＝（﹣）n﹣1＝a n，∴a n与相等．∵对每个正整数n≥3，均存在正整数k＝2且1≤2≤n﹣1，使得a n＝，∴数列{a n}为“Ω数列“．（2）d＝0时，对于每个正整数n≥3，均存在正整数k＝1，∵1≤1≤n﹣1，使，∴d＝0时，数列{a n}为Ω数列，d＞0时，，且，d＜0时，．∴d≠0时，对n＝3，当正整数k在1≤k≤3﹣1时，总有，∴d≠0时，数列{a n}不是Ω数列．（3）由题设知对于每个正整数n≥3，均有a n∈[m n，M n]，∈[m n，M n]，且对于所有正整数k≤n﹣1，均有m n≤，即kM n≤S（n，k）≤kM n，记S（n，0）＝0，对于每个正整数n≥4，选取适当的正整数l，l≤n﹣1，使得M n＝，由S（n，l）＝a n﹣1+S（n﹣1，l﹣1）≤a n﹣1+（l﹣1）M n﹣1，则l（M n﹣a n﹣1）＝lM n﹣la n﹣1＝S（n，l）﹣la n﹣1≤a n﹣1+（l﹣1）M n﹣1﹣la n﹣1＝（l﹣1）M n﹣1﹣a n﹣1，即M n﹣a n﹣1≤，类似的，l（a﹣m n）＝la n﹣1﹣lm n＝la n﹣1﹣S（n，l）＝la n﹣1﹣a n﹣1﹣S（n﹣1，l﹣1）n﹣1≤（l﹣1）a n﹣1﹣（l﹣1）m n﹣1＝（l﹣1）（a n﹣1﹣m n﹣1），∵m n﹣1≤a n﹣1≤M n﹣1•t≤n﹣1，l≤n﹣1，∴M n﹣m n，∴M n﹣m n＝（M n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣m n）≤+＝＝，∴M n﹣m n≤，∵a1＝0，a2＝1，∴m n﹣1≠M n﹣1，∴n（M n﹣m n）＜（n﹣1）（M n﹣1﹣m n﹣1），∴正整数n≥4时，b n＜b n﹣1成立，即正整数n＞3时，b n+1＜b n成立，∴在正整数n满足3≤n≤2020时，当n＝3时，b n取最大值为b3＝3（1﹣）＝．。
上海市上海中学2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
上海市上海中学2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题。
1.1lim 1n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 【答案】1【解析】【分析】 由1lim=0x n→∞即可求得 【详解】11lim(1=lim1lim =1-0=1x x x n n →∞→∞→∞--） 【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。
2.已知等差数列13,21,2,n a a d ===则n = ．【答案】10【解析】试题分析：根据公式，()11n a a n d =+-，将13,21,2,n a a d ===代入，计算得n=10． 考点：等差数列的通项公式．3.数列{}n a 中，已知*41322,n n n a n N =-+∈•，50为第________项.【答案】4【解析】【分析】方程变为4132-48=0n n -•，设2n x =，解关于x 的二次方程可求得。
【详解】*41322,n n n a n N =-+∈•，则5041322n n =-+•，即4132-48=0n n -•设2n x =，则213480x x --=，有16x =或3x =-取16x =得216n =，4n =，所以是第4项。
【点睛】发现242n n =（），原方程可通过换元，变为关于x 的一个二次方程。
对于指数结构242n n =（），293n n =（），2255n n =（）等，都可以通过换元变为二次形式研究。
4.{}n a 等比数列，若1234126,52a a a a a ++=-=，则n a =_______.【答案】123n -•【解析】【分析】将1234126,52a a a a a ++=-=这两式中的量全部用1,a q 表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。
【详解】12326a a a ++=相当于211=26a q q ++（）， 4152a a -=相当于3211-1=(1)(1)52a q a q q q -++=（）， 上面两式相除得12,q -=3q ∴=代入就得12a =，123n n a -∴=g【点睛】基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。
2020-2021学年上海市徐汇区高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年上海市徐汇区高一（下）期末数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）已知角α的终边上的一点（4t ，-3t ）（t ＞0），则sinα=___ ．2.（填空题，0分）设复数z 满足i•z=3+2i ，其中i 为虚数单位，则Imz=___ ．3.（填空题，0分）已知向量 a ⃗ =（-1，1）， b ⃗⃗ =（m ，2），若存在实数λ，使得 a ⃗=λb⃗⃗ ，则实数m 的值为 ___ ．4.（填空题，0分）将正弦函数y=sinx 的图象向右平移m （m ＞0）个单位，可以得到余弦函数y=cosx 的图象，则m 的最小值为 ___ ．5.（填空题，0分）已知 a ⃗ =（1，0）， b ⃗⃗ =（5，5），则向量 b ⃗⃗ 在向量 a ⃗ 方向上的投影向量的坐标为 ___ ．6.（填空题，0分）函数y=log 0.5（x 2+2x-3）的单调减区间是 ___ ．7.（填空题，0分）已知单位向量 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 满足| a ⃗+b ⃗⃗ |= √3 ，则 a ⃗ 、 b⃗⃗ 的夹角为 ___ ． 8.（填空题，0分）已知sin （75°+α）= 13 ，则cos （15°-α）的值为___ ．9.（填空题，0分）设m∈R ，若z 是关于x 的方程x 2+mx+m 2-1=0的一个虚根，则 |z | 的取值范围是___ ．10.（填空题，0分）赵爽是我国古代数学家和天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形面积为1，若直角三角形中较小的锐角为α，则tan （α- π4 ）的值为 ___ ．11.（填空题，0分）已知函数y=a+cosωx ，x∈[-π，π]（其中a 、ω为常数，且ω＞0）有且仅有三个零点，则ω的取值范围是 ___ ．12.（填空题，0分）已知函数f （x ）= {−x 2−2x (x ≤a )−x +2(x ＞a)，若存在实数x 0，使得对于任意的实数x 都有f （x ）≤f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是___ ．13.（单选题，0分）在△ABC 中，“ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗＜0 ”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题，0分）已知幂函数y=x -1，及直线y=x 、y=1、x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ（如图所示），那么，幂函数y= x −13 的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A.Ⅵ、ⅦB.Ⅳ、ⅧC.Ⅲ、ⅧD.Ⅲ、Ⅶ15.（单选题，0分）函数y=1-2sin 2（x- π4 ）是（ ）A.最小正周期为 π2 的奇函数B.最小正周期为 π2 的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数16.（单选题，0分）人们用分贝（dB ）来划分声音的等级，声音的等级d （x ）（单位：dB ）与声音强度x （单位W/m 2）满足d （x ）=9lg x 1×10−13 ，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB ，在一个40人的教室讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（ ）A.36dBB.63dBC.72dBD.81dB17.（问答题，0分）已知复数z=（m 2+m-6）+（m 2-3m+2）i ，其中m 为实数，i 为虚数单位．（1）m 为何值时，z 是纯虚数；（2）若复数z 在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m 的取值范围．18.（问答题，0分）在△ABC 中，设 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ，记△ABC 的面积为S ． （1）求证：S= 12√|a ⃗|2|b ⃗⃗|2−(a ⃗•b ⃗⃗)2 ； （2）设 a ⃗ =（x 1，y 1）， b ⃗⃗ =（x 2，y 2），求证：S= 12|x 1y 2-x 2y 1|．19.（问答题，0分）主动降噪耳机工作的主要原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声声x+φ）（A＞0，0≤φ＜π），其中振幅为2且经过点（1，波曲线的解析式为f（x）=Asin（2π3-2）．（1）求该噪声声波曲线的解析式f（x）以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g（x）；（2）证明：g（x）+g（x+1）+g（x+2）为定值．20.（问答题，0分）为了测量金茂大厦最高点A与上海中心大厦最高点B之间的距离，一架无人机在两座大厦的正上方飞行，无人机的飞行轨迹是一条水平直线MN，并且在飞行路线上选择C、D两点进行定点测量（如图），无人机能够测量的数据有：无人机的飞行高度h，CD间的距离d和俯角（即无人机前进正方向与无人机、测量目标连线所成的角）．），问：能（1）若无人机在C处测得∠NCA=α，在D处测得∠NDA=β，其中α、β∈（0，π2否测得金茂大厦的高？若能，请求出金茂大厦的高度（用已知数据h、d、α、β表示），若不能，请说明理由；（2）若要进一步计算金茂大厦最高点A与上海中心大厦最高点B之间的距离，还需测量哪些数据？请用文字和公式简要叙述测量与计算的步骤．21.（问答题，0分）已知函数f（x）的定义域为D，若对任意的x1∈D，都存在x2∈D，满足f，则称函数f（x）为“L函数”．（x1）= 1f(x2)，x∈R是否为“L函数”，并说明理由；（1）判断函数f（x）=sinx+ 32（2）已知“L函数”f（x）是定义在[a，b]上的严格增函数，且f（a）＞0，f（b）＞0，求证：f （a）•f（b）=1．2020-2021学年上海市徐汇区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）已知角α的终边上的一点（4t，-3t）（t＞0），则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- 35【解析】：由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】：解：因为角α的终边上一点P（4t，-3t）（t≠0），又t＞0时，sinα=√16t2+9t2 = −3t5t=- 35．故答案为：- 35．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.（填空题，0分）设复数z满足i•z=3+2i，其中i为虚数单位，则Imz=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由i•z=3+2i可求得复数z，然后可求得Imz．【解答】：解：由i•z=3+2i可得z= 3+2ii = (3+2i)ii•i=2-3i，∴Imz=-3．故答案为：-3．【点评】：本题考查复数定义及除法运算，考查数学运算能力，属于基础题．3.（填空题，0分）已知向量a⃗ =（-1，1），b⃗⃗ =（m，2），若存在实数λ，使得a⃗=λb⃗⃗，则实数m的值为 ___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：根据题意可知，a⃗，b⃗⃗共线，从而可得出-2-m=0，然后解出m的值即可．【解答】：解：∵ b⃗⃗≠0⃗⃗，且a⃗=λb⃗⃗，∴ a⃗与b⃗⃗共线，∴-2-m=0，解得m=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查了共线向量基本定理，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．4.（填空题，0分）将正弦函数y=sinx的图象向右平移m（m＞0）个单位，可以得到余弦函数y=cosx的图象，则m的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1] 3π2【解析】：由题意知，y=sin（x-m）=cosx，再利用诱导公式，即可得解．【解答】：解：y=sinx的图象向右平移m个单位得到y=sin（x-m）=cosx，．由诱导公式知，m的最小值为3π2．故答案为：3π2【点评】：本题考查三角函数的图象与性质，函数图象的变换，考查逻辑推理能力，属于基础题．5.（填空题，0分）已知a⃗ =（1，0），b⃗⃗ =（5，5），则向量b⃗⃗在向量a⃗方向上的投影向量的坐标为 ___ ．【正确答案】：[1]（5，0）【解析】：由向量投影的定义和向量共线定理，可得投影向量的坐标．=5，【解答】：解：向量b⃗⃗在向量a⃗方向上的投影为a⃗⃗•b⃗⃗|a⃗⃗|由于向量b⃗⃗在向量a⃗方向上的投影向量与a⃗共线，可得投影向量为5 a⃗ =（5，0），故答案为：（5，0）．【点评】：本题考查投影向量的求法，考查运算能力，属于基础题．6.（填空题，0分）函数y=log0.5（x2+2x-3）的单调减区间是 ___ ．【正确答案】：[1]（1，+∞）【解析】：由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，得出结论．【解答】：解：函数y=log0.5（x2+2x-3）的单调减区间，即t=x2+2x-3=（x+3）（x-1），在t＞0的条件下，函数t的增区间．利用二次函数的性质可得，在t＞0的条件下，函数t的增区间为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．【点评】：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．7.（填空题，0分）已知单位向量a⃗、b⃗⃗满足| a⃗+b⃗⃗ |= √3，则a⃗、b⃗⃗的夹角为 ___ ．【正确答案】：[1] π3【解析】：根据题意，设a⃗、b⃗⃗的夹角为θ，若| a⃗+b⃗⃗ |= √3，由数量积的计算公式可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．【解答】：解：根据题意，设a⃗、b⃗⃗的夹角为θ，，若| a⃗+b⃗⃗ |= √3，则有2+2cosθ=3，解可得cosθ= 12，又由0≤θ≤π，则θ= π3．故答案为：π3【点评】：本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．，则cos（15°-α）的值为___ ．8.（填空题，0分）已知sin（75°+α）= 13【正确答案】：[1] 13【解析】：由15°-α=90°-（75°+α），再结合诱导公式，得解．．【解答】：解：cos（15°-α）=cos[90°-（75°+α）]=sin（75°+α）= 13．故答案为：13【点评】：本题考查诱导公式的应用，属于基础题．9.（填空题，0分）设m∈R，若z是关于x的方程x2+mx+m2-1=0的一个虚根，则|z|的取值范围是___ ．，+∞）【正确答案】：[1]（√33【解析】：设z=a+bi，（a，b∈R），则|z| =a2+b2=m2-1，解出即可得出．【解答】：解：设z=a+bi，（a，b∈R），则z =a-bi也此方程的一个虚根．z是关于x的方程x2+mx+m2-1=0的一个虚根，可得m2-4（m2-1）＜0，m2＞43∴a2+b2=m2-1，则|z| = √m2−1＞√33，则|z|的取值范围是：（√33，+∞），故答案为：（√33，+∞）．【点评】：本题考查了关于实系数一元二次方程有虚根的情况、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.（填空题，0分）赵爽是我国古代数学家和天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形面积为1，若直角三角形中较小的锐角为α，则tan（α- π4）的值为 ___ ．【正确答案】：[1] −17【解析】：直接利用三角函数的关系式的变换，正切函数的差角公式的应用求出结果．【解答】：解：直角三角形的边长为a和a+1，所以a2+（a+1）2=25，解得a=3，故a+1=4，所以sinα=35，cos α=45，则tan α=34，故tan(α−π4)=tanα−11+tanα=34−11+34=−17．故答案为：−17．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正切函数的差角公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.（填空题，0分）已知函数y=a+cosωx，x∈[-π，π]（其中a、ω为常数，且ω＞0）有且仅有三个零点，则ω的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][2，4）【解析】：利用函数的奇偶性得到a的值，然后将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合法求解即可．【解答】：解：函数y=a+co sωx在[-π，π]上为偶函数，且函数有且仅有三个零点，故必有一个零点为x=0，所以a+cos0=0，解得a=-1，所以函数y=cosωx-1，则函数y=cosωx-1在[-π，π]上有且仅有三个零点，等价于y=cosωx的图象与直线y=1在[-π，π]上有且仅有三个交点，当ω=1时，函数y=cosx与y=1在[-π，π]上有且仅有一个交点，故ω＞1；当ω=2时，函数y=cos2x与y=1在[-π，π]上恰有3个交点，如图所示，故ω≥2，当ω=4时，函数y=cos4x与y=1在[-π，π]上恰有5个交点，如图所示，故ω＜4．综上所述，ω的取值范围是[2，4）．故答案为：[2，4）．【点评】：本题考查了三角函数图象与性质的应用，函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．12.（填空题，0分）已知函数f （x ）= {−x 2−2x (x ≤a )−x +2(x ＞a)，若存在实数x 0，使得对于任意的实数x 都有f （x ）≤f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][1，+∞）【解析】：根据题意，得到函数存在最大值，结合分段函数的性质即可求解结论．【解答】：解：∵函数f （x ）= {−x 2−2x (x ≤a )−x +2(x ＞a)，若存在实数x 0，使得对于任意的实数x 都有f （x ）≤f （x 0）成立，即函数有最大值f （x 0），又因为当x ＞a 时，f （x ）=-x+2，单调递减，且f （x ）＜-a+2，故当x≤a 时，f （x ）=-x 2-2x=-（x+1）2+1，∴1≥-a+2且a≥-1，故a≥1，故答案为：[1，+∞）．【点评】：本题主要考查分段函数的性质，以及分类讨论思想的应用，属于中档题目．13.（单选题，0分）在△ABC 中，“ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗＜0 ”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗＜0 ”可得“△ABC 是钝角三角形”，而“△ABC 是钝角三角形”推不出角A 为钝角，由充要条件的定义可得答案．【解答】：解：由题意可知若“ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗＜0 ”则必有角A 为钝角，可得“△ABC 是钝角三角形”， 而“△ABC 是钝角三角形”不一定角A 为钝角，可能角B 或C 为钝角，故推不出角A 为钝角，故可得“ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗＜0 ”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】：本题考查充要条件的判断，涉及三角形形状的判断和向量的数量积问题，属基础题．14.（单选题，0分）已知幂函数y=x-1，及直线y=x、y=1、x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ（如图所示），那么，幂函数y= x−13的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A.Ⅵ、ⅦB.Ⅳ、ⅧC.Ⅲ、ⅧD.Ⅲ、Ⅶ【正确答案】：B【解析】：若x−13 =2与x-1=2，则x=18与x= 12，从而判断即可．【解答】：解：∵-1＜- 13＜0，若x−13 =2与x-1=2，则x=18与x= 12，∴幂函数y= x−13的图象在第一象限中经过的“卦限”是Ⅳ、Ⅷ，故选：B．【点评】：本题考查了幂函数图象的判断，属于基础题．15.（单选题，0分）函数y=1-2sin2（x- π4）是（）A.最小正周期为π2的奇函数B.最小正周期为π2的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数【正确答案】：C【解析】：利用二倍角公式，诱导公式化简函数解析式可得y=sin2x，进而根据正弦函数的性质即可求解．【解答】：解：y=1-2sin2（x- π4）=1-[1-cos（2x- π2）]=cos（2x- π2）=sin2x，可得函数最小正周期T= 2π2=π，又f（-x）=sin2（-x）=-sin2x=-f（x），函数为奇函数．故选：C．【点评】：本题主要考查了二倍角公式，诱导公式以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．16.（单选题，0分）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级d（x）（单位：dB）与声音强度x（单位W/m2）满足d（x）=9lg x1×10−13，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在一个40人的教室讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（）A.36dBB.63dBC.72dBD.81dB【正确答案】：B【解析】：利用题中给出的函数模型，结合对数的运算性质求解即可．【解答】：解：设一般两人小声交谈时声音强度为x，则54= 9lg x1×10−13，即lg x1×10−13=6，所以9lg10x1×10−13=9(lg10+lg x1×10−13)=9×(1+6) =63（dB），则老师声音的等级约为63（dB）．故选：B．【点评】：本题考查了函数模型的利用，对数运算法则的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．17.（问答题，0分）已知复数z=（m2+m-6）+（m2-3m+2）i，其中m为实数，i为虚数单位．（1）m为何值时，z是纯虚数；（2）若复数z在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，根据纯虚数的概念即可求解．（2）根据复数z所在的象限，即可求解．【解答】：解：（1）∵z 是纯虚数，∴ {m 2+m −6=0m 2−3m +2≠0，解得m=-3． （2）∵z 对应的点在第二象限， ∴ {m 2+m −6＜0m 2−3m +2＞0 ，解得-3＜m ＜-1，∴m 的取值范围为（-3，-1）．【点评】：本题考查了纯虚数的概念，以及复数对应的点所在象限的计算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．18.（问答题，0分）在△ABC 中，设 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ，记△ABC 的面积为S ． （1）求证：S= 12√|a ⃗|2|b ⃗⃗|2−(a ⃗•b⃗⃗)2； （2）设 a ⃗ =（x 1，y 1）， b ⃗⃗ =（x 2，y 2），求证：S= 12 |x 1y 2-x 2y 1|．【正确答案】：【解析】：（1）利用数量积的定义结合面积公式，容易推证结论；（2）利用坐标条件下数量积的运算公式、求模公式结合（1）的结论可求解．【解答】：证明：（1）S= 12|a ⃗|•|b ⃗⃗|sinC = 12√|a ⃗|2|b ⃗⃗|2sin 2C = 12√|a ⃗|2|b⃗⃗|2(1−cos 2C ) = 12√|a ⃗|2|b ⃗⃗|2−(|a ⃗||b ⃗⃗|cosC)2= 12√|a ⃗|2|b ⃗⃗|2−(a ⃗•b ⃗⃗)2 ． 故原式成立．（2）因为 a ⃗ =（x 1，y 1）， b ⃗⃗ =（x 2，y 2）， 所以S= 12√|a ⃗|2|b ⃗⃗|2−(a ⃗•b ⃗⃗)2= 12√(x 12+y 12)(x 22+y 22)−(x 1x 2+y 1y 2)2 = 12√x 12y 22+x 22y 12−2x 1y 2x 2y 1 = 12√(x 1y 2−x 2y 1)212|x 1y 2-x 2y 1|，原式成立．【点评】：本题考查数量积的定义和三角形的面积公式，属于中档题．19.（问答题，0分）主动降噪耳机工作的主要原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声声波曲线的解析式为f（x）=Asin（2π3x+φ）（A＞0，0≤φ＜π），其中振幅为2且经过点（1，-2）．（1）求该噪声声波曲线的解析式f（x）以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g（x）；（2）证明：g（x）+g（x+1）+g（x+2）为定值．【正确答案】：【解析】：（1）根据图象求出函数的解析式，（2）将解析式代入，利用和与差公式化简即可求解g（x）+g（x+1）+g（x+2）为定值．【解答】：解：（1）由题意，振幅为2，可得A=2，且经过点（1，-2）．则-2=2sin（2π3×1+φ），∵0≤φ＜π，∴φ= 5π6；则f（x）解析式为f（x）=2sin（2π3x+5π6）；由于降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，可得g（x）=-2sin（2π3x+5π6）；证明（2）：由（1）可知g（x）=-2sin（2π3x+5π6）；则g（x）+g（x+1）+g（x+2）=-2sin（2π3x+5π6）-2sin[ 2π3(x+1)+5π6]-2sin[ 2π3(x+2)+5π6 ]=-2（sin 2π3x cos 5π6+cos 2π3x sin 5π6）-2sin（2π3x + 3π2）-2sin（2π3x + π6）= √3 sin 2π3x -cos 2π3x +2cos 2π3x -2（sin 2π3x cos π6+cos 2π3x sin π6）=0．∴g（x）+g（x+1）+g（x+2）=0，即为定值．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．属于基础题．20.（问答题，0分）为了测量金茂大厦最高点A与上海中心大厦最高点B之间的距离，一架无人机在两座大厦的正上方飞行，无人机的飞行轨迹是一条水平直线MN，并且在飞行路线上选择C、D两点进行定点测量（如图），无人机能够测量的数据有：无人机的飞行高度h，CD 间的距离d和俯角（即无人机前进正方向与无人机、测量目标连线所成的角）．（1）若无人机在C处测得∠NCA=α，在D处测得∠NDA=β，其中α、β∈（0，π2），问：能否测得金茂大厦的高？若能，请求出金茂大厦的高度（用已知数据h、d、α、β表示），若不能，请说明理由；（2）若要进一步计算金茂大厦最高点A与上海中心大厦最高点B之间的距离，还需测量哪些数据？请用文字和公式简要叙述测量与计算的步骤．【正确答案】：【解析】：（1）过点A作AE⊥MN，垂足为E，利用正弦定理求出AD，在Rt△ADE中，由边角关系求出AE，即可得到答案；（2）还需测量∠NCB=α'，∠NDB=β’，在△BCD中，利用正弦定理求出BC，在△ABC中，求出AC，再利用余弦定理求出AB即可．【解答】：解：（1）过点A作AE⊥MN，垂足为E，由题意可知，∠CAD=β-α，在△ACD中，由正弦定理可得CDsin(β−α)=ADsinα，解得AD=dsinαsin(β−α)，在Rt△ADE中，sinβ=AEAD，解得AE=AD•sinβ=dsinαsinβsin(β−α)，所以可以测得金茂大厦的高，金茂大厦的高度为ℎ−dsinαsinβsin(β−α)；（2）① 测量∠NCB=α'，∠NDB=β'；② 在△BCD中，∠CBD=β'-α'，对应的边为CD，sin∠CDB=sinβ，由正弦定理可得，BCsin∠CDB =dsin(β′−α′)，化简可得BC=dsinβ′sin(β′−α′)；③ 在△ABC中，已知∠ACB=α-α'，AC= AEsinα=dsinβsin(β−α)，由② 可知BC=dsinβ′sin(β′−α′)，因此由余弦定理可以求出AB的长，故可得金茂大厦最高点A与上海中心大厦最高点B之间的距离．【点评】：本题考查了解三角形问题的实际应用，主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是正确理解题意，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．21.（问答题，0分）已知函数f（x）的定义域为D，若对任意的x1∈D，都存在x2∈D，满足f（x1）= 1f(x2)，则称函数f（x）为“L函数”．（1）判断函数f（x）=sinx+ 32，x∈R是否为“L函数”，并说明理由；（2）已知“L函数”f（x）是定义在[a，b]上的严格增函数，且f（a）＞0，f（b）＞0，求证：f （a）•f（b）=1．【正确答案】：【解析】：（1）根据L函数的定义，要使f（x）为L函数，则f（x）的值域包含于1f(x)的值域，所以只需求出f（x）和1f(x)的值域即可说明；（2）根据两个值域之间的包含关系，求出f （a ）与 1f (b ) 即可证明．【解答】：解：（1）因为f （x ）=sinx+ 32 ∈[12，52] ，所以 1f (x ) ∈[25，2] ． 所以当 f (x 1)∈(2，52] 时，不存在x 2∈R ，使得 f (x 1)=1f (x 2) ，所以f （x ）不是“L 函数”；（2）证明：由题可知“L 函数”f （x ）是定义在[a ，b]上的严格增函数， 所以f （x ）∈[f （a ），f （b ）]，又f （a ）＞0，f （b ）＞0， 所以 1f (x )∈[1f (b )，1f (a )] ，根据“L 函数”的定义，要使f （x ）为“L 函数”， 则[f （a ），f （b ）] ∈[1f (b )，1f (b )] ， 所以 {f (a )≥1f (b )f (b )≤1f (a)，即 {f (a )f (b )≥1f (a )f (b )≤1 ，即有f （a ）•f （b ）=1【点评】：本题考函数的新定义题，理解定义，根据定义的表达进行说明是解题的关键，考查了抽象概括的数学学科素养，是中档题．。
2020-2021学年上海市静安区高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年上海市静安区高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共3小题，共15.0分）1. 已知复数z 1、z 2，则“z 1z 2=0”是“z 1=0或z 2=0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 若0<α<2π，则使sinα<√32和cosα>12同时成立的α的取值范围是( )A. (−π3,π3) B. (0,π3)C. (5π3,2π)D. (0,π3)∪(5π3,2π)3. 若e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是平面内向量的一组基底，则下面的向量中不能作为一组基底的是( )A. e 1−+e 2−和e 1−−e 2−B. 3e 1−−2e 2−和−6e 1−+4e 2−C. e 1−+3e 2−和3e 1−+e 2−D. e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 和e 2⃗⃗⃗二、单空题（本大题共10小题，共50.0分）4. 函数y =x 2sin(x +π2)的奇偶性是______． 5. 已知tanα=−34，则tan(α+π4)=______．6. 复数z =(1−3i)2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为______ ．7. 已知平面向量a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,2)，设向量c ⃗ =a ⃗ +(a ⃗ ⋅b ⃗ )b ⃗ ，则c ⃗ = ______ ． 8. 设向量a ⃗ ,b ⃗ 满足a ⃗ =(2,1)，|b ⃗ | =2√5，且b ⃗ 与a ⃗ 的方向相反，则b ⃗ 的坐标为______ ． 9. 已知向量a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(0,−2)，若(2a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则实数m = ______ ． 10. 函数y =1−cosx sinx的最小正周期是______ ．11. 已知cosx =−35，x ∈[0,π]，则满足条件的x = ______ .(结果用反三角记号表示)12. 若α为第三象限的角，则√1−cos2αsinα−√1+cos2αcosα=______．13. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知tanA−tanB tanA+tanB =c−b c，则cosA =______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）14. 设z 是实系数一元二次方程x 2−2x +2=0的根．(1)求出所有z ；(2)选取(1)中求出的一个z 值，计算z 2−z+1z 2+z+1的值．15.用“五点法”作出函数y=1−sinx，x∈[0,2π]的大致图象，并写出使得1≤y≤2的x的取值范围．16.求函数y=2√3cos2x2+2sin x2cos x2−√3的值域与单调增区间．17.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且(2a⃗+b⃗ )⋅(4a⃗−3b⃗ )=−6．(1)求向量a⃗与b⃗ 的夹角大小；(2)求|a⃗−2b⃗ |．18.随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是：将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角．(1)请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；(2)为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设：假设1：家具呈长方体的形状：假设2：转角两侧的过道宽度相同：假设3：墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；假设4：家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直：假设5：过道的转角为直角：假设6：忽略家具转动时家具与墙壁、地面的摩擦影响；等等．根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，并将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内答案和解析1.【答案】C【解析】解：①若z1=0或z2=0，则z1z2=0，②若z1z2=0，设z1=a+bi，z2=c+di，(a,b，c，d∈R)，∴z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i=0，∴{ac−bd=0ad+bc=0，∴a2+b2=0或c2+d2=0，∴a=b=0或c=d=0，∴z1=0或z2=0，∴z1z2=0是z1=0或z2=0的充要条件，故选：C．利用复数的运算，结合充要条件的判断方法，即可得到答案．本题考查充要条件的判断，复数的运算法则，属于中档题．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数的单调性，属于中档题．根据正弦函数和余弦函数的单调性分别求得在0<α<2π，满足已知条件α的范围，最后取交集即可．【解答】解：∵0<α<2π，sinα<√32，∴0<α<π3或2π3<α<2π，①∵0<α<2π，cosα>12，∴0<α<π3或5π3<α<2π，②由①②得0<α<π3或5π3<α<2π，故选：D．3.【答案】B【解析】解：选项A：不存在实数λ使得e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ =λ(e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )，故可以作为一组基底，故A错误，选项B：因为3e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ =−12(−6e1⃗⃗⃗ +4e2⃗⃗⃗ )，所以向量共线，不能作为一组基底，故B 正确，选项C与选项D，根据向量共线定理可得向量不共线，故可以作为一组基底，故C，D 错误，故选：B．根据向量共线定理对应各个选项逐个判断即可求解．本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量共线定理的应用，属于基础题．4.【答案】偶函数【解析】解：根据题意，设f(x)=x2sin(x+π2)=x2cosx，其定义域为R，f(−x)=(−x)2cos(−x)=f(x)，则f(x)为偶函数，故答案为：偶函数．根据题意，将函数的解析式变形为f(x)=x2cosx，分析函数定义域，再分析f(−x)与f(x)的关系，可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．5.【答案】17【解析】解：由tanα=−34，得tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−34+11−(−34)×1=17．故答案为：17．故答案为：17．直接利用两角和的正切求解．本题考查两角和的正切，是基础的计算题．6.【答案】−6【解析】解：z=(1−3i)2=1−9−6i=−8−6i，则z的虚部为−6，故答案为：−6．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】(−4,16)【解析】解：∵a⃗=(2,4)，b⃗ =(−1,2)，∴c⃗=a⃗+(a⃗⋅b⃗ )b⃗ =(2,4)+(−2+8)(−1,2)= (−4,16)，故答案为：(−4,16)．由平面向量a⃗=(2,4)，b⃗ =(−1,2)代入c⃗=a⃗+(a⃗⋅b⃗ )b⃗ 计算即可．本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于基础题．8.【答案】(−4,−2)⃗⃗⃗⃗⃗ =√22+12=√5【解析】解：∵a⃗=(2,1)，∴|a|⃗⃗⃗⃗⃗ ，且b⃗ 与a⃗的方向相反，又∵|b⃗ | =2√5=2|a|∴b⃗ =−2a⃗=−2(2,1)=(−4,−2)故答案为：(−4,−2)⃗⃗⃗⃗⃗ =√5，再根据b⃗ 与a⃗的方向相反且b⃗ 模是与a⃗模的2倍，所以由向量模的公式，计算出|a|b⃗ =−2a⃗，可得b⃗ 的坐标．本题给出向量a⃗的坐标，b⃗ 与a⃗的方向相反且长度是a⃗的2倍，求向量b⃗ 的坐标，着重考查了平面向量的模的公式和坐标的线性运算的知识，属于基础题．9.【答案】−1【解析】解：∵向量a⃗=(1,m)，b⃗ =(0,−2)，(2a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，∴(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =2a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=2×(0−2m)−4=0，求得m=−1，故答案为：−1．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得m的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．10.【答案】2π【解析】解：y =1−cosx sinx=2sin 2x 22sin x 2cosx 2=tan x2∵此函数的最小正周期为π12=2π 故答案为2π先利用二倍角公式将已知函数化简为y =Atanωx 型函数，再利用y =Atanωx 型函数周期计算公式即可得函数的最小正周期本题主要考查了三角变换公式在三角化简和求值中的应用，y =Atanωx 型函数的图象和性质，属基础题11.【答案】π−arccos 35【解析】解：∵cosx =−35,x ∈[0,π]， 满足条件的x 为钝角，∴x =arccos(−35)=π−arccos 35， 故答案为：π−arccos 35．由题意利用反余弦函数的定义性质，得出结论． 本题主要考查反余弦函数的定义性质，属于基础题．12.【答案】0【解析】解：由二倍角公式可得，1+cos2α=2cos 2α，1−cos2α=2sin 2α， ∵α为第三象限的角， ∴√1−cos2αsinα−√1+cos2αcosα=−√2sinαsinα−(−√2cosα)cosα=0．故答案为：0．根据已知条件，结合二倍角公式，即可求解．本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键，属于基础题．13.【答案】12【解析】解：因为tanA−tanBtanA+tanB =c−bc，所以可得2tanBtanA+tanB =bc，由正弦定理可得2tanBtanA+tanB=sinBsinC，则2sinBcosB ⋅sinC=(sinAcosA+sinBcosB)⋅sinB，又sinB≠0，整理可得2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB，即2sinCcosA=sin(A+B)=sinC，因为sinC≠0，所以可得cosA=12．故答案为：12．利用三角函数恒等变换以及正弦定理化简已知等式即可求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．14.【答案】解：(1)x2−2x+2=0，可得(x−1)2=−1，解得z=1+i；z=1−i，(2)z=1+i时，原式z2−z+1z2+z+1=2i−1−i+12i+1+i+1=i(2−3i)(2+3i)(2−3i)=313+213i；z=1−i时，z2−z+1z2+z+1=−2i−1+i+1−2i+1−i+1=−i2−3i=−i(2+3i)(2−3i)(2+3i)=313−213i．【解析】(1)利用实系数方程求解复数根即可．(2)代入复数，化简求解即可．本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，是基础题．15.【答案】解：用“五点法”作出函数y=1−2sinx，x∈[0,2π]的简图如下：列表为：描点连线，可得函数图象如下：观察函数图像，可得使得1≤y≤2的x的取值范围为：{0}∪[π,2π]．【解析】用五点作图法画出函数图象，观察图象，即可写出满足条件的x的区间．本题考查了正弦函数的图象，考查了五点作图法，数形结合思想是高中重要的一种思想，应熟练灵活掌握，属于基础题．16.【答案】解：函数y=2√3cos2x2+2sin x2cos x2−√3=√3(1+cosx)+sinx−√3=2sin(x+π3)，因为sin(x+π3)∈[−1,1]，所以y∈[−2,2]，故函数的值域为[−2,2]，令−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得−5π6+2kπ≤x≤π6+2kπk∈Z，故函数的增区间为[−5π6+2kπ,π6+2kπ]，k∈Z．【解析】先利用二倍角公式以及辅助角公式将函数的解析式化简，然后由正弦函数的有界性以及单调性求解即可．本题考查了三角函数的图象和性质，二倍角公式以及辅助角公式，三角函数有界性以及单调性，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且(2a⃗+b⃗ )⋅(4a⃗−3b⃗ )=−6．可得8a⃗2−2a⃗⋅b⃗ −3b⃗ 2=−6，8−2×1×2×cos<a⃗⋅b⃗ >−12=−6，即cos<a⃗,b⃗ >=12，所以向量a⃗与b⃗ 的夹角大小为：π3；(2)|a⃗−2b⃗ |=√a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=√1−4×1×2×12+4×4=√13．【解析】(1)利用已知条件，结合向量的数量积，转化求解向量的夹角即可．(2)利用向量的模的运算法则，转化求解即可．本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的夹角以及向量的模的求法，是基础题．18.【答案】解：(1)提出的问题为：如下图，在不同的角度θ(∠DON)下，求l的最小值，这就是能通过的家具长的最大值，请你求矩形的长l与角度θ的函数关系式l=f(θ)，并对d=2，ℎ=1时，求这个函数l=f(θ)的最小值．(2)画出搬运家具时一个转角过道的示意图，如图所示：右图可知，lcosθ+ℎsinθ=d+d−ℎcosθtanθ(0<θ<π2)，所以l=d−ℎsinθcosθ+d−ℎcosθsinθ(0<θ<π2)，故矩形的长l与角度θ的函数关系式为l=d−ℎsinθcosθ+d−ℎcosθsinθ(0<θ<π2)，当d=2，ℎ=1时，l=2−sinθcosθ+2−1cosθsinθ(0<θ<π2)，所以l′=−cosθcosθ−(−sinθ)(2−sinθ)cos2θ+sin2θ−cosθ(2−cosθ)sin2θ=2sinθ−1cos2θ+1−2cosθsin2θ=(2sinθ−1)sin2θ+(1−2cosθ)cos2θcos2θsin2θ=2(sin3θ−cos3θ)−(sin2θ−cos2θ)cos2θsin2θ=2(sinθ−cosθ)(1+sinθcosθ)−(sinθ−cosθ)(sinθ+cosθ)cos2θsin2θ=(sinθ−cosθ)(2sin2θ+2sinθcosθ+2cos2θ−sinθ−cosθ)cos2θsin2θ=(sinθ−cosθ)(2+2sinθcosθ−sinθ−cosθ)cos2θsin2θ，因为0<θ<π2，则0<sinθ<1，0<cosθ<1，所以2−sinθ−cosθ>0，sinθcosθ>0，故2+2sinθcosθ−sinθ−cosθcos2θsin2θ>0，由l′>0，即sinθ−cosθ>0，解得π4<θ<π2，由l′<0，即sinθ−cosθ<0，解得0<θ<π4，所以l在(0,π4)上单调递减，在(π4,π2)上单调递增，故当θ=π4时，l取得最小值为2−sinπ4cosπ4+2−cosπ4sinπ4=(2−√22)×√2(2−√22)√2=4√2−2，所以当d=2，ℎ=1时，函数ℎ=f(θ)的最小值为4√2−2．【解析】(1)作出图形，提出问题即可；(2)利用三角函数的知识结合题中的等量关系，求出矩形的长l与角度θ的函数关系式l= f(θ)，然后由导数求解函数的最值即可．本题考查了函数模型的旋转应用，开放性问题对学生的能力要求较高，涉及了三角函数的化简，三角恒等变换的应用，利用导数研究函数的单调性与最值问题，综合性强，考查了逻辑推理能力、化简运算能力，属于难题．第11页，共11页。
2020-2021学年上海市上海中学高一下学期7月期末考试数学试卷及答案
8. 已知 ,方程 的解为___________．
答案： 或
9. 已知直线 , 垂直,直线 与 所成 角为 ,则 与 所成角的范围是___________．
答案：
10. 平行六面体 的棱长均为2, ,且 底面 ,则对角线 与侧面 所成角的正弦值为___________．
答案：
11. 已知正方形 的边长为1,当每个 取遍 时, 的最小值与最大值的和______.
答案：
12. 空间中有四条两两异面的直线,且其中任意两条直线所成的角相等,则该角度可能取值有__________种．
答案：2
二、选择题（本题共有4题,满分20分,每题5分）每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 下列说法正确的有（）
（1）空间四边形的对角线一定不相交；（2）四个角都是直角的四边形一定是平面图形；（3）在空间的四点,若无三点共线,则这四点一定不共面．A. 0B.1来自. 2D. 3答案：C
14. 四面体的四个面中,直角三角形最多可有（）
A.1B.2C.3D.4
答案：D
15. 动点P满足 （ ）,动点P一定会过ΔABC的（）
A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心
答案：C
16. 在四面体 中, , 与直线 , 均垂直,且 ,一只蚂蚁从 的中心沿表面爬至点 ,则其爬过的路程最小值为（）
答案：8
3. 若 ,则 __________．
答案：
4. 关于 的实系数一元二次方程 的一根为 ,则 __________．
答案：
5. 设复数 , 是实数,则 , 满足条件___________．
答案： 且
6. 已知向量 , 不共线,实数 , 满足 ,则 的值为__________．
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(2)若数列 满足: , ,设 ,当且仅当 时, 取得最大值,求 的取值范围.
参考答案
1．
【解析】
【分析】
利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值.
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查反三角函数的定义和性质，考查学生的计算能力，属于基础题.
2．
【分析】
利用数列的极限的运算法则化简求解即可.
10．
【分析】
先利用韦达定理求出两个根之间的关系式，然后通过关系式判断两个根都是锐角，再求出所求角的正切值，而求出角.
【详解】
设 , 是方程 的两解,
可得 ， ，
不防设 因此 ， ，
且
，
又 在 上单调，
.
故答案为：
【点睛】
本题考查了反三角函数的知识，需要学生熟练掌握反三角函数与原函数的关系，并灵活运用韦达定理来解题，是中档题.
则此数列的前n项和
，
，
，
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查的是数列的求和方法，错位相减法以及等比数列的前 项和公式，考查学生的计算能力，是中档题.
6．27
【解析】
【详解】
由 ，令 ,
则
又 ，故 .
7．
【分析】
根据题意设出 ，利用递推关系式 、 ，即可得到 .
【详解】
， 为等差数列，且其前n项和满足：
11．
【分析】
将 的分子分母同时乘以 ，再使用裂项相消法求出
【详解】
，
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查的是数列的求和的方法，列项求和，考查学生的分析问题的能力，考查的是计算能力，是中档题.
12．
【分析】
根据题意的： ，可得 ， ，猜想 ，验证成立，可得 ，进而得到 ，即可得出.
【详解】
由题意知： ，
【点睛】
本题主要考查的是等比数列的通项公式，求解基本量是求通项常用的方法，考查学生的计算能力，是中档题.
9．
【分析】
由已知条件推导出 ，因此 ，由此能求出结果.
【详解】
函数 ，
，
可得 ，
即有：
，
又 ，
可得：
，
，
即有 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查数列的前n项和的求法，倒序求和，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，是中档题.
17．已知 ,那么 的值为( )
A．9B．8C．12D．不确定
18．已知 ,存在自然数 ,使得对任意 ,都能使 整除 ,则最大的 的值为( )
A．30B．9C．36D．6
三、解答题
19．用数学归纳法证明: .
20．已知数列 满足 ,其前 项和是 ,对任意正整数 , ,求此数列的通项公式.
21．已知方程 .
，
设 ， ，
则当 时， ，
当 时， ，
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查的是等差数列的性质，等差数列的前 项和公式，考查计算能力，是中档题.
8．
【分析】
设等比数列 的公比为 ，由题意列式求得 ，代入等比数列的通项公式得答案.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，由题意，
，
即 ， ，得
，
， ，
则 ，
.
故答案为： .
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查的是数列的极限的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键，是基础题.
3．
【分析】
利用等差数列的通项公式即可得出.
【详解】
设等差数列 的公差为 ， ，
，
则 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查的是等差数列的通项公式，求解基本量是求通项的常用的方法，是基础题.
4．
11．已知数列 的前 项和为 , ,则 ______.
12．设正数数列 的前 项之和为 ,数列 的前 项之积为 ,且 ,则数列 的前 项和 中大于2016的最小项为第______项.
二、单选题
13．用数学归纳法证明“ ”，从“k到 ”左端需增乘的代数式为（）
A． B． C． D．
14．一个三角形的三边成等比数列,则公比 的范围是( )
(1) 为何值时,方程在区间 内有两个相异的解 , ;
(2)当方程在区间 内有两个相异的解 , 时,求 的值.
22．设数列 满足 , , .
(1)证明:数列 是等差数列;
(2)求 .
23．数列 , 满足 ,且 , .
(1)证明: 为等比数列;
(2)求 , 的通项.
24．已知数列 是等比数列,且 , ,数列 满足:对于任意 ,有 .
上海市上海中学【最新】高一下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1． ______.
2． ______.
3．若数列 为等差数列,且满足 ,则 ______.
4．设数列 满足: , ,则 ______.
A． B． C． D． 或
15．等差数列 中, , , , 是前 项和,则下列结论中正确的是( )
A． , , 均小于零, , ,…大于零
B． , ,…, 均小于零, , ,…大于零
C． , ,…, 均小于零, , ,…大于零
D． , ,…, 均小于零, , ,…大于零
16．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列 满足: ,则此数列前 项和为 ______.
6．已知数列 满足 .则 ________.
7．等差数列 ､ 的前 项和分别为 ､ ,若 ,则 ______.
8．等比数列 , ,前8项的几何平均为9,则 ______.
9．定义在 上的函数 , , ,则 ______.
10．设 , 是方程 的两解,则 ______.
，
时， ，解得 ，
时， ，解得 ，
，猜想： ，
下面用数学归纳法证明：
当 时， ，
假设 时成立，即 ，则 ，
则 时，
，
，
又 ，
，解得
.
也成立，
.
，
，
，
数列 的前 项和 中大于2016的最小项为第63项.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查用递推关系求通项，先用特值求后猜再验证，同时考查放缩法求通项，等差数列的前 项和公式，考查计算能力，是难题.
13．B
【分析】
分别写出当 和 时，等式的左边的表达式，进行比较，即可求解.
【详解】
当 时，等式的左边 ，
当 时，等式的左边 ，
所以当从“ 到 ”左端增乘的代数式为 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了数学归纳法及其应用，其中解答中正确写出从“ 到 ”等式左端的表达式是解答的关键，属于基础题.
【分析】
通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论.
【详解】
依题意， ，
，
，，Leabharlann 数列 是以 为周期的周期数列，
又 ，
.
故答案为： .
【点睛】
本题是考查递推数列的关系式，渗透了周期数列这一知识点，高考常考题型，考查计算能力，是中档题.
5．
【分析】
利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
【详解】