工程力学(梁的平面弯曲)

求约 束反 力 截取 研究 对象 受力图， 内力按正 向假设。 列平衡 方程 x y x
FQ 左上右下，FQ为正
左顺右逆，M为正
M FQ
求解内力，负号 表示与假设反向
内力的符号规定 内力 右截面正向 左截面正向 FQ M
M
微段变形（正）
顺时针错动
向上凹
4
例1 求悬臂梁各截面内力并作内力图。
FAy 解：1）求约束力。 画受力图。 由平衡方程得： MA
10
2 SMc(F )=M1+qx1 /2-FAyx1=0 M1=49x1-4.5x12
例3 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kNm， 求梁的内力。 q FAy F
M0
A 4m
B
C D E 2m 2m 4m
x
2) 截面法求内力 BC段: 4mx2<6m
FAy
0
q
x2 q x3 q x4
y
A
q(x)
F
dx
B
x
x
q(x)
M
c
M+dM
dx
FQ
FQ+dFQ
平衡方程：SFy=FQ+q(x)dx-(FQ+dFQ)=0 SMC(F)=M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0
15
分布载荷集度、剪力和弯矩之间的关系 平衡方程：SFy=FQ+q(x)dx-(FQ+dFQ)=0 SMC(F)=M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0 整理并略去二阶小量，得到：
17
dFQ d 2M =q 2 = dx dx 若梁段AB只有q作用的，则
FQB - FQA = A q(x)dx
B
平衡微 分方程
FAy
A
q
B 4m
M0
F
FE
x
C D E 2m 2m 4m
FQ/kN
49 + 13 -
MB - MA=AFQ (x)dx
B
ห้องสมุดไป่ตู้
x
结论三、 二截面间剪力 的增量等于该段梁上分布 载荷图形的面积。
FQ/kN
49 + 13 -
x
M/kNm
124
32 150 128
+
A B C D
E x
注意：C、D处左右二侧M、FQ 之差等于该处的集中 力偶、集中力。
还有什么一般规律？
14
10.2 利用平衡微分关系作梁的内力图
一、剪力、弯矩与分布载荷间的关系
考察承受分布载荷、长dx 的 微梁段的受力与平衡。 假定q(x)向上为正，截面 内力FQ、M均按正向假设。 在x+dx截面上，FQ、M均 有相应的增量。
FQ>0 FQ<0 FQ>0 FQ<0
M图 集中力(偶) FQ图 M图 突变 转折 无变化 突变
M等于FQ图左边 面积+顺时针集 中力偶 19
FQ、M图的简捷画法 (结合例3)：
49 1）确定控制点。 约束力、集中力(偶)作用点， 分布载荷起止点。 A、B、C、D、E
q=9
A 4m B
48
45
32
剪力、弯矩图：
分段处的剪力弯矩值：
FAy
A
q
B 4m
M0
F
x
C D E 2m 2m 4m
x1=0: FQA=49；MA=0 x2=4: FQB=13；MB=124 x3=6: FQC=13；MC=102 x36: MC150 x4=8: FQD=-32；MD=128 x48: FQD13
FE
M
A
B
M
a
b A
a
b B
d
A a b A B a b B
M
2. 弯曲的基本假设—平面假设
变形后
梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与 梁的轴线垂直。
26
2. 弯曲的基本假设—平面假设 梁的横截面在弯曲变形后仍保持 为平面，且仍与梁的轴线垂直。
M
A
B
M
a
b A
a
b B
3. 推论：
1
FAy
A
q
B 4m
M0
F
x
C D E 2m 2m 4m
FE
分段处的剪力弯矩值：
x1=0: FQA=49；MA=0 x2=4: FQB=13；MB=124 x3=6: FQC=13；MC=102 x36: MC150 x4=8: FQD=-32；MD=128 x48: FQD13
注意：集中力 (力偶) 作用处左右二侧FQ (M) 不同。 13
M/kNm
124
32 150 + 128
A
B
C
D
E x
结论四、 二截面间的弯矩增量等于 该段梁上剪力图的面积。
MA FQA
q(x)
MB
c
18 FQB
由此，可给出梁剪力、弯矩图的简捷画法。
q FQ图 q=0 q=const.>0 q=const.<0 FQ>0 FQ<0 FQ等于分布载荷 左边图形面积 +向上的集中力
问题: 平面纯弯曲梁横截面上的正应力?
思路： 仍延研究变形体力学问题的主线。
变形的几何协调 (几何分析) 力与变形之关系 (物理关系) 力的平衡 (已熟悉)
25
10.3.1 变形几何分析
M
讨论矩形截面纯弯曲梁。 1. 弯曲变形实验现象
AA、BB仍保持直线，但相对 地转过一角度d。 aa 缩短，bb伸长，变为弧形， 但仍与AA、BB线正交。
FAx=0 A
C D 2m 2m
FAy
0
q
M1
x1 c FQ1
解：1）求约束反力： x E SFx=FAx=0 4m FE SFy=FAy+FE-F-4q=0 MA(F )=12FE+M0-8F-2×4q=0 FAy=49kN；FE=32kN
2) 截面法求内力 AB段: 0x1<4m SFy=FAy-qx1-FQ1=0 FQ1=49-9x1
30
FQ/kN 20
o
M/kNm 20
5
x
15
o
45
60
21
x
3）检查图形是否封闭。
小结：
1）承受弯曲作用的杆，称为梁。 2）平面弯曲：载荷均作用在梁的纵向对称面内。 3）梁的内力有剪力、弯矩。作内力图一般步骤：
求约 束反 力
截取 研究 对象
受 力 图
列平 衡方 程
2
内力 方程
2
画内 力图
必须 掌握
F
B
M
0
a
FAx a
x
FN
0
a
x FQ
截取 研究 对象
载荷 突变 处分 段。
受 力 图 内力 按正 向假 设。
列平 衡方 程
矩心 取截 面形 心。
求解 内力
画内 力图 图形 应封 闭。
9
内 力 方 程
例3 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kNm， 求梁的内力。
FAy
q M0
B 4m
F
11
FAy
0
M0 M 3
B C c
FQ3
FAy
0
M0 F
B C Dc
DE段: 8mx4<12m FQ4=-32kN; M4=384-32x4(kNm)
取右边部分如何?
FAy
A
q
B 4m
M0
F
x
C D E 2m 2m 4m
FE
FAy
0
q
x4
M0 F
B C Dc
M4
FQ4
DE段: 8mx4<12m
M2
B c FQ2
SFy=FAy-4q-FQ2=0 FQ2=13kN
FE
SMc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0
M2=13x2+72(kNm) CD段: 6mx3<8m FQ3=13kN; M3=13x3+24(kNm)
M4 DE段: 8mx4<12m
FQ4 FQ4=-32kN; M4=384-32x4(kNm)
3) 画内力图。 悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。 5
例2 求外伸梁AB的内力。 y
解：1）求约束反力： 受力如图。 有平衡方程：
0
F FAy 3F
A
FB 45 a
B
a
FAx a
x
SMA(F)=2aFBcos45+Fa-3Fa=0 SFx=FAx-FBsin45=0 SFy=FAy+FBcos45-F-3F=0 2) 截面法求内力( 取坐标如图) 0x<a: FN=0; FQ=-F; M=-Fx
2
10.1 基本概念
1、梁的分类
F
q
2、平面弯曲
简支梁 悬臂梁 梁的横截面
M
都有对称轴 外伸梁
纵向对称面
集中力，集中力偶，分布载荷
平面问题，梁受 三个约束，都是 静定梁。
梁有纵向对称面，且载荷均作用在 纵向对称面内，变形后梁的轴线仍 在该平面内，称为平面弯曲。 3
用截面法作梁的内力图
截面法求内力的步骤：
FQ4=-FE=-32kN
M4
0
M4=FE(12-x4)
=384-32x4 结果应当相同。 可以用于验算。
x4
FQ4 c
FE
内力同样要按正向假设!
12
内力方程: AB段: 0x<4m FQ1=49-9x1; M1=49x1 BC段: 4mx<6m FQ2=13; M2=13x2+72 CD段: 6mx<8m FQ3=13; M3=13x3+24 DE段: 8mx<12m FQ4=-32; M4=384-32x4 -4.5x 2
FB= 2F FAx=F FAy=3F
F
0
M
x
FN FQ
6
例2 求外伸梁的内力。
2) 截面法求内力 0x<a: FN=0; FQ=-F; M=-Fx ax<2a: FN=-F；FQ=3F-F=2F M=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a) 2a x<3a: FN=-F； FQ=3F-F-3F=-F M=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a) =F(3a-x)
2
C D E 2m 2m 4m
FQ/kN
49 + 13 -
结论一、 剪力延坐标x的变 化率等于分布载荷集度， 即FQ图中曲线上某点的斜 率等于梁上对应截面处的 载荷集度q。q=0，FQ图为 水平线。
x
M/kNm
124
32
150 + 128
A
B
C
D
E x
结论二、弯矩M延坐标x的变化率等于剪力FQ，即 M图曲线某点的斜率等于对应截面上的剪力。
x
C D E 2m 2m 4m
2）计算控制点处FQ、M值。 左边面积+集中载荷 力 、力偶 为正。 3）依据微分关系判定控制点 间各段 FQ、M图的形状， 连接各段曲线。
FQ/kN
49 + 13 32 128 + D E x
20
x
M/kNm
124
150 102
A
B
C
例4 作图示外伸梁的 FQ、M图。
F
l
FAx=0; FAy=F; MA=Fl 2）求截面内力。 截面x处内力按正向假设， 在0x<l内，有平衡方程： SFy=FAy-FQ=0 SMC(F )=MA+M-FAyx=0 得到： FQ=F； M=-F(l-x)
MA
A
A FAx
B
FAy
x c
M FQ
FQ
o
+
F
剪力图
_ x x
M
o
Fl
弯矩图
45 B
FN
FB
-
x
F x
M=-F x ax<2a: FN=-F； FQ=2F M=F(2x-3a) 2ax<3a: FN=-F ；FQ=-F M=F(3a-x)
FQ 2F
M
+ F F Fa + x
8
x
-
Fa
y
作梁的内力图的 一般步骤
求约 束反 力 静力 平衡 方程
F FAy 3F
A
FB 45
q(x)dx=dFQ(x)
dM(x)=FQ(x)dx
dFQ(x)/dx=q(x) dM(x)/dx=FQ(x)
梁的平衡微分方程： d M ( x) dQ( x) = = q ( x) dx2 dx
16
2
讨论：q –FQ-M关系:
平衡微 分方程
FAy
A
q
B 4m
M0
F
FE
x
dFQ d M =q 2 = dx dx
解：1.求支座反力 SMA=2q+630-60-4FB=0 FB=35 kN SFy=2q+FA+FB-30=0 FA=-25 kN 2）画FQ、M图 从左起，计算控制点的 FQ、M值。 由微分关系判断线形。
q=10kN.m M=60kN.m 30kN
C FA A D
2m 1m 3m
B E
FB
2m
23
概念回顾:
2.纯弯曲
F
a FQ F M FQ=0 M=Fa
F
a
M0
FQ
M
FQ=0 M=M0
一般情况 横力弯曲: 若梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。 简单特例
纯弯曲: 梁横截面上的内力只有弯矩。
24
平面弯曲梁的正应力
讨论平面纯弯曲梁。 横截面上只有弯矩。
M
y M
z
s
x
弯矩分布在横截面上， 只能是正应力。
y
0
F 3F
A
3F F a
FB 45
a
B
x
a F
0
M
x
FN FQ
F
0
3F
xF 3F
M
FN FQ 3F x
F
0
M
FN FQ
7
F
3) 画内力图： 内力方程： 截面法给出的描述 内力与截面位置关系。 0x<a: FN=0; FQ=-F;
内力图： 按内力方程绘出 各截面内力的图。
F
0
A
FAy FAx
3P
4）梁的平衡微分方程： d M / dx = dF Q / dx = q 5）FQ等于左边分布载荷图形面积+集中力( 正)。
22
6）M等于左边Q图面积+集中力偶 (
正)。
10.3 平面弯曲梁的正应力
概念回顾: 1.平面弯曲
q F
纵向对称面
梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向 对称面内，变形后梁的轴线仍在该平面 内，称为平面弯曲。
第十章
梁的平面弯曲
10.1 基本概念 10.2 利用平衡微分方程作梁的内力图 10.3 平面弯曲梁的正应力 10.4 梁的变形
1
回顾
承受弯曲作用的杆，称为梁。
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压
扭
转
弯 曲
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。 扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。 (轴) 弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)