工程力学(梁的平面弯曲)

30
FQ/kN 20
o
M/kNm 20
5
x
15
o
45
60
21
x
3）检查图形是否封闭。
小结：
1）承受弯曲作用的杆，称为梁。 2）平面弯曲：载荷均作用在梁的纵向对称面内。 3）梁的内力有剪力、弯矩。作内力图一般步骤：
求约 束反 力
截取 研究 对象
受 力 图
列平 衡方 程
2
内力 方程
2
画内 力图
必须 掌握
3) 画内力图。 悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。 5
例2 求外伸梁AB的内力。 y
解：1）求约束反力： 受力如图。 有平衡方程：
0
F FAy 3F
A
FB 45 a
B
a
FAx a
x
SMA(F)=2aFBcos45+Fa-3Fa=0 SFx=FAx-FBsin45=0 SFy=FAy+FBcos45-F-3F=0 2) 截面法求内力( 取坐标如图) 0x<a: FN=0; FQ=-F; M=-Fx
1
FAy
A
q
B 4m
M0
F
x
C D E 2m 2m 4m
FE
分段处的剪力弯矩值：
x1=0: FQA=49；MA=0 x2=4: FQB=13；MB=124 x3=6: FQC=13；MC=102 x36: MC150 x4=8: FQD=-32；MD=128 x48: FQD13
注意：集中力 (力偶) 作用处左右二侧FQ (M) 不同。 13
2
C D E 2m 2m 4m
FQ/kN
49 + 13 -
结论一、 剪力延坐标x的变 化率等于分布载荷集度， 即FQ图中曲线上某点的斜 率等于梁上对应截面处的 载荷集度q。q=0，FQ图为 水平线。
x
M/kNm
124
32
150 + 128
A
B
C
D
E x
结论二、弯矩M延坐标x的变化率等于剪力FQ，即 M图曲线某点的斜率等于对应截面上的剪力。
23
概念回顾:
2.纯弯曲
F
a FQ F M FQ=0 M=Fa
F
a
M0
FQ
M
FQ=0 M=M0
一般情况 横力弯曲: 若梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。 简单特例
纯弯曲: 梁横截面上的内力只有弯矩。
24
平面弯曲梁的正应力
讨论平面纯弯曲梁。 横截面上只有弯矩。
M
y M
z
s
x
弯矩分布在横截面上， 只能是正应力。
M2
B c FQ2
SFy=FAy-4q-FQ2=0 FQ2=13kN
FE
SMc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0
M2=13x2+72(kNm) CD段: 6mx3<8m FQ3=13kN; M3=13x3+24(kNm)
M4 DE段: 8mx4<12m
FQ4 FQ4=-32kN; M4=384-32x4(kNm)
FB= 2F FAx=F FAy=3F
F
0
M
x
FN FQ
6
例2 求外伸梁的内力。
2) 截面法求内力 0x<a: FN=0; FQ=-F; M=-Fx ax<2a: FN=-F；FQ=3F-F=2F M=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a) 2a x<3a: FN=-F； FQ=3F-F-3F=-F M=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a) =F(3a-x)
求约 束反 力 截取 研究 对象 受力图， 内力按正 向假设。 列平衡 方程 x y x
FQ 左上右下，FQ为正
左顺右逆，M为正
M FQ
求解内力，负号 表示与假设反向
内力的符号规定 内力 右截面正向 左截面正向 FQ M
M
微段变形（正）
顺时针错动
向上凹
4
例1 求悬臂梁各截面内力并作内力图。
FAy 解：1）求约束力。 画受力图。 由平衡方程得： MA
45 B
FN
FB
-
x
F x
M=-F x ax<2a: FN=-F； FQ=2F M=F(2x-3a) 2ax<3a: FN=-F ；FQ=-F M=F(3a-x)
FQ 2F
M
+ F F Fa + x
8
x
-
Fa
y
作梁的内力图的 一般步骤
求约 束反 力 静力 平衡 方程
F FAy 3F
A
FB 45
M
A
B
M
a
b A
a
b B
d
A a b A B a b B
M
2. 弯曲的基本假设—平面假设
变形后
梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与 梁的轴线垂直。
26
2. 弯曲的基本假设—平面假设 梁的横截面在弯曲变形后仍保持 为平面，且仍与梁的轴线垂直。
M
A
B
M
a
b A
a
b B
3. 推论：
FQ4=-FE=-32kN
M4
0
M4=FE(12-x4)
=384-32x4 结果应当相同。 可以用于验算。
x4
FQ4 c
FE
内力同样要按正向假设!
12
内力方程: AB段: 0x<4m FQ1=49-9x1; M1=49x1 BC段: 4mx<6m FQ2=13; M2=13x2+72 CD段: 6mx<8m FQ3=13; M3=13x3+24 DE段: 8mx<12m FQ4=-32; M4=384-32x4 -4.5x 2
10
2 SMc(F )=M1+qx1 /2-FAyx1=0 M1=49x1-4.5x12
例3 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kNm， 求梁的内力。 q FAy F
M0
A 4m
B
C D E 2m 2m 4m
x
2) 截面法求内力 BC段: 4mx2<6m
FAy
0
q
x2 q x3 q x4
y
A
q(x)
F
dx
B
x
x
q(x)
M
c
M+dM
dx
FQ
FQ+dFQ
平衡方程：SFy=FQ+q(x)dx-(FQ+dFQ)=0 SMC(F)=M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0
15
分布载荷集度、剪力和弯矩之间的关系 平衡方程：SFy=FQ+q(x)dx-(FQ+dFQ)=0 SMC(F)=M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0 整理并略去二阶小量，得到：
问题: 平面纯弯曲梁横截面上的正应力?
思路： 仍延研究变形体力学问题的主线。
变形的几何协调 (几何分析) 力与变形之关系 (物理关系) 力的平衡 (已熟悉)
25
10.3.1 变形几何分析
M
讨论矩形截面纯弯曲梁。 1. 弯曲变形实验现象
AA、BB仍保持直线，但相对 地转过一角度d。 aa 缩短，bb伸长，变为弧形， 但仍与AA、BB线正交。
FQ/kN
49 + 13 -
x
M/kNm
124
32 150 128
+
A B C D
E x
注意：C、D处左右二侧M、FQ 之差等于该处的集中 力偶、集中力。
还有什么一般规律？
14
10.2 利用平衡微分关系作梁的内力图
一、剪力、弯矩与分布载荷间的关系
考察承受分布载荷、长dx 的 微梁段的受力与平衡。 假定q(x)向上为正，截面 内力FQ、M均按正向假设。 在x+dx截面上，FQ、M均 有相应的增量。
4）梁的平衡微分方程： d M / dx = dF Q / dx = q 5）FQ等于左边分布载荷图形面积+集中力( 正)。
22
6）M等于左边Q图面积+集中力偶 (
正)。
10.3 平面弯曲梁的正应力
概念回顾: 1.平面弯曲
q F
纵向对称面
梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向 对称面内，变形后梁的轴线仍在该平面 内，称为平面弯曲。
第十章
梁的平面弯曲
10.1 基本概念 10.2 利用平衡微分方程作梁的内力图 10.3 平面弯曲梁的正应力 10.4 梁的变形
1
回顾
承受弯曲作用的杆，称为梁。
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压
扭
转
弯 曲
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。 扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。 (轴) 弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
剪力、弯矩图：
分段处的剪力弯矩值：
FAy
A
q
B 4m
M0
F
x
C D E 2m 2m 4m
x1=0: FQA=49；MA=0 x2=4: FQB=13；MB=124 x3=6: FQC=13；MC=102 x36: MC150 x4=8: FQD=-32；MD=128 x48: FQD13
FE
x
C D E 2m 2m 4m
2）计算控制点处FQ、M值。 左边面积+集中载荷 力 、力偶 为正。 3）依据微分关系判定控制点 间各段 FQ、M图的形状， 连接各段曲线。
FQ/kN