证明数列不等式之放缩技巧及缩放在数列中的应用大全
以数列为载体的不等式证明的放缩技巧
以数列为载体的不等式证明的放缩技巧
《放缩技巧证明不等式的应用》
放缩技巧证明不等式是一种非常有效的技巧，它通过对特定类型序列的外拓来证明不等式。
本文介绍了这种技巧的基本概念、原理和应用。
放缩技巧证明不等式的基本思想是：假定可以证明某一类数列中的不等式，若该数列中所
有项都乘以一个正数，则证明的不等式仍然仍然成立。
比如，当a_1、a_2、......、a_n都是正数时，可以证明a_1+ a_2+......+a_n<=a_1a_2a_3......a_n，由于对于所有非零正数c，ca_1、ca_2、......、ca_n也是正数，因此ca_1+ ca_2+......+ca_n<=ca_1ca_2ca_3......ca_n也一样成立。
放缩技巧证明不等式的基本步骤如下：首先，用等式来构造一个等式；其次，将等式乘以
一个正数；最后，将放大后的等式转换为不等式，证明它。
放缩技巧证明不等式有诸多功能，其中最重要的一个就是简化证明的步骤，并可以节省大
量时间。
同时，它还可以有效地避免所有复杂的证明过程，使我们更容易把握证明的思路。
最后，放缩技巧证明不等式还有助于解决复杂的数学问题。
从上述内容可以看出，放缩技巧证明不等式对于简化数学证明具有重要意义。
它不仅可以
帮助我们把握细节，同时还可以有效地节省时间。
随着我们在应用放缩技巧证明不等式方
面的技能不断提升，它会帮助我们解决更多复杂的数学问题，并带来更多知识和智慧。
数列难题放缩法的技巧
数列难题放缩法的技巧一、基本方法1.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143＜＋＜a b 。
例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证：a ab b b bc c c ac a a b c 22222232++++++++++＞（）[变式训练]已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈2. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b+++。
3. 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例4. 已知n ∈N*，求n 2n131211＜…++++。
例5. 已知*N n ∈且)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= ，求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。
4. 公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。
例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于*N n ∈且3≥n 都有1)(+>n n n f 。
例7. 已知2x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。
5. 换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。
例8. 已知c b a >>，求证0ac 1c b 1b a 1>-+-+-。
例9. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三条边，且有222c b a =+，当*N n ∈且3n ≥时，求证：n n n c b a <+。
数列放缩法技巧全总结
数列放缩法技巧全总结引言数列放缩法（Sequence Squeezing Method）是指在解决数学问题时，通过限制或放缩数列的取值范围，从而简化问题的求解过程。
数列放缩法是数学竞赛和高等数学中常见的一种技巧，本文将总结数列放缩法常用的技巧和应用场景。
1. 加减不等式放缩法加减不等式放缩法是通过对等式进行加减操作，使得所得不等式比原来的不等式更易于求解。
常见的加减不等式放缩技巧有如下几个：1.1. 约束条件加减法设原不等式为A<B，通过针对不等式的约束条件进行加减操作，将原不等式放缩为C<D。
常见的约束条件包括正整数、正实数等。
1.2. 平方项加减法对于不等式中的平方项，可以通过改变平方项的系数进行加减操作，从而得到一个更易于处理的不等式。
例如，对于a2+b2<2ab，可以将不等式变换为(a−b)2>0，从而得到更容易求解的形式。
1.3. 倒数项加减法对于不等式中的倒数项，可以通过改变倒数项的系数进行加减操作，从而放缩不等式。
例如，在2ab<a2+b2中，可以将不等式变换为$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b} > \\frac{2}{a+b}$，从而得到更容易处理的形式。
2. 乘除不等式放缩法乘除不等式放缩法是通过对等式进行乘除操作，使得所得不等式比原来的不等式更易于求解。
常见的乘除不等式放缩技巧有如下几个：2.1. 约束条件乘除法设原不等式为A<B，通过针对不等式的约束条件进行乘除操作，将原不等式放缩为C<D。
常见的约束条件包括正整数、正实数等。
2.2. 平方项乘除法对于不等式中的平方项，可以通过改变平方项的系数进行乘除操作，从而得到一个更易于处理的不等式。
例如，在a2+b2<2ab中，可以将不等式变换为a2−2ab+b2<0，从而得到更容易求解的形式。
2.3. 倒数项乘除法对于不等式中的倒数项，可以通过改变倒数项的系数进行乘除操作，从而放缩不等式。
数列及函数不等式放缩如何一步到位
——如何放缩才能一步到位
数列不等式为高中数学的重点和难点，常 出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和 技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行 合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类 问题的重要原则。
熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见 的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到 的方法有：积分（函数法）放缩、裂项放缩、 对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、 等比放缩、切线放缩等等。
一、积分放缩
积分法即利用积分的几何意义进行放缩。
基本结论：
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n
nx
1 n 1 dx ln n ln( n 1)
n n1 x
1
n 1
1
dx 2
n
nx
x
| n 1 n
1
n1
dx 2
n n1 x
x
|n n 1
f (x) 1 或 1
x
(
1 2
1 31
)
（1 4
1 5
...
1 32
）
...
（3n11
1
1 3n1
2
...
1 3n
）
n段，每个括号都 5 ？
6
下证f
(n)
1 3n1 1
1 3n1 2
...
1 3n
5 6
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n nx
1
1
1
1 3n1 2
1 3n1 3
1 3n 1
)
3n
1
5n 6
1 2
1 ... 3
1 3n
5n 6
证明数列不等式之放缩技巧及缩放在数列中的应用大全[精选.]
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证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用大全证明数列型不等式，其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性 例1．证明：当Z n n ∈≥,6时，(2)12nn n +<. 证法一：令)6(2)2(≥+=n n n c nn ，则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++=-+++n n n n n n n n n n c c , 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，66831.644n c c ⨯≤==< 于是当6n ≥时，2(2)1.2n n +< 证法二：可用数学归纳法证.(1)当n = 6时，66(62)48312644⨯+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即(2)1.2kk k +< 则当n =k +1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k++++++++=⨯<<++g 由(1)、(2)所述，当n ≥6时，2(1)12n n +<. 二、借助数列递推关系 例2.已知12-=n n a .证明：()23111123n n N a a a *++++<∈L . 证明：nn n n n a a 121121212211211111⋅=-⋅=-<-=+++Θ， ∴32])21(1[321)21(...12111112122132<-⋅=⋅++⋅+<+++=-+n n n a a a a a a S Λ. 例3. 已知函数f(x)=52168xx+-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=．(1) 试比较n a 与54的大小，并说明理由； (2) 设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1ni i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜14(2n－1)．分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。
高考数学数列放缩法技巧全总结计划材料
实用文档高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩n2n5 1例1.(1)求k14k 21的值;(2)求证:k1k3. 2211解析:(1)因为4n21(2n1)(2n1)2n12n1,所以21n4k21112n12n1421111125n214n22n12n1(2)因为,所以k1k21 452n2n133 1121奇巧积累:(1)n24n24n212n2n1(2)Cn11Cn2n1)n(n)n(n1)n(n1) r1!11(3)r1Cnnrr!(nr)!r!r(r)1r2)1n11211)(n213n4)(n1n(5)2n(2n1)2n1n(6)( 1) 12(n1)11(7)(8)2n2n2n(2n) n1 (2n 3) 2n1111(9)k(n1k) n 1k k nn(n 1k)knk(10)(11)(12)n 1 112( 2n 1n )2 22n2n1 2n11 1(n1)! n!(n1)!(11)n n222n2n2n2n1 1(n2)(2n 1)2(2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n2) (2n 1)(2n11) 2n1 12n111111n3n n 2n (n 1)(n1)n (n 1)n (n 1) n 1n111n1n 111n 1n 12nn 1n1(13)(14)2 n122n (31)2n33(2n1)2n2n12n12n32n13k2111nn1(n2) k!(k)!(k2)!(k1)!(k2)!n(n(15)1)文案大全实用文档21j212j2i j1( 15)j ij)(i212)i21j2n2)例2.(1)求证:32521)2(2n2(2n1) 1111(2)求证:416364n24n113135135(2n1)2n1(3)求证:22462462n2(1)1112(n)(4)求证：23111n11111解析:(1)因为(2n1)22n1)(2n1)2n12n1所以i(2i1)21()1()22n132n1,1111111( 2)416364n4(122n2)(11)13(2n1)1(3)先运用分式放缩法证明出后就可以得到答案1n进行裂项,n 22n 最12(n1n)211(4)首先nn,所以容易经过裂项得到2(n11)1n1232(2n12n1)22212n1112n再证nn 而由均值不等式知道这是显然成立的，2 211112( 2n 11)所以23n6n111例3.求证:(n1)(2n 1)9n21411214n 21 2n12n11 11 1125 解析:一方面:因为n 412 2n12n11所以k1k23533,111111 n另一方面:4922334 n(n1)n1n1n6n6n111 1当31(1)当1149n 2n时,nn (2n1)n时,(n)(2n1),6n11,当n2时,(n1)(2n1)49n2n 11所以综上有(n1)(2n1) 49例4.(2021年全国一卷)设函数f(x)xxlnx 数列a n 满足11a n1f (a n )..文案大全实用文档设b(a1，1)，整数k≥a1bb.a1lnb.证明:a k1解析:由数学归纳法可以证明an是递增数列,故假设存在正整数mk,使a m,那么a k1ak b,kmb(mk)a1a mb1am lna ma1lna ma1lnb0a k1a k a k lna ka1a m lnam假设,那么由知,m1kam lna mk(a1lnb)因为m1,于是ak1a1k|a1lnb|a1(ba1)b例5.n,mN,x1,S1m2m3m n m m1(m1)S(n1)m1.,求证:解析:首先可以证明:(1x)nnxm1n m1(n1)m1(n1)m1(n2)m11m1[k m1(k1)m1]1所以要证nm1(m1)S(n1)m1只要证:nn[ k m1(k1)m1](m1)km(n1)m11(n1)m1nm1nm1(n1)m12m11m1[(k1)m1k m1]k111[ k m1(k1)m1](m1)km[(k1)m1k m1]故只要证k1k11,即等价于k m1(k1)m1(m1)k m k1)m1km,即等价于1m11m11k(1)1k(1而正是成立的,所以原命题成立.例6.a n4n2n,Tn2na n,求证:T1T2T3na122.解析:Tn314(14n)2(12n)4 4422)1412341)2(12 Tn2n2n2n32n2n11n1n12n1)2(12n)4n1422n1432222321所以4n33n312(22n1)(2n1)22n12n11T 1T2T3313Tn3372n12n112从而2n (n2k1,k)1117.x1xn2k,k)x2x34x4x52(n11)(nN*)例n1(n求证4x2n x2n1 1文案大全实用文档证明:因为1111124x2n x2n14(2n1)(2n1)44n2144n22n2n,122) n1,所以2(n1 2n4x2n x2n12n nn1112(n11)(nN*)所以4x2 x3 4x4x5 4x2nx2n1 二、函数放缩ln2ln3ln 4ln3n3n5n6(nN*).例8.求证：2343n6解析:先构造函数有lnxlnx1ln2ln3ln4ln3n n111x11x,从而2343n3133n)11111111111caus e233n234567892n2n1n533993n13n15n669182723n13n6 ln2ln3ln4ln3n15n n5n6所以2343n 362,ln 2ln3lnn2n2n1(n)例9.求证:(1)23n2(n1)解析:构造函数f(x)lnxlnnlnn2lnn21111x得到nn2再进行裂项n2n2n(n1)求和后可以得到答,,,案函数构造形式:lnxx1,lnn1(2)11ln(n1)111例10.求证:232n解析:提示:ln(n1)lnn2nn1nnln2 n11nn1函数构造形式:lnxx,lnxy当然此题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数f(x)1ED x,F CA Bilnx|nlnn ln(ni)n-iSABC F首先x,从而,i文案大全实用文档1lnnln (n1),取i1有,n11 l n3 l n211ln(n1)lnn ,相加后可以得到:所以有2 l n2,3 ,⋯,nlnnln(n1),n111ln (n1)3n1S ABD E1,从而有nii另一方面ii1l nn ln(n1),取i1有,n1l nx|nlnnl n(ni)n所以有ln(n1)1 11 1 11 l n(n1)112n,所以上有2 3n 1 2例11.求:1 1)(11)(11)e和1 )(11) (11解析构造函数后即可明2!3!n!98132n.:2n3ln[n (n1)1]3例12.求:(112)1 23)[1 n (n 1)] 解析 2:,以得到答案l n(x1 )31ln(1x)3x)(加命)函数构造形式(x0)x1x1 ln2ln3ln4lnnn(n)(nN*,n1)例13.明:3451解析:构造函数f(x)ln(x1)(x)1(x1)求可以得到:,f'(x)112x''0有x2,x1x1,令f(x)0有1x2,令f(x)所以f(x)f(2)0,所以ln(x1)2,令xn21有,lnn2n21lnn n1n2ln3ln4lnnn(n1)(nN*,n)所以n12,所以345n14例14.a11,a n1(11n)a n.明a ne2.n2n1)a n111)a n解析:a n1(1n(n1)n(n1),11lna n1ln(1n(n1)2n)lna n然后两取自然数,可以得到文案大全实用文档然后运用ln(1)x和裂项可以得到答案)放缩思路：a nlna n1ln(11lna n(1n2n2n a nn2n nlna n11 22n。
证明数列不等式的常用放缩方法技巧精减版
证明数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+<⋅；2)1()1(++<+n n n n ⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+=Λ10)11(2,1210+=+≥n C C n n n ,2222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论：Ⅰ.的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ：2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211kk k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 21k 的放缩(3)：2214112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a ma mb a b记忆口诀“小者小,大者大”。
解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然.Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。
例：()(0)1x f x x x=≥+，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()f a b f a b +≤+。
放缩法技巧全总结
放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析n35 (12) 11)1()1()1)(1(23--+⋅⎪⎪⎭ ⎝+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n412141361161412-<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn ΛΛΛ (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n n Λ解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(21112131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i nin1+例解所以当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++Λ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a 111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n.n++-m k 11]例例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ证明: nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ.解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n+++--<++++ΛΛ所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nnΛ解析例-in i n -取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n ,所以有nn 1211)1ln(+++<+Λ,所以综上有n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ例11.求证:e n <+⋅⋅++!11()!311)(!211(Λ和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2Λ.解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n Λ 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案题) 例13.证明:)1*,()1(ln 4ln 3ln 2ln >∈-<++++n N n n n n Λ 例解析即.2ln ln 21e a a a n n <⇒<-注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n来放缩：.)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212112<-<+-+⇒-<+-+⇒∑∑-=+-=na a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-<⇒+<+例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+->∴函数k k x g ,2[)(在）上单调递增，在]2,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)2(k g ，即总有).2()(kg x g ≥而,2ln )()2ln (ln 2ln )2()2()2(k k f k k kk k k f k f k g -=-==-+=即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+令,,b x k a x=-=则.b a k +=例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x)n x +令2)1(n x n +=,有 所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n nn n ∈++>++++++Λ(方法二)⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++≥+++>++21114ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(222n n n n n n n n n 所以)2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+->++++++n n n n n Λ 又1114ln +>>n ,所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n n n n ∈++>++++++Λ 三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 和)0,0(>>>++<m b a m a mb a b记忆口诀”小者小,大者大”，解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:121211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ和121211()611)(411)(211(+<+---n n Λ也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n ΛΛ和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ΛΛ解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 可得 ⇒例2)21n n > 例{}n B 满足OA . 解析:(1) 依题设有：(()10,,,0n n n n A B b b n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由1n OB n =得： 2*212,1,n n n b b b n N n +=∴=∈,又直线nnA B 在x 轴上的截距为n a 满足 显然，对于1101nn >>+，有*14,nn a a n N +>>∈(2)证明：设*11,n n nb c n N b +=-∈，则设*12,n n S c c c n N =+++∈L ，则当()*221k n k N =->∈时，212311112222222k k k -->⋅+⋅++⋅=L 。
利用放缩法证明数列型不等式
利用放缩法证明数列型不等式处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。
放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。
对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。
一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。
裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =。
设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑。
证明：易得12(21)(21),3n nn S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231113113111111()()221212212121212121nn i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑=113113()221212n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。
（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。
例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。
放缩法技巧全总结
2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221n n nn n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m nk m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα解析:构造函数xx x f ln )(=,得到22ln ln n n n n≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2n a e <.解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案)放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。
证明数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)
证明数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)work Information Technology Company.2020YEAR证明数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：aa >+12；n n n >+)1(⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n , 2222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n(5)利用常用结论：Ⅰ.的放缩 <Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ.21k 的放缩(3)：2214112()412121kk k k <=+--+（程度更小）Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 和)0,0(>>>++<m b a ma mb ab 记忆口诀“小者小,大者大”。
解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然. Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。
高中数学数列与不等式综合题放缩法技巧
数列型不等式放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n nn n 11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n ++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到n n 131211)11(2++++<-+ ,再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(,∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于mm m m m k k k m k k-+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n na a a T +++= 212,求证:23321<++++n T T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n n n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+, 所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a ma mb a b记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 和121)211()611)(411)(211(+<+---n n也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 可得>-⋅⋅122563412n n=+⋅⋅nn 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n nn⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 例20.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n 解析: 运用两次次分式放缩:1338956.232313784512-⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅n n n n (加1)nn n n 31391067.342313784512+⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅ (加2)相乘,可以得到:)13(1323875421131381057.2423137845122+⋅--⋅⋅⋅⋅=-+⋅⋅⋅⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋅⋅⋅n n n n n n n 所以有.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n四、分类放缩例21.求证:212131211nn>-++++ 解析: +++++++++>-++++ )21212121()4141(211121312113333n2)211(221)212121(n n nn n n n >-+=-+++ 六、借助数列递推关系例27.求证:1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn解析: 设n n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则nn n n n a na a n a n n a +=+⇒++=++2)1(2)1(21211,从而n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到1221)22(1321)1(22)1(21121-+⋅+<-+⋅+<-+=++++n n n n a a n a a a n n ,所以1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n n 例28. 求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn解析: 设n n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则111)12(]1)1(2[)1(212+++++=++⇒++=n n n n n a a n a n a n n a ,从而n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到11223121)12(3)12(1121-+<-+⋅+<-+=++++n n n a a n a a a n n 例29. 若1,111+=⋅=+n a a a n n ,求证:)11(211121-+≥+++n a a a n解析:nn n n n n n a a a a a n a a -=⇒+⋅=+=⋅+++++21112112所以就有2122111121121121-+=-≥--++=+++++n a a a a a a a a a a a n n n n n 九、均值不等式放缩例32.设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ， 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2b a ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnn n n22111111++≤++≤≤++其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结放缩法（Scaling）是一种常用的数学技巧，用于将数学问题转化为更简单、更易解决的形式。
这种技巧广泛应用于数学竞赛和问题求解中。
以下是放缩法的几个常见技巧和应用总结。
1.强化不等关系：放缩法的核心思想是通过比较大小来改变问题的形式。
如果已知a>b，那么可以通过加减乘除等操作将问题转化为a的形式，从而简化计算过程。
例如，要求证明a+2b>0，可以通过乘法得到2a+4b>0，进一步可得3a+6b>0。
这样可以将问题转化为证明3a+6b>0的形式，而这个不等式更容易证明。
2. 运用恒等变形：放缩法还可以通过变换等式或不等式的形式来简化问题。
常用的恒等变形包括平方恒等式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2和倒数恒等式1/(ab)=(1/a)(1/b)等。
应用这些恒等变形，可以将问题转化为更简单的形式，进而解决问题。
3.递推放缩：递推放缩是一种通过递推关系来简化问题的方法。
通过找到问题的递推关系，可以将问题规模进行放缩，从而降低问题的复杂度。
例如，要求证明一些等式成立，可以通过将等式两边代入等式左边或右边的形式，利用递推关系将问题简化。
4.红蓝染色：红蓝染色是一种通过对元素染色来放缩问题的方法。
通过给问题中的元素染色，可以将问题转化为简化的形式，从而解决问题。
例如，在一个n×n的方格中，要求选择一些相互不在同一行、同一列的方格，并使这些方格能够覆盖所有的行和列。
可以将行和列分别染成红色和蓝色，问题转化为在红色和蓝色方格中选择不同行和列的方格并覆盖所有的红色和蓝色方格的问题。
5.数学归纳法：数学归纳法是一种通过递推关系来证明数学性质的方法。
通过对问题进行归纳假设，可以按照递推步骤逐步证明问题的性质。
例如，要证明对于任意正整数n，都有n(n+1)(n+2)能被6整除，可以通过数学归纳法来证明：当n=1时，1×2×3=6能被6整除；假设当n=k时成立，即k(k+1)(k+2)能被6整除；则当n=k+1时，(k+1)(k+2)(k+3)=(k(k+1)(k+2))+(k+1)(k+2)也能被6整除，即对于任意正整数n都有n(n+1)(n+2)能被6整除。
数列型不等式放缩技巧九法
1 2 3 n 例 3 求证 C n + Cn + Cn + L + Cn > n⋅2
1 n 2 n 3 n
( n > 1, n ∈ N ) .
简析 不等式左边 C + C + C + L + C = 2 n − 1 = 1 + 2 + 2 2 + L + 2 n −1
n n
> n ⋅ n 1 ⋅ 2 ⋅ 2 2 ⋅ L ⋅ 2 n −1 = n ⋅ 2
一 利用重要不等式放缩
1． 均值不等式法 例 1 设 S n = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + L + n(n + 1) . 求证 解析 数列的通项 n(n + 1) ( n + 1) 2 < Sn < . 2 2
a k = k (k + 1) , k = 1,2,L , n.
Q k < k (k + 1) <
Hale Waihona Puke 11 2 1 ( 处 1 )得 ) > 1+ 2⋅ n = 2, x = 2k − 1 2k − 1 2k − 1 n n 1 2k + 1 1 2k + 1 1+ > ⇒ ∏ (1 + )=∏ = 2n + 1. k =1 2k − 1 2k − 1 2k − 1 k =1 2k − 1 注 例 4 是 1985 海高考试题 题 添 而编拟 1998 全国高考文科试题 进行升维处理并 参数而 理科姊妹题 如理科题的 是 (1 +
1 2
n +1
1 2
数列型不等式的放缩技巧九法
数列型不等式的放缩技巧九法1.上凸性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n>0$，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n>a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
2.下凸性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n<0$，则可放缩为$a_n<a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
3.奇偶性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$的奇偶性与$n$的奇偶性相同，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
4.整除性法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$能整除$n$，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
5.线性递增法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$为常数$d$，则可放缩为$a_n>a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
6.线性递减法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$为常数$d$，则可放缩为$a_n<a_1+(n-1)d$或$a_n<a_1+n(n-1)d$，其中$d$为常数。
7.最值法：如果数列满足$a_{n+1}-a_n$为一组有界变量，且$a_n$有最大或最小值，则可通过对最大或最小值进行放缩得到不等式。
8. 平均值大小法：如果数列满足$a_1,a_2,\ldots,a_n$的平均值满足一些条件，则可借助平均值大小的不等式进行放缩。
9.乘积法：如果数列满足相邻项的乘积满足一些条件，则可通过对乘积进行放缩得到不等式。
举个例子来说明这些放缩技巧的应用：问题：证明数列$a_n=\frac{1}{2n-1}$是递减的。
解答：我们可以使用上凸性法进行放缩。
由$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2(n+1)-1}-\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1}=\frac{2n-1-(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}=-\frac{2}{(2n+1)(2n-1)}<0$所以$a_n>a_{n+1}$，即数列$a_n$是递减的。
数学所有不等式放缩技巧及证明方法
文档收集于互联网，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持.高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩畀 2 15例1.⑴求芥门 --------- 7的值； （2）求证：>2 7T V —・A=1 4* — 1Ar = l k3例2・⑴求证：1 +丄+丄+・・・+ —>1-一!一> 2）32 52⑵Li ）， 6 2（2n-1）1 1 1 1 114 16 364n 2 2 4n⑶求证丄+12+空+」"•…⑵i2 2-4 2-4-6 2-4-6••…2n例 3•求证: ---- - ---- <i + l +l + ... + -L<-(n +1)( 2/1 + 1)4 9 ir 3例4・（2008年全国一卷）设函数f ⑴二X-H1U.数列仇｝满足0<q<l ・％ 明：畋+】>b.例 5.已知"，加 e 他,兀 > -1,S,” 二 r n + T +3川 + …+ 心求证：/严 < (m +1)5,, <(〃 + 1严 -1例 6.已知® = 4" - T , T n= ------ 二 ----- ,求证：£+◎+◎人 < —.a { + a 2 + ・• • + a n2例7.已知坷=1, £ = < W (mi,"Z),求证：亠*亠+ •..+亠>逅(耐®訓) W - l(n = 2k 、k wZ) 护2 ・x 3 化・x 5.. 4丁 /、 In 2a In 3a In n a hr -n-l例 9.求证——<^—^^>2)例 10.求证:—+ - + ・・・ + —< ln(n + 1) < 1 + —4-・・• +」■2 3 77 + 1 2 n例 11.求证：(1 + \(1 +、•….(1 + ^-Xe 和(1 + ；)(1 + 厶)•….(1 + 点)<辰 2! 3! n\ 9 81 3" 例 12•求证：(1 +1 x 2) • (1 + 2 x 3) ••…[1 + n(n +1)] > 严I12例14.已知4=1。
常用不等式放缩技巧
常用不等式放缩技巧常用的不等式和放缩技巧在数学问题和证明中扮演着重要的角色。
它们可以用来解决各种类型的问题，包括代数、几何、概率和数论等领域。
在本文中，我们将介绍一些常用的不等式和放缩技巧，以及它们在解决数学问题中的应用。
一、常用不等式：1. 平均值不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2,\ldots, a_n$，有$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$$当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$时等号成立。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$，有$$(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2$$等号成立当且仅当$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}$。
3.三角不等式：对于任意实数$a$和$b$，有$$a+b， \leq ，a， + ，b$$等号成立当且仅当$a$和$b$同号。
4.杨辉三角不等式：对于任意正整数$n$和非负实数$x$，有$$(1+x)^n \geq 1 + nx$$等号成立当且仅当$x=0$或$n=1$。
5.马尔可夫不等式：对于任意非负实数$x$和$x$的任意递增函数$f(x)$，有$$f(ax) \geq a f(x)$$其中$a \geq 1$。
这些不等式都是常用的，并且在证明问题时经常能够发挥重要作用。
二、常用放缩技巧：1. 二次函数放缩：对于一个二次函数$f(x) = ax^2+bx+c$，我们可以通过补全平方或者配方法来将其转化为一个方便处理的形式。
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证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用大全证明数列型不等式,其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。
这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性 例１．证明：当Z n n ∈≥,6时,(2)12nn n +<. 证法一:令)6(2)2(≥+=n n n c nn ，则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++=-+++n n n n n n n n n n c c ， 所以当6n ≥时，1n n c c +<．因此当6n ≥时，66831.644n c c ⨯≤==< 于是当6n ≥时，2(2)1.2n n +< 证法二：可用数学归纳法证．(1)当ｎ = 6时，66(62)48312644⨯+==<成立. （2）假设当(6)n k k =≥时不等式成立,即(2)1.2kk k +< 则当n =k +１时,1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k++++++++=⨯<<++ 由(1)、（２)所述,当ｎ≥６时，2(1)12n n +<. 二、借助数列递推关系 例2．已知12-=n n a .证明:()23111123n n N a a a *++++<∈. 证明:nn n n n a a 121121************⋅=-⋅=-<-=+++, ∴32])21(1[321)21(...12111112122132<-⋅=⋅++⋅+<+++=-+n n n a a a a a a S ． 例３. 已知函数f(ｘ)＝52168xx+-,设正项数列{}n a 满足1a =l,()1n n a f a +=.(1) 试比较n a 与54的大小，并说明理由； (2) 设数列{}n b 满足n b =54-n a ，记S ｎ=1ni i b =∑.证明：当ｎ≥2时,Ｓn ＜14(2n-１）.分析：比较大小常用的办法是作差法,而求和式的不等式常用的办法是放缩法。
解：（1） 因为10,0,n n a a +>>所以1680,0 2.n n a a -><<15548()52553444168432(2)22n n n n n n na a a a a a a +--+-=-==⋅---,因为20,n a ->所以154n a +-与54na -同号,因为151044a -=-<，250,4a -<350,4a -<…，50,4n a -<即5.4n a <（２）当2n ≥时,1111531531()422422n n n n n n b a a b a a ----=-=⋅⋅-=⋅⋅--113125224n n b b --<⋅⋅=-， 所以2131212222n n n n n b b b b ----<⋅<⋅<<=，所以3121(12)11114(21)422124n nn n n S b b b --⎛⎫=+++<++⋅⋅⋅+==- ⎪-⎝⎭．例4. 已知不等式],[log 21131212n n >+++ 其中n 为不大于2的整数,][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数。
设数列{}n a 的各项为正且满足111),0(--+≤>=n n n a n na a b b a )2≥n （.证明:][log 222n b ba n +<， 5,4,3=n .证明:由11--+≤n n n a n na a 得:n a a n n 1111+≥-, n a a n n 1111≥-∴- )2(≥n ， 111121-≥---n a a n n ,… ,211112≥-a a , 以上各式两边分别相加得:21111111++-+≥- n n a a n ， 2111111++-++≥∴n n b a n ][log 2112n b +>＝bn b 2][log 22+, ∴ ][log 222n b ba n +<)3(≥n .三、裂项放缩 例5.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk又1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时，)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n ．例６.已知21n n a =+，()12x f x -=，求证:()()()121126n n T b f b f b f n =+++<. 证明:由于()()()()()()()11111212111111222212121212121n nn n n n n n n n b f n +-++++-+⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪++++++⎝⎭()()()1222311111111122121212122121n n n n T b f b f b f n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111111212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭. 例7. 已知x x x f +=2)(,数列{}n a 的首项)(,2111n n a f a a ==+． (1) 求证:n n a a >+1;(２) 求证：6n ≥时2112111111<++++++<na a a .证明：⑴ n n n a a a +=+21，∵211=a ,∴n a a a ,,32都大于0,∴02>n a ,∴n n a a >+1. （2）nn n n n n n a a a a a a a +-=+=+=+111)1(11121，∴11111+-=+n n n a a a .故 11113221211211111*********+++-=-=-++-+-=++++++n n n n n a a a a a a a a a a a a ∵4321)21(22=+=a ,143)43(23>+=a ,又∵n n a a n >≥+12，∴131>≥+a a n .∴21211<-<+n a , ∴2111111121<++++++<na a a . 四、分类放缩例8.当,3Z n n ∈≥，时，求证：21214131211nn >-+⋅⋅⋅++++证明:当21==n n ，时不等式显然成立.）（）（）（n n n n 2121212121212121212111214131211333322+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++++>-+⋅⋅⋅++++2n >． 例9. 已知22[2(1)]3n n n a -=--.证明：对任意整数4>m ，有8711154<+++m a a a .分析:不等式左边很复杂，要设法对左边的项进行适当放缩，使之能够求和。
而左边=232451113111[]221212(1)m mm a a a -+++=+++-+--，如果我们把上式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和,由于-1与1交错出现,容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩,尝试知：32322121121121+>++-，43432121121121+<-++，因此，可将1212-保留,再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。
这里需要对m 进行分类讨论，(1）当m 为偶数)4(>m 时，m a a a 11154+++ )11()11(11654m m a a a a a +++++=- )212121(2321243-++++<m )211(4123214--⨯+=m 8321+<87= （2)当m 是奇数)4(>m 时，1+m 为偶数，8711111111165454<+++++<++++m m m a a a a a a a a . 所以对任意整数4>m ，有m a a a 11154+++ 87<。
五、利用函数单调性（导数)放缩例10. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<, ()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈．求证: （Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ)21;2n n a a +<(Ⅲ）若12a =则当n ≥2时，!n n b a n >⋅. 分析：第(1)问用数学归纳法证明；第（2)问利用函数的单调性;第(3）问进行放缩。
证明：(Ⅰ)先用数学归纳法证明01n a <<,*n N ∈.(1）当n=1时,由已知得结论成立;(2）假设当ｎ=ｋ时,结论成立，即01k a <<.则当n=ｋ+1时, 因为0<x<1时，1()1011x f x x x '=-=>++,所以f(x)在(0，1）上是增函数. 又f(ｘ）在[]0,1上连续,所以ｆ(０)<f(k a ）<ｆ(1）,即0<11ln 21k a +<-<．故当n=k+1时,结论也成立． 即01n a <<对于一切正整数都成立.又由01n a <<, 得()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,从而1n n a a +<. 综上可知10 1.n n a a +<<<(Ⅱ）构造函数g （x)=22x -f(x ）＝2ln(1)2x x x ++-, 0<ｘ<1， 由2()01x g x x'=>+,知g(x ）在(0,１)上增函数． 又ｇ(x ）在[]0,1上连续,所以ｇ（x)>ｇ（０)＝0.因为01n a <<,所以()0n g a >,即()22n n a f a ->0，从而21.2n n a a +< (Ⅲ) 因为 1111,(1)22n n b b n b +=≥+,所以0n b >,1n nbb +12n +≥ ,所以1211211!2n n n n n n b b b b b n b b b ---=⋅⋅≥⋅ ————① 由(Ⅱ）21,2n n a a +<知：12n n n a a a +<, 所以1n a a =31212121222n n n a a a a a aa a a --⋅< ， 因为12a =， n ≥２, 10 1.n n a a +<<< 所以 n a 1121222n a a aa -<⋅<112n n a -<2122n a ⋅＝12n ————②由①② 两式可知: !n n b a n >⋅. 例１1.求证:)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ . 证明：先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n311212191817161514131213131216533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少,但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。